7.1.2全概率公式 讲义-2025-2026学年高二下学期数学人教A版选择性必修第三册

人教A版选择性必修第三册 第七章 随机变量及其分布 7.1 条件概率与全概率公式 (一)教材梳理填空 1．全概率公式 若样本空间Ω中的事件A1，A2，…，An满足： (1)任意两个事件均互斥，即AiAj＝∅，i，j＝1,2，…，n，i≠j； (2)A1∪A2∪…∪An＝Ω； (3)P(Ai)>0，i＝1,2，…，n.则对任意的事件B⊆Ω， 有P(B)＝(Ai)P(B|Ai)，则称该公式为全概率公式． 上述公式可借助图形来理解： 2．贝叶斯公式* 设A1，A2，…，An是一组两两互斥的事件，A1∪A2∪…∪An＝Ω，且P(Ai)>0，i＝1,2，…，n，则对任意的事件B⊆Ω，P(B)>0，有P(Ai|B)＝＝，i＝1,2，…，n. (二)基本知能小试 1．判断正误 (1)应用全概率公式时，各个事件并不一定互斥．(　　) (2)对任意事件B⊆Ω，全概率公式P(B)＝(Ai)·P(B|Ai)都成立．(　　) 答案： (1)×　(2)√ 2．从有10个红球和10个黑球的袋子中，每次随机摸出1个球，摸出不再放回，第1次摸到红球的概率为，那么第2次摸到红球的概率为________． 解析：由全概率公式可求得第2次摸到红球的概率为. 答案： 3.甲、乙、丙三家公司生产同一种产品，已知三家公司的市场占有率如图所示，且三家公司产品的次品率分别为2%,1%和3%.则任取一件产品，它是次品的概率为________． 解析：设B＝“任取一家公司生产的产品为次品”，Ai＝“产品为第i家公司生产的”(i＝甲、乙、丙)， 则Ω＝A甲∪A乙∪A丙且A甲，A乙，A丙两两互斥，根据题意得P(A甲)＝0.5，P(A乙)＝0.25，P(A丙)＝0.25，由全概率公式得P(B)＝P(A甲)P(B|A甲)＋P(A乙)·P(B|A乙)＋P(A丙)P(B|A丙)＝0.5×0.02＋0.25×0.01＋0.25×0.03＝0.02. 答案：0.02 4．从1,2,3,4中任取一个数，记为X，再从1，…，X中任取一个数，记为Y，则P(Y＝2)＝________. 解析：易知P(X＝1)＝P(X＝2)＝P(X＝3)＝P(X＝4)＝. 由题意，得P(Y＝2|X＝1)＝0，P(Y＝2|X＝2)＝， P(Y＝2|X＝3)＝，P(Y＝2|X＝4)＝， 则根据全概率公式得到P(Y＝2)＝P(X＝1)P(Y＝2|X＝1)＋P(X＝2)P(Y＝2|X＝2)＋P(X＝3)P(Y＝2|X＝3)＋P(X＝4)P(Y＝2|X＝4) ＝×＝. 答案： 题型一　全概率公式的运用 [学透用活] (1)关于全概率公式P(B)＝(Ai)P(B|Ai)的来由，不难看出： “全”部概率P(B)被分解成了许多部分之和，它的理论和实用意义在于： 在较复杂情况下直接计算P(B)不易，但B总是伴随着某个Ai出现，适当地去构造这一组Ai往往可以简化计算． (2)我们还可以从另一个角度去理解全概率公式： ①某一事件B的发生有各种可能的原因(i＝1,2，…，n)，如果B是由原因Ai所引起，则B发生的概率是P(BAi)＝P(Ai)P(B |Ai)． ②每一原因都可能导致B发生，故B发生的概率是各原因引起B发生概率的总和，即全概率公式． ③由此可以形象地把全概率公式看成为“由原因推结果”，每个原因对结果的发生有一定的“作用”，即结果发生的可能性与各种原因的“作用”大小有关. 全概率公式表达了它们之间的关系． [典例1]　某公司有三个制造厂，全部产品的40%由甲厂生产，45%由乙厂生产，15%由丙厂生产，而甲、乙、丙三厂生产的不合格品率分别为1%,2%,3%.求从该公司产品中随机抽出一件产品为不合格品的概率． [解]　设A1＝“抽到甲厂的产品”，A2＝“抽到乙厂的产品”，A3＝“抽到丙厂的产品”，B＝“抽到不合格品”， 则A1，A2，A3两两互斥，且Ω＝A1∪A2∪A3. 于是B＝B(A1∪A2∪A3)＝BA1∪BA2∪BA3. 由题意可知BA1，BA2，BA3两两互斥，因而有 P(B)＝P(A1)P(B|A1)＋P(A2)P(B|A2)＋P(A3)·P(B|A3)． 又P(A1)＝0.4，P(A2)＝0.45，P(A3)＝0.15， P(B|A1)＝0.01，P(B|A2)＝0.02，P(B|A3)＝0.03， 所以P(B)＝P(A1)P(B|A1)＋P(A2)P(B|A2)＋P(A3)P(B|A3) ＝0.4×0.01＋0.45×0.02＋0.15×0.03＝0.017 5. [方法技巧] 全概率公式针对的是某一个过程中已知条件求出最后结果的概率，解题步骤如下： (1)找出条件事件里的某一个完备事件组，分别命名为Ai； (2)命名目标的概率事件为事件B； (3)代入全概率公式求解． [对点练清] 某工厂有两个车间生产同型号家用电器，第一车间的次品率为0.15，第二车间的次品率为0.12，两个车间的成品都混合堆放在一个仓库，假设第一、二车间生产的成品比例为2∶3，今有一客户从成品仓库中随机提一台成品，则该产品合格的概率为________． 解析：设B＝{从仓库中随机提出的一台是合格品}， Ai＝{提出的一台是第i车间生产的}，i＝1,2， 则有B＝A1B∪A2B，由题意知 P(A1)＝0.4，P(A2)＝0.6，P(B|A1)＝0.85， P(B|A2)＝0.88， 由全概率公式得 P(B)＝P(A1)P(B|A1)＋P(A2)P(B|A2) ＝0.4×0.85＋0.6×0.88＝0.868. 答案：0.868 *题型二　贝叶斯公式的应用 [学透用活] [典例2]　张宇去某地参加会议，他乘高铁、汽车、飞机去的概率分别为0.5,0.3,0.2.他乘高铁、汽车、飞机前往迟到的概率分别为，，，若他迟到了，求他乘的是高铁的概率． [解]　设B＝“迟到”，A1＝“乘高铁”，A2＝“乘汽车”，A3＝“乘飞机”． 根据题意，有 P(A1)＝0.5，P(A2)＝0.3，P(A3)＝0.2， P(B|A1)＝，P(B|A2)＝，P(B|A3)＝. 由贝叶斯公式，有 P(A1|B)＝ ＝ ＝. 因此，张宇乘的是高铁的概率为. [方法技巧] 贝叶斯公式针对的是某一个过程中已知结果发生求事件过程的某个条件成立的概率，解题步骤如下： (1)找出目标条件所在的完备事件组，并命名； (2)命名已知会发生的结果事件； (3)代入贝叶斯公式求解． [对点练清] 已知在所有男子中有5%患有色盲症，所有女子中有0.25%患有色盲症. 随机抽一人发现患色盲症，问其为男子的概率是多少？(设男子和女子的人数相等，保留两位有效数字)． 解： 设A表示抽到的为男子，B表示抽到的是女子，C表示抽到的人有色盲症. 则P(A)＝P(B)＝0.5，P(C|A)＝0.05， P(C|B)＝0.002 5， 由贝叶斯公式有 P(A|C)＝ ＝≈0.95. 即随机抽一人发现患色盲症且为男子的概率为0.95. [课堂思维激活]　 一、综合性——强调融会贯通 1．设某批产品中，甲、乙、丙三厂生产的产品分别占45%,35%,20%，各厂的产品的次品率分别为4%,2%,5%，现从中任取一件． (1)求取到的是次品的概率； *(2)经检验发现取到的产品为次品，求该产品是甲厂生产的概率． 解：记事件A1＝“该产品为甲厂生产的”，事件A2＝“该产品为乙厂生产的”，事件A3＝“该产品为丙厂生产的”，事件B＝“该产品是次品”．则Ω＝A1∪A2∪A3，且A1，A2，A3两两互斥，由题设，知P(A1)＝45%，P(A2)＝35%，P(A3)＝20%，P(B|A1)＝4%，P(B|A2)＝2%，P(B|A3)＝5%. (1)由全概率公式得P(B)＝(Ai)P(B|Ai)＝3.5%. (2)由贝叶斯公式(或条件概率定义)，得P(A1|B)＝＝＝. 二、应用性——强调学以致用 2．某人外出出差，委托邻居给家里植物浇一次水，设不浇水，植物枯萎的概率为0.8，浇水，植物枯萎的概率为0.15.邻居记得浇水的概率为0.9.则该人回来植物没有枯萎的概率为(　　) A．0.785 B．0.845 C．0.765 D．0.215 解析：选A　记A为事件“植物没有枯萎”，W为事件“邻居记得给植物浇水”，则根据题意，知P(W)＝0.9，P()＝0.1，P(A|)＝1－0.8＝0.2，P(A|W)＝1－0.15＝0.85.因此P(A)＝P(A|W)P(W)＋P(A|)P()＝0.85×0.9＋0.2×0.1＝0.785. 3．若甲盒中有2个白球、2个红球、1个黑球，乙盒中有x个白球(x∈N)、3个红球、2个黑球，现从甲盒中随机取出1个球放入乙盒，再从乙盒中随机取出1个球，若从甲盒中取出的球和从乙盒中取出的球颜色相同的概率大于等于，则x的最大值为(　　) A．4 B．5 C．6 D．7 解析：选C　设“第一次从甲盒取出白球，红球，黑球”的事件分别为A1，A2，A3，“从甲盒中取出的球和从乙盒中取出的球颜色相同”的事件为B，则P(B)＝P(A1)P(B|A1)＋P(A2)P(B|A2)＋P(A3)P(B|A3)＝·＋·＋·＝≥，解得x≤6，则x的最大值为6. [课下过关检测] 1．甲、乙、丙三个车间生产同一种产品，其产量分别占总量的25%,35%,40%，次品率分别为5%,4%,2%. 从这批产品中任取一件，则它是次品的概率为(　　) A．0.012 3 B．0.023 4 C．0.034 5 D．0.045 6 解析：选C　本题为简单的全概率公式的应用，从这批产品中任取一件，则它是次品的概率为0.25×0.05＋0.35×0.04＋0.4×0.02＝0.034 5. 2．盒中有2个红球，3个黑球，今随机地从中取出一个，观察其颜色后放回，并加上同色球2个，再从盒中第二次抽取一球，则第二次抽出的是黑球的概率为(　　) A. B. C. D. 解析：选A　设A＝“第一次抽出的是黑球”，B＝“第二次抽出的是黑球”，则B＝AB＋B. 由题意P(A)＝＝，P(B|A)＝＝， P()＝＝，P(B|)＝＝， 所以P(B)＝P(A)P(B|A)＋P()P(B|) ＝×＋×＝. *3．[多选]若0<P(A)<1,0<P(B)<1，则下列式子成立的是(　　) A．P(A|B)＝ B．P(AB)＝P(A)P(B|A) C．P(B)＝P(A)P(B|A)＋P()P(B|) D．P(A|B)＝ 解析：选BCD　由条件概率的计算公式知A错误，B,C显然正确．因为P(B)＝P(A)P(B|A)＋P()P(B|)，所以P(A|B)＝＝ ，知D正确． 4．某射击小组共有20名射手，其中一级射手4人，二级射手8人，三级射手8人；一、二、三级射手能通过选拔进入比赛的概率分别是0.9,0.7,0.4.则任选一名射手能通过选拔进入比赛的概率为(　　) A．0.62 B．0.48 C．0.5 D．0.4 解析：选A　设A1为进入比赛的一级射手，A2为进入比赛的二级射手，A3为进入比赛的三级射手，则P(A1)＝0.2，P(A2)＝0.4，P(A3)＝0.4且A1，A2，A3两两互斥，B＝“任取一名射手进入比赛”，则P(B)＝0.2×0.9＋0.4×0.7＋0.4×0.4＝0.62. 5．(2024·上海高考)某校举办科学竞技比赛，有A，B，C 3个题库，A题库有5 000道题，B题库有4 000 道题，C题库有3 000道题．小申已完成所有题，他A题库的正确率是0.92，B题库的正确率是0.86，C题库的正确率是0.72，现他从所有的题中随机选一题，正确率是________． 解析：A题库占所有题的＝， B题库占所有题的＝， C题库占所有题的＝，则所求概率P＝×0.92＋×0.86＋×0.72＝0.85. 答案：0.85 6．小王要约小李3 h后见面，但是只用某种方式告知一次．设小王用电子邮件通知的概率是0.3，用短信通知的概率是0.7，而小李在3 h内查看电子邮件的概率是0.8，看到短信的概率是0.9. (1)计算小李收到通知的概率； (2)如果收到通知的小李也有5%的概率不能前来见小王，计算小王不能按时见到小李的概率． 解：(1)设B＝“小李收到通知”，A1＝“小王通过电子邮件通知”，A2＝“小王用短信通知”， 则P(B)＝0.3×0.8＋0.7×0.9＝0.87. (2)设D＝“小王不能按时见到小李”， ①未收到通知P1＝1－P(B)＝0.13， ②收到通知但未去：P＝0.87×0.05＝0.043 5. 故P(D)＝0.13＋0.043 5＝0.173 5. 1．(2023·天津高考)甲、乙、丙三个盒子中装有一定数量的黑球和白球，其总数之比为5∶4∶6.这三个盒子中黑球占总数的比例分别为40%,25%,50%.现从三个盒子中各取一个球，取到的三个球都是黑球的概率为________；将三个盒子中的球混合后任取一个球，是白球的概率为________． 解析：设A＝“从甲盒子中取一个球，是黑球”，B＝“从乙盒子中取一个球，是黑球”，C＝“从丙盒子中取一个球，是黑球”，由题意可知P(A)＝40%＝，P(B)＝25%＝，P(C)＝50%＝，现从三个盒子中各取一个球，取到的三个球都是黑球的概率为P(ABC)＝P(A)P(B)P(C)＝××＝；设D1＝“取到的球是甲盒子中的”，D2＝“取到的球是乙盒子中的”，D3＝“取到的球是丙盒子中的”，E＝“取到的球是白球”，由题意可知P(D1)＝＝，P(D2)＝＝，P(D3)＝＝，P(E|D1)＝1－＝，P(E|D2)＝1－＝，P(E|D3)＝1－＝，所以P(E)＝P(D1E＋D2E＋D3E)＝P(D1E)＋P(D2E)＋P(D3E)＝P(D1)P(E|D1)＋P(D2)P(E|D2)＋P(D3)P(E|D3)＝×＋×＋×＝. 答案：　 2．某同学买了7个盲盒，每个盲盒中都有一支笔，有4支钢笔和3支圆珠笔． (1)一次取出2个盲盒，求2个盲盒为同一种笔的概率； (2)依次不放回地取出2个盲盒，求第1次、第2次取到的都是钢笔盲盒的概率； (3)依次不放回地取出2个盲盒，求第2次取到的是圆珠笔盲盒的概率． 解：(1)设事件A＝“2个盲盒都是钢笔盲盒”，事件B＝“2个盲盒都是圆珠笔盲盒”，则A与B为互斥事件． ∵P(A)＝＝，P(B)＝＝， ∴2个盲盒为同一种笔的概率P＝P(A∪B)＝P(A)＋P(B)＝＋＝. (2)设事件Ai＝“第i次取到的是钢笔盲盒”，i＝1,2. ∵P(A1)＝＝，P(A1)＝＝， ∴P(A1A2)＝P(A1)P(A1)＝×＝， 即第1次、第2次取到的都是钢笔盲盒的概率为. (3)设事件Bi＝“第i次取到的是圆珠笔盲盒”，i＝1,2. ∵P(B1)＝＝，P(B2|B1)＝＝，P(B2|A1)＝＝， ∴由全概率公式，可知第2次取到的是圆珠笔盲盒的概率为P(B2)＝P(B1)P(B2|B1)＋P(A1)P(B2|A1)＝×＋×＝. 3．某种电子玩具按下按钮后，会出现红球或绿球．已知按钮第一次按下后，出现红球与绿球的概率都是，从按钮第二次按下起，若前一次出现红球，则下一次出现红球、绿球的概率分别为，，若前一次出现绿球，则下一次出现红球、绿球的概率分别为，，记第n(n∈N，n≥1)次按下按钮后出现红球的概率为pn. (1)求p2的值； (2)若n∈N，n≥2，试用pn－1表示pn. 解：(1)设A1＝“第1次出现红球”，A2＝“第1次出现绿球”，B＝“第2次出现红球”， 则P(A1)＝P(A2)＝，P(B|A1)＝，P(B|A2)＝，由全概率公式得p2＝P(B)＝P(A1)P(B|A1)＋P(A2)P(B|A2)＝×＋×＝. (2)设C1＝“第n－1次出现红球”，C2＝“第n－1次出现绿球”，D＝“第n次出现红球”，则P(C1)＝pn－1，P(C2)＝1－pn－1，P(D|C1)＝，P(D|C2)＝. 由全概率公式得pn＝P(D)＝P(C1)·P(D|C1)＋P(C2)P(D|C2)＝pn－1×＋(1－pn－1)×＝－·pn－1＋(n∈N，n≥2)． 7 / 7 学科网（北京）股份有限公司 $人教A版选择性必修第三册 第七章 随机变量及其分布 7.1 条件概率与全概率公式 (一)教材梳理填空 1．全概率公式 若样本空间Ω中的事件A1，A2，…，An满足： (1)任意两个事件均 ，即AiAj＝∅，i，j＝1,2，…，n，i≠j； (2)A1∪A2∪…∪An＝ ； (3)P(Ai)>0，i＝1,2，…，n.则对任意的事件B⊆Ω， 有P(B)＝ ，则称该公式为 上述公式可借助图形来理解： 2．贝叶斯公式* 设A1，A2，…，An是一组两两互斥的事件，A1∪A2∪…∪An＝Ω，且P(Ai)>0，i＝1,2，…，n，则对任意的事件B⊆Ω，P(B)>0，有P(Ai|B)＝＝，i＝1,2，…，n. (二)基本知能小试 1．判断正误 (1)应用全概率公式时，各个事件并不一定互斥．(　　) (2)对任意事件B⊆Ω，全概率公式P(B)＝(Ai)·P(B|Ai)都成立．(　　) 2．从有10个红球和10个黑球的袋子中，每次随机摸出1个球，摸出不再放回，第1次摸到红球的概率为，那么第2次摸到红球的概率为________． 3.甲、乙、丙三家公司生产同一种产品，已知三家公司的市场占有率如图所示，且三家公司产品的次品率分别为2%,1%和3%.则任取一件产品，它是次品的概率为________． 4．从1,2,3,4中任取一个数，记为X，再从1，…，X中任取一个数，记为Y，则P(Y＝2)＝________. 题型一　全概率公式的运用 [学透用活] (1)关于全概率公式P(B)＝(Ai)P(B|Ai)的来由，不难看出： “全”部概率P(B)被分解成了许多部分之和，它的理论和实用意义在于： 在较复杂情况下直接计算P(B)不易，但B总是伴随着某个Ai出现，适当地去构造这一组Ai往往可以简化计算． (2)我们还可以从另一个角度去理解全概率公式： ①某一事件B的发生有各种可能的原因(i＝1,2，…，n)，如果B是由原因Ai所引起，则B发生的概率是P(BAi)＝P(Ai)P(B |Ai)． ②每一原因都可能导致B发生，故B发生的概率是各原因引起B发生概率的总和，即全概率公式． ③由此可以形象地把全概率公式看成为“由原因推结果”，每个原因对结果的发生有一定的“作用”，即结果发生的可能性与各种原因的“作用”大小有关. 全概率公式表达了它们之间的关系． [典例1]　某公司有三个制造厂，全部产品的40%由甲厂生产，45%由乙厂生产，15%由丙厂生产，而甲、乙、丙三厂生产的不合格品率分别为1%,2%,3%.求从该公司产品中随机抽出一件产品为不合格品的概率． [对点练清] 某工厂有两个车间生产同型号家用电器，第一车间的次品率为0.15，第二车间的次品率为0.12，两个车间的成品都混合堆放在一个仓库，假设第一、二车间生产的成品比例为2∶3，今有一客户从成品仓库中随机提一台成品，则该产品合格的概率为________． *题型二　贝叶斯公式的应用 [学透用活] [典例2]　张宇去某地参加会议，他乘高铁、汽车、飞机去的概率分别为0.5,0.3,0.2.他乘高铁、汽车、飞机前往迟到的概率分别为，，，若他迟到了，求他乘的是高铁的概率． [对点练清] 已知在所有男子中有5%患有色盲症，所有女子中有0.25%患有色盲症. 随机抽一人发现患色盲症，问其为男子的概率是多少？(设男子和女子的人数相等，保留两位有效数字)． [课堂思维激活]　 一、综合性——强调融会贯通 1．设某批产品中，甲、乙、丙三厂生产的产品分别占45%,35%,20%，各厂的产品的次品率分别为4%,2%,5%，现从中任取一件． (1)求取到的是次品的概率； *(2)经检验发现取到的产品为次品，求该产品是甲厂生产的概率． 二、应用性——强调学以致用 2．某人外出出差，委托邻居给家里植物浇一次水，设不浇水，植物枯萎的概率为0.8，浇水，植物枯萎的概率为0.15.邻居记得浇水的概率为0.9.则该人回来植物没有枯萎的概率为(　　) A．0.785 B．0.845 C．0.765 D．0.215 3．若甲盒中有2个白球、2个红球、1个黑球，乙盒中有x个白球(x∈N)、3个红球、2个黑球，现从甲盒中随机取出1个球放入乙盒，再从乙盒中随机取出1个球，若从甲盒中取出的球和从乙盒中取出的球颜色相同的概率大于等于，则x的最大值为(　　) A．4 B．5 C．6 D．7 [课下过关检测] 1．甲、乙、丙三个车间生产同一种产品，其产量分别占总量的25%,35%,40%，次品率分别为5%,4%,2%. 从这批产品中任取一件，则它是次品的概率为(　　) A．0.012 3 B．0.023 4 C．0.034 5 D．0.045 6 2．盒中有2个红球，3个黑球，今随机地从中取出一个，观察其颜色后放回，并加上同色球2个，再从盒中第二次抽取一球，则第二次抽出的是黑球的概率为(　　) A. B. C. D. *3．[多选]若0<P(A)<1,0<P(B)<1，则下列式子成立的是(　　) A．P(A|B)＝ B．P(AB)＝P(A)P(B|A) C．P(B)＝P(A)P(B|A)＋P()P(B|) D．P(A|B)＝ 4．某射击小组共有20名射手，其中一级射手4人，二级射手8人，三级射手8人；一、二、三级射手能通过选拔进入比赛的概率分别是0.9,0.7,0.4.则任选一名射手能通过选拔进入比赛的概率为(　　) A．0.62 B．0.48 C．0.5 D．0.4 5．(2024·上海高考)某校举办科学竞技比赛，有A，B，C 3个题库，A题库有5 000道题，B题库有4 000 道题，C题库有3 000道题．小申已完成所有题，他A题库的正确率是0.92，B题库的正确率是0.86，C题库的正确率是0.72，现他从所有的题中随机选一题，正确率是________． 6．小王要约小李3 h后见面，但是只用某种方式告知一次．设小王用电子邮件通知的概率是0.3，用短信通知的概率是0.7，而小李在3 h内查看电子邮件的概率是0.8，看到短信的概率是0.9. (1)计算小李收到通知的概率； (2)如果收到通知的小李也有5%的概率不能前来见小王，计算小王不能按时见到小李的概率． 1．(2023·天津高考)甲、乙、丙三个盒子中装有一定数量的黑球和白球，其总数之比为5∶4∶6.这三个盒子中黑球占总数的比例分别为40%,25%,50%.现从三个盒子中各取一个球，取到的三个球都是黑球的概率为________；将三个盒子中的球混合后任取一个球，是白球的概率为________． 2．某同学买了7个盲盒，每个盲盒中都有一支笔，有4支钢笔和3支圆珠笔． (1)一次取出2个盲盒，求2个盲盒为同一种笔的概率； (2)依次不放回地取出2个盲盒，求第1次、第2次取到的都是钢笔盲盒的概率； (3)依次不放回地取出2个盲盒，求第2次取到的是圆珠笔盲盒的概率． 3．某种电子玩具按下按钮后，会出现红球或绿球．已知按钮第一次按下后，出现红球与绿球的概率都是，从按钮第二次按下起，若前一次出现红球，则下一次出现红球、绿球的概率分别为，，若前一次出现绿球，则下一次出现红球、绿球的概率分别为，，记第n(n∈N，n≥1)次按下按钮后出现红球的概率为pn. (1)求p2的值； (2)若n∈N，n≥2，试用pn－1表示pn. 7 / 7 学科网（北京）股份有限公司 $