专题03分式方程同步讲义（知识梳理+题型精析+考点突破）2025-2026学年华东师大版八年级数学下册

专题03分式方程同步讲义 【题型01 分式方程的定义】........................................3 【题型02 解分式方程】............................................5 【题型03 根据分式方程解大情况求值】..............................7 【题型04 分式方程无解问题】......................................9 【题型05 列分式方程】...........................................11 【题型06 分式方程的行程问题】...................................14 【题型07 分式方程的工程问题】...................................16 【题型08 分式方程的经济问题】...................................18 【题型09 分式方程的和差倍分问题】...............................20 【题型10 分式方程的其他实际问题】...............................22 【解答题5题】...................................................25 ★知识梳理★ 知识点01:基本概念 分式方程分母中含有未知数的方程叫分式方程。 整式方程分母不含未知数的方程（如一元一次方程）。 知识点02:解分式方程的一般步骤 1.去分母 方程两边同乘最简公分母，化为一元一次方程。 2.解整式方程 求出未知数的值。 3.检验（必须步骤） 把解代入最简公分母： 若最简公分母 **≠0**，是原方程的解； 若最简公分母 **=0**，此解是增根，原方程无解。 知识点03:增根 定义：变形后整式方程的解，但使原分式方程分母为 0，不是原方程的解。 产生原因：去分母时两边乘了可能为 0 的式子。 结论：分式方程一定要检验。 知识点04:分式方程应用题通用解题步骤 1.设：设原来 / 现在的速度、时间、单价等 2.找：时间差 / 数量差 / 效率和 3.列：用 单个量总量​ 列分式方程 4.解：化为一元一次方程求解 5.双检验： 检验是不是增根 检验是否符合实际意义 6.答 知识点05:常见应用题 + 核心等量关系 1. 行程问题 核心公式：路程 = 速度 × 时间 时间 = 路程 ÷ 速度 速度 = 路程 ÷ 时间 常见等量关系： 相遇问题：甲路程 + 乙路程 = 总路程 追及问题：快者路程 − 慢者路程 = 初始距离 顺逆水（风）：顺水速度 = 静水速度 + 水速逆水速度 = 静水速度 − 水速 2. 工程问题 核心公式：工作量 = 工作效率 × 工作时间 工作效率 = 工作量 ÷ 工作时间 工作时间 = 工作量 ÷ 工作效率 常见等量关系： 通常把总工作量设为 1 各部分工作量之和 = 总工作量（1） 合作效率 = 各单独效率之和 3.和差倍分问题 和：甲 + 乙 = 总数 差：甲 − 乙 = 差 倍：甲 = 乙 × 倍数 分：甲 = 乙 × 几分之几 分式方程常见形式：=倍数或= 4.经济问题（价格、数量、总价） 基本公式 1. 涨价 / 降价（数量差） 2. 单价差 知识点06:易错点总结 1.去分母时，每一项都要乘最简公分母，不要漏乘常数项。 2.分子是多项式时，去分母要加括号。 3.解完必须检验，不能省略。 【题型1.分式方程的定义】 【典例】下列关于x的方程是分式方程的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查的知识点是分式方程的定义，解题的关键是熟练的掌握分式方程的定义．根据分式方程的定义：分母里含有未知数的方程叫做分式方程进行判断． 【详解】解：A． 方程分母中不含未知数，故不是分式方程； B． 方程分母中不含未知数x，故不是分式方程； C． 方程分母中不含表示未知数的字母，π是常数，不是分式方程； D． 方程分母中含未知数x，故是分式方程． 故答案选D． 【跟踪专练1】下列式子：①；②；③；④；⑤；⑥．其中，是关于x的分式方程有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】根据分母中含有未知数的方程叫做分式方程，判断即可． 【详解】解：①分母中不含有未知数，是整式方程； ②分母中含有未知数，故是分式方程； ③不是等式，故不是方程； ④分母中含有未知数，故是分式方程． ⑤分母中不含有未知数，故不是分式方程； ⑥分母中不含有未知数，故不是分式方程； 综上所述：分式方程有②④，共2个， 故选：B． 【点睛】本题考查了分式方程的定义，熟练掌握定义是解题的关键． 【跟踪专练2】观察下列分式方程：①；②；③；…．根据他们所蕴含的规律，写出这一组分式方程中的第⑥个方程：_______． 【答案】 【分析】本题考查了分式方程，代数式规律的探索；探索出方程的规律是解题的关键；分式方程的规律是：方程左边是分式与1的和，其中分式的分母为未知数x，分子为从1开始的相邻两个自然数的积，方程右边是从3开始的奇数；根据此规律即可写出第⑥个方程． 【详解】解：根据规律知，第⑥个方程为：， 即， 故答案为：． 【跟踪专练3】下列说法：①是分式方程：②x=1或x=-1是分式方程=0的解；③分式方程转化成一元一次方程时，方程两边需要同乘x(x+4)；④解分式方程时一定会出现增根，其中正确的有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】利用分式方程的定义，分式方程的解，以及分式方程根的判断即可解决． 【详解】①是分式方程，故正确； ②时，，即分母为0，故不是分式方程的解 ，错误； ③分式方程转化成一元一次方程时，方程两边需要同乘，故正确； ④解分式方程时不一定会出现增根，错误． 所以正确的有2个 故选：B 【点睛】本题考查了分式方程的定义、分式方程根的检验、分式方程的增根等知识． 【题型2.解分式方程】 【典例】分式方程的解是 _____． 【答案】x=-6 【分析】分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解． 【详解】解：去分母得：2x=3x+6， 解得：x=-6， 检验：把x=-6代入得：x（x+2）≠0， ∴x=-6是分式方程的解． 故答案为：x=-6． 【点睛】本题考查了解分式方程，利用了转化的思想，解分式方程注意要检验． 【跟踪专练1】把分式方程化成整式方程，去分母后的方程为______________________ 【答案】 【分析】首先确定此分式方程的最简公分母是，再根据等式的基本性质给方程两边乘以最简公分母，即可把分式方程转化为整式方程． 【详解】解：方程的两边同乘，得 ， 故答案为：． 【点睛】本题考查了解分式方程，掌握解分式方程的基本步骤并能根据方程特点准确找出最简公分母是解答此题的关键． 【跟踪专练2】解分式方程时，去分母后变形正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用等式的性质给方程两边每一项都乘以最简公分母，注意不能漏乘项． 本题考查分式方程去分母的方法，解题关键是确定最简公分母． 【详解】解：∵ ∴该分式方程的最简公分母为， 方程两边同时乘以 得． 故选：B． 【跟踪专练3】如图，点，，在数轴上对应的数分别是，，．若点到，两点的距离相等，则的值为__________． 【答案】 【分析】根据点到，两点的距离相等得出，解方程求出的值，再检验即可． 【详解】解：∵点到，两点的距离相等， ∴， 去分母得， 解得：， 经检验：是分式方程的解． ∴的值为． 【点睛】解分式方程时，最后要检验，避免出现增根． 【题型3.根据分式方程解的情况求值】 【典例】若关于x方程的解是，则a的值为______． 【答案】4 【分析】将x=3代入分式方程中求解a值即可． 【详解】解：∵关于x方程的解是， ∴， ∴a=4， 故答案为：4． 【点睛】本题考查分式方程的解，理解分式方程的解是解答的关键． 【跟踪专练1】是分式方程的根，则______． 【答案】 【分析】把代入分式方程得到关于的一元一次方程，然后再解方程即可． 【详解】解：把代入分式方程得：， 整理得： 系数化为1得：． 故答案为：． 【点睛】本题考查了分式方程的解和解一元一次方程．理解分式方程解的意义和熟练掌握解一元一次方程是解题的关键． 【跟踪专练2】若分式方程的解是正数，则a的取值范围是（   ） A． B．，且 C． D．，且 【答案】D 【分析】本题考查分式方程的解，求不等式的解集．将a看成一个常数，然后按照分式方程的解法求出x即可求出a的范围． 【详解】解：， 去分母得， ∴， ∵分母不能为0， ∴把代入，得， ∵方程的解是正数， ∴， ∴， ∴且． 故选：D． 【跟踪专练3】若关于的分式方程的解为非负数，关于的一元一次不等式组有解且最多有个整数解，则所有满足条件的整数的值的和是_____． 【答案】 【分析】本题考查分式方程，一元一次不等式组，先解分式方程得到与的关系，根据解为非负数确定的范围；再解不等式组，根据有解且最多有个整数解确定的范围；综合两个范围得到整数的值并求它们的和．掌握一元一次不等式组的整数解的定义以及分式方程的解法是解题的关键． 【详解】解：将分式方程 去分母得：， 即， ∵关于的分式方程有解， ∴且， 解得：， ∵关于的分式方程的解为非负数， ∴，且， ∴且， ∵不等式组 ， 解不等式①，得：， 解不等式②，得：， ∵关于的一元一次不等式组有解且最多有个整数解， ∴， ∴， 综上所述，的取值范围是且， ∴整数可取，，，，，且， ∴所有满足条件的整数的值的和是． 故答案为：． 【题型4.分式方程无解情况】 【典例】若关于x的分式方程无解，则a的值为（　　） A．1 B．1或 C．或 D．以上都不是 【答案】A 【分析】本题考查分式方程的解，熟练掌握分式方程的解法，根据分式方程无解，分两种情况进行讨论是解题的关键． 根据分式方程“无解”，考虑两种情况：第一种是分式方程化为整式方程时，整式方程有解，但是整式方程的解会使最简公分母为0，产生了增根．第二种情况是化为整式方程时，整式方程无解，则原分式方程也无解．综合两种情况求解即可． 【详解】解： 分式方程两边同乘以得： 令最简公分母为0，即解得 ∴当，即时，原分式方程产生增根，无解． 综上所述可得：时，原分式方程无解． 故选：A． 【跟踪专练1】已知分式方程（为常数）有增根，则的值为_____． 【答案】8 【分析】此题考查了分式方程的增根，增根确定后可按如下步骤进行：①化分式方程为整式方程；②把增根代入整式方程即可求得相关字母的值，理解题意是解题的关键． 分式方程有增根，即该值使分母为零，代入化简后的整式方程求解． 【详解】解：原方程化为 ， 两边同乘 得 ，， 整理得 ，即 ， 增根 是整式方程的解，代入得 ， 解得 ， 故答案为：． 【跟踪专练2】若关于的方程无解，那么的值是（    ） A．4 B． C． D．3 【答案】A 【分析】本题考查了分式方程根的情况，解题的关键是明确分式方程无解的条件：①去分母后的整式方程无解；②解出的根为增根． 将分式方程化成整式方程，求出使最简公分母为0的x的值，代入整式方程或根据整式方程无解，进行计算即可； 【详解】解：将分式方程变为整式方程得：． 整理得：， ∵原分式方程无解， ∴， ∴， 解得：． 故选A． 【跟踪专练3】若关于x的分式方程无解，则m的值为________． 【答案】3或 【分析】分式方程去分母转化为整式方程，分整式方程无解和产生了增根两种情况分别进行求解即可． 【详解】解： 解：去分母得：， 整理得，， ①当时，整式方程无解， 解得，，此时原分式方程无解； ②由，时，解得是增根， 把代入得， ， 整理得，， 解得， 经检验是的根， ∴的解是， 当时，关于x的分式方程无解， 即m的值为3或， 故答案为：3或． 【点睛】本题主要考查分式方程的解，理解分式方程无解产生的原因是解题的关键． 【题型5.列分式方程】 【典例】某车间计划在一定时间内生产240套零配件，生产3天后改进了技术，结果每天比原计划多生产4套并提前6天完成生产任务．设原计划每天生产x套零配件，则可列方程为________． 【答案】 【分析】设原计划每天生产x套零配件，根据“生产3天后改进了技术，结果每天比原计划多生产4套并提前6天完成生产任务”列出方程即可． 【详解】解：设原计划每天生产x套零配件，根据题意可得， ， 故答案为： 【点睛】此题考查了分式方程的应用，读懂题意，找到等量关系正确列出方程是解题的关键． 【跟踪专练1】《九章算术》中有如下分钱问题：第一次有人，平分元钱；第二次比第一次增加人，平分元钱，且第二次每人分得的钱与第一次相同，则可列方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查分式方程的实际应用，解题关键是根据“两次每人分得的钱数相同”这一等量关系，分别表示出两次每人分得的钱数，进而列出方程． 【详解】解：∵第一次有人，平分元钱，∴第一次每人分得元． ∵第二次比第一次增加人， ∴第二次有人，平分元钱， ∴第二次每人分得元． ∵第二次每人分得的钱与第一次相同，∴可列方程为． 故选：D． 【跟踪专练2】如图，琳琳和华华相约周末到家乡美食小镇游玩，两人同时分别到达小吃摊位和，并约在出口会合，琳琳从经过摊位，最后到达出口，华华从摊位直接前往出口，速度与琳琳从到的速度相同，两人在每两个地点间均匀速前进，各点间距如图所示．若琳琳从到的速度比从到的速度慢，且从到的时间为从到时间的一半，则________ （填“琳琳”或“华华”）先到达出口．    【答案】琳琳 【分析】本题主要考查分式方程的应用，正确找到等量关系列出方程是解答本题的关键． 设琳琳从到的速度为，则从到的速度为，根据从到的时间为从到时间的一半可列分式方程，求出的值，再分别计算出琳琳和华华到达出口的时间进行比较即可得出答案． 【详解】解：设琳琳从到的速度为，根据题意得： ， 解得：， 经检验，是原方程的解， ， 琳琳所用的时间为：， 华华所用的时间为：， ， 琳琳先到达出口， 故答案为：琳琳． 【跟踪专练3】为传承我国传统节日文化，端午节前夕，某校组织了包粽子活动．已知某班甲组同学平均每小时比乙组多包20个粽子，甲组包150个粽子所用的时间与乙组包120个粽子所用的时间相同．求甲，乙两组同学平均每小时各包多少个粽子．若设乙组每小时包个粽子，可列出关于的方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了由实际问题列出分式方程，设乙组同学平均每小时包x个粽子，则甲组同学平均每小时包个粽子，根据“甲组包150个粽子所用的时间与乙组包120个粽子所用的时间相同”列出分式方程即可． 【详解】解：根据题意得： ， 故选：A． 【题型6.分式方程的行程问题】 【典例】2024年世界人工智能大会上展示的无人汽车和飞行汽车的技术突破备受瞩目．已知某品牌飞行汽车的最高时速比无人汽车快150千米/小时，若两车分别以各自的最高速度行驶80千米，飞行汽车所用时间比无人汽车少0.5小时．设无人汽车的最高时速为x千米/小时，那么根据题意可列出方程________． 【答案】 【分析】本题考查了分式方程的实际应用，去理解题意是解题的关键． 设无人汽车的最高时速为x千米/小时，则飞行汽车的最高时速为千米/小时，分别表示其飞行时间，根据飞行汽车所用时间比无人汽车少0.5小时建立方程即可． 【详解】解：设无人汽车的最高时速为x千米/小时，则飞行汽车的最高时速为千米/小时， 由题意得：， 故答案为：． 【跟踪专练1】某学校组织学生去离学校的红色基地开展研学活动，先遣队和大队同时出发，先遣队的速度是大队速度的倍，结果先遣队比大队早到．设大队的速度是，下列方程正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了分式方程的应用．根据题意，大队和先遣队的路程均为，大队速度为，先遣队速度为，先遣队比大队早到小时，即大队的时间比先遣队多小时，据此列出方程，即可求解． 【详解】解：设大队速度为，先遣队速度为， 则． 故选：B． 【跟踪专练2】昆一中西山学校“让体育成为最好的答案”的教育案例入选2025全国“以体树人”教育案例、学校依托体育特色，开展校园足球耐力跑训练，每个队员需完成一段1500米的跑圈训练，已知甲队员的平均速度是乙队员的倍，甲跑完这段路程比乙少用1分钟，那么甲、乙的平均速度分别是多少米/分钟？ 【答案】甲的平均速度是米/分钟，乙的平均速度是米/分钟 【分析】本题考查了分式方程的实际应用，正确理解题意，找到等量关系是解题的关键． 设乙队员的平均速度为x米/分钟，则甲队员的平均速度为米/分钟，然后表示出各自的时间，再由“甲跑完这段路程比乙少用1分钟”建立分式方程求解． 【详解】解：设乙队员的平均速度为x米/分钟，则甲队员的平均速度为米/分钟， 根据题意列方程得 解得， 经检验，是原方程的解，且符合题意， ∴原方程的解为， 则 答：甲的平均速度是米/分钟，乙的平均速度是米/分钟． 【跟踪专练3】中国国家铁路集团有限公司宣布，2024年12月27日，盐城至宜兴高铁（以下简称盐宜高铁）开工建设，这将大大加快盐城城市群建设与发展．铁路建成后，盐城与泰州铁路运行里程由现在的缩短至，预计平均时速要比现行的平均时速快，运行时间是现行时间的． (1)设该铁路建成前在盐城与泰州两地运行的现行时间是x小时，则该城际铁路建成后在盐城与泰州两地的运行时间是_____小时（用含x的式子表示）： (2)根据（1）中的设未知数x，结合题意，列方程，求出该城际铁路建成后在盐城与泰州两地之间的运行时间． 【答案】(1) (2)小时 【分析】本题考查了用含未知数的式子表示数量关系，行程问题中的数量关系及分式方程的求解． （1）根据现行时间与建成后时间的关系，直接用含x的式子表示建成后的运行时间； （2）先根据“建成后的速度−现行速度”列出方程，求解x后，再计算建成后的运行时间． 【详解】（1）解：∵该铁路建成后，运行时间是现行时间的，且该铁路建成前在盐城和泰州两地运行的现行时间是x小时， ∴该铁路建成后在盐城和泰州两地的运行时间是小时． （2）解：根据题意得：， 解得， 经检验，是所列方程的解，且符合题意， ∴（小时）， 答：该铁路建成后在盐城与泰州两地之间的运行时间为小时． 【题型7.分式方程的工程问题】 【典例】题目如下：“甲、乙两位同学做中国结，已知★，甲做30个所用的时间与乙做45个所用的时间相同，求甲每小时做中国结的个数．“★部分为被墨迹弄污的条件，根据图中的解题过程，被墨迹弄污的条件应是______．    【答案】乙每小时比甲多做6个中国结 【分析】本题考查了分式方程的应用，找到关键描述语，找到合适的等量关系是解决问题的关键．设甲每小时做x个，乙每小时做个，根据甲乙的工作时间，可列方程． 【详解】解：被墨迹弄污的条件应是乙每小时比甲多做6个， 故答案为：乙每小时比甲多做6个中国结． 【跟踪专练1】某小区为了改善环境，计划在花坛种植200株花，由于学生志愿者的加入，每小时比原计划多种20株，结果提前1小时完成任务．设原计划每小时种株，根据题意可列方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了分式方程的应用．设原计划每小时种x株，实际每小时比原计划多种20株，根据提前1小时完成任务．列出分式方程，即可求解． 【详解】解：设原计划每小时种x株，则实际每小时种株， 根据题意得， 故选：D． 【跟踪专练2】铁包公快递仓库使用某型号机器人分拣货物，已知一台机器人的工作效率相当于一名工人的工作效率的15倍，用这台机器人分拣6000件货物比20名工人分拣6000件货物多用小时．求这台机器人每小时可分拣多少件货物？ 【答案】件 【分析】本题主要考查了分式方程的实际应用． 设每名工人每小时可分拣件货物，则一台机器人每小时可分拣件货物，根据题意，列出方程，即可． 【详解】解：设每名工人每小时可分拣件货物，则一台机器人每小时可分拣件货物，　 依题意得：， 解得：， 经检验，是方程的解，且符合题意， ， 答：一台机器人每小时可分拣件货物． 【跟踪专练3】某市为了美化环境，计划在一定的时间内完成绿化面积40万亩的任务．后来市政府调整了原定计划，不但绿化面积要在原计划的基础上增加，而且要提前2年完成任务，经测算，要完成新的计划，平均每年的绿化面积必须比原计划多3万亩，求原计划平均每年的绿化面积． 【答案】原计划平均每年的绿化面积为万亩 【分析】本题考查的是分式方程的应用，掌握列方程解应用题的基本步骤是解题关键． 设原计划每年的绿化面积万亩，用代数式表示原计划的时间与实际完成任务的时间，利用时间相差年列出方程，解方程即可． 【详解】解：设原计划每年的绿化面积万亩， 根据题意得：， 整理得：， 解得：，， 经检验，均为原方程的解，但不合题意舍去， 答：原计划平均每年的绿化面积为万亩． 【题型8.分式方程的经济问题】 【典例】某校组织学生开展“茶韵与书画”为主题的研学课程，已知学校用于购买扇子的费用为4000元，购买茶具的费用为3200元，其中购买扇子的数量是购买茶具数量的2倍，并且扇子的单价比茶具的单价便宜3元．设购买扇子的单价为x元．则x满足的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】题目主要考查分式方程的应用，设购买扇子的单价为x元，则茶具的单价为元，根据“购买扇子的数量是购买茶具数量的2倍”列出分式方程即可，理解题意是解题关键． 【详解】解：设购买扇子的单价为x元，则茶具的单价为元， 根据题意得：， 故选：A． 【跟踪专练1】随着绿色发展理念的倡导，新能源汽车逐渐普及，市民对充电桩的使用需求日益增强，某停车场计划购买A、B两种型号的充电桩，已知B型充电桩比A型充电桩的单价多1万元，且用10万元购买A型充电桩与用12万元购买B型充电桩的数量相等．设A型充电桩的单价是x万元，那么根据题意可列方程______． 【答案】 【分析】本题考查分式方程的应用，关键是根据购买数量相等列出方程．设A型充电桩的单价是万元，则B型充电桩的单价为万元，根据用10万元购买A型充电桩与用12万元购买B型充电桩的数量相等，列出方程即可． 【详解】解：设A型充电桩的单价是万元，则B型充电桩的单价为万元， 根据题意得， 故答案为：． 【跟踪专练2】为了促进学生积极参加体育锻炼，养成良好的锻炼习惯，我校用350元购进第一批跳绳，接着又用400元购进第二批跳绳，已知第二批跳绳数量是第一批跳绳数量的倍，且第二批每根跳绳进价比第一批每根跳绳进价少5元，第二批跳绳每根的进价是多少元？ 【答案】第二批跳绳每根的进价是16元 【分析】本题考查了分式方程的应用，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键．设第二批跳绳每根的进价是x元，则第一批跳绳每根的进价是元，利用数量总价单价，结合第二批跳绳数是第一批跳绳数的倍，列出分式方程，解方程即可． 【详解】解：设第二批跳绳每根的进价是x元，则第一批跳绳每根的进价是元， 根据题意得：， 解得：， 经检验，是所列方程的解，且符合题意． 答：第二批跳绳每根的进价是16元． 【跟踪专练3】周末骑自行车去郊游成了新的时尚．某骑行社团欲团购一批自行车，已知每辆A型自行车的价格是每辆B型自行车价格的1.2倍，用6000元单独购买A型自行车的辆数比单独购买B型自行车的辆数少1辆．求每辆B型自行车的价格． 甲同学所列的方程为；乙同学所列的方程为． (1)甲同学所列方程中的x表示________，乙同学所列方程中的y表示________． (2)请你选择其中一位同学的方法完整地解答这个问题． 【答案】(1) 每辆B型自行车的价格（单位：元）；用6000元单独购买A型自行车的辆数 (2) 解析 【分析】（1）根据方程中的等量关系即可求解； （2）根据解分式方程的方法即可求解． 【详解】（1）解：∵用元单独购买型自行车的辆数比单独购买型自行车的辆数少辆， ∴甲同学所列的方程为， ∴表示型自行车单价（单位：元）， ∵型自行车每辆的价格是型自行车每辆价格的倍， ∴乙同学所列的方程为， ∴表示用元单独购买型自行车的辆数； （2）解：若选择甲同学的：， 解得，， 检验，当时，原分式方程有意义，且符合题意， ∴每辆型自行车的价格是元； 若选择乙同学的：， 解得，， 检验，当时，原分式方程有意义，且符合题意， ∴单独购买型自行车的辆数是辆， ∴， ∴每辆型自行车的价格是元． 【题型9.分式方程的和差倍分问题】 【典例】已知甲厂烧100吨煤与乙厂烧120吨煤所用的天数相同，若甲乙厂每天一共烧煤33吨，则甲厂每天烧煤______吨． 【答案】 【分析】设甲厂每天烧x吨煤，则乙厂每天烧吨煤，根据等量关系列出方程，再解方程即可． 【详解】解：设甲厂每天烧x吨煤，则乙厂每天烧吨煤， 由题意得：， 解得：， 经检验：是原方程的解，且符合题意， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查分式方程的应用，根据等量关系列出分式方程是关键． 【跟踪专练1】时代，不仅仅是“更快”的网络时代，更是一个“连接万物、赋能万业”的智能时代．网络峰值速率为网络峰值速率的10倍，在峰值速率下传输4千兆数据，网络比网络快360秒．若设网络的峰值速率为每秒传输千兆数据，则由题意可列方程（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了分式方程的实际应用．设网络的峰值速率为每秒传输x千兆数据，则网络的峰值速率为每秒传输千兆数据，根据题意，列出方程，即可求解． 【详解】解：设网络的峰值速率为每秒传输x千兆数据，则网络的峰值速率为每秒传输千兆数据， 由题意得：． 故选：A． 【跟踪专练2】中国的文房器物，既体现了中华民族的文化风俗，又为世界文化的进步和发展作出了贡献，最典型的是被称为“文房四宝”的书写工具：笔，墨，纸，砚．某校为践行美育教育，组织全校师生开展书法鉴赏与研习活动，现花费7520元购买了甲，乙两种型号的“文房四宝”共84套，其中购买甲种型号的“文房四宝”花费了5120元，已知每套乙种型号“文房四宝”的价格是每套甲种型号价格的倍，求甲，乙两种型号“文房四宝”每套的价格分别是多少元？ 【答案】甲种型号“文房四宝”每套价格为80元，乙种型号“文房四宝”每套价格为120元． 【分析】本题考查了分式方程的应用，解题的关键是列出分式方程，进行求解，不要忘记对根进行检验，设甲种型号“文房四宝”每套价格为元，乙种型号“文房四宝”每套价格为元，列出分式方程进行求解即可． 【详解】解：设甲种型号“文房四宝”每套价格为元，乙种型号“文房四宝”每套价格为元， ， 解得：， 经检验：是原分式方程的解且符合题意， ， 答：甲种型号“文房四宝”每套价格为80元，乙种型号“文房四宝”每套价格为120元． 【跟踪专练3】研究表明：植物具有固碳能力，所谓固碳能力，具体表现为植物通过光合作用将大气中的二氧化碳转化为有机碳，并固定在植物体内的能力．生物兴趣小组的同学们通过查阅资料发现，洋槐一天固碳2700克所需的种植面积是垂柳一天固碳2150克所需种植面积的2倍，而垂柳一天平均每平方米固碳量比洋槐一天平均每平方米固碳量多克，求洋槐一天平均每平方米的固碳量． 【答案】洋槐一天平均每平方米固碳量是克 【分析】本题考查了分式方程的应用，找准等量关系正确列出分式方程是解题的关键．设洋槐一天平均每平方米固碳量是克，则垂柳一天平均每平方米固碳量是克，根据题意列出分式方程，求出的值即可解答． 【详解】解：设洋槐一天平均每平方米固碳量是克，则垂柳一天平均每平方米固碳量是克． 由题意得：， 解得：， 经检验，是原方程的解，且符合题意， 答：洋槐一天平均每平方米固碳量是克． 【题型10.分式方程的其他实际问题】 【典例】科学研究表明：树叶在光合作用后产生的分泌物能够吸附空气中的悬浮颗粒物，具有滞尘、净化空气的作用．已知一片银杏树叶一年的平均滞尘量比一片国槐树叶一年的平均滞尘量的2倍少4mg，一年滞尘1000mg所需的银杏树叶的片数与一年滞尘550mg所需的国槐树叶的片数相同．若设一片国槐树叶一年的平均滞尘量为，则根据题意可得方程是 ____________________． 【答案】 【分析】根据一年滞尘所需的银杏树叶的片数与一年滞尘所需的国槐树叶的片数相同，列方程即可．此题主要考查了由实际问题抽象出分式方程，解题的关键是弄清题意，找到题目中的关键语句，列出方程． 【详解】解：设一片槐树叶一年平均滞尘量为， 则一片银杏树叶一年平均滞尘量为， 由题意得：． 故答案为：． 【跟踪专练1】定义：对于确定顺序的三个数a，b，c，计算，，，将这三个计算结果的最大值称为a，b，c的“极数”：例如：1，-3，1，因为，，，所以1，2，3的“极数”为，下列说法正确的个数为（　　） ①3，1，-4的“极数”是36； ②若x，y，0的“极数”为0，则x和y中至少有1个数是负数； ③存在2个数m，使得m，-6，2的极数为； A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【答案】C 【分析】根据极数定义分别求值即可判断①对错；根据极数定义分别求值，得到，即可判断②对错；根据极数定义分别求值，列出分式方程并求解即可判断对错． 【详解】解：，，， 3，1，-4的“极数”是36，①正确； ，，， 若x，y，0的“极数”为0，则， 和不能同时为正数， 和中至少有1个数是负数，②正确； ，，， 若m，-6，2的极数为， 或， 解得：或（不合题意舍）， 存在2个数m，使得m，-6，2的极数为说法错误，③错误， 综上所述，说法正确的个数为2， 故选C． 【点睛】本题考查了实数的运算，分式方程，正确理解“极数”定义是解题关键． 【跟踪专练2】“你好！我是，很高兴见到你！我可以帮你写代码、读文件、写作各种创意内容，请把你的任务交给我吧”，从横空出世到与我们日常相伴，成为我们解决问题的“好参谋、好助手”．某创作公司自使用后，每小时比原来多完成件作品，且使用完成件作品所用时间与原来完成件作品所用时间相等．问该公司使用后每小时能完成多少件作品？ 【答案】件 【分析】本题考查了分式方程的应用，设该公司使用后每小时能完成件作品，根据题意列出方程即可求解，根据题意找到等量关系是解题的关键． 【详解】解：设该公司使用后每小时能完成件作品， 依题意得，， 解得， 经检验，是原分式方程的解，且符合题意， 答：该公司使用后每小时能完成件作品． 【跟踪专练3】随着快递行业的快速发展，全国各地的农产品有了更广阔的销售空间，某农产品加工企业甲、乙两组共35名工人．甲组每天加工3150件农产品，乙组每天加工2800件农产品，已知甲组每人每天平均加工的农产品数量是乙组每人每天平均加工农产品数量的1.5倍，求甲、乙两组各有多少名工人． 【答案】甲组有名工人，乙组有名工人 【分析】此题考查了分式方程的应用．设甲组有名工人，则乙组有名工人，甲组每人每天平均加工的农产品数量是乙组每人每天平均加工农产品数量的1.5倍，据此列方程，解方程并检验即可． 【详解】解：设甲组有名工人，则乙组有名工人 根据题意得：， 解答：， 经检验，是所列方程的解，且符合题意， 答：甲组有名工人，乙组有名工人． 【解答题】 1．解方程：． 【答案】 【分析】分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解． 【详解】解：去分母，得 ． 解得． 经检验，是原方程的解． 所以原方程的解是． 【点睛】本题考查解分式方程，掌握解方程的步骤正确计算是解题关键，注意分式方程的结果要进行检验． 2．已知关于的分式方程无解，求的值． 【答案】 【分析】先去分母求出，再根据无解的条件求解即可 【详解】解：原方程化为， 方程两边同时乘以，得， 解方程，得， 该分式方程无解， ，即， ． 【点睛】分式无解问题重点是根据最简公分母为求解． 3．蓝山县供销超市用6000元购进一批“红富士”苹果进行试销，由于销售状况良好，超市又调拨13000元资金购进该品种苹果，但这次的进价比试销时的进价每千克多了0.5元，购进苹果的质量是试销时的2倍．试销时该品种苹果的进价是每千克多少元？ 【答案】每千克6元 【分析】本题考查了分式方程的应用，设试销时该品种苹果的进价是每千克x元，则再次购进该品种苹果的进价是每千克元，利用数量=总价÷单价，结合再次购进苹果的质量是试销时的2倍，可列出关于x的分式方程，解之经检验后，即可得出结论． 【详解】解：设试销时该品种苹果的进价是每千克元．依题意可得： ， 解得． 经检验，是原方程的解，且符合题意． 答：试销时该品种苹果的进价是每千克6元． 4．云南某茶园引入自动化采茶设备，原计划每天采摘固定数量的鲜叶，启用新设备后，实际每天采摘量比原计划多．实际完成采摘任务所需时间与原计划完成采摘任务所需时间相等．求实际每天采摘鲜叶多少？ 【答案】 【分析】本题主要考查了分式方程的实际应用，设实际每天采摘鲜叶，则原计划每天采摘鲜叶，根据题意列出分式方程求解即可得出答案． 【详解】解：设实际每天采摘鲜叶，则原计划每天采摘鲜叶， 根据题意得， ， 解得， 经检验是分式方程的解且符合题意． 答：实际每天采摘鲜叶． 5．在进一步发展国民经济，努力实现全体人民共同富裕的大背景下，“提高农民的收入，提升农民的幸福感”成为了某镇政府的核心任务．2023年，该镇主要的两种作物总产量如表： 类别 小麦 大豆 总产量/万公斤 1440 270 通过统计与计算，发现小麦的亩产量是大豆亩产量的4倍，小麦的种植面积比大豆的种植面积多5000亩． (1)求小麦的种植面积． (2)为提高农民收入，镇政府决定从种植小麦的土地中，拨出一部分土地改种经济价值更高的蔬菜，要求改种蔬菜的面积不超过剩余种植小麦面积的四分之一．求改种蔬菜的土地的最大面积． 【答案】(1)20000亩 (2)4000亩 【分析】本题考查了分式方程的应用和一元一次不等式的应用等知识． （1）设小麦的种植面积为亩，根据“小麦的亩产量是大豆亩产量的4倍”列出分式方程，解分式方程即可求解； （2）设改种蔬菜的面积为亩，根据“改种蔬菜的面积不超过剩余种植小麦面积的四分之一”列出不等式，解不等式即可求解． 【详解】（1）解：设小麦的种植面积为亩， 由题意得　， 即， 方程两边同乘， 得 ， 解得 ． 检验：当时，， ∴是分式方程的解． 答：小麦的种植面积为20000亩； （2）解：设改种蔬菜的面积为亩， 根据题意得． 解得． 答：改种蔬菜的最大面积为4000亩．. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题03分式方程同步讲义 【题型01 分式方程的定义】........................................3 【题型02 解分式方程】............................................4 【题型03 根据分式方程解大情况求值】..............................4 【题型04 分式方程无解问题】......................................4 【题型05 列分式方程】............................................5 【题型06 分式方程的行程问题】....................................6 【题型07 分式方程的工程问题】....................................6 【题型08 分式方程的经济问题】....................................7 【题型09 分式方程的和差倍分问题】................................8 【题型10 分式方程的其他实际问题】................................8 【解答题5题】....................................................9 ★知识梳理★ 知识点01:基本概念 分式方程分母中含有未知数的方程叫分式方程。 整式方程分母不含未知数的方程（如一元一次方程）。 知识点02:解分式方程的一般步骤 1.去分母 方程两边同乘最简公分母，化为一元一次方程。 2.解整式方程 求出未知数的值。 3.检验（必须步骤） 把解代入最简公分母： 若最简公分母 **≠0**，是原方程的解； 若最简公分母 **=0**，此解是增根，原方程无解。 知识点03:增根 定义：变形后整式方程的解，但使原分式方程分母为 0，不是原方程的解。 产生原因：去分母时两边乘了可能为 0 的式子。 结论：分式方程一定要检验。 知识点04:分式方程应用题通用解题步骤 1.设：设原来 / 现在的速度、时间、单价等 2.找：时间差 / 数量差 / 效率和 3.列：用 单个量总量​ 列分式方程 4.解：化为一元一次方程求解 5.双检验： 检验是不是增根 检验是否符合实际意义 6.答 知识点05:常见应用题 + 核心等量关系 1. 行程问题 核心公式：路程 = 速度 × 时间 时间 = 路程 ÷ 速度 速度 = 路程 ÷ 时间 常见等量关系： 相遇问题：甲路程 + 乙路程 = 总路程 追及问题：快者路程 − 慢者路程 = 初始距离 顺逆水（风）：顺水速度 = 静水速度 + 水速逆水速度 = 静水速度 − 水速 2. 工程问题 核心公式：工作量 = 工作效率 × 工作时间 工作效率 = 工作量 ÷ 工作时间 工作时间 = 工作量 ÷ 工作效率 常见等量关系： 通常把总工作量设为 1 各部分工作量之和 = 总工作量（1） 合作效率 = 各单独效率之和 3.和差倍分问题 和：甲 + 乙 = 总数 差：甲 − 乙 = 差 倍：甲 = 乙 × 倍数 分：甲 = 乙 × 几分之几 分式方程常见形式：=倍数或= 4.经济问题（价格、数量、总价） 基本公式 1. 涨价 / 降价（数量差） 2. 单价差 知识点06:易错点总结 1.去分母时，每一项都要乘最简公分母，不要漏乘常数项。 2.分子是多项式时，去分母要加括号。 3.解完必须检验，不能省略。 【题型1.分式方程的定义】 【典例】下列关于x的方程是分式方程的是（　　） A． B． C． D． 【跟踪专练1】下列式子：①；②；③；④；⑤；⑥．其中，是关于x的分式方程有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【跟踪专练2】观察下列分式方程：①；②；③；…．根据他们所蕴含的规律，写出这一组分式方程中的第⑥个方程：_______． 【跟踪专练3】下列说法：①是分式方程：②x=1或x=-1是分式方程=0的解；③分式方程转化成一元一次方程时，方程两边需要同乘x(x+4)；④解分式方程时一定会出现增根，其中正确的有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【题型2.解分式方程】 【典例】分式方程的解是 _____． 【跟踪专练1】把分式方程化成整式方程，去分母后的方程为______________________ 【跟踪专练2】解分式方程时，去分母后变形正确的是（   ） A． B． C． D． 【跟踪专练3】如图，点，，在数轴上对应的数分别是，，．若点到，两点的距离相等，则的值为__________． 【题型3.根据分式方程解的情况求值】 【典例】若关于x方程的解是，则a的值为______． 【跟踪专练1】是分式方程的根，则______． 【跟踪专练2】若分式方程的解是正数，则a的取值范围是（   ） A． B．，且 C． D．，且 【跟踪专练3】若关于的分式方程的解为非负数，关于的一元一次不等式组有解且最多有个整数解，则所有满足条件的整数的值的和是_____． 【题型4.分式方程无解情况】 【典例】若关于x的分式方程无解，则a的值为（　　） A．1 B．1或 C．或 D．以上都不是 【跟踪专练1】已知分式方程（为常数）有增根，则的值为_____． 【跟踪专练2】若关于的方程无解，那么的值是（    ） A．4 B． C． D．3 【跟踪专练3】若关于x的分式方程无解，则m的值为________． 【题型5.列分式方程】 【典例】某车间计划在一定时间内生产240套零配件，生产3天后改进了技术，结果每天比原计划多生产4套并提前6天完成生产任务．设原计划每天生产x套零配件，则可列方程为________． 【跟踪专练1】《九章算术》中有如下分钱问题：第一次有人，平分元钱；第二次比第一次增加人，平分元钱，且第二次每人分得的钱与第一次相同，则可列方程为（    ） A． B． C． D． 【跟踪专练2】如图，琳琳和华华相约周末到家乡美食小镇游玩，两人同时分别到达小吃摊位和，并约在出口会合，琳琳从经过摊位，最后到达出口，华华从摊位直接前往出口，速度与琳琳从到的速度相同，两人在每两个地点间均匀速前进，各点间距如图所示．若琳琳从到的速度比从到的速度慢，且从到的时间为从到时间的一半，则________ （填“琳琳”或“华华”）先到达出口．    【跟踪专练3】为传承我国传统节日文化，端午节前夕，某校组织了包粽子活动．已知某班甲组同学平均每小时比乙组多包20个粽子，甲组包150个粽子所用的时间与乙组包120个粽子所用的时间相同．求甲，乙两组同学平均每小时各包多少个粽子．若设乙组每小时包个粽子，可列出关于的方程为（   ） A． B． C． D． 【题型6.分式方程的行程问题】 【典例】2024年世界人工智能大会上展示的无人汽车和飞行汽车的技术突破备受瞩目．已知某品牌飞行汽车的最高时速比无人汽车快150千米/小时，若两车分别以各自的最高速度行驶80千米，飞行汽车所用时间比无人汽车少0.5小时．设无人汽车的最高时速为x千米/小时，那么根据题意可列出方程________． 【跟踪专练1】某学校组织学生去离学校的红色基地开展研学活动，先遣队和大队同时出发，先遣队的速度是大队速度的倍，结果先遣队比大队早到．设大队的速度是，下列方程正确的是（　　） A． B． C． D． 【跟踪专练2】昆一中西山学校“让体育成为最好的答案”的教育案例入选2025全国“以体树人”教育案例、学校依托体育特色，开展校园足球耐力跑训练，每个队员需完成一段1500米的跑圈训练，已知甲队员的平均速度是乙队员的倍，甲跑完这段路程比乙少用1分钟，那么甲、乙的平均速度分别是多少米/分钟？ 【跟踪专练3】中国国家铁路集团有限公司宣布，2024年12月27日，盐城至宜兴高铁（以下简称盐宜高铁）开工建设，这将大大加快盐城城市群建设与发展．铁路建成后，盐城与泰州铁路运行里程由现在的缩短至，预计平均时速要比现行的平均时速快，运行时间是现行时间的． (1)设该铁路建成前在盐城与泰州两地运行的现行时间是x小时，则该城际铁路建成后在盐城与泰州两地的运行时间是_____小时（用含x的式子表示）： (2)根据（1）中的设未知数x，结合题意，列方程，求出该城际铁路建成后在盐城与泰州两地之间的运行时间． 【题型7.分式方程的工程问题】 【典例】题目如下：“甲、乙两位同学做中国结，已知★，甲做30个所用的时间与乙做45个所用的时间相同，求甲每小时做中国结的个数．“★部分为被墨迹弄污的条件，根据图中的解题过程，被墨迹弄污的条件应是______．    【跟踪专练1】某小区为了改善环境，计划在花坛种植200株花，由于学生志愿者的加入，每小时比原计划多种20株，结果提前1小时完成任务．设原计划每小时种株，根据题意可列方程为（    ） A． B． C． D． 【跟踪专练2】铁包公快递仓库使用某型号机器人分拣货物，已知一台机器人的工作效率相当于一名工人的工作效率的15倍，用这台机器人分拣6000件货物比20名工人分拣6000件货物多用小时．求这台机器人每小时可分拣多少件货物？ 【跟踪专练3】某市为了美化环境，计划在一定的时间内完成绿化面积40万亩的任务．后来市政府调整了原定计划，不但绿化面积要在原计划的基础上增加，而且要提前2年完成任务，经测算，要完成新的计划，平均每年的绿化面积必须比原计划多3万亩，求原计划平均每年的绿化面积． 【题型8.分式方程的经济问题】 【典例】某校组织学生开展“茶韵与书画”为主题的研学课程，已知学校用于购买扇子的费用为4000元，购买茶具的费用为3200元，其中购买扇子的数量是购买茶具数量的2倍，并且扇子的单价比茶具的单价便宜3元．设购买扇子的单价为x元．则x满足的方程为（    ） A． B． C． D． 【跟踪专练1】随着绿色发展理念的倡导，新能源汽车逐渐普及，市民对充电桩的使用需求日益增强，某停车场计划购买A、B两种型号的充电桩，已知B型充电桩比A型充电桩的单价多1万元，且用10万元购买A型充电桩与用12万元购买B型充电桩的数量相等．设A型充电桩的单价是x万元，那么根据题意可列方程______． 【跟踪专练2】为了促进学生积极参加体育锻炼，养成良好的锻炼习惯，我校用350元购进第一批跳绳，接着又用400元购进第二批跳绳，已知第二批跳绳数量是第一批跳绳数量的倍，且第二批每根跳绳进价比第一批每根跳绳进价少5元，第二批跳绳每根的进价是多少元？ 【跟踪专练3】周末骑自行车去郊游成了新的时尚．某骑行社团欲团购一批自行车，已知每辆A型自行车的价格是每辆B型自行车价格的1.2倍，用6000元单独购买A型自行车的辆数比单独购买B型自行车的辆数少1辆．求每辆B型自行车的价格． 甲同学所列的方程为；乙同学所列的方程为． (1)甲同学所列方程中的x表示________，乙同学所列方程中的y表示________． (2)请你选择其中一位同学的方法完整地解答这个问题． 【题型9.分式方程的和差倍分问题】 【典例】已知甲厂烧100吨煤与乙厂烧120吨煤所用的天数相同，若甲乙厂每天一共烧煤33吨，则甲厂每天烧煤______吨． 【跟踪专练1】时代，不仅仅是“更快”的网络时代，更是一个“连接万物、赋能万业”的智能时代．网络峰值速率为网络峰值速率的10倍，在峰值速率下传输4千兆数据，网络比网络快360秒．若设网络的峰值速率为每秒传输千兆数据，则由题意可列方程（   ） A． B． C． D． 【跟踪专练2】中国的文房器物，既体现了中华民族的文化风俗，又为世界文化的进步和发展作出了贡献，最典型的是被称为“文房四宝”的书写工具：笔，墨，纸，砚．某校为践行美育教育，组织全校师生开展书法鉴赏与研习活动，现花费7520元购买了甲，乙两种型号的“文房四宝”共84套，其中购买甲种型号的“文房四宝”花费了5120元，已知每套乙种型号“文房四宝”的价格是每套甲种型号价格的倍，求甲，乙两种型号“文房四宝”每套的价格分别是多少元？ 【跟踪专练3】研究表明：植物具有固碳能力，所谓固碳能力，具体表现为植物通过光合作用将大气中的二氧化碳转化为有机碳，并固定在植物体内的能力．生物兴趣小组的同学们通过查阅资料发现，洋槐一天固碳2700克所需的种植面积是垂柳一天固碳2150克所需种植面积的2倍，而垂柳一天平均每平方米固碳量比洋槐一天平均每平方米固碳量多克，求洋槐一天平均每平方米的固碳量． 【题型10.分式方程的其他实际问题】 【典例】科学研究表明：树叶在光合作用后产生的分泌物能够吸附空气中的悬浮颗粒物，具有滞尘、净化空气的作用．已知一片银杏树叶一年的平均滞尘量比一片国槐树叶一年的平均滞尘量的2倍少4mg，一年滞尘1000mg所需的银杏树叶的片数与一年滞尘550mg所需的国槐树叶的片数相同．若设一片国槐树叶一年的平均滞尘量为，则根据题意可得方程是 ____________________． 【跟踪专练1】定义：对于确定顺序的三个数a，b，c，计算，，，将这三个计算结果的最大值称为a，b，c的“极数”：例如：1，-3，1，因为，，，所以1，2，3的“极数”为，下列说法正确的个数为（　　） ①3，1，-4的“极数”是36； ②若x，y，0的“极数”为0，则x和y中至少有1个数是负数； ③存在2个数m，使得m，-6，2的极数为； A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【跟踪专练2】“你好！我是，很高兴见到你！我可以帮你写代码、读文件、写作各种创意内容，请把你的任务交给我吧”，从横空出世到与我们日常相伴，成为我们解决问题的“好参谋、好助手”．某创作公司自使用后，每小时比原来多完成件作品，且使用完成件作品所用时间与原来完成件作品所用时间相等．问该公司使用后每小时能完成多少件作品？ 【跟踪专练3】随着快递行业的快速发展，全国各地的农产品有了更广阔的销售空间，某农产品加工企业甲、乙两组共35名工人．甲组每天加工3150件农产品，乙组每天加工2800件农产品，已知甲组每人每天平均加工的农产品数量是乙组每人每天平均加工农产品数量的1.5倍，求甲、乙两组各有多少名工人． 【解答题】 1．解方程：． 2．已知关于的分式方程无解，求的值． 3．蓝山县供销超市用6000元购进一批“红富士”苹果进行试销，由于销售状况良好，超市又调拨13000元资金购进该品种苹果，但这次的进价比试销时的进价每千克多了0.5元，购进苹果的质量是试销时的2倍．试销时该品种苹果的进价是每千克多少元？ 4．云南某茶园引入自动化采茶设备，原计划每天采摘固定数量的鲜叶，启用新设备后，实际每天采摘量比原计划多．实际完成采摘任务所需时间与原计划完成采摘任务所需时间相等．求实际每天采摘鲜叶多少？ 5．在进一步发展国民经济，努力实现全体人民共同富裕的大背景下，“提高农民的收入，提升农民的幸福感”成为了某镇政府的核心任务．2023年，该镇主要的两种作物总产量如表： 类别 小麦 大豆 总产量/万公斤 1440 270 通过统计与计算，发现小麦的亩产量是大豆亩产量的4倍，小麦的种植面积比大豆的种植面积多5000亩． (1)求小麦的种植面积． (2)为提高农民收入，镇政府决定从种植小麦的土地中，拨出一部分土地改种经济价值更高的蔬菜，要求改种蔬菜的面积不超过剩余种植小麦面积的四分之一．求改种蔬菜的土地的最大面积． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $