7.4.1二项分布 讲义-2025-2026学年高二下学期数学人教A版选择性必修第三册

本讲义聚焦“二项分布与超几何分布”核心知识点，先梳理伯努利试验、n重伯努利试验的概念与特征，再构建二项分布的分布列、均值方差体系，通过教材填空、基础小试搭建知识支架，结合题型讲解（n重伯努利试验应用、二项分布实际问题、均值方差计算）实现层层递进。 该资料以“数学眼光”抽象现实问题，如无人机投弹灭火、保险理赔等实例构建模型，用“数学思维”通过典例与对点练提升推理运算能力，以“数学语言”表达分布列与期望方差培养模型观念。课中辅助教师分层教学，课后检测助力学生查漏补缺，强化知识应用。

人教A版选择性必修第三册 第七章 随机变量及其分布 7.4 二项分布与超几何分布 (一)教材梳理填空 1．伯努利试验的概念 只包含 的试验叫做伯努利试验． 2．n重伯努利试验的定义及特征 (1)定义：将一个伯努利试验 进行 所组成的随机试验称为n重伯努利试验． (2)特征：①同一个伯努利试验重复做 ②各次试验的结果 3．二项分布的概念 在n重伯努利试验中，设每次试验中事件A发生的概率为p(0<p<1)，用X表示事件A发生的次数，则X的分布列为 .如果随机变量X的分布列具有上式的形式，则称随机变量X服从二项分布，记作 [微思考]　二项分布与两点分布有何关系？ 4．二项分布的均值和方差 (1)均值：若X～B(n，p)，则E(X)＝np. (2)方差：若X～B(n，p)，则D(X)＝ (二)基本知能小试 1．判断正误 (1)在伯努利试验中，关注的是事件A是否发生，而在n重伯努利试验中，关注的是事件A发生的次数．(　　) (2)n重伯努利试验中每次试验只有发生与不发生两种结果．(　　) (3)将一枚硬币连续抛掷5次，则正面向上的次数的方差等于.(　　) 2．下列事件：①运动员甲射击一次，“射中9环”与“射中8环”；②甲、乙两运动员各射击一次，“甲射中10环”与“乙射中9环”；③甲、乙两运动员各射击一次，“甲、乙都射中目标”与“甲、乙都没射中目标”；④在相同的条件下，甲射击10次，5次击中目标，其中是n重伯努利试验的个数为(　　) A．1　　　　　　　　　 B．2 C．3 D．4 3．若X～B，则P(X＝2)等于 ________. 4．设随机变量ξ～B，则D(ξ)等于________． 题型一　n重伯努利试验 [学透用活] 在n重伯努利试验中，设事件A发生的次数为X，在每次试验中事件A发生的概率为p，那么在n重伯努利试验中，事件A恰好发生k次的概率P(X＝k)＝Cpk(1－p)n－k，k＝0,1,2，…，n. [典例1]　某气象站天气预报的准确率为80%，计算：(结果保留到小数点后面第2位) (1)5次预报中恰有2次准确的概率； (2)5次预报中至少有2次准确的概率； (3)5次预报中恰有2次准确，且其中第3次预报准确的概率． [对点练清] 已知两名射击运动员的射击水平：甲击中目标靶的概率是0.7，乙击中目标靶的概率是0.6.若让甲、乙两人各自向目标靶射击3次，则 (1)甲恰好击中目标2次的概率是________； (2)两名运动员都恰好击中目标2次的概率是________．（结果精确到0.01） 题型二　二项分布的应用 [学透用活] [典例2]　我国无人机发展迅猛，在全球具有领先优势，已经成为“中国智造”一张靓丽的新名片，并广泛用于森林消防、抢险救灾、环境监测等领域．某森林消防支队在一次消防演练中利用无人机进行投弹灭火试验，消防员甲操控无人机对同一目标起火点进行了三次投弹试验，已知无人机每次投弹时击中目标的概率都为，每次投弹是否击中目标相互独立．无人机击中目标一次起火点被扑灭的概率为，击中目标两次起火点被扑灭的概率为，击中目标三次起火点必定被扑灭． (1)求起火点被无人机击中次数的分布列及数学期望； (2)求起火点被无人机击中且被扑灭的概率． [对点练清] 1．设甲、乙两位同学上学期间，每天7：30之前到校的概率均为，假定甲、乙两位同学到校情况互不影响，且任一同学每天到校情况相互独立． (1)用X表示甲同学上学期间的三天中7：30之前到校的天数，求随机变量X的分布列； (2)设M为事件“上学期间的三天中，甲同学在7：30之前到校的天数比乙同学在7：30之前到校的天数恰好多2”，求事件M发生的概率． 2．在一次数学考试中，第14题和第15题为选做题．规定每位考生必须且只需在其中选做一题．设4名考生选做这两题的可能性均为. (1)求其中甲、乙2名考生选做同一道题的概率； (2)设这4名考生中选做第15题的考生人数为X，求X的分布列． 题型三　二项分布的均值和方差 [学透用活] [典例3]　(1)某运动员投篮投中的概率p＝0.6，则重复5次投篮时投中次数Y的数学期望等于________． (2)一出租车司机从某饭店到火车站途中有6个交通岗， 假设他在各交通岗遇到红灯这一事件是相互独立的， 并且概率都是. ①求这位司机遇到红灯数X的期望与方差； ②若遇上红灯， 则需等待30秒， 求司机总共等待时间Y的期望与方差． [对点练清] 1．设随机变量X的分布列为P(X＝k)＝Ck·n－k，k＝0,1,2，…，n，且E(X)＝24，则D(X)的值为(　　) A．8　　　　　　　　　 B．12 C. D．16 2．甲、乙两队参加奥运知识竞赛，每队三人，每人回答一个问题，答对者为本队赢得一分，答错得零分．假设甲队中每人答对的概率均为，乙队中三人答对的概率分别为，，，且各人回答正确与否相互之间没有影响． 若用ξ表示甲队的总得分，求随机变量ξ的分布列和均值． [课堂思维激活] 一、综合性——强调融会贯通 1．为防止风沙危害，某地决定建设防护绿化带，种植杨树、沙柳等植物．某人一次种植了n株沙柳，各株沙柳的成活与否是相互独立的，成活率为p，设ξ为成活沙柳的株数，均值E(ξ)为3，标准差为. (1)求n和p的值，并写出ξ的分布列； (2)若有3株或3株以上的沙柳未成活，则需要补种，求需要补种沙柳的概率． 二、应用性——强调学以致用 2．现有10 000人参加某保险公司的人身意外保险，该公司规定：每人每年付给公司120元，若意外死亡，公司将赔偿10 000元．如果每人每年死亡的概率为0.006，那么该公司会赔本吗？ [课下过关检测] 1．一个口袋中有5个白球，3个红球，现从口袋中往外取球，每次任取一个记下颜色后放回，直到红球出现10次时停止，设停止时共取了ξ次球，则P(ξ＝12)等于(　　) A．C102 B．C102 C．C92 D．C92 2．某一供电网络有n个用电单位，每个单位在一天中使用电的机会是p，供电网络中一天平均用电的单位个数是(　　) A．np(1－p) B．np C．n D．p(1－p) 3．一批产品中，次品率为，现有放回地连续抽取4次，若抽取的次品件数记为X，则D(X)的值为(　　) A. B. C. D. 4．某市公租房的房源位于A，B，C三个片区，设每位申请人只申请其中一个片区的房源，且申请其中任一个片区的房源是等可能的，该市的4位申请人中恰有2人申请A片区房源的概率为(　　) A. B. C. D. 5．已知随机变量ξ，η满足ξ＋η＝8，且ξ服从二项分布ξ～B(10，0.6)，则E(η)和D(η)的值分别是(　　) A．6和2.4 B．2和2.4 C．2和5.6 D．6和5.6 6．在4重伯努利试验中，随机事件A恰好发生1次的概率不大于其恰好发生2次的概率，则事件A在一次试验中发生的概率p的取值范围是________． 7．设口袋中有黑球、白球共7个，从中任取2个球，已知取到白球个数的数学期望为，则口袋中白球的个数为________． 8．(2025·天津高考)小桐操场跑圈，一周2次，一次5圈或6圈．第一次跑5圈或6圈的概率均为0.5，若第一次跑5圈，则第二次跑5圈的概率为0.4,6圈的概率为0.6；若第一次跑6圈，则第二次跑5圈的概率为0.6,6圈的概率为0.4.小桐一周跑11圈的概率为________；若一周至少跑11圈为运动量达标，则连续跑4周，记达标周数为X，则期望E(X)＝________. 9．某单位为绿化环境，移栽了甲、乙两种大树各2棵．设甲、乙两种大树移栽的成活率分别为和，且各棵大树是否成活互不影响，求移栽的4棵大树中， (1)至少有1棵成活的概率； (2)两种大树各成活1棵的概率． 1．[多选]下列随机变量X服从二项分布的是(　　) A．投掷一枚均匀的骰子5次，X表示点数为6出现的次数 B．某射手射中目标的概率为p，设每次射击是相互独立的，X为从开始射击到击中目标所需要的射击次数 C．实力相等的甲、乙两选手进行了5局乒乓球比赛，X表示甲获胜的次数 D．某星期内，每次下载某网站数据被病毒感染的概率为0.3，X表示下载n次数据电脑被病毒感染的次数 2．将一枚硬币连掷7次，如果出现k次正面向上的概率等于出现（k＋1）次正面向上的概率，那么k的值为(　　) A．0 B．1 C．2 D．3 3．位于坐标原点的一个质点P按下述规则移动：质点每次移动一个单位长度，移动的方向为向上或向右，并且向上、向右移动的概率都是，则质点P移动5次后位于点(2,3)的概率为________． 4．抛掷一枚质地均匀硬币n(3≤n≤8)次，正面向上的次数ξ服从二项分布B，若P(ξ＝1)＝，则方差D(ξ)＝________. 5．一家面包房根据以往某种面包的销售记录，绘制了日销售量的频率分布直方图，如图所示． 将日销售量落入各组的频率视为概率，并假设每天的销售量相互独立． (1)求在未来连续3天里，有连续2天的日销售量都不低于100个且另1天的日销售量低于50个的概率； (2)用X表示在未来3天里日销售量不低于100个的天数，求随机变量X的分布列、数学期望E(X)及方差D(X)． 7 / 7 学科网（北京）股份有限公司 $人教A版选择性必修第三册 第七章 随机变量及其分布 7.4 二项分布与超几何分布 (一)教材梳理填空 1．伯努利试验的概念 只包含两个可能结果的试验叫做伯努利试验． 2．n重伯努利试验的定义及特征 (1)定义：将一个伯努利试验独立地重复进行n次所组成的随机试验称为n重伯努利试验． (2)特征：①同一个伯努利试验重复做n次． ②各次试验的结果相互独立． 3．二项分布的概念 在n重伯努利试验中，设每次试验中事件A发生的概率为p(0<p<1)，用X表示事件A发生的次数，则X的分布列为P(X＝k)＝Cpk(1－p)n－k，k＝0,1,2，…，n.如果随机变量X的分布列具有上式的形式，则称随机变量X服从二项分布，记作X～B(n，p)． [微思考]　二项分布与两点分布有何关系？ 提示：(1)两点分布的试验次数只有一次，试验结果只有两种：事件A发生(X＝1)或不发生(X＝0)；二项分布是指在n重伯努利试验中事件A发生的次数X的分布列，试验次数为n次(每次试验的结果也只有两种：事件A发生或不发生)，试验结果有n＋1种：事件A恰好发生0次，1次，2次，…，n次． (2)二项分布是两点分布的一般形式，两点分布是一种特殊的二项分布，即n＝1的二项分布． 4．二项分布的均值和方差 (1)均值：若X～B(n，p)，则E(X)＝np. (2)方差：若X～B(n，p)，则D(X)＝np(1－p)． (二)基本知能小试 1．判断正误 (1)在伯努利试验中，关注的是事件A是否发生，而在n重伯努利试验中，关注的是事件A发生的次数．(　　) (2)n重伯努利试验中每次试验只有发生与不发生两种结果．(　　) (3)将一枚硬币连续抛掷5次，则正面向上的次数的方差等于.(　　) 答案：(1)√　(2)√　(3)× 2．下列事件：①运动员甲射击一次，“射中9环”与“射中8环”；②甲、乙两运动员各射击一次，“甲射中10环”与“乙射中9环”；③甲、乙两运动员各射击一次，“甲、乙都射中目标”与“甲、乙都没射中目标”；④在相同的条件下，甲射击10次，5次击中目标，其中是n重伯努利试验的个数为(　　) A．1　　　　　　　　　 B．2 C．3 D．4 解析：选A　根据n重伯努利试验的定义可知，只有④符合n重伯努利试验的定义． 3．若X～B，则P(X＝2)等于 ________. 解析：P(X＝2)＝C2×4 ＝15××＝. 答案： 4．设随机变量ξ～B，则D(ξ)等于________． 解析：因为随机变量ξ～B， 所以D(ξ)＝6××＝. 答案： 题型一　n重伯努利试验 [学透用活] 在n重伯努利试验中，设事件A发生的次数为X，在每次试验中事件A发生的概率为p，那么在n重伯努利试验中，事件A恰好发生k次的概率P(X＝k)＝Cpk(1－p)n－k，k＝0,1,2，…，n. [典例1]　某气象站天气预报的准确率为80%，计算：(结果保留到小数点后面第2位) (1)5次预报中恰有2次准确的概率； (2)5次预报中至少有2次准确的概率； (3)5次预报中恰有2次准确，且其中第3次预报准确的概率． [解]　(1)记预报一次准确为事件A，则P(A)＝0.8. 5次预报相当于5重伯努利试验， 2次准确的概率为C×0.82×0.23＝0.051 2≈0.05， 因此5次预报中恰有2次准确的概率约为0.05. (2)“5次预报中至少有2次准确”的对立事件是“5次预报全部不准确或只有1次准确”，其概率为 C×0.25＋C×0.8×0.24＝0.006 72. ∴所求概率为1－0.006 72＝0.993 28≈0.99. (3)说明第1,2,4,5次中恰有1次准确． ∴所求概率为C×0.8×0.23×0.8＝0.020 48≈0.02.故5次预报中恰有2次准确，且其中第3次预报准确的概率约为0.02. [方法技巧] n重伯努利试验概率求解的关注点 (1)解此类题常用到互斥事件概率加法公式，相互独立事件概率乘法公式及对立事件的概率公式． (2)运用n重伯努利试验的概率公式求概率时，首先判断问题中涉及的试验是否为n重伯努利试验，判断时注意各次试验之间是相互独立的，并且每次试验的结果只有两种(即要么发生，要么不发生)，在任何一次试验中某一事件发生的概率都相等，然后用相关公式求概率． [对点练清] 已知两名射击运动员的射击水平：甲击中目标靶的概率是0.7，乙击中目标靶的概率是0.6.若让甲、乙两人各自向目标靶射击3次，则 (1)甲恰好击中目标2次的概率是________； (2)两名运动员都恰好击中目标2次的概率是________．（结果精确到0.01） 解析：由题意，甲向目标靶射击1次，击中目标靶的概率为0.7，乙向目标靶射击1次，击中目标靶的概率为0.6，两人射击均服从二项分布． (1)甲向目标靶射击3次，恰好击中2次的概率是C×0.72×(1－0.7)≈0.44. (2)甲、乙两人各向目标靶射击3次，恰好都击中2次的概率是[C×0.72×(1－0.7)]×[C×0.62×(1－0.6)]≈0.19. 答案：(1)0.44　(2)0.19 题型二　二项分布的应用 [学透用活] [典例2]　我国无人机发展迅猛，在全球具有领先优势，已经成为“中国智造”一张靓丽的新名片，并广泛用于森林消防、抢险救灾、环境监测等领域．某森林消防支队在一次消防演练中利用无人机进行投弹灭火试验，消防员甲操控无人机对同一目标起火点进行了三次投弹试验，已知无人机每次投弹时击中目标的概率都为，每次投弹是否击中目标相互独立．无人机击中目标一次起火点被扑灭的概率为，击中目标两次起火点被扑灭的概率为，击中目标三次起火点必定被扑灭． (1)求起火点被无人机击中次数的分布列及数学期望； (2)求起火点被无人机击中且被扑灭的概率． [解]　(1)起火点被无人机击中次数X的所有可能取值为0,1,2,3， P(X＝0)＝3＝，P(X＝1)＝C··2＝，P(X＝2)＝C·2×＝，P(X＝3)＝3＝. ∴X的分布列如下： X 0 1 2 3 P ∵X～B，∴E(X)＝3×＝. (2)击中一次被扑灭的概率为P1＝C12×＝，击中两次被火扑灭的概率为P2＝C×2××＝，击中三次被火扑灭的概率为P3＝3＝，∴所求概率P＝＋＋＝. [方法技巧] (1)二项分布的简单应用是求n重伯努利试验中事件A恰好发生k次的概率．解题的一般思路是：根据题意设出随机变量→分析出随机变量服从二项分布→找到参数n，p→写出二项分布的分布列→将k值代入求解概率． (2)二项分布求解随机变量涉及“至少”“至多”问题的取值概率，其实质是求在某一取值范围内的概率，一般转化为几个互斥事件发生的概率的和，或者利用对立事件求概率． [提醒]　利用二项分布来解决实际问题的关键是在实际问题中建立二项分布的模型，也就是看它是否是n重伯努利试验，随机变量是否为在这n重伯努利试验中某事件发生的次数，满足这两点的随机变量才服从二项分布，否则就不服从二项分布． [对点练清] 1．设甲、乙两位同学上学期间，每天7：30之前到校的概率均为，假定甲、乙两位同学到校情况互不影响，且任一同学每天到校情况相互独立． (1)用X表示甲同学上学期间的三天中7：30之前到校的天数，求随机变量X的分布列； (2)设M为事件“上学期间的三天中，甲同学在7：30之前到校的天数比乙同学在7：30之前到校的天数恰好多2”，求事件M发生的概率． 解：(1)因为甲同学上学期间的三天中到校情况相互独立，且每天7：30之前到校的概率均为， 故X～B，从而P(X＝k)＝Ck3－k， k＝0,1,2,3. 所以随机变量X的分布列为 X 0 1 2 3 P (2)设乙同学上学期间的三天中7：30之前到校的天数为Y，则Y～B，且M＝{X＝3，Y＝1}∪{X＝2，Y＝0}． 由题意知，事件{X＝3，Y＝1}与{X＝2，Y＝0}互斥，且事件{X＝3}与{Y＝1}，事件{X＝2}与{Y＝0}均相互独立，从而由(1)知 P(M)＝P({X＝3，Y＝1}∪{X＝2，Y＝0}) ＝P({X＝3，Y＝1})＋P({X＝2，Y＝0}) ＝P(X＝3)P(Y＝1)＋P(X＝2)P(Y＝0) ＝×＋×＝. 2．在一次数学考试中，第14题和第15题为选做题．规定每位考生必须且只需在其中选做一题．设4名考生选做这两题的可能性均为. (1)求其中甲、乙2名考生选做同一道题的概率； (2)设这4名考生中选做第15题的考生人数为X，求X的分布列． 解：(1)设事件A表示“甲选做第14题”，事件B表示“乙选做第14题”，则甲、乙2名考生选做同一道题的事件为“AB∪ ”，且事件A，B相互独立． 所以P(AB∪ )＝P(A)P(B)＋P()P() ＝×＋×＝. (2)随机变量X的可能取值为0,1,2,3,4.且X～B. 所以P(X＝k)＝Ck4－k＝C4(k＝0,1,2,3,4)． 所以随机变量X的分布列为 X 0 1 2 3 4 P 题型三　二项分布的均值和方差 [学透用活] [典例3]　(1)某运动员投篮投中的概率p＝0.6，则重复5次投篮时投中次数Y的数学期望等于________． (2)一出租车司机从某饭店到火车站途中有6个交通岗， 假设他在各交通岗遇到红灯这一事件是相互独立的， 并且概率都是. ①求这位司机遇到红灯数X的期望与方差； ②若遇上红灯， 则需等待30秒， 求司机总共等待时间Y的期望与方差． [解析]　(1)∵Y服从二项分布，即Y～B(5,0.6)， ∴E(Y)＝np＝5×0.6＝3， 即重复5次投篮时投中次数Y的数学期望为3. 答案：3 (2)①易知司机遇上红灯次数X服从二项分布， 且X～B， ∴E(X)＝6×＝2，D(X)＝6××＝. ②由已知Y＝30X， ∴E(Y)＝30E(X)＝60，D(Y)＝900D(X)＝1 200. [方法技巧] (1)求二项分布的均值和方差的步骤： ①一是先判断随机变量是否服从二项分布； ②二是代入二项分布的均值和方差公式计算均值和方差． (2)解决此类问题的第一步是判断随机变量ξ服从什么分布，第二步代入相应的公式求解．若ξ服从两点分布，则D(ξ)＝p(1－p)；若ξ服从二项分布，即ξ～B(n，p)，则D(ξ)＝np(1－p)． [对点练清] 1．设随机变量X的分布列为P(X＝k)＝Ck·n－k，k＝0,1,2，…，n，且E(X)＝24，则D(X)的值为(　　) A．8　　　　　　　　　 B．12 C. D．16 解析：选A　由题意可知X～B， ∴E(X)＝n＝24. ∴n＝36. ∴D(X)＝36××＝8. 2．甲、乙两队参加奥运知识竞赛，每队三人，每人回答一个问题，答对者为本队赢得一分，答错得零分．假设甲队中每人答对的概率均为，乙队中三人答对的概率分别为，，，且各人回答正确与否相互之间没有影响． 若用ξ表示甲队的总得分，求随机变量ξ的分布列和均值． 解：由题意知，ξ的所有可能取值为0,1,2,3，且ξ～B，则有 P(ξ＝0)＝C×3＝， P(ξ＝1)＝C××2＝， P(ξ＝2)＝C×2×＝， P(ξ＝3)＝C×3＝， 所以ξ的分布列为 ξ 0 1 2 3 P 由于随机变量ξ～B，则有E(ξ)＝3×＝2. [课堂思维激活] 一、综合性——强调融会贯通 1．为防止风沙危害，某地决定建设防护绿化带，种植杨树、沙柳等植物．某人一次种植了n株沙柳，各株沙柳的成活与否是相互独立的，成活率为p，设ξ为成活沙柳的株数，均值E(ξ)为3，标准差为. (1)求n和p的值，并写出ξ的分布列； (2)若有3株或3株以上的沙柳未成活，则需要补种，求需要补种沙柳的概率． 解：由题意知，ξ～B(n，p)，P(ξ＝k)＝Cpk(1－p)n－k，k＝0,1，…，n. (1)由E(ξ)＝np＝3，D(ξ)＝np(1－p)＝， 得1－p＝，从而n＝6，p＝. ξ的分布列为 ξ 0 1 2 3 4 5 6 P (2)记“需要补种沙柳”为事件A，则P(A)＝P(ξ≤3)， 得P(A)＝＋＋＋＝， 所以需要补种沙柳的概率为. 二、应用性——强调学以致用 2．现有10 000人参加某保险公司的人身意外保险，该公司规定：每人每年付给公司120元，若意外死亡，公司将赔偿10 000元．如果每人每年死亡的概率为0.006，那么该公司会赔本吗？ [析题建模]　应用二项分布模型解决的实际问题，首先应判断问题是否符合二项分布，若符合则按二项分布来解决．本题中该公司的盈利额与意外死亡的人数有关联，且意外死亡人数服从二项分布，因而可利用二项分布求解． 解：设这10 000人中意外死亡的人数为X， 根据题意，X服从参数为n＝10 000，p＝0.006的二项分布，则它的分布列为P(X＝k)＝C×0.006k(1－0.006)10 000－k(k＝0,1,2，…，10 000)． 死亡人数为X时，公司要赔偿X万元，此时公司的利润为(120－X)万元． 由上述分布列知公司赔本的概率为 P(X>120)＝1－P(X≤120)＝1－(X＝k) ＝1－×0.006k×0.99410 000－k≈0. 这说明，该公司几乎不会赔本． [课下过关检测] 1．一个口袋中有5个白球，3个红球，现从口袋中往外取球，每次任取一个记下颜色后放回，直到红球出现10次时停止，设停止时共取了ξ次球，则P(ξ＝12)等于(　　) A．C102 B．C102 C．C92 D．C92 解析：选B　当ξ＝12时，表示前11次中取到9次红球，第12次取到红球，所以P(ξ＝12)＝C×9×2×＝C102. 2．某一供电网络有n个用电单位，每个单位在一天中使用电的机会是p，供电网络中一天平均用电的单位个数是(　　) A．np(1－p) B．np C．n D．p(1－p) 解析：选B　供电网络中一天用电的单位个数服从二项分布，故所求为np.故选B. 3．一批产品中，次品率为，现有放回地连续抽取4次，若抽取的次品件数记为X，则D(X)的值为(　　) A. B. C. D. 解析：选C　由题意，次品件数X服从二项分布，即X～B，故D(X)＝np·(1－p)＝4××＝. 4．某市公租房的房源位于A，B，C三个片区，设每位申请人只申请其中一个片区的房源，且申请其中任一个片区的房源是等可能的，该市的4位申请人中恰有2人申请A片区房源的概率为(　　) A. B. C. D. 解析：选B　每位申请人申请房源为一次试验，这是4重伯努利试验，设“申请A片区房源”记为事件A，则P(A)＝，所以“恰有2人申请A片区”的概率为C×2×2＝. 5．已知随机变量ξ，η满足ξ＋η＝8，且ξ服从二项分布ξ～B(10，0.6)，则E(η)和D(η)的值分别是(　　) A．6和2.4 B．2和2.4 C．2和5.6 D．6和5.6 解析：选B　由已知E(ξ)＝10×0.6＝6， D(ξ)＝10×0.6×0.4＝2.4. 因为ξ＋η＝8，所以η＝8－ξ. 所以E(η)＝－E(ξ)＋8＝2，D(η)＝(－1)2D(ξ)＝2.4. 6．在4重伯努利试验中，随机事件A恰好发生1次的概率不大于其恰好发生2次的概率，则事件A在一次试验中发生的概率p的取值范围是________． 解析：由题意，知Cp(1－p)3≤Cp2(1－p)2，解得p≥0.4，所以0.4≤p<1. 答案：[0.4,1) 7．设口袋中有黑球、白球共7个，从中任取2个球，已知取到白球个数的数学期望为，则口袋中白球的个数为________． 解析：设口袋中有白球n个，由题意知口袋中有黑球、白球共7个，从中任取2个球，取到白球的概率是，因为每一次取到白球的概率是一个定值，且每一次的结果只有取到白球和取不到白球两种结果，所以符合二项分布，所以2×＝，所以n＝3. 答案：3 8．(2025·天津高考)小桐操场跑圈，一周2次，一次5圈或6圈．第一次跑5圈或6圈的概率均为0.5，若第一次跑5圈，则第二次跑5圈的概率为0.4,6圈的概率为0.6；若第一次跑6圈，则第二次跑5圈的概率为0.6,6圈的概率为0.4.小桐一周跑11圈的概率为________；若一周至少跑11圈为运动量达标，则连续跑4周，记达标周数为X，则期望E(X)＝________. 解析：设小桐一周跑11圈为事件A，第一次跑5圈为事件B，第二次跑5圈为事件C，则P(A)＝P(B)P(|B)＋P()P(C|)＝0.5×0.6＋0.5×0.6＝0.6；设运动量达标为事件D，则P(D)＝P(A)＋P()P(|)＝0.6＋0.5×0.4＝0.8，所以X～B(4,0.8)，E(X)＝4×0.8＝3.2. 答案：0.6　3.2 9．某单位为绿化环境，移栽了甲、乙两种大树各2棵．设甲、乙两种大树移栽的成活率分别为和，且各棵大树是否成活互不影响，求移栽的4棵大树中， (1)至少有1棵成活的概率； (2)两种大树各成活1棵的概率． 解：设Ak表示“第k棵甲种大树成活”，k＝1,2，Bl表示“第l棵乙种大树成活”，l＝1,2， 则A1，A2，B1，B2相互独立，且P(A1)＝P(A2)＝， P(B1)＝P(B2)＝. (1)至少有1棵成活的概率为1－P(1212) ＝1－P(1)·P(2)·P(1)·P(2) ＝1－2×2＝. (2)由n重伯努利试验中事件发生的概率公式知， 所求概率为P＝C×××C×× ＝×＝＝. 1．[多选]下列随机变量X服从二项分布的是(　　) A．投掷一枚均匀的骰子5次，X表示点数为6出现的次数 B．某射手射中目标的概率为p，设每次射击是相互独立的，X为从开始射击到击中目标所需要的射击次数 C．实力相等的甲、乙两选手进行了5局乒乓球比赛，X表示甲获胜的次数 D．某星期内，每次下载某网站数据被病毒感染的概率为0.3，X表示下载n次数据电脑被病毒感染的次数 解析：选ACD　选项A，试验出现的结果只有两种：点数为6和点数不为6，且点数为6的概率在每一次试验中都为，每一次试验都是独立的，故随机变量X服从二项分布；选项B，虽然随机变量在每一次试验中的结果只有两种，每一次试验事件相互独立且概率不发生变化，但随机变量的取值不确定，故随机变量X不服从二项分布；选项C，甲、乙的获胜率相等，进行5次比赛，相当于进行了5重伯努利试验，故X服从二项分布；选项D，由二项分布的定义，可知被感染次数X～B(n,0.3)． 2．将一枚硬币连掷7次，如果出现k次正面向上的概率等于出现（k＋1）次正面向上的概率，那么k的值为(　　) A．0 B．1 C．2 D．3 解析：选D　由题意，知Ck7－k＝ Ck＋1·7－k－1，∴C＝C， ∴k＋(k＋1)＝7，∴k＝3. 3．位于坐标原点的一个质点P按下述规则移动：质点每次移动一个单位长度，移动的方向为向上或向右，并且向上、向右移动的概率都是，则质点P移动5次后位于点(2,3)的概率为________． 解析：如图，由题可知，质点P必须向右移动2次，向上移动3次才能位于点(2,3)，问题相当于5次重复试验向右恰好发生2次的概率．所求概率为P＝C×2×3＝C×5＝. 答案： 4．抛掷一枚质地均匀硬币n(3≤n≤8)次，正面向上的次数ξ服从二项分布B，若P(ξ＝1)＝，则方差D(ξ)＝________. 解析：因为3≤n≤8，ξ服从二项分布B， 且P(ξ＝1)＝，所以C··n－1＝， 即nn＝，解得n＝6， 所以方差D(ξ)＝np(1－p)＝6××＝. 答案： 5．一家面包房根据以往某种面包的销售记录，绘制了日销售量的频率分布直方图，如图所示． 将日销售量落入各组的频率视为概率，并假设每天的销售量相互独立． (1)求在未来连续3天里，有连续2天的日销售量都不低于100个且另1天的日销售量低于50个的概率； (2)用X表示在未来3天里日销售量不低于100个的天数，求随机变量X的分布列、数学期望E(X)及方差D(X)． 解：(1)设A1表示事件“日销售量不低于100个”，A2表示事件“日销售量低于50个”，B表示事件“在未来连续3天里有连续2天的日销售量不低于100个且另1天的日销售量低于50个”．因此 P(A1)＝(0.006＋0.004＋0.002)×50＝0.6， P(A2)＝0.003×50＝0.15， P(B)＝0.6×0.6×0.15×2＝0.108. (2)X可能取的值为0,1,2,3，相应的概率为 P(X＝0)＝C(1－0.6)3＝0.064， P(X＝1)＝C·0.6(1－0.6)2＝0.288， P(X＝2)＝C·0.62(1－0.6)＝0.432， P(X＝3)＝C·0.63＝0.216， 则X的分布列为 X 0 1 2 3 P 0.064 0.288 0.432 0.216 因为X～B(3,0.6)， 所以数学期望E(X)＝3×0.6＝1.8， 方差D(X)＝3×0.6×(1－0.6)＝0.72. 7 / 7 学科网（北京）股份有限公司 $