8.3 三角形的中位线 同步练习2025-2026学年 苏科版数学八年级下册

8.3《三角形的中位线》 一、单选题 1．如图，在菱形中，点，分别是，的中点，连接，若，则菱形的周长为（    ） A． B． C． D． 2．下列说法不正确的是（    ） A．对角线互相平分的四边形是平行四边形 B．对角线相等的四边形是矩形 C．对角线互相垂直平分且相等的四边形是正方形 D．顺次连接矩形各边的中点所得到的四边形是菱形 3．如图，∆ABC中，，，，，，则的值为（   ） A．6 B． C．7 D．8 4．如图，的对角线相交于点O，的平分线与边相交于点P，E是的中点，若，，则的长为（   ） A．3 B．2 C．1 D．1.5 5．如图，是∆ABC内一点，，，，，、、、分别是、、、的中点，则四边形的周长是（　　） A．9 B．10 C．11 D．12 6．如图，∆ABC中，，点M、N分别为边、的中点，连接、、，若，则的值为（    ） A．8 B．12 C．16 D．18 7．如图，在平行四边形中，对角线，相交于点O，．若点E，F分别为，的中点，连接，，，则四边形的周长为（    ） A． B． C．40 D．24 二、填空题 8．如图，在平行四边形中，点、分别是、的中点，连接，若，则的长为_____ ． 9．如图，在中，对角线相交于点为的四等分点，为的中点．若，则的长是___________． 10．在四边形中，，对角线，若，，则四边形各边中点连线构成的四边形的面积是______． 11．如图，在平行四边形中，对角线相交于点O，点E是的中点，连接，取的中点F，连接，若，则等于_____ ． 12．如图，正方形边长为6，，M、N分别是和的中点，则长为_________． 13.如图，在平行四边形中，是边的中点，将沿进行折叠，点落在点处，连接，若，则的长等于__________． 14．如图，在菱形中，、分别是边、上的动点（点、均不与点重合），连接分别是的中点，连接．若，则的最小值是_____ 15．如图，在菱形中，为中点，是的中点，交对角线于点，连接，取中点，取中点，连接，若，，则的长度为______． 16．如图，矩形中，点E为上一动点，连接，将沿翻折得到，连接，点G为的中点，连接，则线段的最小值为____________． 三、解答题 17．如图，在∆ABC中，是高，是中线，且是的中点． (1)求证：DG⟂CE； (2)若，求的长． 18．如图，四边形的对角线垂直于点，、分别为、中点，分别过点、作，，和交于点．    (1)求证：四边形是矩形； (2)若，时，求的长． 19．如图，为∆ABC的中线，为的中线． (1)在△BED中作边上的高，垂足为F； (2)若∆ABC的面积为，． ①的面积为_________； ②求中边上的高的长； (3)过点E作，交于点，连接、且相交于点，若，，求．（用含m、n的代数式表示） 20．某初中数学小组在学完“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”后分组进行了交流，请你根据各小组的内容解答问题． (1)经典小组的同学们对该性质进行了证明：①下面是该小组的小亮截取的教材中的证明过程： 已知：如图1，在中，，CD是斜边AB上的中线． 求证：． 证明：延长至点E，使，连接． ∵是斜边上的中线，∴．又∵， ∴四边形是平行四边形      I 又∵，∴四边形是矩形，    Ⅱ ∴，∴． 该证明过程中：I处的判定定理是_______；Ⅱ处的判定定理是________； ②该小组的小红提供了另一种证明方法，请你根据下面的思路，完成证明． 如图2，取的中点D，连接，根据中位线定理和其他知识进行证明． (2)创新小组在定理应用上进行了拓展：如图3，在四边形中，，，E，F分别为的中点，连接．若，平分，，过点E作于G，求的长． 21．如图，在∆ABC中，，点D，E分别在，边上，分别连接、，点M、N、H分别是、、的中点，连接、、． (1)试猜想是何特殊三角形，并说明理由； (2)若，，求线段的长． 22．D、E分别是不等边三角形（即）的边、的中点．O是所在平面上的动点，连接、，点G、F分别是、的中点，顺次连接点D、G、F、E．    (1)如图，当点O在△ABC的内部时，求证：四边形是平行四边形； (2)若四边形是菱形，则与应满足怎样的数量关系？（直接写出答案，不需要说明理由．） 23．在正方形中，对角线与相交于点O，点F是线段上的动点，交线段于点E． (1)如图1，若平分， ①求证：． ②若，求的长． (2)如图2，连接．当时，请猜想与的数量关系，并说明理由． 24．如图①，在四边形中，如果对角线和相交且互相垂直，那么我们把这样的四边形称为垂角线四边形． (1)①在“平行四边形、矩形、菱形”中，______一定是垂角线四边形（填写图形名称） ②若M、N、P、Q分别是垂角线四边形的边、、、的中点，当对角线、还需要满足______时，四边形是正方形； (2)已知在垂角线四边形中，，，，则 ①如图②，当时，四边形的面积是______； ②如图③，当时，求四边形的面积； 参考答案 一、单选题 1．D 解：点，分别是，的中点， 四边形是菱形 菱形的周长． 2．B 解：∵ A：对角线互相平分的四边形是平行四边形，正确； ∵ B：对角线相等的四边形不一定是矩形（如等腰梯形），故错误； ∵ C：对角线互相垂直平分且相等的四边形是正方形，正确； ∵ D：顺次连接矩形各边的中点所得到的四边形是菱形，正确； ∴ 不正确的是B． 故选：B． 3．C 解：如图，延长交于， ， ， 在和中， ， ， ，， ， ∴是∆BCF的中位线， ， ， 故选：C． 4．D 解：∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵O是中点，E是中点， ∴是的中位线， ∴． 故选：D． 5．C 解：，，， ， 、、、分别是、、、的中点， ，， 四边形的周长， 又， 四边形的周长． 故选：C． 6．C 解：连接， ，点、分别为边、的中点， 是∆ABC的中位线，是的中位线，是的中位线， ， ， ，， ． 故选：C． 7．B 解：∵四边形是平行四边形，， ∴是菱形， ∴； ∵点分别为的中点， ∴是的中位线，， ∴， 由（1）可知，四边形是菱形， ∴， 在中，由勾股定理得：， ∴菱形的周长． 故选：B． 二、填空题 8． 解：∵四边形是平行四边形， ∴， ∵点、分别是、的中点， ∴． 故答案为：3． 9．12 解：取的中点，连接， ∵四边形为平行四边形， ∴为的中点， ∵点为的四等分点，的中点， ∴点为的中点， ∵为的中点， ∴， ∵的中点，为的中点， ∴． 故答案为：． 10． 解：如图，、、、分别为、、、的中点，连接点、、、， ∴，，，，，（三角形的中位线定理）， ∴，， ∴四边形是平行四边形（两组对边分别平行的四边形是平行四边形）， ∵，，， ∴， ∴， ∴四边形是矩形（有一个角是直角的平行四边形是矩形）， ∴矩形的面积． 故答案为：． 11．4 解：∵四边形是平行四边形， ∴点O为的中点， ∵点E是的中点， ∴， ∵点F是的中点， ∴， 故答案为：4． 12． 解：如图所示，取中点H，的中点P，连接并延长交于点G，连接并延长交于点Q，    ∵正方形边长为6，， ∴，， ∴，， ∵M、N分别是和的中点， ∴， ∴是的中位线，是的中位线， ∴，， ∵ ∴，， ∴，， ∴四边形是矩形， ∴，， ∴四边形是正方形， ∵，， ∴，   ∵，， ∴， ∵四边形是正方形， ∴， ∴， 故答案为：． 13．4 解：由题意可知，为对称轴，点为对应点， 连接交于点， 由折叠的性质可知，垂直平分， ，点为的中点， 是边的中点， 为∆BCF的中位线， 设，则， ， ， 在中，， 在中，， ， 解得：， ． 故答案为：4 14． 解：如图，连接， ∵四边形为菱形， ∴， ∵、分别是、的中点， ∴是的中位线， ∴， ∴当时，最小，也最小，则， ∵， ∴ ， ∴， ∴， ∴， ∴的最小值是， 故答案为：． 15． 解：连接，如图所示： ∵四边形为菱形， ∴，， ∴，， ∵，， ∴为等边三角形， ∴，， ∵E为中点，是的中点， ∴， ∴， ∴，， ∵M为的中点，N为的中点， ∴，，， ∴， ∴， 在中，过点O作于点P，如图所示： ∵，， ∴，， ∴， ∴， ∴． 故答案为：． 16． 解∶ 延长到，使，连接，如图∶ 四边形是矩形， ， ， 将沿翻折得到， ， 当，，共线时，最小，最小值为； 点为的中点，， 是的中位线， ， 的最小值为； 故答案为：． 三、解答题 17．（1）证明：连接，如图所示： 在∆ABC中，是高，则， 是中线， 点为边的中点， 则在中，， ， ， 则是等腰三角形， 是的中点， 是底边上的中线， 则由等腰三角形三线合一性质得到DG⟂CE； （2）解：在∆ABC中，是高，若，则由等腰三角形三线合一性质可得是底边上的中线， 是的中点， 是的中点， 是的中位线， 则， 是中线， 点为边的中点， 则． 18．（1）证明：，， 四边形是平行四边形， 又， ， 四边形是矩形； （2）解：四边形是矩形， ， 、分别为、中点， 是的中位线， ， ， ， ． 19．（1）解：如图，作垂足为， （2）解：①为∆ABC的中线， ， 的面积为， 的面积为； ②为的中线， ， ∴， ； （3）解：∵ ，为的中线， 是的中位线， 是的中线， ，， ， 又 ． 20．（1）解：①对角线互相平分的四边形是平行四边形；有一个角是直角的平行四边形是矩形； ②证明：∵O是的中点， ∴是∆ABC的中位线， ∴， ∵， ∴，即， ∴是的垂直平分线， ∴； （2）在中， 由中点可知，， 在中， ∵E是中点， ∴， ∵， ∴， 由条件可知， ∵点E是中点，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵，，， ∴点G是的中点， ∴． 21．（1）解：是直角三角形，且，理由如下： ∵是的中位线， ∴， ∴， 同理得：， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴是直角三角形，且． （2）解：∵是的中位线，， ∴， 同理得：， 由（1）可知：， ∴． ∴线段的长为． 22．（1）证明: ∵分别是边的中点, 且， 同理，且， ∴且 ∴四边形是平行四边形； （2）当时，平行四边形是菱形.理由为：    分别是边的中点, ∴， 又∵，， ∴， ∴平行四边形是菱形． 23．（1）①证明：∵四边形是正方形 ∴ ∵平分 ∴ ∵， ∴ ∴； ②过点E作于点F ∵ ∴ ∴ ∵ ∴ ∵平分，， ∴； （2） 取的中点M，连接 ∵四边形是正方形 ∴ ∵M为的中点， ∴为的中位线 ∴ 在中， ∴ ∵ ∴ ∴ ∴， ∵ ∴ ∴ ∴ ∵ ∴四边形为平行四边形 ∴ ∵ ∴ 24．（1）解，①∵菱形的对角线相交且互相垂直， ∴菱形一定是垂角线四边形， 故答案为：菱形； ②如下图所示， ∵M、N、P、Q分别是垂角线四边形的边、、、的中点， ∴，，，， ∴，， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴ ∴四边形是矩形， 当时，矩形是正方形， ∵， ∴， 故答案为：； （2）解：①设和交于点O，如下图所示， ∵， ∴和∆AOB均为直角三角形， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴，四边形的面积为：， 故答案为：12； ②设和交于点O，过点C作于点H，如下图所示， ∵，，， ∴， ∵，，， ∴四边形是矩形， ∴， ∵， ∴， 设， 得， ∵， ∴， ∴ ∵， ∴， 解方程得， ∴， ∴． 学科网（北京）股份有限公司 $