第二单元 乘除法的关系和乘法运算定律（知识清单）数学西南大学版四年级下册

2025-2026学年西南大学版数学四年级下册 第二单元：乘除法的关系和乘法运算定律 知识清单 知识点01：乘除法的关系 1、乘法各部分之间的关系：因数×因数=积一个因数=积÷另一个因数 用字母表示：a×b=c c÷a=b (a≠0) c÷b=a(b≠0) 2、除法各部分之间的关系： 没有余数的除法：被除数=商×除数 除数=被除数+商 商=被除数÷除数 有余数的除法：被除数=商×除数+余数 除数=(被除数-余数)÷商 商=(被除数-余数)÷除数 3、 乘、除法之间的关系：除法是乘法的逆运算，可以作为乘除验算的依据。 注意：0不能作除数。 4、整除：a÷b(b≠0)=c则a能被b整除，b能整除a. 知识点02：乘法运算律 1、乘法交换律：两个数相乘，交换因数的位置，它们的积不变。这个规律叫做乘法交换律。用字母表示为：a×b=b×a 2、乘法结合律：三个数相乘，先把前两个数相乘再乘第三个数，或先将后两个数相乘再乘第一个数，它们的积不变。这个规律叫做乘法结合律。 用字母表示为：(a×b)×c=a×(b×c) 推广：根据乘法交换律和乘法结合律，连乘的算式，可以先把任意两个数相乘，再与剩下的数相乘。 3、乘法分配律：两个数的和与一个数相乘，可以把这两个加数分别与这个数相乘，再把积相加。这个规律叫做乘法分配律。 用字母表示为： (a±b)×c=a×c±b×c a×c±b×c=(a±b)×c 乘法分配律的推广： (a±b±……)×c=a×c±b×c±…… a×c±b×c±……=(a±b±……)×c 知识点03：解决问题 1、相遇问题： 相遇路程=速度和×相遇时间 相遇时间=相遇路程+速度和 速度和=相遇路程÷相遇时间 2、 相距问题(同向而行): 相距距离=速度差×相距时间 相距时间=相距距离÷速度差 速度差=相距距离+相距时间 3、工程问题： 工作效率之和×合做的工作时间=合做的工作总量 合做的工作总量÷工作效率之和=合做的工作时间 合做的工作总量+合做的工作时间=工作效率之和 4、关于售票问题 求人数最少，票价高的尽量多卖；求人数最多，票价低的尽量多 考点01：乘除法的关系 【典例分析01】已知：被除数＋除数＋商＋余数＝414，余数是5，商是4。根据信息我知道： （1）被除数÷除数＝( )……( )     （2）被除数＋除数＝( ) （3）（被除数－5）÷除数＝( )       （4）除数＝（414－ ）÷( )＝80 【答案】 4 5 405 4 14 5 【分析】（1）已知：被除数＋除数＋商＋余数＝414，余数是5，商是4；根据“被除数÷除数＝商……余数”可知，被除数÷除数＝4……5。 （2）已知：被除数＋除数＋商＋余数＝414，余数是5，商是4；所以，被除数＋除数＝414－5－4＝405。 （3）根据题意，由“被除数＋除数＝商……余数”，可得：（被除数－5）÷除数＝4。 （4）由“被除数＋除数＋商＋余数＝414，余数是5，商是4”，可得：（被除数＋除数－5）÷除数＝4＋1；所以，除数＝（414－5－4－5）÷5＝400÷5＝80。 【详解】（1）被除数÷除数＝4……5 （2）根据分析可得： 被除数＋除数＝414－5－4＝405； （3）根据分析可得： （被除数－5）÷除数＝4； （4）根据分析可得：（被除数＋除数－5）÷除数＝4＋1； 所以，除数＝[414－（5＋4＋5）]÷5＝[414－14]÷5＝400÷5＝80 【点睛】正确理解被除数、除数、商和余数的关系，是解答此题的关键。 【变式训练01】（判断）已知两个因数的积与其中一个因数，求另一个因数，用除法。( ) 【答案】√ 【分析】根据乘法的意义可知，因数×一个因数＝积，则另一个因数＝积÷一个因数，据此判断。 【详解】由分析可知： 已知两个因数的积与其中一个因数，求另一个因数，用除法。题干说法正确。 故答案为：√ 【变式训练02】被除数、除数、商的和是185，商是5，求被除数和除数。 【答案】被除数是150，除数是30。 【分析】由“被除数除以除数，商是5”，可知被除数=除数×5，把被除数=除数×5代入被除数+除数+商=185中，即可求出除数的数值，进而求出被除数的数值。 【详解】因为被除数÷除数=5，所以被除数=除数×5 被除数=除数×5，商=5时， 被除数+除数+商=185 除数×5+除数+5=185 除数×6=180 除数=30 当除数=30时，被除数=除数×5=30×5=150 所以被除数是150，除数是30。 【变式训练03】根据△÷○＝☆，写出一个乘法算式和一个除法算式：( )，( )。 【答案】 ○×☆＝△ △÷☆＝○ 【分析】根据除数×商＝被除数可知，△÷○＝☆，则○×☆＝△。根据除数＝被除数÷商可知，△÷○＝☆，则△÷☆＝○。 【详解】根据△÷○＝☆，写出一个乘法算式和一个除法算式：○×☆＝△，△÷☆＝○。 【点睛】本题考查除法各部分之间的关系，需熟练掌握。 【变式训练04】根据8610÷35＝246，直接写出下面两道题的得数。 246×35＝( )     8610÷246＝( ) 【答案】 8610 35 【分析】根据除法各部之间的关系：被除数÷除数＝商，被除数＝商×除数，除数＝被除数÷商，据此解答。 【解答】解：因为：8610÷35＝246， 所以：246×35＝8610； 8610÷246＝35。 故答案为：8610，35。 【点评】本题主要考查了学生对除法各部分之间关系的掌握情况。 考点02：乘法交换律和结合律 【典例分析02】如果☆×△＝45，那么（☆×104）×△＝( )；如果☆×△＝60，那么（☆×4）×（△×5）＝( )。 【答案】 4680 1200 【分析】将括号拆开，然后根据乘法的交换律和乘法结合律的特点进行计算即可。 乘法结合律的特点是三个数相乘，先把前两个数相乘，或先把后两个数相乘，积不变。 乘法交换律的特点是两个数相乘，交换两个因数的位置，积不变。 【详解】（☆×104）×△ ＝☆×104×△ ＝☆×△×104 ＝45×104 ＝4680 （☆×4）×（△×5） ＝☆×4×△×5 ＝（☆×△）×（4×5） ＝60×20 ＝1200 【点睛】熟练掌握乘法结合律与乘法交换律的特点是解答此题的关键。 【变式训练01】（判断）25×4÷25×4＝100÷100＝1。( ) 【答案】× 【分析】本题由于错用了乘法结合律而导致计算结果的错误：25×4÷25×4＝（25×4）÷（25×4）＝100÷100＝1；此算式中由于含有除法算式，不适用乘法结合律，适用乘法交换律。 【详解】25×4÷25×4 ＝25÷25×4×4 ＝1×4×4 ＝16 故答案为：× 【变式训练02】（判断）125×4×25×8＝（125×8）＋（25×4）( ) 【答案】× 【分析】运用乘法交换律和结合律，把乘积是整千或整百的两个数相乘，然后把两个积相乘。 【详解】125×4×25×8＝（125×8）×（4×25），原题计算错误。 【变式训练03】计算下面各题，怎样简便就怎样计算。 8×21×125         4×37×25 14×50×2          5×8×2×125 【答案】21000；3700；1400；10000 【分析】（1）根据乘法交换律，把8×21×125写成8×125×21来进行简便运算； （2）根据乘法交换律，把4×37×25写成4×25×37来进行简便运算； （3）根据乘法结合律，把14×50×2写成14×（50×2）来进行简便运算； （4）根据乘法的交换律和结合律，把5×8×2×125写成（5×2）×（8×125）来进行简便运算。 【详解】8×21×125 ＝8×125×21 ＝1000×21 ＝21000 4×37×25 ＝4×25×37 ＝100×37 ＝3700 14×50×2 ＝14×（50×2） ＝14×100 ＝1400 5×8×2×125 ＝（5×2）×（8×125） ＝10×1000 ＝10000 【变式训练04】2×8×125＝2×（8×125）运用了（     ）。 A．乘法交换律和结合律 B．乘法交换律和分配律 C．乘法结合律 【答案】C 【分析】试题分析：根据乘法结合律的意义，三个数相乘可以先把前两个相乘再乘第三个数，或者先把后两个相乘再乘等于个数，它们的积不变，这叫做乘法结合律．由此解答。 【详解】2×8×125＝2×（8×125）运用了乘法结合律。 故答案为：C。 【点睛】此题考查的目的是理解和掌握乘法的运算定律，能够灵活运用乘法的运算定律进行简便计算。 考点03：乘法分配律 【典例分析03】在下面算式中，与103×99结果不相等的是（     ）。 A．100×99＋3 B．103×（100－1） C．（100＋3）×99 D．103×100－103 【答案】A 【分析】根据乘法分配律将103×99化简，再与选项进行比较。 【详解】根据分析：103×99＝103×（100－1）＝103×100－103＝（100＋ 3）×99 故答案为：A 【点睛】本题无需计算出每个算式的结果，使用乘法分配律将算式化简再作答更简单。 【变式训练01】，这是根据（　　）进行简便运算的。 A．乘法分配律 B．乘法交换律 C．乘法结合律 【答案】A 【分析】乘法分配律：一个数乘两个数的和，等于这个数分别乘这两个加数，然后把乘得的积相加；用字母表示为：（a＋b）×c＝a×c＋b×c，据此解答。 【详解】46×98＋46×2 ＝46×（98＋2） ＝46×100 ＝4600 这是根据乘法分配律进行简便运算的。 故答案为：A 【点睛】此题考查的目的是理解掌握乘法分配律的意义，并且能够灵活运用乘法分配律进行简便计算。 【变式训练02】计算下面各题，能简算的要简算。 99×38＋38     45×27—45×17      163÷25÷4 102×78      88×125       251—［（72—36）÷4］ 【答案】3800；450；1.63 7956；11000；242 【分析】四则混合运算的计算顺序是先算乘除法，再算加减法；当有中括号时，应先算小括号里面的，再算中括号里面的，最后算中括号外面的。当算式有简便运算时，就结合运算定律进行简便计算即可。 【详解】99×38＋38      ＝（99＋1）×38     ＝100×38           ＝3800      45×27—45×17 ＝45×（27—17） ＝45×10 ＝450 163÷25÷4 ＝163÷（25×4） ＝163÷100 ＝1.63 102×78 ＝（100＋2）×78       ＝100×78＋2×78     ＝7800＋156 ＝7956     88×125 ＝8×125×11 ＝1000×11 ＝11000 251—［（72—36）÷4］ ＝251—［36÷4］ ＝251—9 ＝242 【变式训练03】102×a＝( )×a＋( )×a，这是根据( )律。 【答案】 100 2 乘法分配或整数乘法分配 【分析】乘法分配律的特点是两个数的和与一个数相乘，可以先把它们与这个数分别相乘，再相加；此题可将102写成100。 【详解】102×a＝（100＋2）×a＝100×a＋2×a，这是根据乘法分配律。 【点睛】熟练掌握乘法分配律的特点是解答此题的关键。 【变式训练04】（判断）38×101＝38×100＋1。( ) 【答案】× 【分析】乘法分配律是指两个数的和同一个数相乘，等于把两个加数分别同这个数相乘，再把两个积加起来，结果不变。据此解答即可。 【详解】38×101＝38×（100＋1）＝38×100＋38。 故答案为：×。 【点睛】本题考查乘法分配律的掌握情况。 考点04：相遇问题 【典例分析04】小军和小红两人从甲、乙两地骑自行车相向而行，小军每时走20千米，小红每时走25千米，两人相遇时离中点10千米。甲、乙两地相距多少千米？ 【答案】180千米 【分析】两人相遇时离中点10千米，则小红比小军多走了2个10千米，因此用小红比小军多走的路程除以小红每小时比小军每小时多走的路程，即可计算出相遇需要的时间，再根据“速度之和×相遇时间＝路程”计算出甲、乙两地的距离即可。 【详解】10×2＝20（千米） 20÷（25－20） ＝20÷5 ＝4（小时） （25＋20）×4 ＝45×4 ＝180（千米） 答：甲、乙两地相距180千米。 【点睛】此题考查的是相遇问题的计算，先计算出两人相遇需要的时间是解答此题的关键。 【变式训练01】一列慢车和一列快车同时从甲乙两站相对开出，慢车每小时行42千米，快车每小时行68千米，慢车先出发2小时后，快车开始出发，又经过4小时两车相遇。甲乙两站相距多少千米？ 【答案】524千米 【分析】用42乘2，求出慢车2小时行驶的路程；用42乘4，求出慢车4小时行驶的路程；用68乘4，求出快车4小时行驶的路程；最后把三者的路程相加即可解答。 【详解】42×2＋42×4＋68×4 ＝84＋168＋272 ＝252＋272 ＝524（千米） 答：甲乙两站相距524千米。 【点睛】熟练掌握路程＝速度×时间，是解答此题的关键。 【变式训练02】甲、乙两队学生从相隔18千米的两地同时出发，相向而行。一名同学骑自行车以每时15千米的速度在两队间不停地往返联络，甲队每小时行5千米，乙队每时行4千米，两队相遇时，骑自行车的同学共行多少千米？ 【答案】30千米 【分析】根据题意可知：甲队每小时行5千米，乙队每小时行4千米，两地相距18千米，根据路程÷速度和＝相遇时间可知，两人相遇时共行了18÷（4＋5）＝2小时，在这两小时中，这名骑自行车的学生始终在运动，所以两队相遇时，骑自行车的学生共行：15×2＝30千米。 【详解】18÷（5＋4）×15 ＝18÷9×15 ＝2×15 ＝30（千米） 答：骑自行车的学生共行28千米。 【点睛】确定甲乙相遇所用的时间，就是骑自行车同学的运动时间是解答此题的关键。 【变式训练03】两车从两地同时出发相向而行。客车每小时行40千米，小轿车每小时行80千米。小轿车因故障在途中停车修理了2小时。这样经过6小时两车在途中相遇，两地相距多少千米？ 【答案】560千米 【分析】先根据路程＝速度×时间，求出6小时客车行驶的路程；小轿车因故障在途中停车修理了2小时，所以行驶时间是4小时，进一步计算小轿车行驶的路程。最后客车行驶的路程＋小轿车行驶的路程＝两地相距多少千米。 【详解】40×6＋80×（6－2） ＝240＋80×4 ＝240＋320 ＝560（千米） 答：两地相距560千米。 【点睛】本题考查速度、时间以及路程之间数量关系，熟练掌握即可解答。 考点05：工程问题 【典例分析05】甲、乙两个工程队要挖一条长3200米的水渠，甲队每天挖45米，乙队每天挖35米，12月3日两队同时各在一端开工，他们在1月15日前能否挖完这条水渠？ 【答案】能 【分析】根据工作时间＝工作量÷工作效率，用这条水渠的长度除以甲乙两队每天挖的长度和，求出两队挖完水渠一共需要多少天。12月31天，31减去3再加上1，可以算出12月3日到12月31日有多少天，再加上14，可以算出从12月3日到1月15日前一共有多少天。再判断出他们在1月15日前能否挖完这条水渠即可。 【详解】3200÷（45＋35） ＝3200÷80 ＝40（天） 31－3＋1＋14 ＝28＋1＋14 ＝29＋14 ＝43（天） 40天＜43天 答：在1月15日前能挖完这条水渠。 【点睛】此题主要考查了工程问题的应用，对此类问题要注意把握住基本关系，即：工作量＝工作效率×工作时间，工作效率＝工作量÷工作时间，工作时间＝工作量÷工作效率，解答此题的关键是求出两队挖完水渠一共需要多少天。 【变式训练01】某校办工厂去年原计划平均每月生产文具盒3190个，实际生产11个月就完成了全年的计划任务。实际比原计划平均每月多生产多少个文具盒？ 【答案】290个 【分析】校办工厂去年原计划平均每月生产文具盒个数乘全年月数，可以算出校办工厂去年原计划生产（3190×12）个文具盒。校办工厂去年原计划生产文具盒个数除以实际生产月数，可以算出实际平均每月生产文具盒（3190×12÷11）个文具盒。校办工厂去年实际平均每月生产文具盒个数减去原计划平均每月生产文具盒个数，即可算出实际比原计划平均每月多生产（3190×12÷11－3190）个文具盒。 【详解】3190×12÷11－3190 ＝38280÷11－3190 ＝3480－3190 ＝290（个） 答：实际比原计划平均每月多生产290个。 【变式训练02】某车间要生产2100个零件，计划用12天完成．由于改进了生产技术，实际每天多生产了35个零件，完成这项生产任务实际用了多少天？ 【答案】10天 【分析】某车间计划生产的零件总个数除以计划完成天数，可以算出计划每天生产零件多少个。计划每天生产零件个数加上35个，可以算出实际每天生产零件多少个，零件总个数除以实际每天生产零件个数，即可算出完成这项生产任务实际用了多少天。 【详解】2100÷（2100÷12＋35） ＝2100÷（2100÷12＋35） ＝2100÷（175＋35） ＝2100÷210 ＝10（天） 答：完成这项生产任务实际用了10天。 【变式训练03】两个工程队两端修筑一条公路，甲队每天修45米，乙队每天35米，甲队工作2天后，乙队加入，再修5天完成了任务。这段公路全长多少米？ 【答案】490米 【分析】甲队每天修的长度乘2可以算出甲队前2天修的多少米。甲队每天修的长度加上乙队每天修的长度再乘共同修的天数，可以算出两队同时修了多少米，最后把两个长度相加即可。 【详解】45×2＝90（米 ） （45＋35）×5 ＝80×5 ＝40（米 ） 90＋400＝490（米 ） 答：这段公路全长490米。 考点06：售票问题 【典例分析06】中国共产党成立以来，人民生活蒸蒸日上，精神文化生活也越来越丰富多彩。大剧院举办大型交响乐演出，共设甲等座位80个，乙等座位360个。一场演出共收入16200元，那么本场演出最少有多少人来观看？ 甲等票价：99元 乙等票价：69元 【答案】200人 【分析】根据题意可知，甲等票价比乙等票价贵，则要使观看人数最少，应尽量多的卖出甲等票价。甲等票共有80张，收入为80×99＝7920元。总收入减去卖出甲等票价的收入，可求出卖出乙等票的收入为16200－7920＝8280元。再卖出乙等票的收入除以每张乙等票价，即可求出卖出乙等票为8280÷69＝120张。再将卖出两种票的数量相加求和。 【详解】80×99＝7920（元） （16200－7920）÷69 ＝8280÷69 ＝120（人） 120＋80＝200（人） 答：本场演出最少有200人来观看。 【点睛】解决本题的关键是明确尽量多的卖出甲等票。 【变式训练01】一个电影院有甲票座位180个，乙票座位200个。某场电影票房收入是5800元。这场电影的观众最少有多少人？ 购票须知 甲票：30元/人 乙票：10元/人 【答案】220人 【分析】观众最少时也就是甲种票全卖完，再卖掉乙种票的一部分，先根据总价＝数量×单价，求出甲种票卖得的钱数，再求出乙种票卖得的钱数，然后根据数量＝总价÷单价，求出乙种票卖出的数量，最后加上甲种票卖得的张数即可解答。 【详解】（5800－180×30）÷10＋180 ＝（5800－5400）÷10＋180 ＝400÷10＋180 ＝40＋80 ＝220（人） 答：这场电影的观众最少有220人。 【变式训练02】电影院共有一级座位100个，二级座位240个，在放映《铁血英雄》时，票房正好收入5000元。本场观众最多有多少人？ 铁血英雄 一级票：40元/人 二级票：20元/人 【答案】245人 【分析】观众最多时也就是二级票全卖完，再卖掉一级票的一部分，先根据总价＝数量×单价，求出二级票卖得的钱数，再求出一级票卖得的钱数，然后根据数量＝总价÷单价，求出一级票卖出的数量，最后加二级票卖得张数即可解答。 【详解】（5000－240×20）÷40＋240 ＝（5000－4800）÷40＋240 ＝200÷40＋240 ＝5＋240 ＝245（人） 答：本场观众最多有245人。 【变式训练03】录像厅共有甲票座位50个，乙票座位100个，一场录像票房收入为440元． （1）本场观众最少多少人？ （2）本场观众最多多少人？ 【答案】（1）（440-50×8）÷2+50， =（440-400）÷2+50， =40÷2+50， =20+50， =70（人）， 答：本场观众最少70人． （2）（440-100×2）÷8+100， =（440-200）÷8+100， =240÷8+100， =30+100， =130（人）， 答：本场观众最多130人． 【详解】（1）观众最少时也就是甲种票全卖完，再卖掉乙种票的一部分，先根据总价=数量×单价，求出甲种票卖得的钱数，再求出乙种票卖得的钱数，然后根据数量=总价÷单价，求出乙种票卖出的数量，最后加甲种票卖得张数即可解答． （2）观众最多时也就是乙种票全卖完，再卖掉甲种票的一部分，先根据总价=数量×单价，求出乙种票卖得的钱数，再求出甲种票卖得的钱数，然后根据数量=总价÷单价，求出甲种票卖出的数量，最后加乙种票卖得张数即可解答． 一、填空题 1．一套校服，上衣59元，裤子41元，购买2套，一共需要( )元。 【答案】200 【分析】先根据单价×数量＝总价，分别计算出上衣和裤子的价钱，再相加就是2套校服的价钱。计算过程中，可以根据乘法分配律：a×c＋b×c＝（a＋b）×c进行简算。 【详解】59×2＋41×2 ＝（59＋41）×2 ＝100×2 ＝200（元） 2．98×Q＝（100－2）×Q＝100×Q－2×Q这里运用了乘法( )。 【答案】分配律 【分析】乘法分配律是指两个数的和或差与一个数相乘，可以先把它们分别与这个数相乘，再相加或相减。（a＋b）×c＝a×c＋b×c 或（a－b）×c＝a×c－b×c 【详解】98×Q＝（100－2）×Q＝100×Q－2×Q这里运用了乘法分配律。 【点睛】熟练掌握乘法分配律是解答本题的关键。 3．下面算式分别运用了哪些运算定律，填在后面括号里。 25×7×4＝25×4×7。( ) 20×7×5×3＝（20×5）×（7×3）。( ) 101×125＝125×100＋125。( ) 721×A＋A×29＝（721＋29）×A。( ) 【答案】 乘法交换律 乘法交换律；乘法结合律 乘法分配律 乘法分配律 【分析】（1）乘法交换律：两个数相乘，交换两个因数的位置，积不变。 （2）乘法交换律：两个数相乘，交换两个因数的位置，积不变。乘法结合律：三个数相乘，先乘前两个数，或者先乘后两个数，积不变。 （3）（4）乘法分配律：两个数的和与一个数相乘，可以先把它们与这个数分别相乘，再相加。 【详解】25×7×4＝25×4×7，只改变了7和4的位置，所以只用了乘法交换律。 20×7×5×3＝（20×5）×（7×3），不仅改变了7和5的位置，还使20×5和7×3同时算，运用了乘法交换律，乘法结合律。 101×125＝（100＋1）×125＝125×100＋125×1＝125×100＋125，运用了乘法分配率。 721×A＋A×29＝（721＋29）×A，721×A、A×29两个式子里有相同的因数A，把相同的因数A提到括号外面，利用乘法分配律。 【点睛】此题考查乘法的运算定律，熟练掌握各个运算定律是解题的关键。 4．一个数除以25，商是36，这个数是( )。 【答案】900 【分析】在没有余数的除法中，被除数÷除数＝商，被除数＝商×除数。据此解答。 【详解】25是除数，36是商，被除数＝商×除数，36×25＝900，所以这个数是900。 【点睛】本题考查学生对除法各部分间关系的掌握。熟练运用被除数计算公式是解决此题的关键。 5．在一个除法算式中，被除数是99，商是7，余数是8，除数是( )。 【答案】13 【分析】根据被除数÷除数＝商……余数，则得除数（被除数余数）商，即可得解。 【详解】 在一个除法算式中，被除数是99，商是7，余数是8，除数是（13）。 【点睛】熟悉有余数除法中，被除数、除数、商、余数四者之间的关系是解答此题的关键。 6．根据改写成两道除法算式分别是( )( )。 【答案】 3185÷35＝91 3185÷91＝35 【分析】根据乘法算式各部分的名称和各部分之间的关系式：因数＝积÷另一个因数解答。 【详解】35×91＝3185，则： 3185÷35＝91 3185÷91＝35 故改写成两道除法算式分别是3185÷35＝91，3185÷91＝35。 【点睛】本题考查的是乘法算式各部分之间关系的运用。 7．根据运算定律在下面的横线上填上合适的数。        【答案】 63 54 37 100 1 76 【详解】（1）根据乘法分配律填空； （2）为了根据乘法分配律简算，先把99分解成。 【解答】； 。 【点睛】本题考查乘法的运算定律，乘法分配律是最常用的简便运算的方法，要熟练掌握，灵活运用。 8．小天在计算36×（☐＋20）时，错算成了36×☐＋20，那么错误的结果与正确的结果相差( )。 【答案】700 【分析】乘法分配律的特点是两个数的和与一个数相乘，可以先把它们与这个数分别相乘，再相加，用字母表示为：（a＋b）×c＝a×c＋b×c；由此可知，36×（☐＋20）比36×☐＋20多了（36×20－20），依此列式并计算。 【详解】36×（☐＋20）＝36×☐＋36×20 36×20－20 ＝（36－1）×20 ＝35×20 ＝700 错误的结果与正确的结果相差700。 二、判断题 9．46×18＋53×18＋18的简便算法是（56＋43＋1）×17。( ) 【答案】× 【分析】乘法分配律是指两个数的和与一个数相乘，可以先把它们分别与这个数相乘，再相加。计算46×18＋53×18＋18，可以把18看作是18与1的积，再利用乘法分配律可以简算，即：46×18＋53×18＋18＝（46＋53＋1）×18，而不是（56＋43＋1）×17，故原题干错误。 【详解】46×18＋53×18＋18＝（46＋53＋1）×18 故答案为：× 【点睛】熟练掌握乘法分配律的定义是解答本题的关键。 10．99×54＋54＝100×54。( ) 【答案】√ 【分析】乘法分配律的特点是两个数的和与一个数相乘，可以先把它们与这个数分别相乘，再相加；依此进行判断即可。 【详解】100＝99＋1 （99＋1）×54＝99×54＋54，这是根据乘法分配律的特点计算的。 故答案为：√ 【点睛】熟练掌握乘法分配律的特点是解答此题的关键。 11．125×32＝125×8×4运用了乘法分配律。( ) 【答案】× 【分析】把32化为8×4，再运用乘法结合律解答。 【详解】125×32＝（125×8）×4是运用了乘法结合律；所以原题说法错误。 故答案为：× 【点睛】本题主要考查学生对于乘法结合律的掌握情况。 12．（被除数－余数）÷商＝除数。( ) 【答案】√ 【分析】根据除法各部分之间的关系可知，（被除数－余数）÷商＝除数。 【详解】（被除数－余数）÷商＝除数，此算式正确。 故答案为：√ 【点睛】根据除法各部分之间的关系也可推出，除数×商＋余数＝被除数。常用来验算有余数的除法。 13．。( ) 【答案】× 【分析】乘法分配律是指两个数的和与一个数相乘，可以先把它们分别与这个数相乘，再相加；据此解题即可。 【详解】35×101 ＝35×（100＋1） ＝35×100＋35 ＝3535 所以，，是错误的。 故答案为：× 【点睛】正确理解乘法分配律的意义，并会正确运用，是解答此题的关键。 三、选择题 14．下列式子正确的是（    ）。 A．（7×4）×25＝7×25＋4×25 B．103×98＝100＋3×98 C．520－204＝520－200＋4 D．125×32×25＝（125×8）×（4×25） 【答案】D 【分析】根据整数的运算律和减法的性质逐项进行分析，得出正确的结论 【详解】A．错误使用乘法分配律，正确应使用结合律，即（7×4）×25＝7×（4×25） B．未正确使用括号，正确应为103×98＝（100＋3）×98 C．错误使用减法性质，正确应为520－204＝520－200－4 D．正确地运用乘法的结合律进行简算 故答案为：D 【点睛】本题考查整数四则混合运算中运算法则和运算律的应用，牢记并正确使用法则和运算律是解答本题的关键。 15．防疫期间为保障复工复产，李叔叔要买25箱防护口罩，每箱304元，一共需要多少钱？小明列的算式是304×25。他想用乘法分配律计算，下列算法中正确的是（    ）。 A．300×20＋4×5 B．304×20＋5 C．304×20×5 D．300×25＋4×25 【答案】D 【分析】乘法分配律：。计算304×25时，可将304拆为300＋4，再运用乘法分配律简算。即304×25＝（300＋4）×25＝300×25＋4×25。 【详解】A．304×25＝（300＋4）×（20＋5）＝300×（20＋5）＋4×（20＋5）＝300×20＋300×5＋4×20＋4×5≠300×20＋4×5，即A选项错误。 B．304×25＝304×（20＋5）≠304×20＋5，即B选项错误。 C．304×25＝304×（20＋5）≠304×20×5，即C选项错误。 D．304×25＝（300＋4）×25＝300×25＋4×25，即D选项正确。 故答案为：D 16．与345÷15结果相等的算式是（    ）。 A．345÷10÷5 B．345÷5÷3 C．345÷5×3 【答案】B 【分析】一个数连续除以两个数，可以直接将前面一个数除以后面两个数的积。 【详解】345÷5÷3＝345÷（3×5）＝345÷15 故答案为：B 【点睛】熟练掌握整数除法的性质是解答本题的关键。 17．根据乘法分配律，78×99可以简算为（    ）。 A．78×100－1 B．78×100－78 C．80×100 【答案】B 【分析】两个数相加（或相减）再乘另一个数，等于把这个数分别同两个加数（或减数）相乘，再把两个积相加（或相减），得数不变，据此解答。 【详解】78×99 ＝78×（100－1） ＝78×100－78 ＝7800－78 ＝7722 故选择：B 【点睛】此题考查了乘法分配律的运用，要学会对算式灵活变形。 18．201×17的结果与下面（　　）的结果相等． A．200×17+1 B．20×17+1×17 C．200×17+17 D．200×17﹣17 【答案】C 【详解】201×17 ＝（200+1）×17 ＝200×17+1×17 ＝3400+17 ＝3417 所以，201×17＝200×17+17． 故选C． 19．58×8×2的结果与下面（　　）的结果相等。 A．58×10    B．58×16 C．58×6 【答案】B 【分析】把16分成8×2，58乘16就等于58乘8乘2。 【详解】因为8×2＝16，所以58×8×2＝58×16 故答案为：B 20．123÷□＝6……15，求□中要填的数的方法是（    ）。 A．（123－15）÷6 B．123÷6－15 C．（123＋15）÷6 【答案】A 【分析】根据有余数的除法验算方法可知，商×除数＋余数＝被除数，再根据整数混合运算法则知，除数＝（被除数－余数）÷商，据此解答即可。 【详解】由分析知，求□中要填的数的方法是（123－15）÷6。 故答案为：A 四、计算题 21．直接写得数。 32×3＝        16×4＝        48×2＝        37＋54＝ 16×60＝       63÷21＝       53－38＝       102×8＝ 320×30＝       220÷5＝      28×101＝       240－160＝ 【答案】96；64；96；91； 960；3；15；816； 9600；44；2828；80 【详解】略 22．用简便运算。 98×68            25×125×32         347×57＋43×347              （24＋20）×5     104×25             128×52－28×52 【答案】6664；100000；34700 220；2600；5200 【分析】（1）把98写成100－2，利用乘法分配律，用100和2分别与68相乘，再把所得的积相减。 （2）把32分成4×8，利用乘法交换律和结合律，先算25×4和125×8，再把所得的积相乘。 （3）利用乘法分配律，先算57加43的和，再乘347。 （4）利用乘法分配律，先算24×5和20×5的积，再把所得的积相加。 （5）把104写成100＋4，利用乘法分配律，先算100×25和4×25的积，再把所得的积相加。 （6）利用乘法分配律，先算128－28的差，再乘52。 【详解】98×68    ＝（100－2）×68 ＝100×68－2×68 ＝6800－136 ＝6664                      25×125×32 ＝25×125×（4×8） ＝（25×4）×（125×8） ＝100×1000 ＝100000 347×57＋43×347      ＝（57＋43）×347 ＝100×347 ＝34700         （24＋20）×5 ＝24×5＋20×5 ＝120＋100 ＝220 104×25      ＝（100＋4）×25 ＝100×25＋4×25 ＝2500＋100 ＝2600                  128×52－28×52 ＝（128－28）×52 ＝100×52 ＝5200 五、解答题 23．学校买来足球和排球各18个，一共花了多少钱？ 【答案】1800元 【分析】先分别计算出18个足球的总价钱和18个排球的总价钱，然后再将两个球的总价钱相加即可。 【详解】36×18＋64×18 ＝（36＋64）×18 ＝100×18 ＝1800（元） 答：一共花了1800元。 【点睛】此题主要考查乘法分配律的灵活应用，认真解答即可。 24．4月20日，甲、乙两个工程队同时从两侧挖山洞，甲队每天挖23米，乙队每天挖25米，山洞长480米。5月1日前能完成这项工程吗？ 【答案】能 【分析】用总长度除以甲、乙两个工程队每天挖的米数之和，就是两队合作完成这项工作需要的天数。然后再根据完成这项工作需要的天数、开工日期，推算出5月1日前能否完成这项工程。 【详解】 （天 4月20日＋10天－1天 ＝4月30日－1天 ＝4月29日 4月20日这天开始，工作10天到4月29日，还不到5月1日。 答：5月1日前能完成这项工程。 【点睛】准确求出两队合作完成这项工作需要的天数是解答此题的关键。 25．长江自西向东横贯泸州市境内，甲、乙两船分别从泸州境内的东、西两地同时相向而行。甲船每小时行20千米，乙船每小时行14千米。经过4时后两船相遇，泸州境内的长江航线有多少千米？ 【答案】136千米 【分析】根据路程＝速度×时间，先用甲船每小时行驶的路程乘4小时，求出甲船行驶的路程，同理，再求出乙船行驶的路程，然后相加就是总路程，也就是泸州境内的长江航线的长度。据此解答即可。 【详解】20×4＋14×4 ＝（20＋14）×4 ＝34×4 ＝136（千米） 答：泸州境内的长江航线有136千米。 26．快、慢两车同时从两地相对开出，快车每小时行60千米，慢车每小时行50千米，3小时后，两车还相距95千米（未相遇），两地相距多少千米？ 【答案】425千米 【分析】根据“速度×时间＝路程”，先计算快车和慢车每小时行驶的路程，再乘时间3小时，然后加上两车相距的95千米，就是两地相距的长度。 【详解】（60＋50）×3＋95 ＝110×3＋95 ＝330＋95 ＝425（千米） 答：两地相距425千米。 【点睛】正确理解速度、时间和路程之间的关系，是解答此题的关键。 27．小强带着一只狗和小华同时从相距1400米的家中出发相向而行，小强每分钟走60米，小华每分钟80米。狗以每分钟120米的速度在他们两人之间往返跑，直到他们相遇为止。小狗一共跑了多少米？ 【答案】1200米 【分析】相遇时间＝路程÷速度之和，依此计算出两人相遇的时间，然后再根据“路程＝速度×时间”即可计算出小狗一共跑的路程，依此解答。 【详解】1400÷（80＋60） ＝1400÷140 ＝10（分钟） 120×10＝1200（米） 答：小狗一共跑了1200米。 【点睛】先计算出两人相遇的时间，是解答此题的关键。 28．根据图中内容进行计算。    （1）皇帝柑和水晶梨各购买12箱，一共需要付多少元？ （2）分别购买10箱车厘子和10箱皇帝柑，买车厘子比买皇帝柑多付多少元？ 【答案】（1）660元 （2）450元 【分析】（1）根据题意可知，先用加法求出每箱皇帝柑和水晶梨的总钱数，然后乘各买的箱数即可解答。 （2）根据题意可知，先用减法求出每箱车厘子比每箱皇帝多的钱数，然后再乘各买的箱数即可解答。 【详解】（1）（30＋25）×12 ＝55×12 ＝660（元） 答：一共需要付660元。 （2）（75－30）×10 ＝45×10 ＝450（元） 答：买车厘子比买皇帝柑多付450元。 【点睛】熟练掌握总价、单价和数量三者之间的关系是解答本题的关键。 第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年西南大学版数学四年级下册 第二单元：乘除法的关系和乘法运算定律 知识清单 知识点01：乘除法的关系 1、乘法各部分之间的关系：因数×因数=积一个因数=积÷另一个因数 用字母表示：a×b=c c÷a=b (a≠0) c÷b=a(b≠0) 2、除法各部分之间的关系： 没有余数的除法：被除数=商×除数 除数=被除数+商 商=被除数÷除数 有余数的除法：被除数=商×除数+余数 除数=(被除数-余数)÷商 商=(被除数-余数)÷除数 3、 乘、除法之间的关系：除法是乘法的逆运算，可以作为乘除验算的依据。 注意：0不能作除数。 4、整除：a÷b(b≠0)=c则a能被b整除，b能整除a. 知识点02：乘法运算律 1、乘法交换律：两个数相乘，交换因数的位置，它们的积不变。这个规律叫做乘法交换律。用字母表示为：a×b=b×a 2、乘法结合律：三个数相乘，先把前两个数相乘再乘第三个数，或先将后两个数相乘再乘第一个数，它们的积不变。这个规律叫做乘法结合律。 用字母表示为：(a×b)×c=a×(b×c) 推广：根据乘法交换律和乘法结合律，连乘的算式，可以先把任意两个数相乘，再与剩下的数相乘。 3、乘法分配律：两个数的和与一个数相乘，可以把这两个加数分别与这个数相乘，再把积相加。这个规律叫做乘法分配律。 用字母表示为： (a±b)×c=a×c±b×c a×c±b×c=(a±b)×c 乘法分配律的推广： (a±b±……)×c=a×c±b×c±…… a×c±b×c±……=(a±b±……)×c 知识点03：解决问题 1、相遇问题： 相遇路程=速度和×相遇时间 相遇时间=相遇路程+速度和 速度和=相遇路程÷相遇时间 2、 相距问题(同向而行): 相距距离=速度差×相距时间 相距时间=相距距离÷速度差 速度差=相距距离+相距时间 3、工程问题： 工作效率之和×合做的工作时间=合做的工作总量 合做的工作总量÷工作效率之和=合做的工作时间 合做的工作总量+合做的工作时间=工作效率之和 4、关于售票问题 求人数最少，票价高的尽量多卖；求人数最多，票价低的尽量多 考点01：乘除法的关系 【典例分析01】已知：被除数＋除数＋商＋余数＝414，余数是5，商是4。根据信息我知道： （1）被除数÷除数＝( )……( )     （2）被除数＋除数＝( ) （3）（被除数－5）÷除数＝( )       （4）除数＝（414－ ）÷( )＝80 【变式训练01】（判断）已知两个因数的积与其中一个因数，求另一个因数，用除法。( ) 【变式训练02】被除数、除数、商的和是185，商是5，求被除数和除数。 【变式训练03】根据△÷○＝☆，写出一个乘法算式和一个除法算式：( )，( )。 【变式训练04】根据8610÷35＝246，直接写出下面两道题的得数。 246×35＝( )     8610÷246＝( ) 考点02：乘法交换律和结合律 【典例分析02】如果☆×△＝45，那么（☆×104）×△＝( )；如果☆×△＝60，那么（☆×4）×（△×5）＝( )。 【变式训练01】（判断）25×4÷25×4＝100÷100＝1。( ) 【变式训练02】（判断）125×4×25×8＝（125×8）＋（25×4）( ) 【变式训练03】计算下面各题，怎样简便就怎样计算。 8×21×125         4×37×25 14×50×2          5×8×2×125 【变式训练04】2×8×125＝2×（8×125）运用了（     ）。 考点03：乘法分配律 【典例分析03】在下面算式中，与103×99结果不相等的是（     ）。 A．100×99＋3 B．103×（100－1） C．（100＋3）×99 D．103×100－103 【变式训练01】，这是根据（　　）进行简便运算的。 A．乘法分配律 B．乘法交换律 C．乘法结合律 【变式训练02】计算下面各题，能简算的要简算。 99×38＋38      45×27—45×17      163÷25÷4 102×78      88×125       251—［（72—36）÷4］ 【变式训练03】102×a＝( )×a＋( )×a，这是根据( )律。 【变式训练04】（判断）38×101＝38×100＋1。( ) 考点04：相遇问题 【典例分析04】小军和小红两人从甲、乙两地骑自行车相向而行，小军每时走20千米，小红每时走25千米，两人相遇时离中点10千米。甲、乙两地相距多少千米？ 【变式训练01】一列慢车和一列快车同时从甲乙两站相对开出，慢车每小时行42千米，快车每小时行68千米，慢车先出发2小时后，快车开始出发，又经过4小时两车相遇。甲乙两站相距多少千米？ 【变式训练02】甲、乙两队学生从相隔18千米的两地同时出发，相向而行。一名同学骑自行车以每时15千米的速度在两队间不停地往返联络，甲队每小时行5千米，乙队每时行4千米，两队相遇时，骑自行车的同学共行多少千米？ 【变式训练03】两车从两地同时出发相向而行。客车每小时行40千米，小轿车每小时行80千米。小轿车因故障在途中停车修理了2小时。这样经过6小时两车在途中相遇，两地相距多少千米？ 考点05：工程问题 【典例分析05】甲、乙两个工程队要挖一条长3200米的水渠，甲队每天挖45米，乙队每天挖35米，12月3日两队同时各在一端开工，他们在1月15日前能否挖完这条水渠？ 【变式训练01】某校办工厂去年原计划平均每月生产文具盒3190个，实际生产11个月就完成了全年的计划任务。实际比原计划平均每月多生产多少个文具盒？ 【变式训练02】某车间要生产2100个零件，计划用12天完成．由于改进了生产技术，实际每天多生产了35个零件，完成这项生产任务实际用了多少天？ 【变式训练03】两个工程队两端修筑一条公路，甲队每天修45米，乙队每天35米，甲队工作2天后，乙队加入，再修5天完成了任务。这段公路全长多少米？ 考点06：售票问题 【典例分析06】中国共产党成立以来，人民生活蒸蒸日上，精神文化生活也越来越丰富多彩。大剧院举办大型交响乐演出，共设甲等座位80个，乙等座位360个。一场演出共收入16200元，那么本场演出最少有多少人来观看？ 甲等票价：99元 乙等票价：69元 【变式训练01】一个电影院有甲票座位180个，乙票座位200个。某场电影票房收入是5800元。这场电影的观众最少有多少人？ 购票须知 甲票：30元/人 乙票：10元/人 【变式训练02】电影院共有一级座位100个，二级座位240个，在放映《铁血英雄》时，票房正好收入5000元。本场观众最多有多少人？ 铁血英雄 一级票：40元/人 二级票：20元/人 【变式训练03】录像厅共有甲票座位50个，乙票座位100个，一场录像票房收入为440元． （1）本场观众最少多少人？ （2）本场观众最多多少人？ 一、选择题 1．下列式子正确的是（     ）。 A．（7×4）×25＝7×25＋4×25 B．103×98＝100＋3×98 C．520－204＝520－200＋4 D．125×32×25＝（125×8）×（4×25） 2．防疫期间为保障复工复产，李叔叔要买25箱防护口罩，每箱304元，一共需要多少钱？小明列的算式是304×25。他想用乘法分配律计算，下列算法中正确的是（     ）。 A．300×20＋4×5 B．304×20＋5 C．304×20×5 D．300×25＋4×25 3．与345÷15结果相等的算式是（     ）。 A．345÷10÷5 B．345÷5÷3 C．345÷5×3 4．根据乘法分配律，78×99可以简算为（     ）。 A．78×100－1 B．78×100－78 C．80×100 5．201×17的结果与下面（　 　）的结果相等． A．200×17+1 B．20×17+1×17 C．200×17+17 D．200×17﹣17 6．58×8×2的结果与下面（　 　）的结果相等。 A．58×10    B．58×16 C．58×6 7．123÷□＝6……15，求□中要填的数的方法是（     ）。 A．（123－15）÷6 B．123÷6－15 C．（123＋15）÷6 二、填空题 8．一套校服，上衣59元，裤子41元，购买2套，一共需要( )元。 9．98×Q＝（100－2）×Q＝100×Q－2×Q这里运用了乘法( )。 10．下面算式分别运用了哪些运算定律，填在后面括号里。 25×7×4＝25×4×7。( ) 20×7×5×3＝（20×5）×（7×3）。( ) 101×125＝125×100＋125。( ) 721×A＋A×29＝（721＋29）×A。( ) 11．一个数除以25，商是36，这个数是( )。 12．在一个除法算式中，被除数是99，商是7，余数是8，除数是( )。 13．根据改写成两道除法算式分别是( )( )。 14．根据运算定律在下面的横线上填上合适的数。   15．小天在计算36×（☐＋20）时，错算成了36×☐＋20，那么错误的结果与正确的结果相差( )。 三、判断题 16．46×18＋53×18＋18的简便算法是（56＋43＋1）×17。( ) 17．99×54＋54＝100×54。( ) 18．125×32＝125×8×4运用了乘法分配律。( ) 19．（被除数－余数）÷商＝除数。( ) 20．。( ) 四、计算题 21．直接写得数。 32×3＝          16×4＝          48×2＝           37＋54＝ 16×60＝        63÷21＝        53－38＝        102×8＝ 320×30＝        220÷5＝       28×101＝        240－160＝ 22．用简便运算。 98×68             25×125×32          347×57＋43×347              （24＋20）×5      104×25              128×52－28×52 五、解答题 23．学校买来足球和排球各18个，一共花了多少钱？ 24．4月20日，甲、乙两个工程队同时从两侧挖山洞，甲队每天挖23米，乙队每天挖25米，山洞长480米。5月1日前能完成这项工程吗？ 25．长江自西向东横贯泸州市境内，甲、乙两船分别从泸州境内的东、西两地同时相向而行。甲船每小时行20千米，乙船每小时行14千米。经过4时后两船相遇，泸州境内的长江航线有多少千米？ 26．快、慢两车同时从两地相对开出，快车每小时行60千米，慢车每小时行50千米，3小时后，两车还相距95千米（未相遇），两地相距多少千米？ 27．小强带着一只狗和小华同时从相距1400米的家中出发相向而行，小强每分钟走60米，小华每分钟80米。狗以每分钟120米的速度在他们两人之间往返跑，直到他们相遇为止。小狗一共跑了多少米？ 28．根据图中内容进行计算。    （1）皇帝柑和水晶梨各购买12箱，一共需要付多少元？ （2）分别购买10箱车厘子和10箱皇帝柑，买车厘子比买皇帝柑多付多少元？ 第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $