培优点02 极化恒等式与矩形大法（4大题型）（讲义）-2025-2026学年高一下学期数学新教材同步配套培优讲义与精练（人教A版必修第二册）

培优点02极化恒等式与矩形大法 目录 01 方法总结 2 02 题型归纳 4 题型一：利用极化恒等式求值 4 题型二：利用极化恒等式求范围与最值问题 4 题型三：利用中线向量转化求范围与最值问题 5 题型四：矩形大法的应用 6 03 过关测试 7 （1）平行四边形平行四边形对角线的平方和等于四边的平方和： 证明：不妨设，则， ① ② ①②两式相加得： （2）极化恒等式： 上面两式相减，得：————极化恒等式 ①平行四边形模式： 几何意义：向量的数量积可以表示为以这组向量为邻边的平行四边形的“和对角线”与“差对角线”平方差的． ②三角形模式：（M为BD的中点） A B C M （3）矩形大法 如图，在矩形中，若对角线和交于点，为平面内任意一点，则． 题型一：利用极化恒等式求值 【例1】已知圆与圆的半径分别为3和1，圆与圆外切沿着圆周滚动如图所示，是圆的任意直径，则（    ） A．1 B．4 C．9 D．15 【变式1-1】如图所示，已知中，点依次是边上的三个四等分点，若，则（   ） A． B． C． D． 【变式1-2】如图，在菱形ABCD中，，E，F分别为线段BC，CD的中点，则（    ） A． B．5 C． D．13 题型二：利用极化恒等式求范围与最值问题 【例2】如图，正六边形的边长为，半径为的圆的圆心为正六边形的中心，若点在正六边形的边上运动，动点、在圆上运动且关于圆心对称，则的最大值为（   ） A． B． C． D． 【变式2-1】已知正方形ABCD的边长为2，MN是它的内切圆的一条弦，点P为正方形四条边上的动点，当弦MN的长度最大时，的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式2-2】如图，正六边形的边长为 ，半径为 1 的圆 的圆心为正六边形的中心，若点 在正六边形的边上运动，动点 在圆 上运动且关于圆心 对称，则 的最大值为（     ）    A．1 B．2 C．3 D．4 题型三：利用中线向量转化求范围与最值问题 【例3】已知是边长为2的等边三角形，为平面内一点，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 【变式3-1】设是所在平面内的一点，若，则的最小值为________． 【变式3-2】勒洛三角形是一种典型的定宽曲线，以等边三角形每个顶点为圆心，以边长为半径，在另两个顶点间作一段圆弧，三段圆弧围成的曲边三角形就是勒洛三角形；在如图所示的勒洛三角形中，已知，P为弧AC（含端点）上的一点，则的范围为（   ） A． B． C． D． 题型四：矩形大法的应用 【例4】已知圆的圆心为（0,0），半径为3，圆的圆心为（0,0），半径为6，定点，A、B分别在圆和圆上，满足，则线段AB的取值范围是 ． 【变式4-1】在平面内，已知，，，若，则的取值范围是（ ） A． B． C． D． 1．已知圆与圆的半径分别为3和1，圆与圆内切沿着圆周滚动如图所示，是圆的任意直径，则（    ）    A．1 B．3 C．5 D．8 2．已知正方形的边长为是它的外接圆的一条弦，点为正方形四条边上的动点，当弦的长度最大时，的取值范围是（    ） A． B． C． D． 3．勒洛三角形是一种典型的定宽曲线，以等边三角形每个顶点为圆心，以边长为半径，在另两个顶点间作一段圆弧，三段圆弧围成的曲边三角形就是勒洛三角形.在如图所示的勒洛三角形中，已知，为弧（含端点）上的一点，则的范围为（    ） A． B． C． D． 4．如图直角梯形ABCD中，EF是CD边上长为6 的可移动的线段，，， ，则的取值范围为 ________________ .   5．边长为的正方形内有一内切圆，是内切圆的一条弦，点为正方形四条边上的动点，当弦的长度最大时，的取值范围是_________. 6．已知，平面上动点满足对任意恒成立，则的最小值为_________. 7．已知在中，，若的最小值是2，则对于内一点的最小值是______． 8．已知中，，，的最小值为，若为边上任意一点，为边的中点，则的最小值是__________. 9．如图，半径为2的圆上的点到直线的最小距离恰好也是2，是圆的任意一直径，是上动点，则的最小值为_____. 10．如图，在梯形中，，，是边所在直线上的动点，若该梯形的面积为，则的最小值为______． 11．已知是面积为的等边三角形，且 其中实数满足 ，则的最小值为__________. 12．已知正三角形的边长为2，动点满足，则的最小值为________． 13．如图，已知正方形的边长为2，过中心的直线与两边，分别交于点，，若是的中点，则的取值范围是______；若是平面内一点，且满足，则的最小值是______. 14．在中，，，，P，Q是平面上的动点，，M是边BC上的一点，则的最小值为______． 15．如图所示，正方形的边长为，正方形边长为1，则的值为__________.若在线段上有一个动点，则的最小值为_________. 16．勒洛三角形是一种典型的定宽曲线，以等边三角形每个顶点为圆心，以边长为半径，在另两个顶点间作一段圆弧，三段圆弧围成的曲边三角形就是勒洛三角形．在如图所示的勒洛三角形中，已知为弧（含端点）上的一点，则的范围为______． 17．摩天轮是一种大型转轮状的机械建筑设施，游客坐在摩天轮的座舱里慢慢地往上转，可以在高处俯瞰四周景色．如图，某摩天轮的最高点距离地面的高度为12，转盘的直径为10，A，B为摩天轮在地面上的两个底座，，点P为摩天轮的座舱，则的范围为______． 28/40 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $培优点02极化恒等式与矩形大法 目录 01方法总结 02题型归纳 4 题型一：利用极化恒等式求值 题型二：利用极化恒等式求范围与最值问题 题型三：利用中线向量转化求范围与最值问题 7 题型四：矩形大法的应用 03过关测试… 11 1/21 01 方法总结 (1)平行四边形平行四边形对角线的平方和等于四边的平方和： D la+BP+la-BP=2(aP+|BP) 证明：不妨设AB=a,AD=i,则AC=a+b,DB=a-b Ac=Ac2=(a+°=a+2a.i+① DB=DB=(a-=-2a-b+② ①②两式相加得： Ac+D=2+）=2a+） (2)极化恒等式： 上面两式相减，得：(a+列-（位-门 极化恒等式 ①平行四边形模式：a-万=[4C-D门 几何意义：向量的数量积可以表示为以这组向量为邻边的平行四边形的“和对角线”与“差对角线”平方差的 1 ②三角形模式：a-i=AM-DBM为BD的中点) M (3)矩形大法 如图，在矩形ABCD中，若对角线AC和BD交于点O,P为平面内任意一点，则 PA2+PC2=PB2+PD2. 2/21 IZ/E d 02 题型归纳 题型一：利用极化恒等式求值 【例1】己知圆M与圆N的半径分别为3和1，圆M与圆N外切沿着圆周滚动如图所示，AB是圆N的任 意直径，则MA.MB=() A.1 B.4 C.9 D.15 【答案】D 【解析】MA-MB=(MN+NA·MN+NB） MN'+NA.MN NB.MN NA N B =MN2+(NA+NB·M+NA.NB =MN2-N☑ =(3+1)2-12=15 故选：D 【变式1-1】如图所示，已知ABC中，点P,O,R依次是边BC上的三个四等分点，若 AP.AR=20,BC=8,AB.AC=() B P A.6 B.8 C.10 D.12 【答案】B 【解析】：Ap.AR=(A0+QP(A0+QR)=(A0+QP(A0-QP) =0-0-20a0-24,又0为8c中点，08-Q5-(8=16, 4/21 .AB.AC=(A0+QBA0+QC)=40°-QB=24-16=8 故选：B 【变式1-2】如图，在菱形ABCD中，AB=2,∠DAB=60°，E,F分别为线段BC,CD的中点，则 AE·AF=() D 5 A.2 B.5 C.3 D.13 【答案】C 【解折】由题可知，F=而+示=0+号孤， AE=4B+BE=4B+I AD, 所以征不传丽而列（压号0列号西+孤而+号而+2x2×分*-号 2 4 2 故选：C 题型二：利用极化恒等式求范围与最值问题 【例2】如图，正六边形的边长为2√，半径为1的圆0的圆心为正六边形的中心，若点M在正六边形的 边上运动，动点A、B在圆O上运动且关于圆心O对称，则MA.MB的最大值为() 4 M A.9 B.10 C.11 D.12 【答案】C 【解析】如下图所示，连接OE、OF、AB、OM,则O为AB的中点， 则∠EOF=60°，且OE=0F,故△E0F是边长为2√5的等边三角形， 5/21 y B E M 易知OA=1,则MA.MB=(M0+0A(Mo+0B=(Mo+0A(M0-0A =|MO-OA=|Mo-1≤oE-1=12-1=11, 当且仅当M与正六边形的顶点重合时，MA.MB取最大值11. 故选：C 【变式2-1】已知正方形ABCD的边长为2，MN是它的内切圆的一条弦，点P为正方形四条边上的动点， 当弦MN的长度最大时，PMPN的取值范围是() A.[0,刂 B.[0,v2 C.[1,2] D.[-1, 【答案】A 【解析】设正方形的内切圆圆心为O,如图所示： 考虑P是线段AB上的任意一点，PM=PO+OM,PN=PO+ON=PO-OM, 圆0的半径长为1，由于P是线段AB上的任意一点，则P可∈[1，V2], 所以PM.pN=(Po+OM)(Po-OM)=Po-oM2=Po-1∈0,1 故选：A 【变式2-2】如图，正六边形的边长为√5，半径为1的圆0的圆心为正六边形的中心，若点M在正六 边形的边上运动，动点A,B在圆O上运动且关于圆心O对称，则MAMB的最大值为() B M 6/21 A.1 B.2 C.3 D.4 【答案】B 【解析】连接OE、OF、AB、OM,则O为AB的中点， 由正六边形性质得∠EOF=60°，OE=OF=EF=V3,而1OA=1, E 因此MA·MB=(M0+OA)(M0+OB)=(M0+OA)·(M0-OA) =M02-0AP=M02-1≤0E2-1=3-1=2, 当且仅当M与正六边形的顶点重合时，MA.MB取最大值2 故选：B 题型三：利用中线向量转化求范围与最值问题 【例3】已知ABC是边长为2的等边三角形，P为平面ABC内一点，则PAPB+PC的最小值为() 3 A.-2 B. D.-1 2 【答案】B 【解析】PB+PC=2PD(D为BC的中点)， 则PA:(PB+PC=2PA.PD,要使PAPD最小， 则PA,PD的方向相反，即点P在线段AD上， 则(2PA-PD列=-2PPD,即求PAPD的最大值， 因为P+P阿-丽列=2x-5, 网网网 7/21 当且仅当PA=PD,即P是AD的中点时，取等号. 故mml=-2子号 故选：B. 【变式31】设P是ABC所在平面内的一点，若2AP-BP-CP=2,则PAPB+PAPC的最小值为 【答案】 2 【解析】 2AP-BP-CP-24P+PB+PC-AP+PB+AP+PC-AB+AC-2 如图所示设BC中点为D,则AB+AC=2AD=2, 所以AD=1: 设AD中点为O, PA.PB+PA.PC PA.(PB+PC)=2PA-PD=2(P0+04PO+OD =2m+网列o-0网列=2m-号 当且仅当P可=0，即点P与点0重合时，P所，P丽+PA.PC有最小值号 故答案为：习 【变式3-2】勒洛三角形是一种典型的定宽曲线，以等边三角形每个顶点为圆心，以边长为半径，在另两 个顶点间作一段圆弧，三段圆弧围成的曲边三角形就是勒洛三角形；在如图所示的勒洛三角形中，已知 AB=4,P为弧AC(含端点)上的一点，则PB·(BC-BP)的范围为() 8/21 A.[0,8] B.[1,8 c.[0,45] D.[0,9 【答案】A 【解析】取BC中点为0，连接PO,显然1P0e[2,2V3], 0 所以PB.(BC-BP)=PB.PC=(PO+OB)(P0+OC)=(P0+OB)·(PO-0B) =P62-0B=P6-4e[0,8] 故选：A 题型四：矩形大法的应用 【例4】已知圆C,的圆心为(0,0)，半径为3，圆C,的圆心为(0,0)，半径为6，定点P(2,0),A、B 分别在圆C和圆C,上，满足PA⊥PB,则线段AB的取值范围是· 【答案】[V41-2,V41+2] 【解析】以PA,PB为邻边作矩形PAQB,则AB曰PQ 8 由0P2+0Q2=0A2+|0B2得 00P+4=9+36,即0Q=V41, Q的轨迹是以0为圆心，半径为√41的圆， 1PM=√41-2，PN=√4I+2, 9/21 AB=PQe[V41-2,V41+2]. 【变式41】在平面内，已知瓜1A瓜，0丽=0B,=1,P=瓜+瓜，若1oPk),则 OA的取值范围是() 【答案】D 【解析】因为AP=AB+AB2, 所以四边形AB,PB,是平行四边形， 又AB,⊥AB,,所以四边形AB,PB,是矩形， 从O1+o丽=0BP+1O8=2.因为1OK所以}OaPs2.即 4 9is5 10/21