2.3 平行线的性质（第2课时 巩固平行线的判定与性质）（教学课件）数学新教材北师大版七年级下册

3 平行线的性质 第2课时 平行线的判定与性质的综合应用 第二章 相交线与平行线 北师大版（新教材）·七年级下册 学 习 目 标 1 2 熟练掌握平行线的判定（条件）： 同位角相等、内错角相等、同旁内角互补→两直线平行。熟练掌握平行线的性质： 两直线平行→同位角相等、内错角相等、同旁内角互补。能综合运用判定与性质进行角度计算与步步有据的说理。 通过对比、辨析、归纳，明确判定与性质的区别。经历“识图→找关系→选依据→写推理”的完整过程，培养严谨、规范、言之有据的几何学习习惯。提升几何推理与表达的自信心。 知识回顾 类别 文字语言 符号语言 图形 判定 ① ② ③ 同位角相等，两直线平行 内错角相等，两直线平行 同旁内角互补，两直线平行 因为∠1=∠5， 所以a∥b 因为∠3=∠6， 所以a∥b 因为∠3+∠5=180°， 所以a∥b b a c 1 2 3 4 5 6 7 8 平行线的判定 由“角”定“线” 知识回顾 类别 文字语言 符号语言 图形 性质 ① ② ③ 两直线平行，同位角相等 两直线平行，内错角相等 两直线平行，同旁内角互补 因为a∥b， 所以∠1=∠5 因为a∥b， 所以∠3=∠6 因为a∥b， 所以∠3+∠5=180° b a c 1 2 3 4 5 6 7 8 平行线的性质 由“线”定“角” 平行线的性质与判定的条件与结论正好相反 两直线平行线 同位角相等 内错角相等 同旁内角互补 性质 判定 线到角为性质 角到线为判定 条件 结论 结论 条件 新知探究 探究点1 对比辨析：判定 vs 性质 议一议 平行线的性质与判定有什么区别和联系？ 思路： 要证平行用判定； 已知平行用性质。 角相等/互补 线 平 行 新知探究 探究点1 对比辨析：判定 vs 性质 议一议 例1：根据下图回答下列问题： (1）若∠1=∠2，则可以判定哪两条直线平行？依据是什么？ (2)若∠2=∠M,则可以判定哪两条直线平行？依据是什么？ (3)若∠2+∠3=180°,则可以判定哪两条直线平行？依据是什么？ A B C D F M E 3 2 1 解： (1）由图得： ∠1与∠2是内错角， 若∠1=∠2，可得 BF//CE 则根据“内错角相等，两直线平行”， 典例分析 探究点1 对比辨析：判定 vs 性质 解：由图得∠2 与∠M是同位角， 若∠2 = ∠M，可得AM//BF 则根据“同位角相等，两直线平行” A B C D F M E 3 2 1 议一议 例1：根据下图回答下列问题： (1）若∠1=∠2，则可以判定哪两条直线平行？依据是什么？ (2)若∠2=∠M,则可以判定哪两条直线平行？依据是什么？ (3)若∠2+∠3=180°,则可以判定哪两条直线平行？依据是什么？ 典例分析 探究点1 对比辨析：判定 vs 性质 A B C D F M E 3 2 1 解：由图可得 ∠2 与∠3是同旁内角， 若∠2 +∠3=180°，可得 AC//MD 则根据“同旁内角互补，两直线平行”， 议一议 例1：根据下图回答下列问题： (1）若∠1=∠2，则可以判定哪两条直线平行？依据是什么？ (2)若∠2=∠M,则可以判定哪两条直线平行？依据是什么？ (3)若∠2+∠3=180°,则可以判定哪两条直线平行？依据是什么？ 典例分析 探究点1 对比辨析：判定 vs 性质 例2.如图，AB//CD,如果∠1=∠2，那么EF与AB平行吗? 说说你的理由。 又因为 AB∥CD， 所以 EF∥AB。 (平行于同一条直线的两条直线平行) D E A B F C 1 2 解：因为∠1 = ∠2， 所以 EF∥CD 。 (内错角相等，两直线平行) Step 3：综合计算 Step 1：由角到线 利用判定定理： 从已知角关系推导线平行 Step 2：由线到角 利用性质定理： 基于平行推导新的角关系 结合对顶角/补角等基础，完成最终计算与证明 核心洞察：平行线综合推理的核心逻辑是“判定→性质→计算”的闭环。从已知的角出发证平行，再利用平行推导出新的角关系，最后结合基础几何知识得出结论。 回顾•反思 探究点2 综合推理思路建构 议一议 平行线的性质与判定典型综合题结构 ∵ 条件（已知） ∴ 结论（依据：判定/性质） 规范书写： 典例分析 探究点2 综合推理思路建构 例3 如图，已知直线 a∥b，直线 c∥d，∠1=107°，求∠2，∠3 的度数。 2 1 3 a b c d 解：∵ a∥b，（已知） ∴∠2 = ∠1 = 107° (两直线平行，内错角相等) ∵c∥d，（已知） ∴∠1 ＋ ∠3 = 180° (两直线平行，同旁内角互补) ∴ ∠3 = 180°－∠1 = 180°－107° = 73° 。 求∠2的度数 分析 找与∠2 构成同位角，内错角或同旁内角的角 ∠1与∠2 构成内错角（看图） ∠2=∠1 直线 a∥b（已知） ∠1=107° 典例分析 探究点2 综合推理思路建构 例4.如图所示，已知，，证明． 证明：∵（已知）， 且（对顶角相等）， ∴（等量代换）， ∴（同位角相等，两直线平行）， ∴（两直线平行，同位角相等）， 又∵（已知）， ∴（两直线平行，内错角相等）， ∴（等量代换）． 新知巩固 1. 如图，已知∠1 = 105°，∠2 = 75°，请说明a//b 。 a b 1 2 3 4 解：由图可知 ∠3 =∠1，∠4 =∠2 (对顶角相等) ， ∵∠1 = 105°，∠2 = 75° ∴ ∠3 +∠4 = ∠1 +∠2 = 180°， ∴直线 a//b（同旁内角互补，两直线平行）。 【教材 P52 页】 随堂练习 新知巩固 2. 如图，AE//CD，∠1=37°，∠D=54°，求∠2 和∠BAE 的度数。 B C A E D 1 2 解：∵ AE//CD， ∴∠2 = ∠1 = 37°(两直线平行，内错角相等)， ∠BAE =∠D = 54°(两直线平行，同位角相等)。 【教材 P52 页】 随堂练习 拓展提升 1.如图，DF∥AB，∠BAC＝120°，∠ACE＝100°，则∠CED＝（　　） A．30° B．40° C．60° D．80° 解：如图，过点C作CG∥AB，  ∵DF∥AB， ∴DF∥AB∥CG， ∴∠1+∠CAB＝180°，∠2＝∠CED， ∵∠BAC＝120°，∠ACE＝100°， ∴∠1＝60°，∠2＝∠ACE﹣∠1＝40°， ∴∠CED＝∠2＝40°． 2 1 B 辅助线：为帮助解题而添加的线 辅助线一般画成虚线 辅助线 真题感知 1．（2025•广安）光线在不同介质中的传播速度是不同的，因此当光线从水中射向空气时，要发生折射．由于折射率相同，所以在水中平行的光线，在空气中也是平行的．如图，a，b为两条平行的光线，∠1＝45°，则∠2的度数为 　　 ． 解：∵a，b为两条平行的光线，在水中平行的光线，在空气中也是平行的．如图 ∴c∥d， ∵∠1＝45°， ∴∠2＝∠1＝45° 45° 真题感知 2．（2025•连云港）如图，AB∥CD，直线AB与射线DE相交于点O．若∠D＝50°，则∠BOE＝ 　　 °． 解：根据题意可知， AB∥CD，与DE分别相交于点O、D，∠D＝50°， ∴∠AOE＝∠D＝50°， ∴∠BOE＝180°﹣∠AOE ＝180°﹣50° ＝130°． 130 真题感知 3.（2025.金安校考）已知，如图，，是相交于直线、的直线，且，求证：． 证明：∵，， ∴， ∴， 又∵， ∴． 课堂小结 知识总结 （1） 判定（平行条件）： 角等/互补 → 两直线平行； （2）性质： 两直线平行→ 角等/互补； （3）三线八角： 同位角（F）、内错角（Z）、同旁内角（U）. 对比维度 平行线的判定 平行线的性质 思维方向 由角推线 由线推角 已知条件 角的关系 (相等或互补) 线的关系 (两直线平行) 结论目标 证平行 (位置关系) 求角度 (数量关系) 核心口诀 “要证平行，先找角” “已知平行，就用角” 课堂小结 方法总结 （1）识图：先找截线，再找被截两直线. （2）推理：先判平行，再用性质. (3)书写：条件→结论→依据齐全. 易错提醒 (1)判定与性质绝对不能混用： 要平行用判定，已知平行用性质。 (2)只有两直线平行，才有性质的角关系。 （3）同旁内角是互补（和180°），不是相等。 （4）每一步推理必须写依据。 角的数量关系 直线的位置关系 角的数量关系 判定： 证平行，用判定 性质： 知平行，用性质 课后练习 教材p53页 3.如图，已知∠1=∠3=60°，∠2=120°，可以判定哪些直线平行？请说明理由。 解： 因为∠1 =∠3=60°，∠2 = 120°， 所以∠3 +∠2 = 180°， 所以AB∥CD (同旁内角互补，两直线平行)。 因为∠AOF = ∠2 = 120°(对顶角相等)， 所以∠ AOF + ∠1 = 180°， 所以 AE∥CF (同旁内角互补，两直线平行)， 所以 AB∥CD，AE∥CF 。 A 1 E C F B D 2 3 O 习题2.3 课后练习 解： AB∥CD。理由如下： 因为 AC平分∠BAD， 所以∠BAC = ∠1。 又因为 ∠1 = ∠2， 所以∠BAC = ∠2， 所以 AB∥CD(内错角相等，两直线平行)。 4.如图，已知 AC 平分∠BAD，∠1=∠2，可以判定哪两条直线平行？请说明理由。 A B C D 1 2 教材p53页 习题2.3 课后练习 48° 东 北 船 灯塔 7.如图，从一艘船上测得一个灯塔所在的方向是北偏西48°，那么这艘船在这个灯塔的什么方向？ 48° 由“两直线平行，内错角相等”可得这艘船在这个灯塔南偏东48°。 解：如图所示 教材p54页 习题2.3 课后练习 8. (1) 在地图上选定一个城市，判断其他城市在它的什么方向。 (2) 只用方向能准确描述两个城市的相对位置吗？如果不能，还需要什么数据？ (2)不能，还需要测量偏转的角度和距离 教材p54页 习题2.3 解：（1）以北京为中心： 天津在北京的东南方向； 呼和浩特在北京的西北方向； 上海在北京的东南方向。 课后练习 9.林湾乡要修建一条灌溉水渠，如图，水渠从A村沿北偏东 65°方向到B村，从B村沿北偏西25°方向到C村，然后从 C村到E村。已知 CE 的方向与 AB 的方向一致，水渠从C村应该沿什么方向修建？ 解： 如图所示进行作图。由题意可知 CE∥AB，∠A =∠1 = 65°， 所以∠2 = ∠CBD =∠1+25°= 90°。 (两直线平行，同位角相等) 又因为 ∠MCN = 25°， 所以 ∠NCE = 90°- 25°= 65°。 答：水渠从C村应该沿北偏东65°方向修建。 A B D E C 北 北 65° 25° 1 2 M N 北 教材p54页 习题2.3 谢谢聆听 $