7.5正态分布 讲义-2025-2026学年高二下学期数学人教A版选择性必修第三册

人教A版选择性必修第三册 第七章 随机变量及其分布 知识点一　正态曲线 (一)教材梳理填空 1．连续型随机变量 大量问题中的随机变量不是离散型的，它们的取值往往充满某个区间，甚至 ，但取一点的概率为 ，我们称这类随机变量为连续型随机变量． 2．正态曲线的定义 若f(x)＝ ，x∈R，其中μ∈R，σ>0为参数，我们称f(x)为正态密度函数，称它的图象为正态密度曲线，简称 3．正态曲线的特点 (1)曲线位于x轴上方，与x轴不相交； (2)曲线与x轴之间的面积为1； (3)曲线是单峰的，它关于 对称； (4)曲线在 处达到峰值； (5)当|x|无限增大时，曲线无限接近 [微思考]　正态分布密度曲线有哪些特性？ (二)基本知能小试 1．[多选]以下关于正态分布密度曲线的说法中正确的是(　　) A．曲线都在x轴的上方，左右两侧与x轴无限接近，最终可与x轴相交 B．曲线关于直线x＝μ对称 C．曲线呈现“中间高，两边低”的钟形形状 D．曲线与x轴之间的面积为1 2．下列函数是正态密度函数的是(　　) A．f(x)＝e，μ，σ(σ>0)都是实数 B．f(x)＝e－ C．f(x)＝e－ D．f(x)＝e 知识点二　正态分布 (一)教材梳理填空 1．正态分布的定义 若随机变量X的概率分布密度函数为f(x)＝e－，则称随机变量X服从正态分布，记为 特别地，当μ＝0，σ＝1时，称随机变量X服从 2．正态分布的特征 (1)当σ一定时，曲线的位置由μ确定，曲线随着μ的变化而沿 平移，参数μ反映了正态分布的集中位置． (2)当μ一定时，曲线的形状由σ确定，σ越小，曲线越“瘦高”，表示总体的分布越 ；σ越大，曲线越“矮胖”，表示总体的分布越 σ反映了随机变量的分布相对于均值μ的离散程度． (3)若 X～N(μ，σ2)，则E(X)＝_ ，D(X)＝ . 3．3σ原则 正态分布在三个特殊区间内取值的概率： P(μ－σ≤X≤μ＋σ)≈ ， P(μ－2σ≤X≤μ＋2σ)≈ ， P(μ－3σ≤X≤μ＋3σ)≈ 通常认为服从于正态分布N(μ，σ2)的随机变量X只取 中的值，并简称为3σ原则． [微思考]　在正态分布随机变量X满足的公式中，μ与σ分别表示随机变量X什么值？ (二)基本知能小试 1．已知随机变量X服从正态分布N(2，σ2)，则P(X<2)＝(　　) A.　　　　　　　　　 B. C. D. 2．若随机变量Z～N(0,1)，P(Z≤1.52)＝0.935 7，则P(Z>1.52)＝________. 3．正态分布的概率密度函数P(x)＝e－在(3,7]内取值的概率为________． 题型一　正态曲线及其特点 [学透用活] [典例1]　(1)[多选]某次我市高三教学质量检测中，甲、乙、丙三科考试成绩的直方图如图所示(由于人数众多， 成绩分布的直方图可视为正态分布), 则由如图曲线可得下列说法中正确的一项是(　　) A．甲科总体的标准差最小 B．丙科总体的平均数最小 C．乙科总体的标准差及平均数都居中 D．甲、乙、丙的总体的平均数相同 (2)如图所示是一个正态曲线，试根据该图象写出其正态分布的概率密度函数的解析式，求出总体随机变量的期望和方差． [对点练清] 1．设两个正态分布N(μ1，σ)(σ1>0)和N(μ2，σ)(σ2>0)的密度函数图象如图所示．则下列结论正确的是(　　) A．μ1<μ2，σ1<σ2　　　　　 B．μ1<μ2，σ1>σ2 C．μ1>μ2，σ1<σ2 D．μ1>μ2，σ1>σ2 2．标准正态分布N(0,1)在区间(－2，－1)和(1,2)上取值的概率分别为p1，p2，则p1与p2的大小关系为________． 题型二　利用正态分布求概率 [学透用活] [典例2]　(1)已知随机变量ξ～N(2，σ2)，且P(ξ<4)＝0.8，则P(0<ξ<2)＝(　　) A．0.6 B．0.4 C．0.3 D．0.2 (2)设随机变量X～N(2,9)，若P(X>c＋1)＝P(X<c－1)． ①求c的值； ②求P(－4≤X≤8)． [对点练清] 1．若随机变量ξ～N(0,1)，已知P(ξ<－1.96)＝0.025，则P(|ξ|<1.96)＝(　　) A．0.025 B．0.050 C．0.950 D．0.975 2．在某项测量中，测量结果X～N(1,4)，求正态总体X在(－1,1)内取值的概率． 题型三　正态分布的实际应用 [学透用活] (1)正态分布是自然界中常见的一种分布，在实际应用中主要包括：例如测量误差，考试成绩，人体的身高、体重，某农作物的产量，工厂产品的尺寸(直径、长度、宽度、高度)等． (2)依据3σ原则来判断生产出现了问题：3σ原则是依据P(μ－3σ≤X≤μ＋3σ)≈0.997 3.也就是说，产品在(μ－3σ，μ＋3σ)之外的可能性约为0.002 7，如果某种产品在(μ－3σ，μ＋3σ)之外，这说明生产中出现了问题，应及时查找原因． [典例3]　有一种精密零件，其尺寸X(单位：mm)服从正态分布N(20,4)．若这批零件共有5 000个，试求： (1)这批零件中尺寸在18～22 mm的零件所占的百分比； (2)若规定尺寸在24～26 mm的零件不合格，则这批零件中不合格的零件大约有多少个？ [对点练清] 某年级的一次数学测验成绩近似服从正态分布N(70，102)，如果规定低于60分为不及格，求： (1)成绩不及格的人数占多少？ (2)成绩在80～90分的学生占多少？ [课堂思维激活]　 一、综合性——强调融会贯通 1．为保障全民阅读权利，培养全民阅读习惯，提高全民阅读能力，推动文明城市和文化强市建设，某高校为了解全校学生的阅读情况， 随机调查了200名学生的每周阅读时间x(单位：时)并绘制如图所示的频率分布直方图： (1)求这200名学生每周阅读时间的样本平均数和样本方差s2(同一组数据用该组区间的中点值代表)； (2)由频率分布直方图可以看出，目前该校学生每周的阅读时间x大致服从正态分布N(μ，σ2)，其中μ近似为样本平均数，σ2近似为样本方差s2. ①一般正态分布N(μ，σ2)的概率都可以转化为标准正态分布N(0,1)的概率进行计算：若X～N(μ，σ2)，令Y＝，则Y～N(0,1)，且P(X≤a)＝P，利用直方图得到的正态分布，求P； ②从该高校的学生中随机抽取20名，记Z表示这20名学生中每周阅读时间超过10小时的人数，求Z的均值． 参考数据：≈，若Y～N，则P(Y≤0.75)＝0.773 4. 二、应用性——强调学以致用 2．某设备在正常运行时，产品的质量服从正态分布，其参数分别为μ＝500 g，σ＝1 g．为了检查设备运行是否正常，质量检查员需要随机地抽取产品，测量其质量．当检查员随机地抽取一个产品，测得其质量为504 g时，他立即要求停止生产，检查设备，他的决定是否有道理？ [课下过关检测] 1．设随机变量X的正态密度函数为f(x)＝·e，x∈R，则参数μ，σ的值分别是(　　) A．μ＝3，σ＝2 B．μ＝－3，σ＝2 C．μ＝3，σ＝ D．μ＝－3，σ＝ 2．已知随机变量ξ服从正态分布ξ～N(0，σ2)．若P(ξ>2)＝0.023，则P(－2≤ξ≤2)等于(　　) A．0.477 B．0.628 C．0.954 D．0.977 3．若随机变量X服从正态分布，其正态曲线上的最高点的坐标是，则该随机变量的方差等于(　　) A．10 B．100 C. D. 4．已知一次考试共有60名同学参加，考生成绩X～N(110，52)，据此估计，大约有57人的分数所在的区间为(　　) A．(90,100] B．(95,125] C．(100,120] D．(105,115] 5.如图是三个正态分布X～N(0，0.25)，Y～N(0,1)，Z～N(0,4)的密度曲线，则三个随机变量X，Y，Z对应曲线分别是图中的______，________，________. 6．设ξ～N(2,1)，则P(1<ξ≤3)＝________；P(3<ξ≤4)＝________. 7．在一次测试中，测试结果X服从正态分布X～N(2，σ2)(σ>0)，若X在(0,2)内取值的概率为0.2，求： (1)X在(0,4)内取值的概率； (2)P(X>4)． 1．若随机变量X～N(1,22)，则D等于(　　) A．4 B．2 C. D．1 2．(2024·新课标Ⅰ卷)[多选]随着“一带一路”国际合作的深入，某茶叶种植区多措并举推动茶叶出口．为了解推动出口后的亩收入(单位：万元)情况，从该种植区抽取样本，得到推动出口后亩收入的样本均值＝2.1，样本方差s2＝0.01，已知该种植区以往的亩收入X服从正态分布N(1.8,0.12)，假设推动出口后的亩收入Y服从正态分布N(，s2)，则(　　) (若随机变量Z服从正态分布N(μ，σ2)，P(Z＜μ＋σ)≈0.841 3) A．P(X＞2)＞0.2 B．P(X＞2)＜0.5 C．P(Y＞2)＞0.5 D．P(Y＞2)＜0.8 3．[多选]已知正态分布X～N(μ，σ2)的密度曲线是f(x)＝·e，x∈R的图象．下列命题正确的是(　　) A．对任意x∈R，f(μ＋x)＝f(μ－x)成立 B．如果随机变量X服从X～N(μ，σ2)，且F(x)＝P(X<x)，那么F(x)是R上的增函数 C．如果随机变量X服从X～N(108,100)，那么X的期望是108，标准差是100 D．随机变量X服从X～N(μ，σ2)，P(X<1)＝，P(X>2)＝p，则P(0<X<2)＝1－2p 4．如图，已知随机变量X～N(2，σ2)，若P(X<a)＝0.32，则P(a≤X<4－a)＝________. 5．某校积极响应国家号召，组织全校学生加强实心球项目训练，规定该校男生投掷实心球6.9米达标，女生投掷实心球6.2米达标，并拟定投掷实心球的考试方案为每位学生可以投掷3次，一旦达标就不用再投．从该校任选5名学生进行测试，如果有2人不达标的概率超过0.1，那么该校学生还需加强实心球项目训练．已知该校男生投掷实心球的米数ξ1服从正态分布N(6.9,0.25)，女生投掷实心球的米数ξ2服从正态分布N(6.2，0.16)． (1)请你通过计算，说明该校学生是否还需加强实心球项目训练； (2)为提高学生考试达标率，该校决定加强训练，经过一段时间训练后，该校女生投掷实心球的米数X服从正态分布N(6.516,0.16)，且P(X≤6.832)＝0.785.此时，请判断该校女生投掷实心球的考试达标率能否达到99%，并说明理由．(取的值为2.15) 6．从某企业生产的某种产品中抽取500件，测量这些产品的一项质量指标值，由测量结果得如下频率分布直方图： (1)求这500件产品质量指标值的样本平均数和样本方差s2(同一组中的数据用该组区间的中点值作代表)； (2)由直方图可以认为，这种产品的质量指标值Z服从正态分布N(μ，σ2)，其中μ近似为样本平均数，σ2近似为样本方差s2. ①利用该正态分布，求P(187.8<Z<212.2)； ②某用户从该企业购买了100件这种产品，记X表示这100件产品中质量指标值位于区间(187.8,212.2)的产品件数．利用①的结果，求E(X)． 附：≈12.2. 若Z～N(μ，σ2)，则P(μ－σ<Z<μ＋σ)＝0.682 7， P(μ－2σ<Z<μ＋2σ)＝0.954 5. 7 / 7 学科网（北京）股份有限公司 $人教A版选择性必修第三册 第七章 随机变量及其分布 知识点一　正态曲线 (一)教材梳理填空 1．连续型随机变量 大量问题中的随机变量不是离散型的，它们的取值往往充满某个区间，甚至整个实轴，但取一点的概率为0，我们称这类随机变量为连续型随机变量． 2．正态曲线的定义 若f(x)＝e－，x∈R，其中μ∈R，σ>0为参数，我们称f(x)为正态密度函数，称它的图象为正态密度曲线，简称正态曲线． 3．正态曲线的特点 (1)曲线位于x轴上方，与x轴不相交； (2)曲线与x轴之间的面积为1； (3)曲线是单峰的，它关于直线x＝μ对称； (4)曲线在x＝μ处达到峰值； (5)当|x|无限增大时，曲线无限接近x轴． [微思考]　正态分布密度曲线有哪些特性？ 提示：①集中性：正态曲线的高峰位于正中央，即均数所在的位置．②对称性：正态曲线以均数为中心，左右对称，曲线两端永远不与横轴相交．③均匀变动性：正态曲线由均数所在处开始，分别向左右两侧逐渐均匀下降． (二)基本知能小试 1．[多选]以下关于正态分布密度曲线的说法中正确的是(　　) A．曲线都在x轴的上方，左右两侧与x轴无限接近，最终可与x轴相交 B．曲线关于直线x＝μ对称 C．曲线呈现“中间高，两边低”的钟形形状 D．曲线与x轴之间的面积为1 解析：选BCD　由正态分布密度曲线的特点，易知B、C、D说法正确，对于A，曲线与x轴不相交，A错误． 2．下列函数是正态密度函数的是(　　) A．f(x)＝e，μ，σ(σ>0)都是实数 B．f(x)＝e－ C．f(x)＝e－ D．f(x)＝e 解析：选B　本题考查正态密度函数，可对照f(x)＝e－，其中指数部分的σ应与系数的分母处的σ保持一致，系数为正数且指数为负数．A有两处错误，分别是·σ错为，指数错为正数．C从系数可得σ＝2，而指数处可得σ＝，显然不符．D中指数为正，错误． 知识点二　正态分布 (一)教材梳理填空 1．正态分布的定义 若随机变量X的概率分布密度函数为f(x)＝e－，则称随机变量X服从正态分布，记为X～N(μ，σ2)．特别地，当μ＝0，σ＝1时，称随机变量X服从标准正态分布． 2．正态分布的特征 (1)当σ一定时，曲线的位置由μ确定，曲线随着μ的变化而沿 x轴平移，参数μ反映了正态分布的集中位置． (2)当μ一定时，曲线的形状由σ确定，σ越小，曲线越“瘦高”，表示总体的分布越集中；σ越大，曲线越“矮胖”，表示总体的分布越分散．σ反映了随机变量的分布相对于均值μ的离散程度． (3)若 X～N(μ，σ2)，则E(X)＝_μ_，D(X)＝_σ2_. 3．3σ原则 正态分布在三个特殊区间内取值的概率： P(μ－σ≤X≤μ＋σ)≈0.682_7， P(μ－2σ≤X≤μ＋2σ)≈0.954_5， P(μ－3σ≤X≤μ＋3σ)≈0.997_3. 通常认为服从于正态分布N(μ，σ2)的随机变量X只取[μ－3σ，μ＋3σ]中的值，并简称为3σ原则． [微思考]　在正态分布随机变量X满足的公式中，μ与σ分别表示随机变量X什么值？ 提示：μ是反映随机变量取值X的平均水平的特征数，可以用样本的均值去估计；σ是衡量随机变量X总体波动大小的特征数，可以用样本的标准差去估计． (二)基本知能小试 1．已知随机变量X服从正态分布N(2，σ2)，则P(X<2)＝(　　) A.　　　　　　　　　 B. C. D. 解析：选D　由题意知X的均值为2，因此P(X<2)＝. 2．若随机变量Z～N(0,1)，P(Z≤1.52)＝0.935 7，则P(Z>1.52)＝________. 答案：0.064 3 3．正态分布的概率密度函数P(x)＝e－在(3,7]内取值的概率为________． 解析：由题意可知X～N(5,4)，且μ＝5，σ＝2， 所以P(3≤X≤7)＝P(μ－σ≤X≤μ＋σ)≈0.682 7. 答案：0.682 7 题型一　正态曲线及其特点 [学透用活] [典例1]　(1)[多选]某次我市高三教学质量检测中，甲、乙、丙三科考试成绩的直方图如图所示(由于人数众多， 成绩分布的直方图可视为正态分布), 则由如图曲线可得下列说法中正确的一项是(　　) A．甲科总体的标准差最小 B．丙科总体的平均数最小 C．乙科总体的标准差及平均数都居中 D．甲、乙、丙的总体的平均数相同 (2)如图所示是一个正态曲线，试根据该图象写出其正态分布的概率密度函数的解析式，求出总体随机变量的期望和方差． [解析]　(1)选AD　由题中图象可知三科总体的平均数(均值)相等， 由正态密度曲线的性质，可知σ越大， 正态曲线越扁平；σ越小， 正态曲线越尖陡， 故三科总体的标准差从小到大依次为甲、乙、丙. (2)从给出的正态曲线可知，该正态曲线关于直线x＝20对称，最大值是， 所以μ＝20.由＝， 解得σ＝. 于是概率密度函数的解析式是φ(x)＝e－， x∈(－∞，＋∞)．总体随机变量的期望是μ＝20， 方差是σ2＝()2＝2. [方法技巧] 利用正态曲线的特点求参数μ，σ (1)正态曲线是单峰的，它关于直线x＝μ对称，由此性质结合图象求μ. (2)正态曲线在x＝μ处达到峰值，由此性质结合图象可求σ. (3)由σ的大小区分曲线的胖瘦． [对点练清] 1．设两个正态分布N(μ1，σ)(σ1>0)和N(μ2，σ)(σ2>0)的密度函数图象如图所示．则下列结论正确的是(　　) A．μ1<μ2，σ1<σ2　　　　　 B．μ1<μ2，σ1>σ2 C．μ1>μ2，σ1<σ2 D．μ1>μ2，σ1>σ2 解析：选A　当μ一定时，曲线的形状由σ确定．σ越大，曲线越“矮胖”，表示总体越分散；σ越小，曲线越“瘦高”，表示总体的分布越集中，利用这个性质可直接判断．由正态曲线性质知μ1<μ2，σ1<σ2. 2．标准正态分布N(0,1)在区间(－2，－1)和(1,2)上取值的概率分别为p1，p2，则p1与p2的大小关系为________． 解析：根据正态曲线的特点，关于x＝0对称，故在区间(－2，－1)和(1,2)上取值的概率相等，即p1＝p2. 答案：p1＝p2 题型二　利用正态分布求概率 [学透用活] [典例2]　(1)已知随机变量ξ～N(2，σ2)，且P(ξ<4)＝0.8，则P(0<ξ<2)＝(　　) A．0.6 B．0.4 C．0.3 D．0.2 (2)设随机变量X～N(2,9)，若P(X>c＋1)＝P(X<c－1)． ①求c的值； ②求P(－4≤X≤8)． [解析]　(1)选C　∵随机变量X服从正态分布ξ～N(2，σ2)，∴μ＝2，对称轴是x＝2. ∵P(ξ<4)＝0.8， ∴P(ξ≥4)＝P(ξ<0)＝0.2， ∴P(0<ξ<4)＝0.6， ∴P(0<ξ<2)＝0.3. (2)①由X～N(2,9)可知，密度函数关于直线x＝2对称(如图所示)． ∵P(X>c＋1)＝P(X<c－1)， 故有2－(c－1)＝(c＋1)－2，∴c＝2. ②P(－4≤X≤8)＝P(2－2×3<X≤2＋2×3)≈0.954 5. [方法技巧] 正态变量在某个区间内取值概率的求解策略 (1)充分利用正态曲线的对称性和曲线与x轴之间面积为1. (2)注意概率值的求解转化： ①P(X＜a)＝1－P(X≥a)； ②P(X＜μ－a)＝P(X≥μ＋a)； ③若b＜μ，则P(X＜b)＝. (3)熟记P(μ－σ≤X≤μ＋σ)，P(μ－2σ≤X≤μ＋2σ)，P(μ－3σ≤X≤μ＋3σ)的值． (4)求解时，可画出图象，结合图形解答. [对点练清] 1．若随机变量ξ～N(0,1)，已知P(ξ<－1.96)＝0.025，则P(|ξ|<1.96)＝(　　) A．0.025 B．0.050 C．0.950 D．0.975 解析：选C　∵随机变量ξ～N(0,1)，得μ＝0， ∴其图象关于y轴对称， ∴P(|ξ|<1.96)＝1－2P(ξ<－1.96) ＝1－2×0.025＝0.950. 2．在某项测量中，测量结果X～N(1,4)，求正态总体X在(－1,1)内取值的概率． 解：由题意得μ＝1，σ＝2， 所以P(－1＜X≤3)＝P(1－2＜X≤1＋2)＝0.682 7. 又因为正态曲线关于x＝1对称， 所以P(－1＜X＜1)＝P(1＜X≤3) ＝P(－1＜X≤3)≈0.341 4. 题型三　正态分布的实际应用 [学透用活] (1)正态分布是自然界中常见的一种分布，在实际应用中主要包括：例如测量误差，考试成绩，人体的身高、体重，某农作物的产量，工厂产品的尺寸(直径、长度、宽度、高度)等． (2)依据3σ原则来判断生产出现了问题：3σ原则是依据P(μ－3σ≤X≤μ＋3σ)≈0.997 3.也就是说，产品在(μ－3σ，μ＋3σ)之外的可能性约为0.002 7，如果某种产品在(μ－3σ，μ＋3σ)之外，这说明生产中出现了问题，应及时查找原因． [典例3]　有一种精密零件，其尺寸X(单位：mm)服从正态分布N(20,4)．若这批零件共有5 000个，试求： (1)这批零件中尺寸在18～22 mm的零件所占的百分比； (2)若规定尺寸在24～26 mm的零件不合格，则这批零件中不合格的零件大约有多少个？ [解]　(1)∵X～N(20,4)，∴μ＝20，σ＝2， ∴μ－σ＝18，μ＋σ＝22，于是尺寸在18～22 mm的零件所占的百分比大约是68.27%. (2)∵μ－3σ＝14，μ＋3σ＝26，μ－2σ＝16，μ＋2σ＝24， ∴尺寸在14～26 mm的零件所占的百分比大约是99.73%，而尺寸在16～24 mm的零件所占的百分比大约是95.45%. ∴尺寸在24～26 mm的零件所占的百分比大约是＝2.14%. 因此尺寸在24～26 mm间的零件大约有5 000×2.14%≈107(个)． ∴这批零件中不合格的零件大约有107个． [方法技巧] 正态曲线的应用及求解方法 (1)利用转化的思想方法，把普通的待求的区间问题向(μ－σ，μ＋σ)，(μ－2σ，μ＋2σ)，(μ－3σ，μ＋3σ)这三个区间进行转化，然后利用上述区间的概率求出相应概率， (2)解答正态分布的实际应用题，其关键是如何转化，同时应熟练掌握正态分布在[μ－σ，μ＋σ]，[μ－2σ，μ＋2σ]，[μ－3σ，μ＋3σ]三个区间内的概率．在此过程中用到归纳思想和数形结合思想． [对点练清] 某年级的一次数学测验成绩近似服从正态分布N(70，102)，如果规定低于60分为不及格，求： (1)成绩不及格的人数占多少？ (2)成绩在80～90分的学生占多少？ 解：(1)设学生的得分情况为随机变量X，X～N(70,102)， 则μ＝70，σ＝10. 分析成绩在60～80的学生的比为P(70－10<X≤70＋10)＝0.682 7. 所以成绩不及格的学生的比为(1－0.682 7)≈0.158 7， 即成绩不及格的学生占15.87%. (2)成绩在80～90的学生比为 [P(70－2×10<X≤70＋2×10)－P(70－10<X≤70＋10)]＝(0.954 5－0.682 7)＝0.135 9， 即成绩在80～90的学生占13.59%. [课堂思维激活]　 一、综合性——强调融会贯通 1．为保障全民阅读权利，培养全民阅读习惯，提高全民阅读能力，推动文明城市和文化强市建设，某高校为了解全校学生的阅读情况， 随机调查了200名学生的每周阅读时间x(单位：时)并绘制如图所示的频率分布直方图： (1)求这200名学生每周阅读时间的样本平均数和样本方差s2(同一组数据用该组区间的中点值代表)； (2)由频率分布直方图可以看出，目前该校学生每周的阅读时间x大致服从正态分布N(μ，σ2)，其中μ近似为样本平均数，σ2近似为样本方差s2. ①一般正态分布N(μ，σ2)的概率都可以转化为标准正态分布N(0,1)的概率进行计算：若X～N(μ，σ2)，令Y＝，则Y～N(0,1)，且P(X≤a)＝P，利用直方图得到的正态分布，求P； ②从该高校的学生中随机抽取20名，记Z表示这20名学生中每周阅读时间超过10小时的人数，求Z的均值． 参考数据：≈，若Y～N，则P(Y≤0.75)＝0.773 4. 解：(1)根据频率分布直方图知，阅读时间在区间[5.5，6.5)，[6.5,7.5)，[7.5，8.5)，[8.5,9.5), [9.5，10.5)，[10.5,11.5)，[11.5,12.5]内的频率分别为0.03,0.1，0.2，0.35,0.19,0.09,0.04， ＝6×0.03＋7×0.1＋8×0.2＋9×0.35＋10×0.19＋11×0.09＋12×0.04＝9， s2＝(6－9)2×0.03＋(7－9)2×0.1＋(8－9)2×0.2＋(9－9)2×0.35＋(10－9)2×0.19＋(11－9)2×0.09＋(12－9)2×0.04＝1.78， 所以样本平均数和样本方差s2分别为9,1.78. (2)①由题意知μ＝9，σ2＝1.78， 则有X～N(9,1.78)， σ＝＝≈， P(X≤10)＝P(Y≤0.75)＝0.773 4. ②由①知P(X>10)＝1－P(X≤10)＝0.226 6，可得Z～B(20，0.226 6)， 所以Z的均值E(Z)＝20×0.226 6＝4.532. 二、应用性——强调学以致用 2．某设备在正常运行时，产品的质量服从正态分布，其参数分别为μ＝500 g，σ＝1 g．为了检查设备运行是否正常，质量检查员需要随机地抽取产品，测量其质量．当检查员随机地抽取一个产品，测得其质量为504 g时，他立即要求停止生产，检查设备，他的决定是否有道理？ 解：检查员的决定是有道理的，理由如下： 当该设备正常运行时，产品的质量服从正态分布，其参数分别为μ＝500 g，σ＝1 g，所以根据正态分布的性质可知产品质量在区间[μ－3σ，μ＋3σ]，即[497,503]之间的概率约为0.997 3，而产品的质量超出这个范围的概率只有0.002 7，这是一个几乎不可能发生的事件．但是，检查员随机抽取的产品为504 g，这说明设备的运行可能不正常，因此检查员的决定是有道理的． [课下过关检测] 1．设随机变量X的正态密度函数为f(x)＝·e，x∈R，则参数μ，σ的值分别是(　　) A．μ＝3，σ＝2 B．μ＝－3，σ＝2 C．μ＝3，σ＝ D．μ＝－3，σ＝ 解析：选D　由正态密度函数表达式知μ＝－3，σ＝. 2．已知随机变量ξ服从正态分布ξ～N(0，σ2)．若P(ξ>2)＝0.023，则P(－2≤ξ≤2)等于(　　) A．0.477 B．0.628 C．0.954 D．0.977 解析：选C　∵随机变量ξ服从正态分布ξ～N(0，σ2)， ∴正态曲线关于直线x＝0对称． 又P(ξ>2)＝0.023， ∴P(ξ<－2)＝0.023， ∴P(－2≤ξ≤2)＝1－P(ξ>2)－P(ξ<－2) ＝1－2×0.023＝0.954. 3．若随机变量X服从正态分布，其正态曲线上的最高点的坐标是，则该随机变量的方差等于(　　) A．10 B．100 C. D. 解析：选C　由正态分布密度曲线上的最高点为知＝， ∴D(X)＝σ2＝. 4．已知一次考试共有60名同学参加，考生成绩X～N(110，52)，据此估计，大约有57人的分数所在的区间为(　　) A．(90,100] B．(95,125] C．(100,120] D．(105,115] 解析：选C　∵X～N(110,52)，∴μ＝110，σ＝5，又＝0.95≈P(μ－2σ＜X≤μ＋2σ)＝P(100<X≤120)． 5.如图是三个正态分布X～N(0，0.25)，Y～N(0,1)，Z～N(0,4)的密度曲线，则三个随机变量X，Y，Z对应曲线分别是图中的______，________，________. 解析：在密度曲线中，σ越大，曲线越“矮胖”；σ越小，曲线越“瘦高”． 答案：①　②　③ 6．设ξ～N(2,1)，则P(1<ξ≤3)＝________；P(3<ξ≤4)＝________. 解析：∵ξ～N(2,1)，∴μ＝2，σ＝1. 所以P(1<ξ≤3)＝p(2－1<ξ≤2＋1) ＝P(μ－σ<ξ≤μ＋σ)＝0.682 7. ∵P(3<ξ≤4)＝P(0<ξ≤1) ＝ ＝[P(μ－2σ<ξ<μ＋2σ)－P(μ－σ<ξ<μ＋σ)] ＝(0.954 5－0.682 7) ＝0.135 9. 答案：0.682 7　0.135 9 7．在一次测试中，测试结果X服从正态分布X～N(2，σ2)(σ>0)，若X在(0,2)内取值的概率为0.2，求： (1)X在(0,4)内取值的概率； (2)P(X>4)． 解：(1)由X～N(2，σ2)， 对称轴x＝2，画出示意图， 因为P(0<X<2)＝P(2<X<4)， 所以P(0<X<4)＝2P(0<X<2)＝2×0.2＝0.4. (2)P(X>4)＝[1－P(0<X<4)]＝(1－0.4)＝0.3. 1．若随机变量X～N(1,22)，则D等于(　　) A．4 B．2 C. D．1 解析：选D　因为X～N(1,22)，所以D(X)＝4，所以D＝D(X)＝1. 2．(2024·新课标Ⅰ卷)[多选]随着“一带一路”国际合作的深入，某茶叶种植区多措并举推动茶叶出口．为了解推动出口后的亩收入(单位：万元)情况，从该种植区抽取样本，得到推动出口后亩收入的样本均值＝2.1，样本方差s2＝0.01，已知该种植区以往的亩收入X服从正态分布N(1.8,0.12)，假设推动出口后的亩收入Y服从正态分布N(，s2)，则(　　) (若随机变量Z服从正态分布N(μ，σ2)，P(Z＜μ＋σ)≈0.841 3) A．P(X＞2)＞0.2 B．P(X＞2)＜0.5 C．P(Y＞2)＞0.5 D．P(Y＞2)＜0.8 解析：选BC　依题可知X～N(1.8,0.12)，Y～N(2.1，0.12)，故P(Y＞2)＝P(Y＞2.1－0.1)＝P(Y＜2.1＋0.1)≈0.841 3＞0.5，C正确，D错误； P(X＞2)＝P(X＞1.8＋2×0.1)，因为P(X＜1.8＋0.1)≈0.841 3，所以P(X＞1.8＋0.1)≈1－0.841 3＝0.158 7＜0.2，而P(X＞2)＝P(X＞1.8＋2×0.1)＜P(X＞1.8＋0.1)＜0.2，B正确，A错误．故选BC. 3．[多选]已知正态分布X～N(μ，σ2)的密度曲线是f(x)＝·e，x∈R的图象．下列命题正确的是(　　) A．对任意x∈R，f(μ＋x)＝f(μ－x)成立 B．如果随机变量X服从X～N(μ，σ2)，且F(x)＝P(X<x)，那么F(x)是R上的增函数 C．如果随机变量X服从X～N(108,100)，那么X的期望是108，标准差是100 D．随机变量X服从X～N(μ，σ2)，P(X<1)＝，P(X>2)＝p，则P(0<X<2)＝1－2p 解析：选ABD　如果随机变量X～N(108,100)，所以μ＝108，σ2＝100，即σ＝10，故C错，画出正态分布N(μ，σ2)的密度曲线如图所示． 由图可得，图象关于x＝μ对称，故A正确，随x的增加F(x)＝P(X<x)也随着增加，故B正确，由图象的对称性知D正确，故选A、B、D. 4．如图，已知随机变量X～N(2，σ2)，若P(X<a)＝0.32，则P(a≤X<4－a)＝________. 解析：因为＝2，所以正态分布密度曲线图象的对称性可得：P(a≤X<4－a)＝1－2P(X<a)＝0.36. 答案：0.36 5．某校积极响应国家号召，组织全校学生加强实心球项目训练，规定该校男生投掷实心球6.9米达标，女生投掷实心球6.2米达标，并拟定投掷实心球的考试方案为每位学生可以投掷3次，一旦达标就不用再投．从该校任选5名学生进行测试，如果有2人不达标的概率超过0.1，那么该校学生还需加强实心球项目训练．已知该校男生投掷实心球的米数ξ1服从正态分布N(6.9,0.25)，女生投掷实心球的米数ξ2服从正态分布N(6.2，0.16)． (1)请你通过计算，说明该校学生是否还需加强实心球项目训练； (2)为提高学生考试达标率，该校决定加强训练，经过一段时间训练后，该校女生投掷实心球的米数X服从正态分布N(6.516,0.16)，且P(X≤6.832)＝0.785.此时，请判断该校女生投掷实心球的考试达标率能否达到99%，并说明理由．(取的值为2.15) 解：(1)由该校男生投掷实心球的米数ξ1服从正态分布N(6.9，0.25)，女生投掷实心球的米数ξ2服从正态分布N(6.2,0.16)，可知该校男生和女生达标的概率均为，不达标的概率均为，所以选5人进行测试时，有2人不达标的概率为C×5＝>0.1， 所以该校学生还需加强实心球项目训练． (2)由题意知X～N(6.516,0.16)，P(X≤6.832)＝0.785，即P(X≤6.516＋0.316)＝0.785， 所以P(X≥6.2)＝P(X≥6.516－0.316)＝P(X≤6.832)＝0.785， 所以女生的达标率为[1－(1－0.785)3]×100%＝(1－0.2153)×100%＝×100%＝99%，所以该校女生投掷实心球的考试达标率能达到99%. 6．从某企业生产的某种产品中抽取500件，测量这些产品的一项质量指标值，由测量结果得如下频率分布直方图： (1)求这500件产品质量指标值的样本平均数和样本方差s2(同一组中的数据用该组区间的中点值作代表)； (2)由直方图可以认为，这种产品的质量指标值Z服从正态分布N(μ，σ2)，其中μ近似为样本平均数，σ2近似为样本方差s2. ①利用该正态分布，求P(187.8<Z<212.2)； ②某用户从该企业购买了100件这种产品，记X表示这100件产品中质量指标值位于区间(187.8,212.2)的产品件数．利用①的结果，求E(X)． 附：≈12.2. 若Z～N(μ，σ2)，则P(μ－σ<Z<μ＋σ)＝0.682 7， P(μ－2σ<Z<μ＋2σ)＝0.954 5. 解：(1)抽取产品的质量指标值的样本平均数和样本方差s2分别为＝170×0.02＋180×0.09＋190×0.22＋200×0.33＋210×0.24＋220×0.08＋230×0.02＝200， s2＝(－30)2×0.02＋(－20)2×0.09＋(－10)2×0.22＋0×0.33＋102×0.24＋202×0.08＋302×0.02＝150. (2)①由(1)知，Z～N(200,150)，从而P(187.8<Z<212.2)＝P(200－12.2<Z<200＋12.2)＝0.682 7. ②由①知，一件产品的质量指标值位于区间(187.8，212.2)的概率为0.682 7，依题意知X～B(100,0.682 7)，所以E(X)＝100×0.682 7＝68.27. 7 / 7 学科网（北京）股份有限公司 $