专题08 计数原理与概率统计（8大考点）（黑吉辽蒙专用）2026年高考数学一模分类汇编

专题08 计数原理与概率统计 8大考点概览 考点01统计 考点02概率 考点03排列组合 考点04二项式定理 考点05随机变量及其分布 考点06正态分布 考点07独立性检验 考点08概率与其他知识交汇问题 统计 考点1 1．（2026·三省三校·一模）样本数据，，，，的第百分位数是（    ） A． B． C． D． 2．（2026·辽宁沈阳·一模）样本数据的第70百分位数次为（   ） A．7 B．9 C．9.5 D．10 3．（2026·黑龙江海伦市六中·一模）学校运动会十名护旗手身高（单位：cm）分别为175，178，177，174，176，175，179，180，178，176，则十名护旗手身高的分位数为（    ） A．177.5 B．178 C．178.5 D．179 4．（2026·黑龙江哈尔滨·一模）统计学中，常以前个区间的平均长度估计所有区间的平均长度.某工厂生产的零件以个为一箱，成箱出售（）.每箱中的零件按照生产顺序，从1到连续编号.现从一箱中随机抽取6个零件，发现上面的编号从小到大依次为：12，15，33，38，55，60，则下列4个选项中，作为的估计值，最合适的一项是（    ） A．61 B．70 C．98 D．120 5．（2026·吉林白城·一模）（多选）有一组样本数据，其平均数为4，方差为，中位数为m．在这组数中，去掉一个最大的数6和一个最小的数2，余下6个数据的中位数为n，方差为，极差为t，则（   ） A． B． C． D． 6．（2026·内蒙古锡林郭勒盟二中·一模）如图是根据某校学生在一次数学考试中的成绩画出的频率分布直方图，则该次数学成绩的50%分位数约为（采用四舍五入法精确到1）（   ） A．76 B．77 C．78 D．79 7．（2026·辽宁辽阳·一模）（多选）某市10公里慢跑自2020年首次推出5条路线实现“五龙汇聚”，参与人数逐年增加.下图分别为该市2020年10公里慢跑参与人数的条形统计图（图1）、2025年10公里慢跑参与人数的扇形统计图（图2），已知2025年一号线的参与人数是2020年一号线参与人数的1.5倍，则（    ） A．2025年该市10公里慢跑总的参与人数是6万 B．2025年五号线的参与人数超过了2020年二号线与三号线的参与人数总和 C．2020年，五条路线对应的参与人数的极差是11千 D．2025年与2020年相比，五条路线中对应的参与人数的增长率最高的是一号线 概率 考点2 1．（2026·黑龙江研远联合·一模）从1，2，3，4这四个数中随机选取两个数，所取两个数之和为5的概率是（   ） A． B． C． D． 2．（2026·黑龙江哈尔滨·一模）2026年央视春晚舞蹈机器人节目《武Bot》惊艳全球！其中，机器人以“似倒非倒”的姿态将醉拳的飘逸与力量完美融合.根据系统日志，一个机器人执行“后空翻”任务时，落地状态仅存在三种互斥的情况： ①平稳落地（概率为0.7）：动作精准，必定能站稳； ②踉跄落地（概率为0.2）：重心略偏，能站稳； ③近乎倒地（概率为0.1）：姿态失衡，能站稳. 则这个机器人执行后空翻任务时能站稳的概率为（   ） A．0.9 B．0.91 C．0.92 D．0.93 3．（2026·辽宁沈阳·一模）（多选）已知事件，满足，，则下列结论正确的是(    ). A．若，则 B．若与互斥，则 C．若，则与相互独立 D．若与相互独立，则 4．（2026·辽宁大连·一模）从某小区抽取100户居民用户进行月用电量调查，发现他们的用电量都在之间，进行适当分组后（每组为左闭右开的区间），画出如图所示的频率分布直方图. (1)求频率分布直方图中的值； (2)估计月用电量样本数据的中位数； (3)在该小区所有居民用户中随机抽取一用户，已知的月用电量落在区间中，估计的月用电量恰好落在区间中的概率. 排列组合 考点3 1．（2026·黑龙江哈尔滨·一模）下图是由七个圆和八条线段构成的图形（该图形不能旋转和翻转），其中由同一条线段连通的两个圆称作“相邻的圆”.若将1，2，3，4，5，6，7这七个数字分别填入这七个圆中，且满足带有阴影的圆中的数字大于其所有相邻的圆中的数字，则符合要求的填法共有____________种. 2．（2026·黑龙江·一模）黑龙江省实验中学科技节活动，将4位学生志愿者分配到创客中心、校园电视台、体育馆三个地点参加志愿活动，若每个地点至少需要1名学生，每位志愿者仅去一个地点，则不同的分配方法种数为（   ） A．81 B．72 C．36 D．12 3．（2026·内蒙古呼和浩特·一模）世界第三届无人驾驶智能大赛在天津召开，现在要从小张､小赵､小李､小罗､小王五名志愿者中选派四人分别从事翻译､安保､礼仪､服务四项不同工作，若小张和小赵只能从事前两项工作，其余三人均能从事这四项工作，则不同的选派方案共有（    ）种. A．120 B．60 C．24 D．36 二项式定理 考点4 1．（2026·吉林白城联合体·一模）二项式的展开式中常数项为_____. 2．（2026·辽宁沈阳·一模）已知，二项式的展开式中所有项的系数和为64，则展开式中的常数项为__________. 3．（2026·三省三校·一模）（多选）已知，则（    ） A． B． C． D． 随机变量及其分布列 考点5 1．（2026·黑龙江·一模）（多选）对芯片的性能要求很高，传统的硅基芯片在逐渐接近1nm工艺之后面临的技术限制很多，某企业使用新技术对某款芯片制造工艺进行改进，试产期每天都需要同步进行产品检测，假设试产期共有甲、乙、丙三条生产线且每天的生产数据如下表所示： 生产线 次品率 产量（件／天） 甲 200 乙 500 丙 300 试产期检测方式包括智能检测和人工检测，选择检测方式的规则如下：第一天选择智能检测，随后每天由计算机随机等可能生成数字“0”或“1”，连续生成4次，把4次的数字相加，若和小于3，则该天检测方式和前一天相同，否则选择另一种检测方式．则下列选项中正确的是（   ） A．若每天任检测一件产品，则这件产品为次品的概率为 B．若每天任检测一件产品，检测到这件产品是次品，则该次品来自乙生产线的概率为 C．若计算机4次生成的数字之和为，则 D．设表示事件第天该企业产品检测选择的是智能检测，则 2．（2026·辽宁辽阳·一模）在边长为1cm的正方形中，一点从处出发沿着边移动.掷一枚骰子，若向上的点数等于6，则该点沿平行于的方向（正反方向均可）移动1cm；若向上的点数小于6，则该点沿平行于的方向（正反方向均可）移动1cm.设掷次骰子后，该点回到，，处的概率分别为，，. (1)求. (2)设掷4次骰子，该点经过处的次数为，求的分布列. (3)若随机变量服从两点分布，且，，则，记掷前次骰子（即从第1次到第次掷骰子）的过程中，该点经过处的次数为，求. 3．（2026·内蒙古呼和浩特·一模）已知甲、乙两个袋子，其中甲袋内有1个红球和3个白球，乙袋内有2个红球和2个白球．根据下列规则进行连续有放回的摸球（每次只摸1个球）：先随机选择一个袋子摸球．若选中甲袋，则后续每次均选择甲袋摸球；若选中乙袋，则后续再随机选择一个袋子摸球． (1)按照上述规则摸球3次．当第1次选中的是甲袋，求摸到红球的个数的分布列及期望； (2)按照上述规则进行连续摸球，若摸到2次红球则停止摸球．求3次之内（含3次）停止摸球的概率． 4．（2026·黑龙江·一模）近年来，全球数字化进程持续加速，人工智能（Artificial Intelligence，简称AI）已然成为科技变革的核心驱动力，有媒体称DeepSeek开启了我国AI新纪元.某地区随机调查了经常使用某AI工具的360名用户，统计他们的年龄，得到如下的统计表： 第一组 第二组 第三组 第四组 第五组 年龄 人数 30 150 90 60 30 (1)利用统计表中的数据试估计该AI工具用户的平均年龄； (2)已知用分层随机抽样的方法，从上面360名用户中随机抽取了12人，现从这12人中随机抽取4人，记抽到第一组的人数为m，第二组的人数为n．设，求的分布列； (3)已知该工具对某20个问题能准确答对其中的（，且）个．若从这20个问题中随机抽取10个对该工具提问，恰好答对3个问题的概率最大，求此时的取值． 正态分布 考点6 1．（2026·黑龙江哈尔滨·一模）已知随机变量，，则______. 独立性检验 考点7 1．（2026·黑龙江哈尔滨·一模）为了探究学生完成数学作业情况与成绩之间的联系，某学校采用按比例分层抽样的方式得到200名学生的测验成绩，样本中认真完成作业的学生成绩频率分布直方图如图1所示.若认为成绩不低于120分为优秀，且数学成绩为优秀的学生年级分布扇形图如图2所示，已知样本中高三年级有15位同学成绩为优秀，且在所有数学成绩为优秀的学生中，认真完成作业的学生占. (1)求a的值，并且计算出样本中认真完成作业的学生成绩的下四分位数； (2)根据样本数据完成下方列联表，依据小概率值的独立性检验，分析认真完成作业与成绩是否有关. 认真完成作业 不认真完成作业 成绩优秀 成绩不优秀 附：. 0.1 0.05 0.01 0.005 0.001 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828 2．（2026·三省三校·一模）截至2025年底，我国新能源汽车保有量达到4397万辆，占汽车总产量的12%．某城市研究小组调查了300名汽车驾驶员对新能源汽车和燃油汽车的偏好程度，将调查结果整理成如下列联表.现统计得出样本中偏好燃油汽车的人数占样本总数的50%，女性驾驶员的样本占样本总数的，偏好燃油汽车的男性驾驶员的样本有120人． 偏好燃油汽车 偏好新能源汽车 合计 男性驾驶员 120 女性驾驶员 合计 300 (1)请根据已知条件将上述列联表补充完整，并依据小概率值的独立性检验，分析对燃油汽车和新能源汽车的偏好是否与驾驶员性别有关联.如果有关联，解释它们之间如何影响. (2)现从女性驾驶员中按对燃油汽车和新能源汽车的偏好用分层抽样法抽取8人做进一步访谈，然后从这8人中随机抽取3人填写调查问卷，记抽取的3人中偏好新能源汽车的人数为X，求X的分布列及数学期望． 参考公式及数据：，． 0.1 0.05 0.01 0.005 0.001 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828 3．（2026·吉林白城联合体·一模）为研究甲、乙两种治疗方案的疗效，从选择甲、乙方案进行治疗的患者中随机抽取2000名得到如下列联表： 效果明显 效果不明显 合计 甲方案 1000 200 1200 乙方案 600 200 800 合计 1600 400 2000 (1)根据小概率值的独立性检验，分析治疗效果与选择甲、乙方案是否有关联； (2)在800名选择乙方案的患者中按效果是否明显用分层随机抽样的方法抽取8人，再从这8名患者中随机抽取4人，设表示4名患者中效果不明显的人数，求的分布列和数学期望． 附：． 0.1 0.01 0.001 2.706 6.635 10.828 概率与其他知识交汇问题 考点8 1．（2026·三省三校·一模）有个编号分别为1，2，…，n的盒子，第1个盒子中有2个白球1个黑球，其余盒子中均为1个白球1个黑球，现从第1个盒子中任取一球放入第2个盒子，再从第2个盒子中任取一球放入第3个盒子，以此类推，则从第2个盒子中取到白球的概率是______，从第个盒子中取到白球的概率是______． 2．（2026·辽宁大连·一模）连续抛掷一枚质地均匀的硬币（正面向上和反面向上的概率均为），当向上的结果出现“正面-反面”或“反面-正面”时，游戏结束.若抛掷50次，向上的结果没有出现“正面-反面”或“反面-正面”，游戏也结束.游戏结束时，记抛掷总次数为，若（为正整数），则的最小值为__________. 3．（2026·黑龙江哈尔滨·一模）如图，一动点从点出发，在正方形ABCD的各顶点上移动.每次移动时，动点有的概率沿水平方向向左或右移动一次，有的概率沿竖直方向向上或下移动一次，每次移动独立.设动点移动了（）步之后，停在点的概率为. (1)求，； (2)求的通项公式； (3)记点的前次移动中，到达过点的次数为，求证：. 参考公式：若随机变量服从两点分布且，，，则 4．（2026·辽宁沈阳·一模）已知随机变量的取值为非负整数，其分布列为： 0 1 2 其中，且.由生成的函数为. (1)若生成的函数为，设事件：当为奇数时，求的值； (2)现有编号为一和二的两个盒子，在盒一中有1个红球，在盒二中有2个蓝球和4个绿球（球的颜色不同，其他完全相同）.若随机选两个盒中的一个盒，再取出一个球，选择盒一的概率为，设随机变量生成的函数为，其中分别对应取到红球､蓝球､绿球的概率. 请判断与的大小关系； (3)从方程的自然数中等可能地随机选取一组解，用表示一组解中最小的数，此时由生成的函数记为，令，求的极小值点. 1 / 29 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题08 计数原理与概率统计 8大考点概览 考点01统计 考点02概率 考点03排列组合 考点04二项式定理 考点05随机变量及其分布 考点06正态分布 考点07独立性检验 考点08概率与其他知识交汇问题 统计 考点1 1．（2026·三省三校·一模）样本数据，，，，的第百分位数是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据百分位数计算公式计算即可. 【详解】因为，所以这组数据的第60百分位数是. 故选：B 2．（2026·辽宁沈阳·一模）样本数据的第70百分位数次为（   ） A．7 B．9 C．9.5 D．10 【答案】D 【分析】利用第百分位数的定义即可求解. 【详解】 数据的第70百分位数为10． 故选：D． 3．（2026·黑龙江海伦市六中·一模）学校运动会十名护旗手身高（单位：cm）分别为175，178，177，174，176，175，179，180，178，176，则十名护旗手身高的分位数为（    ） A．177.5 B．178 C．178.5 D．179 【答案】C 【分析】根据百分位数的求法计算即可. 【详解】先将这十名护旗手的身高进行从小到大排序，得： 174，175，175，176，176，177，178，178，179，180， 因为，为整数，故取第个数与第个数的平均数， 即十名护旗手身高的分位数为， 故选：C. 4．（2026·黑龙江哈尔滨·一模）统计学中，常以前个区间的平均长度估计所有区间的平均长度.某工厂生产的零件以个为一箱，成箱出售（）.每箱中的零件按照生产顺序，从1到连续编号.现从一箱中随机抽取6个零件，发现上面的编号从小到大依次为：12，15，33，38，55，60，则下列4个选项中，作为的估计值，最合适的一项是（    ） A．61 B．70 C．98 D．120 【答案】B 【分析】根据统计估计计算求解. 【详解】根据已知从1到连续编号.现从一箱中随机抽取6个零件，发现上面的编号从小到大依次为：12，15，33，38，55，60， 则，所以. 5．（2026·吉林白城·一模）（多选）有一组样本数据，其平均数为4，方差为，中位数为m．在这组数中，去掉一个最大的数6和一个最小的数2，余下6个数据的中位数为n，方差为，极差为t，则（   ） A． B． C． D． 【答案】ACD 【分析】由排序确定中位数不变，通过分析极差可以为4，最后运用方差的公式寻求前后数据的方差关系进而得到结论. 【详解】对于A，令，原中位数，将最大最小去掉后，，此时中位数，所以.故A正确. 对于B，，故B错误. 对于C，因为原数据的平均值为4，所以，去掉，，新的平均值为. 又 所以，因此，故C正确. 对于D，由上述计算，故D正确. 6．（2026·内蒙古锡林郭勒盟二中·一模）如图是根据某校学生在一次数学考试中的成绩画出的频率分布直方图，则该次数学成绩的50%分位数约为（采用四舍五入法精确到1）（   ） A．76 B．77 C．78 D．79 【答案】B 【分析】从频率分布直方图中求出各组的频率，判断出50%分位数在第三组内，列式求解即可. 【详解】从左到右前2个小组的频率分别为，，第3个小组的频率为， 又，， 故50%分位数在内，. 故选：B. 7．（2026·辽宁辽阳·一模）（多选）某市10公里慢跑自2020年首次推出5条路线实现“五龙汇聚”，参与人数逐年增加.下图分别为该市2020年10公里慢跑参与人数的条形统计图（图1）、2025年10公里慢跑参与人数的扇形统计图（图2），已知2025年一号线的参与人数是2020年一号线参与人数的1.5倍，则（    ） A．2025年该市10公里慢跑总的参与人数是6万 B．2025年五号线的参与人数超过了2020年二号线与三号线的参与人数总和 C．2020年，五条路线对应的参与人数的极差是11千 D．2025年与2020年相比，五条路线中对应的参与人数的增长率最高的是一号线 【答案】ACD 【分析】根据直方图、扇形图分析、年各路线对应慢跑人数，结合各项描述、极差的概念判断各项的正误. 【详解】由图及已知，年一号线参与人数为千人， 所以年参加10公里慢跑人数为千人，即6万人，A对， 所以年五号线的参与人数为千人， 且年二号线、三号线的参与人数总和为千人，显然B错， 年五条路线参与人数的极差为千人，C对， 由图及上述分析，年一号到五号线的人数依次为千人， 而年一号到五号线的人数依次为千人， 2025年与2020年相比，五条路线中对应的参与人数的增长率依次为： ，，，，， 所以2025年与2020年相比，五条路线中对应的参与人数的增长率最高的是一号线，D对. 故选：ACD 概率 考点2 1．（2026·黑龙江研远联合·一模）从1，2，3，4这四个数中随机选取两个数，所取两个数之和为5的概率是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据古典概型运算公式，结合列举法进行求解即可. 【详解】从1，2，3，4这四个数中随机选取两个数，用集合表示为： ，共种情况， 其中符合所取两个数之和为5，共种情况， 所以所取两个数之和为5的概率是. 故选：B 2．（2026·黑龙江哈尔滨·一模）2026年央视春晚舞蹈机器人节目《武Bot》惊艳全球！其中，机器人以“似倒非倒”的姿态将醉拳的飘逸与力量完美融合.根据系统日志，一个机器人执行“后空翻”任务时，落地状态仅存在三种互斥的情况： ①平稳落地（概率为0.7）：动作精准，必定能站稳； ②踉跄落地（概率为0.2）：重心略偏，能站稳； ③近乎倒地（概率为0.1）：姿态失衡，能站稳. 则这个机器人执行后空翻任务时能站稳的概率为（   ） A．0.9 B．0.91 C．0.92 D．0.93 【答案】D 【分析】根据全概率公式求解即可. 【详解】. 3．（2026·辽宁沈阳·一模）（多选）已知事件，满足，，则下列结论正确的是(    ). A．若，则 B．若与互斥，则 C．若，则与相互独立 D．若与相互独立，则 【答案】BC 【分析】根据给定条件，结合概率的性质、互斥事件、相互独立事件的概率公式，逐项分析判断即可. 【详解】对于A，由，得，A错误； 对于B，由A与B互斥，得，B正确； 对于C，由，得，则A与B相互独立，C正确； 对于D，由A与B相互独立，得，相互独立，则，D错误. 故选：BC 4．（2026·辽宁大连·一模）从某小区抽取100户居民用户进行月用电量调查，发现他们的用电量都在之间，进行适当分组后（每组为左闭右开的区间），画出如图所示的频率分布直方图. (1)求频率分布直方图中的值； (2)估计月用电量样本数据的中位数； (3)在该小区所有居民用户中随机抽取一用户，已知的月用电量落在区间中，估计的月用电量恰好落在区间中的概率. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据频率分布直方图中，所有矩形的面积之和为1，列式计算，即可得答案； （2）判断出样本数据的中位数落在哪个区间内，进而根据中位数的求解方法列式，即可求得答案； （3）先求出区间内的频率，再求出区间内的频率，根据概率的计算公式即可估计的月用电量恰好落在中的概率. 【详解】（1）频率分布直方图中，所有矩形的面积之和为1，每组的组距为50， 根据上述性质可得： , 解得； （2）首先计算前几组的频率： 区间的频率：， 区间的频率：， 区间的频率：， 前两组频率之和为，前三组频率之和为， 所以中位数在内， 设中位数为m，则， 解得； （3）先计算区间的频率： 区间的频率：， 区间的频率：， 区间的频率：， 所以区间的频率为，区间的频率为0.18， M的月用电量落在区间中时， 恰好落在区间中的概率为. 排列组合 考点3 1．（2026·黑龙江哈尔滨·一模）下图是由七个圆和八条线段构成的图形（该图形不能旋转和翻转），其中由同一条线段连通的两个圆称作“相邻的圆”.若将1，2，3，4，5，6，7这七个数字分别填入这七个圆中，且满足带有阴影的圆中的数字大于其所有相邻的圆中的数字，则符合要求的填法共有____________种. 【答案】200 【详解】 将有阴影的圆分别标为， 由于带有阴影的圆中的数字大于其所有相邻的圆中的数字， 当阴影的圆中的数字为时，则将填在中有种方法，接着剩下的个数字填到圆中有种方法，所以共有种方法； 当阴影的圆中的数字为时，若将填到，则接着安排有种方法，与相邻的两个圆只能从中选两个有种方法，剩下两个数有种填法，所以共有种方法； 若将填到或，有种方法，则接着安排有种方法，与相邻的三个圆只能填有种方法，剩下一个数有种填法，所以共有种方法； 当阴影的圆中的数字为时，则只能填到，则接着安排有种方法，与相邻的两个圆只能安排有种方法，剩下两个数有种填法，所以共有种方法； 所以总共有种填法. 故答案为： 2．（2026·黑龙江·一模）黑龙江省实验中学科技节活动，将4位学生志愿者分配到创客中心、校园电视台、体育馆三个地点参加志愿活动，若每个地点至少需要1名学生，每位志愿者仅去一个地点，则不同的分配方法种数为（   ） A．81 B．72 C．36 D．12 【答案】C 【分析】利用排列数与组合数定义计算即可得. 【详解】先从四人中选出两人当成一组，共种分法， 再将三组人进行分配，共种， 故共有种分配方法. 3．（2026·内蒙古呼和浩特·一模）世界第三届无人驾驶智能大赛在天津召开，现在要从小张､小赵､小李､小罗､小王五名志愿者中选派四人分别从事翻译､安保､礼仪､服务四项不同工作，若小张和小赵只能从事前两项工作，其余三人均能从事这四项工作，则不同的选派方案共有（    ）种. A．120 B．60 C．24 D．36 【答案】D 【分析】根据题意，小张和小赵只能从事前两项工作，由此分为2种情况讨论，结合排列组合，即可求解. 【详解】根据题意可分为2种情况讨论： （i）若小张或小赵只有一人入选，则有种不同的选派方案； （ii）若小张，小赵都入选则有种不同的选派方案， 综上可得，共有种不同的选派方案. 故选：D 二项式定理 考点4 1．（2026·吉林白城联合体·一模）二项式的展开式中常数项为_____. 【答案】 【分析】先根据二项式展开式的通项公式求出展开式的通项，再令通项中次数为0，求出对应的值，进而得到常数项. 【详解】二项式的展开式的通项为， 令，得，所以常数项为. 因此二项式的展开式中常数项为. 故答案为： 2．（2026·辽宁沈阳·一模）已知，二项式的展开式中所有项的系数和为64，则展开式中的常数项为__________. 【答案】 【分析】根据赋值法，结合二项式的通项公式进行求解即可. 【详解】因为二项式的展开式中所有项的系数和为64， 所以，或舍去， 二项式的通项公式为， 令， 所以展开式中的常数项为. 故答案为： 3．（2026·三省三校·一模）（多选）已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】AD 【分析】结合赋值法、导数运算以及二项式展开式的通项公式求得正确答案. 【详解】由， 令得，A选项正确. 令得，B选项错误. 二项式展开式的通项公式为， 由此可知是负数，为正数， 所以令得， ， 即，C选项错误 由， 两边求导得， 令得，所以D选项正确. 故选：AD 随机变量及其分布列 考点5 1．（2026·黑龙江·一模）（多选）对芯片的性能要求很高，传统的硅基芯片在逐渐接近1nm工艺之后面临的技术限制很多，某企业使用新技术对某款芯片制造工艺进行改进，试产期每天都需要同步进行产品检测，假设试产期共有甲、乙、丙三条生产线且每天的生产数据如下表所示： 生产线 次品率 产量（件／天） 甲 200 乙 500 丙 300 试产期检测方式包括智能检测和人工检测，选择检测方式的规则如下：第一天选择智能检测，随后每天由计算机随机等可能生成数字“0”或“1”，连续生成4次，把4次的数字相加，若和小于3，则该天检测方式和前一天相同，否则选择另一种检测方式．则下列选项中正确的是（   ） A．若每天任检测一件产品，则这件产品为次品的概率为 B．若每天任检测一件产品，检测到这件产品是次品，则该次品来自乙生产线的概率为 C．若计算机4次生成的数字之和为，则 D．设表示事件第天该企业产品检测选择的是智能检测，则 【答案】ABD 【分析】利用全概率公式计算可判断A的真假；利用条件概率公式进行计算可判断B的真假；利用二项分布的有关计算可判断C的真假；先探索的递推公式，再根据递推公式求通项公式可判断D的真假. 【详解】对于A：设每天任检测一件产品，这件产品是次品为事件B， 这件产品来自甲，乙，丙三条生产线分别为事件，，， 则由 ，故A正确； 对于B：由A选项的解析可知，故B正确． 对于C：因为，， 所以，故C错误； 对于D：由， 即， 所以数列是以为首项，为公比的等比数列， 则，所以，故D正确； 2．（2026·辽宁辽阳·一模）在边长为1cm的正方形中，一点从处出发沿着边移动.掷一枚骰子，若向上的点数等于6，则该点沿平行于的方向（正反方向均可）移动1cm；若向上的点数小于6，则该点沿平行于的方向（正反方向均可）移动1cm.设掷次骰子后，该点回到，，处的概率分别为，，. (1)求. (2)设掷4次骰子，该点经过处的次数为，求的分布列. (3)若随机变量服从两点分布，且，，则，记掷前次骰子（即从第1次到第次掷骰子）的过程中，该点经过处的次数为，求. 【答案】(1)； (2)分布列见解析； (3). 【分析】（1）根据独立事件的乘法公式和互斥事件的加法公式即可得到答案； （2）首先分析出的可能取值为0，1，2，再分别写出其对应的概率； （3）根据题意得到方程组，变形后构造得数列为等比数列，求出其通项公式，再利用分组求和法即可得到期望值. 【详解】（1）已知每一步沿平行于的方向移动的概率为， 沿平行于的方向移动的概率为，两次移动后回到处有两种情况， 沿着或方向来回，故. （2）由题意可知，的可能取值为0，1，2， 则， ， . 所以的分布列为： 0 1 2 （3）注意到掷偶数次时，该点不可能停在处或处，故． 由第一问，故掷两次后停在处的概率为， 由题意得， 两式相减得， 则数列是以为首项，为公比的等比数列，所以， 又因为，所以． 将该点出现在处记为1，出现在处记为0，故随机变量服从两点分布， ， 故． 3．（2026·内蒙古呼和浩特·一模）已知甲、乙两个袋子，其中甲袋内有1个红球和3个白球，乙袋内有2个红球和2个白球．根据下列规则进行连续有放回的摸球（每次只摸1个球）：先随机选择一个袋子摸球．若选中甲袋，则后续每次均选择甲袋摸球；若选中乙袋，则后续再随机选择一个袋子摸球． (1)按照上述规则摸球3次．当第1次选中的是甲袋，求摸到红球的个数的分布列及期望； (2)按照上述规则进行连续摸球，若摸到2次红球则停止摸球．求3次之内（含3次）停止摸球的概率． 【答案】(1)分布列见解析， (2) 【分析】（1）利用二项分布的概率和期望公式求解即可； （2）利用全概率公式求解即可. 【详解】（1）法一：由题意得的可能取值为． ，， ，． 0 1 2 3 因此． 法二：由题意得的可能取值为． 又，故（）． 因此． （2）设事件“次之内（含次）停止摸球”， 事件“第次摸到红球，第次摸到红球”； 事件“第次摸到红球，第次摸到白球，第次摸到红球”； 事件“第次摸到白球，第次摸到红球，第次摸到红球”； 事件“首次选择甲袋是第次摸球”（）， 事件“一直没有选择甲袋”． 则 ． ． ． 因此． 4．（2026·黑龙江·一模）近年来，全球数字化进程持续加速，人工智能（Artificial Intelligence，简称AI）已然成为科技变革的核心驱动力，有媒体称DeepSeek开启了我国AI新纪元.某地区随机调查了经常使用某AI工具的360名用户，统计他们的年龄，得到如下的统计表： 第一组 第二组 第三组 第四组 第五组 年龄 人数 30 150 90 60 30 (1)利用统计表中的数据试估计该AI工具用户的平均年龄； (2)已知用分层随机抽样的方法，从上面360名用户中随机抽取了12人，现从这12人中随机抽取4人，记抽到第一组的人数为m，第二组的人数为n．设，求的分布列； (3)已知该工具对某20个问题能准确答对其中的（，且）个．若从这20个问题中随机抽取10个对该工具提问，恰好答对3个问题的概率最大，求此时的取值． 【答案】(1) (2)分布列见解析 (3) 【分析】（1）以每组数据的区间中点值为该组数据的代表值进行估算. （2）先根据分层抽样的概念确定第一次抽取的12人样本中第一组和第二组的人数，进而得到的可能取值，求其概率，可得的分布列. （3）先得到答对3题的概率，设，分析函数的单调性，求最大值的值. 【详解】（1）估计平均年龄为. （2）由题意得，这12人中，年龄在第一组内的有（人）， 年龄在第二组内的有（人）， 则的所有可能取值为0，1，2，3，4， 所以， ， ， ， 则的分布列为： 0 1 2 3 4 （3）从这20个问题中随机抽取10个对该工具提问，恰好答对3个问题的概率为， 设，由，且得， 所以， 显然，， 令， 当时，有，，即， 此时； 当时，有，，即， 此时，即， 所以． 正态分布 考点6 1．（2026·黑龙江哈尔滨·一模）已知随机变量，，则______. 【答案】/ 【详解】由题意得. 独立性检验 考点7 1．（2026·黑龙江哈尔滨·一模）为了探究学生完成数学作业情况与成绩之间的联系，某学校采用按比例分层抽样的方式得到200名学生的测验成绩，样本中认真完成作业的学生成绩频率分布直方图如图1所示.若认为成绩不低于120分为优秀，且数学成绩为优秀的学生年级分布扇形图如图2所示，已知样本中高三年级有15位同学成绩为优秀，且在所有数学成绩为优秀的学生中，认真完成作业的学生占. (1)求a的值，并且计算出样本中认真完成作业的学生成绩的下四分位数； (2)根据样本数据完成下方列联表，依据小概率值的独立性检验，分析认真完成作业与成绩是否有关. 认真完成作业 不认真完成作业 成绩优秀 成绩不优秀 附：. 0.1 0.05 0.01 0.005 0.001 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828 【答案】(1)，下四分位数 (2)有关 【分析】（1）利用频率分布直方图各组频率之和为的性质，列出方程求解参数值；再根据百分位数的定义，通过累计频率确定下四分位数所在的区间，并用插值法计算该分位数； （2）根据分层抽样和条件概率完成列联表，再代入卡方公式计算检验统计量，与临界值比较以判断独立性；最后通过计算两组学生的优秀率并对比，进一步验证独立性检验的结论. 【详解】（1）根据频率分布直方图的性质，所有组频率和为，组距为， 因此：，解得：， 下四分位数即第百分位数，计算累计频率 频率，累计；频率，累计； 频率，累计；频率，累计。 ，因此第百分位数在区间内， 计算得：下四分位数 （2）零假设：认真完成作业与成绩无关 认真完成作业 不认真完成作业 成绩优秀 成绩不优秀 ，因为， 依据小概率值的独立性检验，零假设不成立，即认真完成作业与成绩有关， 该判断出错概率不超过0.001， 认真完成作业的学生中成绩优秀的频率为0.4， 不认真完成作业的学生中成绩优秀的频率为0.1， 可以发现认真完成作业的学生成绩优秀的频率是不认真完成作业的学生的4倍，差异显著. 2．（2026·三省三校·一模）截至2025年底，我国新能源汽车保有量达到4397万辆，占汽车总产量的12%．某城市研究小组调查了300名汽车驾驶员对新能源汽车和燃油汽车的偏好程度，将调查结果整理成如下列联表.现统计得出样本中偏好燃油汽车的人数占样本总数的50%，女性驾驶员的样本占样本总数的，偏好燃油汽车的男性驾驶员的样本有120人． 偏好燃油汽车 偏好新能源汽车 合计 男性驾驶员 120 女性驾驶员 合计 300 (1)请根据已知条件将上述列联表补充完整，并依据小概率值的独立性检验，分析对燃油汽车和新能源汽车的偏好是否与驾驶员性别有关联.如果有关联，解释它们之间如何影响. (2)现从女性驾驶员中按对燃油汽车和新能源汽车的偏好用分层抽样法抽取8人做进一步访谈，然后从这8人中随机抽取3人填写调查问卷，记抽取的3人中偏好新能源汽车的人数为X，求X的分布列及数学期望． 参考公式及数据：，． 0.1 0.05 0.01 0.005 0.001 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828 【答案】(1)列联表为 偏好燃油汽车 偏好新能源汽车 合计 男性驾驶员 120 100 220 女性驾驶员 30 50 80 合计 150 150 300 有关联，解释见解析， (2)随机变量的分布列为 0 1 2 3 期望为 【分析】（1）根据已知数据可计算得到补全列联表所需的数据，进而补全列联表，并计算得到，由此可得结论； （2）根据分层抽样原则可确定样本中偏好新能源汽车的人数和偏好燃油车的人数，由此可得所有可能的取值，根据超几何分布概率公式可求得每个取值对应的概率，由此可得分布列；由数学期望计算公式可求得期望值. 【详解】（1）因为样本中偏好燃油汽车的人数占样本总数的50%，故样本中偏好燃油汽车的人数为， 因为样本中女性驾驶员的样本占样本总数的，故样本中女性驾驶员的人数为， 由题意，列联表补充如下： 偏好燃油汽车 偏好新能源汽车 合计 男性驾驶员 120 100 220 女性驾驶员 30 50 80 合计 150 150 300 零假设为：对燃油汽车和新能源汽车的偏好与驾驶员的性别无关联． 根据列联表数据，计算得． 根据小概率值的独立性检验，可以推断不成立，即认为对燃油汽车和新能源汽车的偏好与驾驶员的性别有关联，此推断犯错误的概率不大于0.01． 男性驾驶员中偏好新能源汽车的频率为，女性驾驶员中偏好新能源汽车的频率为，前者明显小于后者．根据频率稳定于概率的原理，我们可以认为女性驾驶员偏好新能源汽车的概率更大． （2）由题意，抽取的8人中偏好燃油汽车的人数为人，偏好新能源汽车的人数为人． 随机变量的可能值为0，1，2，3． ，， ，． 所以，随机变量的分布列为 0 1 2 3 的数学期望． 3．（2026·吉林白城联合体·一模）为研究甲、乙两种治疗方案的疗效，从选择甲、乙方案进行治疗的患者中随机抽取2000名得到如下列联表： 效果明显 效果不明显 合计 甲方案 1000 200 1200 乙方案 600 200 800 合计 1600 400 2000 (1)根据小概率值的独立性检验，分析治疗效果与选择甲、乙方案是否有关联； (2)在800名选择乙方案的患者中按效果是否明显用分层随机抽样的方法抽取8人，再从这8名患者中随机抽取4人，设表示4名患者中效果不明显的人数，求的分布列和数学期望． 附：． 0.1 0.01 0.001 2.706 6.635 10.828 【答案】(1)治疗效果与选择甲、乙方案有关联． (2)分布列见解析，1 【分析】（1）根据题意，由列联表代入的计算公式计算，再根据独立性检验内容即可得到结果； （2）根据题意，由分层抽样的公式可得效果明显的患者中抽取名，从效果不明显的患者中抽取名，再由超几何分布的概率公式代入计算，即可得到分布列，从而得到期望. 【详解】（1）零假设为：治疗效果与选择甲、乙方案无关联， ， 根据小概率值的独立性检验，我们推断不成立，故治疗效果与选择甲、乙方案有关联． （2）根据分层随机抽样方法可知，从效果明显的患者中抽取名，从效果不明显的患者中抽取名， 的取值分别为0，1，2， 则， 所以的分布列为 0 1 2 ． 概率与其他知识交汇问题 考点8 1．（2026·三省三校·一模）有个编号分别为1，2，…，n的盒子，第1个盒子中有2个白球1个黑球，其余盒子中均为1个白球1个黑球，现从第1个盒子中任取一球放入第2个盒子，再从第2个盒子中任取一球放入第3个盒子，以此类推，则从第2个盒子中取到白球的概率是______，从第个盒子中取到白球的概率是______． 【答案】 【分析】记事件表示从第i个盒子里取出白球，利用全概率公式可得，进而可得，然后构造等比数列，求通项公式即得. 【详解】记事件表示从第个盒子里取出白球，则，， 所以， ， ， 进而可得，， 又，，， 所以是首项为，公比为的等比数列， 所以，即， 故答案为：；. 2．（2026·辽宁大连·一模）连续抛掷一枚质地均匀的硬币（正面向上和反面向上的概率均为），当向上的结果出现“正面-反面”或“反面-正面”时，游戏结束.若抛掷50次，向上的结果没有出现“正面-反面”或“反面-正面”，游戏也结束.游戏结束时，记抛掷总次数为，若（为正整数），则的最小值为__________. 【答案】3 【分析】计算出的表达式，再根据均值公式和错位相减法即可得到，从而得到答案. 【详解】抛掷总次数 ，其中， . 所以 相减得 . 所以，所以正整数的最小值为3． 故答案为：3. 3．（2026·黑龙江哈尔滨·一模）如图，一动点从点出发，在正方形ABCD的各顶点上移动.每次移动时，动点有的概率沿水平方向向左或右移动一次，有的概率沿竖直方向向上或下移动一次，每次移动独立.设动点移动了（）步之后，停在点的概率为. (1)求，； (2)求的通项公式； (3)记点的前次移动中，到达过点的次数为，求证：. 参考公式：若随机变量服从两点分布且，，，则 【答案】(1)， (2)， (3)证明见解析 【分析】（1）根据独立事件和互斥事件的概率计算公式可求的值，结合的值可求的值.或者分情况讨论，利用互斥事件的概率加法公式求的值. （2）先探索与的递推关系，再根据递推公式求数列的通项公式. （3）先求移动步之后，动点停留在点的概率为，根据服从两点分布，利用给出的公式求即可证明. 【详解】（1）设事件表示第次沿水平方向移动，事件表示第次沿竖直方向移动， ， ， 另一种计算的方法： 四次移动中，两次水平移动和两次竖直移动的概率为； 四次移动中，全部水平移动的概率为； 四次移动中，全部竖直移动的概率是； 相加得. （2）设连续移动两步，动点位置变化的概率为，动点位置不变的概率为 则，； 根据全概率公式，， 则， 因为，所以， 所以，. （3）设移动步之后，动点停留在点的概率为， 则根据全概率公式，，， 又因为，所以，， 设随机变量满足：①当移动步之后，动点停留在点，则； ②当移动步之后，动点不停留在点，则； 显然服从两点分布，且， 所以 . 4．（2026·辽宁沈阳·一模）已知随机变量的取值为非负整数，其分布列为： 0 1 2 其中，且.由生成的函数为. (1)若生成的函数为，设事件：当为奇数时，求的值； (2)现有编号为一和二的两个盒子，在盒一中有1个红球，在盒二中有2个蓝球和4个绿球（球的颜色不同，其他完全相同）.若随机选两个盒中的一个盒，再取出一个球，选择盒一的概率为，设随机变量生成的函数为，其中分别对应取到红球､蓝球､绿球的概率. 请判断与的大小关系； (3)从方程的自然数中等可能地随机选取一组解，用表示一组解中最小的数，此时由生成的函数记为，令，求的极小值点. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据题意，得到，结合为奇数时，求得的值，得到答案； （2）根据题意，得到生成的函数为，求得，得到的值，再由期望和方差的公式，求得的值，即可求解； （3）得出变量的可能取值为，求得相应的概率，得到函数，求得，令，求得，得到函数单调性，结合极值点的定义，即可求解. 【详解】（1）解：由变量生成的函数为， 可得， 所以， 所以当为奇数时，可得. （2）证明：由分别对应取到红球､蓝球､绿球的概率， 故，即，所以， 所以生成的函数为， 可得，则， 所以， 因为， 所以，故， 因为， 所以， 所以. （3）解：由方程的自然数中等可能地随机选取一组解， 可得有序三元组的总数的组合数为种， 由随机变量，所以随机变量的可能取值为， 当时，即数组中，有1个0或2个0，可得； 当时，即数组中，有1个1或2个1，可得； 当时，即数组中，有1个2或2个2，可得； 当时，即数组中，三个数都是3，可得， 则变量的分布列为 0 1 2 3 所以，可得， 则，令，即，解得， 所以当时，单调递减；当时，单调递增， 所以，当是函数的极小值点. 1 / 29 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题08 计数原理与概率统计 统计 考点1 1．B 2．D． 3．C. 4．B 5．ACD 6．B 7．ACD 概率 考点2 1．B 2．D 3．BC 4．【详解】（1）频率分布直方图中，所有矩形的面积之和为1，每组的组距为50， 根据上述性质可得： , 解得； （2）首先计算前几组的频率： 区间的频率：， 区间的频率：， 区间的频率：， 前两组频率之和为，前三组频率之和为， 所以中位数在内， 设中位数为m，则， 解得； （3）先计算区间的频率： 区间的频率：， 区间的频率：， 区间的频率：， 所以区间的频率为，区间的频率为0.18， M的月用电量落在区间中时， 恰好落在区间中的概率为. 排列组合 考点3 1．200 2．C 3．D 二项式定理 考点4 1． 2． 3．AD 随机变量及其分布列 考点5 1．ABD 2．【详解】（1）已知每一步沿平行于的方向移动的概率为， 沿平行于的方向移动的概率为，两次移动后回到处有两种情况， 沿着或方向来回，故. （2）由题意可知，的可能取值为0，1，2， 则， ， . 所以的分布列为： 0 1 2 （3）注意到掷偶数次时，该点不可能停在处或处，故． 由第一问，故掷两次后停在处的概率为， 由题意得， 两式相减得， 则数列是以为首项，为公比的等比数列，所以， 又因为，所以． 将该点出现在处记为1，出现在处记为0，故随机变量服从两点分布， ， 故． 3．【详解】（1）法一：由题意得的可能取值为． ，， ，． 0 1 2 3 因此． 法二：由题意得的可能取值为． 又，故（）． 因此． （2）设事件“次之内（含次）停止摸球”， 事件“第次摸到红球，第次摸到红球”； 事件“第次摸到红球，第次摸到白球，第次摸到红球”； 事件“第次摸到白球，第次摸到红球，第次摸到红球”； 事件“首次选择甲袋是第次摸球”（）， 事件“一直没有选择甲袋”． 则 ． ． ． 因此． 4．【详解】（1）估计平均年龄为. （2）由题意得，这12人中，年龄在第一组内的有（人）， 年龄在第二组内的有（人）， 则的所有可能取值为0，1，2，3，4， 所以， ， ， ， 则的分布列为： 0 1 2 3 4 （3）从这20个问题中随机抽取10个对该工具提问，恰好答对3个问题的概率为， 设，由，且得， 所以， 显然，， 令， 当时，有，，即， 此时； 当时，有，，即， 此时，即， 所以． 正态分布 考点6 1．/ 独立性检验 考点7 1．【详解】（1）根据频率分布直方图的性质，所有组频率和为，组距为， 因此：，解得：， 下四分位数即第百分位数，计算累计频率 频率，累计；频率，累计； 频率，累计；频率，累计。 ，因此第百分位数在区间内， 计算得：下四分位数 （2）零假设：认真完成作业与成绩无关 认真完成作业 不认真完成作业 成绩优秀 成绩不优秀 ，因为， 依据小概率值的独立性检验，零假设不成立，即认真完成作业与成绩有关， 该判断出错概率不超过0.001， 认真完成作业的学生中成绩优秀的频率为0.4， 不认真完成作业的学生中成绩优秀的频率为0.1， 可以发现认真完成作业的学生成绩优秀的频率是不认真完成作业的学生的4倍，差异显著. 2．【详解】（1）因为样本中偏好燃油汽车的人数占样本总数的50%，故样本中偏好燃油汽车的人数为， 因为样本中女性驾驶员的样本占样本总数的，故样本中女性驾驶员的人数为， 由题意，列联表补充如下： 偏好燃油汽车 偏好新能源汽车 合计 男性驾驶员 120 100 220 女性驾驶员 30 50 80 合计 150 150 300 零假设为：对燃油汽车和新能源汽车的偏好与驾驶员的性别无关联． 根据列联表数据，计算得． 根据小概率值的独立性检验，可以推断不成立，即认为对燃油汽车和新能源汽车的偏好与驾驶员的性别有关联，此推断犯错误的概率不大于0.01． 男性驾驶员中偏好新能源汽车的频率为，女性驾驶员中偏好新能源汽车的频率为，前者明显小于后者．根据频率稳定于概率的原理，我们可以认为女性驾驶员偏好新能源汽车的概率更大． （2）由题意，抽取的8人中偏好燃油汽车的人数为人，偏好新能源汽车的人数为人． 随机变量的可能值为0，1，2，3． ，， ，． 所以，随机变量的分布列为 0 1 2 3 的数学期望． 3．【详解】（1）零假设为：治疗效果与选择甲、乙方案无关联， ， 根据小概率值的独立性检验，我们推断不成立，故治疗效果与选择甲、乙方案有关联． （2）根据分层随机抽样方法可知，从效果明显的患者中抽取名，从效果不明显的患者中抽取名， 的取值分别为0，1，2， 则， 所以的分布列为 0 1 2 ． 概率与其他知识交汇问题 考点8 1．； 2．3 3．【详解】（1）设事件表示第次沿水平方向移动，事件表示第次沿竖直方向移动， ， ， 另一种计算的方法： 四次移动中，两次水平移动和两次竖直移动的概率为； 四次移动中，全部水平移动的概率为； 四次移动中，全部竖直移动的概率是； 相加得. （2）设连续移动两步，动点位置变化的概率为，动点位置不变的概率为 则，； 根据全概率公式，， 则， 因为，所以， 所以，. （3）设移动步之后，动点停留在点的概率为， 则根据全概率公式，，， 又因为，所以，， 设随机变量满足：①当移动步之后，动点停留在点，则； ②当移动步之后，动点不停留在点，则； 显然服从两点分布，且， 所以 . 4．【详解】（1）解：由变量生成的函数为， 可得， 所以， 所以当为奇数时，可得. （2）证明：由分别对应取到红球､蓝球､绿球的概率， 故，即，所以， 所以生成的函数为， 可得，则， 所以， 因为， 所以，故， 因为， 所以， 所以. （3）解：由方程的自然数中等可能地随机选取一组解， 可得有序三元组的总数的组合数为种， 由随机变量，所以随机变量的可能取值为， 当时，即数组中，有1个0或2个0，可得； 当时，即数组中，有1个1或2个1，可得； 当时，即数组中，有1个2或2个2，可得； 当时，即数组中，三个数都是3，可得， 则变量的分布列为 0 1 2 3 所以，可得， 则，令，即，解得， 所以当时，单调递减；当时，单调递增， 所以，当是函数的极小值点. 1 / 29 学科网（北京）股份有限公司 $