专题04 勾股定理及其应用【考点梳理+重点题型+分层强化】 2025-2026学年八年级数学下册（人教版2024）

专题04 勾股定理及其应用 （重难点题型专训） 【知识考点 勾股定理及其应用】 1.勾股定理 （1）勾股定理：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方. 即：如果直角三角形的两条直角边长分别为a，b，斜边长为c，那么 如图所示，是直角三角形，其中较短的直角边a叫作勾，较长的直角边b叫作股，斜边c叫作弦. （2）勾股定理的应用条件：勾股定理只适用于直角三角形。 2.勾股定理的证明 （1）勾股定理的验证主要通过拼图法完成，这种方法是以数形转换为指导思想，图形拼补为手段，各部分面积之间的关系为依据来实现的.用两种方式表示图形面积（算两次》，根据面积相同得到等量关系，进而进行等量变换得到勾股定理公式是证明勾股定理的常见方法. （2）通过拼图证明勾股定理的方法思路： 1）图形经过割补拼接后，只要没有重叠、没有空隙，面积就不会改变. 2）根据同一种图形的面积的不同表示方法列出等式. 3）利用等式性质变化验证结论成立，即拼出图形→写出图形面积的表达式→找出等量关系→恒等变形→推导命题结论. 3.勾股定理的应用 （1）利用勾股定理，可以解决与直角三角形有关的计算和证明题，在解决过程中，往往利用勾股定理列方程（组），有时需要通过作辅助线来构造直角三角形，化非直角三角形为直角三角形来解决. （2）勾股定理应用的类型： 1）已知直角三角形的任意两边长求第三边长； 2）已知直角三角形的一边长确定另两边长的关系； 3）证明包含平方（算术平方根）关系的几何问题； 4) 作长为(n＞1，且n为整数)的线段； 5）对于一些非直角三角形的几何问题和日常生活中的实际问题，首先要建立直角三角形的模 型，然后利用勾股定理构建方程或方程组解决. 【重难点常考题型概览】 【题型01】勾股数问题 【题型02】已知直角三角形两条边长求第三边长 【题型03】利用勾股定理解三角形 【题型04】已知两点坐标求两点间的距离 【题型05】利用勾股定理解决线段平方关系 【题型06】以直角三角形三边为边长的图形面积 【题型07】以弦图为背景的计算题 【题型08】勾股定理与网格问题 【题型09】勾股定理与折叠问题 【题型10】勾股定理与无理数 【题型11】勾股定理的证明方法 【题型12】河道（或道路）的宽度问题 【题型13】旗杆（大树或大楼）的高度问题 【题型14】大树折断前的高度问题 【题型15】梯子滑落的高度问题 【题型16】台阶上地毯的长度问题 【题型17】其它应用问题 【特训01】拓展培优强化 【特训02】直通中考真题 【题型01】勾股数问题 【例1】（2024-2025八年级下·山西朔州·期末）下列各组数中，是勾股数的一组是（ ） A．3，3，5 B．4，5，6 C．7，24，25 D．2，3， 【变式1-1】（2024-2025八年级下·安徽马鞍山·期末）下列几组数据中，不是勾股数的是 （   ） A．3， 4， 5 B．5， 12， 13 C．7， 24， 25 D． 【变式1-2】（2024-2025八年级下·内蒙古赤峰·月考）下列四组数：①，，1；②5，12，13；③，，；④，，．其中是勾股数的有（  ） A．1组 B．2组 C．3组 D．4组 【变式1-3】（2024-2025八年级下·陕西商洛·期末）若5、m、13是一组勾股数，则m的值为 ． 【题型02】已知直角三角形两条边长求第三边长 【例2】（2025-2026八年级上·河南洛阳·期末）已知直角三角形的两边长分别为3和4，则第三边长可能为（   ） A．3 B．4 C．5 D．5或 【变式2-1】（2024-2025八年级下·陕西安康·期末）有一组勾股数，知道其中的两个数分别是5和12，则第三个数是 ． 【变式2-2】（2023-2024八年级下·湖南益阳·月考）在中，． (1)已知，，求； (2)已知，，求． 【变式2-3】（2025-2026八年级上·宁夏银川·期末）公园里有一块长方形草坪，小佳在经过的时候发现这块草坪的一角被游客踏出了一条小路（如图），已知，，则游客走小路少走了多少米？ 【题型03】利用勾股定理解三角形 【例3】（2024-2025八年级下·云南临沧·期中）如图，将绕点A顺时针旋转得到，点、的对应点分别为点、，连接，点恰好落在线段上，若，，则的长为（ ） A． B． C． D． 【变式3-1】（2024-2025八年级下·湖北孝感·期中）如图，在△ABC，AB＝7，BC＝8，AC＝5，求△ABC的面积． 【变式3-2】（2024-2025八年级下·甘肃平凉·期中）如图，在中，． (1)若，，求和； (2)若，，求和． 【变式3-3】（2025-2026八年级上·江苏南通·期末）如图，在中，，，． (1)求的长； (2)作的平分线交于点D，求的长． 【题型04】已知两点坐标求两点间的距离 【例4】（2024-2025八年级下·云南普洱·期末）在平面直角坐标系中，为坐标原点．已知点，则线段的长为（  ） A．3 B．4 C．5 D．7 【变式4-1】（2024-2025八年级下·内蒙古赤峰·月考）在平面直角坐标系中，已知点与点之间的距离是 ． 【变式4-2】（2024-2025八年级下·福建福州·期末）在平面直角坐标系中，，，则的长为 ． 【变式4-3】（2025-2026八年级上·浙江绍兴·期中）如图，在中，已知点A的坐标为，点B的坐标为，是边上的中线，求： (1)点C的坐标； (2)的长． 【题型05】利用勾股定理解决线段平方关系 【例5】（2023-2024八年级下·河南商丘·期中）对角线互相垂直的四边形叫做“垂美”四边形，如图，在“垂美”四边形中，对角线交于点O，若，则 ． 【变式5-1】（2025-2026八年级上·北京通州·期末）如图，，，，垂足为点，交于点，交于点，求证：． 【变式5-2】（2024-2025八年级下·辽宁抚顺·阶段练习）如图，中，，为中点，点在边上（点不与点，重合），连接，过点作交于点，连接． (1)求证：. (2)若，，，直接写出线段的长． 【变式5-3】（2024-2025八年级下·安徽合肥·期中）如图，和都是等腰直角三角形，，的顶点是的斜边上的点，连接． (1)求的度数； (2)求证： (3)若，请直接写出的值． 【题型06】以直角三角形三边为边长的图形面积 【例6】（2024-2025八年级下·江苏南京·开学考试）如图，A，B，C是三个正方形，当B的面积为144，C的面积为169时，则A的面积为 ． 【变式6-1】（2023-2024八年级下·湖南株洲·期中）如图，在中，，分别以各边为直径作半圆，图中阴影部分在数学史上称为“希波克拉底月牙”，若，，则图中阴影部分的面积为 ． 【变式6-2】（2023-2024八年级下·内蒙古通辽·期中）如图是一株美丽的勾股树，其中所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，若正方形A、B、C、D的面积分别是11、13、12、11，则最大正方形E的边长是 ． 【变式6-3】（2024-2025八年级下·福建厦门·月考）如图，正方形的边长为2，其面积标记为，以为斜边向外作等腰直角三角形，再以该等腰直角三角形的一条直角边为边向外作正方形，其面积标记为，按照此规律继续下去，则的值为 ． 【题型07】以弦图为背景的计算题 【例7】（2023-2024八年级下·陕西商洛·期末）如图，是我国古代弦图变形得到的数学风车，是由四个全等的直角三角形和中间的正方形组成，直角三角形的斜边，直角边，点在上，，则中间正方形的面积为 ． 【变式7-1】（2024-2025八年级下·天津河北·期中）如图所示的“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形与中间的一个小正方形拼成的大正方形，若图中的直角三角形的长直角边是12，大正方形的面积是169，则小正方形的面积是 ． 【变式7-2】（2024-2025八年级上·四川眉山·期末）如图，我国古代数学家赵爽为了证明勾股定理，创制了一幅“弦图”（图1），后人称其为“赵爽弦图”、由图1变化得到图2，它是用八个全等的直角三角形拼接而成的，记图中正方形，正方形，正方形的的面积分别为，，，若，则的值为 ． 【变式7-3】（2024-2025八年级上·浙江绍兴·期中）如图，我国汉代数学家赵爽在注解《周髀算经》时给出的“赵爽弦图”，它是由四个全等的直角三角形与中间的小正方形拼成的一个大正方形，连接，交于点，若正方形的面积为，，则与的面积差是 ． 【题型08】勾股定理与网格问题 【例8】（2025-2026八年级下·全国·课后作业）如图，网格中每个小正方形的边长均为1，，，均为格点（小正方形的顶点），以点为圆心，的长为半径画弧，交网格线于点，则的长为（   ） A． B．3 C．2 D． 【变式8-1】（2025-2026八年级上·上海浦东新·期末）如图，在的网格中，每个小正方形的边长均为2，则B到直线的距离为 ． 【变式8-2】（2023-2024八年级下·内蒙古·期中）如图，数轴上点所表示的数为1，点，，是的正方形网格上的格点，以点为圆心，长为半径画圆交数轴于，两点，则点所表示的数为 ．（可以用含根号的式子表示） 【变式8-3】（2024-2025八年级上·北京朝阳·期末）如图，在的正方形网格中，的3个顶点均在正方形的顶点（格点）上，这样的三角形叫做格点三角形．为网格图中与全等的格点三角形（除外）的一个顶点，其对应点为．若在平面直角坐标系中，点A的坐标为，点的坐标为，点在坐标轴上，则点的坐标为 ． 【题型09】勾股定理与折叠问题 【例9】（2024-2025八年级下·北京·期中）如图，在中，，，，是的中点，是上一点，连接、．将沿翻折，点落在上的点处，则的长是（   ） A． B． C． D． 【变式9-1】（2024-2025八年级下·青海海西·期中）如图，有一块直角三角形纸片，两直角边，，现将直角边沿直线折叠，使它落在斜边上，且与重合，则等于（   ） A． B． C． D． 【变式9-2】（2025-2026八年级上·陕西咸阳·期末）如图，在中，，，．现将进行折叠，使顶点A，B重合，折痕为，点D，E分别在，上．则线段的长为 ． 【变式9-3】（2024-2025八年级下·河北廊坊·阶段练习）如图，在长方形中，，，，沿边所在直线翻折，与重合，点F在上，则的长是 ． 【题型10】勾股定理与无理数 【例10】（2024-2025八年级下·湖北黄冈·期末）如图，根据尺规作图的痕迹判断数轴上点C所表示的数是（   ） A． B． C．4.4 D．4.5 【变式10-1】（2024-2025八年级下·陕西安康·期末）利用勾股定理可以作出长为无理数的线段，如图，在中，，，点恰好落在数轴上表示的点上，以原点为圆心，的长为半径画弧交数轴于点，使点落在点的左侧，则点所表示的数是 ． 【变式10-2】（2024-2025八年级下·福建龙岩·月考）如图所示，在数轴上点所表示的数为，则的值为 ． 【变式10-3】（2024-2025八年级下·广东广州·期末）如图，数轴上点，点分别表示1和3，，且，以点为圆心，以为半径作弧，弧与数轴的交点为，则点表示的数是 ． 【题型11】勾股定理的证明方法 【例11】（2024-2025八年级上·山东青岛·开学考试）如图，有四个斜边为c的全等直角三角形，已知其直角边长为a，b．拼接成以c为边长的正方形，试利用这个图形验证勾股定理． 【变式11-1】（2025-2026八年级上·陕西西安·期中）请你根据图形及提示证明勾股定理图中所有直角三角形都是以c为斜边，a，b为直角边的全等三角形 (1)毕达哥拉斯的证法图： 补充完整以下证明过程 证明：正方形①的面积______ 正方形②的面积______． 又正方形①与正方形②的边长相等， ____________． ； (2)请你写出弦图图的另一种证法． 【变式11-2】（2025-2026八年级上·河南洛阳·期末）如图①，美丽的弦图，蕴含着四个全等的直角三角形． (1)弦图中包含了一大、一小两个正方形，已知每个直角三角形较长的直角边为，较短的直角边为，斜边长为，结合图①，试验证勾股定理； (2)如图②，将这四个直角三角形紧密地拼接，形成飞镖状，已知外围轮廓线的周长为，求该飞镖状图案的面积． 【变式11-3】（2023-2024八年级下·河南许昌·期中）请阅读下列材料，并完成相应的任务． 勾股定理的证明．勾股定理，是几何学中一颗光彩夺目的明珠，被称为“几何学的基石”，而且在高等数学和其他学科中也有着极为广泛的应用．正因为这样，世界上几个文明古国都已发现并且进行了广泛深入的研究，我国三国时期的数学家赵爽在为《周髀算经》作注时，利用“弦图”巧妙地给出了勾股定理的证明，这个证明是有史以来四百多种证明中最巧妙的证法之一． 在西方勾股定理也称毕达哥拉斯定理．其中，美国第二十任总统詹姆斯·伽菲尔德的证法在数学史上被传为佳话．他将两个直角三角形拼成一个梯形（如图），根据基本活动经验：“表示同一个量（这里指梯形的面积）的两个代数式相等”进行证明．任务： (1)勾股定理：如果直角三角形的两条直角边长分别为a，b，斜边长为c，那么_______． (2)根据阅读内容，图中梯形的面积分别可以表示为______和_______． (3)根据（2）中的结果，写出证明过程． 【题型12】河道（或道路）的宽度问题 【例12】（2024-2025八年级下·辽宁葫芦岛·期中）在一次研学活动中，小宣同学欲控制遥控轮船匀速垂直横渡一条河，但由于水流的影响，实际上岸地点C与欲到达地点B相距8米，结果轮船在水中实际航行的路程比河的宽度多2米，则河的宽度是（   ） A．6米 B．9米 C．12米 D．15米 【变式12-1】（2024-2025八年级下·广西南宁·期中）某游泳爱好者想横渡一条河，由于流水的影响，实际上岸地点偏离了想到达的点 米．他在水中游了米，则这条河的宽度为（两岸可近似看作平行） ． 【变式12-2】（2024-2025八年级下·河北唐山·期中）如图，某工程队为修通铁路需凿通隧道，测得，，，，若每天开凿隧道，需要几天才能把隧道凿通？ 【变式12-3】（2024-2025八年级下·山东潍坊·月考）小刚准备测量一段河水的深度，他把一根竹竿插到离岸边远的水底，竹竿高出水面，把竹竿的顶端拉向岸边，竿顶和岸边的水面刚好相齐，则河水的深度为多少米？ 【题型13】旗杆（大树或大楼）的高度问题 【例13】（2024-2025八年级下·浙江台州·期末）数学兴趣小组测量学校旗杆的高度，同学发现有一根系在旗杆顶端的绳子垂到了地面，并多出（如图1），将绳子拉紧，使绳子下端点C恰好接触到地面（如图2）．现测得点C到旗杆的距离为，求旗杆的高度． 【变式13-1】（2025-2026八年级上·陕西西安·期中）小慧同学在小区放风筝时，风筝意外挂在了树的顶端M处，他想知道树的高度MN，制定了一个测量树高MN的方案．如图，在地面A处，测得点A到大树的距离AN为2米，手中剩下的风筝线为4米．从点A后退至点B处风筝线恰好用完，测得AB为6米，已知点N在点M的正下方，点N，A，B在同一条直线上，根据以上信息求出树的高度 【变式13-2】（2024-2025八年级下·辽宁盘锦·月考）数学兴趣小组发现，系在旗杆顶端B的绳子垂到地面时多出了3米，把绳子向外拉直，绳子的底端恰好接触地面的点A处（如图所示），测得绳子底端A与旗杆根部C之间的距离为9米． (1)求旗杆的高度； (2)珍珍在绳子底端又接上了长5米的绳子（接头处忽略不计），把绳子拉直，若要拼接后绳子的底端恰好接触地面的点D处，求珍珍应从A处向东走多少米？ 【变式13-3】（2025-2026八年级上·江苏无锡·月考）如图，数学兴趣小组要测量旗杆的高度，同学们发现系在旗杆顶端的绳子垂到地面多出一段的长度为米，小明同学将绳子拉直，绳子末端落在点处，到旗杆底部的距离为米． (1)求旗杆的高度； (2)小明在处，用手拉住绳子的末端，后退至观赛台的3米高的台阶上，此时绳子刚好拉直，绳子末端落在点处，问小明需要后退几米（即的长）？ 【题型14】大树折断前的高度问题 【例14】（2024-2025八年级下·广东江门·期中）如图，强大的台风使得一棵大树在离地面6米处折断倒下，大树顶部落在离大树底部8米处，大树折断之前有多高？ 【变式14-1】（2024-2025八年级上·甘肃兰州·期末）九章算术中记载了一个“折竹抵地”问题：今有竹高一丈，末折抵地，去本三尺，问折者高几何？题意是：一根竹子原高1丈（1丈尺），中部有一处折断，竹稍触地面处离竹根4尺，试问折断处离地面多高？则折断处离地面的高度为（   ） A．4.55尺 B．5.45尺 C．4.2尺 D．5.8尺 【变式14-2】（2023-2024八年级下·吉林延边·期中）某地遭台风袭击，马路边竖有一根高为8m的电线杆，被大风从离地面的B处吹断裂，倒下的电线杆顶部C是否会落在与它的底部A的距离为的快车道上？说明理由． 【变式14-3】（2024-2025八年级上·河南平顶山·期中）如图，一棵垂直于地面且高度为的大树被大风吹折，折断处与地面的距离，树尖恰好碰到地面．在大树倒下的方向上的点处停着一辆小轿车，，树枝落地时是否会砸着小轿车并说明理由． 【题型15】梯子滑落的高度问题 【例15】（2024-2025八年级下·内蒙古赤峰·月考）某校秉承“学会生活，学会学习，学会做人”的办学理念，将本校的办学理念做成宣传牌，放置在教室的黑板上面（如图所示）．在三月雷锋活动中小明搬来一架梯子（米）靠在宣传牌处，底端落在地板处，然后移动梯子使顶端落在宣传牌的处，而底端向外移到了0.5米到处（米）．测量得米．求宣传牌的高度（结果用根号表示）． 【变式15-1】（2024-2025八年级下·新疆伊犁·期末）勾股定理是几何学中的明珠，它充满魅力，在现实世界中有着广泛的应用．请你尝试应用勾股定理解决下列问题：一架长的梯子斜靠在一竖直的墙上，这时为，如果梯子的顶端沿墙下滑，那么梯子底端向外移了多少米？ 【变式15-2】（2023-2024八年级下·安徽合肥·期末）如图，将矩形木板斜靠在与地面垂直的墙上，木板底端点B到墙的距离，木板长，宽． （1）若木板的底端B向里滑行，则木板的顶端A沿墙上滑 m； （2）在木板滑动的过程中，木板的顶端D到O点的最大距离是 m． 【变式15-3】（2024-2025八年级下·四川成都·期末）每年的11月9日是我国的消防日，为了增强全民的消防安全意识，某校师生举行了消防演练，如图，云梯长为25米，云梯顶端C靠在教学楼外墙上（墙与地面垂直），云梯底端A与墙角O的距离为7米． (1)求云梯顶端C与墙角O的距离的长； (2)现云梯顶端C下方4米D处发生火灾，需将云梯顶端C下滑到着火点D处，则云梯底端在水平方向上滑动的距离为多少米． 【题型16】台阶上地毯的长度问题 【例16】（2023-2024八年级下·广西河池·期中）如图，在高为，坡面长为的楼梯表面铺地毯，地毯的长度至少需要（   ） A． B． C． D． 【变式16-1】（2024-2025八年级下·广东广州·期中）某公司举行开业一周年庆典，准备在一个长，高的台阶上铺设地毯（如图），若台阶的宽为，地毯的价格为120元，则购买地毯需花费 元． 【变式16-2】（2023-2024八年级上·山东枣庄·月考）某会展中心在会展期间准备将高、长、宽的楼道铺上地毯，已知地毯每平方米30元，请你帮助计算一下，铺完这个楼道至少需要多少元？ 【变式16-3】（2024-2025八年级下·湖南长沙·期末）树人学校为防止雨天地滑，在一段楼梯台阶上铺上一块地毯，将楼梯台阶完全盖住．已知楼梯台阶侧面图如图所示，，，． (1)求的长； (2)若已知楼梯宽，每平方米地毯35元，需要花费多少钱地毯才能铺满所有台阶．（假设地毯在铺的过程中没有损耗） 【题型17】其它应用问题 【例17】（2024-2025八年级上·山西运城·期末）如图是两个型号的圆柱型笔筒，粗细相同，高度分别是和，将一支铅笔按如图所示的方式先后放入两个笔筒，铅笔露在笔筒外面的部分分别为和，则铅笔的长为（   ） A． B． C． D． 【变式17-1】（2024-2025八年级上·山东青岛·期末）如图，长方体的底面边长分别为和，高为．若一只蚂蚁从点P开始经过4个侧面爬行一圈到达点Q，则蚂蚁爬行的最短路径长为 【变式17-2】（2024-2025八年级上·吉林长春·期末）如图，甲、乙两船同时从港出发，甲船的速度是15海里/时，航向是东北方向（射线方向），乙船比它每小时快5海里，航向是东南方向（射线方向），多少小时后两船相距100海里？ 【变式17-3】（2024-2025八年级上·四川宜宾·期末）如图，一条东西向的公路l旁有一所中学M，在中学M的大门前有两条长度均为200米的通道通往公路l旁的两个公交站点A、B，且A、B两站点相距320米． (1)现要在学校到公路l修一条新路，把A、B两个站点合为一个站点D（在公路l旁），使得学生从学校走到公路l的距离最短，求新路的距离； (2)为了行车安全，在公路l旁的点B和点C设置区间测速装置，其中点C在点B的东侧，且与中学M相距312米，公路l限速30千米/小时（约8.33米/秒）．一辆汽车经过区间用时16秒，试判断该车是否超速，并说明理由． 【特训01】拓展培优强化 1．（2024-2025八年级下·云南临沧·期末）如图，圆柱的底面周长为，高为，蚂蚁在圆柱侧面爬行，从点A爬到点B（点B在点A的正对面）的最短路程是（   ） A． B． C． D． 2．（2024-2025八年级上·陕西西安·期中）如图，在中，，，．若，分别是和上的动点，则的最小值是 ． 3．（2024-2025八年级下·福建三明·期中）如图，在中，，，，是的中点，是边上一动点．将沿所在直线折叠得到．当是直角三角形时，的长为 ． 4.（2024-2025八年级上·四川成都·期中）如图和是外两个等腰直角三角形，，下列说法正确的是： ． ①，且； ②； ③平分； ④取的中点，连，则． 5．（2024-2025八年级下·湖北孝感·期中）如图，某沿海开放城市接到台风警报，在该市正南方向的处有一台风中心，沿方向以的速度向移动，已知城市到的距离． (1)台风中心经过多长时间从点移到点？ (2)如果在距台风中心的圆形区域内都将有受到台风破坏的危险，正在点休闲的游客在接到台风警报后的几小时内撤离才可脱离危险？ 6．（2023-2024八年级上·四川内江·期末）著名的赵爽弦图（如图①，其中四个直角三角形较大的直角边长都为，较小的直角边长都为，斜边长都为），大正方形的面积可以表示为，也可以表示为，由此推导出重要的勾股定理：如果直角三角形两条直角边长为，斜边长为，则． 【结论探究】 （1）图②为美国第二十任总统伽菲尔德的“总统证法”，请你利用图②推导勾股定理； 【结论应用】 （2）如图③，在一条东西走向河流的一侧有一村庄，河边原有两个取水点，，由于某种原因，由到的路现在已经不通，该村为方便村民取水决定在河边新建一个取水点在同一条直线上），并新修一条路，且．测得千米，千米，求新路比原路少多少千米？ 【问题拓展】 （3）中，，垂足为，请求出的值． 7．（2023-2024八年级下·山东聊城·期中）【问题情境】 数学综合与实践活动课上，老师提出如下问题：一个三级台阶，它每一级的长、宽、高分别为20、3、2，和是一个台阶两个相对的端点． 【探究实践】 老师让同学们探究：如图①，若点处有一只蚂蚁要到点去吃可口的食物，那么蚂蚁沿着台阶爬到点的最短路程是多少？ （1）同学们经过思考得到如下解题方法：如图②，将三级台阶展开成平面图形，可得到长为20，宽为15的长方形，连接，经过计算得到长度为___________，就是最短路程． 【变式探究】 （2）如图③，是一只圆柱形玻璃杯，该玻璃杯的底面周长是，高是，若蚂蚁从点出发沿着玻璃杯的侧面到点，则蚂蚁爬行的最短距离为___________． 【拓展应用】 （3）如图④，圆柱形玻璃杯的高，底面周长为，在杯内壁离杯底的点处有一滴蜂蜜，此时，一只蚂蚁正好在外壁上，离杯上沿，且与蜂蜜相对的点处，则蚂蚁从外壁处到内壁处所爬行的最短路程是多少？（杯壁厚度不计）（画出示意图并进行计算） 8．（2024-2025八年级下·江西上饶·月考）【综合与实践】 【问题情景】 （1）如图1，点为线段上一动点．分别过点，作，连接，．已知．设，用含的代数式表示的长； 【数学思考】 （2）如图.2．在某河道一侧有，两家工厂，它们到河道的距离，分别是．，两工厂之间的距离是．为了方便工厂用水，需要在河道上建立一个抽水点，且使得抽水点到两家工厂的距离之和最短．求的最小值； 【深入探究】 （3）请结合上述思路，求代数式的最小值． 【特训02】直通中考真题 1．（2025·安徽·中考真题）如图，在中，，，边的中点为D，边上的点E满足．若，则的长是（   ） A． B．6 C． D．3 2．（2025·黑龙江·中考真题）如图，在中，，点、分别在边和上，且，，连接，点、分别是、的中点，连接，则的长度为（   ） A． B． C．2 D． 3．（2024·浙江杭州·中考真题）“赵爽弦图”巧妙利用面积关系证明了勾股定理．如图所示的“赵爽弦图”是由四个全等直角三角形和中间的小正方形拼成的一个大正方形，设直角三角形的两条直角边长分别为、．若小正方形面积为3，且满足则大正方形面积为（   ） A．8 B．9 C．10 D．11 4．（2024·四川巴中·中考真题）“今有方池一丈，葭生其中央，出水一尺，引葭赴岸，适与岸齐．问：水深几何？”这是我国数学史上的“葭生池中”问题．即，，，则（   ） A．8 B．10 C．12 D．13 5．（2023·四川泸州·中考真题）《九章算术》是中国古代重要的数学著作，该著作中给出了勾股数，，的计算公式：，，，其中，，是互质的奇数．下列四组勾股数中，不能由该勾股数计算公式直接得出的是（ ） A．3，4，5 B．5，12，13 C．6，8，10 D．7，24，25 6．（2025·江苏连云港·中考真题）如图，长为的梯子靠在墙上，梯子的底端离墙脚线的距离为，则梯子顶端的高度h为 m． 7．（2025·江苏扬州·中考真题）清代扬州数学家罗士琳痴迷于勾股定理的研究，提出了推算勾股数的“罗士琳法则”．法则的提出，不仅简化了勾股数的生成过程，也体现了中国传统数学在数论领域的贡献．由此法则写出了下列几组勾股数：①3，4，5；②5，12，13；③7，24，25；④9，40，41；……根据上述规律，写出第⑤组勾股数为 ． 8．（2024·吉林·中考真题）图①中有一首古算诗，根据诗中的描述可以计算出红莲所在位置的湖水深度，其示意图如图②，其中，于点C，尺，尺．设的长度为x尺，可列方程为 ． 9．（2024·湖南益阳·中考真题）如图，在中，，，的平分线交于D， 且，点E是边上的一动点，则的最小值为 ． 10．（2024·黑龙江牡丹江·中考真题）如图是矗立在高速公路边水平地面上的交通警示牌，经测量得到如下数据：米，米，，，则警示牌的 高约为 米．（结果精确到米，参考数据：，） 11．（2024·黑龙江大庆·中考真题）如图①，直角三角形的两个锐角分别是40°和50°，其三边上分别有一个正方形．执行下面的操作：由两个小正方形向外分别作锐角为40°和50°的直角三角形，再分别以所得到的直角三角形的直角边为边长作正方形．图②是1次操作后的图形．图③是重复上述步骤若干次后得到的图形，人们把它称为“毕达哥拉斯树”．若图①中的直角三角形斜边长为2，则10次操作后图形中所有正方形的面积和为 ． 12．（2023·江苏无锡·中考真题）《九章算术》中提出了如下问题：今有户不知高、广，竿不知长短，横之不出四尺，从之不出二尺，邪之适出，问户高、广、邪各几何？这段话的意思是：今有门不知其高宽：有竿，不知其长短，横放，竿比门宽长出4尺：竖放，竿比门高长出2尺：斜放，竿与门对角线恰好相等．问门高、宽和对角线的长各是多少？则该问题中的门高 是 尺． 13．（2025·广东·中考真题）《九章算术》是世界上较早给出勾股数公式的著作，掌握确定勾股数组的方法对研究直角三角形具有重要意义．若直角三角形的三边长，，都是正整数，则，，为一组“勾股数”．下表中的每一组数都是勾股数． 3，4，5 7，24，25 11，60，61 15，112，113 19，180，181 4，3，5 8，15，17 12，35，37 16，63，65 20，21，29 5，12，13 9，12，15 13，84，85 17，144，145 21，28，35 6，8，10 10，___，26 14，48，50 18，80，82 22，120，122 (1)请补全上表中的勾股数． (2)根据上表中数据规律，用含字母（均为正整数）的代数式分别表示，，，使该组代数式能表示上表中所有的勾股数，并证明． (3)某校计划在一块绿地上种花，使之构成如图所示的图案，该图案是由四个全等的直角三角形组成．种花要求：仅在三角形边上种花，每个三角形顶点处都种一株花，各边上相邻两株花之间的距离均为．如果每个三角形最短边都种21株花，那么这块绿地最少需要种植多少株花？ 14．（2024·陕西咸阳·中考真题）今年，第13号台风“贝碧嘉”9月16日登陆后的影响还在持续，第14号台风“普拉桑”和第15号台风“苏力”又于19日登陆．A市接到台风警报时，台风中心位于距离A市的B处（即），正以的速度沿直线方向移动． (1)已知A市到的距离，那么台风中心从B点移到D点经过多长时间？ (2)如果在距台风中心的圆形区域内都将受到台风影响，那么A市受到台风影响的时间是多长？ 15．（2023·吉林·中考真题）图①、图②、图③均是的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，线段的端点均在格点上．在图①、图②、图③中以为边各画一个等腰三角形，使其依次为锐角三角形、直角三角形、钝角三角形，且所画三角形的顶点均在格点上．    学科网（北京）股份有限公司 $ 专题04 勾股定理及其应用 （重难点题型专训） 【知识考点 勾股定理及其应用】 1.勾股定理 （1）勾股定理：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方. 即：如果直角三角形的两条直角边长分别为a，b，斜边长为c，那么 如图所示，是直角三角形，其中较短的直角边a叫作勾，较长的直角边b叫作股，斜边c叫作弦. （2）勾股定理的应用条件：勾股定理只适用于直角三角形。 2.勾股定理的证明 （1）勾股定理的验证主要通过拼图法完成，这种方法是以数形转换为指导思想，图形拼补为手段，各部分面积之间的关系为依据来实现的.用两种方式表示图形面积（算两次》，根据面积相同得到等量关系，进而进行等量变换得到勾股定理公式是证明勾股定理的常见方法. （2）通过拼图证明勾股定理的方法思路： 1）图形经过割补拼接后，只要没有重叠、没有空隙，面积就不会改变. 2）根据同一种图形的面积的不同表示方法列出等式. 3）利用等式性质变化验证结论成立，即拼出图形→写出图形面积的表达式→找出等量关系→恒等变形→推导命题结论. 3.勾股定理的应用 （1）利用勾股定理，可以解决与直角三角形有关的计算和证明题，在解决过程中，往往利用勾股定理列方程（组），有时需要通过作辅助线来构造直角三角形，化非直角三角形为直角三角形来解决. （2）勾股定理应用的类型： 1）已知直角三角形的任意两边长求第三边长； 2）已知直角三角形的一边长确定另两边长的关系； 3）证明包含平方（算术平方根）关系的几何问题； 4) 作长为(n＞1，且n为整数)的线段； 5）对于一些非直角三角形的几何问题和日常生活中的实际问题，首先要建立直角三角形的模 型，然后利用勾股定理构建方程或方程组解决. 【重难点常考题型概览】 【题型01】勾股数问题 【题型02】已知直角三角形两条边长求第三边长 【题型03】利用勾股定理解三角形 【题型04】已知两点坐标求两点间的距离 【题型05】利用勾股定理解决线段平方关系 【题型06】以直角三角形三边为边长的图形面积 【题型07】以弦图为背景的计算题 【题型08】勾股定理与网格问题 【题型09】勾股定理与折叠问题 【题型10】勾股定理与无理数 【题型11】勾股定理的证明方法 【题型12】河道（或道路）的宽度问题 【题型13】旗杆（大树或大楼）的高度问题 【题型14】大树折断前的高度问题 【题型15】梯子滑落的高度问题 【题型16】台阶上地毯的长度问题 【题型17】其它应用问题 【特训01】拓展培优强化 【特训02】直通中考真题 【题型01】勾股数问题 【例1】（2024-2025八年级下·山西朔州·期末）下列各组数中，是勾股数的一组是（ ） A．3，3，5 B．4，5，6 C．7，24，25 D．2，3， 【答案】C 【分析】本题考查的是勾股数定义，满足的三个正整数，称为勾股数．根据勾股数的概念判断即可． 【解答】解：A、，，3，5不是勾股数，不符合题意； B、，，5，6不是勾股数，不符合题意； C、，，24，25是勾股数，符合题意； D、，3，不全是正整数，，3，不是勾股数，不符合题意； 故选：C． 【变式1-1】（2024-2025八年级下·安徽马鞍山·期末）下列几组数据中，不是勾股数的是 （   ） A．3， 4， 5 B．5， 12， 13 C．7， 24， 25 D． 【答案】D 【分析】此题考查勾股数．解题关键在于熟练掌握勾股数的概念．根据勾股数，必须是正整数，且满足两个较小数的平方和等于最大数的平方，逐一判断即得． 【解答】解：A、，是勾股数，此选项不符合题意； B、，是勾股数，此选项不符合题意； C、，是勾股数，此选项符合题意； D、不是整数，不是勾股数，此选项不符合题意． 故选：D． 【变式1-2】（2024-2025八年级下·内蒙古赤峰·月考）下列四组数：①，，1；②5，12，13；③，，；④，，．其中是勾股数的有（  ） A．1组 B．2组 C．3组 D．4组 【答案】A 【分析】本题考查勾股数，明确勾股数的概念是解题关键．根据勾股数的定义：满足的三个正整数，称为勾股数，进行判断即可． 【解答】解：①，不是整数，故不是勾股数； ②∵，，， ∴，故是勾股数； ③，，， ∵，，， ∴， 故不是勾股数； ④，，不是整数，故不是勾股数； 其中是勾股数的组为②，只有1组， 故选：A． 【变式1-3】（2024-2025八年级下·陕西商洛·期末）若5、m、13是一组勾股数，则m的值为 ． 【答案】12 【分析】本题考查了勾股数．勾股数是正整数且满足较大的数的平方等于较小的两个数的平方和，理解题意，先分情况讨论m是斜边或13是斜边，进行列式计算，即可作答． 【解答】解：依题意，当m为斜边时，由勾股定理得， 即， 解得，不是正整数，舍去； 当13为斜边时，由勾股定理得， 即， ∴， 解得（负值已舍去）， 故答案为：12． 【题型02】已知直角三角形两条边长求第三边长 【例2】（2025-2026八年级上·河南洛阳·期末）已知直角三角形的两边长分别为3和4，则第三边长可能为（   ） A．3 B．4 C．5 D．5或 【答案】D 【分析】本题考查勾股定理，需分两种情况讨论，利用勾股定理计算第三边长，题目未明确已知两边是直角边还是斜边． 【解答】解：∵直角三角形的两边长分别为3和4 当3和4为两条直角边时 由勾股定理得，第三边长为； 当4为斜边，3为直角边时 由勾股定理得，第三边长为 ∴第三边长为5或， 故选：D． 【变式2-1】（2024-2025八年级下·陕西安康·期末）有一组勾股数，知道其中的两个数分别是5和12，则第三个数是 ． 【答案】13 【分析】本题考查了勾股数，勾股定理，分第三个数是直角边和斜边两种情况解答求出第三个数，再根据勾股数判定即可求解，运用分类讨论思想解答是解题的关键． 【解答】解：当第三个数是直角边时，第三个数； 当第三个数是斜边时，第三个数； ∵三个数是一组勾股数， ∴当第三个数为时，不合题意，舍去， ∴第三个数是13， 故答案为：13． 【变式2-2】（2023-2024八年级下·湖南益阳·月考）在中，． (1)已知，，求； (2)已知，，求． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了勾股定理,二次根式的性质化简； （1）根据勾股定理即可求解； （2）根据勾股定理，二次根式的性质化简即可求解． 【解答】（1）解：在中，，， ∴； （2）解：在中，，，， ∴． 【变式2-3】（2025-2026八年级上·宁夏银川·期末）公园里有一块长方形草坪，小佳在经过的时候发现这块草坪的一角被游客踏出了一条小路（如图），已知，，则游客走小路少走了多少米？ 【答案】2米 【分析】本题考查勾股定理，掌握相关知识是解决问题的关键．根据勾股定理求出，然后计算与的差即可． 【解答】解：∵是长方形的一角， ∴， ∵，， ∴， ∴， ， 答：游客走小路少走了2米． 【题型03】利用勾股定理解三角形 【例3】（2024-2025八年级下·云南临沧·期中）如图，将绕点A顺时针旋转得到，点、的对应点分别为点、，连接，点恰好落在线段上，若，，则的长为（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了旋转的性质，等边三角形的判定和性质，勾股定理；过点A作于点，根据旋转的性质证明为等边三角形，然后求出，再利用勾股定理计算出和即可． 【解答】解：过点A作于点， 由旋转得，，，，， 为等边三角形， ，， ，， ， 由勾股定理得，， 的长为． 故选：B． 【变式3-1】（2024-2025八年级下·湖北孝感·期中）如图，在△ABC，AB＝7，BC＝8，AC＝5，求△ABC的面积． 【答案】 【分析】作AD⊥BC于D，设CD=x，则BD=8-x，然后由勾股定理可得，进而求解x，即可得AD的长，最后根据三角形面积公式即可求解． 【解答】作AD⊥BC于D，如图所示： 设CD=x，则BD=8-x， 在Rt△ADB中，由勾股定理可得：， 在Rt△ADB中，由勾股定理可得：， ∴， 解得，， 在Rt△ACD中，AD= ∴． 【点评】本题主要考查勾股定理，熟练掌握勾股定理是解题的关键． 【变式3-2】（2024-2025八年级下·甘肃平凉·期中）如图，在中，． (1)若，，求和； (2)若，，求和． 【答案】(1)， (2) 【分析】本题主要考查了利用勾股定理解直角三角形和直角三角形的性质，在直角三角形中两直角边的平方和等于斜边的平方；直角三角形中，所对的直角边等于斜边的一半．熟练掌握勾股定理和直角三角形的性质，运用方程的思想是解题的关键． （1）由中，，可得，设，则，利用勾股定理列方程即可求解； （2）由中，，可得为等腰直角三角形，可设，利用勾股定理列方程即可求解． 【解答】（1）解：在中，，， ∴， 设，则， ∵， ∴， 解得， ∴，． ∴，． （2）解：在中，，， ∴， 设， ∵， ∴， 解得， ∴． 【变式3-3】（2025-2026八年级上·江苏南通·期末）如图，在中，，，． (1)求的长； (2)作的平分线交于点D，求的长． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查勾股定理，角平分线的性质，三角形的面积，关键是掌握勾股定理，由角平分线的性质推出，由三角形的面积公式得到关于的方程． （1）由勾股定理求出； （2）过D作于H，由角平分线的性质推出，由勾股定理得到，即可求出的长． 【解答】（1）解：， ． ，， ． （2）解：过点D作，E为垂足． 平分， ． 又，， ． ． 设，则，，． 在中，， ． ． 解得， 即的长为． 【题型04】已知两点坐标求两点间的距离 【例4】（2024-2025八年级下·云南普洱·期末）在平面直角坐标系中，为坐标原点．已知点，则线段的长为（  ） A．3 B．4 C．5 D．7 【答案】C 【分析】本题考查了两点之间的距离公式，熟练掌握两点之间的距离公式是解题关键．直接利用两点之间的距离公式解答即可得． 【解答】解：∵为坐标原点，点， ∴线段的长为， 故选：C． 【变式4-1】（2024-2025八年级下·内蒙古赤峰·月考）在平面直角坐标系中，已知点与点之间的距离是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查平面直角坐标系中两点的距离，掌握勾股定理是解题的关键． 取点，连接，，构造，然后根据点的坐标与勾股定理即可求解． 【解答】如图所示，取点，连接，， ∵，， ∴，， ∴在中，． 故答案是：． 【变式4-2】（2024-2025八年级下·福建福州·期末）在平面直角坐标系中，，，则的长为 ． 【答案】 【分析】本题考查了平面直角坐标系两点间的距离，根据平面直角坐标系两点间的距离公式即可求解，掌握平面直角坐标系两点间的距离公式是解题的关键． 【解答】解：∵，， ∴， 故答案为：． 【变式4-3】（2025-2026八年级上·浙江绍兴·期中）如图，在中，已知点A的坐标为，点B的坐标为，是边上的中线，求： (1)点C的坐标； (2)的长． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了中点坐标，用勾股定理解三角形，已知两点坐标求两点距离等知识，解题关键是掌握上述知识点并能熟练运用求解． （1）利用线段中点求出点C的坐标； （2）利用勾股定理求得的长． 【解答】（1）解：∵在中，点B的坐标为，是边上的中线， ∴点C的坐标为； （2）解：∵点A的坐标为，点C的坐标为， ∴． 【题型05】利用勾股定理解决线段平方关系 【例5】（2023-2024八年级下·河南商丘·期中）对角线互相垂直的四边形叫做“垂美”四边形，如图，在“垂美”四边形中，对角线交于点O，若，则 ． 【答案】625 【分析】本题考查的是垂直的定义，勾股定理的应用，正确理解“垂美”四边形的定义、灵活运用勾股定理是解题的关键．根据垂直的定义和勾股定理解答即可． 【解答】解：由题意得：， 由勾股定理得， 故答案为：625． 【变式5-1】（2025-2026八年级上·北京通州·期末）如图，，，，垂足为点，交于点，交于点，求证：． 【答案】见解析． 【分析】本题主要考查了三线合一、勾股定理、全等三角形的判定和性质等，熟练掌握各个性质是解题的关键． 先连接，根据三线合一，得出，证明，再通过边相等和全等性质推出，得出，推出，最后根据勾股定理和等量代换求解即可． 【解答】解：证明：连接， ∵，于点， ∴． ∵在和中， ， ∴， ∴，． ∵， ∴， ∴． ∵与交于点， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴． ∵在中，， 又∵， ∴，即， ∴． 【变式5-2】（2024-2025八年级下·辽宁抚顺·阶段练习）如图，中，，为中点，点在边上（点不与点，重合），连接，过点作交于点，连接． (1)求证：. (2)若，，，直接写出线段的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了全等三角形的判定和勾股定理，中垂线的性质； （1）延长至使，连接，证明，从而得，，由得为中垂线，故，在中根据勾股定理即可的结论； （2）结合（1）中的结论可得，，在中利用勾股定理即可解决． 【解答】（1）证明：作，交延长线于，连接 ， ， ， ， ， 在和中，， ， ，， ， ， ， ， ， （2）解：设， ，，， 则， ， ， ， 即：， 由（1）知：，，， ，， ， ， 即：， 解得：， 即：． 【变式5-3】（2024-2025八年级下·安徽合肥·期中）如图，和都是等腰直角三角形，，的顶点是的斜边上的点，连接． (1)求的度数； (2)求证： (3)若，请直接写出的值． 【答案】(1) (2)见解析 (3) 【分析】本题考查等腰三角形的定义，全等三角形的判定和性质，勾股定理，熟练掌握全等三角形的性质与判定是解题的关键； （1）证明，得出即可求解； （2）根据（1）的结论，推出，根据勾股定理结合等腰直角三角形的性质即可得出结论； （3）设，则，利用勾股定理列式进行求解即可． 【解答】（1）解：与都是等腰直角三角形， ， ， ， ． ． ； （2）证明：， ， 即． ， 在中，， ，即； （3）解：设，则， ，即， 解得． ． 【题型06】以直角三角形三边为边长的图形面积 【例6】（2024-2025八年级下·江苏南京·开学考试）如图，A，B，C是三个正方形，当B的面积为144，C的面积为169时，则A的面积为 ． 【答案】25 【分析】本题考查了勾股定理；由勾股定理求出是解决问题的关键．由勾股定理求出即可求解． 【解答】解：如图所示： 根据题意得：， 在中，由勾股定理得： ， 即正方形A的面积为25； 故答案为：25． 【变式6-1】（2023-2024八年级下·湖南株洲·期中）如图，在中，，分别以各边为直径作半圆，图中阴影部分在数学史上称为“希波克拉底月牙”，若，，则图中阴影部分的面积为 ． 【答案】 【分析】本题考查了勾股定理与几何图形的面积，根据勾股定理求出，分别求出三个半圆的面积和的面积，用两小半圆与直角三角形的面积和减去大半圆的面积即可得出答案，正确识图是解题的关键． 【解答】解：∵，，， ∴， ∴ ， 故答案为：． 【变式6-2】（2023-2024八年级下·内蒙古通辽·期中）如图是一株美丽的勾股树，其中所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，若正方形A、B、C、D的面积分别是11、13、12、11，则最大正方形E的边长是 ． 【答案】 【分析】本题考查了勾股定理，正方形的面积，由勾股定理得，，，即可求解． 【解答】解：如图， 所有的三角形都是直角三角形， ， ， ， （负值已舍去）， 最大正方形E的边长是， 故答案为：． 【变式6-3】（2024-2025八年级下·福建厦门·月考）如图，正方形的边长为2，其面积标记为，以为斜边向外作等腰直角三角形，再以该等腰直角三角形的一条直角边为边向外作正方形，其面积标记为，按照此规律继续下去，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了勾股定理，根据面积的变化找出变化规律进行计算即可． 【解答】解：正方形的边长为2，如图，连接、相交于点， 是等腰直角三角形， ，， ， ， 即等腰直角三角形的直角边为斜边的倍， 正方形的边长为2，其面积标记为， ， ， ， ． ， ； 故答案为：． 【题型07】以弦图为背景的计算题 【例7】（2023-2024八年级下·陕西商洛·期末）如图，是我国古代弦图变形得到的数学风车，是由四个全等的直角三角形和中间的正方形组成，直角三角形的斜边，直角边，点在上，，则中间正方形的面积为 ． 【答案】1 【分析】本题考查了以弦图为背景的计算题，理解题意是解题的关键．根据图形分析可得小正方形的边长为，据此即可求解． 【解答】解：，，， ， 中间正方形的边长为， 中间正方形的面积为． 故答案为：． 【变式7-1】（2024-2025八年级下·天津河北·期中）如图所示的“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形与中间的一个小正方形拼成的大正方形，若图中的直角三角形的长直角边是12，大正方形的面积是169，则小正方形的面积是 ． 【答案】 【分析】本题考查了勾股定理的证明，熟练掌握勾股定理是解题的关键．根据题意和题目中的数据，可以计算出小正方形的边长，即可得到小正方形的面积． 【解答】解：由题意可得：大正方形的边长为， 小正方形的边长， 小正方形的面积为， 故答案为： 【变式7-2】（2024-2025八年级上·四川眉山·期末）如图，我国古代数学家赵爽为了证明勾股定理，创制了一幅“弦图”（图1），后人称其为“赵爽弦图”、由图1变化得到图2，它是用八个全等的直角三角形拼接而成的，记图中正方形，正方形，正方形的的面积分别为，，，若，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了以赵爽弦图为背景的勾股定理的证明，理解正方形的面积，全等三角形面积相等是解题的关键． 根据题意，是4个全等的三角形，设每个的面积为，由此可得，根据，即可求解． 【解答】解：正方形，正方形，正方形的的面积分别为，，，是4个全等的三角形，设每个的面积为， ∴， ∴， 故答案为：8． 【变式7-3】（2024-2025八年级上·浙江绍兴·期中）如图，我国汉代数学家赵爽在注解《周髀算经》时给出的“赵爽弦图”，它是由四个全等的直角三角形与中间的小正方形拼成的一个大正方形，连接，交于点，若正方形的面积为，，则与的面积差是 ． 【答案】 【分析】本题考查了“赵爽弦图”，多边形的面积，勾股定理等知识点，熟练掌握勾股定理和三角形全等的性质是解题的关键． 先证明，则，所以两三角形面积的差是中间正方形面积的一半，设，，根据勾股定理得：，，整体代入可得结论． 【解答】解：正方形的面积为， ， 设， ， ， 在中，由勾股定理得：， ， ， ，， ， ， ∵“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形与中间的小正方形拼成的一个大正方形， ， ， ， ，， ， ， 则的值是； 故与的面积差为； 故答案为： 【题型08】勾股定理与网格问题 【例8】（2025-2026八年级下·全国·课后作业）如图，网格中每个小正方形的边长均为1，，，均为格点（小正方形的顶点），以点为圆心，的长为半径画弧，交网格线于点，则的长为（   ） A． B．3 C．2 D． 【答案】A 【分析】首先确定的长度，再利用“以为圆心，为半径画弧”可知，接着结合网格确定的长度，最后在直角三角形中运用勾股定理计算的长度． 【解答】解：如图，连接， 由网格图可知：， ∵以为圆心，为半径画弧， ∴． 在中， ． ∴． 故选：A ． 【点评】本题考查了勾股定理和网格中线段长度的计算，解题关键是根据半径相等确定点的准确位置，再结合勾股定理计算目标线段的长度． 【变式8-1】（2025-2026八年级上·上海浦东新·期末）如图，在的网格中，每个小正方形的边长均为2，则B到直线的距离为 ． 【答案】 【分析】此题考查了勾股定理，二次根式的运算，三角形的面积，掌握相关知识是解本题的关键．根据小正方形的边长为1，利用勾股定理求出，由正方形面积减去三个直角三角形面积求出三角形面积，利用面积法求出边上的高即可． 【解答】解：如图，作， 由勾股定理得， ∵， ， 解得：． 故答案为：． 【变式8-2】（2023-2024八年级下·内蒙古·期中）如图，数轴上点所表示的数为1，点，，是的正方形网格上的格点，以点为圆心，长为半径画圆交数轴于，两点，则点所表示的数为 ．（可以用含根号的式子表示） 【答案】/ 【分析】本题考查的是实数与数轴，勾股定理的应用，先求解，再进一步求解即可． 【解答】解：由勾股定理可得，， 则， 点表示的数是1， ， 点所表示的数为． 故答案为：． 【变式8-3】（2024-2025八年级上·北京朝阳·期末）如图，在的正方形网格中，的3个顶点均在正方形的顶点（格点）上，这样的三角形叫做格点三角形．为网格图中与全等的格点三角形（除外）的一个顶点，其对应点为．若在平面直角坐标系中，点A的坐标为，点的坐标为，点在坐标轴上，则点的坐标为 ． 【答案】或或 【分析】本题考查了全等三角形的判定的应用，熟练掌握三角形全等的判定方法，找出符合条件的所有三角形是解此题的关键． 三角形的各个顶点都在格点上，所以任意长度都可用勾股定理计算得出，本题可以采用“三边对应相等”进行判定三角形全等． 【解答】∵点A的坐标为，点的坐标为， ∴坐标系原点在点A的下方3个单位，在点C的左方2个单位处，建立坐标系，如图， ∴点B的坐标为， ∴， ∵点为网格图中与全等的格点三角形的一个顶点，对应点为，在坐标轴上， ∴符合条件的点E的坐标有或或 ． 故答案为：或或 ． 【题型09】勾股定理与折叠问题 【例9】（2024-2025八年级下·北京·期中）如图，在中，，，，是的中点，是上一点，连接、．将沿翻折，点落在上的点处，则的长是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查勾股定理与折叠问题，勾股定理求出的长，折叠得到，，设，在中，利用勾股定理进行求解即可． 【解答】解：∵，，，D是边的中点， ∴， ∴， ∵将沿翻折，点C落在上的点F处， ∴，， ∴， 设，则：， 在中，由勾股定理，得：， 解得：； ∴； 故选：A． 【变式9-1】（2024-2025八年级下·青海海西·期中）如图，有一块直角三角形纸片，两直角边，，现将直角边沿直线折叠，使它落在斜边上，且与重合，则等于（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先根据勾股定理求得的长，再根据折叠的性质求得，的长，从而利用勾股定理可求得的长． 本题考查了折叠的性质、利用勾股定理解直角三角形的能力，即：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方． 【解答】解：，， ， 由折叠的性质得：， ， 设，则在中，， ． 故选：A． 【变式9-2】（2025-2026八年级上·陕西咸阳·期末）如图，在中，，，．现将进行折叠，使顶点A，B重合，折痕为，点D，E分别在，上．则线段的长为 ． 【答案】 【分析】本题考查了折叠的性质，勾股定理．在中可得，在中可得，则，在中根据勾股定理即可求解． 【解答】解：在中，，，， ∴， ∵将进行折叠，使顶点重合， ∴，， 设，在中，， ∴， 解得：， 则， ∴在中，， 故答案为：． 【变式9-3】（2024-2025八年级下·河北廊坊·阶段练习）如图，在长方形中，，，，沿边所在直线翻折，与重合，点F在上，则的长是 ． 【答案】/ 【分析】本题考查了长方形的性质，勾股定理与折叠问题，连接．证明垂直平分得．在中，由勾股定理求出，然后根据求解即可． 【解答】解：如图，连接． ∵四边形是长方形， ∴． 根据题意，，． ∵， ∴， ∴， ∴垂直平分， ∴． ∵，，， ∴， ∴． 在中，， 在中，． ∵， ∴， ∴， 解得． 故答案为：． 【题型10】勾股定理与无理数 【例10】（2024-2025八年级下·湖北黄冈·期末）如图，根据尺规作图的痕迹判断数轴上点C所表示的数是（   ） A． B． C．4.4 D．4.5 【答案】B 【分析】本题主要考查勾股定理及实数与数轴，熟练掌握勾股定理及实数与数轴是解题的关键；由题意易得，，然后问题可求解． 【解答】解：由题意得：，， ∴； 故选B． 【变式10-1】（2024-2025八年级下·陕西安康·期末）利用勾股定理可以作出长为无理数的线段，如图，在中，，，点恰好落在数轴上表示的点上，以原点为圆心，的长为半径画弧交数轴于点，使点落在点的左侧，则点所表示的数是 ． 【答案】 【分析】本题考查了实数与数轴，勾股定理，任意一个实数都可以用数轴上的点表示；反之，数轴上的任意一个点都表示一个实数． 依据勾股定理即可得到的长，进而得出的长，即可得到点C所表示的数． 【解答】解：由题意得，， ∵，， ∴， ∴， ∴点所表示的数是， 故答案为：． 【变式10-2】（2024-2025八年级下·福建龙岩·月考）如图所示，在数轴上点所表示的数为，则的值为 ． 【答案】 【分析】先根据勾股定理求出，再根据即可解答．本题考查了勾股定理，数轴上两点之间的距离公式，数轴上表示的数，掌握勾股定理是解题的关键． 【解答】解：如图， ∵，， 设点表示的数是， ∴， ∴， ∴， 故答案为； 【变式10-3】（2024-2025八年级下·广东广州·期末）如图，数轴上点，点分别表示1和3，，且，以点为圆心，以为半径作弧，弧与数轴的交点为，则点表示的数是 ． 【答案】/ 【分析】本题主要考查了实数与数轴，解题关键是熟练掌握勾股定理和两点间的距离公式．根据已知条件求出和，再利用勾股定理求出，从而求出，然后设点表示的数为，根据两点间的距离公式列出关于的方程，解方程求出即可． 【解答】解：由题意可知：， ， ， 点，点分别表示1和3， ， 由勾股定理得：， ， 设点表示的数为， ， ， 或（不合题意舍去）， 点表示的数为， 故答案为：． 【题型11】勾股定理的证明方法 【例11】（2024-2025八年级上·山东青岛·开学考试）如图，有四个斜边为c的全等直角三角形，已知其直角边长为a，b．拼接成以c为边长的正方形，试利用这个图形验证勾股定理． 【答案】见解析 【分析】本题考查勾股定理的证明，通过不同的方法求图形的面积列等式是解题的关键． 根据图形的总面积等于一个大正方形的面积加上两个直角三角形的面积，也等于两个小正方形的面积加上两个直角三角形的面积，然后整理即可得证； 【解答】解：图形的总面积可以表示为， 如图， 也可以表示为， ∴， ∴． 【变式11-1】（2025-2026八年级上·陕西西安·期中）请你根据图形及提示证明勾股定理图中所有直角三角形都是以c为斜边，a，b为直角边的全等三角形 (1)毕达哥拉斯的证法图： 补充完整以下证明过程 证明：正方形①的面积______ 正方形②的面积______． 又正方形①与正方形②的边长相等， ____________． ； (2)请你写出弦图图的另一种证法． 【答案】(1)，，， (2)见解析 【分析】本题考查勾股定理的证明，正方形的性质，解决本题的关键是根据题意得到等量关系． （1）根据题意即可完成填空； （2）根据题意，由图可知大正方形的面积个三角形的面积小正方形的面积，列出等式化简即可得出勾股定理的表达式． 【解答】（1）证明：正方形①的面积， 正方形②的面积， 又正方形①与正方形②的边长相等， ， ， 故答案为：，，，； （2）解：由图可知大正方形的面积个三角形的面积小正方形的面积， ， 即． 【变式11-2】（2025-2026八年级上·河南洛阳·期末）如图①，美丽的弦图，蕴含着四个全等的直角三角形． (1)弦图中包含了一大、一小两个正方形，已知每个直角三角形较长的直角边为，较短的直角边为，斜边长为，结合图①，试验证勾股定理； (2)如图②，将这四个直角三角形紧密地拼接，形成飞镖状，已知外围轮廓线的周长为，求该飞镖状图案的面积． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】此题考查了勾股定理与弦图，完全平方公式， （1）根据，，进行推理验证即可； （2）求出直角三角形的边长，设，依题意有，求出x，再根据直角三角形的面积去求． 【解答】（1）解：根据题意，得， ， 则，即； （2）解：∵四个全等的直角三角形，外围轮廓线的周长为， ， 设，则， 由勾股定理，得， 解得， ， ∴该飞镖状图案的面积是． 【变式11-3】（2023-2024八年级下·河南许昌·期中）请阅读下列材料，并完成相应的任务． 勾股定理的证明．勾股定理，是几何学中一颗光彩夺目的明珠，被称为“几何学的基石”，而且在高等数学和其他学科中也有着极为广泛的应用．正因为这样，世界上几个文明古国都已发现并且进行了广泛深入的研究，我国三国时期的数学家赵爽在为《周髀算经》作注时，利用“弦图”巧妙地给出了勾股定理的证明，这个证明是有史以来四百多种证明中最巧妙的证法之一． 在西方勾股定理也称毕达哥拉斯定理．其中，美国第二十任总统詹姆斯·伽菲尔德的证法在数学史上被传为佳话．他将两个直角三角形拼成一个梯形（如图），根据基本活动经验：“表示同一个量（这里指梯形的面积）的两个代数式相等”进行证明．任务： (1)勾股定理：如果直角三角形的两条直角边长分别为a，b，斜边长为c，那么_______． (2)根据阅读内容，图中梯形的面积分别可以表示为______和_______． (3)根据（2）中的结果，写出证明过程． 【答案】(1) (2)， (3)见解析 【分析】本题主要考查了勾股定理及其证明方法： （1）直角三角形中，两直角边的平方和等于斜边的平方，据此求解即可； （2）根据梯形的面积公式以及梯形的面积等于三个直角三角形的面积进行求解即可 ； （3）根据（2）中两种表示方法表示的面积相等列式证明即可． 【解答】（1）解：由勾股定理得， 故答案为：； （2）解：根据梯形面积公式可得梯形面积为； 根据梯形面积等于三个直角三角形的面积可得梯形面积为， 故答案为：，； （3）证明：∵（2）中两种表示方法表示的梯形面积相等， ∴， ∴， ∴． 【题型12】河道（或道路）的宽度问题 【例12】（2024-2025八年级下·辽宁葫芦岛·期中）在一次研学活动中，小宣同学欲控制遥控轮船匀速垂直横渡一条河，但由于水流的影响，实际上岸地点C与欲到达地点B相距8米，结果轮船在水中实际航行的路程比河的宽度多2米，则河的宽度是（   ） A．6米 B．9米 C．12米 D．15米 【答案】D 【分析】本题考查了勾股定理的应用，根据题意可知为直角三角形，根据勾股定理列方程就可求出直角边的长度． 【解答】解：根据题意，得，，， 在中，， ∴， 解得， 即河的宽度是15米， 故选：D． 【变式12-1】（2024-2025八年级下·广西南宁·期中）某游泳爱好者想横渡一条河，由于流水的影响，实际上岸地点偏离了想到达的点 米．他在水中游了米，则这条河的宽度为（两岸可近似看作平行） ． 【答案】米 【分析】本题主要考查了勾股定理的应用，因为游泳爱好者想横渡一条河，所以可知，在中，利用勾股定理可以求出米． 【解答】解：游泳爱好者想横渡一条河， ， ， 在中，米，米， 米． 故答案为：米． 【变式12-2】（2024-2025八年级下·河北唐山·期中）如图，某工程队为修通铁路需凿通隧道，测得，，，，若每天开凿隧道，需要几天才能把隧道凿通？ 【答案】需要天才能把隧道凿通 【分析】本题主要考查了勾股定理的应用；先根据三角形的内角和定理判断是直角三角形，再根据勾股定理求得的长，从而可以求得结果. 【解答】解：∵，， ∴， ∴是直角三角形， ∵，， ∴， ∵天， 答：需要天才能把隧道凿通． 【变式12-3】（2024-2025八年级下·山东潍坊·月考）小刚准备测量一段河水的深度，他把一根竹竿插到离岸边远的水底，竹竿高出水面，把竹竿的顶端拉向岸边，竿顶和岸边的水面刚好相齐，则河水的深度为多少米？ 【答案】2米 【分析】本题考查了勾股定理的应用，根据题意画示意图找出与所求边长相关线段所构成直角三角形是解题关键． 根据河水深度、竹竿到岸边的距离、竹竿长构成直角三角形，利用勾股定理进行计算即可． 【解答】解：根据题意画出示意图，如图，则， 所以即为河水深度，， ， 是直角三角形， ， ， 解得：， 答：河水的深度为2米． 【题型13】旗杆（大树或大楼）的高度问题 【例13】（2024-2025八年级下·浙江台州·期末）数学兴趣小组测量学校旗杆的高度，同学发现有一根系在旗杆顶端的绳子垂到了地面，并多出（如图1），将绳子拉紧，使绳子下端点C恰好接触到地面（如图2）．现测得点C到旗杆的距离为，求旗杆的高度． 【答案】旗轩的高度为 【分析】本题主要考查了勾股定理的应用，解题的关键是熟练掌握勾股定理，在一个直角三角形中，两条直角边分别为a、b，斜边为c，那么．设旗杆的高度为，则长为，根据勾股定理得出，然后解方程即可． 【解答】解：设旗杆的高度为，则长为， 在中，，， ∴， 解得． 答：旗轩的高度为． 【变式13-1】（2025-2026八年级上·陕西西安·期中）小慧同学在小区放风筝时，风筝意外挂在了树的顶端M处，他想知道树的高度MN，制定了一个测量树高MN的方案．如图，在地面A处，测得点A到大树的距离AN为2米，手中剩下的风筝线为4米．从点A后退至点B处风筝线恰好用完，测得AB为6米，已知点N在点M的正下方，点N，A，B在同一条直线上，根据以上信息求出树的高度 【答案】米 【分析】本题考查了勾股定理，灵活运用勾股定理求线段的长或利用勾股定理列方程是解决问题的关键． 根据题意得米，米，，根据勾股定理得到，先利用加减消元法求出AM，然后利用勾股定理计算MN的长． 【解答】解：根据题意得米，米，， 在中，， 在中，， ， 解得， 米 答：树的高度MN为米． 【变式13-2】（2024-2025八年级下·辽宁盘锦·月考）数学兴趣小组发现，系在旗杆顶端B的绳子垂到地面时多出了3米，把绳子向外拉直，绳子的底端恰好接触地面的点A处（如图所示），测得绳子底端A与旗杆根部C之间的距离为9米． (1)求旗杆的高度； (2)珍珍在绳子底端又接上了长5米的绳子（接头处忽略不计），把绳子拉直，若要拼接后绳子的底端恰好接触地面的点D处，求珍珍应从A处向东走多少米？ 【答案】(1)12米 (2)7米 【分析】本题考查了勾股定理的应用，解题的关键是理解题意，学会构建方程解决问题． （1）设旗杆的高度为x米，则绳子的长为米，根据勾股定理列方程求解即可； （2）先根据勾股定理求出，即可得解． 【解答】（1）解：设旗杆的高度为x米，则绳子的长为米， 由题意知：米，， 在中， ， ， 解得：， 答：旗杆的高度12米； （2）解：由（1）知，米，则米， 米， 米， 答：珍珍应从A处向东走7米． 【变式13-3】（2025-2026八年级上·江苏无锡·月考）如图，数学兴趣小组要测量旗杆的高度，同学们发现系在旗杆顶端的绳子垂到地面多出一段的长度为米，小明同学将绳子拉直，绳子末端落在点处，到旗杆底部的距离为米． (1)求旗杆的高度； (2)小明在处，用手拉住绳子的末端，后退至观赛台的3米高的台阶上，此时绳子刚好拉直，绳子末端落在点处，问小明需要后退几米（即的长）？ 【答案】(1)旗杆的高度为； (2)小明需后退． 【分析】本题考查了勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理，添加适当的辅助线构造直角三角形是解此题的关键． （1）设旗杆的高度为，则，再由勾股定理计算即可得解； （2）过E作，垂足为M，证明四边形为长方形，得出，，由勾股定理得，即可得解． 【解答】（1）解：设旗杆的高度为，则， 在中，，由勾股定理得：， ∴， 解得， 答：旗杆的高度为； （2）解：过E作，垂足为M， 则， ∴四边形为矩形， ∴，， ， ，， 在中，， 由勾股定理得：， 答：小明需后退． 【题型14】大树折断前的高度问题 【例14】（2024-2025八年级下·广东江门·期中）如图，强大的台风使得一棵大树在离地面6米处折断倒下，大树顶部落在离大树底部8米处，大树折断之前有多高？ 【答案】大树折断前高16米 【分析】本题主要考查了勾股定理的应用，从题中抽象出勾股定理这一数学模型是解题的关键． 先利用勾股定理计算出的长，然后再计算出即可得到大树折断前的高度． 【解答】解：∵米，米， 根据勾股定理可得（米）， ∴（米）． 答：大树折断前高16米． 【变式14-1】（2024-2025八年级上·甘肃兰州·期末）九章算术中记载了一个“折竹抵地”问题：今有竹高一丈，末折抵地，去本三尺，问折者高几何？题意是：一根竹子原高1丈（1丈尺），中部有一处折断，竹稍触地面处离竹根4尺，试问折断处离地面多高？则折断处离地面的高度为（   ） A．4.55尺 B．5.45尺 C．4.2尺 D．5.8尺 【答案】C 【分析】本题考查了勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理是解题的关键．设折断处离地面的高度为尺，则尺，在中，由勾股定理得出方程，求解即可． 【解答】解：设折断处离地面的高度为尺，则尺， 在中，由勾股定理得：， ， 解得：， 即折断处离地面的高度为4.2尺， 故选：C． 【变式14-2】（2023-2024八年级下·吉林延边·期中）某地遭台风袭击，马路边竖有一根高为8m的电线杆，被大风从离地面的B处吹断裂，倒下的电线杆顶部C是否会落在与它的底部A的距离为的快车道上？说明理由． 【答案】会，理由见解析 【分析】本题考查了勾股定理的应用和实数的大小比较，解题的关键是正确求出的长度．先根据线段的和差求出的长度，再由勾股定理求出的长度，与5进行大小比较即可． 【解答】解：根据题意，m，， 则， ∴， 又∵， ∴倒下的电线杆顶部会落在与它的底部A距离5m的快车道上． 【变式14-3】（2024-2025八年级上·河南平顶山·期中）如图，一棵垂直于地面且高度为的大树被大风吹折，折断处与地面的距离，树尖恰好碰到地面．在大树倒下的方向上的点处停着一辆小轿车，，树枝落地时是否会砸着小轿车并说明理由． 【答案】树枝砸不到小车 【分析】本题考查勾股定理．大树折断后，剩余部分的树干、折断的树干部分和地面之间构成了一个直角三角形，利用勾股定理计算出落地后树尖与树干的距离为，比较和的大小，可知大树砸不到小车． 【解答】如下图所示， ， 为直角三角形， 在中，，， ， ，， 树枝砸不到小车． 【题型15】梯子滑落的高度问题 【例15】（2024-2025八年级下·内蒙古赤峰·月考）某校秉承“学会生活，学会学习，学会做人”的办学理念，将本校的办学理念做成宣传牌，放置在教室的黑板上面（如图所示）．在三月雷锋活动中小明搬来一架梯子（米）靠在宣传牌处，底端落在地板处，然后移动梯子使顶端落在宣传牌的处，而底端向外移到了0.5米到处（米）．测量得米．求宣传牌的高度（结果用根号表示）． 【答案】米 【分析】此题主要考查了勾股定理的应用，正确应用勾股定理是解题的关键．利用勾股定理求出、的长，即可解决问题． 【解答】解：由题意可得：米，米，米， 在中，由勾股定理得：（米）， ∴（米）， 在中，由勾股定理得：， ∴米， 答：宣传牌（）的高度为米． 【变式15-1】（2024-2025八年级下·新疆伊犁·期末）勾股定理是几何学中的明珠，它充满魅力，在现实世界中有着广泛的应用．请你尝试应用勾股定理解决下列问题：一架长的梯子斜靠在一竖直的墙上，这时为，如果梯子的顶端沿墙下滑，那么梯子底端向外移了多少米？ 【答案】0.4米 【分析】本题考查的是勾股定理的应用，先根据勾股定理求出的长，再根据梯子的长度不变求出的长，根据即可得出结论． 【解答】解在中，， 在中，， ． 答：梯子底端向外移了0.4米 【变式15-2】（2023-2024八年级下·安徽合肥·期末）如图，将矩形木板斜靠在与地面垂直的墙上，木板底端点B到墙的距离，木板长，宽． （1）若木板的底端B向里滑行，则木板的顶端A沿墙上滑 m； （2）在木板滑动的过程中，木板的顶端D到O点的最大距离是 m． 【答案】 1 【分析】本题考查了勾股定理的应用，正确作出辅助线是解题的关键． （1）在中根据勾股定理求出，再在中根据勾股定理求出的长即可推出结果； （2）取的中点E，连接，根据直角三角形上的中线的性质得出，再根据勾股定理求出，最后根据当O，E，D共线时，长最大，求解即可． 【解答】解：（1）如图， 由题意可知，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 即木板的顶端A沿墙上滑， 故答案为：1； （2）如图，取的中点E，连接， 由题意可知，是直角三角形的斜边上的中线，， ∴， ∵E是的中点， ∴， 由勾股定理得，， 当O，E，D共线时，长最大，最大值为， 故答案为：. 【变式15-3】（2024-2025八年级下·四川成都·期末）每年的11月9日是我国的消防日，为了增强全民的消防安全意识，某校师生举行了消防演练，如图，云梯长为25米，云梯顶端C靠在教学楼外墙上（墙与地面垂直），云梯底端A与墙角O的距离为7米． (1)求云梯顶端C与墙角O的距离的长； (2)现云梯顶端C下方4米D处发生火灾，需将云梯顶端C下滑到着火点D处，则云梯底端在水平方向上滑动的距离为多少米． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理是解题的关键． （1）根据勾股定理即可得出结论； （2）根据勾股定理即可得出结论． 【解答】（1）解：∵在中，，， ∴由勾股定理得， 即， 解得：， 即云梯顶端C与墙角O的距离的长为． （2）解：∵，， ∴， 在中，，， 由勾股定理得， 即， 解得：， ∵， ∴． 即云梯底端在水平方向上滑动的距离为． 【题型16】台阶上地毯的长度问题 【例16】（2023-2024八年级下·广西河池·期中）如图，在高为，坡面长为的楼梯表面铺地毯，地毯的长度至少需要（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理是解答本题的关键． 当地毯铺满楼梯时，其长度是楼梯的水平宽度与垂直高度的和，根据勾股定理求得水平宽度，然后求得地毯的长度即可． 【解答】解：由勾股定理得： 楼梯的水平宽度， ∵地毯铺满楼梯所需长度是楼梯的水平宽度与垂直高度的和， ∴地毯的长度至少是． 故选：C． 【变式16-1】（2024-2025八年级下·广东广州·期中）某公司举行开业一周年庆典，准备在一个长，高的台阶上铺设地毯（如图），若台阶的宽为，地毯的价格为120元，则购买地毯需花费 元． 【答案】8160 【分析】本题主要考查了勾股定理的实际应用，先利用勾股定理求出台阶最上面和最下面的水平距离，再求出需要铺设的地毯面积即可得到答案． 【解答】解：由题意得，台阶最上面和最下面的水平距离为， ∴购买地毯需花费元， 故答案为：8160． 【变式16-2】（2023-2024八年级上·山东枣庄·月考）某会展中心在会展期间准备将高、长、宽的楼道铺上地毯，已知地毯每平方米30元，请你帮助计算一下，铺完这个楼道至少需要多少元？ 【答案】1020 【分析】地毯的长是楼梯的竖直部分与水平部分的和，即与的和，在直角中，根据勾股定理即可求得的长，地毯的长与宽的积就是面积，再乘地毯每平方米的单价即可求解． 【解答】解：由勾股定理得， 则地毯总长为， 则地毯的总面积为（平方米）， 所以铺完这个楼道至少需要（元）． 故答案为：1020． 【点评】本题考查了勾股定理的应用，正确理解地毯的长度的计算是解题的关键． 【变式16-3】（2024-2025八年级下·湖南长沙·期末）树人学校为防止雨天地滑，在一段楼梯台阶上铺上一块地毯，将楼梯台阶完全盖住．已知楼梯台阶侧面图如图所示，，，． (1)求的长； (2)若已知楼梯宽，每平方米地毯35元，需要花费多少钱地毯才能铺满所有台阶．（假设地毯在铺的过程中没有损耗） 【答案】(1)的长为 (2)需要花费686元地毯才能铺满所有台阶 【分析】本题考查了勾股定理的应用． （1）由勾股定理列式计算即可； （2）由长方形面积公式计算即可． 【解答】（1）解：∵，，， 在中，由勾股定理得：， 答：的长为； （2）解：地毯长为：， 已知楼梯宽，每平方米地毯35元， ∴地毯的面积为， ∴需要花费（元）， 答：需要花费686元地毯才能铺满所有台阶． 【题型17】其它应用问题 【例17】（2024-2025八年级上·山西运城·期末）如图是两个型号的圆柱型笔筒，粗细相同，高度分别是和，将一支铅笔按如图所示的方式先后放入两个笔筒，铅笔露在笔筒外面的部分分别为和，则铅笔的长为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理是解题的关键．由题意可知，两个笔筒粗细相同，底面直径相等．根据勾股定理，第一个笔筒中：直径平方；第二个笔筒中：直径平方；因直径相等，列方程即可求解． 【解答】解：设铅笔长度为， ， 解得，， 故铅笔的长为； 故选：C． 【变式17-1】（2024-2025八年级上·山东青岛·期末）如图，长方体的底面边长分别为和，高为．若一只蚂蚁从点P开始经过4个侧面爬行一圈到达点Q，则蚂蚁爬行的最短路径长为 【答案】 【分析】本题考查的是勾股定理的应用，先得到长方体侧面展开图，再利用勾股定理计算即可． 【解答】解：长方体侧面展开图如图所示． 由题意，得，． 在中，， ∴； 故答案为： 【变式17-2】（2024-2025八年级上·吉林长春·期末）如图，甲、乙两船同时从港出发，甲船的速度是15海里/时，航向是东北方向（射线方向），乙船比它每小时快5海里，航向是东南方向（射线方向），多少小时后两船相距100海里？ 【答案】4小时后两船相距100海里 【分析】本题主要考查了勾股定理的应用，解题的关键是熟练掌握勾股定理，在一个直角三角形中，两条直角边分别为a、b，斜边为c，那么．设小时后两船相距100海里，根据勾股定理得，解方程即可． 【解答】解：由题意，得，． 设小时后两船相距100海里， 根据题意得：， 解得：（舍去）或． 答：4小时后两船相距100海里． 【变式17-3】（2024-2025八年级上·四川宜宾·期末）如图，一条东西向的公路l旁有一所中学M，在中学M的大门前有两条长度均为200米的通道通往公路l旁的两个公交站点A、B，且A、B两站点相距320米． (1)现要在学校到公路l修一条新路，把A、B两个站点合为一个站点D（在公路l旁），使得学生从学校走到公路l的距离最短，求新路的距离； (2)为了行车安全，在公路l旁的点B和点C设置区间测速装置，其中点C在点B的东侧，且与中学M相距312米，公路l限速30千米/小时（约8.33米/秒）．一辆汽车经过区间用时16秒，试判断该车是否超速，并说明理由． 【答案】(1)新路长度是120米 (2)该车没有超速，理由见解析 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，勾股定理的应用，勾股定理表示了直角三角形三边长之间的数量关系：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方．当题目中出现直角三角形，且该直角三角形的一边为待求量时，常使用勾股定理进行求解． （1）根据垂线段最短可画出图形，根据三线合一可求出，然后利用勾股定理可求出新路长度； （2）先根据勾股定理求出的长，再求出的长，然后计算出速度判断即可． 【解答】（1）解：过点作，交于点D．即是新路． ， ， 在中，， 由勾股定理得， ， ， ∴新路长度是120米． （2）解：该车没有超速．理由如下： 在中，， 由勾股定理得， ， ， ， ∵该车经过区间用时16秒， ∴该车的速度为， ， ∴该车没有超速． 【特训01】拓展培优强化 1．（2024-2025八年级下·云南临沧·期末）如图，圆柱的底面周长为，高为，蚂蚁在圆柱侧面爬行，从点A爬到点B（点B在点A的正对面）的最短路程是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了最短路线问题及勾股定理，将立体图形转化成平面图形求解是解题的关键．将圆柱侧面展开图如图所示，由图形可知蚂蚁在圆柱侧面爬行，从点爬到点处，那么它爬行的最短路程即为的长，再由勾股定理求出即可． 【解答】解：圆柱侧面展开图如图所示， 圆柱高为，底面圆的周长为， ， 由图形可知，蚂蚁在圆柱侧面爬行，从点爬到点处，那么它爬行的最短路程为的长， 在中， ． 故选：B． 2．（2024-2025八年级上·陕西西安·期中）如图，在中，，，．若，分别是和上的动点，则的最小值是 ． 【答案】 【分析】本题考查了垂直平分线的判定与性质，勾股定理，等腰三角形的三线合一性质，垂线段最短，正确掌握相关性质内容是解题的关键．连接，由等腰三角形的三线合一可得出垂直平分，可得，，根据勾股定理可求得的长，过点作于点，交于点，当点在点处时，取最小值，且最小值为的长，在中，利用面积法可求出的长度，即可得解． 【解答】解：如图，连接， ，， 垂直平分， ，， ，， 两点之间线段最短，且垂线段最短， 当、、三点共线，且时，最小， 如图所示，过点作于点，交于点， 当点在点处，点在点处时，取最小值，且最小值为的长， ， ， 即的最小值为． 故答案为：． 3．（2024-2025八年级下·福建三明·期中）如图，在中，，，，是的中点，是边上一动点．将沿所在直线折叠得到．当是直角三角形时，的长为 ． 【答案】或 【分析】本题考查翻折变换，勾股定理；分两种情形：如图1，当时，如图2，当时，由直角三角形的性质分别求解即可． 【解答】解：如图1，当时， ， ， ，，共线， ，， ， 设，则， 在中，则有， 解得， ． 如图，当时，， ， ， ， ． 综上所述，满足条件的的值为或． 故答案为或． 4.（2024-2025八年级上·四川成都·期中）如图和是外两个等腰直角三角形，，下列说法正确的是： ． ①，且； ②； ③平分； ④取的中点，连，则． 【答案】①③④ 【分析】①由与是等腰直角三角形，，，可证，，且， ，即可退出； ②由，由勾股定理，， ，即可； ③过点作，，可证，由性质得，结合，，即可； ④取中点，使得，易证，推出，再证，推出，由，推出即可． 【解答】与是等腰直角三角形， ，，， ，在与中， ，， ， 设交于点， 由①可知且， ， ，即， 故①符合题意． ②， ，， ， 且，， ． 故②不符合题意． ③证明，过点作，， 由①可知，且，， 在与中， ，， ，且，， 平分，故③符合题意． ④作中点，倍长，使得， 在与中，， ，则， ，， ，， ，在与中， ，， ， ，， ，即， 故④符合题意． 故答案为：①③④． 【点评】本题考查等腰直角三角形的性质，三角形全等，两直线垂直，勾股定理知识，掌握等腰直角三角形的性质，三角形全等，两直线垂直，勾股定理知识是解题关键． 5．（2024-2025八年级下·湖北孝感·期中）如图，某沿海开放城市接到台风警报，在该市正南方向的处有一台风中心，沿方向以的速度向移动，已知城市到的距离． (1)台风中心经过多长时间从点移到点？ (2)如果在距台风中心的圆形区域内都将有受到台风破坏的危险，正在点休闲的游客在接到台风警报后的几小时内撤离才可脱离危险？ 【答案】(1) (2)游人在小时内撤离才可脱离危险 【分析】本题主要考查了勾股定理的应用，解题的关键是熟练掌握勾股定理，在一个直角三角形中，两条直角边分别为a、b，斜边为c，那么． （1）首先根据勾股定理计算的长，再根据时间路程速度进行计算即可； （2）根据在范围内都要受到影响，先求出从点到受影响的距离与结束影响的距离，再根据时间路程速度计算，然后求出时间段即可． 【解答】（1）解：，， 在中，根据勾股定理得： ， ， 则台风中心经过从移动到点； （2）解：如图， 距台风中心的圆形区域内都会受到不同程度的影响， 人们要在台风中心到达点之前撤离， ， 游人在内撤离才可脱离危险． 6．（2023-2024八年级上·四川内江·期末）著名的赵爽弦图（如图①，其中四个直角三角形较大的直角边长都为，较小的直角边长都为，斜边长都为），大正方形的面积可以表示为，也可以表示为，由此推导出重要的勾股定理：如果直角三角形两条直角边长为，斜边长为，则． 【结论探究】 （1）图②为美国第二十任总统伽菲尔德的“总统证法”，请你利用图②推导勾股定理； 【结论应用】 （2）如图③，在一条东西走向河流的一侧有一村庄，河边原有两个取水点，，由于某种原因，由到的路现在已经不通，该村为方便村民取水决定在河边新建一个取水点在同一条直线上），并新修一条路，且．测得千米，千米，求新路比原路少多少千米？ 【问题拓展】 （3）中，，垂足为，请求出的值． 【答案】（1）见解析；（2）千米；（3）8 【分析】本题考查了勾股定理的证明方法、勾股定理的应用等知识． （1）利用梯形的面积的两种表示方法即可证明； （2）设千米，在中，根据勾股定理得到，解得，即千米，即可得到答案； （3）在中，，在中，，则，则，解得：，利用勾股定理即可得出． 【解答】（1）解：梯形的面积为， 也可以表示为， ，即； （2）设千米， 千米， 在中，根据勾股定理得：， ， 解得，即千米， (千米)， 答：新路比原路少千米； （3）解：如图， 设， ， ，，，， 根据勾股定理： 在中，， 在中，， ， 即， 解得：， ， ． 7．（2023-2024八年级下·山东聊城·期中）【问题情境】 数学综合与实践活动课上，老师提出如下问题：一个三级台阶，它每一级的长、宽、高分别为20、3、2，和是一个台阶两个相对的端点． 【探究实践】 老师让同学们探究：如图①，若点处有一只蚂蚁要到点去吃可口的食物，那么蚂蚁沿着台阶爬到点的最短路程是多少？ （1）同学们经过思考得到如下解题方法：如图②，将三级台阶展开成平面图形，可得到长为20，宽为15的长方形，连接，经过计算得到长度为___________，就是最短路程． 【变式探究】 （2）如图③，是一只圆柱形玻璃杯，该玻璃杯的底面周长是，高是，若蚂蚁从点出发沿着玻璃杯的侧面到点，则蚂蚁爬行的最短距离为___________． 【拓展应用】 （3）如图④，圆柱形玻璃杯的高，底面周长为，在杯内壁离杯底的点处有一滴蜂蜜，此时，一只蚂蚁正好在外壁上，离杯上沿，且与蜂蜜相对的点处，则蚂蚁从外壁处到内壁处所爬行的最短路程是多少？（杯壁厚度不计）（画出示意图并进行计算） 【答案】（1）25；（2）；（3） 【分析】本题考查了平面展开图—最短路径问题，勾股定理，解答本题的关键是熟练运用数形结合的思想解决问题． （1）直接利用勾股定理进行求解即可； （2）将圆柱体展开，利用勾股定理求解即可； （3）从玻璃杯侧面展开，作关于的对称点，根据两点之间线段最短可知的长度即为所求，利用勾股定理求解即可． 【解答】解：（1）由题意得， 故答案为：； （2）将圆柱体展开，由题意得 ， 故答案为：； （3）如图， 从玻璃杯侧面展开，作关于的对称点，作交延长线于点，连接交于点， ，, ， ， ， 蚂蚁从外壁处到内壁处所爬行的最短路程是． 8．（2024-2025八年级下·江西上饶·月考）【综合与实践】 【问题情景】 （1）如图1，点为线段上一动点．分别过点，作，连接，．已知．设，用含的代数式表示的长； 【数学思考】 （2）如图.2．在某河道一侧有，两家工厂，它们到河道的距离，分别是．，两工厂之间的距离是．为了方便工厂用水，需要在河道上建立一个抽水点，且使得抽水点到两家工厂的距离之和最短．求的最小值； 【深入探究】 （3）请结合上述思路，求代数式的最小值． 【答案】（1）；（2）；（3）15 【分析】本题考查轴对称-最短路线问题，列代数式，勾股定理，能够构造出符合代数式的几何图形是解题的关键． （1）根据图1，利用勾股定理即可用含x的代数式表示的长； （2）作点关于河道的对称点，过点作，交的延长线于点，过点作于点，连接，则易得四边形，四边形和四边形都是长方形，且，，可得的最小值为的长，再求解即可； （3）构造类似图1的图形，结合（2）的思路，即可求出答案． 【解答】解：（1）， ， ， ， 在中，， 由勾股定理，得， 在中， 由勾股定理，得 ； （2）如图1，作点关于河道的对称点，过点作，交的延长线于点，过点作于点，连接，则易得四边形，四边形和四边形都是长方形，且， ， 的最小值为的长． ， ， ，， 在中，由勾股定理，得， ． 在中，由勾股定理，得， 的最小值为． （3）构造图形如图2所示，其中点为线段上一点，分别过点作，连接， 其中． 连接． ， 代数式的最小值为的长， 过点作，交的延长线于点， 易知， ， 在中，由勾股定理，得， 代数式的最小值为15． 【特训02】直通中考真题 1．（2025·安徽·中考真题）如图，在中，，，边的中点为D，边上的点E满足．若，则的长是（   ） A． B．6 C． D．3 【答案】B 【分析】本题主要考查了等腰三角形性质、含角的直角三角形性质及勾股定理，熟练掌握这些性质定理，通过设未知数，利用勾股定理建立方程求解是解题的关键．先根据等腰三角形性质求出的度数，再利用中点得到线段关系，最后在中，结合含角的直角三角形性质及勾股定理求出的长 ． 【解答】解：∵在中，，， ． 是中点， ∴设，则． ∵， 是直角三角形，且， ， ∵，则．在中，根据勾股定理， ∴， ， ， 解得（）． ， ． 故选：． 2．（2025·黑龙江·中考真题）如图，在中，，点、分别在边和上，且，，连接，点、分别是、的中点，连接，则的长度为（   ） A． B． C．2 D． 【答案】A 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，勾股定理，三角形中位线的性质，利用平行线+中点模型构造全等三角形，正确作出辅助线是解题的关键． 过点作，连接并延长交于点，连接，可证，可得，，再根据平行线的性质得，即得，最后根据三角形中位线的性质解答即可求解， 【解答】解：如图，过点作，连接并延长交于点，连接， ∴， ∵点是的中点， ∴， 又∵， ∴， ∴，， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∵，点是的中点， ∴是中位线， ∴， 故选：A． 3．（2024·浙江杭州·中考真题）“赵爽弦图”巧妙利用面积关系证明了勾股定理．如图所示的“赵爽弦图”是由四个全等直角三角形和中间的小正方形拼成的一个大正方形，设直角三角形的两条直角边长分别为、．若小正方形面积为3，且满足则大正方形面积为（   ） A．8 B．9 C．10 D．11 【答案】B 【分析】本题考查勾股定理的证明，由题意可知，中间小正方形的边长为，根据勾股定理以及题目给出的已知数据即可求出大正方形的面积为． 【解答】解：由题意可知，中间小正方形的边长为， ∴，即， ∵， ∴， 得， ∴大正方形的面积为：， 故选：B． 4．（2024·四川巴中·中考真题）“今有方池一丈，葭生其中央，出水一尺，引葭赴岸，适与岸齐．问：水深几何？”这是我国数学史上的“葭生池中”问题．即，，，则（   ） A．8 B．10 C．12 D．13 【答案】C 【分析】本题考查勾股定理的实际应用．设，则，由勾股定理列出方程进行求解即可． 【解答】解：设，则， 由题意，得：， 解得：，即， 故选：C． 5．（2023·四川泸州·中考真题）《九章算术》是中国古代重要的数学著作，该著作中给出了勾股数，，的计算公式：，，，其中，，是互质的奇数．下列四组勾股数中，不能由该勾股数计算公式直接得出的是（ ） A．3，4，5 B．5，12，13 C．6，8，10 D．7，24，25 【答案】C 【分析】首先证明出，得到a，b是直角三角形的直角边然后由，，是互质的奇数逐项求解即可． 【解答】∵， ∴． ∵， ∴． ∴a，b是直角三角形的直角边， ∵，是互质的奇数， ∴A．， ∴当，时，，，， ∴3，4，5能由该勾股数计算公式直接得出； B．， ∴当，时，，，， ∴5，12，13能由该勾股数计算公式直接得出； C．，， ∵，是互质的奇数， ∴6，8，10不能由该勾股数计算公式直接得出； D．， ∴当，时，，，， ∴7，24，25能由该勾股数计算公式直接得出． 故选：C． 【点评】本题考查了勾股数的应用，通过，，是互质的奇数这两个条件去求得符合题意的t的值是解决本题的关键． 6．（2025·江苏连云港·中考真题）如图，长为的梯子靠在墙上，梯子的底端离墙脚线的距离为，则梯子顶端的高度h为 m． 【答案】 【分析】本题考查了勾股定理，根据长为的梯子靠在墙上，梯子的底端离墙脚线的距离为，进行列式计算，即可作答． 【解答】解：∵长为的梯子靠在墙上，梯子的底端离墙脚线的距离为， ∴， 故答案为：． 7．（2025·江苏扬州·中考真题）清代扬州数学家罗士琳痴迷于勾股定理的研究，提出了推算勾股数的“罗士琳法则”．法则的提出，不仅简化了勾股数的生成过程，也体现了中国传统数学在数论领域的贡献．由此法则写出了下列几组勾股数：①3，4，5；②5，12，13；③7，24，25；④9，40，41；……根据上述规律，写出第⑤组勾股数为 ． 【答案】 【分析】本题考查勾股定理，数字类规律探究，观察可知，每组勾股数的第一个数字为奇数，后面两个数字为两个连续的整数，得到第⑤组勾股数的第1个数为11，设第2个数为，则第3个数为，根据勾股定理列出方程进行求解． 【解答】解：由题意，第⑤组勾股数的第1个数为11，设第2个数为，则第3个数为， 由勾股定理，得：， 解得：， ∴； ∴第⑤组勾股数为； 故答案为：． 8．（2024·吉林·中考真题）图①中有一首古算诗，根据诗中的描述可以计算出红莲所在位置的湖水深度，其示意图如图②，其中，于点C，尺，尺．设的长度为x尺，可列方程为 ． 【答案】 【分析】本题考查了勾股定理的实际应用，正确理解题意，运用勾股定理建立方程是解题的关键． 设的长度为x尺，则，在中，由勾股定理即可建立方程． 【解答】解：设的长度为x尺，则， ∵， 由勾股定理得：， ∴， 故答案为：． 9．（2024·湖南益阳·中考真题）如图，在中，，，的平分线交于D， 且，点E是边上的一动点，则的最小值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了角平分线性质定理，勾股定理，垂线段最短． 根据勾股定理求出，过D作于E，根据角平分线性质定理求出，代入求出即可． 【解答】解：在中，，，，由勾股定理得：， 过D作于E，则此时的值最小， ∵平分，， ∴． 故答案为：． 10．（2024·黑龙江牡丹江·中考真题）如图是矗立在高速公路边水平地面上的交通警示牌，经测量得到如下数据：米，米，，，则警示牌的 高约为 米．（结果精确到米，参考数据：，） 【答案】 【分析】本题考查了勾股定理的应用，含30度角的直角三角形的性质，解可得米，解可得，进而求得． 【解答】解：在中，，米， 米； 在中，米，， ∴ ∵ 米， 警示牌的高米． 故答案为：． 11．（2024·黑龙江大庆·中考真题）如图①，直角三角形的两个锐角分别是40°和50°，其三边上分别有一个正方形．执行下面的操作：由两个小正方形向外分别作锐角为40°和50°的直角三角形，再分别以所得到的直角三角形的直角边为边长作正方形．图②是1次操作后的图形．图③是重复上述步骤若干次后得到的图形，人们把它称为“毕达哥拉斯树”．若图①中的直角三角形斜边长为2，则10次操作后图形中所有正方形的面积和为 ． 【答案】48 【分析】本题主要考查了图形规律，直角三角形的性质、勾股定理、正方形的性质等知识．根据题意分别计算出图①、图②和图③的面积，得出规律即可求解． 【解答】解：图①中，∵， 根据勾股定理得，， ∴图①中所有正方形面积和为：， 图②中所有正方形面积和，即1次操作后的图形中所有正方形的面积和为： ， 图③中所有正方形面积和，即2次操作后的图形中所有正方形的面积和为： ， ⋯ ∴n次操作后的图形中所有正方形的面积和为， ∴10次操作后的图形中所有正方形的面积和为， 故答案为：48． 12．（2023·江苏无锡·中考真题）《九章算术》中提出了如下问题：今有户不知高、广，竿不知长短，横之不出四尺，从之不出二尺，邪之适出，问户高、广、邪各几何？这段话的意思是：今有门不知其高宽：有竿，不知其长短，横放，竿比门宽长出4尺：竖放，竿比门高长出2尺：斜放，竿与门对角线恰好相等．问门高、宽和对角线的长各是多少？则该问题中的门高 是 尺． 【答案】8 【分析】设门高尺，则竿长为尺，门的对角线长为尺，门宽为尺，根据勾股定理即可求解． 【解答】解：设门高尺，依题意，竿长为尺，门的对角线长为尺，门宽为尺， ∴， 解得：或（舍去）， 故答案为：． 【点评】本题考查了勾股定理，根据题意建立方程是解题的关键． 13．（2025·广东·中考真题）《九章算术》是世界上较早给出勾股数公式的著作，掌握确定勾股数组的方法对研究直角三角形具有重要意义．若直角三角形的三边长，，都是正整数，则，，为一组“勾股数”．下表中的每一组数都是勾股数． 3，4，5 7，24，25 11，60，61 15，112，113 19，180，181 4，3，5 8，15，17 12，35，37 16，63，65 20，21，29 5，12，13 9，12，15 13，84，85 17，144，145 21，28，35 6，8，10 10，___，26 14，48，50 18，80，82 22，120，122 (1)请补全上表中的勾股数． (2)根据上表中数据规律，用含字母（均为正整数）的代数式分别表示，，，使该组代数式能表示上表中所有的勾股数，并证明． (3)某校计划在一块绿地上种花，使之构成如图所示的图案，该图案是由四个全等的直角三角形组成．种花要求：仅在三角形边上种花，每个三角形顶点处都种一株花，各边上相邻两株花之间的距离均为．如果每个三角形最短边都种21株花，那么这块绿地最少需要种植多少株花？ 【答案】(1) (2)，，，其中、、都是正整数，，证明见解析 (3)280 【分析】（1）先由表中勾股数规律，令，，，由勾股数定义列方程求解即可得到答案； （2）由表中数据，分别用代数式表示出，，，再由整式混合运算求证即可得证明； （3）由于该图案是由四个全等的直角三角形组成，下面只需要解决其中一个直角三角形的种植情况即可，根据题意可知，最短边为20，另一个直角边为21，然后根据勾股定理求得斜边，即可得到答案． 【解答】（1）解：由表中勾股数的规律可知，令，，， 则由勾股数定义可知， 即， ， 解得或（舍去）； 故答案为：24． （2）解：由题意，，，，其中、、都是正整数，，证明过程如下： ，，， ， ， ， ， ； （3）解：由于该图案是由四个全等的直角三角形组成，下面只需要解决其中一个直角三角形的种植情况即可，如图所示： 设，即直角三角形中最短边为， 仅在三角形边上种花，三角形顶点处都种一株花，各边上相邻两株花之间的距离均为，三角形最短边种株花， ， 由题意可知，最小为， 那么 ， 那么这块绿地最少需要种植株花． 【点评】本题考查由勾股数涉及的数字规律问题，难度中等偏上，涉及勾股数定义、整式加减乘法混合运算、平方差公式等知识，观察分析所给表中勾股数，分类找准规律并灵活运算解决实际问题是关键． 14．（2024·陕西咸阳·中考真题）今年，第13号台风“贝碧嘉”9月16日登陆后的影响还在持续，第14号台风“普拉桑”和第15号台风“苏力”又于19日登陆．A市接到台风警报时，台风中心位于距离A市的B处（即），正以的速度沿直线方向移动． (1)已知A市到的距离，那么台风中心从B点移到D点经过多长时间？ (2)如果在距台风中心的圆形区域内都将受到台风影响，那么A市受到台风影响的时间是多长？ 【答案】(1)台风中心从B点移到D点需要6小时 (2)A市受台风影响的时间为小时 【分析】此题主要考查了勾股定理的应用，等腰三角形三线合一性质，根据题意熟练应用勾股定理是解题关键． （1）在中，根据勾股定理求出，台风的速度已知，即可得出台风中心从点移到点所经过长时间； （2）假设市从点开始受到台风的影响，到点结束，根据题意在图中画出图形，可知，市在台风从点到点均受影响，即得出两点的距离，便可求出市受台风影响的时间． 【解答】（1）解：由题意得，在中， ， ， （小时）， 即台风中心从点移到点需要6小时； （2）解：以为圆心，以为半径画弧，交于、， 则市在点开始受到影响，离开点恰好不受影响（如图）， 由题意，，在中， ， ，， ， ， （小时） 市受台风影响的时间为小时． 15．（2023·吉林·中考真题）图①、图②、图③均是的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，线段的端点均在格点上．在图①、图②、图③中以为边各画一个等腰三角形，使其依次为锐角三角形、直角三角形、钝角三角形，且所画三角形的顶点均在格点上．    【答案】见解析 【分析】根据勾股定理可得，结合题意与网格的特点分别作图即可求解． 【解答】解：如图所示，    如图①，，则是等腰三角形，且是锐角三角形， 如图②，，，则，则是等腰直角三角形， 如图③，，则是等腰三角形，且是钝角三角形， 【点评】本题考查了勾股定理与网格问题，等腰三角形的定义，熟练掌握勾股定理是解题的关键． 学科网（北京）股份有限公司 $