11.1 因式分解-【同行学案】2025-2026学年七年级下册数学学练测（青岛版·新教材）

b=2a2+26=2a2+6)=2[a+6)-2ab]= 1 8.解：(1)原式=(200-2)2=2002-800十4=39204. (2)原式=(2000+4)2=20002+16000+16=4016016. 240-160)=120 (3)原式=(100-2)2-(100+1)×(100-1)=1002- 400+4-(1002-1)=-395. 3.B[解析]设小长方形的长为a,宽为b.由题图①可得(a +b)2-4ab=35,即a2+b2=2ab+35①；由题图②可得 9.解：①)原式=3a-2b)·号(a+26)=3×号[a-26)· (2a+b)(a+2b)-5ab=102,即a2+b2=51②.由①② (a+2b)]=a2-4b2.(2)原式=[(a-2)·(a+2)]2· 得2ab十35=51，所以ab=8,即小长方形的面积为8. (a2+4)2=(a2-4)2(a2+4)2=[(a2-4)·(a2+4]2 4.20[解析]设大正方形的边长为a,小正方形的边长为b, (a4-16)2=a8-32a4+256. 1 则a2-b=40.S影=S△m一SAS月影=2CD· 10.解：(1)x2+y2=(x十y)2-2xy=32-2X(-7)=9+ AB-CD.BE-Za(a+6)-h(+-(a+ 14=23.(2)x2-xy十y2=x2+y2-xy=(x十y)2 2xy-xy=(x十y)2-3xy=32-3X(-7)=9+21=30. ba-b)=2a2-63)=2×40=20. (3)(x-y)2=x2-2xy+y2=x2+2xy+y2-4xy= (x+y)2-4xy=32-4×(-7)=9+28=37. 523[解折]Ss=a:-合6a-6)=名d-日6十 11.解：因为(x十y)2=5,(x-y)2=3,所以x2+2xy十y2= 5①，x2-2xy十y2=3②，由①-②，得4xy=2,所以 28=号a-ab+6)=2[a+b)2-3ab]-2(102 2y=所以3y-1=3×-1=号 3×18)=23. 6.解：(1)x+y=8,.(x+y)2=64,即x2+2xy十y2= 12解，因为a+日=2，所以(。+日)”=4，即。+（侣）+ 64.又.x2+y2=40,.2xy=64-40,∴.xy=12. (2)设m=4一x,n=x-5,则m十n=一1，mn=(4-x)(x 2=4,所以a+(日）-2，所以(a-日）'=a2+(日）' -5)=-8,∴.(4-x)2+(x-5)2=m2+n2=(m+n)2 2mm=(-1)2-2×(-8)=1+16=17.(3)设AE=a, &=2-2=0所以a-日-0 FG=b,则AB=6=a十b.由题意可知S1十S2=a2十b2= 10.4整式的除法 18..'(a+b)2=a2+2ab+b2,∴.36=18+2ab,.ab=9, 第1课时单项式除以单项式 ∴阴影部分的面积为24山=号。 9 1.B2.D3.C4.B 5.(1)-4xyz(2)-3ac(3)-3.xz 培优专题13：乘法公式的六种应用技巧 11a-4w(②)4r2-9y2(34r-2zy+y2 6.-2r'y2号a-6)(3y④-8x (5)-2abc3 2.(1)x4-2x2+1(2)4x+26 7.D8.B9.C10.5311.-3×10312.4x2 3.解：(1)原式=(-y)2-(2x)2=y2-4x2.(2)原式= 13.C14.A (-2x2)2- 分)=4-是(3)原式=(-2a)+2 15.0)-号a326-4ab+4ad(8)a6 (-2a)·3b+(3b)2=4a2-12ab+9b2. 16.8a+2b17.ACC 4.解：(1)原式=[a十(b-3)]a-(b-3)]=a2-(b-3)2= 18.解：因为4+3X8m+1÷2m+7=22m+6X23m+3÷2m+7= a2-(b2-6b+9)=a2-b2+6b-9.(2)原式=[a- 2m+2=16=2,所以m十2=4，所以m=2. (2b-3c)][a+(2b-3c)]=a2-(2b-3c)2=a2-(4b2- 12bc+9c2)=a2-4b2+12bc-9c2. 19,解：（3a)P÷27a0=9a“÷27a“-号a2,当a=3时， 5.解：(1)原式=(x2-1)(x2+1)=x4-1.(2)原式= (9m2-16n2)(9m2+16n2)=81m4-256n4. 原式=号ayr= 3X32-3. 6.解：(1)原式=[(x+y)+(x-y)]·[(x+y)-(x一 20.解：a2m·bm÷c9=(am)2·(b2m)3÷(c39)3=22X33÷ y]=2x·2y=4xy.(2)原式=[(a2-b2)+(a2+ b2)]·[(a2-b2)-(a2+b2)]=2a2·(-2b2)=-4a2b2. -器 7.解：因为(4x-3y)2=(3x-2y)2,所以(4x-3y)2-(3x- 21.解：因为2×3-1=72=23×32，所以x=3,之=3，所以 2y)2=0,所以(4x-3y+3x-2y)(4x-3y-3x+2y)= M=品y3日y=g 27 =5x2=5: 0,即(7x-5y)(x-y)=0,所以7x-5y=0或x一y=0, 所以之5 y=分或号=1. 第2课时多项式除以单项式 1.A2.B3.C4.B 5-马m+5m+1 4.3[解析]，10×100=102×1026=10a+6=20×50= 6.(1)2xyz+x2x(2)-10a3b 100=10,a+26=3,∴原式=号(a+26+3)=号× 7.D8.D (3+3)=3. 9.-3a2+4a-110.2xy-3x+x2y 5.D6.7×1097.B8.A9.C 11.解：原式=(x2+xy-2x2y2-x2)÷xy=(xy-2x2y2)÷ 10.(1)4xy-2y2(2)-4a2+9a(3)2x-y-4 xy=1-2xy.当x=-1,y=3时，原式=1-2×(-1)× 11.112.0 3=7. 12.B13.C 1及解：原武=2y,当x=(合》=2时，原式=2X 14.4x2+1 ()》×2-2x×（合×9）=2x×1=1 15.解：原式=(x2-4y2-4x2+4xy-y2-x2+5y2)÷(-2x) =(-4x2十4xy)÷(-2x)=2x-2y.x,y满足23r÷ |x+1x-2 2y=8,.23x-8w=23,.3x-3y=3,x-y=1,当x-y 14解：3x2-1=(x+Dx-1)-3x(x-2)=2 1-3x2+6x=-2x2+6x-1.因为x2-3x+1=0,所以 =1时，原式=2(x-y)=2×1=2. x2-3x=-1,所以原式=-2(x2-3x)-1=2-1=1. 16.解：设此数为a,由题意得[(a十2)2-4幻÷a=(a2+4a)÷ 15.解：(1)a3-88x3-y3(2)(a-b)(a2+ab+b2)= a=a十4，可以看出商减去4就是学生想的数. 17.解：(1)A=2x2(3x十4)+x-1=2x2·3x+2x2·4十x a3-b3(3)C(4)原式=(3x)3-(2y)3=27x3-8y3. 16.(1)m-n(2)(m+n)2-4m=(m-n)2 一1=6x3十8x2十x-一1.(2)设该多项式为B,则有B= (2x-6)(3x-1)+x+3=6x2-2x-18x+6+x+3= (3)(2+n)(m+n)=2m2+3mn+n 6x2-19x+9.(3)A (4)如图所示. m 培优专题14：与整式的乘除有关的规律探究 1.解：(1)①>②>③>④=(2)a2+b2≥2ab (3)(a-b)2≥0，.a2+b2-2ab≥0，a2+b2≥2ab. 2.解：1)(98+102)(998,1002) 2 2 m 2)规律：m=(士)'-(”2）.理南：右边= 17.解：(1)示例：a2+ab十b2=(a十b)2-ab,a2+ab十b2= (m士）》'-(2）-m+2m+m-2n+ (a+b)°+6. (2)a2+b2+c2-ab-3b-2c+4= 4 4 氧=m=左边m=(m士）-(2) (a2-ab+46)+(362-36+3)+(c2-2c+1)= 3)59.8×60.2=(59,8+60.2)°-(59.8,60.2)- (a2-ab+b)+是(62-h+40+(e2-2c+1)= 2 2 602-(-0.2)2=3600-0.04=3599.96. (。-2b)°+6-22+e一1D=0从而有a-位6 1 3.解：(1)507505(2)4n=(n十1)2-(n-1)2验证：因 为右边=(n+1)2-(n-1)2=n2+2n+1-n2+2n-1= 0,b一2=0，c一1=0，即a=1,b=2,c=1,所以a十b+ 4n=左边，所以4n=(n十1)2-(n-1)2.(3)不是.理由： c=4. 设相邻的两个整数分别是a,a十l.根据题意可知(a十 第11章 因式分解 1)2-a2=2a十1，化简结果为奇数，故不是4的倍数. 11.1因式分解 培优专题15：几何图形中的恒等式 1.C2.c3.D 1.C2.D 4.③④⑥5.C6.2x2+5.x-3 3.(x十2)(x-2)x=x3-4x 7.(3x-2)(5x+1)8.1 4n解：(1)(x十y)y2=xy2+y3(2):(x十2y)3=(x+2y)2· 9.-18[解析]由题意，得x2-8x十m=(x-10)(x十n)= (x+2y)=(x2+4xy+4y2)(x+2y)=x3+2x2y+4x2y x2+(-10十n)x-10m,∴.-10十n=-8,m=-10m,解得 +8xy2+4xy2+8y3=x3+6.x2y+12xy2+8y3,②号小木 n=2,m=-20,∴.m十n=-20+2=-18. 块的体积是x2y,③号小木块的体积是xy2,∴.②号小木块 10.15[解析]分解因式x2十ax十b,甲看错了b,但a是正 需要6个，③号小木块需要12个. 确的，由(x十2)(x十4)=x2+6x十8，得a=6.同理，乙看 章末复习 错了a,但b是正确的，由(x十1)(x十9)=x2+10x十9， 1.A2.C3.4 得b=9.因此a十b=15. 同行学案学练测·23· 11.C -1,n=2,∴.m-n=3或m-n=-3. 12.a2+b2+2ab=(a+b)2 28.3[解析]a2+b2+c2-ab-bc-ac=a(a-b)+b(b 13.(a+b)(a+2b) 1 1 如图所示（示意图不唯一）. -c)+c(c-a),且a=2024x+18,b=2024x+17,c= h 2024x+16,…a-b-1,b-c=1,c-a=-2,原式=a 2 +b-2c=(b-c)-(c-a)=3. 29.(a-1)(a4+a3+a2+a+1) b 30.解：(1)提公因式法(2)原式=(1+x)[1十x+x(1+x) bb +x(1+x)2]=(1+x)2[1+x+x(1+x)]=(1+x)3(1 14.解：(1)被墨水污染的一次式是(x-2)(2x十5)-(2x2十 3x-6)=2x2+5.x-4x-10-2x2-3x+6=-2x-4. 十x)=(1+x)4.(3)(1+x)+1 (2)根据题意，得一2x一4=2，解得x=一3. 11.3公式法 15解：1令3x-2=0,则6r-k红-2=0，即x=号时， 第1课时用平方差公式进行因式分解 1.B2.C3.D4.D 6r2-缸-2=0,6×（号）-号&-2=0，解得k=1. 5.(1)(3x+y)(3x-y)(2)3(x+1)(x+3) (3)(8+3a-2b)(8-3a+2b) (2)设另一个因式是3x十n,根据题意得3x2+10x十m= (x+4)(3.x+n),展开得3x2+10x+m=3x2+(n+12)x 6.1(5a+7b)(5a-7b) (2)(5a+b)(a-5b) +4m,/m+12-10 7.D m=4n m=一8六另一个因式是3x 解得 8.(x2+4)(x+2)(x-2) -2,m的值是一8. 11.2提公因式法 (2)(9a2+b2)(3a+b)(3a-b) 9.B 1.D2.A3.A4.2a-1 10.(1)3(a+b)(a-b)(2)x(x+5)(x-5) 5.C6.B (3)(a-b)(a+2)(a-2) 7.x(x-2024) 8.D9.B 11.(①)a2(a+3b(a-36)(2)2(x+8)(x-8) 10.(1)-2x3(2x-y)(2)-5xy(2x+y-3) 12.B13.B 11.C12.2(p+q)(3p-2q) 14.8 13.(2a+b)(2a-b) 15.解：5352×4-4652×4=4×(5352-4652)=4×(535+ 14.A15.D 465)×(535-465)=4×1000×70=280000. 16.(x+1)(x-2)17.2(5.x-6y)2 16.(3a+b)(b-a) 18.D 17.(a2+1)(a+1)(a-1) 19.(1)2025(2)3.98 18.D19.D 20.4 20.12 21.2[解析]'ab=3,a2b-ab2=6,.a2b-ab2=ab(a一 21.解：1002-992+982-972+…+22-1=(1002-992)+ b)=3(a-b)=6,解得a-b=2. (982-97)+…+(22-12)=(100+99)×(100-99)+ 22.96[解析]ab=6,∴.3a2b-6ab2+18b+6=3ab(a (98+97)×(98-97)+…+(2+1)×(2-1)=100+99+ 2b)+18b+6=3×6×(a-2b)+18b+6=18a-36b+ 98+97+…+2+1=100+)DX100=5050. 18b+6=18a-18b+6=18(a-b)+6.,a-b=5,.原 2 式=18×5+6=96. 22.解：因为a,b,c为△ABC的三条边的长，所以a十b>c,b 23.C 十c>a,即a-c十b>0,a-c-b<0,所以(a-c)2-b2= (a-c+b)(a-c-b)<0,所以(a-c)2-b2是负数. 24.C[解析]M=a2-ac,N=ab-bc,∴.M-N=a2-ac 23.C[解析](n+1)2-n2=(n+1+n)(n十1-n)=2m+ -(ab-bc)=a(a-c)-b(a-c)=(a-c)(a-b)..a> b,a>c,∴.a-c>0,a-b>0,∴.M-N=(a-c)(a-b) 1,∴所有大于0的奇数都是“智数”.2025÷2=10121， ∴.从0开始，不大于2025的“智数”共有1012十1=1013（个）. >0,.M>N. 25.-1626.1584 24.解：原式-(1-号)(1+2)(1-号)(1+号)(1-)(1 27.解：(x+2)(2x-1)-(x+2)=(x+2)(2x一2)=2(x +2)(x-1)=2(x十m)(x+n),∴.m=2,n=-1或m= +号)(1-)(1+)=合x号×号×音×是× ·24·同行学案学练测 ×…x腮×180-8删 12.(1)6xy2(x+2y)(x-2y) (2)(x+y)2(x-y)2 第2课时用完全平方公式进行因式分解 13.B 1.(1)D(2)C(3)49 14.A[解析]x2-49=(x+7)(x-7),x2-9x十14=(x 2.D3.(1)A(2)BD 一2)(x一7)，乙为x一7，甲为x十7，丙为x一2，.甲与 4.(1)(3x-1)2(2)(x十y十2) 丙相加的结果是x十7十x一2=2x+5. 5.(a+b)2 15.(1)3(x+y)(x-y) 6.(1)(3x-y)2(2)-(a+b)2(a-b)2 (2)(x十3)2(x-3)2 7.()-2a-2:2y-1y33(2z-1D (3)(3x+y)2(3x-y) 16.B[解析]x2-xy-xz十yz=23,.x(x-y)-z(x一 8.(1)-2x(x-6)2(2)2025(x-1)2 y)=23,.(x-y)(x-z)=23.x,y,之是正整数，x> 9.B 10.解：1022+102×196+982=1022+2×102×98+982= yx-y>0-y1或任-y=23.: 1x-z=231 --1x-z=1 (102+98)2=2002=40000. 或23. 11.-12 17.解：：P=x2-3xy,Q=3xy-9y2,P=Q,∴.x2-3xy= 12.10[解析]方法1：a2-b2+2b十9=(a十b)(a-b)+2b 3xy-9y2,x2-6xy+9y2=0,即(x-3y)2=0,.x= +9.,a+b=1,.原式=a-b+2b+9=a十b+9=10. 方法2：a2-b2+2b+9=a2-(b2-2b+1)+10=a2-(b 3y,=3. y -1)2+10=(a-b+1)(a+b-1)+10..a+b=1,.原 18.解：原式= 222×(222-1)222×221222×221 式=10. 2222-2X222×1+1(222-1)2 2212 13.解：原式=[(m2+2m)+1]=(m2+2m+1)2=(m+1). 222 221 14.515.9 16.24[解析]a2+b2+c2+200=12a十166+20c,∴.a2 19.解：(1)(a-7)(a-5)(2)-5 (3)a2+2b2+c2- 12a+36+b2-16b+64+c2-20c+100=0,∴.(a-6)2+ 2ab+4b-6c+13=0,.(a2-2ab+b2)+(b2+4b+4)+ (b-8)2+(c-10)2=0,.a-6=0,b-8=0,c-10=0, (c2-6c+9)=0,即(a-b)2+(b+2)2+(c-3)2=0. ∴a=6,b=8,c=10,∴.两直角边长分别为6,8，则△ABC (a-b)2≥0，(6+2)2≥0，(c-3)2≥0，.a-b=0,b+2 的面积为24. =0,c-3=0,解得a=b=-2,c=3,∴.a十b十c=-2-2 17.6[解析].a+b=5,∴.a=5-b,∴c2=(5-b)·b+b +3=-1. -9,c2+b2-6b+9=0,.c2+(6-3)2=0,.c=0,b 培优专题16：因式分解的常用方法与拓展 -3=0,.b=3,.a=2,.ab-c=2X3-0=6. 1.B2.2m(x-3y) 18.6 3.-4m2n(m2-4m+7) 19.解：(1)a2-8a+12=(a2-8a+16)-16+12=(a2-8a 4.(b-c)(a-1) +16)-4=(a-4)2-22=(a-6)(a-2).(2)x2-6x 5.5(2a-b)2(3b+5) +11=(x2-6x+9)-9+11=(x-3)2+2≥2，-x2+ 6.(1)(x+7y)2 6x-10=(-x2+6x-9)+9-10=-(x-3)2-1≤-1， (2)-(8x-9)(2x-21) .x2-6x+11>-x2+6.x-10.(3)-1 7.(1)b(a+3)(a-3) 第3课时选用合适的方法进行因式分解 (2)x(x-3)2 1.C2.C3.D4.D (3)-(3x-4)2 5.(1)(a+b+8)(a+b-8)(2)(2x+3y)2 (4)(x-y)(a+2)(a-2) (3)a(a+b)(a-b)(4)y(x+1)(x-1) 8.(x-3)4 6.(1)y(x+4y)(x-4y)(2)xy(2x-y)2 9.(1)(x+2)2(2)-(2x-y)2 7.B 10.(x+3)(2x+1) 8.D[解析]a2-9b2+2a-6b=(a2-9b2)+(2a-6b)=(a 11.解：【公式推导】a3+b3=a3十a2b-ab十b3=a2(a十b) +3b)(a-3b)+2(a-3b)=(a-3b)(a+3b+2). -b(a2-b2)=a2(a+b)-b(a+b)(a-b)=(a+b)[a2 9.(1)(ab-1)(a+b)(2)(y-2)(xy+2) -b(a-b)]=(a+b)(a2-ab+b2). 10.D 【公式应用】(1)(x-3)(x2+3x+9) 11.(1)(4x2+1)(2x+1)(2x-1) (2)(a+b)2(a-b)2 2(2w+号)(y2-号w+需》第11章 因式分解 11.1 因式分解 即基础闯关 >>>>>>>难度等级基础题 6.(x十3)(2x-1)是多项式 知识点一：因式分解的定义 因式分解的结果 1.对于等式12xy2=3xy·4y,有下列两种说 7.已知(15x2-7x-2)÷(3x-2)=5.x十1，则 法，则( ) 15x2-7x一2可因式分解为 ①从左到右是因式分解； 知识点三：利用因式分解与整式乘法的互逆关系 ②从右到左是整式乘法， 求值 A.①②均正确 B.①正确，②错误 8.若多项式x2十kx一6分解因式为(x一 C.①错误，②正确 D.①②均错误 2)(x+3),则k的值是 思辨学习 2.(济宁中考)下面各式从左到右的变形，属于 因式分解的是( ) 9.若多项式x2一8x十m分解因式得(x一10)(x A.x2-x-1=x(x-1)-1 十n),则m十n的值为 B.x2-1=(x-1)2 10.甲、乙两个同学分解因式x2+ax十b时，甲 C.x2-x-6=(x-3)(x+2) 看错了b,分解结果为(x十2)(x十4)；乙看 D.x(x-1)=x2-x 错了a,分解结果为(x十1)(x十9)，则a十b 3.小明把一个多项式分解因式时，得到的正确 的值为 结果是三个不同整式的积，其中有两个分别 是m和a一b,则第三个可能是() 即能力提升 >>>>>>》>难度等级中等题 A.m(a-b)B.a-b C.m D.a+6 素养提升微专题 4.下列各式从左到右是因式分解的是 (填序号) 【几何直观一因式分解与图形拼组】 ①(x+3)(x-3)=x2-9; 11.如图，用一张边长为m的正方形纸片和一张 ②x2+2x+2=(x+1)2+1; 宽为3的长方形纸片剪拼出边长为m十3的 ③x2-x-12=(x+3)(x-4); 正方形纸片，由此可得出的关系式为( ④x2+3xy+2y2=(x+2y)(x+y); ⑤m+品+2=(m+, m m+3 6a3-63=(a-b)(a2+ab+62). m m+3 知识点二：因式分解与整式乘法的互逆关系 A.m2+3(m+3)=(m+3)2 5.(3a一y)(3a十y)是下列多项式( )因式 B.m2+3(m+6)=(m+3)2 分解的结果 C.m2+3(2m+3)=(m+3)2 A.9a2+y2 B.-9a2+y2 D.m2+3(2m+6)=(m+3)2 C.9a2-y2 D.-9a2-y2 做神龙题得好成绩111 ☑同行学案学练测七年级数学下QD 12.如图所示，利用1个边长为a的正方形、1个 即培优创新 >>>》》>>>>》>>》难度等级综合题 边长为b的正方形和2个长为a、宽为b的 素养提升微专题 长方形可以拼成一个大正方形，从而可以写 出一个多项式的因式分解为 【确定未知系数的两种方法】 15.[一题多辨·代数推理]阅读下列各材料并 解决问题. (1)[方法1：特殊值法]已知x3十5x2+7x十 13.将几个图形拼成一个新的图形，再通过两种 k因式分解后有一个因式为x十2，求 不同的方法计算同一个图形的面积，可以得 的值. 到一个等式，例如，由图①可得等式：x2十(p 解：.x3十5x2+7x十k因式分解后有一个 +q)x+g=(x十p)(x十q).将图②所示 因式为x十2， 的卡片若干张进行拼图，可以将二次三项式 .把x=-2代入x3+5x2+7x十k=0, a2+3ab+2b2分解因式为 得一8十20一14+k=0,解得k=2. (请在虚线框内画出拼组的示意图) 请你仿照上面的做法解答下面的题目：如果 2 多项式6x2一kx一2因式分解后有一个因式 为3x一2，求的值 (2)[方法2：系数对应法]已知二次三项式 qx pq 2x2十x十a因式分解后有一个因式是x十 ① 2,求另一个因式以及a的值， 解：设另一个因式是2x十b, 根据题意得2x2十x十a=(x十2)(2x十b), 展开得2x2+x十a=2x2+(b+4)x+2b, :6+4=1 la =2b 解得一6 b=-3 14.如图所示的练习本上书写的是一个正确的 .另一个因式是2x一3，a的值是-6. 因式分解，但其中部分一次式被墨水污染看 请你仿照以上做法解答下面的题目：已知二 次三项式3x2+10x+m因式分解后有一个 不清了. 因式是x十4，求另一个因式以及m的值， (1)求被墨水污染的一次式 (2)若被墨水污染的一次式的值等于2，求x 的值。 2x2+3x-6+ =x-2)2x+5) 112做神龙题得好成绩