专题2.1二元一次方程八大题型（一课一讲）2025-2026学年浙教版七年级下册数学同步讲练

专题2.1二元一次方程八大题型（一课一讲） （内容:二元一次方程的定义和解） 【浙教版】 题型一：判定是否为二元一次方程 【经典例题1】（24-25八年级上·福建三明·期末）下列方程中，属于二元一次方程的是（   ） A． B． C． D． 【变式训练1-1】（24-25八年级上·四川达州·期末）下列方程：①；②；③；④；⑤，是二元一次方程的是（   ） A．①⑤ B．①② C．①④ D．①②④ 【变式训练1-2】（23-24七年级下·湖南益阳·期中）观察下列方程：，，，，，其中二元一次方程有（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 【变式训练1-3】（24-25七年级下·吉林长春·期末）下列算式中，是二元一次方程的是（   ） A． B． C． D． 【变式训练1-4】（24-25七年级下·辽宁沈阳·期中）下列是二元一次方程的是（   ） A． B． C． D． 【变式训练1-5】（24-25七年级下·四川成都·阶段练习）下列方程：①；②；③；④；⑤ 中是二元一次方程的是 （只填序号）． 题型二：根据二元一次方程的定义求参数的值 【经典例题2】（23-24七年级下·四川达州·阶段练习）若是关于x，y的二元一次方程，则（   ） A．， B．， C．， D．， 【变式训练2-1】（24-25七年级下·陕西西安·阶段练习）已知方程是关于x，y的二元一次方程，则 ． 【变式训练2-2】（24-25七年级下·上海虹口·期中）如果方程是关于，的二元一次方程，则 ， ． 【变式训练2-3】（23-24七年级下·贵州铜仁·期中）已知关于，的二元一次方程，则 ． 【变式训练2-4】（23-24七年级下·四川内江·阶段练习）方程是关于，的二元一次方程，则的值为 ． 【变式训练2-5】（23-24七年级下·河南周口·期末）已知方程，当 时该方程是一元一次方程；当 时该方程是二元一次方程． 【变式训练2-6】（2024七年级下·全国·专题练习）已知方程是关于x，y的二元一次方程． (1)求m，n的值； (2)当时，求y的值． 题型三：根据条件写二元一次方程 【经典例题3】（24-25七年级下·全国·随堂练习）写一个关于x，y的二元一次方程组 ． 【变式训练3-1】（23-24七年级下·山东烟台·期末）请写出一个关于，的二元一次方程，使其满足的系数是大于的整数，的系数是小于的整数，且，是这个二元一次方程的解．这个方程可以是 ． 【变式训练3-2】（23-24七年级下·北京通州·期中）写出一个解为的二元一次方程 ． 【变式训练3-3】（23-24七年级下·山西太原·阶段练习）某一个二元一次方程的一个解是，请写出一个符合条件的二元一次方程： ． 【变式训练3-4】（24-25七年级下·河北邯郸·期末）请写出一个以为解的二元一次方程： ． 题型四：用一个变量表示另一个变量 【经典例题4】（23-24七年级下·福建泉州·期末）已知方程，用含y的代数式表示x，那么 ． 【变式训练4-1】（23-24七年级下·甘肃金昌·期中）已知方程，若用含x的代数式表示y，则有y= ，若用含y的代数式表示x，则x= ． 【变式训练4-2】（23-24七年级下·湖南湘西·阶段练习）如果，那么用含y的代数式表示x，则 ． 【变式训练4-3】（23-24七年级下·河北保定·阶段练习）把方程化为用含的代数式来表示， ． 【变式训练4-4】（23-24七年级下·广西南宁·阶段练习）把方程改写成用含有x的式子表示y的形式： ． 【变式训练4-5】（23-24七年级下·福建福州·期末）把二元一次方程改写成用含的式子表示的形式 ． 题型五：利用二元一次方程的解求字母的值 【经典例题5】（24-25七年级下·江西抚州·期末）若是关于x、y的方程的一个解，则m的值是（   ） A．4 B． C．8 D． 【变式训练5-1】（24-25七年级下·陕西榆林·期中）若是关于x，y的方程的一个解，则a的值为（   ） A．1 B．5 C． D． 【变式训练5-2】（24-25七年级下·甘肃兰州·期末）已知是方程的一个解，那么的值是（   ） A． B． C． D． 【变式训练5-3】（24-25七年级下·陕西西安·期中）如果表中给出的每一对，的值都是二元一次方程的解，则表中的值为（    ） 0 1 2 5 3 1 A． B． C．0 D．7 【变式训练5-4】（23-24七年级下·全国·单元测试）在二元一次方程中，若互为相反数，则 ， 题型六：利用二元一次方程的解求代数式的值 【经典例题6】（23-24七年级下·四川成都·开学考试）已知x，y都是自然数，如果那么（    ）． A．3 B．24 C．13 【变式训练6-1】（23-24七年级下·山东菏泽·期末）若是方程的解，则代数式的值为（    ） A．4 B．9 C．16 D．25 【变式训练6-2】（23-24七年级下·浙江杭州·期末）若是关于x、y的方程和的公共解，则 ． 【变式训练6-3】（24-25七年级下·全国·单元测试）已知是方程的解，则代数式的值为 ． 【变式训练6-4】（24-25七年级下·全国·随堂练习）已知是方程的解，求的值． 【变式训练6-5】（24-25七年级下·全国·单元测试）已知关于、的方程与方程有一组相同的解求的值． 【变式训练6-6】（23-24七年级上·安徽·单元测试）已知和是方程的两个解，求的值． 题型七：二元一次方程中整数解问题 【经典例题7】（24-25七年级下·黑龙江大庆·期中）二元一次方程的正整数解有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【变式训练7-1】（23-24七年级下·浙江·期末）方程的正整数的组数是（   ） A． B． C． D． 【变式训练7-2】（23-24七年级下·全国·单元测试）二元一次方程的正整数解的个数是（   ） A．个 B．个 C．个 D．个 【变式训练7-3】（24-25七年级上·湖南娄底·期末）二元一次方程有 个非负整数解． 【变式训练7-4】（24-25七年级下·重庆长寿·阶段练习）二元一次方程的正整数解为 ． 【变式训练7-5】（2025七年级下·全国·专题练习）求方程的正整数解． 题型八：二元一次方程中定义新运算 【经典例题8】（24-25七年级下·全国·单元测试）定义运算：，例如：，所以方程的解的情况是（  ） A．有且只有一组解 B．有无数组解 C．无解 D．有且只有两组解 【变式训练8-1】（23-24七年级下·云南昆明·期末）定义运算，下面给出了关于这种运算的几个结论： ①；②是无理数；③方程不是二元一次方程；其中正确的是（    ） A．①② B．②③ C．③ D．①③ 【变式训练8-2】（23-24七年级上·江苏淮安·期中）定义：若，则称x与y是关于m的好数． (1)若5与a是关于2的好数，则_____； (2)若，，判断b与c是否是关于3的好数，并说明理由： (3)若，，且e与d是关于3的好数，若x为正整数，求非负整数k的值． 【变式训练8-3】（23-24七年级下·全国·课后作业）定义：若有序数对满足二元一次方程（a，b为不等于0的常数），则称为二元一次方程的数对解．例如：有序数对满足，则称为的数对解． (1)下列有序数对是二元一次方程的数对解的是__________．（填序号） ①，②，③． (2)若有序数对为方程的一个数对解，且p，q为正整数，求p，q的值． 【变式训练8-4】（23-24七年级下·重庆万州·期中）定义：对于三位自然数，各位数字都不为，且它的百位数字的倍与十位数字和个位数字之和恰好能被整除，则称这个自然数为“博雅数”．例如：是“博雅数”，因为，，都不为，且，能被整除；不是“博雅数”，因为，不能被整除． (1)判断，是否是“博雅数”？并说明理由； (2)求出百位数字比十位数字大的所有“博雅数”，并说明理由． 【变式训练8-5】（23-24七年级上·重庆·期中）定义：对任意一个两位数，如果满足个位数字与十位数字互不相同，且都不为零，那么称这个两位数为“互异数”．将一个“互异数”的个位数字与十位数字对调后得到一个新的两位数，把这个新两位数与原两位数的和与11的商记为．例如：，对调个位数字与十位数字得到新两位数21，新两位数与原两位数的和为，和与11的商为，所以． 根据以上定义，回答下列问题∶ (1)下列两位数30，52，77中，“互异数”为 ；________． (2)若“互异数”满足，求所有“互异数”． 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题2.1二元一次方程八大题型（一课一讲） （内容:二元一次方程的定义和解） 【浙教版】 题型一：判定是否为二元一次方程 【经典例题1】（24-25八年级上·福建三明·期末）下列方程中，属于二元一次方程的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：A．，属于二次项，所以不是一次方程，故此选项错误； B．，属于三元一次方程，故此选项错误； C．，属于二元二次方程，故此选项错误； D．，属于二元一次方程，故选项正确． 故选：D． 【变式训练1-1】（24-25八年级上·四川达州·期末）下列方程：①；②；③；④；⑤，是二元一次方程的是（   ） A．①⑤ B．①② C．①④ D．①②④ 【答案】A 【详解】解：下列方程：①；②；③；④；⑤，是二元一次方程的是①；⑤， 故选：． 【变式训练1-2】（23-24七年级下·湖南益阳·期中）观察下列方程：，，，，，其中二元一次方程有（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【详解】解： ，未知数次数为2，不是二元一次方程， 是二元一次方程， ，未知数次数为2，不是二元一次方程， ，一个未知数，不是二元一次方程， 是二元一次方程， 其中二元一次方程有2个， 故选：B． 【变式训练1-3】（24-25七年级下·吉林长春·期末）下列算式中，是二元一次方程的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：A、是二元一次方程，符合题意； B、是分式方程，不符合题意； C、，整理得：， 不是二元一次方程，不符合题意； D、是一元二次方程，不符合题意； 故选：A． 【变式训练1-4】（24-25七年级下·辽宁沈阳·期中）下列是二元一次方程的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：A、，是二元一次方程，符合题意； B、，含有2次项，不是二元一次方程，不符合题意； C、，不是整式方程，不是二元一次方程，不符合题意； D、，含有2次项，不是二元一次方程，不符合题意； 故选A． 【变式训练1-5】（24-25七年级下·四川成都·阶段练习）下列方程：①；②；③；④；⑤ 中是二元一次方程的是 （只填序号）． 【答案】⑤ 【详解】解：①，不是方程； ②，仅含有一个未知数，不是二元一次方程； ③整理得：，不是二元一次方程； ④中含有未知数的项的最高次数是2，不是二元一次方程； ⑤整理得：，是二元一次方程； 综上，是二元一次方程的有：⑤， 故答案为：⑤． 题型二：根据二元一次方程的定义求参数的值 【经典例题2】（23-24七年级下·四川达州·阶段练习）若是关于x，y的二元一次方程，则（   ） A．， B．， C．， D．， 【答案】C 【详解】解：是关于x，y的二元一次方程， 解得：， 故选：C 【变式训练2-1】（24-25七年级下·陕西西安·阶段练习）已知方程是关于x，y的二元一次方程，则 ． 【答案】1 【详解】解∶ ∵方程是关于x，y的二元一次方程， ∴且， 解得， 故答案为∶1． 【变式训练2-2】（24-25七年级下·上海虹口·期中）如果方程是关于，的二元一次方程，则 ， ． 【答案】 【详解】解：∵方程是关于，的二元一次方程， ∴，， ∴，． 故答案为：；． 【变式训练2-3】（23-24七年级下·贵州铜仁·期中）已知关于，的二元一次方程，则 ． 【答案】2 【详解】解：∵是二元一次方程， ∴， 解得，， ∴， ∴， 故答案为： ． 【变式训练2-4】（23-24七年级下·四川内江·阶段练习）方程是关于，的二元一次方程，则的值为 ． 【答案】3 【详解】解：∵方程是关于x、y的二元一次方程， ∴， 解得：． 故答案为：3． 【变式训练2-5】（23-24七年级下·河南周口·期末）已知方程，当 时该方程是一元一次方程；当 时该方程是二元一次方程． 【答案】 1 【详解】解：当，即或时， 当时，原方程为，该方程是一元一次方程； 当时，方程为，该方程为二元一次方程， 故答案为：；1 【变式训练2-6】（2024七年级下·全国·专题练习）已知方程是关于x，y的二元一次方程． (1)求m，n的值； (2)当时，求y的值． 【答案】(1)(2) 【详解】（1）解：∵方程是关于x，y的二元一次方程， ∴， ． （2）解：由（1）知，， ∴原方程可化为． 当时，， 解得． 题型三：根据条件写二元一次方程 【经典例题3】（24-25七年级下·全国·随堂练习）写一个关于x，y的二元一次方程组 ． 【答案】（答案不唯一） 【详解】解：关于x，y的二元一次方程组可以为：， 故答案为：（答案不唯一）． 【变式训练3-1】（23-24七年级下·山东烟台·期末）请写出一个关于，的二元一次方程，使其满足的系数是大于的整数，的系数是小于的整数，且，是这个二元一次方程的解．这个方程可以是 ． 【答案】（答案不唯一） 【详解】解：由题意得，的系数是大于的整数，的系数是小于的整数， ∴满足题意， ∵，是这个二元一次方程的解， ∴当时，， 解得：， ∴符合题意． 故答案为：（答案不唯一）． 【变式训练3-2】（23-24七年级下·北京通州·期中）写出一个解为的二元一次方程 ． 【答案】（答案不唯一） 【详解】解：∵， ∴该方程可以为， 故答案为：．（答案不唯一） 【变式训练3-3】（23-24七年级下·山西太原·阶段练习）某一个二元一次方程的一个解是，请写出一个符合条件的二元一次方程： ． 【答案】（答案不唯一） 【详解】按照二元一次方程满足的条件写出：（答案不唯一）； 故答案为：（答案不唯一）． 【变式训练3-4】（24-25七年级下·河北邯郸·期末）请写出一个以为解的二元一次方程： ． 【答案】（答案不唯一） 【详解】∵本题答案不唯一，只要写出的二元一次方程的解为即可 ∴令，，得 ∴把代入方程 解出 ∴ 故答案是：． 题型四：用一个变量表示另一个变量 【经典例题4】（23-24七年级下·福建泉州·期末）已知方程，用含y的代数式表示x，那么 ． 【答案】 【详解】解：∵方程， ∴整理得：， 解得：． 故答案为：． 【变式训练4-1】（23-24七年级下·甘肃金昌·期中）已知方程，若用含x的代数式表示y，则有y= ，若用含y的代数式表示x，则x= ． 【答案】 【详解】解： ； ； 故答案为：；． 【变式训练4-2】（23-24七年级下·湖南湘西·阶段练习）如果，那么用含y的代数式表示x，则 ． 【答案】 【详解】解：由题意可得，， 故答案为：． 【变式训练4-3】（23-24七年级下·河北保定·阶段练习）把方程化为用含的代数式来表示， ． 【答案】 【详解】解：∵， ∴， ∴， 故答案为：． 【变式训练4-4】（23-24七年级下·广西南宁·阶段练习）把方程改写成用含有x的式子表示y的形式： ． 【答案】 【详解】解：∵， ∴， ∴． 故答案为：． 【变式训练4-5】（23-24七年级下·福建福州·期末）把二元一次方程改写成用含的式子表示的形式 ． 【答案】 【详解】解：方程， 解得：． 故答案为． 题型五：利用二元一次方程的解求字母的值 【经典例题5】（24-25七年级下·江西抚州·期末）若是关于x、y的方程的一个解，则m的值是（   ） A．4 B． C．8 D． 【答案】A 【详解】解：∵是关于x、y的方程的一个解， ∴把代入， 得， 解得， 故选：A． 【变式训练5-1】（24-25七年级下·陕西榆林·期中）若是关于x，y的方程的一个解，则a的值为（   ） A．1 B．5 C． D． 【答案】C 【详解】解：∵是关于x，y的方程的一个解， ∴， 解得：， 故选：C． 【变式训练5-2】（24-25七年级下·甘肃兰州·期末）已知是方程的一个解，那么的值是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：是方程的一个解， ， 解得：， 故选：A． 【变式训练5-3】（24-25七年级下·陕西西安·期中）如果表中给出的每一对，的值都是二元一次方程的解，则表中的值为（    ） 0 1 2 5 3 1 A． B． C．0 D．7 【答案】A 【详解】解：把代入，得， ∴， 则， 把代入，得， ∴， ∴二元一次方程为：， 把代入，得， ∴， ∴． 故选：A． 【变式训练5-4】（23-24七年级下·全国·单元测试）在二元一次方程中，若互为相反数，则 ， 【答案】 【详解】解：∵互为相反数， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 故答案为：2；． 题型六：利用二元一次方程的解求代数式的值 【经典例题6】（23-24七年级下·四川成都·开学考试）已知x，y都是自然数，如果那么（    ）． A．3 B．24 C．13 【答案】A 【详解】解：， 因为， 所以， 因为x，y都是自然数， 所以，， 所以． 故答案为：A 【变式训练6-1】（23-24七年级下·山东菏泽·期末）若是方程的解，则代数式的值为（    ） A．4 B．9 C．16 D．25 【答案】C 【详解】解：是二元一次方程的解， ， ， ． 故选：C 【变式训练6-2】（23-24七年级下·浙江杭州·期末）若是关于x、y的方程和的公共解，则 ． 【答案】7 【详解】解：把分别代入方程和得：，， 解得：， 则． 故答案为：7． 【变式训练6-3】（24-25七年级下·全国·单元测试）已知是方程的解，则代数式的值为 ． 【答案】 【详解】解：∵是方程的解， ， ， 故答案为：． 【变式训练6-4】（24-25七年级下·全国·随堂练习）已知是方程的解，求的值． 【答案】 【详解】解：把代入方程， 得， ． 【变式训练6-5】（24-25七年级下·全国·单元测试）已知关于、的方程与方程有一组相同的解求的值． 【答案】5 【详解】解：把代入方程， 得， 解得． 把代入方程， 得， 解得， ． 【变式训练6-6】（23-24七年级上·安徽·单元测试）已知和是方程的两个解，求的值． 【答案】3 【详解】解：当时，得到，解得； 当时，得到，则，解得； ． 题型七：二元一次方程中整数解问题 【经典例题7】（24-25七年级下·黑龙江大庆·期中）二元一次方程的正整数解有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【详解】解：方程， 解得：， 当时，；时，；时，， 则方程的正整数解有3个． 故选：C． 【变式训练7-1】（23-24七年级下·浙江·期末）方程的正整数的组数是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：去分母得：， ， 又与是正整数，两整数之积为， 存在三种情况； ①， 解得：， 不合题意舍去； ②， 解得：， 不合题意舍去； ③， 解得：， 不合题意舍去； 故符合题意的方程的解为组； 故选：A 【变式训练7-2】（23-24七年级下·全国·单元测试）二元一次方程的正整数解的个数是（   ） A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】B 【详解】解：∵， ∴， ∵x、y都是正整数， ∴一定是3的倍数， ∴当时，满足题意， 当时，满足题意； ∴二元一次方程的正整数解的个数是2个， 故选：B． 【变式训练7-3】（24-25七年级上·湖南娄底·期末）二元一次方程有 个非负整数解． 【答案】4 【详解】解：∵ ∴， ∵方程的解为非负整数， ∴， ∴有4组非负整数解． 故答案为：4． 【变式训练7-4】（24-25七年级下·重庆长寿·阶段练习）二元一次方程的正整数解为 ． 【答案】， 【分析】本题考查二元一次方程的解，先变形为，然后求出二元一次方程的正整数解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵都是正整数， ∴，， 故答案为：，． 【变式训练7-5】（2025七年级下·全国·专题练习）求方程的正整数解． 【答案】或或 【详解】解：由原方程，得． 因为x，y为正整数， 所以原方程的正整数解是或或． 题型八：二元一次方程中定义新运算 【经典例题8】（24-25七年级下·全国·单元测试）定义运算：，例如：，所以方程的解的情况是（  ） A．有且只有一组解 B．有无数组解 C．无解 D．有且只有两组解 【答案】B 【详解】解：根据题意得：， ∴有无数组可以满足， 故选：B． 【变式训练8-1】（23-24七年级下·云南昆明·期末）定义运算，下面给出了关于这种运算的几个结论： ①；②是无理数；③方程不是二元一次方程；其中正确的是（    ） A．①② B．②③ C．③ D．①③ 【答案】D 【详解】∵， ∴， 故①正确； ，是有理数， 故②错误； 不是二元一次方程， 故③正确； 故选D． 【变式训练8-2】（23-24七年级上·江苏淮安·期中）定义：若，则称x与y是关于m的好数． (1)若5与a是关于2的好数，则_____； (2)若，，判断b与c是否是关于3的好数，并说明理由： (3)若，，且e与d是关于3的好数，若x为正整数，求非负整数k的值． 【答案】(1) (2)b与c是关于3的好数； (3)k的值为0或1或3或7． 【详解】（1）解：根据题意得， 解得， 故答案为：； （2）解： ， ∴b与c是关于3的好数； （3）解：∵e与d是关于3的好数， ∴， ∴， ∴， ∵x为正整数，k是非负整数， ∴或或或， ∴k的值为0或1或3或7． 【变式训练8-3】（23-24七年级下·全国·课后作业）定义：若有序数对满足二元一次方程（a，b为不等于0的常数），则称为二元一次方程的数对解．例如：有序数对满足，则称为的数对解． (1)下列有序数对是二元一次方程的数对解的是__________．（填序号） ①，②，③． (2)若有序数对为方程的一个数对解，且p，q为正整数，求p，q的值． 【答案】(1)②③ (2)或 【详解】（1）②③ （2）∵有序数对为方程的一个数对解， ∴．整理，得． ∵p，q为正整数，∴或． 【变式训练8-4】（23-24七年级下·重庆万州·期中）定义：对于三位自然数，各位数字都不为，且它的百位数字的倍与十位数字和个位数字之和恰好能被整除，则称这个自然数为“博雅数”．例如：是“博雅数”，因为，，都不为，且，能被整除；不是“博雅数”，因为，不能被整除． (1)判断，是否是“博雅数”？并说明理由； (2)求出百位数字比十位数字大的所有“博雅数”，并说明理由． 【答案】(1)是“博雅数”，不是“博雅数”；理由见解析 (2)这样的“博雅数”共有个，它们分别是，，；理由见解析 【详解】（1）解：是“博雅数”，不是“博雅数”， ∵，能被整除， ∴是“博雅数”； ∵，不能被整除， ∴不是“博雅数”． （2）由题意可设这样的“博雅数”为：，则， ∴， 由“博雅数”的定义可知：能被整除， ∴为整数， 又∵，且，为整数， ∴或或， 综上，这样的“博雅数”共有个，它们分别是，，． 【变式训练8-5】（23-24七年级上·重庆·期中）定义：对任意一个两位数，如果满足个位数字与十位数字互不相同，且都不为零，那么称这个两位数为“互异数”．将一个“互异数”的个位数字与十位数字对调后得到一个新的两位数，把这个新两位数与原两位数的和与11的商记为．例如：，对调个位数字与十位数字得到新两位数21，新两位数与原两位数的和为，和与11的商为，所以． 根据以上定义，回答下列问题∶ (1)下列两位数30，52，77中，“互异数”为 ；________． (2)若“互异数”满足，求所有“互异数”． 【答案】(1)52，6 (2)14或23或32或41 【详解】（1）解：由“互异数”的定义得，两位数30，52，77中，“互异数”为52， ， 故答案为：52，6； （2）解：设“互异数”b的个位数字为x，十位数字为y， 则， 整理得：， ∴或或或， ∴所有“互异数”b的值为14或23或32或41． 学科网（北京）股份有限公司 $