第23章 四边形（知识清单，4知识3易错4重难）数学新教材沪教版五四制八年级下册

第23章 四边形 23.1 多边形 1. 定义：平面内，由不在同一直线上的线段首尾顺次联结组成的封闭图形。 2. 内角和：n边形内角和=(n-2)×180°。 3. 外角和：任意多边形外角和=360°。 4. 对角线条数：n边形对角线条数= 。 5. 正多边形：各边相等、各角相等的多边形。 23.2 平行四边形 1. 定义：两组对边分别平行的四边形。 2. 性质：边→对边平行且相等；角→对角相等，邻角互补；对角线→互相平分；对称性→中心对称图形，对称中心是对角线交点。 3. 判定：两组对边分别平行；两组对边分别相等；一组对边平行且相等；两组对角分别相等；对角线互相平分。 4. 面积：S=底×高。 23.3 矩形、菱形、正方形 （1）矩形：1. 定义→有一个角是直角的平行四边形；2. 性质→角：四个角都是直角；对角线：互相平分且相等；对称性：轴对称（2条）+中心对称；推论：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半；3. 判定→有一个角是直角的平行四边形；对角线相等的平行四边形；有三个角是直角的四边形。 （2）菱形：1. 定义→有一组邻边相等的平行四边形；2. 性质→边：四条边都相等；对角线：互相垂直平分，平分一组对角；对称性：轴对称（2条）+中心对称；面积：S=×对角线乘积；3. 判定→一组邻边相等的平行四边形；四条边相等的四边形；对角线互相垂直的平行四边形。 （3）正方形：1. 定义→有一组邻边相等且有一个角是直角的平行四边形；2. 性质→兼具矩形与菱形所有性质，轴对称（4条）；3. 判定→既是矩形又是菱形的四边形。 23.4 三角形中位线与重心 1. 中位线：连接三角形两边中点的线段；2. 定理→平行于第三边，等于第三边的一半；3. 重心：三条中线的交点，到顶点距离是到对边中点距离的2倍。 梯形 1. 定义：一组对边平行，另一组对边不平行的四边形；2. 等腰梯形→两腰相等，同一底上的角相等，对角线相等。 易错点1：概念混淆 平行四边形≠轴对称图形（仅特殊的矩形、菱形、正方形是）。 矩形 / 菱形判定：必须先证是平行四边形，再添特殊条件（直角 / 邻边相等），不可直接用 “三个直角”“四边相等” 判定为矩形 / 菱形（需先证四边形）。 正方形判定：仅 “四边相等 + 四角直角” 不够，需明确是平行四边形基础上的特殊化。 1．（2025·上海虹口·二模）已知四边形是平行四边形，对角线相交于点O，下列条件中，不能判定四边形是矩形的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：四边形是平行四边形， 添加，根据对角线相等的平行四边形是矩形， 可判定四边形是矩形，故A不符合； 添加，可得， 根据对角线相等的平行四边形是矩形， 可判定四边形是矩形，故B不符合； 添加，可得出四边形是菱形， 不能判定四边形是矩形，故C符合； ∵四边形是平行四边形， ∴， 添加，可得出， 根据一个角是直角的平行四边形是矩形， 可判定四边形是矩形，故D不符合， 故选：C． 2．（24-25八年级下·上海·月考）在四边形中，对角线和相交于点O，，添加下列条件后能判定这个四边形是平行四边形的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：如图： A、∵，， ∴不能判定四边形是平行四边形；故该选项是错误的； B、∵，， ∴不能判定四边形是平行四边形；故该选项是错误的； C、∵，，， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形；故该选项是正确的； D、∵，， ∴不能判定四边形是平行四边形；故该选项是错误的； 故选：C． 3．（24-25八年级下·上海·期中）菱形的对角线、相交于，下列条件能判断菱形是正方形的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：A、，则，此时并不能证明菱形是正方形，不符合题意； B、，可得，此时并不能证明菱形是正方形，不符合题意； C、，本身是菱形具有的性质，此时并不能证明菱形是正方形，不符合题意； D、，由菱形的性质可得，则，则，能证明菱形是正方形，符合题意； 故选：D． 4．（24-25八年级下·上海黄浦·期末）已知四边形中，对角线与相交于点O，，，再添加一个条件使四边形是菱形，添加条件不正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：如图： ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴垂直平分， ∴，， A、∵， ∴， ∴四边形是菱形，故不符合题意； B、∵， ∴， ∴， ∴， ∴四边形是菱形，故不符合题意； C、∵，， ∴四边形为平行四边形， ∵， ∴四边形是菱形，故不符合题意； D、添加不能说明四边形是菱形，故符合题意； 故选：D． 易错点2：公式误用 多边形内角和：漏乘 (n-2)，误记为 n×180°。 对角线条数：漏除以 2，误记为 n (n-3)。 菱形面积：仅记住 “底 × 高”，忽略 “对角线乘积 ÷2” 的便捷公式。 5．（24-25八年级下·上海杨浦·期中）如果一个边形的内角和为，那么的值是（    ） A．7 B．8 C．9 D．10 【答案】C 【详解】解：∵一个边形的内角和是， ∴， 解得， 故选：C． 6．（24-25八年级下·上海·期中）从一个九边形的一个顶点出发的对角线把这个九边形分割成的三角形个数是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：从一个九边形的一个顶点出发的对角线把这个九边形分割成的三角形个数为个， 故选：． 7．（24-25八年级下·上海闵行·期中）如果一个多边形的边数增加1，那么它的内角和将增加（   ）． A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：设原多边形的边数为n，则边数变化后的多边形边数为， ∴原来多边形的内角和为，变化后的多边形内角和为， ∵， ∴内角和将增加， 故选：C． 8．（23-24八年级下·上海宝山·期中）在一个凸多边形中，它的内角中最多有个锐角，则为（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】B 【详解】解： 任意凸多边形的外角和是， 外角中最多有3个钝角，则内角中，最多有3个锐角． 故选：B． 9．（23-24八年级下·上海闵行·期中）如果一个多边形的边数由4增加到n（n为整数，且），那么它的外角和的度数（    ） A．不变 B．增加 C．减少 D．不能确定 【答案】A 【详解】解：因为多边形外角和为，所以外角和的度数是不变的． 故选：A． 10．（23-24八年级下·上海宝山·期末）已知菱形的边长是8，一个内角是，那么这个菱形的面积是（    ） A．64 B．32 C． D． 【答案】D 【详解】解：连接，过点A作交于点E，如图， ∵菱形的边长是8，一个内角是， ∴是等边三角形， ∴， 由勾股定理可得，， ∴菱形的面积是． 故选：D． 11．（24-25八年级下·上海·月考）面积为S的菱形一条对角线是另一条的2倍，则其边长为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：如图，在菱形中，对角线交于点O，且， ∴， ∴， ∴（负值舍去）， ∴， ∵四边形是菱形， ∴， ∴， 即菱形的边长为． 故选：A． 12．（24-25八年级下·上海·月考）已知菱形的周长为，对角线之和为8，则菱形的面积为_____． 【答案】4 【详解】解：如图，四边形是菱形，对角线与相交于点， ∵菱形的周长为， ∴菱形的边长为， ∵对角线的和为8， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 故答案为：4． 13．（24-25八年级下·上海徐汇·月考）若菱形周长为，两对角线之和为，则菱形面积为______． 【答案】11 【详解】解：∵菱形周长为， ∴菱形的边长为， 如图所示，菱形的对角线交于点O，则， ∵两对角线之和为， ∴， ∴， 设， ∴， 在中，由勾股定理得， ∴， ∴， ∴， 故答案为：11． 14．（24-25八年级下·上海·月考）已知菱形一组对角的和为，较短的一条对角线的长度为4，那么这个菱形的面积为___________． 【答案】 【详解】解：由题意得，，， ∵四边形是菱形， ∴，，，，， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∴， ∴， ∴． 故答案为：． 15．（24-25八年级下·上海·期中）菱形的边长为，两条对角线之比为，则菱形一边上的高的长度为_____． 【答案】 【详解】解：如图：菱形中，， 令，则， ∴，， ∵为菱形，边长为， ∴，， ∴在中，， ∴， 解得或（负值舍去）， ∴，， 设菱形一边上的高的长度为， ∴菱形的面积， ∴， 解得， 即菱形一边上的高的长度为， 故答案为：． 易错点3：性质 / 判定逆用错误 错误：“对角线互相垂直的四边形是菱形”→ 正确：对角线互相垂直的平行四边形是菱形。 错误：“对角线相等的四边形是矩形”→ 正确：对角线相等的平行四边形是矩形。 16．（24-25八年级下·上海金山·期末）在四边形中，点、、、分别是各边的中点，四边形是正方形，下列选项中正确的是（   ） A．四边形一定是矩形 B．四边形一定是正方形 C．四边形的对角线相等且垂直 D．四边形有一组邻边相等且有一个内角是直角 【答案】C 【详解】中点四边形性质：四边形各边中点连线形成的四边形（中点四边形）的边平行于原四边形的对角线，且长度为对角线的一半． 正方形条件：若中点四边形为正方形，则其四条边相等且互相垂直． 边相等：原四边形的两条对角线长度相等（若中点四边形边长为原对角线的一半，则对角线相等）． 边垂直：原四边形的对角线互相垂直（若中点四边形邻边垂直，则原对角线垂直）． A、B错误，原四边形不一定是矩形或正方形，只需满足对角线相等且垂直即可； C正确：对角线相等且垂直是原四边形满足中点四边形为正方形的充要条件； D错误：原四边形可能无邻边相等或直角，仅需对角线满足条件． 17．下列说法正确的是（   ） A．有一个角是直角，两条对角线相等的四边形是矩形 B．一组对边平行且有一个角是直角的四边形是矩形 C．对角线互相垂直的平行四边形是矩形 D．有一个角是直角且对角线互相平分的四边形是矩形 【答案】D 【详解】解：A、有一个角是直角且对角线相等的四边形不一定是矩形，该选项说法错误，不符合题意； B、一组对边平行且有一个角是直角的四边形不一定是矩形（如直角梯形），该选项说法错误，不符合题意； C、对角线互相垂直的平行四边形是菱形，不是矩形，该选项说法错误，不符合题意； D、对角线互相平分的四边形是平行四边形，有一个角是直角的平行四边形是矩形，该选项说法正确，符合题意； 故选：D． 18．下列命题错误的是（   ） A．平行四边形的对角相等 B．对角线互相垂直的四边形是菱形 C．两条对角线相等的平行四边形是矩形 D．正方形的对角线相等 【答案】B 【详解】解：A、平行四边形的对角相等，所以A选项的说法正确； B、对角线互相垂直且平分的四边形是菱形，所以B选项的说法错误； C、两条对角线相等的平行四边形是矩形，所以C选项的说法正确； D、正方形的对角线相等且互相垂直平分，所以D选项的说法正确． 故选：B． 19．（24-25八年级下·上海闵行·月考）下列命题中，假命题的是（   ） A．平行四边形的对角线互相平分 B．对角线垂直的平行四边形是菱形 C．矩形的对角线互相平分且相等 D．对角线相等的平行四边形是正方形 【答案】D 【详解】解；A、平行四边形的对角线互相平分，根据平行四边形的性质定理，是真命题，故此选项不符合题意； B、对角线互相垂直的平行四边形是菱形，根据菱形的判定定理，是真命题，故此选项不符合题意； C、矩形的对角线互相平分且相等，根据矩形的性质定理，是真命题，故此选项不符合题意； D、对角线相等的平行四边形是矩形，不一定是正方形，是假命题，故此选项符合题意； 故选：D． 20．（24-25八年级下·上海·月考）下列事件中，是确定事件的个数是（   ） （1）一组对边平行，一组对边相等的四边形是平行四边形； （2）对角线相等的平行四边形是矩形； （3）有一条对角线平分一组对角的平行四边形是菱形； （4）对角线互相垂直且相等的四边形是正方形． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【详解】解：（1）不是确定事件，不符合题意，一组对边平行且相等才是平行四边形，仅一组对边平行且另一组对边相等可能是等腰梯形，不一定是平行四边形； （2）是确定事件，符合题意，平行四边形的对角线互相平分，若对角线相等，则符合矩形的判定定理，故该命题成立； （3）是确定事件，符合题意，平行四边形的对角线平分一组对角时，邻边相等，四条边均相等，故为菱形； （4）不是确定事件，不符合题意，对角线互相垂直且相等的四边形不一定是正方形，若其不是平行四边形（如对角线不互相平分），则无法保证是正方形； 综上，是确定事件的有（2）和（3），共2个， 故选：B； 21．（24-25八年级下·上海闵行·月考）下列说法中正确的是（ ） A．对角线相等的四边形是矩形 B．对角线互相垂直的矩形是正方形 C．顺次联结矩形各边中点所得四边形是正方形 D．平行四边形是轴对称图形 【答案】B 【详解】解：A． 对角线相等的四边形不一定是矩形，例如等腰梯形对角线相等但非矩形．矩形的定义需满足平行四边形且对角线相等，故A错误． B． 矩形若对角线互相垂直，则其四边相等且四个角为直角，符合正方形的定义，故B正确． C． 顺次连接矩形各边中点，所得四边形各边平行于原矩形对角线且长度为对角线的一半．因矩形对角线相等，故中点四边形四边相等，为菱形而非正方形，故C错误． D． 平行四边形一般不是轴对称图形（除特殊情形如矩形、菱形），故D错误． 故选：B． 22．（24-25八年级下·上海崇明·期末）下列命题，其中是假命题的是（　　） A．对角线相等的菱形是正方形 B．对角线互相垂直平分的四边形是菱形 C．有一个角是直角且对角线互相平分的四边形是矩形 D．一组对角相等且一组对边相等的四边形是平行四边形 【答案】D 【详解】此题考查了命题的真假，正方形、菱形、矩形和平行四边形的判定定理，根据正方形、菱形、矩形和平行四边形的判定定理逐一分析各选项的正确性，找出假命题． 【分析】解:A．对角线相等的菱形是正方形．菱形对角线互相垂直，若对角线相等，则满足正方形的条件（既是菱形又是矩形），故A为真命题． B．对角线互相垂直平分的四边形是菱形．根据菱形判定定理，对角线垂直平分的四边形四边相等，故B为真命题． C．有一个角是直角且对角线互相平分的四边形是矩形．对角线互相平分的四边形是平行四边形，若有一个直角，则此平行四边形为矩形，故C为真命题． D．一组对角相等且一组对边相等的四边形不一定是平行四边形．例如，存在满足这两个条件但另一组对边不平行的四边形（如构造反例），故D为假命题． 故选：D． 23．（24-25八年级下·上海徐汇·期末）下列命题中，不正确的是（   ） A．对角线互相垂直的平行四边形是菱形 B．对角线相等的平行四边形是矩形； C．对角线相等的矩形是正方形 D．对角线相等的菱形是正方形． 【答案】C 【详解】解：A． 对角线互相垂直的平行四边形是菱形．平行四边形的对角线互相平分，若对角线还互相垂直，则符合菱形的判定定理，故A正确． B． 对角线相等的平行四边形是矩形．平行四边形的对角线相等时，四个角均为直角，符合矩形的定义，故B正确． C． 对角线相等的矩形是正方形．矩形的对角线本身相等，但正方形还需满足邻边相等或对角线垂直．仅对角线相等无法直接判定为正方形，故C错误． D． 对角线相等的菱形是正方形．菱形的对角线互相垂直，若再满足相等，则符合正方形的对角线特性（相等且垂直），故D正确． 故选C． 24．（2025·上海静安·二模）下列命题中，真命题是（    ） A．对角线相等的四边形是平行四边形 B．对角线互相垂直的四边形是矩形 C．对角线互相垂直平分的四边形是菱形 D．对角线平分一组对角的平行四边形是正方形 【答案】C 【详解】解：A、对角线相等的平行四边形是矩形或等腰梯形，故该命题为假命题，不符合题意； B、对角线互相垂直的四边形可以是正方形、菱形、以及一般四边形，故该命题为假命题，不符合题意； C、对角线互相垂直平分的四边形是菱形，故为真命题，符合题意； D、对角线平分一组对角的平行四边形是菱形，故该命题为假命题，不符合题意． 故选：C． 题型一：平行四边形判定 已知对边平行：用定义或 “一组对边平行且相等”。 已知对边相等：用 “两组对边分别相等”。 已知对角线条件：用 “对角线互相平分”。 已知角的关系：用 “两组对角分别相等”。 1．（24-25八年级下·上海松江·期中）已知，点为对角线的中点，过点分别作直线，，直线交边、于点、，直线交边、于点、．求证：四边形为平行四边形． 【详解】∵，点为对角线的中点， ∴， ∴ 又∵ ∴ ∴ ∴同理可证， ∴ ∴四边形为平行四边形． 2．（2024八年级下·上海·专题练习）如图，已知在的边上取一点，使，边上取一点，使．连接、． 求证：四边形是平行四边形． 【详解】证明：四边形是平行四边形， ，，， ，， ， ， ， 四边形是平行四边形． 3．（24-25八年级下·上海·月考）如图，将的边延长至点E，使，连接，F是边的中点，联结． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)若，，，求的面积． 【详解】（1）证明：∵四边形是平行四边形， ∴，且， ∵F是的中点，点E在的延长线上， ∴，， ∵， ∴， ∴四边形是平行四边形． （2）解：作于点H，则， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵，且，， ∴， 解得或（不符合题意，舍去）， ∴， ∴， ∴的面积是． 4．（2024八年级下·上海·专题练习）已知：如图，在中，点是的中点，连接并延长交的延长线于点． (1)求证：； (2)求证：四边形是平行四边形． 【详解】（1）证明：四边形是平行四边形， ，即， ， 点是的中点， ， 在和中， ， ； （2）解：由（1）得：， ， 又， 四边形是平行四边形． 5．（23-24八年级下·上海青浦·期中）已知：如图，在四边形中，，对角线、相交于点，在边的延长线上，且，． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)连接，求证：． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形； （2）证明：四边形是平行四边形， ， ， ， ，， ， ， ． 6．（24-25八年级下·上海浦东新·月考）如图，在中，，相交于点，，分别是，的中点． (1)求证：四边形为平行四边形； (2)当线段与满足怎样的关系时，四边形是矩形？请直接写出合适的关系，不需要说明理由． 【详解】（1）证明：∵四边形是平行四边形， ∴，， ∵，分别是，的中点， ∴，， ∴， ∴四边形为平行四边形； （2）解：当时，四边形是矩形，理由： ∵，分别是，的中点， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴四边形是矩形． 题型二：特殊平行四边形性质综合 矩形：常结合直角三角形斜边中线、勾股定理求边长 / 对角线。 菱形：常结合对角线垂直、勾股定理求边长 / 面积；对角线平分对角，可证角相等。 正方形：兼具矩形、菱形性质，是全等三角形、等腰直角三角形的高频载体。 7．（24-25八年级下·上海浦东新·期末）已知：如图，平行四边形中，点E在边上，点F在线段延长线上，且，平分，求证：四边形为菱形． 【详解】证明：∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， 在与中， ， ∴， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∴四边形为菱形． 8．（24-25八年级下·上海·月考）已知：如图，在正方形中，点.分别在边.上，且．对角线分别交于点，联结．求证：四边形是菱形； 【详解】证明：连接交于点，如图所示： 四边形是正方形， ，，，，，， 在和中， ， ， ， 在和中， ， ， ， ， ， 又，， 四边形是菱形． 9．（24-25八年级下·上海宝山·月考）如图，在四边形中，，点在边上，点在边的延长线上，四边形的对角线分别交、于点、，且，平分． (1)求证：四边形是菱形； (2)如果，，求证：四边形为矩形． 【详解】（1）证明：∵， ∴， 又， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∵平分， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴四边形是菱形； （2）证明：∵四边形是菱形； ∴， ∵， ∴， 又， ∴四边形是平行四边形， ∵四边形是菱形； ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 即， ∴四边形是矩形． 10．（24-25八年级下·上海·期中）如图，平行四边形中，为对角线上任一点． (1)连接、，若，求证：四边形是菱形； (2)若在上，连接、，若，，判断四边形的形状并证明． 【详解】（1）证明：分别过点和作的垂线，垂足分别为和，连接交于点， ∵平行四边形， ∴，， ∴， ∴， 在和中， ∵，， ∴， ∴， ∴点、点和点重合，即于点， ∵四边形是平行四边形， ∴四边形是菱形； （2）解：四边形是矩形，理由如下： ∵平行四边形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∵平行四边形， ∴四边形是矩形． 11．（24-25八年级下·上海·期中）如图，在中，点分别为的中点，是对角线，交的延长线于． (1)求证：； (2)若四边形是菱形，则四边形是什么特殊四边形？并证明你的结论． 【详解】（1）∵在中， ∴， ∵E、F分别为边的中点 ∴， ∴ ∴四边形是平行四边形 ∴； （2）矩形，理由如下： ∵在中， ∴ ∵， ∴四边形是平行四边形 如图所示，连接 ∵E为边的中点 ∴点E在上 ∵四边形是菱形 ∴ ∵， ∴ ∴平行四边形是矩形． 12．（24-25八年级下·上海杨浦·期末）已知：如图，矩形中，，将沿直线翻折，点落在点处，与相交于点，连接． (1)求证：． (2)连接，与的交点为，过作交于，连接．求证：四边形是矩形． 【详解】（1）证明：矩形， ∴，． ∴， ∵沿直线翻折 ． ． ， ∴． ∵， ∴， ∴． ． ． 在中，． 在中，． 又， ， ． ． （2）证明：如图： 沿直线翻折， ． ， ， ， ，， ， ∴． ． 又． ． ， ，． 又， ． ， ∴四边形是平行四边形． 平行四边形是矩形． 13．（24-25八年级下·上海松江·期末）如图，已知在中，点、分别是边、的中点，过点、的直线交的延长线于点，联结． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)联结，如果，求证：四边形是矩形． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∴， ∵E是中点， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵F是的中点， ∴， ∴， 又∵， ∴四边形是平行四边形； （2）证明：如图， ∵，， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴平行四边形是矩形． 14．（24-25八年级下·上海奉贤·期中）如图，已知是的中线，M是的中点，过A点作，的延长线与相交于点E，与相交于点F． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)如果，求证：四边形是矩形． 【详解】（1）证明：是的中点， ， ， ， 又， ， ， 又是的中线， ， 又， 四边形是平行四边形； （2）证明：如图所示，连接交于H， 由（1）可得， 又∵， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∴四边形是矩形． 15．（25-26八年级上·上海浦东新·期末）如图，在平行四边形中，、相交于点，过点作，分别交、于点、，连接、． (1)求证：四边形是菱形； (2)若，，，求菱形的面积． 【详解】（1）解：∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴． ∵， ∴． 在和中， ∴， ∴． 又， ∴四边形是平行四边形． ∵， ∴平行四边形是菱形； （2）解：在中，，，， 由勾股定理得． ∵四边形是菱形， ∴，． ∴． ∵， ∴，， ∴， ∴，即是的中点， ∴． 在中，，， ∴， ∴， ∴． 16．（24-25八年级下·上海宝山·期末）已知：如图，在平行四边形中，点O为对角线的中点，过点O作交边、于点E、F，联结、． (1)求证：四边形为菱形； (2)如果四边形为矩形，，，求的长． 【详解】（1）证明：∵四边形是矩形， ∴， ∴， ∵O为对角线的中点， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴四边形是菱形； （2）解：∵四边形为矩形，，， ∴， ∴， ∴， ∵四边形是菱形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 17．（24-25八年级下·上海静安·期末）操作  现有两张完全相同的长方形纸条，它们的长为25厘米，宽为5厘米，将其交叠摆放（如图所示），使它们对角线的交点重合．现固定其中一张纸片，将另一张纸片绕对角线交点旋转一定角度，使它们的重叠部分始终形成四边形． (1)重叠部分四边形是什么形状的四边形？请说明理由， (2)重叠部分图形的最小面积和最大面积分别是多少？请直接填写：最小面积________，最大面积________． 【详解】（1）解：四边形是菱形（特殊位置时为正方形）． 证明：两张完全相同的长方形纸条， ，， 四边形是平行四边形 过点A分别作，，垂足分别是点E、F， ，， ， ， ， ， 平行四边形是菱形． （特殊的，当，即时，菱形是正方形） （2）解：当两张纸条垂直时，重叠部分为正方形（此时菱形邻边与长方形宽重合 ），面积最小，正方形边长等于长方形纸条的宽，即， 所以最小面积为； 设菱形 的边长为，在由长方形长的剩余部分与宽构成的直角三角形中，一条直角边为长方形的宽 5cm，另一条直角边为，斜边为菱形边长， 根据勾股定理， 解得： 最大面积是以长方形宽 为高，菱形边长为底的四边形，最大面积为 ． 18．（23-24八年级下·上海嘉定·期末）如图，菱形中，E是对角线上一点，，交边于点F，且． (1)求证：； (2)求证：四边形是正方形． 【详解】（1）连接，如图， ∵四边形是菱形， ∴，， 又∵， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴； （2）过E点作，交于点M，交于点N，如图， ∵，，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴菱形是正方形． 19．（23-24八年级下·上海普陀·期中）如图，在四边形中，对角线相交于点，延长至点E，使，连接． (1)当时，求证：； (2)当，且时，求证：四边形是正方形． 【详解】（1）证明：∵， ∴． ∵， ∴四边形为平行四边形． ∵， ∴平行四边形为菱形， ∴． ∵， ∴； （2）证明：如图，，， 由（1）可知四边形为平行四边形， ∴，，． ∵， ∴， ∴四边形为平行四边形． ∵， ∴， ∴平行四边形为菱形． ∵， ∴， ∴菱形为正方形． 20．（22-23八年级下·上海长宁·月考）已知：如图，在中中，，点E在边上，延长至D点，使，延长交于F，过点C作，交于点G，在上取一点H，使．    (1)求证：﹔ (2)求证：四边形是正方形． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵， 在与中， ， ∴； （2）∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴四边形是矩形， 在与中， ，   ∴， ∴， ∴四边形是正方形． 21．（25-26八年级上·上海浦东新·期末）已知：如图，在中，，点D在上，，垂足为F，且，点E为线段的中点，过点F作交射线于G，连接． (1)求证：； (2)求证：四边形是菱形． (3)当时，求证：四边形是正方形． 【详解】（1）证明：∵，， ∴， 在与中， ， ∴， ∴，， 在与中， ， ∴， ∴，， 在和中， ， ∴， ∴，； （2）证明：∵， ∴， 由（1）知：， ∴， ∴， 由（1）知：，， ∴， ∴四边形是菱形． （3）证明：∵，， ∴， 由（1）知，， ∴， ∵为的中点，， ∴， ∴， ∴， 由（1）知：， ∴， ∵四边形是菱形， ∴四边形是正方形． 22．（24-25八年级下·上海长宁·期末）如图，矩形的对角线和相交于点O，，． (1)求证：四边形是菱形； (2)延长交于点，联结，请先按要求完善图形，再判断四边形是什么特殊四边形？并说明理由； (3)填空：联结，如，，则的长为_______．（直接给出结果） 【详解】（1）证明：∵，， ∴四边形是平行四边形， ∵四边形是矩形， ∴， ∴平行四边形是菱形； （2）解：四边形是等腰梯形，理由如下： ∵四边形是菱形， ∴， ∵四边形是矩形， ∴， ∴， 又∵， ∴四边形是平行四边形， ∴， 又∵与不平行， ∴四边形是等腰梯形； （3）解：如图所示，过点E作交延长线于H， ∵四边形是矩形， ∴，， ∵， ∴是等边三角形， ∴， ∴， ∴； ∵四边形是菱形， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 题型三：三角形中位线应用 证线段平行、线段倍分关系。 求中点四边形形状：任意四边形中点四边形是平行四边形；对角线相等→菱形；对角线垂直→矩形；对角线相等且垂直→正方形。 23．（24-25八年级下·上海·期中）顺次联结一个四边形的四条边的中点得到一个菱形，那么原四边形可能是（   ） A．平行四边形 B．菱形 C．矩形 D．梯形 【答案】C 【详解】解：如图，四边形的四边中点分别为，且四边形为菱形，连接四边形对角线， ∵中点分别为， ∴， ∵四边形为菱形， ∴， 即原四边形的对角线相等， 故符合题意的是矩形． 故选：C 24．（22-23八年级下·上海浦东新·期末）下列命题中，真命题是（    ） A．顺次联结平行四边形各边的中点，所得的四边形一定是矩形 B．顺次联结等腰梯形各边的中点，所得的四边形一定是菱形 C．顺次联结对角线垂直的四边形各边的中点，所得的四边形一定是菱形 D．顺次联结对角线相等的四边形各边的中点，所得的四边形一定是矩形 【答案】B 【详解】解：如图：    观察图形：分别为的中点，根据中位线定理： ，， ∴四边形是平行四边形； A、顺次联结平行四边形各边的中点，所得的四边形是平行四边形，原命题为假命题，不符合题意； B、∵等腰梯形的对角线相等，即：当时， ∴， ∴四边形为菱形； ∴顺次联结等腰梯形各边的中点，所得的四边形一定是菱形，原命题为真命题，符合题意； C、当时，则：， ∴， ∴四边形为矩形； ∴顺次联结对角线垂直的四边形各边的中点，所得的四边形一定是矩形，原命题为假命题，不符合题意； D、当时，则：， ∴四边形为菱形； ∴顺次联结对角线相等的四边形各边的中点，所得的四边形一定是菱形，原命题为假命题，不符合题意． 故答案选：B． 25．（22-23八年级下·上海虹口·期末）顺次连接四边形各边中点构成一个菱形,则四边形一定是（    ） A．菱形 B．矩形 C．等腰梯形 D．对角线相等的四边形 【答案】D 【分析】根据各四边形的性质进行分析从而得到最后答案． 【详解】解：如图，∵E、F、G、H分别为四边形各边的中点， ∴，，，， ∴，，且，， ∴四边形为平行四边形， 要使四边形为菱形，须使， 故选：D． 26．（22-23八年级下·上海普陀·期中）四边形中，点E、F、G、H分别是的中点，下列条件中能使四边形为矩形的是（      ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：∵点E、F、G、H分别是的中点， ∴在与中， ，且，， ∴四边形为平行四边形， 若要使其为矩形，只需对角线互相垂直， 题中D选项，即在四边形中，， 故选D．    27．（24-25八年级下·上海奉贤·期末）如图，，在一座木建筑中，有一扇矩形窗户(四边形)，工人师傅准备连接窗户各边中点来制作精美的装饰边框，如果他们测得边的长为米，边的长为米，那么四边形的周长为________米． 【答案】 【详解】解：由题知：四边形为菱形； ， ， 所以形的周长为米， 故答案为：． 28．如图，四边形中，，，顺次连接四边形各边的中点，得到四边形，再顺次连接四边形各边的中点，得到四边形；…；如此进行下去，得到四边形，那么四边形的周长为________． 【答案】 【详解】解：∵在四边形ABCD中，顺次连接四边形ABCD 各边中点，得到四边形A1B1C1D1， ∴A1D1BD，B1C1BD，C1D1AC，A1B1AC； ∴A1D1B1C1，A1B1C1D1， ∴四边形A1B1C1D1是平行四边形； 根据中位线的性质知，A1B1=AC；B1C1=BD 四边形A1B1C1D1周长为 同理，四边形A3B3C3D3是平行四边形，A3B3C3D3周长为 同理，四边形的周长是 四边形A15B15C15D15周长为 故答案为． 29．（24-25八年级下·上海·月考）（本题要写成完整的推导过程及证明理由）梯形中，分别是对角线中点，求证： 【详解】解：连接，并延长交于点G， ∵， ∴（两直线平行，内错角相等） ∵F是的中点， ∴（线段中点的定义） 在和中， ， ∴， ∴（全等三角形的对应边相等）， ∴， ∵E是的中点， ∴（线段中点的定义）， ∴（中位线的性质）． 30．（23-24八年级下·上海宝山·月考）如图，在中，、分别是边、上的中线，与交于点O，点F、G分别是、的中点，连接、、、． (1)求证：； (2)若，求证：四边形是矩形． 【详解】（1）点F、G分别是、的中点 ， 、分别是边、上的中线 是的中位线 ， ，． （2）、分别是边、上的中线 ， ， ， 在与中， ， ， ， ， 四边形是平行四边形 ，互相平分 ， ． 四边形是矩形． 31．（2024八年级下·上海·专题练习）如图，在中，对角线与相交于点，点、分别为、的中点，延长至点，使，连接、． (1)求证：； (2)当时，求证：四边形是矩形． 【详解】（1）证明：四边形是平行四边形， ，， 点、分别为、的中点， ，， ， 在和中， ， ， ， ； （2）证明：，， 是的中位线， ， ， 四边形是平行四边形， ，， ， 是的中点， ， ， 四边形是矩形． 题型四：梯形辅助线 平移腰：构造平行四边形 + 三角形。 作高：构造矩形 + 直角三角形（求面积 / 边长）。 延长两腰：交于一点，构造相似三角形。 平移对角线：转化为三角形问题。 32．（24-25八年级下·上海浦东新·期末）如图，梯形中，，，，，则______． 【答案】11 【详解】解：作交于点E，则， ∵， ∴四边形是平行四边形，， ∵， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； 故答案为：11． 33．（24-25八年级下·上海黄浦·期末）如图，在梯形中，，连接，已知梯形的面积为17，的面积为12，那么的面积____． 【答案】5 【详解】解：过点作，过点作，如图所示： 在梯形中，，则， 梯形的面积为17， , 的面积为12， , ， 解得， 故答案为：5． 34．（22-23八年级下·上海浦东新·期末）如图，梯形中，，，，对角线与相交于点，且，那么________度．    【答案】105 【详解】解：如图，作于，于， 在中， ，， ， ，， ． 又， ， ， ， ， ． 故答案为：105．    35．（22-23八年级下·上海闵行·期末）如图，在梯形中，，，，那么边的长为______．    【答案】8 【详解】解：过点A作交于点，如图，    ∵ ∴四边形是平行四边形， ∴； ∵， ∴ ∵ ∴是等边三角形， ∴， ∴ 故答案为：8． 36．（24-25八年级下·上海金山·期末）如图，已知：在梯形中，，，过点作，垂足为，延长至，使，连接、，与相交于点． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)如果，，求证：四边形是矩形． 【详解】（1）证明：如图，连接， ， ∵在梯形中，，， ∴， ∵，， ∴，， ∴，， ∴四边形是平行四边形； （2）证明：∵在梯形中，，， ∴，， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴四边形是矩形． 37．（23-24八年级下·上海长宁·期末）定义：如果梯形的一个内角等于其它三个内角中的两个内角之和，那么称这个梯形为“加和角梯形”，这个内角称为“加和角” (1)如图1，在梯形中，，点E为边上一点，四边形为菱形，点E为边中点，求证：梯形为“加和角梯形”， (2)在“加和角梯形”中，为“加和角”，． ①如图2，如果，垂足为点O，，求梯形的周长； ②如图3，如果，点E为边中点，过点E作交边于点F，，点G在边上使得是以为腰的等腰三角形，求的长． 【详解】（1）∵四边形为菱形， ∴， ∵点为边中点， ∴， ∴， ∴， ∴， 即， ∴梯形为“加和角梯形”． （2）①∵梯形中，， ∴， ∵“加和角梯形”中，为“加和角”， ∴， ∴， ∴， 分别过点、作、，垂足分别为点G，H， ∴， ∴ ∴四边形为矩形， ∴， 在和中 ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 在中，， ， ， ， 在中，， ， ， ， ， ， ， ； ②，， ，， 由为“加和角”， 可得， ， 过点作于点， 则四边形为矩形， ∴， ∴， 由点为中点，， 则， ， I．当时， ∵ 则， 则， ∵， ∴中，， ∵， ， ∴； II．当时，过点G作于点Q，交延长线于点P，作于点R，设， 由I知， 则， ∵， ∴， 解得：（负值舍去）， ． 综上，或． 1 / 6 学科网（北京）股份有限公司 $ 第23章 四边形 23.1 多边形 1. 定义：平面内，由__________的线段首尾顺次联结组成的封闭图形。 2. 内角和：n边形内角和=__________。 3. 外角和：任意多边形外角和=__________。 4. 对角线条数：n边形对角线条数=__________。 5. 正多边形：各边__________、各角__________的多边形。 23.2 平行四边形 1. 定义：两组对边分别__________的四边形。 2. 性质：边→对边__________且__________；角→对角__________，邻角__________；对角线→互相__________；对称性→__________对称图形，对称中心是__________。 3. 判定：两组对边分别__________；两组对边分别__________；一组对边__________且__________；两组对角分别__________；对角线互相__________。 4. 面积：S=__________。 23.3 矩形、菱形、正方形 （1）矩形：1. 定义→有一个角是__________的平行四边形；2. 性质→角：四个角都是__________；对角线：互相平分且__________；对称性：轴对称（__________条）+中心对称；推论：直角三角形斜边上的中线等于斜边的__________；3. 判定→有一个角是直角的__________；对角线__________的平行四边形；有__________个角是直角的四边形。 （2）菱形：1. 定义→有一组邻边__________的平行四边形；2. 性质→边：四条边都__________；对角线：互相__________平分，平分一组__________；对称性：轴对称（__________条）+中心对称；面积：S=__________；3. 判定→一组邻边相等的__________；四条边相等的__________；对角线互相__________的平行四边形。 （3）正方形：1. 定义→有一组邻边__________且有一个角是__________的平行四边形；2. 性质→兼具__________与__________所有性质，轴对称（__________条）；3. 判定→既是__________又是__________的四边形。 23.4 三角形中位线与重心 1. 中位线：连接三角形两边__________的线段；2. 定理→平行于第三边，等于第三边的__________；3. 重心：三条__________的交点，到顶点距离是到对边中点距离的__________倍。 梯形 1. 定义：一组对边__________，另一组对边__________的四边形；2. 等腰梯形→两腰__________，同一底上的角__________，对角线__________。 易错点1：概念混淆 平行四边形≠轴对称图形（仅特殊的矩形、菱形、正方形是）。 矩形 / 菱形判定：必须先证是平行四边形，再添特殊条件（直角 / 邻边相等），不可直接用 “三个直角”“四边相等” 判定为矩形 / 菱形（需先证四边形）。 正方形判定：仅 “四边相等 + 四角直角” 不够，需明确是平行四边形基础上的特殊化。 1．（2025·上海虹口·二模）已知四边形是平行四边形，对角线相交于点O，下列条件中，不能判定四边形是矩形的是（   ） A． B． C． D． 2．（24-25八年级下·上海·月考）在四边形中，对角线和相交于点O，，添加下列条件后能判定这个四边形是平行四边形的是（   ） A． B． C． D． 3．（24-25八年级下·上海·期中）菱形的对角线、相交于，下列条件能判断菱形是正方形的是（   ） A． B． C． D． 4．（24-25八年级下·上海黄浦·期末）已知四边形中，对角线与相交于点O，，，再添加一个条件使四边形是菱形，添加条件不正确的是（　　） A． B． C． D． 易错点2：公式误用 多边形内角和：漏乘 (n-2)，误记为 n×180°。 对角线条数：漏除以 2，误记为 n (n-3)。 菱形面积：仅记住 “底 × 高”，忽略 “对角线乘积 ÷2” 的便捷公式。 5．（24-25八年级下·上海杨浦·期中）如果一个边形的内角和为，那么的值是（    ） A．7 B．8 C．9 D．10 6．（24-25八年级下·上海·期中）从一个九边形的一个顶点出发的对角线把这个九边形分割成的三角形个数是（   ） A． B． C． D． 7．（24-25八年级下·上海闵行·期中）如果一个多边形的边数增加1，那么它的内角和将增加（   ）． A． B． C． D． 8．（23-24八年级下·上海宝山·期中）在一个凸多边形中，它的内角中最多有个锐角，则为（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 9．（23-24八年级下·上海闵行·期中）如果一个多边形的边数由4增加到n（n为整数，且），那么它的外角和的度数（    ） A．不变 B．增加 C．减少 D．不能确定 10．（23-24八年级下·上海宝山·期末）已知菱形的边长是8，一个内角是，那么这个菱形的面积是（    ） A．64 B．32 C． D． 11．（24-25八年级下·上海·月考）面积为S的菱形一条对角线是另一条的2倍，则其边长为（   ） A． B． C． D． 12．（24-25八年级下·上海·月考）已知菱形的周长为，对角线之和为8，则菱形的面积为_____． 13．（24-25八年级下·上海徐汇·月考）若菱形周长为，两对角线之和为，则菱形面积为______． 14．（24-25八年级下·上海·月考）已知菱形一组对角的和为，较短的一条对角线的长度为4，那么这个菱形的面积为___________． 15．（24-25八年级下·上海·期中）菱形的边长为，两条对角线之比为，则菱形一边上的高的长度为_____． 易错点3：性质 / 判定逆用错误 错误：“对角线互相垂直的四边形是菱形”→ 正确：对角线互相垂直的平行四边形是菱形。 错误：“对角线相等的四边形是矩形”→ 正确：对角线相等的平行四边形是矩形。 16．（24-25八年级下·上海金山·期末）在四边形中，点、、、分别是各边的中点，四边形是正方形，下列选项中正确的是（   ） A．四边形一定是矩形 B．四边形一定是正方形 C．四边形的对角线相等且垂直 D．四边形有一组邻边相等且有一个内角是直角 17．下列说法正确的是（   ） A．有一个角是直角，两条对角线相等的四边形是矩形 B．一组对边平行且有一个角是直角的四边形是矩形 C．对角线互相垂直的平行四边形是矩形 D．有一个角是直角且对角线互相平分的四边形是矩形 18．下列命题错误的是（   ） A．平行四边形的对角相等 B．对角线互相垂直的四边形是菱形 C．两条对角线相等的平行四边形是矩形 D．正方形的对角线相等 19．（24-25八年级下·上海闵行·月考）下列命题中，假命题的是（   ） A．平行四边形的对角线互相平分 B．对角线垂直的平行四边形是菱形 C．矩形的对角线互相平分且相等 D．对角线相等的平行四边形是正方形 20．（24-25八年级下·上海·月考）下列事件中，是确定事件的个数是（   ） （1）一组对边平行，一组对边相等的四边形是平行四边形； （2）对角线相等的平行四边形是矩形； （3）有一条对角线平分一组对角的平行四边形是菱形； （4）对角线互相垂直且相等的四边形是正方形． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 21．（24-25八年级下·上海闵行·月考）下列说法中正确的是（ ） A．对角线相等的四边形是矩形 B．对角线互相垂直的矩形是正方形 C．顺次联结矩形各边中点所得四边形是正方形 D．平行四边形是轴对称图形 22．（24-25八年级下·上海崇明·期末）下列命题，其中是假命题的是（　　） A．对角线相等的菱形是正方形 B．对角线互相垂直平分的四边形是菱形 C．有一个角是直角且对角线互相平分的四边形是矩形 D．一组对角相等且一组对边相等的四边形是平行四边形 23．（24-25八年级下·上海徐汇·期末）下列命题中，不正确的是（   ） A．对角线互相垂直的平行四边形是菱形 B．对角线相等的平行四边形是矩形； C．对角线相等的矩形是正方形 D．对角线相等的菱形是正方形． 24．（2025·上海静安·二模）下列命题中，真命题是（    ） A．对角线相等的四边形是平行四边形 B．对角线互相垂直的四边形是矩形 C．对角线互相垂直平分的四边形是菱形 D．对角线平分一组对角的平行四边形是正方形 题型一：平行四边形判定 已知对边平行：用定义或 “一组对边平行且相等”。 已知对边相等：用 “两组对边分别相等”。 已知对角线条件：用 “对角线互相平分”。 已知角的关系：用 “两组对角分别相等”。 1．（24-25八年级下·上海松江·期中）已知，点为对角线的中点，过点分别作直线，，直线交边、于点、，直线交边、于点、．求证：四边形为平行四边形． 2．（2024八年级下·上海·专题练习）如图，已知在的边上取一点，使，边上取一点，使．连接、． 求证：四边形是平行四边形． 3．（24-25八年级下·上海·月考）如图，将的边延长至点E，使，连接，F是边的中点，联结． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)若，，，求的面积． 4．（2024八年级下·上海·专题练习）已知：如图，在中，点是的中点，连接并延长交的延长线于点． (1)求证：； (2)求证：四边形是平行四边形． 5．（23-24八年级下·上海青浦·期中）已知：如图，在四边形中，，对角线、相交于点，在边的延长线上，且，． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)连接，求证：． 6．（24-25八年级下·上海浦东新·月考）如图，在中，，相交于点，，分别是，的中点． (1)求证：四边形为平行四边形； (2)当线段与满足怎样的关系时，四边形是矩形？请直接写出合适的关系，不需要说明理由． 题型二：特殊平行四边形性质综合 矩形：常结合直角三角形斜边中线、勾股定理求边长 / 对角线。 菱形：常结合对角线垂直、勾股定理求边长 / 面积；对角线平分对角，可证角相等。 正方形：兼具矩形、菱形性质，是全等三角形、等腰直角三角形的高频载体。 7．（24-25八年级下·上海浦东新·期末）已知：如图，平行四边形中，点E在边上，点F在线段延长线上，且，平分，求证：四边形为菱形． 8．（24-25八年级下·上海·月考）已知：如图，在正方形中，点.分别在边.上，且．对角线分别交于点，联结．求证：四边形是菱形； 9．（24-25八年级下·上海宝山·月考）如图，在四边形中，，点在边上，点在边的延长线上，四边形的对角线分别交、于点、，且，平分． (1)求证：四边形是菱形； (2)如果，，求证：四边形为矩形． 10．（24-25八年级下·上海·期中）如图，平行四边形中，为对角线上任一点． (1)连接、，若，求证：四边形是菱形； (2)若在上，连接、，若，，判断四边形的形状并证明． 11．（24-25八年级下·上海·期中）如图，在中，点分别为的中点，是对角线，交的延长线于． (1)求证：； (2)若四边形是菱形，则四边形是什么特殊四边形？并证明你的结论． 12．（24-25八年级下·上海杨浦·期末）已知：如图，矩形中，，将沿直线翻折，点落在点处，与相交于点，连接． (1)求证：． (2)连接，与的交点为，过作交于，连接．求证：四边形是矩形． 13．（24-25八年级下·上海松江·期末）如图，已知在中，点、分别是边、的中点，过点、的直线交的延长线于点，联结． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)联结，如果，求证：四边形是矩形． 14．（24-25八年级下·上海奉贤·期中）如图，已知是的中线，M是的中点，过A点作，的延长线与相交于点E，与相交于点F． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)如果，求证：四边形是矩形． 15．（25-26八年级上·上海浦东新·期末）如图，在平行四边形中，、相交于点，过点作，分别交、于点、，连接、． (1)求证：四边形是菱形； (2)若，，，求菱形的面积． 16．（24-25八年级下·上海宝山·期末）已知：如图，在平行四边形中，点O为对角线的中点，过点O作交边、于点E、F，联结、． (1)求证：四边形为菱形； (2)如果四边形为矩形，，，求的长． 17．（24-25八年级下·上海静安·期末）操作  现有两张完全相同的长方形纸条，它们的长为25厘米，宽为5厘米，将其交叠摆放（如图所示），使它们对角线的交点重合．现固定其中一张纸片，将另一张纸片绕对角线交点旋转一定角度，使它们的重叠部分始终形成四边形． (1)重叠部分四边形是什么形状的四边形？请说明理由， (2)重叠部分图形的最小面积和最大面积分别是多少？请直接填写：最小面积________，最大面积________． 18．（23-24八年级下·上海嘉定·期末）如图，菱形中，E是对角线上一点，，交边于点F，且． (1)求证：； (2)求证：四边形是正方形． 19．（23-24八年级下·上海普陀·期中）如图，在四边形中，对角线相交于点，延长至点E，使，连接． (1)当时，求证：； (2)当，且时，求证：四边形是正方形． 20．（22-23八年级下·上海长宁·月考）已知：如图，在中中，，点E在边上，延长至D点，使，延长交于F，过点C作，交于点G，在上取一点H，使．    (1)求证：﹔ (2)求证：四边形是正方形． 21．（25-26八年级上·上海浦东新·期末）已知：如图，在中，，点D在上，，垂足为F，且，点E为线段的中点，过点F作交射线于G，连接． (1)求证：； (2)求证：四边形是菱形． (3)当时，求证：四边形是正方形． 22．（24-25八年级下·上海长宁·期末）如图，矩形的对角线和相交于点O，，． (1)求证：四边形是菱形； (2)延长交于点，联结，请先按要求完善图形，再判断四边形是什么特殊四边形？并说明理由； (3)填空：联结，如，，则的长为_______．（直接给出结果） 题型三：三角形中位线应用 证线段平行、线段倍分关系。 求中点四边形形状：任意四边形中点四边形是平行四边形；对角线相等→菱形；对角线垂直→矩形；对角线相等且垂直→正方形。 23．（24-25八年级下·上海·期中）顺次联结一个四边形的四条边的中点得到一个菱形，那么原四边形可能是（   ） A．平行四边形 B．菱形 C．矩形 D．梯形 24．（22-23八年级下·上海浦东新·期末）下列命题中，真命题是（    ） A．顺次联结平行四边形各边的中点，所得的四边形一定是矩形 B．顺次联结等腰梯形各边的中点，所得的四边形一定是菱形 C．顺次联结对角线垂直的四边形各边的中点，所得的四边形一定是菱形 D．顺次联结对角线相等的四边形各边的中点，所得的四边形一定是矩形 25．（22-23八年级下·上海虹口·期末）顺次连接四边形各边中点构成一个菱形,则四边形一定是（    ） A．菱形 B．矩形 C．等腰梯形 D．对角线相等的四边形 26．（22-23八年级下·上海普陀·期中）四边形中，点E、F、G、H分别是的中点，下列条件中能使四边形为矩形的是（      ） A． B． C． D． 27．（24-25八年级下·上海奉贤·期末）如图，，在一座木建筑中，有一扇矩形窗户(四边形)，工人师傅准备连接窗户各边中点来制作精美的装饰边框，如果他们测得边的长为米，边的长为米，那么四边形的周长为________米． 28．如图，四边形中，，，顺次连接四边形各边的中点，得到四边形，再顺次连接四边形各边的中点，得到四边形；…；如此进行下去，得到四边形，那么四边形的周长为________． 29（24-25八年级下·上海·月考）（本题要写成完整的推导过程及证明理由）梯形中，分别是对角线中点，求证： 30．（23-24八年级下·上海宝山·月考）如图，在中，、分别是边、上的中线，与交于点O，点F、G分别是、的中点，连接、、、． (1)求证：； (2)若，求证：四边形是矩形． 31．（2024八年级下·上海·专题练习）如图，在中，对角线与相交于点，点、分别为、的中点，延长至点，使，连接、． (1)求证：； (2)当时，求证：四边形是矩形． 题型四：梯形辅助线 平移腰：构造平行四边形 + 三角形。 作高：构造矩形 + 直角三角形（求面积 / 边长）。 延长两腰：交于一点，构造相似三角形。 平移对角线：转化为三角形问题。 32．（24-25八年级下·上海浦东新·期末）如图，梯形中，，，，，则______． 33（24-25八年级下·上海黄浦·期末）如图，在梯形中，，连接，已知梯形的面积为17，的面积为12，那么的面积____． 34．（22-23八年级下·上海浦东新·期末）如图，梯形中，，，，对角线与相交于点，且，那么________度．    35．（22-23八年级下·上海闵行·期末）如图，在梯形中，，，，那么边的长为______．    36．（24-25八年级下·上海金山·期末）如图，已知：在梯形中，，，过点作，垂足为，延长至，使，连接、，与相交于点． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)如果，，求证：四边形是矩形． 37．（23-24八年级下·上海长宁·期末）定义：如果梯形的一个内角等于其它三个内角中的两个内角之和，那么称这个梯形为“加和角梯形”，这个内角称为“加和角” (1)如图1，在梯形中，，点E为边上一点，四边形为菱形，点E为边中点，求证：梯形为“加和角梯形”， (2)在“加和角梯形”中，为“加和角”，． ①如图2，如果，垂足为点O，，求梯形的周长； ②如图3，如果，点E为边中点，过点E作交边于点F，，点G在边上使得是以为腰的等腰三角形，求的长． 1 / 6 学科网（北京）股份有限公司 $