第四单元 三角形（知识清单）数学西南大学版四年级下册

2025-2026学年西南大学版数学四年级下册 第四单元：三角形 知识清单 知识点01：三角形的认识 1.三角形的定义：由三条线段围成的图形，叫三角形。 2.三角形的特性点：3条边，3个角；3个顶点。 3.三角形的底和高：从三角形的一个顶点到它的对边作一条垂线，顶点和垂足间的线段叫做三角形的高，这条对边叫做三角形的底。一个三角形有3条高和3条底。三角形的底和高互相垂直，互相对应。 4.三角形高的画法： （1）边底重合 （2）平移点边底重， （3）画垂线(一般画成虚线) （4）标垂直符号写上“高”。 知识点02：三角形的性质 1.三角形的特性：具有稳定性。如：自行车的三角架，电线杆的三角架。 2.三角形边的关系：任意两边之和大于第三边。 3.三角形的内角和：三角形的内角和等于180度。多边形的内角和：(边数-2)×180度。 知识点03：三角形的分类 1. 按角来分可分为： (1) 锐角三角形：3个角都是锐角； (2) 直角三角形：有一个角是直角； (3)钝角三角形：有一个角是钝角。 注意：一个三角形中至少有两个锐角，最多有3个锐角；一个三角形中最大锐角应不小于60度；一个三角形中最多有1个直角或1个钝角。 2. 按边来分可分为 (1)不等边三角形(任意三角形):三条边不相等； (2)等腰三角形(等边三角形是特殊的等腰三角形):两条边相等等腰三角形的特点：两腰相等，两个底角相等；有一条对称轴。 3.等边三角形(又叫正三角形)的特点：三条边相等，三个角相等，都是60度，有3条对称轴。 等边三角形和等腰三角形的关系：等边三角形是特殊的等腰三角形。 考点01：三角形的认识 【典例分析01】下面图形中是三角形的有：( )。（填序号） 【答案】①⑤ 【分析】根据三角形的定义由三条线段连接首尾围成的图形叫做三角形。据此判断即可。 【详解】①符合三角形的定义，所以是三角形。 ②不是封闭图形，所以不是三角形。 ③这个图形是多条边，所以不是三角形。 ④这个图形有四条边，所以不是三角形。 ⑤符合三角形的定义，所以是三角形。 ⑥这个图形的底边不是直的，所以不是三角形。 下面图形中是三角形的有：①⑤。 【变式训练01】由( )围成的图形（每相邻两条线段的端点相连）是三角形。 【答案】3条线段 【分析】线段是有两个端点的直线，再根据三角形的特点进行作答即可。 【详解】如图所示： 这些图形均是三角形，三角形的每条边都是线段，并且线段的端点都是相连的，所以三角形是由3条线段首尾顺次连接所围成的图形。 【变式训练02】如图，有（    ）个三角形。 A．6 B．7 C．8 【答案】C 【分析】原图为正方形连接对角线组成，两条对角线将正方形分割为4个小三角形，任意两个相邻的小三角形可组成1个大三角形，共4个大三角形，4＋4＝8，所以共有8个三角形，据此解答。 【详解】根据分析原图中有8个三角形。 故答案为：C 【点睛】本题考查图形的分割及三角形的认识。 【变式训练03】下图中有（    ）个三角形。 A．5 B．6 C．10 D．15 【答案】B 【分析】由平面上不在同一条直线上的三条线段首位顺次连接所组成的封闭图形叫做三角形，据此找出图中的三角形即可，据此解答。 【详解】由分析可知：图中有（6）个三角形。 故答案为：B 【点睛】本题考查三角形的特征，熟练掌握并灵活运用。 考点02：三角形的高 【典例分析02】画出如图三角形指定底边上的高。 【答案】见详解 【分析】经过三角形的顶点（与底相对的点）向对边（底）作垂线，顶点和垂足之间的线段就是三角形的一条高，用三角板的直角可以画出三角形的高（钝角三角形钝角边上的高在其把方向延长线上）。 【详解】 【点睛】本题是考查作三角形的高。注意作高通常用虚线，并标出垂足。 【变式训练01】在如图所示的三角形中，以长50cm的边作为三角形的底，它的高是( )cm；以长30cm的边作为三角形的底，它的高是( )cm。 【答案】 24 40 【分析】三角形高是对确定的底而言，同一三角形所选底不同，高亦不同。经过三角形的顶点（与底相对的点）向对边（底）或者对边的延长线作垂线，顶点和垂足之间的线段就是三角形的一条高，用三角板的直角可以画出三角形的高（钝角三角形钝角边上的高在其反方向延长线上）；直角三角形一条直角边就是以另一直角边为底的高。 【详解】在如图所示的三角形中，以长50cm的边作为三角形的底，它的高是（24）cm；以长30cm的边作为三角形的底，它的高是（40）cm。 【变式训练02】过三角形的一个顶点画对边的垂线，顶点与垂足之间的线段是三角形的( )，每个三角形都有( )条高。 【答案】 高 3 【详解】根据三角形高、底的意义，从三角形的一个顶点到它的对边作一条垂线，顶点和垂足之间的线段叫做三角形的高，这条对边叫做三角形的底。三角形有三条高，画哪条边上的高，垂足就在哪条边上（或哪条边的延长线上）。 过三角形的一个顶点画对边的垂线，顶点与垂足之间的线段是三角形的高，每个三角形都有3条高。 【变式训练03】（判断）三角形的每个底都有一条对应的高。( ) 【答案】√ 【分析】根据三角形高的概念进行判断，三角形的高：从三角形任一顶点向它的对边或者对边的延长线作垂线，从顶点到垂足间的线段叫做三角形的高。 【详解】从三角形任一顶点向它的对边或者对边的延长线作垂线，从顶点到垂足间的线段叫做三角形的高。所以三角形的每个底都有一条对应的高，所以原说法正确。 故答案为：√ 【点睛】明确三角形高的定义是解答本题的关键。 【变式训练04】下列画法中，三角形底边上的高画正确的是（     ）。 A． B． C． 【答案】C 【分析】作三角形的高：从三角形任一顶点向它的对边或者对边的延长线作垂线，从顶点到垂足间的线段叫做三角形的高，这个顶点所对的边叫做三角形的底；据此解答。 【详解】根据分析： A．中的虚线，不是从顶点作垂线，所以三角形底边上的高画的不对； B．中的虚线，不是从底边所对应的顶点作垂线，所以三角形底边上的高画的不对； C．中的虚线，是从底边所对应的顶点作垂线，所以三角形底边上的高画的对。故答案为：C 考点03：三角形三边的关系 【典例分析03】现有两根小棒分别长10厘米和4厘米，若再找一根整厘米长的小棒使它能和前两根小棒围成一个三角形，则这根小棒最长是多少厘米？最短是多少厘米？ 【答案】13厘米；7厘米 【分析】三角形的三边关系为三角形的两边之和大于第三边，三角形的两边之差一定小于第三边；据此解答即可。 【详解】10＋4＝14（厘米） 10－4＝6（厘米） 则这根小棒的长度大于6厘米，小于14厘米。 答：这根小棒最长是13厘米，最短是7厘米。 【点睛】熟练掌握三角形的三边关系，灵活运用三角形的三边关系解决问题。 【变式训练01】（判断）三角形的任意两边的和都大于第三边。( ) 【答案】√ 【分析】三角形的三边关系为三角形的两边之和大于第三边，三角形的两边之差一定小于第三边；据此解答。 【详解】根据分析：三角形的任意两边的和都大于第三边，这个说法是正确的。 故答案为：√ 【点睛】掌握三角形三边的关系是解答本题的关键。 【变式训练02】六一儿童节，四（1）班玩围三角形的游戏。下面（    ）组铁丝能围成一个三角形。 A．4cm，8cm，13cm B．3cm，7cm，9cm C．5cm，5cm，12cm 【答案】B 【分析】根据三角形的特性：两边之和大于第三边，三角形的两边的差一定小于第三边；进行解答即可。 【详解】A．4＋8＜13，不符合题意； B．3＋7＞9，9－7＜3，两边之和大于第三边，三角形的两边的差一定小于第三边，符合题意； C．5＋5＜12，不符合题意。 故答案为：B 【变式训练03】用三根小棒围成一个三角形，已知两根小棒分别长7厘米和5厘米。第三根小棒最大是( )厘米，最小是( )厘米。（取整数） 【答案】 11 3 【分析】三角形两边之和大于第三边，三角形两边之差小于第三边。据此解答。 【详解】7＋5＝12（厘米） 7－5＝2（厘米） 则第三根小棒最大要比12厘米小，是11厘米；最小要比2厘米大，是3厘米。 【点睛】本题考查三角形三边之间的关系，要牢固掌握并熟练运用。 【变式训练04】三角形中一条边长7cm，另一条边长3cm，第三条边必须大于( )cm，小于( )cm。 【答案】 4 10 【分析】三角形3条边的关系是：任意两边的长度和大于第三边，任意两边的差小于第三边。此题依此解答。 【详解】三角形中一条边长7cm，另一条边长3cm，第三条边必须大于4cm，小于10cm。 【点睛】熟练掌握三角形3条边的关系是解答本题的关键。 考点04：三角形的内角和 【典例分析04】一个钝角三角形，另外两个锐角的和一定（     ）90°。 A．小于 B．等于 C．大于 【答案】A 【分析】钝角三角形：有一个角是钝角的三角形，根据三角形的内角和是180°，钝角最小的整数度数是91°，让180°减去91°即可判断。 【详解】180°－91°＝89°。 另外两个锐角的和一定小于90°。 故答案选：A 【点睛】本题考查三角形的分类和三角形的内角和，掌握三角形的内角和是180°是解题的关键。 【变式训练01】求下面各图中∠1的度数。 （1） （2） 【答案】（1）110°； （2）110° 【分析】（1）三角形的内角和为180°，先求出∠1旁边的角的度数＝180°－60°－50°，再用平角180°减去∠1旁边的角的度数，求出∠1的度数； （2）两条直线相交的夹角中，相对的角相等，也就是∠1的度数与∠1对角的度数相等；三角形的内角和为180°，则∠1的对角＝180°－40°－30°；据此解答。 【详解】（1）180°－（180°－50°－60°） ＝180°－（130°－60°） ＝180°－70° ＝110° 所以∠1的度数为110°； （2）180°－40°－30°＝110° 所以∠1的度数为110°。 【变式训练02】如图所示，把一个三角形平均分成两个小三角形，每个小三角形的内角和是( )°。 【答案】180 【分析】根据三角形的内角和是180°，把一个三角形不管分成几个小三角形，只要是三角形，它的内角和就是180°。 【详解】把一个三角形平均分成两个小三角形，每个小三角形的内角和是180°。 【点睛】解答此题应明确：只要是三角形，它的内角和就是180°。 【变式训练03】下面每组中的三个角，可能在同一个三角形中的是（     ）。 A．45°、55°、70° B．38°、52°、90° C．20°、30°、140° 【答案】B 【分析】根据三角形的内角和为180°可知，哪三个角的度数和是180°，那么这三个角就可能在同一个三角形内。据此将各选项给出的三个角的度数加起来，再进行解答。 【详解】A．45°＋55°＋70°＝170° B．38°＋52°＋90°＝180° C．20°＋30°＋140°＝190° 故答案为：B 【点睛】明确三角形的内角和是180°是解决本题的关键。 【变式训练04】某同学把一块三角形的玻璃打碎成了三片，现在他要到玻璃店去配一块形状完全一样的玻璃，那么最省事的办法是带（     ）碎玻璃去。 A．第①块 B．第②块 C．第③块 D．第①块和第②块 【答案】C 【分析】根据三角形的内角和等于180°，用180°减去三角形的两个内角即可得到另一个角的度数，据此把第③块的两条边延长，相交即可得到一块完整的三角形。 【详解】由分析可知： 某同学把一块三角形的玻璃打碎成了三片，现在他要到玻璃店去配一块形状完全一样的玻璃，那么最省事的办法是带第③块碎玻璃去。 故答案为：C 考点05：三角形的分类 【典例分析05】少先队员带的红领巾是（     ）。 A．钝角三角形 B．直角三角形 C．锐角三角形 【答案】A 【分析】有一个角是钝角的三角形是钝角三角形；有一个角是直角的三角形是直角三角形；三个角都是锐角的三角形叫做锐角三角形，据此解答。 【详解】如图所示： 少先队员带的红领巾是（钝角三角形）。 故答案为：A 【点睛】本题考查锐角三角形、钝角三角形、直角三角形的特征，熟练掌握并灵活运用。 【变式训练01】一个等腰三角形的底角是40°，这个三角形是（     ）。 A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 【答案】C 【分析】三角形的内角和是180°，结合等腰三角形的两个底角相等，用180°减去两个底角的度数即可求出顶角的度数，最后进行判断即可。 【详解】180°－40°×2 ＝180°－80° ＝100° 所以这个三角形是钝角三角形。 故答案为：C 【变式训练02】等腰三角形可能是（     ）三角形。 A．锐角 B．直角 C．钝角 D．以上都有可能 【答案】D 【分析】因为三角形内角和是180度，所以等腰三角形的两个底角一定是锐角，但是等腰三角形的顶角可以是锐角、可以是直角、也可以是钝角，据此即可选择。 【详解】根据题干分析可得：等腰三角形的顶角可以是锐角、可以是直角、也可以是钝角，所以等腰三角形可以是锐角三角形、也可以是直角三角形，也可以是钝角三角形。 故答案为：D 【点睛】此题主要考查等腰三角形的性质以及三角形分类的方法。 【变式训练03】如果一个三角形中最小的角大于45°，那么这个三角形是( )三角形。 【答案】锐角 【分析】先判断出三角形的三个角是什么角，再根据三角形的分类知识判断是什么三角形。 【详解】如果一个三角形中最小的角大于45°，三角形两个较小的角的和大于90度，那么三角形最大的角一定小于90度，所以三角形的三个角都是锐角，三角形是锐角三角形。 【点睛】熟练掌握三角形的内角和和三角形的分类知识是解答本题的关键。 【变式训练04】如果A点用数对表示为（3，3），B点用数对表示为（6，1），C点用数对表示为（3，1），那么按角分，三角形ABC一定是( )三角形。 【答案】直角 【分析】用数对表示位置时，通常把竖排叫列，横排叫行。一般情况下，确定第几列时从左往右数，确定第几行时从前往后数。表示列的数在前，表示行的数在后，中间用逗号“，”隔开，数对加上小括号。 据此在方格中画出示意图，根据三角形分类标准确定三角形类型即可。 【详解】如图： 三角形ABC一定是直角三角形。 考点06：等腰三角形和等边三角形 【典例分析06】若等腰三角形的其中两边长分别是5cm和11cm，则此三角形的周长是（     ）cm。 A．21 B．27 C．21或27 D．16或27 【答案】B 【分析】题目中没有明确腰和底，故要分情况讨论，再结合三角形的三边关系求解即可。 【详解】当5cm为腰时，三边长为5、5、11，而5＋5＝10＜11，此时无法构成三角形； 当5cm为底时，三边长为5、11、11，此时可以构成三角形，则它的周长是：5＋11＋11＝27厘米。 故答案为：B 【点睛】解题的关键是熟练掌握三角形的三边关系：任两边之和大于第三边，任两边之差小于第三边。 【变式训练01】（判断）等边三角形，按角分，它是锐角三角形。( ) 【答案】√ 【分析】三条边相等的三角形是等边三角形，等边三角形的三个角相等。三个角都是锐角的三角形是锐角三角形，再结合三角形的内角和度数进行判断即可。 【详解】180°÷3＝60° 60°90°，所以三个内角是锐角。 故答案为：√ 【点睛】熟练掌握三角形的分类标准和熟记三角形的内角和度数是解答此题的关键。 【变式训练02】一根铁丝可以围成一个腰长12厘米，底长18厘米的等腰三角形，如果改围一个等边三角形，那么等边三角形的边长是多少厘米？ 【答案】14厘米 【分析】等腰三角形的两条腰相等。则这个等腰三角形的周长为12＋12＋18厘米。用同样的铁丝围成等边三角形，则这个等边三角形的周长也是12＋12＋18厘米。等边三角形的三条边相等，则边长＝周长÷3，据此解答即可。 【详解】（12＋12＋18）÷3 ＝42÷3 ＝14（厘米） 答：等边三角形的边长是14厘米。 【点睛】等腰三角形的周长＝2×腰＋底，等边三角形的周长＝3×边长。 【变式训练03】一个等腰三角形的其中两条边是9厘米和2厘米，它的周长是（　　）厘米。 A．18 B．13 C．24 D．20 【答案】D 【分析】因为在三角形中任意两边的和大于第三边，所以确定等腰三角形的腰长为9厘米，再把等腰三角形的三条边加起来就是它的周长。 【详解】9＋9＋2 ＝18＋2 ＝20（厘米） 故答案为：D 【点睛】解答本题的关键是利用在三角形中任意两边的和大于第三边确定等腰三角形的腰长，再利用周长的意义列式解答即可。 【变式训练04】（判断）顶角是60°的等腰三角形一定是等边三角形。( ) 【答案】√ 【分析】等腰三角形的两个底角相等，三角形的内角和为180°，因此用180°减去顶角的度数后，再除以2就是其中一个底角的度数，等边三角形的三个角都相等，依此计算并判断。 【详解】180°－60°＝120° 120°÷2＝60° 60°＝60°＝60° 即顶角是60°的等腰三角形一定是等边三角形，原题说法正确。 故答案为：√ 【变式训练05】一个等腰三角形的周长是36厘米，底比腰多3厘米，它的腰长是多少厘米？底长是多少厘米？ 【答案】11厘米；14厘米 【分析】根据等腰三角形的特征可知，等腰三角形两腰相等，假设底长减少3厘米，那么腰长＝底，由此解答即可。 【详解】（36－3）÷3 ＝33÷3 ＝11（厘米） 11＋3＝14（厘米） 答：它的腰长是11厘米，底长是14厘米。 考点07：画三角形 【典例分析07】在下面点子图上分别画一个直角三角形、一个锐角三角形和一个钝角三角形，并画出钝角三角形其中一条边上的高。 【答案】见详解 【分析】有一个角是直角的三角形是直角三角形；三个角都是锐角的三角形是锐角三角形；有一个角是钝角的三角形是钝角三角形，过底边相对的顶点向底边作垂线，顶点到垂足之间的线段叫做三角形的高，高用虚线表示，并画上垂直符号，依此画图。 【详解】画图如下： 【变式训练01】画一个底为4厘米，高为3厘米的直角三角形。（图中每格代表长度是1厘米） 【答案】见详解 【分析】有一个角是直角的三角形叫做直角三角形；首先画一条长4厘米的线段，然后再以其中的一个端点为垂足，画一条和它垂直，并且长度是3厘米的线段；最后连接两条线段的另一个端点，即可画出一个底为4厘米，高为3厘米的直角三角形。 【详解】如图所示： 【点睛】此题考查了学生画指定底和高的三角形，培养学生的作图能力。 【变式训练02】（1）如图中每个方格表示边长为1cm的小正方形，已知点A（3，7）和点B（9，7），点C和点A、B构成等腰直角三角形的三个顶点。那么点C的位置用数对表示为C（ 　 　，　 　）（写出一种即可）。 （2）在图中画出这个三角形，并涂上阴影。 【答案】（1）（3，1） （2）见详解 【分析】（1）有一个角是直角且有两条边相等的三角形叫等腰直角三角形，据此以点A为直角顶点，以线段AB、线段AC为等腰直角三角形的直角边（也是相等的两腰）。再根据数对的表示方法：（列数，行数），找出点C在方格中对应的列数和行数，再用数对表示出来。 （2）连接A、B、C三点涂色即可。 【详解】（1）那么点C的位置用数对表示为C（3，1）。（答案不唯一） （2）如图： （答案不唯一） 【变式训练03】（1）在点子图中画一个钝角三角形，再把它分成两个直角三角形。 （2）在点子图中画一个等腰直角三角形，并画出斜边上的高。 【答案】见详解 【分析】钝角三角形是指有一个角大于90度且小于180度的三角形，通过钝角顶点向对边作垂线，即可将其分成两个直角三角形；顶角为90度的等腰三角形就是等腰直角三角形，从直角顶点向斜边作垂线，即为斜边上的高。 【详解】如图所示： （答案不唯一）。 一、填空题 1．下面3个三角形被盖住了一个或两个角，你能知道各是什么三角形吗？ 三角形    三角形     三角形 【答案】 直角 钝角 锐角、钝角、直角 【分析】根据三角形按角分类的特征可知，三个角都是锐角，这个三角形是锐角三角形；有一个角是钝角的三角形是钝角三角形；有一个角是直角的三角形是直角三角形，解答即可． 【详解】观图可知：第一个三角形有一个角是直角，所以是直角三角形， 第二个三角形有一个角是钝角，所以是钝角三角形 第三个三角形有2个角是锐角，所以有可能是锐角三角形，也可能是钝角三角形和直角三角形； 故答案为 2．汪阿姨准备用一根90厘米长的铁丝围一个等腰三角形相框，如果腰长35cm，底边长( )cm。 【答案】20 【分析】等腰三角形的两个腰相等，90厘米减去两个腰的长度等于底边长度。 【详解】90－35×2 ＝90－70 ＝20（厘米） 底边长是20厘米。 【点睛】本题主要考查学生对等腰三角形特点的掌握和灵活运用。 3．一个等腰三角形的顶角是80°，它的底角是( )；一个等腰三角形的底角是80°，它的顶角是( )。 【答案】 50° 20° 【分析】等腰三角形的两底角相等，180度减去顶角度数的差，再除以2等于底角的度数；180度减去两个底角的度数，等于顶角的度数。 【详解】（180°－80°）÷2 ＝100°÷2 ＝50° 180°－80°－80° ＝100°－80° ＝20° 【点睛】熟练掌握等腰三角形的特点和三角形内角和知识是解答本题的关键。 4．有一个三角形，其中两条边分别是6cm、9cm。这个三角形的第三条边最短是( )cm，最长是( )cm。（括号里填整厘米数） 【答案】 4 14 【分析】在三角形中，任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边，据此解答。 【详解】6＋9＝15（cm） 9－6＝3（cm） 3＜第三边＜15 所以， 这个三角形的第三条边最短是4cm，最长是14cm。 【点睛】此题考查了三角形的三边关系，找出第三边的取值范围是解题关键。 5．直角三角形中有一个锐角是53°，那么它的另一个锐角是( )°；等腰三角形的顶角是70°，那么它的一个底角是( )°。 【答案】 37 55 【分析】直角三角形的两个锐角和等于90度，90度减一个锐角的度数等于另一个锐角的度数；等腰三角形的两个底角相等，180度减去顶角的度数，再除以2，即等于一个底角的度数。 【详解】90°－53°＝37° （180°－70°）÷2 ＝110°÷2 ＝55° 直角三角形中有一个锐角是53°，那么它的另一个锐角是37°；等腰三角形的顶角是70°，那么它的一个底角是55°。 【点睛】熟练掌握三角形内角和及三角形的分类知识是解答本题的关键。 6．在一个三角形中，已知∠1＝42º，∠2＝48º，∠3＝( )，这个三角形是( )三角形。 【答案】 90° 直角 【分析】∠3的度数等于180°减去∠1、∠2的度数，再根据三角形的分类知识判断这个三角形是什么三角形。 【详解】∠3＝180°－∠1－∠2 ＝180°－42°－48° ＝138°－48° ＝90° 有一个角等于90°，所以这个三角形是直角三角形。 【点睛】熟练掌握三角形的分类和内角和知识是解答本题的关键。 7．用一根24厘米长的铁丝正好可以围成一个边长是( )厘米的等边三角形。 【答案】8 【分析】三角形三边长度之和为三角形的周长，又知等边三角形三边相等，那么用周长除以3即可得到等边三角形的边长。 【详解】24÷3＝8（厘米） 用一根24厘米长的铁丝正好可以围成一个边长是8厘米的等边三角形。 【点睛】本题考查的是三角形周长的计算以及等边三角形的特征，根据等边三角形三边相等即可求出边长。 8．用11段1米长的栅栏围成一个等腰三角形花园，有( )种不同的围法。（每边的长都是整米数） 【答案】3 【分析】至少有两条边相等的三角形称之为等腰三角形，并且要满足围成的三角形两边之和大于第三边，两边之差小于第三边的性质。此题按此一一列举即可。 【详解】第一种：腰长为3米，底为5米； 第二种：腰长为4米，底为3米； 第三种：腰长为5米，底为1米； 因此，此题有3种不同的围法。 【点睛】熟练掌握三角形的性质和等腰三角形的定义是解答本题的关键。 二、判断题 9．等腰三角形和等边三角形的关系是。( ) 【答案】√ 【分析】等腰三角形的特点是两条腰相等，两个底角相等；等边三角形的特点是三条边都相等，三个角也相等；依此判断即可。 【详解】根据分析可知：等腰三角形和等边三角形的关系是。 故答案为：√ 【点睛】熟练掌握等腰三角形和等边三角形的特点是解答此题的关键。 10．用两根长3厘米和一根长6厘米的小棒，可以摆成一个等腰三角形。( ) 【答案】× 【分析】三角形的三边关系为三角形的两边之和大于第三边，三角形的两边之差一定小于第三边；据此解答即可。 【详解】3＋3＝6，则长3厘米、3厘米、6厘米的三根小棒不能组成三角形，也就不能组成一个等腰三角形。 故答案为：×。 【点睛】熟练掌握三角形的三边关系，灵活运用三角形的三边关系解决问题。 11．等腰三角形中的一个底角是70度，那么它的顶角是20度。( ) 【答案】× 【分析】等腰三角形的特点是两个底角都相等，三角形的内角和是180°，依此判断即可。 【详解】假设等腰三角形中的一个底角是70°，顶角是20°； 70°＋70°＋20°＝160° 故答案为：× 【点睛】熟记三角形的内角和度数是解答此题的关键。 12．一个等腰三角形中，有一个角是60°，这个三角形一定是等边三角形。( ) 【答案】√ 【分析】由等腰三角形的特点可知：等腰三角形的两个底角相等，再根据三角形的内角和是180°，即可求得三角形的另外两个角的度数，从而判定这个等腰三角形是否是等边三角形。 【详解】假设已知度数的角是底角，则另一个底角也是60°， 于是求得顶角是180°－60°－60°＝60°，所以这个三角形是等边三角形； 假设已知角的度数是顶角，则底角的度数为 （180°－60°）÷2 ＝120°÷2 ＝60° 所以这个三角形是等边三角形。 所以等腰三角形中，有一个角是60°，这个三角形一定是等边三角形，说法正确。 故答案为：√ 【点睛】解答此题的依据是：等腰三角形和等边三角形的特点以及三角形的内角和定理。 13．钝角三角形和直角三角形也都有3条高。   ( ) 【答案】√ 【分析】根据三角形的高的含义：在三角形中，从一个顶点向它的对边所在的直线画垂线，顶点到垂足之间的线段叫做三角形的高；由于三角形有三条边，所以三角形有三条高；由此判断即可。 【详解】任意三角形有三条高，所以钝角三角形和直角三角形都有3条高。 故答案为：√。 【点睛】本题主要考查三角形高的含义，解题时要明确：任意三角形都有三条高。 14．直角三角形不可能是等腰三角形。 【答案】× 【分析】三角形按角来分可分为锐角三角形、直角三角形和钝角三角形；按边来分可分为等腰三角形（含特殊情况等边三角形）和不等腰三角形。二者分类依据不同，直角三角形可能是等腰三角形。 【详解】在直角三角形中，当除直角外的另外两个角相等时，它们的对边也相等，也就是直角三角形也可以是等腰三角形，所以上面说法是错误的。 【点睛】此题考查了三角形的分类，按边分类和按角分类区分。 15．一个三角形最多有一个直角或一个钝角。( ) 【答案】√ 【分析】三角形的内角和是180°，如果出现了两个直角或者两个钝角，那么三角形的内角和就会大于180°。 【详解】由分析可知，一个三角形最多有一个直角或一个钝角，所以判断正确。 【点睛】掌握三角形的内角和是180°是解决问题的关键。 三、选择题 16．一个等腰三角形的顶角是80°，它的一个底角是( )。 A．50° B．80° C．100° 【答案】A 【分析】等腰三角形两个底角相等，用三角形内角和180°减顶角的度数就可以求出两个底角度数的和，再除以2即可得出答案。 【详解】（180°－80°）÷2 ＝100°÷2 ＝50° 故答案为：A 17．一个三角形最小的角是46°，这个三角形一定是（     ）。 A．直角三角形 B．锐角三角形 C．等腰三角形 【答案】B 【分析】根据题意可以知道，告诉了三角形中最小的角是46°，而三角形的内角和是180°，假设另一个角也是46°，那么剩下的一个角就是最大的角； 用180°连续减去两个46°就得到最大的角，依据最大的角的度数进行判断，即可解答。 三个角都是锐角的三角形，叫锐角三角形；有一个角是直角的三角形，叫直角三角形；有一个角是钝角的三角形，叫钝角三角形。 【详解】180°－46°－46° ＝134°－46° ＝88° 三角形中最大的一个角是88°，这个三角形一定是锐角三角形。 故答案为：B 18．一个等腰三角形的两条边长分别是6cm和12cm，它的另一条边长是（     ）。 A．6cm B．12cm C．无法判断 【答案】B 【分析】三角形3条边的关系是：任意两边的长度之和大于第三边，任意两边的长度之差小于第三边，等腰三角形的特点是两条腰的长度相等，依此确定腰和底的长度。 【详解】假设6厘米为腰长，6＋6＝12（厘米），12＝12，因此不满足； 那么12厘米为腰长，12＋6＝18（厘米），18＞12，12－6＝6（厘米），6＜12，因此12厘米为腰长，底长为6厘米。 故答案为：B 【点睛】熟练掌握等腰三角形的特点和三角形3条边的关系是解答此题的关键。 19．一个三角形中两个内角的和小于90度，这个三角形（    ）是钝角三角形。 A．一定 B．可能 C．不可能 【答案】A 【分析】三角形内角和180°，有一个角是钝角的三角形是钝角三角形，据此分析。 【详解】180°－90°＝90°，一个三角形中两个内角的和小于90度，另一个内角一定＞90°，是钝角，这个三角形一定是钝角三角形。 故答案为：A 【点睛】无论在什么情况下，都会发生的事件，是“一定”会发生的事件。 在任何情况下，都不会发生的事件，是“不可能”事件。 在某种情况下会发生，而在其他情况下不会发生的事件，是“可能”事件。 20．一个等腰三角形，顶角的度数是底角的2倍，底角是（　 　）。 A．20° B．45° C．60° D．90° 【答案】B 【分析】等腰三角形的两个底角相等，可以用列方程的方法解答，设一个底角是x度，则顶角就是2x度，根据三角形内角和是180度列出方程解答即可。 【详解】解：设底角的度数为x，则顶角的度数为2x。 x+x+2x=180 4x=180 x=45 故答案为B。 21．在学习三角形的特征时，3名同学分别选取了3根如下的小棒，则可以围成三角形的是（     ）。 A． B． C． 【答案】B 【分析】根据三角形的特性：两边之和大于第三边，两边之差一定小于第三边，进行解答即可。 【详解】A．2＋4＝6，所以3根小棒不能围成三角形 B．4＋5＞6，6－4＜5，所以3根小棒能围成三角形 C．2＋4＜8，所以3根小棒不能围成三角形 故答案为：B 【点睛】此题是考查了三角形三边关系的应用，要牢记两边之和大于第三边，两边之差小于第三边。 22．有一个三角形，从它的顶点起，用一条直线把它分成两个三角形，每个三角形的内角和是（    ）。 A．90° B．180° C．360° 【答案】B 【详解】三角形的内角和是180°。 故答案为：B 四、计算题 23．求出下面各个未知角的度数。 ① 求∠1； ② 求∠2； ③ 求∠3，∠4． 【答案】①∠1＝60°；②∠2＝130°；③∠3＝80°，∠4＝100° 【详解】①∠1＝90°－30°＝60°； ②∠2＝180°－20°－30°＝130°； ③∠3＝180°－40°－60°＝80°； ∠4＝180°－80°＝100° 24．如图AB=AC，求∠1、∠C的度数？   【答案】∠1是70°，∠C是55° 【分析】因为AB=AC，所以三角形ABC是等腰三角形，所以∠B=∠C，然后用180°﹣110°即可求出∠1的度数，然后根据等腰三角形的性质以及三角形内角和是180度即可求出∠C的度数． 【详解】解：∠1=180°﹣110°=70°      ∠C=（180°﹣70°）÷2 =110°÷2 =55° 答：∠1是70°，∠C是55° 25．下图中，三角形ABE,三角形ACD都是等腰三角形．已知 ∠5=70º，∠4=50º，∠1，∠2，∠ 3各是多少度？ 【答案】∠1=20º     ∠2=40º     ∠3=20º 【详解】略 五、解答题 26．小明要取三根小棒．他已经取了两根，第一根长4厘米，第二根长7厘米．第三根取几厘米就一定能围成一个三角形？ 【答案】4、5、6、7、8、9、10． 【详解】略 27．2024年5月22日是第31个国际生物多样性日。为迎接节日，前进小学少先队组织开展保护生物多样性的一系列活动。芳芳观察小区里的生物多样性，发现小区里有一个三角形花坛，这个三角形中两个较小角的度数和是70°，两个较大角的度数和是155°，这个三角形的3个角分别是多少度？按角分，这个三角形是什么三角形？ 【答案】45°、25°、110°；钝角三角形 【分析】根据题意可知，三角形内角和是180°，由两个较小角的度数和是70°，可以用180°－70°求出另一个角的度数。由两个较大角的度数和是155°，可以用180°－155°求出另一个角的度数。最后用180°减去求出的这两个角的度数，得出第三个角的度数。最后根据角的度数，判断是锐角三角形、直角三角形或钝角三角形。 【详解】180°－70°＝110° 180°－155°＝25° 180°－110°－25° ＝70°－25° ＝45° 因为180°＞110°＞90° 所以这个三角形是钝角三角形。 答：这个三角形的3个角分别是45°、25°、110°，按角分，这个三角形是钝角三角形。 28．一个等边三角形的周长是36厘米，它的一条边长是多少厘米？它的每个角是多少度？ 【答案】12厘米；60度 【分析】已知该三角形是一个等边三角形，即三条边的长度都相等，三个内角都相等，在已知周长的情况下计算边长可用周长除以3计算边长，利用内角和除以3计算每个内角的度数。 【详解】36÷3＝12（厘米）；180°÷3＝60° 答：它的一条边长是12厘米，每个角是60度。 【点睛】本题主要考查等边三角形的性质，熟练掌握三角形的性质是解决本题的关键。 29．∠1、∠2、∠3是三角形的三个内角．∠2的度数是∠1的2倍，∠3的度数是∠1的3倍．你知道∠1、∠2、∠3各是多少度吗？ 【答案】30°、60°、90°． 【分析】根据题干，设∠1是x°，则∠2就是2x°，∠3就是3x°，再根据三角形内角和是180°，列出方程即可解答问题． 【详解】解：设∠1是x°，则∠2就是2x°，∠3就是3x°，根据三角形内角和定理可得： x+2x+3x=180， 6x=180， x=30， 则∠2=30°×2=60°， ∠3=30°×3=90°， 答：∠1、∠2、∠3分别是30°、60°、90°． 第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年西南大学版数学四年级下册 第四单元：三角形 知识清单 知识点01：三角形的认识 1.三角形的定义：由三条线段围成的图形，叫三角形。 2.三角形的特性点：3条边，3个角；3个顶点。 3.三角形的底和高：从三角形的一个顶点到它的对边作一条垂线，顶点和垂足间的线段叫做三角形的高，这条对边叫做三角形的底。一个三角形有3条高和3条底。三角形的底和高互相垂直，互相对应。 4.三角形高的画法： （1）边底重合 （2）平移点边底重， （3）画垂线(一般画成虚线) （4）标垂直符号写上“高”。 知识点02：三角形的性质 1.三角形的特性：具有稳定性。如：自行车的三角架，电线杆的三角架。 2.三角形边的关系：任意两边之和大于第三边。 3.三角形的内角和：三角形的内角和等于180度。多边形的内角和：(边数-2)×180度。 知识点03：三角形的分类 1. 按角来分可分为： (1) 锐角三角形：3个角都是锐角； (2) 直角三角形：有一个角是直角； (3)钝角三角形：有一个角是钝角。 注意：一个三角形中至少有两个锐角，最多有3个锐角；一个三角形中最大锐角应不小于60度；一个三角形中最多有1个直角或1个钝角。 2. 按边来分可分为 (1)不等边三角形(任意三角形):三条边不相等； (2)等腰三角形(等边三角形是特殊的等腰三角形):两条边相等等腰三角形的特点：两腰相等，两个底角相等；有一条对称轴。 3.等边三角形(又叫正三角形)的特点：三条边相等，三个角相等，都是60度，有3条对称轴。 等边三角形和等腰三角形的关系：等边三角形是特殊的等腰三角形。 考点01：三角形的认识 【典例分析01】下面图形中是三角形的有：( )。（填序号） 【变式训练01】由( )围成的图形（每相邻两条线段的端点相连）是三角形。 【变式训练02】如图，有（     ）个三角形。 A．6 B．7 C．8 【变式训练03】下图中有（     ）个三角形。 A．5 B．6 C．10 D．15 考点02：三角形的高 【典例分析02】画出如图三角形指定底边上的高。 【变式训练01】在如图所示的三角形中，以长50cm的边作为三角形的底，它的高是( )cm；以长30cm的边作为三角形的底，它的高是( )cm。 【变式训练02】过三角形的一个顶点画对边的垂线，顶点与垂足之间的线段是三角形的( )，每个三角形都有( )条高。 【变式训练03】（判断）三角形的每个底都有一条对应的高。( ) 【变式训练04】下列画法中，三角形底边上的高画正确的是（     ）。 A． B． C． 考点03：三角形三边的关系 【典例分析03】现有两根小棒分别长10厘米和4厘米，若再找一根整厘米长的小棒使它能和前两根小棒围成一个三角形，则这根小棒最长是多少厘米？最短是多少厘米？ 【变式训练01】（判断）三角形的任意两边的和都大于第三边。( ) 【变式训练02】六一儿童节，四（1）班玩围三角形的游戏。下面（     ）组铁丝能围成一个三角形。 A．4cm，8cm，13cm B．3cm，7cm，9cm C．5cm，5cm，12cm 【变式训练03】用三根小棒围成一个三角形，已知两根小棒分别长7厘米和5厘米。第三根小棒最大是( )厘米，最小是( )厘米。（取整数） 【变式训练04】三角形中一条边长7cm，另一条边长3cm，第三条边必须大于( )cm，小于( )cm。 考点04：三角形的内角和 【典例分析04】一个钝角三角形，另外两个锐角的和一定（     ）90°。 A．小于 B．等于 C．大于 【变式训练01】求下面各图中∠1的度数。 （1） （2） 【变式训练02】如图所示，把一个三角形平均分成两个小三角形，每个小三角形的内角和是( )°。 【变式训练03】下面每组中的三个角，可能在同一个三角形中的是（     ）。 A．45°、55°、70° B．38°、52°、90° C．20°、30°、140° 【变式训练04】某同学把一块三角形的玻璃打碎成了三片，现在他要到玻璃店去配一块形状完全一样的玻璃，那么最省事的办法是带（     ）碎玻璃去。 A．第①块 B．第②块 C．第③块 D．第①块和第②块 考点05：三角形的分类 【典例分析05】少先队员带的红领巾是（     ）。 A．钝角三角形 B．直角三角形 C．锐角三角形 【变式训练01】一个等腰三角形的底角是40°，这个三角形是（     ）。 A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 【变式训练02】等腰三角形可能是（     ）三角形。 A．锐角 B．直角 C．钝角 D．以上都有可能 【变式训练03】如果一个三角形中最小的角大于45°，那么这个三角形是( )三角形。 【变式训练04】如果A点用数对表示为（3，3），B点用数对表示为（6，1），C点用数对表示为（3，1），那么按角分，三角形ABC一定是( )三角形。 考点06：等腰三角形和等边三角形 【典例分析06】若等腰三角形的其中两边长分别是5cm和11cm，则此三角形的周长是（     ）cm。 A．21 B．27 C．21或27 D．16或27 【变式训练01】（判断）等边三角形，按角分，它是锐角三角形。( ) 【变式训练02】一根铁丝可以围成一个腰长12厘米，底长18厘米的等腰三角形，如果改围一个等边三角形，那么等边三角形的边长是多少厘米？ 【变式训练03】一个等腰三角形的其中两条边是9厘米和2厘米，它的周长是（　　）厘米。 A．18 B．13 C．24 D．20 【变式训练04】（判断）顶角是60°的等腰三角形一定是等边三角形。( ) 【变式训练05】一个等腰三角形的周长是36厘米，底比腰多3厘米，它的腰长是多少厘米？底长是多少厘米？ 考点07：画三角形 【典例分析07】在下面点子图上分别画一个直角三角形、一个锐角三角形和一个钝角三角形，并画出钝角三角形其中一条边上的高。 【变式训练01】画一个底为4厘米，高为3厘米的直角三角形。（图中每格代表长度是1厘米） 【变式训练02】（1）如图中每个方格表示边长为1cm的小正方形，已知点A（3，7）和点B（9，7），点C和点A、B构成等腰直角三角形的三个顶点。那么点C的位置用数对表示为C（ 　 　，　 　）（写出一种即可）。 （2）在图中画出这个三角形，并涂上阴影。 【变式训练03】（1）在点子图中画一个钝角三角形，再把它分成两个直角三角形。 （2）在点子图中画一个等腰直角三角形，并画出斜边上的高。 一、填空题 1．下面3个三角形被盖住了一个或两个角，你能知道各是什么三角形吗？ 三角形    三角形     三角形 2．汪阿姨准备用一根90厘米长的铁丝围一个等腰三角形相框，如果腰长35cm，底边长( )cm。 3．一个等腰三角形的顶角是80°，它的底角是( )；一个等腰三角形的底角是80°，它的顶角是( )。 4．有一个三角形，其中两条边分别是6cm、9cm。这个三角形的第三条边最短是( )cm，最长是( )cm。（括号里填整厘米数） 5．直角三角形中有一个锐角是53°，那么它的另一个锐角是( )°；等腰三角形的顶角是70°，那么它的一个底角是( )°。 6．在一个三角形中，已知∠1＝42º，∠2＝48º，∠3＝( )，这个三角形是( )三角形。 7．用一根24厘米长的铁丝正好可以围成一个边长是( )厘米的等边三角形。 8．用11段1米长的栅栏围成一个等腰三角形花园，有( )种不同的围法。（每边的长都是整米数） 二、判断题 9．等腰三角形和等边三角形的关系是。( ) 10．用两根长3厘米和一根长6厘米的小棒，可以摆成一个等腰三角形。( ) 11．等腰三角形中的一个底角是70度，那么它的顶角是20度。( ) 12．一个等腰三角形中，有一个角是60°，这个三角形一定是等边三角形。( ) 13．钝角三角形和直角三角形也都有3条高。   ( ) 14．直角三角形不可能是等腰三角形。( ) 15．一个三角形最多有一个直角或一个钝角。( ) 三、选择题 16．一个等腰三角形的顶角是80°，它的一个底角是( )。 A．50° B．80° C．100° 17．一个三角形最小的角是46°，这个三角形一定是（     ）。 A．直角三角形 B．锐角三角形 C．等腰三角形 18．一个等腰三角形的两条边长分别是6cm和12cm，它的另一条边长是（     ）。 A．6cm B．12cm C．无法判断 19．一个三角形中两个内角的和小于90度，这个三角形（     ）是钝角三角形。 A．一定 B．可能 C．不可能 20．一个等腰三角形，顶角的度数是底角的2倍，底角是（　 　）。 A．20° B．45° C．60° D．90° 21．在学习三角形的特征时，3名同学分别选取了3根如下的小棒，则可以围成三角形的是（     ）。 A． B． C． 22．有一个三角形，从它的顶点起，用一条直线把它分成两个三角形，每个三角形的内角和是（    ）。 A．90° B．180° C．360° 四、计算题 23．求出下面各个未知角的度数。 ① 求∠1； ② 求∠2； ③ 求∠3，∠4． 24．如图AB=AC，求∠1、∠C的度数？   25．下图中，三角形ABE,三角形ACD都是等腰三角形．已知 ∠5=70º，∠4=50º，∠1，∠2，∠ 3各是多少度？ 五、解答题 26．小明要取三根小棒．他已经取了两根，第一根长4厘米，第二根长7厘米．第三根取几厘米就一定能围成一个三角形？ 27．2024年5月22日是第31个国际生物多样性日。为迎接节日，前进小学少先队组织开展保护生物多样性的一系列活动。芳芳观察小区里的生物多样性，发现小区里有一个三角形花坛，这个三角形中两个较小角的度数和是70°，两个较大角的度数和是155°，这个三角形的3个角分别是多少度？按角分，这个三角形是什么三角形？ 28．一个等边三角形的周长是36厘米，它的一条边长是多少厘米？它的每个角是多少度？ 29．∠1、∠2、∠3是三角形的三个内角．∠2的度数是∠1的2倍，∠3的度数是∠1的3倍．你知道∠1、∠2、∠3各是多少度吗？ 第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $