7.4.2超几何分布 讲义-2025-2026学年高二下学期数学人教A版选择性必修第三册

人教A版选择性必修第三册 第七章 随机变量及其分布 7.4 二项分布与超几何分布 (一)教材梳理填空 1．超几何分布的相关概念 一般地，假设一批产品共有N件，其中有M件次品．从N件产品中随机抽取n件(不放回)，用X表示抽取的 的次品数，则X的分布列为 P(X＝k)＝ ，k＝m，m＋1，m＋2，…，r. 其中n，N，M∈N*，M N，n N，m＝max{0，n－N＋M}，r＝min{n，M}．如果随机变量X的分布列具有上式的形式，那么称随机变量X服从超几何分布． 2．服从超几何分布的随机变量的均值 设随机变量X服从超几何分布，则X可以解释为从包含M件次品的N件产品中，不放回地随机抽取n件产品中的次品数．令p＝，则p是N件产品的次品率，而是抽取的n件产品的次品率，则E(X)＝np. (二)基本知能小试 1．判断正误 (1)超几何分布就是一种概率分布模型．(　　) (2)一个袋子里装有4个白球，5个黑球和6个黄球，从中任取4个球，则取出的黑球个数X服从超几何分布．(　　) 2．在5件产品中，有3件一等品和2件二等品，从中任取2件，那么以为概率的事件是(　　) A．都不是一等品 B．恰有1件一等品 C．至少有1件一等品 D．至多有1件一等品 3．一个小组有6个人，任选2名代表，则甲当选的概率为________． 题型一　超几何分布概率公式的应用 [学透用活] 1．超几何分布的模型特点 (1)超几何分布中的正品、次品也可以理解为黑、白，男、女等有明显差异的两部分． (2)超几何分布中“X＝k”的含义是“取出的n件产品中恰好有k件次品”． 2．超几何分布的特征 (1)超几何分布的抽取是不放回的． (2)超几何分布本质上还是这一事件在该随机试验中发生的次数与总次数的比． [典例1]　10件产品中有2件次品，任取2件进行检验，求下列事件的概率： (1)至少有1件次品； (2)至多有1件次品． [对点练清] 1．设袋中有80个红球，20个白球，若从袋中任取10个球，则其中恰有6个红球的概率为(　　) A.　　　　　　　　 B. C. D. 2．从放有10个红球与15个白球的暗箱中，随意摸出5个球，规定取到一个白球得1分，一个红球得2分，求某人摸出5个球，恰好得7分的概率． 题型二　与超几何分布有关的分布列、期望问题 [学透用活] [典例2]　老师要从10篇课文中随机抽3篇让学生背诵，规定至少要背出其中2篇才能及格．某同学只能背诵其中的6篇，试求： (1)抽到他能背诵的课文的数量的分布列及均值； (2)他能及格的概率． [对点练清] 某高二数学兴趣小组有7位同学，其中有4位同学参加过高一数学“南方杯”竞赛．若从该小组中任选3位同学参加高二数学“南方杯”竞赛，求这3位同学中参加过高一数学“南方杯”竞赛的同学数ξ的分布列、期望． 题型三　超几何分布的综合应用 [学透用活] [典例3]　在一次购物抽奖活动中，假设10张奖券中有一等奖奖券1张，可获价值50元的奖品，有二等奖奖券3张，每张可获价值10元的奖品；其余6张没有奖品． (1)顾客甲从10张奖券中任意抽取1张，求中奖次数X的分布列； (2)顾客乙从10张奖券中任意抽取2张， ①求顾客乙中奖的概率； ②设顾客乙获得的奖品总价值为Y元，求Y的分布列，并计算P(Y≥50)． [对点练清] 某学校共有1 000名学生，其中男生400人，为了解该校学生在学校的月消费情况，采取分层随机抽样的方法随机抽取了100名学生进行调查，月消费金额分布在450～950．根据调查的结果绘制的学生在校月消费金额的频率分布直方图如图所示，将月消费金额不低于750元的学生称为“高消费群”． (1)求a的值； (2)现采用分层随机抽样的方式从月消费金额落在[550,650)，[750,850)内的两组学生中抽取10人，再从这10人中随机抽取3人，记被抽取的3名学生中属于“高消费群”的学生人数为随机变量X，求X的分布列及数学期望． [课堂思维激活]　 一、综合性——强调融会贯通 1．袋中有8个白球、2个黑球，从中随机地连续抽取3次，每次取1个球． (1)若每次抽取后都放回，设取到黑球的个数为X，求X的分布列； (2)若每次抽取后都不放回，设取到黑球的个数为Y，求Y的分布列及期望． 二、应用性——强调学以致用 2．在心理学研究中，常采用对比试验的方法评价不同心理暗示对人的影响，具体方法如下：将参加试验的志愿者随机分成两组，一组接受甲种心理暗示，另一组接受乙种心理暗示，通过对比这两组志愿者接受心理暗示后的结果来评价两种心理暗示的作用．现有6名男志愿者A1，A2，A3，A4，A5，A6和4名女志愿者B1，B2，B3，B4，从中随机抽取5人接受甲种心理暗示，另5人接受乙种心理暗示． (1)求接受甲种心理暗示的志愿者中包含A1但不包含B1的概率； (2)用X表示接受乙种心理暗示的女志愿者人数，求X的分布列． [课下过关检测]　 1．一批产品共10件，次品率为20%，从中任取2件，则恰好取到1件次品的概率为(　　) A. B. C. D. 2．现有语文、数学课本共7本(其中语文课本不少于2本)，从中任取2本，至多有1本语文课本的概率是，则语文课本共有(　　) A．2本 B．3本 C．4本 D．5本 3．一个盒子里装有大小相同的黑球10个，红球12个，白球4个，从中任取2个，其中白球的个数记为X，则下列概率中等于的是(　　) A．P(0<X≤2) B．P(X≤1) C．P(X＝2) D．P(X＝1) 4．10名同学中有a名女生，若从中抽取2个人作为学生代表，恰抽取1名女生的概率为，则a等于(　　) A．1　　　B．2或8　　　C．2　　　D．8 5．一个口袋中装有5只红球和4只黑球，从袋中任取4只球，取到1只红球得3分，取到1只黑球得1分，设得分为随机变量ξ，则ξ≥8的概率P(ξ≥8)＝________. 6．从装有除颜色外其余均相同的3个红球，2个白球的袋中随机取出2个球，设其中有ξ个红球，随机变量ξ的概率分布列如下： ξ 0 1 2 P x1 x2 x3 则x1，x2，x3的值分别为________． 7．从一批含有13件正品、2件次品的产品中，不放回地任取3件，则取得次品数ξ的均值为________． 8．从4名男生和2名女生中任选3人参加演讲比赛，设随机变量ξ表示所选3人中女生的人数． (1)求ξ的分布列； (2)求“所选3人中女生人数ξ≤1”的概率． 1．已知在10件产品中可能存在次品，从中抽取2件检查，其次品数为ξ，已知P(ξ＝1)＝，且该产品的次品率不超过40%，则这10件产品的次品率为(　　) A．10% B．20% C．30% D．40% 2．设随机变量ξ只能取5,6,7，…，16这12个值，且取每个值的概率均相同，则： (1)P(ξ>8)＝________； (2)P(6<ξ≤14)＝________. 3.某班50位学生期中考试数学成绩的频率分布直方图如图．其中成绩分组区间是[40,50)，[50,60)，[60,70)，[70,80)，[80,90)，[90,100]． (1)求图中x的值； (2)从成绩不低于80分的学生中随机选取2人，该2人中成绩在90分以上(含90分)的人数记为ξ，求ξ的分布列． 4．为推动党史学习教育工作扎实开展，营造“学党史、悟思想、办实事、开新局”的浓厚氛围，某校党委决定在教师党员中开展“学党史”知识竞赛．该校理综支部经过层层筛选，还有最后一个参赛名额要在甲、乙两名教师中间产生，支部书记设计了两种测试方案供两位教师选择． 方案一：从装有6个不同问题的纸盒中依次有放回抽取4个问题作答； 方案二：从装有6个不同问题的纸盒中依次不放回抽取4个问题作答． 已知这6个问题中，甲、乙两名教师都能正确回答其中的4个问题，且甲、乙两名教师对每个问题回答正确与否都是相互独立、互不影响的．假设甲教师选择了方案一，乙教师选择了方案二． (1)求甲、乙两名教师都只答对2个问题的概率； (2)若测试过程中每名教师答对1个问题得2分，答错得0分．你认为安排哪名教师参赛比较合适？请说明理由． 7 / 7 学科网（北京）股份有限公司 $人教A版选择性必修第三册 第七章 随机变量及其分布 7.4 二项分布与超几何分布 (一)教材梳理填空 1．超几何分布的相关概念 一般地，假设一批产品共有N件，其中有M件次品．从N件产品中随机抽取n件(不放回)，用X表示抽取的 n件产品中的次品数，则X的分布列为 P(X＝k)＝，k＝m，m＋1，m＋2，…，r. 其中n，N，M∈N*，M≤N，n≤N，m＝max{0，n－N＋M}，r＝min{n，M}．如果随机变量X的分布列具有上式的形式，那么称随机变量X服从超几何分布． 2．服从超几何分布的随机变量的均值 设随机变量X服从超几何分布，则X可以解释为从包含M件次品的N件产品中，不放回地随机抽取n件产品中的次品数．令p＝，则p是N件产品的次品率，而是抽取的n件产品的次品率，则E(X)＝np. [微思考]　在8个大小相同的球中，有2个黑球，6个白球，现从中取3个球，求取出的球中白球个数X是否服从超几何分布？超几何分布适合解决什么样的概率问题？ 提示：随机变量X服从超几何分布，超几何分布适合解决从一个总体(共有N个个体)内含有两种不同事物A(M个)、B(N—M个)，任取n个，其中恰有X个A的概率分布问题． (二)基本知能小试 1．判断正误 (1)超几何分布就是一种概率分布模型．(　　) (2)一个袋子里装有4个白球，5个黑球和6个黄球，从中任取4个球，则取出的黑球个数X服从超几何分布．(　　) 答案：(1)√　(2)√ 2．在5件产品中，有3件一等品和2件二等品，从中任取2件，那么以为概率的事件是(　　) A．都不是一等品 B．恰有1件一等品 C．至少有1件一等品 D．至多有1件一等品 解析：选D　“2件都是二等品”的概率P1＝＝，“2件中有1件是一等品、1件是二等品”的概率P2＝＝，则P1＋P2＝＋＝. 3．一个小组有6个人，任选2名代表，则甲当选的概率为________． 答案： 题型一　超几何分布概率公式的应用 [学透用活] 1．超几何分布的模型特点 (1)超几何分布中的正品、次品也可以理解为黑、白，男、女等有明显差异的两部分． (2)超几何分布中“X＝k”的含义是“取出的n件产品中恰好有k件次品”． 2．超几何分布的特征 (1)超几何分布的抽取是不放回的． (2)超几何分布本质上还是这一事件在该随机试验中发生的次数与总次数的比． [典例1]　10件产品中有2件次品，任取2件进行检验，求下列事件的概率： (1)至少有1件次品； (2)至多有1件次品． [解]　(1)“至少有1件次品”的对立事件是“2件都是正品”．“2件都是正品”的概率为＝， 所以“至少有1件次品”的概率为1－＝. (2)“至多有1件次品”的对立事件为“2件都是次品”，“2件都是次品”的概率为＝， 所以“至多有1件次品”的概率为1－＝. [方法技巧] 有关超几何分布问题，可直接套用公式求解，对于含“至多”“至少”等求概率问题，可先求其对立事件概率，再求原事件概率． [对点练清] 1．设袋中有80个红球，20个白球，若从袋中任取10个球，则其中恰有6个红球的概率为(　　) A.　　　　　　　　 B. C. D. 解析：选D　从袋中任取10个球，其中红球的个数X服从参数为N＝100，M＝80，n＝10的超几何分布，故恰有6个红球的概率为P(X＝6)＝. 2．从放有10个红球与15个白球的暗箱中，随意摸出5个球，规定取到一个白球得1分，一个红球得2分，求某人摸出5个球，恰好得7分的概率． 解：设摸出的红球个数为X，则X服从超几何分布，其中N＝25，M＝10，n＝5，由于摸出5个球，得7分，仅有两个红球的可能，那么恰好得7分的概率为P(X＝2)＝≈0.385，即恰好得7分的概率约为0.385. 题型二　与超几何分布有关的分布列、期望问题 [学透用活] [典例2]　老师要从10篇课文中随机抽3篇让学生背诵，规定至少要背出其中2篇才能及格．某同学只能背诵其中的6篇，试求： (1)抽到他能背诵的课文的数量的分布列及均值； (2)他能及格的概率． [解]　(1)设抽到他能背诵的课文的数量为X， 则P(X＝r)＝(r＝0,1,2,3)． 所以P(X＝0)＝＝， P(X＝1)＝＝， P(X＝2)＝＝， P(X＝3)＝＝. 所以X的分布列为 X 0 1 2 3 P E(X)＝3×＝. (2)能及格的概率为P(ξ≥2)＝＋＝. [方法技巧] 解决超几何分布问题的三个关键点 (1)超几何分布是概率分布的一种形式，一定要注意公式中字母的范围及其意义，解决问题时可以直接利用公式求解，但不能机械地记忆． (2)超几何分布中，只要知道M，N，n，就可以利用公式求出X取不同k的概率P(X＝k)，从而求出X的分布列． (3)求与超几何分布有关均值问题，可利用均值公式也可直接利用E(X)＝n求解． [对点练清] 某高二数学兴趣小组有7位同学，其中有4位同学参加过高一数学“南方杯”竞赛．若从该小组中任选3位同学参加高二数学“南方杯”竞赛，求这3位同学中参加过高一数学“南方杯”竞赛的同学数ξ的分布列、期望． 解：由题意可知，ξ的可能取值为0,1,2,3，且ξ服从超几何分布，P(ξ＝r)＝， 则P(ξ＝0)＝＝，P(ξ＝1)＝＝， P(ξ＝2)＝＝，P(ξ＝3)＝＝. 所以随机变量ξ的分布列为 ξ 0 1 2 3 P E(ξ)＝3×＝. 题型三　超几何分布的综合应用 [学透用活] [典例3]　在一次购物抽奖活动中，假设10张奖券中有一等奖奖券1张，可获价值50元的奖品，有二等奖奖券3张，每张可获价值10元的奖品；其余6张没有奖品． (1)顾客甲从10张奖券中任意抽取1张，求中奖次数X的分布列； (2)顾客乙从10张奖券中任意抽取2张， ①求顾客乙中奖的概率； ②设顾客乙获得的奖品总价值为Y元，求Y的分布列，并计算P(Y≥50)． [解]　(1)抽奖一次，只有中奖和不中奖两种情况，故X的取值只有0和1两种情况． P(X＝1)＝＝＝， 则P(X＝0)＝1－P(X＝1)＝1－＝. 因此X的分布列为 X 0 1 P 　　(2)①顾客乙中奖可分为两类：所抽取的2张奖券中有1张中奖或2张都中奖． 故所求概率P＝＝＝. ②Y的所有可能取值为0,10,20,50,60，且 P(Y＝0)＝＝＝， P(Y＝10)＝＝＝， P(Y＝20)＝＝＝， P(Y＝50)＝＝＝， P(Y＝60)＝＝＝. 因此随机变量Y的分布列为 Y 0 10 20 50 60 P 则P(Y≥50)＝P(Y＝50)＋P(Y＝60)＝＋＝. [方法技巧] 超几何分步的综合问题一般是将排列、组合、古典概型、分布列的知识融于一体，在知识上相互联系，解决此类问题的关键在于正确地处理好等可能事件的概率、对立事件的概率间的关系，并结合分布列的有关知识把相应的问题细化． [对点练清] 某学校共有1 000名学生，其中男生400人，为了解该校学生在学校的月消费情况，采取分层随机抽样的方法随机抽取了100名学生进行调查，月消费金额分布在450～950．根据调查的结果绘制的学生在校月消费金额的频率分布直方图如图所示，将月消费金额不低于750元的学生称为“高消费群”． (1)求a的值； (2)现采用分层随机抽样的方式从月消费金额落在[550,650)，[750,850)内的两组学生中抽取10人，再从这10人中随机抽取3人，记被抽取的3名学生中属于“高消费群”的学生人数为随机变量X，求X的分布列及数学期望． 解：(1)由题意知100×(0.001 5＋a＋0.002 5＋0.001 5＋0.001)＝1，解得a＝0.003 5. (2)由题意，从[550,650)中抽取7人，从[750,850)中抽取3人．随机变量X的所有可能取值为0,1,2,3，P(X＝k)＝(k＝0,1,2,3)， 所以随机变量X的分布列为 X 0 1 2 3 P 所以随机变量X的数学期望E(X)＝0×＋1×＋2×＋3×＝. [课堂思维激活]　 一、综合性——强调融会贯通 1．袋中有8个白球、2个黑球，从中随机地连续抽取3次，每次取1个球． (1)若每次抽取后都放回，设取到黑球的个数为X，求X的分布列； (2)若每次抽取后都不放回，设取到黑球的个数为Y，求Y的分布列及期望． 解：(1)若每次抽取后都放回，则每次抽到黑球的概率均为＝，而3次取球可以看成3重伯努利试验，因此X～B， 所以P(X＝0)＝C×0×3＝， P(X＝1)＝C×1×2＝， P(X＝2)＝C×2×1＝， P(X＝3)＝C×3×0＝. 因此X的分布列为 X 0 1 2 3 P (2)若每次抽取后都不放回，则随机抽取3次可看成随机抽取1次，但1次抽取了3个，因此黑球数Y服从参数为10,3,2的超几何分布，即P(Y＝k)＝， 因此P(Y＝0)＝＝， P(Y＝1)＝＝， P(Y＝2)＝＝. 因此Y的分布列为 Y 0 1 2 P E(Y)＝3×＝. 二、应用性——强调学以致用 2．在心理学研究中，常采用对比试验的方法评价不同心理暗示对人的影响，具体方法如下：将参加试验的志愿者随机分成两组，一组接受甲种心理暗示，另一组接受乙种心理暗示，通过对比这两组志愿者接受心理暗示后的结果来评价两种心理暗示的作用．现有6名男志愿者A1，A2，A3，A4，A5，A6和4名女志愿者B1，B2，B3，B4，从中随机抽取5人接受甲种心理暗示，另5人接受乙种心理暗示． (1)求接受甲种心理暗示的志愿者中包含A1但不包含B1的概率； (2)用X表示接受乙种心理暗示的女志愿者人数，求X的分布列． 解：(1)记“接受甲种心理暗示的志愿者中包含A1但不包含B1”的事件为M， 则P(M)＝＝. (2)由题意知X可取的值为0,1,2,3,4，则 P(X＝0)＝＝，P(X＝1)＝＝， P(X＝2)＝＝，P(X＝3)＝＝， P(X＝4)＝＝.因此X的分布列为 X 0 1 2 3 4 P [课下过关检测]　 1．一批产品共10件，次品率为20%，从中任取2件，则恰好取到1件次品的概率为(　　) A. B. C. D. 解析：选B　由题意知10件产品中有2件次品，故所求概率为P(X＝1)＝＝. 2．现有语文、数学课本共7本(其中语文课本不少于2本)，从中任取2本，至多有1本语文课本的概率是，则语文课本共有(　　) A．2本 B．3本 C．4本 D．5本 解析：选C　设语文书n本，则数学书有7－n本(2≤n<7)，则2本都是语文书的概率为＝，由组合数公式得n2－n－12＝0，解得n＝4. 3．一个盒子里装有大小相同的黑球10个，红球12个，白球4个，从中任取2个，其中白球的个数记为X，则下列概率中等于的是(　　) A．P(0<X≤2) B．P(X≤1) C．P(X＝2) D．P(X＝1) 解析：选B　由已知，得X的所有可能取值为0,1,2. P(X＝0)＝，P(X＝1)＝，P(X＝2)＝， ∴P(X≤1)＝P(X＝0)＋P(X＝1)＝. 4．10名同学中有a名女生，若从中抽取2个人作为学生代表，恰抽取1名女生的概率为，则a等于(　　) A．1　　　B．2或8　　　C．2　　　D．8 解析：选B　由题意得＝，即a(10－a)＝16，解得a＝2或a＝8，故选B. 5．一个口袋中装有5只红球和4只黑球，从袋中任取4只球，取到1只红球得3分，取到1只黑球得1分，设得分为随机变量ξ，则ξ≥8的概率P(ξ≥8)＝________. 解析：由题意知P(ξ≥8)＝1－P(ξ＝6)－P(ξ＝4)＝1－－＝. 答案： 6．从装有除颜色外其余均相同的3个红球，2个白球的袋中随机取出2个球，设其中有ξ个红球，随机变量ξ的概率分布列如下： ξ 0 1 2 P x1 x2 x3 则x1，x2，x3的值分别为________． 解析：ξ的可能取值为0,1,2. P(ξ＝0)＝＝0.1， P(ξ＝1)＝＝0.6， P(ξ＝2)＝＝0.3. 答案：0.1,0.6,0.3 7．从一批含有13件正品、2件次品的产品中，不放回地任取3件，则取得次品数ξ的均值为________． 解析：E(ξ)＝3×＝. 答案： 8．从4名男生和2名女生中任选3人参加演讲比赛，设随机变量ξ表示所选3人中女生的人数． (1)求ξ的分布列； (2)求“所选3人中女生人数ξ≤1”的概率． 解：(1)ξ可能取的值为0,1,2，服从超几何分布， P(ξ＝k)＝，k＝0,1,2. 所以ξ的分布列为 ξ 0 1 2 P (2)由(1)知，“所选3人中女生人数ξ≤1”的概率为 P(ξ≤1)＝P(ξ＝0)＋P(ξ＝1)＝. 1．已知在10件产品中可能存在次品，从中抽取2件检查，其次品数为ξ，已知P(ξ＝1)＝，且该产品的次品率不超过40%，则这10件产品的次品率为(　　) A．10% B．20% C．30% D．40% 解析：选B　设10件产品中有x件次品， 则P(ξ＝1)＝＝＝，∴x＝2或8.∵次品率不超过40%，∴x＝2，∴次品率为＝20%. 2．设随机变量ξ只能取5,6,7，…，16这12个值，且取每个值的概率均相同，则： (1)P(ξ>8)＝________； (2)P(6<ξ≤14)＝________. 解析：设取每个值的概率均为p，于是12p＝1，∴p＝. (1)P(ξ>8)＝P(ξ＝9)＋P(ξ＝10)＋…＋P(ξ＝16) ＝＝. (2)P(6<ξ≤14)＝P(ξ＝7)＋P(ξ＝8)＋…＋P(ξ＝14)＝. 答案：(1)　(2) 3.某班50位学生期中考试数学成绩的频率分布直方图如图．其中成绩分组区间是[40,50)，[50,60)，[60,70)，[70,80)，[80,90)，[90,100]． (1)求图中x的值； (2)从成绩不低于80分的学生中随机选取2人，该2人中成绩在90分以上(含90分)的人数记为ξ，求ξ的分布列． 解：(1)由(0.006×3＋0.01＋0.054＋x)×10＝1， 解得x＝0.018. (2)分数在[80,90)，[90,100]的人数分别是50×0.018×10＝9(人)，50×0.006×10＝3(人)． 所以ξ的可能取值为0,1,2，其服从参数为N＝12， M＝3，n＝2的超几何分布． 则P(ξ＝0)＝＝＝， P(ξ＝1)＝＝＝，P(ξ＝2)＝＝＝. 所以随机变量ξ的分布列为 ξ 0 1 2 P 4．为推动党史学习教育工作扎实开展，营造“学党史、悟思想、办实事、开新局”的浓厚氛围，某校党委决定在教师党员中开展“学党史”知识竞赛．该校理综支部经过层层筛选，还有最后一个参赛名额要在甲、乙两名教师中间产生，支部书记设计了两种测试方案供两位教师选择． 方案一：从装有6个不同问题的纸盒中依次有放回抽取4个问题作答； 方案二：从装有6个不同问题的纸盒中依次不放回抽取4个问题作答． 已知这6个问题中，甲、乙两名教师都能正确回答其中的4个问题，且甲、乙两名教师对每个问题回答正确与否都是相互独立、互不影响的．假设甲教师选择了方案一，乙教师选择了方案二． (1)求甲、乙两名教师都只答对2个问题的概率； (2)若测试过程中每名教师答对1个问题得2分，答错得0分．你认为安排哪名教师参赛比较合适？请说明理由． 解：(1)设甲、乙两名教师都只答对2个问题的情况分别为事件A与事件B， 则P(A)＝C2·2＝，P(B)＝＝＝，所以P(AB)＝×＝. (2)设甲教师得分数为X，则答对题数为， 有～B，故E(X)＝2E＝2×4×＝，D(X)＝4D＝4×4××＝.设乙教师得分数为Y，则Y的可能取值为4,6,8，P(Y＝4)＝＝，P(Y＝6)＝＝，P(Y＝8)＝＝，则E(Y)＝4×＋6×＋8×＝＝，D(Y)＝×2＋×2＋×2＝，由E(X)＝E(Y)，D(X)>D(Y)，则乙老师更为稳定，故选择乙老师． 7 / 7 学科网（北京）股份有限公司 $