7.2 离散型随机变量及其分布列 第二课时 离散型随机变量的分布列 讲义-2025-2026学年高二下学期数学人教A版选择性必修第三册

本讲义聚焦离散型随机变量及其分布列核心知识点，系统梳理分布列的概念、性质（非负性、概率和为1）及两点分布，通过教材梳理填空、微思考搭建从概念理解到性质应用的学习支架，衔接随机变量基础与后续概率计算。 资料以“学透用活”为设计亮点，典例结合摸球、射击等生活情境培养数学眼光，题型训练强化逻辑推理（数学思维），分布列表示与计算提升数学语言表达。课中辅助教师分层教学，课后检测助力学生查漏补缺，巩固知识盲点。

人教A版选择性必修第三册 第七章 随机变量及其分布 7.2 离散型随机变量及其分布列 (一)教材梳理填空 1．离散型随机变量的分布列的概念 一般地，设离散型随机变量X的可能取值为x1，x2，…，xn，我们称X取每一个值xi的概率P(X＝xi)＝pi,i＝1,2，…，n为X的概率分布列，简称分布列． 2．离散型随机变量分布列的两个性质 (1) ； (2)p1＋p2＋…＋pn＝ . [微思考] (1)如何利用离散型随机变量的分布列求离散型随机变量在某一范围内取值的概率？ 提示：离散型随机变量在某一范围内取值的概率等于它取这个范围内各值的概率之和． (2)离散型随机变量的概率可以用哪些方法表示？ 提示：离散型随机变量的概率可以用分布列、解析式、图象表示． 3．两点分布 (1)形式与定义 X 0 1 P 1－p p 如果随机变量X的分布列为上述形式，就称X服从 (2)两点分布又称 分布． (二)基本知能小试 1．判断正误 (1)在离散型随机变量分布列中，每一个可能值对应的概率可以为任意的实数．(　　) (2)在离散型随机变量分布列中，在某一范围内取值的概率等于它取这个范围内各值的概率之积．(　　) (3)两点分布只有两个结果，且是对应的．因此两点分布只能研究只有两个结果的随机试验的概率分布规律．(　　) (4)新生儿的性别、投篮是否命中、买到的商品是否为正品，都可以用两点分布研究．(　　) 2．若随机变量X服从两点分布，且P(X＝0)＝0.8，P(X＝1)＝0.2.令Y＝3X－2，则P(Y＝－2)＝(　　) A．0.2　　　　　　　　 B．0.8 C．1 D．0 3．设随机变量X的分布列为P(X＝k)＝，k＝0,1,2,3，则C＝________. 4．在射击试验中，令X＝如果射中的概率是0.9，则随机变量的分布列为________． 题型一　离散型随机变量的分布列 [学透用活] 离散型随机变量的分布列不仅能清楚地反映其所取的一切可能的值，而且也能看出取每一个值的概率的大小．求离散型随机变量的分布列关键有三点： (1)随机变量的取值； (2)每一个取值所对应的概率； (3)用所有概率和是否为1来检验． [典例1]　袋中有1个白球和4个黑球，每次从中任取一个球，每次取出的黑球不再放回，直到取出白球为止，求取球次数X的分布列． [对点练清] 一袋中装有6个同样大小的黑球，编号为1,2,3,4,5,6，现从中随机取出3个球，以X表示取出球的最大号码． (1)求X的分布列； (2)求X的取值不小于4的概率． 题型二　离散型随机变量分布列的性质 [学透用活] [典例2]　设随机变量X的分布列为P＝ak(k＝1,2,3,4,5)． (1)求常数a的值； (2)求P； (3)求P. [对点练清] 设随机变量X的分布列为P(X＝i)＝(i＝1,2,3,4)，求： (1)P(X＝1或X＝2)；(2)P. (2)P 题型三　两点分布 [学透用活] 　(1)两点分布又称0—1分布，需注意并不是只取两个值的随机变量才服从两点分布，如随机变量X的分布列如右表： (2)用两点分布不仅可以研究只有两个结果的随机试验的概率分布规律，也可以研究其他一些随机事件的概率分布． [典例3]　袋中有红球10个，白球5个，从中摸出2个球，如果只关心摸出两个红球的情形，问如何定义随机变量X，才能使X满足两点分布，并求分布列． [对点练清] 1．[多选]下列选项中的随机变量服从两点分布的是(　　) A．抛掷一枚骰子，所得点数X B．某射击手射击一次，击中目标的次数X C．从装有除颜色外其余均相同的5个红球、3个白球的袋中任取1个球，设X＝ D．某医生做一次手术，手术成功的次数X 2．已知一批200件的待出厂产品中，有1件不合格品，现从中任意抽取2件进行检查，若用随机变量X表示抽取的2件产品中的次品数，求X的分布列． [课堂思维激活] 一、综合性——强调融会贯通 1．抛一枚质地均匀的硬币3次，设正面朝上的次数为X. (1)说明X＝2表示的是什么事件，并求出P(X＝2)； (2)求X的分布列． 二、创新性——强调创新意识和创新思维 2．甲、乙两人决定各购置一辆纯电动汽车．经了解，目前市场上销售的主流纯电动汽车按行驶里程数R(单位：km)可分为三类车型：A类：80≤R<150，B类：150≤R<250，C类：R≥250.甲从A，B，C三类车型中挑选，乙从B，C两类车型中挑选，甲、乙两人选择各类车型的概率如下表： A B C 甲 p q 乙 0 若甲、乙都选C类车型的概率为. (1)求p，q的值； (2)求甲、乙选择不同车型的概率； (3)某市对购买纯电动汽车进行补贴，补贴标准如下表： 车型 A B C 补贴金额/(万元/辆) 3 4 5 记甲、乙两人购车所获得的补贴和为X万元，求X的分布列． X 0 1 P 2a 3a [课下过关检测]　 1．若离散型随机变量X的分布列为则a＝(　　) 2．下列表中能成为随机变量X的分布列的是(　　) 3．设随机变量X等可能取值1,2,3，…，n，如果P(X<4)＝0.3，那么(　　) A．n＝3 B．n＝4 C．n＝10 D．n＝9 4．若随机变量X的分布列为 X －2 －1 0 1 2 3 P 0.1 0.2 0.2 0.3 0.1 0.1 则当P(X<a)＝0.8时，实数a的取值范围是(　　) A．(－∞，2] B．[1,2] C．(1,2] D．(1,2) 5．若随机变量X的分布列如下表所示，则a2＋b2的最小值为(　　) X 0 1 2 3 P a b A. B. C. D. 6．随机变量Y的分布列如下： Y 1 2 3 4 5 6 P(Y＝yi) 0.1 x 0.35 0.1 0.15 0.2 则(1)x＝________； (2)P(Y>3)＝________； (3)P(1<Y≤4)＝________. 7．设X是一个离散型随机变量，其分布列为 X －1 0 1 P 2－3q q2 则q的值为________． 8．已知随机变量ξ的分布列为 ξ －2 －1 0 1 2 3 P 设η＝ξ2－2ξ，则P(η＝3)＝________. 9．袋中有5个白球，6个红球，从中摸出两球，记X＝求随机变量X的分布列． 10．在学校组织的足球比赛中，某班要与其他4个班级各赛一场，在这4场比赛的任意一场中，此班级每次胜、负、平的概率相等．已知当这4场比赛结束后，该班胜场多于负场． (1)求该班级胜场多于负场的所有可能的个数和； (2)若胜场次数为X，求X的分布列． 1．已知随机变量ξ的分布列为P(ξ＝k)＝a(11－2k)，k＝1,2,3,4,5，其中a为常数，则P＝(　　) A. B. C. D. 2．设随机变量X的分布如下表，则P(|X－3|＝1)＝(　　) X 1 2 3 4 P m A. B. C. D. 3．离散型随机变量X的分布列中部分数据丢失，丢失数据以“x”“y”(x，y∈N)代替，其表如下： X 1 2 3 4 5 6 P 0.20 0.10 0.x5 0.10 0.1y 0.20 则P等于(　　) A．0.25 B．0.35 C．0.45 D．0.55 4． 将3个小球任意地放入4个大的玻璃杯中去，杯子中球的最多个数记为X，求X的分布列． 5.如图所示，A，B两点5条连线并联，它们在单位时间内能通过的最大信息量依次为2,3,4,3,2.现记从中任取三条线且在单位时间内通过的最大信息总量为X，求X的概率分布． 7 / 7 学科网（北京）股份有限公司 $人教A版选择性必修第三册 第七章 随机变量及其分布 7.2 离散型随机变量及其分布列 (一)教材梳理填空 1．离散型随机变量的分布列的概念 一般地，设离散型随机变量X的可能取值为x1，x2，…，xn，我们称X取每一个值xi的概率P(X＝xi)＝pi,i＝1,2，…，n为X的概率分布列，简称分布列． 2．离散型随机变量分布列的两个性质 (1)_pi≥0，i＝1,2，…，n； (2)p1＋p2＋…＋pn＝_1_. [微思考] (1)如何利用离散型随机变量的分布列求离散型随机变量在某一范围内取值的概率？ 提示：离散型随机变量在某一范围内取值的概率等于它取这个范围内各值的概率之和． (2)离散型随机变量的概率可以用哪些方法表示？ 提示：离散型随机变量的概率可以用分布列、解析式、图象表示． 3．两点分布 (1)形式与定义 X 0 1 P 1－p p 如果随机变量X的分布列为上述形式，就称X服从两点分布． (2)两点分布又称0－1分布． (二)基本知能小试 1．判断正误 (1)在离散型随机变量分布列中，每一个可能值对应的概率可以为任意的实数．(　　) (2)在离散型随机变量分布列中，在某一范围内取值的概率等于它取这个范围内各值的概率之积．(　　) (3)两点分布只有两个结果，且是对应的．因此两点分布只能研究只有两个结果的随机试验的概率分布规律．(　　) (4)新生儿的性别、投篮是否命中、买到的商品是否为正品，都可以用两点分布研究．(　　) 答案：(1)×　(2)×　(3)×　(4)√ 2．若随机变量X服从两点分布，且P(X＝0)＝0.8，P(X＝1)＝0.2.令Y＝3X－2，则P(Y＝－2)＝(　　) A．0.2　　　　　　　　 B．0.8 C．1 D．0 解析：选B　由Y＝－2，且Y＝3X－2，得X＝0，所以P(Y＝－2)＝0.8. 3．设随机变量X的分布列为P(X＝k)＝，k＝0,1,2,3，则C＝________. 解析：由分布列的性质得C＝1，所以C＝. 答案： 4．在射击试验中，令X＝如果射中的概率是0.9，则随机变量的分布列为________． 解析：由题意知X服从两点分布，故随机变量X的分布列为 X 0 1 P 0.1 0.9 答案： X 0 1 P 0.1 0.9 题型一　离散型随机变量的分布列 [学透用活] 离散型随机变量的分布列不仅能清楚地反映其所取的一切可能的值，而且也能看出取每一个值的概率的大小．求离散型随机变量的分布列关键有三点： (1)随机变量的取值； (2)每一个取值所对应的概率； (3)用所有概率和是否为1来检验． [典例1]　袋中有1个白球和4个黑球，每次从中任取一个球，每次取出的黑球不再放回，直到取出白球为止，求取球次数X的分布列． [解]　X的可能取值为1,2,3,4,5， 则第1次取到白球的概率为P(X＝1)＝， 第2次取到白球的概率为P(X＝2)＝＝， 第3次取到白球的概率为P(X＝3)＝＝， 第4次取到白球的概率为 P(X＝4)＝＝， 第5次取到白球的概率为 P(X＝5)＝＝， 所以X的分布列为 X 1 2 3 4 5 P [方法技巧] 求离散型随机变量分布列的步骤 (1)确定X的所有可能取值xi(i＝1,2，…)以及每个取值所表示的意义； (2)利用概率的相关知识，求出每个取值相应的概率P(X＝xi)＝pi(i＝1,2，…)； (3)写出分布列； (4)根据分布列的性质对结果进行检验． [对点练清] 一袋中装有6个同样大小的黑球，编号为1,2,3,4,5,6，现从中随机取出3个球，以X表示取出球的最大号码． (1)求X的分布列； (2)求X的取值不小于4的概率． 解：(1)随机变量X的可能取值为3,4,5,6， P(X＝3)＝＝， P(X＝4)＝＝， P(X＝5)＝＝， P(X＝6)＝＝， 所以随机变量X的分布列为 X 3 4 5 6 P (2)X的取值不小于4的概率为P(X≥4)＝P(X＝4)＋P(X＝5)＋P(X＝6)＝＋＋＝. 题型二　离散型随机变量分布列的性质 [学透用活] [典例2]　设随机变量X的分布列为P＝ak(k＝1,2,3,4,5)． (1)求常数a的值； (2)求P； (3)求P. [解]　题目所给随机变量X的分布列为 X 1 P a 2a 3a 4a 5a (1)由a＋2a＋3a＋4a＋5a＝1， 得a＝. (2)法一： P＝P＋P＋P(X＝1) ＝＋＋＝. 法二：P＝1－P ＝1－＝. (3)因为＜X＜，所以P ＝P＋P＋P ＝＋＋＝. [方法技巧] 应熟悉分布列的基本性质：若随机变量X的取值为x1，x2，…，xn，取这些值的概率为P(X＝xi)＝pi，i＝1，2，…，n，则①pi≥0，i＝1,2，…，n.②p1＋p2＋…＋pn＝1.此外，利用分布列的性质检验所求分布列的正误，是非常重要的思想方法．③一般地，离散型随机变量在某一范围内取值的概率等于它取这个范围内各个值的概率之和． [对点练清] 设随机变量X的分布列为P(X＝i)＝(i＝1,2,3,4)，求： (1)P(X＝1或X＝2)；(2)P. 解：(1)P(X＝1或X＝2)＝P(X＝1)＋P(X＝2) ＝＋＝. (2)P＝P(X＝1)＋P(X＝2)＋P(X＝3)＝＋＋＝. 题型三　两点分布 [学透用活] 　(1)两点分布又称0—1分布，需注意并不是只取两个值的随机变量才服从两点分布，如随机变量X的分布列如右表： (2)用两点分布不仅可以研究只有两个结果的随机试验的概率分布规律，也可以研究其他一些随机事件的概率分布． [典例3]　袋中有红球10个，白球5个，从中摸出2个球，如果只关心摸出两个红球的情形，问如何定义随机变量X，才能使X满足两点分布，并求分布列． [解]　从含有10个红球，5个白球的袋中摸出2个球，其结果是随机的，可能是一红一白、两红、两白三种情况，为此我们定义随机变量如下：X＝ 则X显然服从两点分布，且P(X＝1)＝＝， ∴P(X＝0)＝1－＝， ∴X的分布列为 X 0 1 P [方法技巧] 两点分布的特点 (1)两点分布中只有两个对应结果，且两结果是对立的； (2)两点分布中的两结果一个对应1，另一个对应0； (3)由互斥事件的概率求法可知，已知P(X＝0)(或P(X＝1))，便可求出P(X＝1)(或P(X＝0))； (4)在有多个结果的随机试验中，如果我们只关心一个随机事件是否发生，就可以利用两点分布来研究它． [对点练清] 1．[多选]下列选项中的随机变量服从两点分布的是(　　) A．抛掷一枚骰子，所得点数X B．某射击手射击一次，击中目标的次数X C．从装有除颜色外其余均相同的5个红球、3个白球的袋中任取1个球，设X＝ D．某医生做一次手术，手术成功的次数X 解析：选BCD　由题意可知B，C，D中的随机变量均服从两点分布，而抛掷一枚骰子，所得点数X的取值范围为{1,2,3,4,5,6}，所以A中的随机变量不服从两点分布． 2．已知一批200件的待出厂产品中，有1件不合格品，现从中任意抽取2件进行检查，若用随机变量X表示抽取的2件产品中的次品数，求X的分布列． 解：由题意知，X服从两点分布， P(X＝0)＝＝， 所以P(X＝1)＝1－＝. 所以随机变量X的分布列为 X 0 1 P [课堂思维激活] 一、综合性——强调融会贯通 1．抛一枚质地均匀的硬币3次，设正面朝上的次数为X. (1)说明X＝2表示的是什么事件，并求出P(X＝2)； (2)求X的分布列． 解：(1)X＝2表示的事件是“恰有2次正面朝上”． 因为抛一枚质地均匀的硬币3次，总共有2×2×2＝8种不同的情况，其中恰有两次正面朝上的情况共C＝3种，所以P(X＝2)＝. (2)根据题意可知，X的取值范围是{0,1,2,3}． 又因为用(1)中的方法可知 P(X＝0)＝， P(X＝1)＝， P(X＝3)＝. 因此X的分布列如下表所示： X 0 1 2 3 P 二、创新性——强调创新意识和创新思维 2．甲、乙两人决定各购置一辆纯电动汽车．经了解，目前市场上销售的主流纯电动汽车按行驶里程数R(单位：km)可分为三类车型：A类：80≤R<150，B类：150≤R<250，C类：R≥250.甲从A，B，C三类车型中挑选，乙从B，C两类车型中挑选，甲、乙两人选择各类车型的概率如下表： A B C 甲 p q 乙 0 若甲、乙都选C类车型的概率为. (1)求p，q的值； (2)求甲、乙选择不同车型的概率； (3)某市对购买纯电动汽车进行补贴，补贴标准如下表： 车型 A B C 补贴金额/(万元/辆) 3 4 5 记甲、乙两人购车所获得的补贴和为X万元，求X的分布列． 解：(1)由题表中数据及题意，得q＝，所以q＝.又＋p＋q＝1，所以p＝. (2)设事件M＝“甲、乙选择不同车型”，则P(M)＝×1＋×＋×＝. (3)根据题意，X的可能取值为7,8,9,10， 则P(X＝7)＝×＝，P(X＝8)＝×＋×＝，P(X＝9)＝×＋×＝， P(X＝10)＝×＝， 所以X的分布列为 X 7 8 9 10 P [课下过关检测]　 1．若离散型随机变量X的分布列为 X 0 1 P 2a 3a 则a＝(　　) A. B．1 C. D. 解析：选A　由离散型随机变量分布列的性质可知，2a＋3a＝1，所以a＝. 2．下列表中能成为随机变量X的分布列的是(　　) 解析：选C　选项A、D不满足分布列的概率和为1，选项B不满足分布列的概率为非负数． 3．设随机变量X等可能取值1,2,3，…，n，如果P(X<4)＝0.3，那么(　　) A．n＝3 B．n＝4 C．n＝10 D．n＝9 解析：选C　由X<4知X＝1,2,3，所以P(X＝1)＋P(X＝2)＋P(X＝3)＝0.3＝，解得n＝10. 4．若随机变量X的分布列为 X －2 －1 0 1 2 3 P 0.1 0.2 0.2 0.3 0.1 0.1 则当P(X<a)＝0.8时，实数a的取值范围是(　　) A．(－∞，2] B．[1,2] C．(1,2] D．(1,2) 解析：选C　由随机变量X的分布列，知P(X<－1)＝0.1，P(X<0)＝0.3，P(X<1)＝0.5，P(X<2)＝0.8，则当P(X<a)＝0.8时，实数a的取值范围是(1,2]． 5．若随机变量X的分布列如下表所示，则a2＋b2的最小值为(　　) X 0 1 2 3 P a b A. B. C. D. 解析：选C　由分布列性质可知a＋b＝，而a2＋b2≥＝.故选C. 6．随机变量Y的分布列如下： Y 1 2 3 4 5 6 P(Y＝yi) 0.1 x 0.35 0.1 0.15 0.2 则(1)x＝________； (2)P(Y>3)＝________； (3)P(1<Y≤4)＝________. 解析：(1)由分布列的性质可知： 0.1＋x＋0.35＋0.1＋0.15＋0.2＝1，得x＝0.1. (2)P(Y>3)＝P(Y＝4)＋P(Y＝5)＋P(Y＝6) ＝0.1＋0.15＋0.2＝0.45. (3)P(1<Y≤4)＝P(Y＝2)＋P(Y＝3)＋P(Y＝4) ＝0.1＋0.35＋0.1＝0.55. 答案：(1)0.1　(2)0.45　(3)0.55 7．设X是一个离散型随机变量，其分布列为 X －1 0 1 P 2－3q q2 则q的值为________． 解析：由分布列的性质知 解得q＝－. 答案：－ 8．已知随机变量ξ的分布列为 ξ －2 －1 0 1 2 3 P 设η＝ξ2－2ξ，则P(η＝3)＝________. 解析：由题意，可知P(η＝3)＝P(ξ＝－1)＋P(ξ＝3) ＝＋＝. 答案： 9．袋中有5个白球，6个红球，从中摸出两球，记X＝求随机变量X的分布列． 解：由题意知，X服从两点分布， P(X＝0)＝＝，所以P(X＝1)＝1－＝. 所以随机变量X的分布列为 X 0 1 P 10．在学校组织的足球比赛中，某班要与其他4个班级各赛一场，在这4场比赛的任意一场中，此班级每次胜、负、平的概率相等．已知当这4场比赛结束后，该班胜场多于负场． (1)求该班级胜场多于负场的所有可能的个数和； (2)若胜场次数为X，求X的分布列． 解：(1)若胜一场，则其余为平，共有C＝4种情况；若胜两场，则其余两场为一负一平或两平，共有CC＋C＝18种情况；若胜三场，则其余一场为负或平，共有C×2＝8种情况；若胜四场，则只有一种情况．综上，共有31种情况． (2)X的可能取值是1,2,3,4. P(X＝1)＝，P(X＝2)＝， P(X＝3)＝，P(X＝4)＝， 所以X的分布列为 X 1 2 3 4 P 1．已知随机变量ξ的分布列为P(ξ＝k)＝a(11－2k)，k＝1,2,3,4,5，其中a为常数，则P＝(　　) A. B. C. D. 解析：选D　由a(9＋7＋5＋3＋1)＝1可得a＝，所以P＝P(ξ＝3)＋P(ξ＝4)＝＋＝. 2．设随机变量X的分布如下表，则P(|X－3|＝1)＝(　　) X 1 2 3 4 P m A. B. C. D. 解析：选B　因为|X－3|＝1，所以X＝2或X＝4，所以P(|X－3|＝1)＝P(X＝2)＋P(X＝4)＝1－－＝. 3．离散型随机变量X的分布列中部分数据丢失，丢失数据以“x”“y”(x，y∈N)代替，其表如下： X 1 2 3 4 5 6 P 0.20 0.10 0.x5 0.10 0.1y 0.20 则P等于(　　) A．0.25 B．0.35 C．0.45 D．0.55 解析：选B　根据分布列的性质可知，随机变量的所有取值的概率和为1，得x＝2，y＝5.故P＝P(X＝2)＋P(X＝3)＝0.35. 4．将3个小球任意地放入4个大的玻璃杯中去，杯子中球的最多个数记为X，求X的分布列． 解：依题意可知，杯子中球的最多个数X的所有可能值为1,2,3.当X＝1时，对应于四个杯子中恰有三个杯子各放一球的情形；当X＝2时，对应于四个杯子中恰有一个杯子放两球的情形；当X＝3时，对应于四个杯子中恰有一个杯子放三球的情形． 当X＝1时，P(X＝1)＝＝， 当X＝2时，P(X＝2)＝＝， 当X＝3时，P(X＝3)＝＝. 所以X的分布列为 X 1 2 3 P 5.如图所示，A，B两点5条连线并联，它们在单位时间内能通过的最大信息量依次为2,3,4,3,2.现记从中任取三条线且在单位时间内通过的最大信息总量为X，求X的概率分布． 解：由已知X的取值为7,8,9,10， ∵P(X＝7)＝＝， P(X＝8)＝＝， P(X＝9)＝＝， P(X＝10)＝＝， ∴X的分布列为 X 7 8 9 10 P 7 / 7 学科网（北京）股份有限公司 $