培优06 正弦定理、余弦定理（专项训练）高一数学人教A版必修第二册

培优06 正弦定理、余弦定理 题型1 余弦定理解三角形 对三角形，角A对应的边为，角B对应的边为，角C对应的边为 余弦定理公式：；；． 推论： 已知两边及其夹角 ，直接求第三边。 1、已知三边，求任意角（先求最大边对角可避免钝角漏解）。 2、已知两边和其中一边的对角（SSA），可用余弦定理转化为关于第三边的一元二次方程。 注意： 已知三边求角时忽略角的范围：若余弦值为负，角为钝角。 1．（25-26高一下·全国·课堂例题）在中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，若，，，则（   ） A． B． C． D．3 【答案】D 【分析】直接由余弦定理即可计算求解. 【详解】由余弦定理得，所以. 故选：D 2．（25-26高一下·全国·课堂例题）在中，已知，，，则（   ） A． B．2 C． D． 【答案】D 【分析】根据余弦定理计算即可. 【详解】根据余弦定理得. 由于，所以. 故选：D. 3．（25-26高一下·全国·课堂例题）在中，，，，则等于（    ） A． B． C． D．15 【答案】B 【分析】由余弦定理求出，再由向量的数量积公式计算即可. 【详解】， . 故选:B 4．（2026·陕西西安·模拟预测）内角的对边分别为，满足，且，则（   ） A．为锐角 B． C． D． 【答案】B 【分析】根据已知条件结合余弦定理得，由，得，从而确定的范围，由，得，计算即可. 【详解】， 又， ，整理得： ， ， ， ， 当且仅当时等号成立， 又，， ，为钝角， ，， ，， ，即， ，，解得：， ， ， ． 5．（25-26高一下·全国·课后作业）设的内角，，的对边分别为，，，若，，，则（   ） A．2或4 B．3 C．5 D． 【答案】A 【分析】根据题意结合余弦定理运算求解即可. 【详解】因为，，， 由余弦定理可得，即， 可得，解得或． 故选：A. 题型2 正弦定理解三角形 1、正弦定理的表示 在△ABC中，若角A,B,C对应的边分别是a,b,c，则有 ==. 若△ABC外接圆半径为，则有===2R 2、正弦定理常见变形： ①=，=，=，aB=bA，aC=cA，bC=cB； ②======； ③a:b:c=A:B:C； 正弦定理解三角形： （1）已知两角和任意一边，求其他的边和角，推荐使用正弦定理 （2）已知两边和其中一边的对角，求其他的边和角，推荐使用正弦定理 （3）在解三角形题目中，遇到题目条件含有边角的时候，若含有边的齐次式或者sin的齐次式，可以考虑用正弦定理。 1．（25-26高三上·贵州黔南·期末）在中，角，，的对边分别为，，.若，，，则（    ） A． B． C． D．或 【答案】A 【详解】在中，由，有，所以. 又，故，所以. 2．（多选）（2026高一下·全国·专题练习）在中，，，分别为内角，，所对的边，若，，，则的值可能为（     ） A．1 B． C． D． 【答案】BC 【分析】根据得到或，分情况讨论，结合正弦定理即可求出答案 【详解】在中，，，所以或， 当时，，为直角三角形，所以； 当时，，， 由正弦定理得，所以. 所以的值为或. 3．（多选）（25-26高一下·全国·课后作业）（多选题）在中，内角，，所对的边分别为，，．若，，，则角可以等于（   ） A． B． C． D． 【答案】CD 【分析】根据正弦定理求解. 【详解】由正弦定理可得， 因为，所以， 所以或． 故选：CD． 4．（25-26高一下·全国·课堂例题）在中，，，，则__________，__________． 【答案】 8 4 【分析】由条件确定三角形为直角三角形，再结合正弦定理即可求解. 【详解】因为，，所以， 由正弦定理，得．又， 所以，． 故答案为：8；4 5．（北京延庆区2025-2026学年第二学期试卷高三数学）在中，，，，则（    ）． A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由正弦定理角化边，求得，再由余弦定理即可求解. 【详解】 根据正弦定理，结合条件，可得： ，即. 又已知，代入得：，因此. 由余弦定理， 代入， ， 因此. 题型3 正余弦定理解三角形 1、解三角形的概念 一般地，三角形的三个角A,B,C和它们的对边a,b,c叫做三角形的元素.在三角形中，已知三角形的几个 元素求其他元素的过程叫做解三角形. 2、正弦定理在解三角形中的应用 0. 已知两角和任意一边，求其他的边和角，推荐使用正弦定理 0. 已知两边和其中一边的对角，求其他的边和角，推荐使用正弦定理 （3）在解三角形题目中，遇到题目条件含有边角的时候，若含有边的齐次式或者sin的齐次式，可以考虑用正弦定理。 三角形中的射影定理：在△ABC中，；； 1．（2026·山东聊城·一模）已知中，，D是边上一点，，，且，则边的长为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由求出，由的值和求出，利用诱导公式求出和，由，利用两角差的正弦公式求出的值，利用正弦定理求出的值，由得到，计算出的值，由是边上一点得到，代入数值得解. 【详解】，， ，， ， ，，， ，， ， ， ， ， ， ，，，， 在中，， ，， ，， ，， ，，， 是边上一点，. 2．（2026·广东汕头·一模）中，，延长到点，使，连接．若，则的大小为_______. 【答案】/ 【分析】，利用等腰三角形的性质和正弦定理可得，结合三角变换公式可得，构建新函数，其中，根据该函数单调性可求. 【详解】 不妨设，因为，故，所以， 故，设，则， 在中，由正弦定理有 ， 所以 ， 所以即， 设，其中， 因为，， 故在上为减函数， 而在上为减函数，故在上为减函数， 而， 故有唯一解，故 3．（2026高一·全国·专题练习）已知的面积为1，边上的中线为，且，则边的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用线段长度的关系，设其中一条线段，就可以表示相关线段，再引入，利用面积关系找到一个等式，然后由余弦定理求边，最后转化为角的函数来求最值即可. 【详解】 取，根据已知条件可知为的重心， 由，设，，则，， 由， 又因为， 所以， 由余弦定理可知， 令，则， 即， 因为，所以，即， 因为，所以的最小值为. 4．（25-26高二上·四川·期末）平面上的四边形中，，，，，则的取值范围为（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】延长交于点，设，先列出的关系确定，然后根据正弦定理列出的关系确定，从而得到结果. 【详解】延长交于点，因为，所以. 因为，所以. 所以 设，所以在中，. 设，因为，所以. 由得，解得. 在中，根据正弦定理，得到. 所以. 由于，所以有，解得. 所以的取值范围为. 故选：A. 5．（25-26高三上·江苏扬州·期中）在平面四边形中，，若满足上述条件的平面四边形有且只有1个，则边的取值范围是__________. 【答案】 【分析】在中，由余弦定理可得，由正弦定理可得，在中，由正弦定理可得，由题意，可得或，计算即可求解. 【详解】在中，由余弦定理可得， 所以， 由正弦定理可得，即， 因为，所以， 所以， 在中，由正弦定理可得， 即， 因为满足上述条件的平面四边形有且只有1个， 所以或，得或， 所以边的取值范围是. 故答案为：      题型4 正余弦定理判断三角形形状 将已知的边角关系转化为统一的边或角的关系，再判断形状。 1、观察条件是边的关系、角的关系还是混合。条件为边的等式 ,尝试余弦定理化角。条件含正弦/余弦函数, 尝试正弦定理化边，或直接三角变形。化为最简的边等式或角等式。 2、根据化简结果判断： （1）出现边相等的时候，可判断等腰或者等边。 （2）若，则（勾股定理逆定理）。 （3）若，则（锐角）。 （4）若，则（钝角）。 1．（25-26高三上·陕西咸阳·期末）若，，是的内角，，的对边，，且，则是（    ） A．锐角三角形 B．钝角三角形 C．三边互不相等的直角三角形 D．等腰直角三角形 【答案】D 【分析】先应用余弦定理得出，或，再代入求解得出结论. 【详解】由得，， 由余弦定理得. 因为，所以，或， ，代入，得， 因为，所以，所以. 故选：D. 2．（2025高三上·湖北黄冈·专题练习）在中，角，，所对的边分别为，，，若，则为（    ） A．锐角三角形 B．等边三角形 C．直角三角形 D．钝角三角形 【答案】D 【分析】由正弦定理边化角得到，进而得到即可求解. 【详解】因为，由正弦定理得， 所以， 所以， 所以， 因为，所以，所以，所以， 所以为钝角三角形． 故选：D 3．（辽宁大连育明高中、丹东二中、本溪高中四校联考2026届高三下学期教学质量调研数学试题）已知的内角的对边分别为，则能判定一定是等腰三角形的为（   ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【分析】利用正余弦定理、和差公式逐一分析即可. 【详解】对A，由正弦定理将边化角得， 即，所以为等腰三角形； 对B，因为， 所以， 所以，整理得， 又，所以，即，所以为等腰三角形； 对C，， 所以，整理得， 所以或，即是直角三角形或等腰三角形； 对D，， 当且仅当，即时等号成立，又，所以只能成立， 此时为等腰三角形. 4．（多选）（25-26高三下·河北雄安·开学考试）已知的内角的对边分别为，则下列说法正确的是（    ） A．若，则 B．若，则为锐角三角形 C．若为锐角三角形，则 D．若，则为直角三角形 【答案】ACD 【分析】由大角对大边，再结合正弦定理可判断A，由余弦定理可判断B，由，结合诱导公式可判断C，由余弦定理求得，即可判断D. 【详解】若，则，利用正弦定理，可得，所以，故A正确； 若，则利用余弦定理可得，所以为锐角，但不知道是否为锐角，故B不正确； 若为锐角三角形，则，所以，所以，即，故C正确； 若，则利用余弦定理， 可得，即，解得，所以， 所以为直角三角形，故D正确. 4．（多选）（25-26高一下·全国·课后作业）（多选）在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若，则是（   ） A．等腰三角形 B．直角三角形 C．等腰直角三角形 D．等边三角形 【答案】AB 【分析】解法1：根据余弦定理和正弦定理进行边角关系转化可得，从而可得或，进而可判断三角形形状；解法2：对已知等式化简变形，然后根据边的关系判断三角形形状. 【详解】解法1：在中由余弦定理可得,整理得， 由正弦定理得,即，故， 所以，即， 所以，则，即. 因为，所以， 所以或， 所以或， 所以为等腰三角形或直角三角形. 解法2：因为，所以， 所以， 所以， ， 所以， 所以或， 所以或， 所以为等腰三角形或直角三角形. 故选：AB 5．（多选）（25-26高一下·全国·单元测试）已知，，分别是的内角，，的对边，给出下列条件，能推出为等腰三角形的条件有（   ） A． B． C． D． 【答案】ACD 【分析】运用正弦定理、两角和的正弦公式、二倍角余弦公式逐一判断即可. 【详解】A中，由，故为等腰三角形； B中，由，故为直角三角形,不能确定两直角边是否相等； C中，由， 即， ，，故为等腰三角形； D中，由，，， 可得，或，即，或舍去，故为等腰三角形． 故选：ACD 题型5 三角形解的个数 在△ABC中，已知a，b和A时，求B角的时，解的情况如下： 若为锐角时： 若A为直角或者钝角时： 1．（25-26高一下·全国·课后作业）已知a，b，c分别是的三个内角A，B，C所对的边，若，，，则此三角形有（   ） A．两解 B．一解 C．无解 D．无穷多解 【答案】B 【分析】利用正弦定理求出的值，结合正弦函数的图像和三角形内角和得到结论. 【详解】，，，， ，， ，或 当时，，，不符合三角形内角和定理，故舍去， 则只有一个解，故此三角形只有一个解. 故选：B. 2．（25-26高一下·全国·单元测试）根据下列情况，判断三角形解的情况，其中错误的是（   ） A．，，，有两解 B．，，，有一解 C．，，，无解 D．，，，有一解 【答案】ABC 【分析】利用正弦定理，结合各选项的条件逐一判断即可. 【详解】对于A，由，得，则，即只有一解，A错误； 对于B，，且，则，而为锐角，因此有两解，B错误； 对于C，由，，，得，有解，C错误； 对于D，由，得，又，则是锐角，有一解，D正确. 故选：ABC 3．（25-26高一下·全国·课堂例题）在中，内角，，的对边分别为，，．已知，，，符合上述条件的有________个． 【答案】1 【分析】根据正弦定理及已知条件求出角，即可确定三角形个数. 【详解】由正弦定理，可得． 因为，所以，所以，故， 所以符合条件的只有一个． 故答案为：1． 4．（25-26高三上·广东珠海·月考）已知三个内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若满足条件，的三角形有两解，则边长a的取值范围为__________. 【答案】 【分析】利用正弦定理，代入，，可得.根据满足条件的三角形有两解，结合正弦函数的性质得到关于的不等式，从而得到边长a的取值范围. 【详解】由正弦定理，得. 若满足条件，的三角形有两解，则，且，所以. 所以，所以. 故答案为：. 5．（25-26高一上·上海宝山·期末）在中，角、、所对的边分别为、、，已知，，要使该三角形有唯一解，则的取值范围为________. 【答案】 【分析】利用正弦定理得出，分析可知或，可得出关于的不等式或等式，即可解得的取值范围. 【详解】因为，，由正弦定理 得，即， 因为，要使三角形有唯一解， 所以或，所以或， 即或，解得或， 所以的取值范围为 故答案为：. 题型6 正余弦定理在边角互化的应用 正余弦定理实现三角形的边角互化，可以用来化简题目中的条件。 （1）利用正弦定理进行边角互化，需要对等式中的每项进行统一变换。 （2）利用余弦定理，化角为边。 1．（2026高一下·全国·专题练习）在非直角中，设角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知，是角的内角平分线，且，则等于（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由正弦定理、余弦定理将已知关系式进行化简得到， 再由等面积法得到，由二倍角公式得的值. 【详解】由已知和正弦定理得， 则， 为非直角三角形，，， ， ， 即， 又， 所以， ，， ，， ． 故选：A. 2．（25-26高三上·四川眉山·期末）记的内角的对边分别为，已知，则的周长（    ） A．9 B．14 C．19 D．24 【答案】B 【分析】由正弦定理可得再代入余弦定理可求得，由此可进一步求出即可求出的周长. 【详解】由正弦定理可得：又因为， 所以由余弦定理可得：， 所以，又因为 解得：所以的周长为. 故选：B. 3．（25-26高三下·贵州遵义·开学考试）在中，内角所对的边分别为，若，则的最小值为（   ） A． B． C．6 D． 【答案】A 【详解】由，得， 则，由正弦定理得，， 又，则，即， 所以， 则时，取得最小值20，即的最小值为. 4．（湖北武汉市2026届高中毕业生三月调研考试数学试卷）设△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若，则（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】C 【分析】利用正弦定理化边为角，根据和角的正弦公式化简，再由同角三角函数化弦为切即得. 【详解】由和正弦定理，得（*）， 因， 将其代入（*）整理得， 即得，故. 5．（多选）（25-26高三下·浙江杭州·月考）在锐角中，角的对边分别为，记的面积为，若，则以下说法正确的有（    ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【分析】利用面积公式和正余弦定理化简条件，得到角的关系，再结合锐角三角形定义确定的范围，最后将转化为关于的函数求值域. 【详解】已知在锐角中，，其中面积， ，因为，所以，即，选项A正确； 由余弦定理，，代入得：， 由正弦定理，，，代入得：， 继续化简得， 因为是锐角三角形，所以，，故，即，选项B正确； 因为是锐角三角形，且，所以：，解得：，选项C错误； ，而，代入得： ，因为，所以， 令，则，该函数是开口向上，对称轴为的二次函数， 因为区间在对称轴右侧，所以函数在该区间上单调递增， 而，，所以，选项D正确. 题型7 面积公式的应用 1、 2、 （r是三角形内切圆的半径，R是三角形外接圆的半径．） 在解三角形问题中，面积公式经常可同余弦定理结合起来计算。 1．（2026高一·全国·专题练习）已知的外接圆半径为，角，，所对的边分别为，，，若，则面积的最大值是________． 【答案】 【分析】根据题意利用正弦定理可得，结合余弦定理可得，，再根据面积公式可得，结合基本不等式运算求解即可. 【详解】因为，即， 通过正弦定理化角为边可得，又， 所以，即，可得， 由可得， 且，则， 可得面积 ， 当且仅当，即时，等号成立， 所以面积的最大值是. 故答案为： 2．（多选）（2026高一·全国·专题练习）（多选）在中，内角，，的对边分别为，，，则下列说法中正确的有（   ） A．若，，则面积的最大值为 B．若，，则面积的最大值为 C．若角的内角平分线交于点，且，，则面积的最大值为3 D．若，为的中点，且，则面积的最大值为 【答案】BCD 【分析】对A，先由余弦定理得到，再用基本不等式求出AB⋅AC的最大值，最后代入面积公式判断面积最大值；对B，先由余弦定理和b+c=8得到与bc的关系，再用基本不等式求出bc的最大值，最后代入面积公式求最大值；对C，先由角平分线和正弦定理得到b=2c，再代入余弦定理表示，最后通过换元法求面积的最大值；对D，先设BM=x 得到BA=BC=2x，再由余弦定理求出，最后代入面积公式并通过配方求最大值. 【详解】对于A，由余弦定理可得， 即， 由基本不等式可得， 即，当且仅当时，等号成立， 所以，A错误； 对于B，由余弦定理可得， 所以， 因为，所以，当且仅当时，等号成立， 所以，即面积的最大值为，B正确； 对于C，设，，则，， 在和中，分别运用正弦定理，得和． 因为，所以， 即，所以，由余弦定理可得， 所以 ，当且仅当时，等号成立， 所以面积的最大值为3，C正确； 对于D，设，则， 在中，由余弦定理得， 解得，则， 所以 ， 所以当即时，，D正确． 故选：BCD． 3．（25-26高三上·广西崇左·期末）在中，角，，的对边分别为，，，已知，且，则面积的最大值为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】应用余弦定理及已知得，进而有，再应用基本不等式和三角形面积公式求面积的最大值. 【详解】因为，所以，所以， 因为，所以，当且仅当时等号成立， 则的面积， 则面积的最大值为. 故选：A 4．（2026·山东菏泽·一模）记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知，，则的面积的最大值为（    ） A． B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】由条件根据余弦定理求的表达式，利用基本不等式求的最小值，再由同角关系求的最大值，利用三角形面积公式求结论. 【详解】由余弦定理可得，又，， 所以， 由基本不等式可得，当且仅当时等号成立， 所以，又， 所以，， 所以的面积， 所以当时，的面积取最大值，最大值为. 5．（2026·重庆·一模）在中，为边上一点，．当面积最小时，__________． 【答案】 【分析】先将的面积拆分为和的面积之和，分别表示出两个小三角形的面积，利用正弦定理表示出两个三角形的面积，对面积的表达式利用三角函数的相关公式化简，再借助三角函数的性质求最值，进而得到此时的. 【详解】的面积，由内角和得：， 对和分别用正弦定理，结合得： ， 又，因此：， 展开化简得： ， 代入整理得： 最小等价于二次函数（）最大， 开口向下的二次函数顶点在，即， 因此. 题型8 正余弦定理的应用 1、测距问题，是将实际问题转化为三角形模型，选择可测数据作为已知量，通过正弦定理、余弦定理及三角函数的直角边关系逐步求出未知距离。画出清晰图形、选择合适的初始三角形是解题的突破口。通常问题有以下 （1）两点间不可达又不可视（2）两点间可视但不可达（3）两点都不可达 2、测量高度问题，利用水平面（或基线）、视线构成的三角形，通过测量角度和可及距离，计算出不可直接测量的高度。 基本关系（在直角三角形中）：，其中仰角是观测点与目标顶端连线和水平线的夹角。通常问题有： （1）底部可达：利用直角三角形解（2）底部不可达（仰角在不同位置测两次） 3、测量角度问题，将待测角置于一个或一系列三角形中，通过测量足够数量的边和其他角，利用三角形内角和定理、正弦定理、余弦定理反推出目标角。 1．（2026高一·全国·专题练习）如图，风景秀美的宝湖畔有四棵高大的银杏树，记作A，B，P，Q，湖岸部分地方围有铁丝网不能通过．欲测量P，Q两棵树和A，P两棵树之间的距离，现可测得A，B两点间的距离为100m，，，，．则P，Q两棵树和A，P两棵树之间的距离分别为__________m. 【答案】 ， 【详解】在中，， 由正弦定理得，得． 在中，，，∴． 在中，， 由余弦定理得， ∴． 因此，P，Q两棵树之间的距离为，A，P两棵树之间的距离为． 2．（25-26高一下·全国·课堂例题）某登山队在山脚A处测得山顶B的仰角为，沿倾斜角为的斜坡前进后到达D处，又测得山顶的仰角为，则山的高度为____________m（注：） 【答案】 【分析】过点D作交于E，可得，进而利用正弦定理可得，求得，进而可求得. 【详解】过点D作交于E，因为，故． 于是． 又，故， 由正弦定理得． 所以在中，． 故答案为：. 3．（25-26高一下·全国·课堂例题）如图所示，在山顶铁塔上B处测得地面上一点A的俯角为，在塔底C处测得A处的俯角为．已知铁塔部分的高为h，则山高____________． 【答案】 【分析】根据已知条件，分析边角的情况，利用正弦定理得到的长度表达式，然后在中结合高度表示得到的值，再求解高度． 【详解】由已知得，， ，． 在中，由正弦定理得， 即，则． 在中，． 故山高． 答案： 4．（2026高一·全国·专题练习）圣·索菲亚教堂是哈尔滨的标志性建筑，其中央主体建筑集球、圆柱、棱柱于一体，极具对称之美，某同学为了估算圣·索菲亚教堂的高度，在圣·索菲亚教堂的正东方向找到一座建筑物，高约为，在它们之间的地面上的点M（B，M，D三点共线）处测得楼顶A、教堂顶C的仰角分别是和，在楼顶A处测得教堂顶C的仰角为，则估算圣·索菲亚教堂的高度约为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】在中用表示出，然后在中利用正弦定理求出，再在中用表示出，即可得解. 【详解】由题意知，，， ∴． 在中，． 在中，由正弦定理得， ∴． 在中，． 5．（25-26高一下·全国·期中）一辆汽车在一条水平的公路上向正西行驶，如图，到处时测得公路北侧一铁塔底部在西偏北的方向上，行驶200m后到达处，测得此铁塔底部在西偏北的方向上，塔顶的仰角为，则此铁塔的高度为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】设此铁塔高，在直角中，可得，再在中，利用正弦定理，列出方程，即可求解. 【详解】设此铁塔高，根据题意，可得， 在直角中，可得， 在中，由，可得， 根据正弦定理，可得，解得． 故选：A. 学科网（北京）股份有限公司1 / 17 学科网（北京）股份有限公司 $品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 培优06正弦定理、余定理 重点·冲 高分 题型1余弦定理解三角形 题型5三角形解的个数 题型2正弦定理解三角形 题型6正余弦定理在边角互化的应用 正弦定理、余弦定理 题型3正余弦定理解三角形 题型7面积公式的应用 题型4正余弦定理判断三角形形状 题型8正余弦定理的应用 题型1余弦定理解三角形 解 题大招 对三角形△ABC,角A对应的边为a,角B对应的边为b,角C对应的边为c 余弦定理公式：a2=b2+c2-2 bccosA:b2=c2+a2-2 accosB;c2=a2+b2-2 abcosC 推论：cosA= b2+c2-a2 2bc ,cosB=a2+c2-b2 2ac ,cosC=a2+b2-c2 2ab 1己知两边及其夹角，直接求第三边。 1、 已知三边，求任意角（先求最大边对角可避免钝角漏解）。 I !2、己知两边和其中一边的对角(SSA),可用余弦定理转化为关于第三边的一元二次方程。 ·注意： ·已知三边求角时忽略角的范围：若余弦值为负，角为钝角。 1.(25-26高一下·全国课堂例题)在ABC中，角A,B,C的对边分别是a,b,c,若b=3,c=2, Cos4= 3’则a=() A.√6 B.√7 C.22 D.3 2.(25-26高一下，全国·课堂例题)在ABC中，已知b=2,c=3,A=60°，则a=() A.5 B.2 C.5 D.√7 3.(25-26高一下·全国·课堂例题)在ABC中，AB=5,AC=3,BC=7,则AB.AC等于() c.155 D.15 2 1/9 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 4. (2026陕西西安模拟预测)ABC内角A,B,C的对边分别为a,b,c,满足2a2-3b2+c2)=bc,且 c0s42-},别() A.A为锐角 B.sinB= C.C>Z 4 6 DA买 5.(25-26高一下·全国课后作业)设ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,C,若a=2, c=23,c0sA= 3 ,则b=() 2 A.2或4 B.3 C.5 D.22 题型2正弦定理解三角形 一” 解题大 招 11、正弦定理的表示 1在△4BC中，若角AB,C对应的边分别是abc,则有sim 4"sin Bsin C a b C !若△4BC外接圆半径为R,则有sin sin B sin C2R 2、正弦定理常见变形： 1sin 4=a,sin cc sin Bb sin BB'sin Aa'sin Cc asin B-bsinA,asin C-esinA,bsin C-csin B: /②a b a+b a+c b+c a+b+c sin A sin B sin C sin A+sin B sin 4+sin C sin B+sin C sin 4+sin B+sin C; 3a:b:c=sinA:sin B:sin C: 1正弦定理解三角形： (1)已知两角和任意一边，求其他的边和角，推荐使用正弦定理 :(2)已知两边和其中一边的对角，求其他的边和角，推荐使用正弦定理 (3)在解三角形题目中，遇到题目条件含有边角的时候，若含有边的齐次式或者s的齐次式，可以考！ 」虑用正弦定理。 1.(25-26高三上贵州黔南期末)在ABC中，角A,B,C的对边分别为a,b,c若a=3,b=2, A则B=() π A. 6 B. C.Sr D.或5 6 6 ×6 2.(多选)（2026高一下·全国.专题练习)在ABC中，a,b,C分别为内角A,B,C所对的边，若 a=,simB号，C=,则b的值可能为() 6 A.1 B.3 C.5 D. 2 2 2/9 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 3.(多选)(25-26高一下·全国课后作业)（多选题）在ABC中，内角A,B,C所对的边分别为a, b,C.若a=1,b=V3,A=30°，则角B可以等于() A.30° B.150° C.60° D.120° 4.(25-26高一下·全国课堂例题)在ABC中，c+b=12,A=60°，B=30°，则C= b= 5.(北京延庆区2025-2026学年第二学期试卷高三数学)在ABC中，C=120°，a+2b=6, sinA=4sinB,则c=(). A.3 B.√21 C.V17+43 D.V17-4V3 题型3正余定理解三角形 解题大招 1、解三角形的概念 !一般地，三角形的三个角A,B,C和它们的对边a,b,c叫做三角形的元素在三角形中，已知三角形的几个 ·元素求其他元素的过程叫做解三角形 2、正弦定理在解三角形中的应用 丨(1)己知两角和任意一边，求其他的边和角，推荐使用正弦定理 (2)已知两边和其中一边的对角，求其他的边和角，推荐使用正弦定理 ！(3)在解三角形题目中，遇到题目条件含有边角的时候，若含有边的齐次式或者si的齐次式，可以考！ 虑用正弦定理。 |三角形中的射影定理：在△ABC中，a=bcosC+ccosB;b=acosC+ccoA;| 1. (2026山东聊城一模)已知ABC中，A=T,D是边AB上一点，BC⊥CD,AD=5,且 6 c0sB=25,则边AB的长为() 7 A.75 B.3v5 C.10W5 D.45 3 3 2.(2026广东汕头一模)ABC中，AB=AC,延长AB到点D,使AD=BC,连接CD.若A=100°， 则∠BCD的大小为 3.(2026高一.全国.专题练习)已知ABC的面积为1，边AC,AB上的中线为BD,CE,且CE=2BD,则 边AC的最小值为() 4 A·3 B.2 C.5 D.2√5 3/9 函学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 7生a77‘ha2ar张T四（￥口 的取值范围为() A.1,1+5 B.(0,1+V5 C.(1,+o D.(1,3 625.26高上江器扬州期中）在面四题形4B0D中，∠A君BB=2.4D=3.若荡更 述条件的平面四边形ABCD有且只有1个，则边CD的取值范围是 题型4正余弦定理判断三角形形状 解题大招 ·将已知的边角关系转化为统一的边或角的关系，再判断形状。 :1、观察条件是边的关系、角的关系还是混合。条件为边的等式，尝试余弦定理化角。条件含正弦， !/余弦函数，尝试正弦定理化边，或直接三角变形。化为最简的边等式或角等式。 2、根据化简结果判断： !(1)出现边相等的时候，可判断等腰或者等边。 !(2）若a2+b2=c2,则∠C=90°（勾股定理逆定理）。 ！(3)若a2+b2>c2,则∠C<90°（锐角）。 ！(4)若a2+b2<c2,则∠C>90°（钝角）。 2 1.(25-26高三上陕西咸阳期末)若a,b,C是ABC的内角A,B,C的对边， /ac_B=2,且 c a ac sin8sinc=分则4Bc是() A.锐角三角形 B.钝角三角形 C.三边互不相等的直角三角形 D.等腰直角三角形 2.(2025高三上湖北黄冈专题练习)在ABC中，角A,B,C所对的边分别为a,b,C,若 a<bcos◆C,则ABC为() A.锐角三角形B.等边三角形 C.直角三角形 D.钝角三角形 3.(辽宁大连育明高中、丹东二中、本溪高中四校联考2026届高三下学期教学质量调研数学试题)已知 ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,则能判定ABC一定是等腰三角形的为() A.acos B=bcos A B.cosBcosC=sin24 2 C.a-b=c(cos B-cos A) D.sin2 A+sin2 B 2 sin A sin B sin C 4/9 函学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 4.（多选)(25-26高三下·河北雄安·开学考试)己知ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,则下列说法 正确的是() A.若B>C,则sinB>sinC B.若a2+c2>b2,则ABC为锐角三角形 C.若ABC为锐角三角形，则sinC>cosA D.若b=2A=号a=5,则ABC为直角三角形 4.(多选)(25-26高一下·全国·课后作业)（多选）在ABC中，内角A,B,C所对的边分别为a,b,c, 若g-a2+c2- b2b2+c2-a2 ,则ABC是() A.等腰三角形 B,直角三角形 C.等腰直角三角形 D.等边三角形 5.(多选)(25-26高一下·全国·单元测试)已知a,b,c分别是ABC的内角A,B,C的对边，给出下 列条件，能推出ABC为等腰三角形的条件有() A.sinA sinB B.sin'B sin2A+sin2C C.sinA=2cosBsinC D.cos2A=cos2B 题型5三角形解的个数 !解题大超 |在△ABC中，己知a,b和A时，求B角的时，解的情况如下： 1若A为锐角时： b a B B B B a<bsin A a=bsin A bsinA<a<b a≥b 无解 一解 两解 一解 丨若A为直角或者钝角时： 5/9 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 B B a>b a≤b 一解 无解 1.(25-26高一下·全国课后作业)已知a,b,c分别是ABC的三个内角A,B,C所对的边，若A=60°， c=6,a=9,则此三角形有() A.两解 B.一解 C.无解 D.无穷多解 2.(25-26高一下·全国单元测试)根据下列情况，判断三角形解的情况，其中错误的是() A.a=8,b=16,A=30°，有两解B.b=18,c=20,B=60°，有一解 C.a=5,c=2,A=90°，无解 D.a=30,b=25,A=150°，有一解 3.(25-26高一下·全国课堂例题)在ABC中，内角A,B,C的对边分别为A,b,C.已知A=45°， a=2,b=√2，符合上述条件的ABC有个. 4.(25-26高三上广东珠海·月考)己知ABC三个内角A,B,C的对边分别为a,b,c,若满足条件 4=胥，b=2的三角形有两解，则边长a的取值范围为 5.(25-26高一上·上海宝山期末)在ABC中，角A、B、C所对的边分别为Q、b、C,已知a=8, B=严，要使该三角形有唯一解，则b的取值范围为 61 题型6正余弦定理在边角互化的应用 |正余弦定理实现三角形的边角互化，可以用来化简题目中的条件。 (1)利用正弦定理进行边角互化，需要对等式中的每项进行统一变换。 L2）利用余弦定理，化角为边。 1.(2026高一下·全国.专题练习)在非直角ABC中，设角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知 a sin A+bsin B-csin C=4 b sin B cosC,CD是角C的内角平分线，且CD=b,则cosC等于() A.8 1 3 1 B. A a. D. 6 2.(25-26高三上·四川眉山期末)记ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知 2sin2A=sin2B+sin2C,a=5,cosA= ，则48C的期长() 25 A.9 B.14 C.19 D.24 6/9 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 3.(25-26高三下，贵州遵义·开学考试)在ABC中，内角A4,B,C所对的边分别为a,b,c,若 cos2A+cos2B-cos2C=1,2a+b=10,则C的最小值为() A.25 B.4v3 C.6 D.5√2 4.(湖北武汉市2026届高中毕业生三月调研考试数学试卷)设△ABC的内角A,B,C所对的边分别为α， b,c,若acos B--bcosA=c,则mA（) 3 5 tan B A.2 B.3 C.4 D.5 5.(多选)(25-26高三下·浙江杭州·月考)在锐角ABC中，角A,B,C的对边分别为a,b,c,记ABC的 面积为S,若(b2-a2)sinB=2S,，则以下说法正确的有() A.a2+ac=b2 B.B=2A C.<A< 4 2 D.b+c∈(2+1，V3+2 a 题型7面积公式的应用 解题大 11、 SABC=absinC=bcsinA=acsinB 2、 S4ABC=装=(a+b+c小r(r是三角形内切圆的半径，R是三角形外接圆的半径。) 在解三角形问题中，面积公式经常可同余弦定理结合起来计算。 1.(2026高一.全国专题练习)已知ABC的外接圆半径为R,角A,B,C所对的边分别为a,b,C, 3 2 若asin BcosC+三csinC=二，则ABC面积的最大值是 R 2.(多选)(2026高一全国专题练习)（多选）在ABC中，内角A,B,C的对边分别为Q,b,c, 则下列说法中正确的有() A.者a=6,A=号，则48C面积的最大值为3行 B.若a=6,b+c=8,则ABC面积的最大值为3√7 C若角1的内角平分线交BC于点D,且8C},a=3,则BC面积的最大值为3 D.若4B=8C,M为BC的中点，且4M=2,则4BC面积的最大值为 3.(25-26高三上广西崇左期末)在ABC中，角A,B,C的对边分别为a,b,C,己知a2+5b2=4, 且a2+b2=c2+ab,则ABC面积的最大值为() A.15 10 B.5 c.15 5 D.② 2 4.(2026山东菏泽.一模)记ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,己知ab=5,c=2,则 7/9 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 ABC的面积的最大值为() A2 B.2 C.3 D.4 5. (2026重庆一模)在ABC中，P为边AB上一点，CP=1,∠ACP=30°，∠BCP=45°，∠CPB=0.当 ABC面积最小时，tan0= 题型8正余弦定理的应用 1、测距问题，是将实际问题转化为三角形模型，选择可测数据作为己知量，通过正弦定理、 余弦定理及！ 三角函数的直角边关系逐步求出未知距离。画出清晰图形、选择合适的初始三角形是解题的突破口。通 常问题有以下 (1)两点间不可达又不可视(2)两点间可视但不可达(3)两点都不可达 :2、测量高度问题，利用水平面（或基线）、视线构成的三角形，通过测量角度和可及距离，计算出不可： 直接测量的高度。 基本关系（在直角三角形中）：高度=水平距离×tan(仰角)，其中仰角是观测点与目标顶端连线和 水平线的夹角。通常问题有： (1)底部可达：利用直角三角形解(2)底部不可达（仰角在不同位置测两次） 3、测量角度问题，将待测角置于一个或一系列三角形中，通过测量足够数量的边和其他角，利用三角形 内角和定理、正弦定理、余弦定理反推出目标角。 1. (2026高一全国.专题练习)如图，风景秀美的宝湖畔有四棵高大的银杏树，记作A,B,P,Q,湖岸 部分地方围有铁丝网不能通过.欲测量P,Q两棵树和A,P两棵树之间的距离，现可测得A,B两点间的 距离为100m,∠PAB=75°，∠QAB=45°，∠PBA=60°，∠QBA=90°.则P,Q两棵树和A,P两棵树之 间的距离分别为 m 759 45 60B 100m 2. (25-26高一下·全国·课堂例题)某登山队在山脚A处测得山顶B的仰角为45°，沿倾斜角为30°的斜坡 前进1000m后到达D处，又测得山顶的仰角为60°，则山的高度BC为 m(注： 8/9 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 sinl5°=v6-V2 3.(25-26高一下·全国·课堂例题)如图所示，在山顶铁塔上B处测得地面上一点A的俯角为，在塔底C 处测得A处的俯角为阝.已知铁塔BC部分的高为h,则山高CD= B h 4.(2026高一全国专题练习)圣·索菲亚教堂是哈尔滨的标志性建筑，其中央主体建筑集球、圆柱、棱柱 于一体，极具对称之美，某同学为了估算圣·索菲亚教堂的高度，在圣·索菲亚教堂的正东方向找到一座建筑 物AB,高约为35m,在它们之间的地面上的点M(B,M,D三点共线)处测得楼顶A、教堂顶C的仰角 分别是45°和60°，在楼顶A处测得教堂顶C的仰角为15°，则估算圣·索菲亚教堂的高度CD约为() 15 6045° B M A.44m B.47m C.50m D.53m 5.(25-26高一下·全国·期中)一辆汽车在一条水平的公路上向正西行驶，如图，到A处时测得公路北侧一 铁塔底部C在西偏北30°的方向上，行驶200后到达B处，测得此铁塔底部C在西偏北75°的方向上，塔 顶D的仰角为30°，则此铁塔的高度为() A. 100V6 B.506m C.100√3m D.100√2m 9/9