高一数学下学期第一次月考（人教A版必修第二册第六章平面向量～第七章复数，高效培优·强化卷）

2025-2026学年高一数学下学期第一次月考卷 强化卷·全解全析 （考试时间：120分钟，分值：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：人教A版必修第二册第六章~第七章。 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．下面命题中，正确的是（    ） A．若， 则 B．若，则 C．若， 则 D．若 则 2．若复数（其中为虚数单位）为纯虚数，则实数的值为（    ） A． B．1 C． D．0 3．已知向量，，满足，，，则在方向上的投影向量是（   ） A． B． C． D． 4．已知复数，则（   ） A． B． C． D． 5．设，．若与的夹角为钝角，则m的取值范围是（   ） A． B． C． D． 6．在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c．已知，，，点O是的外心，若，则（   ） A． B． C． D． 7．起点重合，，则的最大值为（   ） A． B．3 C． D． 8．已知非零平面向量，，是单位向量，，且，则（   ） A．4 B． C． D．1 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．物理中位移的合成是向量加法的几何基础，例如：在中，为线段中点（如左图），在封闭回路中，；在封闭回路中，；将两式相加，由于和互为相反向量，其和为，整理可得．类比这个过程，在右图的四边形中，、分别为线段、中点，则（    ） A． B． C． D． 10．已知复数z满足，则下列结论正确的是（   ） A． B．z的虚部为 C．在复平面内对应的点位于第二象限 D．若复数满足，则的最小值为1 11．如图所示，分别以等边三角形ABC的顶点A，B，C为圆心，线段AB的长为半径画圆弧，，，三段圆弧围成一个曲边三角形.已知，O为AB的中点，点P，Q分别在，上，若，则（   ） A．的最小值是 B．可以取到 C．的最大值是 D．可以取到1 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．已知复数，满足，（i是虚数单位），则的最小值是_____. 13．已知向量、的夹角为，，，则在上的数量投影为___________ 14．已知为圆心，点是圆上一点，点是圆内部一点．若，且，则的取值范围是___________． 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．（13分） 在直角梯形中，已知，，，，，动点E、F分别在线段和上，和交于点M，且，，. (1)当时，求的值； (2)当时，求的值； (3)求的取值范围. 16．（15分） 已知复数（）. (1)若复数z在复平面上对应点落在第四象限，求实数m的范围； (2)为的共轭复数，且. （i）若是关于x的方程（a，）的一个根，求该一元二次方程的另一复数根； （ii）若，求的范围. 17．（15分） 在平面直角坐标系中，已知． (1)若为轴上的一动点，点．当三点共线时，求点的坐标； (2)若为直线OA的一动点，求的最小值及此时P的坐标； (3)若，且与的夹角，求的取值范围． 18．（17分） 已知锐角的内角，，的对边分别为，，. (1)若 （ⅰ）求证：； （ⅱ）求的取值范围； (2)若是的重心且，求的取值范围. 19．（17分） 设平面内两个非零向量，的夹角为，定义一种运算“”：试求解下列问题： (1)已知向量满足，，，求的值； (2)①若，，用坐标，，，表示； ②在平面直角坐标系中，已知点，，，求的值； (3)已知向量，，，求的最小值. 1 / 6 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年高一数学下学期第一次月考卷 强化卷·全解全析 （考试时间：120分钟，分值：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：人教A版必修第二册第六章~第七章。 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．下面命题中，正确的是（    ） A．若， 则 B．若，则 C．若， 则 D．若 则 【答案】D 【详解】对A ，，但，不一定同向，所以，不一定相等，错误； 对B，向量不能比较大小，错误； 对C，若，则，错误； 对D，若，则，长度相等，且方向相同，所以，正确. 故选：D 2．若复数（其中为虚数单位）为纯虚数，则实数的值为（    ） A． B．1 C． D．0 【答案】A 【详解】若复数(是虚数单位)是纯虚数，则，解得. 故选：A 3．已知向量，，满足，，，则在方向上的投影向量是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由，得，即， 将，代入上式可得：，即， 根据投影向量的计算公式，在方向上的投影向量为， 则. 故选：B. 4．已知复数，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】因为；所以. 故选：A 5．设，．若与的夹角为钝角，则m的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由题意可得，所以. 故选：D 6．在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c．已知，，，点O是的外心，若，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】∵， 由余弦定理有：， ∴，解得， 由得，， 即， ， 即， 即：，，解得，， ∴. 故选：A． 7．起点重合，，则的最大值为（   ） A． B．3 C． D． 【答案】D 【详解】由题意， ，则， 因为， 所以， 所以， 所以， 因为，所以， 整理得且（恒成立）， 解得，即的最大值为. 故选：D 8．已知非零平面向量，，是单位向量，，且，则（   ） A．4 B． C． D．1 【答案】D 【详解】由是单位向量，，得，即， 作向量，则， 点的轨迹是以为圆心，1为半径的圆， 由，得，作向量，， 过作射线的垂线，垂足为， 所以. 故选：D 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．物理中位移的合成是向量加法的几何基础，例如：在中，为线段中点（如左图），在封闭回路中，；在封闭回路中，；将两式相加，由于和互为相反向量，其和为，整理可得．类比这个过程，在右图的四边形中，、分别为线段、中点，则（    ） A． B． C． D． 【答案】AB 【详解】因为， 则， 且分别为AD，BC的中点，则， 所以.即，A正确， 又， 所以，B正确， ， 即， 即，C错误； 如图： 由条件可知， ，即， 所以， 即，故D错误， 故选：AB 10．已知复数z满足，则下列结论正确的是（   ） A． B．z的虚部为 C．在复平面内对应的点位于第二象限 D．若复数满足，则的最小值为1 【答案】ACD 【详解】由，得，所以，，A正确； z的虚部为，B错误； ，在复平面内对应的点为，位于第二象限，C正确； 因为，D正确. 故选:ACD. 11．如图所示，分别以等边三角形ABC的顶点A，B，C为圆心，线段AB的长为半径画圆弧，，，三段圆弧围成一个曲边三角形.已知，O为AB的中点，点P，Q分别在，上，若，则（   ） A．的最小值是 B．可以取到 C．的最大值是 D．可以取到1 【答案】AC 【详解】如图，设，， 根据等边三角形性质，则，O为AB的中点，故； 圆弧以A为圆心，半径为2；以B为圆心，半径为2. 设，则P在上，坐标，. ，且，故. Q在上，以为圆心，，所以. 由得：， 在时，当时，，故A对. 的最大值在或处取得，，故B错. ， 当时，， 故C正确， 当或时，，故D错. 故选：AC. 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．已知复数，满足，（i是虚数单位），则的最小值是_____. 【答案】 【详解】因为，两边取模得：， 已知，则， 因此，在复平面上对应的点的轨迹是以原点为圆心、半径为的圆， 而表示点到点的距离， 问题转化为：圆心在原点、半径为的圆上的点到点的距离的最小值， 即. 故答案为：. 13．已知向量、的夹角为，，，则在上的数量投影为___________ 【答案】 【详解】在上的数量投影为． 故答案为：． 14．已知为圆心，点是圆上一点，点是圆内部一点．若，且，则的取值范围是___________． 【答案】 【详解】因为点是圆上一点，，所以， 因为， 所以， 设与的夹角为，， 则，所以， 又，所以， 又点是圆内部一点，所以， 综上； ， 因为，所以，则， 所以. 故答案为：. 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．（13分） 在直角梯形中，已知，，，，，动点E、F分别在线段和上，和交于点M，且，，. (1)当时，求的值； (2)当时，求的值； (3)求的取值范围. 【答案】(1) (2) (3)的取值范围是 【详解】（1）当时，，所以， 所以， ， 又， 所以 ； （2）当时，，所以， 所以， ， 因为三点共线，所以存在，使， 又因为三点共线，所以，解得， 所以，所以； （3）因为， ， 所以， ， 所以， ， ， 由题意知， 所以当时，取到最小值， 当时，取到最大值， 所以的取值范围是. 16．（15分） 已知复数（）. (1)若复数z在复平面上对应点落在第四象限，求实数m的范围； (2)为的共轭复数，且. （i）若是关于x的方程（a，）的一个根，求该一元二次方程的另一复数根； （ii）若，求的范围. 【答案】(1)； (2)（i）；（ii） 【详解】（1）复数在复平面上对应点落在第四象限， 则，解得， 所以实数m的范围是. （2）（i）由，得， 由，得，解得， 则，，依题意，是关于x的实系数方程的一个根， 则，即， 于是，解得，，原方程为， 即，解得， 所以该方程的另一复数根为. （ii）由（i）知，为，表示复平面内复数对应点与点的距离为1， 因此在复平面内复数对应点的轨迹是以为圆心，1为半径的圆， 而表示点到原点的距离，又， 则，即， 所以的范围是. 17．（15分） 在平面直角坐标系中，已知． (1)若为轴上的一动点，点．当三点共线时，求点的坐标； (2)若为直线OA的一动点，求的最小值及此时P的坐标； (3)若，且与的夹角，求的取值范围． 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）设，则， 所以， 因为与共线，所以，解得， 所以当三点共线时，点的坐标为； （2）由题可知，， 因为P为直线的一动点，所以设点， 则， 当时，， 此时P点坐标为； （3）因为，所以， 所以； 因为与的夹角，所以恒成立， 所以， 又因为，所以， 所以， 即恒成立， 又因为，所以恒成立， 令，则， 换元可得， 因为，当且仅当时等号成立， 所以当时，有最小值5， 所以的取值范围是： 18．（17分） 已知锐角的内角，，的对边分别为，，. (1)若 （ⅰ）求证：； （ⅱ）求的取值范围； (2)若是的重心且，求的取值范围. 【答案】(1)（ⅰ）证明见解析；（ⅱ） (2) 【详解】（1）（ⅰ）：因为 所以，由正弦定理得：， 因为，所以 原式等价于 得：， ，又因为，， 所以，即 （ⅱ）由（1）知，所以， 所以， 因为三角形为锐角三角形， 所以，， ， 所以； （2）设中点为，用向量，表示向量，， 同理，可得 由得，， 所以 所以， 化简得：，即① 由余弦定理可得：② 联立①②得 因为为锐角三角形，所以，， 则有：，则， 即，令，则，即 ， 令，， 由双勾函数的性质可得：， 所以， 所以的取值范围是. 19．（17分） 设平面内两个非零向量，的夹角为，定义一种运算“”：试求解下列问题： (1)已知向量满足，，，求的值； (2)①若，，用坐标，，，表示； ②在平面直角坐标系中，已知点，，，求的值； (3)已知向量，，，求的最小值. 【答案】(1)2 (2)①，②7 (3)9 【详解】（1）由，可得，则， 由于，因此，其中为的夹角， 故； （2）①由，，可得， 结合，故， 故， ②由，，可得， 故 （3）由,，结合（2）的结论可知： ， 当且仅当，等号成立，结合，故时取到等号， 因此的最小值为9. 1 / 15 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年高一数学下学期第一次月考卷 强化卷·参考答案 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1 2 3 4 5 6 7 8 D A B A D A D D 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9 10 11 AB ACD AC 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12． 13． 14． 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．（13分） 【详解】（1）当时，，所以， 所以， ， 又， 所以 ；（4分） （2）当时，，所以， 所以， ， 因为三点共线，所以存在，使， 又因为三点共线，所以，解得， 所以，所以；（8分） （3）因为， ， 所以， ， 所以， ， ， 由题意知， 所以当时，取到最小值， 当时，取到最大值， 所以的取值范围是.（13分） 16．（15分） 【详解】（1）复数在复平面上对应点落在第四象限， 则，解得， 所以实数m的范围是.（4分） （2）（i）由，得， 由，得，解得，（6分） 则，，依题意，是关于x的实系数方程的一个根， 则，即， 于是，解得，，原方程为，（8分） 即，解得， 所以该方程的另一复数根为.（10分） （ii）由（i）知，为，表示复平面内复数对应点与点的距离为1， 因此在复平面内复数对应点的轨迹是以为圆心，1为半径的圆， 而表示点到原点的距离，又， 则，即， 所以的范围是.（15分） 17．（15分） 【详解】（1）设，则， 所以， 因为与共线，所以，解得， 所以当三点共线时，点的坐标为；（4分） （2）由题可知，， 因为P为直线的一动点，所以设点， 则，（7分） 当时，， 此时P点坐标为；（9分） （3）因为，所以， 所以； 因为与的夹角，所以恒成立， 所以，（11分） 又因为，所以， 所以， 即恒成立， 又因为，所以恒成立，（13分） 令，则， 换元可得， 因为，当且仅当时等号成立， 所以当时，有最小值5， 所以的取值范围是：（15分） 18．（17分） 【详解】（1）（ⅰ）：因为 所以，由正弦定理得：， 因为，所以 原式等价于 得：， ，又因为，， 所以，即（3分） （ⅱ）由（1）知，所以， 所以， 因为三角形为锐角三角形， 所以，， ， 所以；（7分） （2）设中点为，用向量，表示向量，， 同理，可得 由得，， 所以 所以， 化简得：，即① 由余弦定理可得：② 联立①②得（12分） 因为为锐角三角形，所以，， 则有：，则， 即，令，则，即（14分） ， 令，， 由双勾函数的性质可得：， 所以， 所以的取值范围是.（17分） 19．（17分） 【详解】（1）由，可得，则， 由于，因此，其中为的夹角， 故；（5分） （2）①由，，可得， 结合，故， 故，（9分） ②由，，可得， 故（11分） （3）由,，结合（2）的结论可知： ，（14分） 当且仅当，等号成立，结合，故时取到等号， 因此的最小值为9.（17分） 6 / 6 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $