7.3定义、命题、定理 课时分层训练2025-2026学年七年级数学下册（人教版）

7.3定义、命题、定理 本节核心知识点 一、定义 对概念的特征性质进行精准描述的语句，是数学推理的基础。 示例：连接两点的线段的长度，叫做这两点间的距离；有一个角是直角的三角形，叫做直角三角形。 二、命题 1. 命题概念 判断一件事情的陈述句叫做命题；疑问句、祈使句、感叹句均不是命题。 示例：“对顶角相等”是命题，“画一条线段AB”不是命题。 2. 命题结构 命题由题设（已知条件）和结论（推出结果）两部分组成，常写成“如果……那么……”的形式。 格式：如果+题设，那么+结论。 示例：如果两条直线平行，那么同位角相等（题设：两条直线平行；结论：同位角相等）。 3. 命题分类 · 真命题：题设成立时，结论一定成立的命题（正确命题）。 · 假命题：题设成立时，结论不一定成立的命题（错误命题）；判断假命题只需举一个反例。 示例：“相等的角是对顶角”是假命题（反例：两直线平行，同位角相等，但不是对顶角）。 三、定理与证明 · 定理：经过推理证实的真命题，可作为后续推理的依据。 示例：两直线平行，内错角相等；对顶角相等。 · 证明：判断一个命题正确性的推理过程，证明需步步有据，依据可以是定义、基本事实、定理。 · 基本事实：无需证明、公认正确的真命题（如：两点确定一条直线）。 知识分点练 夯基础 知识点1 定义与命题 1．在下列句子中，是定义的是（   ） A．过一点画已知直线的垂线 B．有一个角是直角的三角形叫作直角三角形 C．作一个角等于已知角 D．a，b两条直线平行吗 【答案】B 【分析】本题主要考查了定义的概念；定义是描述一个术语或概念的本质特征的陈述．选项B明确给出了直角三角形的定义，符合要求． 【详解】解：∵定义是明确概念含义的陈述，选项B中有一个角是直角的三角形叫做直角三角形符合定义的特征； ∴选项B是定义． 其他选项A、C为操作指令，选项D为疑问句，均不是定义． 故选：B． 2．下列句子中，是命题的是（   ） A．正数大于一切负数吗？ B．两个锐角的和大于直角 C．作一条直线和已知直线垂直 D．在线段上任取一点 【答案】B 【分析】本题考查命题的定义，掌握命题是可以判断真假的陈述句是解题的关键． 根据命题的定义逐项判断即可． 【详解】解：A．是疑问句，不是陈述句，不属于命题，不符合题意； B．是可以判断真假的陈述句，属于命题，符合题意； C．是祈使句，无真假可判断，不属于命题，不符合题意； D．是祈使句，无真假可判断，不属于命题，不符合题意； 故选：B． 3．下列命题：①两点之间，线段最短；②两条直线被第三条直线所截，如果同位角相等，那么这两条直线平行；③若，则；④若，，则．其中真命题有（    ）个． A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】本题考查了判断命题真假，逐一判断命题真假：①为公理，是真命题；②为平行线判定定理，是真命题；③存在反例，是假命题；④存在反例，，，是假命题.，故真命题共2个，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】解：①两点之间线段最短，是真命题； ②两条直线被第三条直线所截，同位角相等则两直线平行，是真命题； ③取，则但，故是假命题； ④取，，，则且但，故是假命题； 故真命题有2个， 故选：B． 4．“同位角相等，两直线平行”的题设为___________，结论为___________． 【答案】 同位角相等 两直线平行 【分析】本题考查了命题，熟练掌握命题的结构特点是解题的关键． 由命题的题设和结论的定义进行解答． 【详解】解：命题“同位角相等，两直线平行” 所以“同位角相等”是命题的题设部分，“两直线平行”是命题的结论部分； 故答案为：同位角相等；两直线平行． 5．将下列命题改写成“如果……，那么……”的形式： (1)内错角相等，两直线平行； (2)直角三角形两个锐角互余； (3)同角的余角相等． 【答案】(1)如果内错角相等，那么两直线平行 (2)如果一个三角形是直角三角形，那么它的两个锐角互余 (3)如果两个角是同一个角的余角，那么这两个角相等 【分析】本题主要考查命题，掌握改写命题的方法是关键， 先确定命题的题设和结论，根据命题改写的方法，即可求解（1），（2），（3），（4）． 【详解】（1）解：∵命题：内错角相等，两直线平行， ∴题设是内错角相等，结论是两直线平行， 则改写成“如果……，那么……”的形式：如果内错角相等，那么两直线平行； （2）解：∵命题：直角三角形两个锐角互余， ∴题设是直角三角形，结论是两个锐角互余， 如果一个三角形是直角三角形，那么它的两个锐角互余； （3）解：∵命题：同角的余角相等 ∴题设：两个角是同一个角的余角，结论是两个角相等， 如果两个角是同一个角的余角，那么这两个角相等 知识点2 定理 6．下面关于基本事实和定理的说法不正确的是（  ） A．基本事实和定理都是真命题 B．基本事实就是定理，定理就是基本事实 C．基本事实和定理都可以作为推理论证的依据 D．基本事实的正确性需要经过实践检验，定理的正确性需要经过演绎推理 【答案】B 【分析】本题考查基本事实与定理的概念辨析，关键是明确两者的定义与区别：基本事实是经过长期实践检验、公认为正确的真命题，无需证明；定理是经过演绎推理证明为正确的真命题，二者都可作为推理论证的依据． 【详解】解：A选项：基本事实是公认的真命题，定理是经过严格演绎推理证明的真命题，因此两者都是真命题，该选项说法正确； B选项：基本事实是无需证明的公认的真命题，定理是需要经过演绎推理证明的真命题，二者概念不同，该选项说法错误； C选项：在数学推理论证过程中，基本事实和已被证明的定理都可以作为推理的依据，该选项说法正确； D选项：基本事实的正确性是通过长期的实践检验得以确认的，定理的正确性是通过演绎推理的方式证明得到的，该选项说法正确． 故选：B． 7．下列语句中，属于定理的是（    ） A．在直线AB上取一点E B．如果两个角相等，那么这两个角是对顶角 C．内错角相等 D．同角的补角相等 【答案】D 【分析】本题考查定理的判断，掌握定理、命题的定义是关键． 根据定理的概念，逐一进行判定即可． 【详解】解：A、在直线AB上取一点E，不是命题，故不是定理，不符合题意； B、如果两个角相等，那么这两个角是对顶角，原命题是假命题，故不是定理，不符合题意； C、选项中“内错角相等”缺少“两直线平行”的前提条件，是假命题，故不是定理，不符合题意； D、同角的补角相等，是定理，符合题意． 故选：D． 8．对于命题“如果，那么”，下面能说明它是假命题的反例是（   ） A．， B．， C． D．， 【答案】C 【分析】本题考查假命题的反例，反例需满足命题的条件，同时不满足命题的结论，据此分析各选项即可． 【详解】解：∵原命题的条件是，结论是 ∴反例要满足且 对于选项C，，，满足条件但不满足结论，是原命题的反例 选项A满足条件也满足结论，不是反例 选项B、D不满足命题的条件，不是反例 故选：C． 9．命题“一个角的补角必定是钝角”是________命题（填“真”或“假”）；若是假命题，举一反例：________________． 【答案】 假 角的补角是锐角（答案不唯一） 【分析】此题考查命题的真假判断，正确的命题叫真命题，错误的命题叫做假命题．判断命题的真假关键是要熟悉课本中的性质定理． 根据补角的定义进行判断，然后举一反例即可． 【详解】解：命题“一个角的补角必定是钝角”是假命题； 当这个角为时，该角的补角为，是锐角， 反例为：角的补角是锐角（答案不唯一）． 故答案为：假，角的补角是锐角（答案不唯一）． 10．“如图，已知内有一点，射线，且与交于点，过点画射线平行于，与相交于点”园园用两个完全一样的三角板进行画图，画图过程如图所示． (1)园园的画图依据是______； (2)小树看了园园画出的图形后，对进行了如下说理请你补全小树的说理过程； （已知）， ____________ （已知）， ____________ 等量代换． (3)东东看了（2）中小树的说理过程后，认为命题“若两个角的两边分别平行，则这两个角相等”是真命题，请你判断东东的说法是否正确，并说明理由． 【答案】(1)内错角相等，两直线平行 (2)；两直线平行，同位角相等；，两直线平行，内错角相等 (3)错误，见解析 【分析】本题主要考查了平行线的性质、命题与定理等知识点，理解题意、灵活运用所学知识是解题的关键． （1）根据内错角相等，两直线平行即可解答； （2）利用平行线的性质以及等量代换即可解答； （3）先根据题意画出图形，然后根据平行线的性质即可解答． 【详解】（1）解：如图：由题意可知：， 内错角相等，两直线平行． 故答案为：内错角相等，两直线平行． （2）证明：（已知）， 两直线平行，同位角相等． （已知）， 两直线平行，内错角相等． 等量代换． 故答案为：；两直线平行，同位角相等；，两直线平行，内错角相等． （3）解：如图所示：两个角的两边分别平行，则这两个角相等或互补，故命题“若两个角的两边分别平行，则这两个角相等”是假命题， 已知， 两直线平行，同旁内角互补． 已知， 两直线平行，内错角相等， 等量代换． 能力综合练 练思维 11．下列五个命题：①相等的角是对顶角；②两条直线被第三条直线所截，内错角相等；③在平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直；④垂线段最短；⑤经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行．其中真命题有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】此题考查了命题的真假，对顶角，平行线的性质，垂线段最短，平行公理和垂直的定义， 根据以上知识点判断每个命题的真假即可． 【详解】解： ①相等的角不一定是对顶角，是假命题； ②两条直线被第三条直线所截时，内错角不一定相等，只有当两直线平行时才成立，是假命题； ③在平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直，这是垂线性质，是真命题； ④从直线外一点到直线的所有线段中，垂线段最短，是真命题； ⑤经过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行，这是平行公理，是真命题． ∴真命题有3个． 故选：C． 12．命题“如果两条直线被第三条直线所截，一组内错角的角平分线互相平行，那么这两条直线也互相平行”．如下给出了不完整的“已知”和“求证”，请补充完整，并写出证明过程． (1)已知：如图，___________，；求证：___________． (2)证明： (3)命题“如果两条平行直线被第三条直线所截，那么一组同旁内角的角平分线互相垂直”，此命题是___________命题（填“真”或“假”）． 【答案】(1)平分，平分； (2)见解析 (3)真 【分析】本题考查的是命题的真假判断、平行线的判定和性质，掌握正确的命题叫真命题，错误的命题叫做假命题是解题的关键． （1）根据题意、结合图形写出已知和求证即可； （2）根据平行线的性质和判定证明即可； （3）写出已知和求证，然后证明即可． 【详解】（1）解：如图，分别交，于，，平分，平分，．求证：． 故答案为：分别交，于，，平分，平分；； （2）证明：平分 平分， ， ， ； （3）命题“如果两条平行直线被第三条直线所截，那么一组同旁内角的角平分线互相垂直”，此命题是真命题， 已知：，被所截，平分，平分，求证：； 证明如下： 如图所示， ∵，被所截，平分，平分， ∴，，， ∴， ∴． 13．如图，点E、F分别在线段上（不含端点）．连接分别交于点G、H．有四个信息：①，②，③，④．从中选择三个信息（两个作为条件，另一个作为结论），构造一个真命题． (1)你选择的条件是________，结论是________；（填序号） (2)证明你构造的命题是真命题． 【答案】(1)①②，④（答案不唯一） (2)见解析 【分析】本题考查命题的证明，平行线的判定和性质： （1）条件选择①②，结论选择④； （2）根据平行线的判定和性质，进行求证即可． 【详解】（1）解：条件①②，结论是④（答案不唯一）； （2）条件为①②，结论④； 证明：∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 条件为②③，结论为④： 证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 条件为①④，结论为②； 证明：∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； 条件为③④，结论为②： 证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∴； 条件为②④，结论为③： 证明：∵， ∴， ∵ ∴， ∴， 条件为②④，结论为①： 证明：∵， ∴， ∵ ∴， ∴， ∴． 拓展探究练 提素养 14．已知和，请根据下面要求解决相应的问题． (1)如图1，图2所示，当，，且交于点P时． ①填空：图1中与数量关系为______； 图2中与数量关系为______； ②请从图1，图2中选择一种情况写出证明过程． ③请用“如果…，那么…”的形式把上述结论表述出来： ________________________________________________． (2)当，，且比的2倍少，请直接写出这两个角的度数． 【答案】(1)①，；②见解析；③如果一个角的两边分别平行另一个角的两边，那么这两个角相等或互补； (2)，或 【分析】本题考查了平行线的性质，垂直的定义，命题的形式；解题的关键是熟知平行线的性质． （1）①②根据平行线的性质（两直线平行，内错角相等，同旁内角互补）进行推导与证明即可； ③根据题意找条件及结论即可． （2）根据垂直的定义可得或，根据题意可知，进而即可求解． 【详解】（1）解：①图1中与数量关系为； 图2中与数量关系为； 故答案为：，； ②选择图1：∵， ∴（两直线平行，内错角相等）， ∵ ， ∴（两直线平行，内错角相等）， ∴（等量代换）； 选择图2：∵， ∴（两直线平行，内错角相等）， ∵ ， ∴（两直线平行，同旁内角互补）， ∴， ③用“如果…，那么…”的形式把上述结论表述为：如果一个角的两边分别平行另一个角的两边，那么这两个角相等或互补； （2）当与如下图所示时， ∵，， ∴， ∴， ∵比的2倍少， ∴，则， ∴，则， 当与如下图所示时， ∵，， ∴， ∵ ∴， 又∵， ∴， ∴，则， 综上：，或． 15．（1）发现： 平行线是平面几何中最基本，也是最重要的图形．在解决某些平面几何问题时，若能依据问题的需要，添加适当的平行线，往往能使问题得以顺利解决． 请你根据上述思想解决下列问题： 如图，，点在内部时，则 （用“”、“”或“”填空） （2）探究： 如果（）中命题的题设和结论互换，写出互换后的命题，判断其真假，并说明理由． （3）拓展： 如图，已知，若点在直线外部时，，，满足怎样的数量关系？说明理由． 【答案】（）；（）点在内部时，，则；是真命题；证明见解析；（），理由见解析． 【分析】本题考查了平行线的判定与性质，判断命题真假，平行公理推论，掌握知识点的应用是解题的关键． （）过作，则有，所以，，然后利用角度和差即可求证； （）过作，证明即可； （）设交于，过作，则有，所以，，，，然后利用角度和差即可求解． 【详解】解：（）过作，如图： ∵， ∴， ∴，， ∵， ∴； 故答案为：； （）（）中命题的题设和结论互换后的命题是：点在内部时，，则； 互换后的命题是真命题，理由如下： 过作，如图： ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； （），理由如下： 设交于，过作，如图： ∵， ∴， ∴，，，， ∴， ∴， ∴． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 7.3定义、命题、定理 本节核心知识点 一、定义 对概念的特征性质进行精准描述的语句，是数学推理的基础。 示例：连接两点的线段的长度，叫做这两点间的距离；有一个角是直角的三角形，叫做直角三角形。 二、命题 1. 命题概念 判断一件事情的陈述句叫做命题；疑问句、祈使句、感叹句均不是命题。 示例：“对顶角相等”是命题，“画一条线段AB”不是命题。 2. 命题结构 命题由题设（已知条件）和结论（推出结果）两部分组成，常写成“如果……那么……”的形式。 格式：如果+题设，那么+结论。 示例：如果两条直线平行，那么同位角相等（题设：两条直线平行；结论：同位角相等）。 3. 命题分类 · 真命题：题设成立时，结论一定成立的命题（正确命题）。 · 假命题：题设成立时，结论不一定成立的命题（错误命题）；判断假命题只需举一个反例。 示例：“相等的角是对顶角”是假命题（反例：两直线平行，同位角相等，但不是对顶角）。 三、定理与证明 · 定理：经过推理证实的真命题，可作为后续推理的依据。 示例：两直线平行，内错角相等；对顶角相等。 · 证明：判断一个命题正确性的推理过程，证明需步步有据，依据可以是定义、基本事实、定理。 · 基本事实：无需证明、公认正确的真命题（如：两点确定一条直线）。 知识分点练 夯基础 知识点1 定义与命题 1．在下列句子中，是定义的是（   ） A．过一点画已知直线的垂线 B．有一个角是直角的三角形叫作直角三角形 C．作一个角等于已知角 D．a，b两条直线平行吗 2．下列句子中，是命题的是（   ） A．正数大于一切负数吗？ B．两个锐角的和大于直角 C．作一条直线和已知直线垂直 D．在线段上任取一点 3．下列命题：①两点之间，线段最短；②两条直线被第三条直线所截，如果同位角相等，那么这两条直线平行；③若，则；④若，，则．其中真命题有（    ）个． A．1 B．2 C．3 D．4 4．“同位角相等，两直线平行”的题设为___________，结论为___________． 5．将下列命题改写成“如果……，那么……”的形式： (1)内错角相等，两直线平行； (2)直角三角形两个锐角互余； (3)同角的余角相等． 知识点2 定理 6．下面关于基本事实和定理的说法不正确的是（  ） A．基本事实和定理都是真命题 B．基本事实就是定理，定理就是基本事实 C．基本事实和定理都可以作为推理论证的依据 D．基本事实的正确性需要经过实践检验，定理的正确性需要经过演绎推理 7．下列语句中，属于定理的是（    ） A．在直线AB上取一点E B．如果两个角相等，那么这两个角是对顶角 C．内错角相等 D．同角的补角相等 8．对于命题“如果，那么”，下面能说明它是假命题的反例是（   ） A．， B．， C． D．， 9．命题“一个角的补角必定是钝角”是________命题（填“真”或“假”）；若是假命题，举一反例：________________． 10．“如图，已知内有一点，射线，且与交于点，过点画射线平行于，与相交于点”园园用两个完全一样的三角板进行画图，画图过程如图所示． (1)园园的画图依据是______； (2)小树看了园园画出的图形后，对进行了如下说理请你补全小树的说理过程； （已知）， ____________ （已知）， ____________ 等量代换． (3)东东看了（2）中小树的说理过程后，认为命题“若两个角的两边分别平行，则这两个角相等”是真命题，请你判断东东的说法是否正确，并说明理由． 能力综合练 练思维 11．下列五个命题：①相等的角是对顶角；②两条直线被第三条直线所截，内错角相等；③在平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直；④垂线段最短；⑤经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行．其中真命题有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 12．命题“如果两条直线被第三条直线所截，一组内错角的角平分线互相平行，那么这两条直线也互相平行”．如下给出了不完整的“已知”和“求证”，请补充完整，并写出证明过程． (1)已知：如图，___________，；求证：___________． (2)证明： (3)命题“如果两条平行直线被第三条直线所截，那么一组同旁内角的角平分线互相垂直”，此命题是___________命题（填“真”或“假”）． 13．如图，点E、F分别在线段上（不含端点）．连接分别交于点G、H．有四个信息：①，②，③，④．从中选择三个信息（两个作为条件，另一个作为结论），构造一个真命题． (1)你选择的条件是________，结论是________；（填序号） (2)证明你构造的命题是真命题． 拓展探究练 提素养 14．已知和，请根据下面要求解决相应的问题． (1)如图1，图2所示，当，，且交于点P时． ①填空：图1中与数量关系为______； 图2中与数量关系为______； ②请从图1，图2中选择一种情况写出证明过程． ③请用“如果…，那么…”的形式把上述结论表述出来： ________________________________________________． (2)当，，且比的2倍少，请直接写出这两个角的度数． 15．（1）发现： 平行线是平面几何中最基本，也是最重要的图形．在解决某些平面几何问题时，若能依据问题的需要，添加适当的平行线，往往能使问题得以顺利解决． 请你根据上述思想解决下列问题： 如图，，点在内部时，则 （用“”、“”或“”填空） （2）探究： 如果（）中命题的题设和结论互换，写出互换后的命题，判断其真假，并说明理由． （3）拓展： 如图，已知，若点在直线外部时，，，满足怎样的数量关系？说明理由． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 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