12.1 第1课时 三角形及其分类&第2课时 三角形内角和、直角三角形的性质-【同行学案】2025-2026学年七年级下册数学学练测（青岛版·新教材）

12.(x十y-z)(a+b-c) 21.解：因为a-b-3+(a+b-2)2=0,所以 a-b-3=0 13.(x+y-2)2 a+b-2=0 14.(bc+ad)(ac+bd) 1a-b= 所以 所以a2-b=(a十b)(a-b)=2X3=6. 15.(x+y-5)(x-y+1) a+b=2 16.解：(1)不彻底(x-2)4(2)设m2-2m=y,则原式= 22.B23.B y(y+2)+1=y2+2y+1=(y+1)2=(m2-2m+1)2= 第12章平面图形的认识 (m-1)4. 17.解：(1)x2-6x-7=x2-6x+9-16=(x-3)2-42=(x 12.1三角形 -3+4)(x-3-4)=(x+1)(x-7).(2)a2+4ab-5b2 第1课时三角形及其分类 =a2+4ab+4b2-9b2=(a+2b)2-(3b)2=(a+2b+ 1.D2.B3.A 3b)(a+2b-3b)=(a十5b)(a-b). 4.6△OAB,△OBC,△OBD△OAD,△OCD,△OBD 18.(1)(x+1)(x-4)(2)(x-3)(x-4) OD∠D 19.(1)(a+3)(a-3)2(2)(x-2y-4)(x-2y+4) 5.D6.C 培优专题17：因式分解与几何图形 7.55°，35° 1.A 8.解：(I)∠AED是△AED的角，∠DBC是△EBC的角. 2.解：(1).a2+b2=4a+10b-29,.(a2-4a+4)+(b2- (2)AE是△AED和△AEB的公共边，AB是△ABD, 106+25)=0,.(a-2)2+(b-5)2=0,.a-2=0,b-5 △ABE和△ABC的公共边. =0,.a=2,b=5.(2),a,b,c是△ABC的三边长，.3 9.解：因为a+b+c=30,a+b=20,所以c=10.因为a-b= <c<7.又.c为整数，c=4或c=5或c=6. (3),△ABC是等腰三角形，a=2,b=5,根据三角形的三 6一c,所以a-2b=-10.联立方程组0+6=20 解得 a-2b=-10 边关系可知，只有当c=5时这个三角形才为等腰三角形， a=10 .c=5,.△ABC的周长是12. ,所以a=b=c,所以△ABC是等边三角形 b=101 3.解：(1)S阴影=(x十y)2-4xy=x2+2xy十y2-4xy=x2 第2课时三角形内角和、直角三角形的性质 -2xy+y2=(x-y)2.(2)(a-b)2=(a+b)2-4ab. 1.B2.C3.75° .a十b=7,ab=10,∴.(a-b)2=72-4×10=9,∴.a-b= 4.解：如图，过点A作EF∥BC.因为EF∥BC,所以∠1= 士3.'a>b,∴.a-b=3. ∠B,∠2=∠C.因为∠1十∠2十∠BAC=180°，所以 4.解：(1)a2-b2=(a+b)(a-b)(2)由题意可得a-b=3. ∠BAC+∠B+∠C=180°.即∠A+∠B+∠C=180°. a2-b2=(a+b)(a-b)=57,.a十b=19, /a+b=19 ab=3解得-11 E-- 6=8‘ 章末复习 1.D2.A3.154.D5.C6.C7.D 5.C6.C7.A 8.a(2x-1)2 9.a3(a-b)2 8.60°[解析]∠C=90°，∠B=30°，∠A=60°.△A'PD 10.x2(x+2)(x-2) 由△APD翻折而成，∠A=∠PA'D=60°，∠PDA= 11.(1)a(a+2b)(a-2b)(2)2(x+4)(x-4) ∠PDA'.:A'P∥AC,∴.∠A'DC=∠PA'D=60°， (3)(x+3y)2(x-3y)2(4)a(a-2)2 .2∠PDA'+∠A'DC=180°，即2∠PDA'+60°=180°，解 12.D[解析]，x=-2a2+4a-5=-2a2+4a-2+2-5 得∠PDA'=60°. =-2(a2-2a+1)-3=-2(a-1)2-3≤-3，.不论a 9.B10.A11.B12.80° 取何值，一定有x≤一3. 13.60°[解析]方法1：：∠BFC=130°，∠BFA=50° 13.C14.0.36 又：AB∥CD,.∠A+∠C=180°.：∠B+∠A+ 15.B16.C17.B ∠BFA十∠D十∠C+∠CED=360°，∴.∠B+∠D= 18.解：(m-7)(m+7)+n2-2mn=m2-7+n2-2mn=(m 60°方法2：如图，过BF,DE的交点G作GH∥AB,易知 -n)2-72.(m-7)(m十7)十n2-2mm是“正巧数”， ∠B+∠D=∠BGD.:∠BFC=130°，.∠BFA=50, ,∴.m-n=9. .∠EGF=180°-∠BFA-∠CED=180°-50°-70°= 19.±1220.48 60°，∴.∠BGD=∠EGF=60°，即∠B+∠D=60°. ∠ABC,∴.∠ABC=2∠ABD,∴.2∠ABD+∠A=90°， ∴△ABD是“奇妙互余三角形” (2)当点P在线段BC上时，如图. 14.3609 15.60°[解析]因为∠A=30°，所以∠ABC+∠ACB= 150°.因为∠D=90°，所以∠DBC+∠DCB=90°，所以 ∠ABD+∠ACD=150°-90°=60°. 16.60°或10°[解析]分两种情况：如图①，当∠ADC=90° 时，：∠B=30°，∴.∠BCD=90°-30°=60°；如图②，当 ,∠C=90°，∠ABC=52°，△ABP是“奇妙互余三角形”， ∠ACD=90时，，∠A=50°，∠B=30°，∴.∠ACB=180° .2∠PAB+52°=90°，.∠PAB=19°，∴.∠APB=180 -30°-50°=100°，.∠BCD=100°-90°=10°.综上， -52°-19°=109° ∠BCD的度数为60°或10°. 当点P在CB延长线上，△ABP是“奇妙互余三角形”， 2∠APB+∠BAP=90时，如图. D ① ② 17.40°60°80°[解析]因为∠B=∠A十20°，∠C=∠B 十20°，所以∠C=∠A十40°.设∠A=x°，则∠B=x°+ ,∠ABC=52°，易得∠BAP=52°-∠APB.,2∠APB 20°，∠C=x°+40°.因为∠A+∠B+∠C=180°，所以x +∠BAP=90°，∴.2∠APB+(52°-∠APB)=90°，解得 +(x+20)+(x+40)=180,解得x=40,所以∠A=40°， ∠APB=38°. ∠B=60°，∠C=80°. 当点P在CB延长线上，△ABP是“奇妙互余三角形”， 18.50°[解析]方法1：如图，连接AC并延长，交EF于点 ∠APB+2∠BAP=90时，如图. M.AB∥CF,∴∠3=∠1.AD∥CE,∴.∠2=∠4， A ∴.∠BAD=∠3+∠4=∠1+∠2=∠FCE.:∠FCE= 180°-∠E-∠F=180°-80°-50°=50°，.∠BAD= ∠FCE=50°. ,∠ABC=52°，易得∠BAP=52°-∠APB.:'∠APB+ 2∠BAP=90°，.∠APB+2(52°-∠APB)=90°，解得 ∠APB=14°.综上所述，∠APB的度数为109°或38° 或14°. 第3课时三角形的外角 1.B2.D3.B4.B5.A6.70°7.C8.C9.C D 10.130°11.15°12.D13.C14.D15.105 方法2：AB∥CF,AD∥CE,.∠FCE可看作由∠A平 16.解：因为DF⊥AB,所以∠AFE=90°，所以∠AEF=90° 移得到的，.∠A=∠FCE=180°-∠E-∠F=180°- -∠A=90°-35°=55°.因为∠AED是△AEF和△CED 80°-50°=50°. 的外角，所以∠AED=∠A十∠AFE=∠D+∠ACD,所 19.40°[解析]如图，将∠a平移，使其顶点与∠3的顶点重 以∠ACD=35°+90°-42°=83. 合，则∠5=∠1，∠6=∠4，∴∠3=∠1+∠4-∠a=∠2 17.解：不合格.理由：如图，连接C0并延长.因为∠1=∠A +∠3-∠a=180°-∠a-∠a=180°-70°-70°=40°. +∠ACO,∠2=∠B+∠BCO,所以∠1+∠2=∠A+ ∠B+(∠ACO+∠BCO),即∠AOB=30°+45°+90°= 165°≠161°，所以这个零件不合格。 B☒a3 A 沙4 12 20.解：(1)，∠C=90°，∴.∠ABC+∠A=90°.，BD平分 B 同行学案学练测·25·第12章： 平面图形的认识 12.1 三角形 第1课时 三角形及其分类 即基础闯关 >>>>>>>>>>>>>>> 难度等级基础题 6.如图所示，则△ABC的形状是( 知识点一：与三角形有关的概念 A.锐角三角形 B 1.一位同学用三根木棒两两相交拼成如下图 B.钝角三角形 形，则其中符合三角形概念的是( C.直角三角形 D.等腰三角形 XA△ 即能力提升 >>>>>>>>>>>>>>> 难度等级中等题 7.已知直角三角形两锐角之差为20°，则这两个 2.若有一条公共边的两个三角形称为一对“共 锐角的度数分别为 边三角形”，则图中以BC为公共边的“共边三 8.如图，线段AC与BD相交于点E,连接AD, 角形”有() AB,BC. A.2对 B.3对 C.4对 D.6对 (1)∠AED是哪个三角形的角？∠DBC呢？ (2)AE是哪两个三角形的公共边？AB是哪 几个三角形的公共边？ D 第2题图 第4题图 3.三角形的内角中至少有( ) A.两个锐角 B.两个钝角 C.一个直角 D.一个钝角 4.如图，图中共有 个三角形，其中以 BO为边的三角形有 ,以∠D为内角 即培优创新 >>>>>>难度等级综合题 的三角形有 在△OAD中，∠A的 9.已知a,b,c是△ABC的三条边长，a+b十c 对边是 ,OA的对角是 =30,a-b=b-c,a十b=20,试判断△ABC 知识点二：三角形的分类 的形状. 5.如图，被纸板遮住的三角形是( A.直角三角形 B.锐角三角形 C.钝角三角形 D.以上三种都有可能 126做神龙题得好成绩 第2章平面图形的认识☑ 第2课时 三角形内角和、直角三角形的性质 即基础闯关 >>>>>》>>>>>>>>>> 难度等级基础题 6.有两块直角三角形纸板，一个含45°角，另一 知识点一：三角形的内角和 个含30°角，如图所示叠放，使BC∥DE,则 1.(大庆中考变式)在△ABC中，∠A,∠B,∠C ∠BAD的度数为( A.60 B.45° C.30° D.15° 的度数之比为2：3：4，则∠B的度数 为() A.40° B.60° C.80° D.90° 2.如图，∠1+∠2+∠3+∠4=( B A.360° B.180° C.280° D.320 第6题图 第7题图 3 7.如图，在直角三角形ABC中，∠BAC=90°， 140 AC≠AB,AD是斜边上的高，DE⊥AC, 309 DF⊥AB,垂足分别为E,F,则图中与 DB 第2题图 第3题图 ∠C(∠C除外)相等的角有()》 A.3个 B.4个 C.5个 D.6个 3.如图是由一副三角尺拼凑得到的，∠EDF= 8.如图，在△ABC中，∠C=90°， ∠ACB=90°，∠A=30°，∠F=45°，A,E,D, ∠B=30°，点P是边AB上一 B四点共线，E,F过点C,则∠ECB的度数 点，点D是边AC上一点，将 为 △ABC沿PD折叠，使点A落 知识点二：三角形内角和定理的说明 在边BC上的点A'处，若A'P∥ 4.(淄博中考)如图，△ABC是任意一个三角 AC,则∠PDA'的度数 形，试说明：∠A+∠B+∠C=180° 为 知识点四：两角互余的三角形是直角三角形 9.已知△ABC中，∠A,∠B,∠C三个角的度 数比如下，其中能说明△ABC是直角三角形 的是() A.2:3:4 B.1:2:3 C.3:4:5 D.1:2:2 10.在△ABC中，∠A+∠B=∠C,则下列结论 中不一定成立的是() A.∠B>45° B.∠A与∠B互余 知识点三：直角三角形两锐角互余 C.∠C=90° 5.(淄博中考)如图，在四边形ABCD中，CD∥ D.△ABC为直角三角形 AB,AC⊥BC,若∠B=50°，则∠DCA=() 1山.满足∠A=∠B-号∠C的△ABC 是() A锐角三角形 B.直角三角形 A.30° B.35 C.40° D.45° C.钝角三角形 D.等边三角形 做神龙题得好成绩 127 ☑同行学案学练测七年级数学下QD 即能力提升 >>>>>>>>>>>>>>> 难度等级中等题 【巧用平移解决问题】 12.[创新意识]当三角形中一个内角a是另一 18.[典例探究·一题多解]如图，在△CEF中， 个内角3的一半时，我们称此三角形为“半角 ∠E=80°，∠F=50°，AB/CF,AD∥CE,连 三角形”，其中α称为“半角”.如果一个“半 接BC,CD,则∠A的度数为 角三角形”的“半角”为40°，那么这个“半角 4 三角形”的最大内角的度数为 13.[一题多解]如图，AB∥CD,点E,F在AC B 边上，已知∠CED=70°，∠BFC=130°，则 4 C ∠B+∠D的度数为 第18题图 第19题图 19.如图，两面镜子AB,BC的夹角为∠a,当光 线经过镜子后反射，∠1=∠2，∠3=∠4.若 ∠a=70°，则∠3的度数是 素养提升微专题 即培优创新 难度等级综合题 【数学思想在三角形中的应用】 20.[创新意识]如果三角形的两个内角α与B满 思想1：转化思想 足2a十3=90°，那么我们称这样的三角形为 14.如图，∠1+∠2+∠3+∠4= “奇妙互余三角形” (1)如图，在△ABC中，∠C=90°，BD平分 ∠ABC,试说明：△ABD是“奇妙互余三 角形” (2)在△ABC中，∠C=90°，∠ABC=52°， 恩想2：整体思想 点P是射线CB上的一点，且△ABP是“奇 15.如图，把一个三角尺的直角顶点D放置在 妙互余三角形”，求∠APB的度数 △ABC内，使它的两条直角边DE,DF分别 经过点B,C,如果∠A=30°，那么∠ABD+ ∠ACD= 思想3：分类讨论思想 16.(哈尔滨中考)在△ABC中，∠A=50°，∠B= 30°，点D在AB边上，连接CD,若△ACD 为直角三角形，则∠BCD= 思想4：方程思想 17.在△ABC中，∠B=∠A+20°，∠C=∠B+ 20°，则∠A= ,∠B= ∠C= 128做神龙题得好成绩