学易金卷：高二数学下学期第一次月考02（上海专用，范围：沪教版选择性必修第一册第1～2章坐标平面上的直线+圆锥曲线）

2025-2026学年高二数学第一次月考卷 : (考试时间：90分钟试卷满分：150分) O 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如 需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写 在本试卷上无效。 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 : : 4.测试范围：：沪教版选择性必修一坐标平面上的直线、圆锥曲线。 O 一。填空题(1-6填对每题得4分，7-12填对每题得5分.)》 1.已知点Aa,√3)到直线1：x-√3y+1=0的距离为1，则a= 2.直线1：√5x+y+2=0的倾斜角是 3.已知直线1与直线2x-y-5=0的倾斜角相等，且直线过点A(3,2),则直线1的方程为 4.已知∈R,圆x2+y2-9x-m=0的面积为π，则=】 : 5.若直线：y-3=k(x-1)与曲线C:y=V1-x2恰有两个不同公共点，则实数k的取值范围是 6.已知椭圆c:寸+上=1的左顶点为(3,0)，则该椭圆的离心率为」 O O : 7.与双曲线二-二-1有共同的渐近线，并且过点M6,8)的双曲线的标准方程为 : 916 8. 若抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点在直线1：x+2y-3=0上，则卫= 然 9。已知.风分别为椭圆C器+若-1a>b>0)的左、右焦点，O为坐标原点，若稀圆上存在一点P,使 得21OPRR,点e在∠RPR的平分线上，O0/PR,且OO=氵，则椭圆C的离心率为 : 10. 已知点M(0,4),点P在抛物线x=8y上运动，点2在圆x+-2y=1上运动，则P PO 一的最小值 : 11. 椭圆C:+y=1的右焦点是R,过P的直线交椭圆c于A,B两点点0是坐标原点，若直线AB上 存在异于F的点P,使得4AFB=PAPB,则OP的取值范围是 : 12.如图，己知P是椭圆+-1的左焦点，A为椭圆的下顶点，点P是桶圆上任意一点，以P?为直径 43 作圆N,射线OW与圆N交于点Q,则AQ的取值范围为 : 试题第1页（共4页） 可学科网·学易金卷德怒德：限爱是 A 二、选择题（本大题共有4题，满分18分，第13-14题每题4分，第15-16题每题5分》 13.如果直线1经过双曲线9x2-4y2=36的中心，且与该双曲线不相交，则1的斜率的取值范围是() 「33 37「3 A. 22 B.（m,2L2tm C. 14.在椭圆B:t上-1上任取一点P,过点P作x轴的垂线段PD,垂足为D,点M满足D=D严， 259 当点P在E上运动时，则点M的轨迹方程为() A.x2+y2=25 B.x2+y2=9 +y=1 C. 259 259 15.已知直线1：y=在+m(m<0)过双曲线C:号-上=1的左焦点R(←2,0)，且与C的渐近线平行，则1 a2-2 的倾斜角为() A牙 C.2n 3 0.3x 4 16.2025春节档国产影片《哪吒之魔童闹海》接连破全球票房记录，影片中哪吒与敖丙是不可分割的二人 组，其中敖丙的武器“盘龙冰锤”相撞后形成了如图所示的曲线，可以用来表示数学上特殊的曲线.如图所 示的曲线C过坐标原点O,C上的点到两定点耳(-a,0),F(a,0)(a>0)的距离之积为定值.当a=3时， C上第一象限内的点P满足aPFB的面积为)，则Pr-PE-() 9 VA A.6 B.183 C.2W13 D.65 三、解答题（本大题共有5题，满分78分） 17.(本题14分)已知圆(x+1)2+(y-2)2=1 (1)若直线-mx+四=2，l>0,n>0,经过圆心，求Ln的最大值. (2)若直线过点(0,4)且与圆有且仅有一个公共点，求该直线的方程. 试题第2页（共4页） 可学科网·学易金卷做好特：就限是鲁普 18。（木腿14分)已知双曲线C:二-1a0,b>0)的离心率为2，其右焦点F到一条渐近线的距来 为. (1)求双曲线C的方程： (2)若直线l:y=kc+m(k>0,m>0)与双曲线C交于不同的两点A,B,且以线段AB为直径的圆经过点 P(1,0),证明：直线1过定点. 19.(本题14分)在平面直角坐标系中，O为原点，已知抛物线C:y2=4x. (1)若点E在C上，且O=√5，求点E的坐标； (2)设抛物线C的焦点为F,点A(6,1),若P是C上的任意一点，求AP+PF的最小值： (3)已知过点B(3,0)的直线I交抛物线C于M、N两点，MW=4W35,求直线1的方程. 试题第3页（共4页） 本型18分)已如椭圆T+1a>b>0)的两焦点分别为-1,0)，，0，离心率为，AB,C :O 为椭圆上三个不重合的点，且直线AC经过点F,B与C关于x轴对称. (1)求椭圆Γ的标准方程： (2)求证：直线AB经过定点，并求出该定点的坐标： (3)求△AFC内切圆半径r的取值范围. : 张 游 21.(本题18分)已知椭圆E cos20 sin20 擗 x2+ sin2e cos20 y sin2e_sin20 a b2 a xy=1(a>b>0)可由 : 椭圆￡：岁+于 =1绕原点0逆时针旋转00e0, =cose.x+sine.y 得到经过(*)变换： : 可将椭 y=cose.y-sine.x : : 圆E的方程转化为E的方程. O (1若日=匹，E上的点(P,q)经过(*)变换后得到B,上的对应点的坐标为(-2，)，求P+q的值： 6 (2)设椭圆C:2x2+2y2-2xy=3的焦点为乃，F2（其中F,在第一象限)· (i)求耳，F的坐标： E肉 ()过C在第一象限内的顶点A作切线m,过A作x轴的垂线l,在1上且在C外的一点T作C的两条切线， 切点分别为P,M,直线TP和TM分别交直线m于O,N两点.证明：直线NP和PM的交点在定直线上. 试题第4页（共4页） 2025-2026学年高二数学第一次月考卷 （考试时间：90分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如 需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写 在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：：沪教版选择性必修一 坐标平面上的直线、圆锥曲线。 一、填空题（1-6填对每题得4分，7-12填对每题得5分．） 1．已知点到直线的距离为1，则____________. 2．直线：的倾斜角是______. 3．已知直线l与直线的倾斜角相等，且直线过点，则直线l的方程为_________. 4．已知，圆的面积为，则______. 5．若直线与曲线恰有两个不同公共点，则实数的取值范围是___________. 6．已知椭圆的左顶点为，则该椭圆的离心率为________． 7．与双曲线有共同的渐近线，并且过点A(6,8)的双曲线的标准方程为__________． 8．若抛物线的焦点在直线上，则______. 9．已知分别为椭圆的左、右焦点，为坐标原点，若椭圆上存在一点，使得，点在的平分线上，，且，则椭圆的离心率为______． 10．已知点，点在抛物线上运动，点在圆上运动，则的最小值__________. 11．椭圆的右焦点是F， 过F的直线交椭圆C于A，B两点.点O是坐标原点，若直线AB上存在异于F的点P，使得，则的取值范围是_____. 12．如图，已知是椭圆的左焦点，为椭圆的下顶点，点是椭圆上任意一点，以为直径作圆，射线与圆交于点，则的取值范围为________.    二、选择题（本大题共有4题，满分18分，第13-14题每题4分，第15-16题每题5分） 13．如果直线经过双曲线的中心，且与该双曲线不相交，则的斜率的取值范围是（    ） A． B． C． D． 14．在椭圆上任取一点，过点作轴的垂线段，垂足为，点满足，当点在上运动时，则点的轨迹方程为（    ） A． B． C． D． 15．已知直线过双曲线的左焦点，且与C的渐近线平行，则l的倾斜角为（    ） A． B． C． D． 16．2025春节档国产影片《哪吒之魔童闹海》接连破全球票房记录，影片中哪吒与敖丙是不可分割的二人组，其中敖丙的武器“盘龙冰锤”相撞后形成了如图所示的曲线，可以用来表示数学上特殊的曲线．如图所示的曲线C过坐标原点O，C上的点到两定点，（）的距离之积为定值．当时，C上第一象限内的点P满足的面积为，则（   ） A．6 B． C． D． 三、解答题(本大题共有5题，满分78分) 17．（本题14分）已知圆 (1)若直线，，，经过圆心，求的最大值． (2)若直线过点且与圆有且仅有一个公共点，求该直线的方程． 18．（本题14分）已知双曲线C：的离心率为2，其右焦点F到一条渐近线的距离为. (1)求双曲线C的方程； (2)若直线：与双曲线C交于不同的两点A，B，且以线段为直径的圆经过点，证明：直线过定点. 19．（本题14分）在平面直角坐标系中，为原点，已知抛物线. (1)若点在上，且，求点的坐标； (2)设抛物线的焦点为，点，若是上的任意一点，求的最小值； (3)已知过点的直线交抛物线于两点，，求直线的方程. 20．（本题18分）已知椭圆的两焦点分别为，离心率为，为椭圆上三个不重合的点，且直线经过点与关于轴对称. (1)求椭圆的标准方程； (2)求证：直线经过定点，并求出该定点的坐标； (3)求内切圆半径的取值范围. 21．（本题18分）已知椭圆可由椭圆绕原点逆时针旋转得到.经过（）变换：可将椭圆的方程转化为的方程. (1)若上的点经过（*）变换后得到上的对应点的坐标为，求的值； (2)设椭圆的焦点为（其中在第一象限）. （i）求的坐标； （ii）过在第一象限内的顶点作切线，过作轴的垂线，在上且在外的一点作的两条切线，切点分别为，直线和分别交直线于两点.证明：直线和的交点在定直线上. 2 / 27 1 / 27 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年高二数学第一次月考卷 （考试时间：90分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如 需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写 在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：：沪教版选择性必修一 坐标平面上的直线、圆锥曲线。 一、填空题（1-6填对每题得4分，7-12填对每题得5分．） 1．已知点到直线的距离为1，则____________. 【答案】或 【分析】利用点到直线距离公式计算可得结果. 【详解】因为点到直线的距离为1， 所以，解得或. 故答案为：或. 2．直线：的倾斜角是______. 【答案】 【分析】求出斜率，根据斜率可求得倾斜角. 【详解】因为直线：，斜率， 故倾斜角为. 故答案为：. 3．已知直线l与直线的倾斜角相等，且直线过点，则直线l的方程为_________. 【答案】 【分析】求出直线的斜率，利用点斜式求直线方程即可. 【详解】直线l与直线的倾斜角相等，可得直线的斜率为2， 直线过点，则直线l的方程为，即． 故答案为：． 4．已知，圆的面积为，则______. 【答案】 【分析】根据圆的面积求出圆的半径，利用圆的标准方程求出半径即可列方程求解. 【详解】已知圆的方程为 ， 可得， 此为标准形式，圆心为 ，半径平方为 ， 由 得：， 解方程：. 故答案为：. 5．若直线与曲线恰有两个不同公共点，则实数的取值范围是___________. 【答案】 【分析】根据直线过定点，以及直线和圆的位置关系即可得出结论，利用数形结合作出图像进行研究即可. 【详解】由题意知：直线过定点 ，    曲线是以 为圆心，1为半径，且位于 轴上半部分的半圆，如图所示 当直线 过点 时，直线 与曲线有两个不同的交点，此时 ，解得 . 当直线 和曲线 相切时，直线和半圆有一个交点，圆心 到直线的距离 ，解得， 结合图像可知，当 时，直线 和曲线恰有两个交点. 故答案为：. 6．已知椭圆的左顶点为，则该椭圆的离心率为________． 【答案】 【分析】依题意可得，即可求出，从而求出离心率. 【详解】因为椭圆的左顶点为， 所以，则，所以该椭圆的离心率. 故答案为： 7．与双曲线有共同的渐近线，并且过点A(6,8)的双曲线的标准方程为__________． 【答案】 【详解】试题分析：设所求双曲线为，把点(6,8)代入，得,解得 λ=-4， ∴所求的双曲线的标准方程为．故答案为． 考点：双曲线的性质和应用． 8．若抛物线的焦点在直线上，则______. 【答案】 【分析】将抛物线的焦点坐标代入直线方程可求得实数的值. 【详解】由题意可得抛物线的焦点的坐标为，则，解得. 故答案为：. 【点睛】本题考查利用抛物线的焦点坐标求参数，考查计算能力，属于基础题. 9．已知分别为椭圆的左、右焦点，为坐标原点，若椭圆上存在一点，使得，点在的平分线上，，且，则椭圆的离心率为______． 【答案】/ 【分析】根据椭圆的定义，分析几何关系，建立关于的等量关系，即可求解. 【详解】如图，设，延长OQ交于， 则为的中点，则为中点， ，又点在的平分线上，则， 故是等腰直角三角形， ， 即， 又，即， ，在中，，即， ， 即. 故答案为：. 10．已知点，点在抛物线上运动，点在圆上运动，则的最小值__________. 【答案】4 【分析】由已知可得，利用基本不等式可求的最小值． 【详解】设圆心为，则为抛物线的焦点．设，则， 要使最小，则需最大，，且， ， 当且仅当，即时取等号， 的最小值是4． 故答案为：4．      11．椭圆的右焦点是F， 过F的直线交椭圆C于A，B两点.点O是坐标原点，若直线AB上存在异于F的点P，使得，则的取值范围是_____. 【答案】 【分析】分类讨论直线AB的斜率是否为0，设设，联立方程，由数量积结合韦达定理可得，结合基本不等式运算求解即可. 【详解】由题意可知：，则， 因为直线AB过F，可知直线AB与椭圆必相交， 若直线AB的斜率为0，即直线AB为x轴，不妨设， 则， 因为，则，解得， 当，此时点即为点，不合题意； 当，此时点，； 若直线AB的斜率不为0，设， 则， 联立方程，消去x得， 则， 因为，则， 可得， 整理得，则，， 即， 可得， 因为，则，当且仅当，即时，等号成立， 可得，所以； 综上所述：的取值范围是. 故答案为：. 【点睛】方法点睛：解决圆锥曲线中范围问题的方法 一般题目中没有给出明确的不等关系，首先需要根据已知条件进行转化，利用圆锥曲线的几何性质及曲线 上点的坐标确定不等关系；然后构造目标函数，把原问题转化为求函数的值域或引入参数根据参数范围求解，解题时应注意挖掘题目中的隐含条件，寻找量与量之间的转化． 12．如图，已知是椭圆的左焦点，为椭圆的下顶点，点是椭圆上任意一点，以为直径作圆，射线与圆交于点，则的取值范围为________.    【答案】 【分析】由题意求得点轨迹，根据轨迹判断计算的取值范围. 【详解】设为椭圆的右焦点，连接，如图所示：   、分别为、的中点，，为直径，， ， 所以点轨迹是以为圆心为半径的圆，在圆内，且， 所以，，， 即的取值范围为. 故答案为：. 二、选择题（本大题共有4题，满分18分，第13-14题每题4分，第15-16题每题5分） 13．如果直线经过双曲线的中心，且与该双曲线不相交，则的斜率的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设直线方程为，与双曲线联立消去得，，因为直线与该双曲线不相交，所以方程没有实数根，所以，即可求出答案. 【详解】依题意知，直线的斜率存在，设为，双曲线的中心为， 因为直线经过双曲线的中心，所以设直线方程为， 由，消去得，， 因为直线与该双曲线不相交，所以方程没有实数根， 所以，即，解得或， 所以直线l的斜率的取值范围是：. 故选：B. 14．在椭圆上任取一点，过点作轴的垂线段，垂足为，点满足，当点在上运动时，则点的轨迹方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】设点并利用向量关系得出，代入椭圆方程替换即可得点的轨迹方程. 【详解】根据题意可设点，则， 又点在椭圆上，所以， 易知，由可得， 因此，代入即可得， 整理可得点的轨迹方程为. 故选：A 15．已知直线过双曲线的左焦点，且与C的渐近线平行，则l的倾斜角为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由双曲线焦点坐标求出双曲线的标准方程，然后写出双曲线的渐近线，然后分析所求直线所过的点可知它和双曲线的那一条渐近线平行即可. 【详解】由双曲线方程为：， 所以，由左焦点为， 所以，由， 所以， 所以该双曲线的标准方程为：， 所以渐近线方程为：， 直线恒过点， 且，且过， 所以直线与渐近线平行， 故， 设直线l的倾斜角为， 则， 又， 所以， 故选：D. 16．2025春节档国产影片《哪吒之魔童闹海》接连破全球票房记录，影片中哪吒与敖丙是不可分割的二人组，其中敖丙的武器“盘龙冰锤”相撞后形成了如图所示的曲线，可以用来表示数学上特殊的曲线．如图所示的曲线C过坐标原点O，C上的点到两定点，（）的距离之积为定值．当时，C上第一象限内的点P满足的面积为，则（   ） A．6 B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题设有，设结合定义得，利用三角形面积公式有，即是曲线与以直线的圆的交点，联立曲线与圆求得，应用两点距离公式求. 【详解】由原点在曲线上，则， 设，则， 所以，则， 所以， 由，且，可得， 所以，易知是曲线与以直径的圆的交点， 联立，且在第一象限，可得， 所以. 故选：B 三、解答题(本大题共有5题，满分78分) 17．（本题14分）已知圆 (1)若直线，，，经过圆心，求的最大值． (2)若直线过点且与圆有且仅有一个公共点，求该直线的方程． 【答案】(1) (2)或. 【详解】（1）圆的圆心坐标为，半径， 因为直线经过圆心， 所以，又，， ，当且仅当时等号成立， 即， 所以的最大值为；.....................................................7分 （2）过点斜率不存在的直线为， 联立，可得， 所以直线与圆有且只有一个交点，满足条件， 过点的斜率为的直线方程为， 若直线与圆有且只有一个交点， 则点到直线距离为， 所以，化简可得， 解得，即直线方程为， 所以若直线过点且与圆有且仅有一个公共点， 则该直线方程为或......................................................14分 18．（本题14分）已知双曲线C：的离心率为2，其右焦点F到一条渐近线的距离为. (1)求双曲线C的方程； (2)若直线：与双曲线C交于不同的两点A，B，且以线段为直径的圆经过点，证明：直线过定点. 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】(1)利用已知条件及，可求得双曲线方程； (2)以线段为直径的圆经过点转化为，再联立直线与双曲线的方程，利用韦达定理得到，可得到直线过的定点. 【详解】（1）因为双曲线的右焦点为，渐近线方程为， 所以右焦点为到渐近线的距离为， 因为双曲线的离心率为，所以， 所以，解得， 所以双曲线的方程为．.....................................................7分 （2）如图， 设，， 联立，得， 则，，， 所以， ， 因为以线段为直径的圆经过点，所以， 所以，即， 所以， 化简得，即， 因为，，所以， 所以直线的方程为， 所以直线过定点......................................................14分 19．（本题14分）在平面直角坐标系中，为原点，已知抛物线. (1)若点在上，且，求点的坐标； (2)设抛物线的焦点为，点，若是上的任意一点，求的最小值； (3)已知过点的直线交抛物线于两点，，求直线的方程. 【答案】(1)或； (2) (3) 【分析】（1）联立抛物线和即可求出； （2）由抛物线的定义，再数形结合可得； （3）设直线方程，与抛物线方程联立，结合韦达定理以及弦长公式求解. 【详解】（1）因为，所以点在圆上， 联立，解得或，则或；.....................................................4分 （2）由题意得，准线方程为， 过点作，垂足为 由抛物线的定义可知，等号成立时三点共线， 则的最小值为；.....................................................8分              （3）由题意可知，直线的斜率不为，故设， 联立，得， 设，则， 则 ， 则解，得（负值舍去），则， 故直线的方程为......................................................14分 20．（本题18分）已知椭圆的两焦点分别为，离心率为，为椭圆上三个不重合的点，且直线经过点与关于轴对称. (1)求椭圆的标准方程； (2)求证：直线经过定点，并求出该定点的坐标； (3)求内切圆半径的取值范围. 【答案】(1) (2)证明见解析，定点为 (3) 【分析】（1）根据焦点坐标，可得c值，根据离心率，可得a值，则可求出，即可得答案. （2）直线AC的方程为，与椭圆联立，设，则，根据韦达定理，可得表达式，求出直线AB的方程，化简整理，即可得答案. （3）根据椭圆的定义，可得的周长，即可得内切圆半径r的表达式，根据韦达定理，可得的面积S的表达式，结合基本不等式，可得S的范围，即可得答案. 【详解】（1）由椭圆的焦点分别为，得， 由离心率，得，则， 所以椭圆的标准方程为......................................................4分 （2）证明：由直线AC过，设直线AC的方程为， 因为不重合且B与关于轴对称，所以m存在且， 联立，得， 设，则， 则 又直线AB的斜率，所以直线AB的方程为， 整理得 令，得，所以直线AB恒过点......................................................12分 （3）由椭圆的定义得的周长为，则的面积， 所以， 又 令，由，得，则， 所以， 因为在上单调递增， 所以，则， 所以，即内切圆半径的取值范围为......................................................18分 21．（本题18分）已知椭圆可由椭圆绕原点逆时针旋转得到.经过（）变换：可将椭圆的方程转化为的方程. (1)若上的点经过（*）变换后得到上的对应点的坐标为，求的值； (2)设椭圆的焦点为（其中在第一象限）. （i）求的坐标； （ii）过在第一象限内的顶点作切线，过作轴的垂线，在上且在外的一点作的两条切线，切点分别为，直线和分别交直线于两点.证明：直线和的交点在定直线上. 【答案】(1) (2)，证明见解析 【分析】 （1）利用信息建立方程组可求解； （2）（i）由题意得的方程组，求出变换后的焦点坐标，再利用变换求出变换前的焦点坐标； （ii）求出点A坐标，直线及的方程，设出切点坐标，写出切线方程，切线方程与直线m联立求出交点坐标，再求出直线和的方程及交点坐标即可证明. 【详解】（1）由题意得，解得，所以. .....................................................3分 （2）(i)由题意得，化简得，解得， 故曲线的焦点坐标为. 设，则，， 解得，所以......................................................12分 （ii）与联立,得,即， 故， 直线的方程为：，切线， 设， ，则切线：， 因在切线上，故 ； 同理：，  . 由，解得 ， 同理可得 . 直线， 直线， 联立解得， 故直线和的交点在定直线上......................................................18分 2 / 27 1 / 27 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年高二数学第一次月考卷 参考答案 一、填空题（1-6填对每题得4分，7-12填对每题得5分．） 1．或. 2．. 3．． 4．. 5．. 6． 7．． 8． 9．. 10．4．     11．. 12．. 二、选择题（本大题共有4题，满分18分，第13-14题每题4分，第15-16题每题5分） 13．B. 14．A 15．D. 16．B 三、解答题(本大题共有5题，满分78分) 17．（本题14分） 【详解】（1）圆的圆心坐标为，半径， 因为直线经过圆心， 所以，又，， ，当且仅当时等号成立， 即， 所以的最大值为；.....................................................7分 （2）过点斜率不存在的直线为， 联立，可得， 所以直线与圆有且只有一个交点，满足条件， 过点的斜率为的直线方程为， 若直线与圆有且只有一个交点， 则点到直线距离为， 所以，化简可得， 解得，即直线方程为， 所以若直线过点且与圆有且仅有一个公共点， 则该直线方程为或......................................................14分 18．（本题14分） 【详解】（1）因为双曲线的右焦点为，渐近线方程为， 所以右焦点为到渐近线的距离为， 因为双曲线的离心率为，所以， 所以，解得， 所以双曲线的方程为．.....................................................7分 （2）如图， 设，， 联立，得， 则，，， 所以， ， 因为以线段为直径的圆经过点，所以， 所以，即， 所以， 化简得，即， 因为，，所以， 所以直线的方程为， 所以直线过定点......................................................14分 19．（本题14分） 【详解】（1）因为，所以点在圆上， 联立，解得或，则或；.....................................................4分 （2）由题意得，准线方程为， 过点作，垂足为 由抛物线的定义可知，等号成立时三点共线， 则的最小值为；.....................................................8分              （3）由题意可知，直线的斜率不为，故设， 联立，得， 设，则， 则 ， 则解，得（负值舍去），则， 故直线的方程为......................................................14分 20．（本题18分） 【详解】（1）由椭圆的焦点分别为，得， 由离心率，得，则， 所以椭圆的标准方程为......................................................4分 （2）证明：由直线AC过，设直线AC的方程为， 因为不重合且B与关于轴对称，所以m存在且， 联立，得， 设，则， 则 又直线AB的斜率，所以直线AB的方程为， 整理得 令，得，所以直线AB恒过点......................................................12分 （3）由椭圆的定义得的周长为，则的面积， 所以， 又 令，由，得，则， 所以， 因为在上单调递增， 所以，则， 所以，即内切圆半径的取值范围为......................................................18分 21．（本题18分） 【详解】（1）由题意得，解得，所以. .....................................................3分 （2）(i)由题意得，化简得，解得， 故曲线的焦点坐标为. 设，则，， 解得，所以......................................................12分 （ii）与联立,得,即， 故， 直线的方程为：，切线， 设， ，则切线：， 因在切线上，故 ； 同理：，  . 由，解得 ， 同理可得 . 直线， 直线， 联立解得， 故直线和的交点在定直线上......................................................18分 2 / 27 1 / 27 学科网（北京）股份有限公司 $■■■■ 2025-2026学年高二数学第一次月考卷 答题卡 姓 名： 准考证号： 注意事项 1.答题前， 考生先将自己的姓名，准考证号填写清 贴条形码区 楚，并认真检查监考员所粘贴的条形码。 2.选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题必须用 n 0.5mm黑色签字笔答题，不得用铅笔或圆珠笔答 题；字体工整、笔迹清晰。 3.请按题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出 典 区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题 缺考 无效。 此栏考生禁填 4. 保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破。 标记 5.正确填涂 一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1-6题每题4分，第7- 12题每题5分) 1 2 N 拓 11. 12 二、 选择题（本大题共有4题，满分18分，第13-14题每题4分，第15- 16题每题5分) 13[A][B][C]D] 14[A][B][C][D] 15[A][B][C][D] 16[A][B][C][D] 数学第1页（共6页） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 三、解答题（本大题共有5题，满分78分，第17-19题每题14分，第20、 21题每题18分.) 17.(14分) 数学第2页（共6页） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 18.(14分) 数学第3页（共6页） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 19.(14分) 数学第4页（共6页） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 20.(18分) 数学第5页（共6页） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 21.(18分) 数学第6页（共6页） 学校__________________班级__________________姓名__________________准考证号__________________ ﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍密﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍封﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍线﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍ 2025-2026学年高二数学第一次月考卷 答题卡 准考证号： 姓 名：_________________________________________ 贴条形码区 此栏考生禁填 缺考 标记 1．答题前，考生先将自己的姓名，准考证号填写清楚，并认真检查监考员所粘贴的条形码。 2．选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题必须用0.5mm黑色签字笔答题，不得用铅笔或圆珠笔答题；字体工整、笔迹清晰。 3．请按题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。 4．保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破。 5．正确填涂 注意事项 一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1-6题每题4分，第7-12题每题5分） 1．____________________ 2．____________________ 3．____________________ 4．____________________ 5．____________________ 6．____________________ 7．____________________ 8．____________________ 9．____________________ 10．____________________ 11．____________________ 12．____________________ 二、选择题（本大题共有4题，满分18分，第13-14题每题4分，第15-16题每题5分） 13 [A] [B] [C] [D] 15 [A] [B] [C] [D] 14 [A] [B] [C] [D] 16 [A] [B] [C] [D] 三、解答题(本大题共有5题，满分78分，第17-19题每题14分，第20、21题每题18分.) 17．（14分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 18．（14分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 19．（14分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 20．（18分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 21．（18分） 数学 第4页（共6页） 数学 第5页（共6页） 数学 第6页（共6页） 数学 第1页（共6页） 数学 第2页（共6页） 数学 第3页（共6页） 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… 此卷只装订不密封 ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… … 学校：______________姓名：_____________班级：_______________考号：______________________ 2025-2026学年高二数学第一次月考卷 （考试时间：90分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如 需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写 在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：：沪教版选择性必修一 坐标平面上的直线、圆锥曲线。 一、填空题（1-6填对每题得4分，7-12填对每题得5分．） 1．已知点到直线的距离为1，则____________. 2．直线：的倾斜角是______. 3．已知直线l与直线的倾斜角相等，且直线过点，则直线l的方程为_________. 4．已知，圆的面积为，则______. 5．若直线与曲线恰有两个不同公共点，则实数的取值范围是___________. 6．已知椭圆的左顶点为，则该椭圆的离心率为________． 7．与双曲线有共同的渐近线，并且过点A(6,8)的双曲线的标准方程为__________． 8．若抛物线的焦点在直线上，则______. 9．已知分别为椭圆的左、右焦点，为坐标原点，若椭圆上存在一点，使得，点在的平分线上，，且，则椭圆的离心率为______． 10．已知点，点在抛物线上运动，点在圆上运动，则的最小值__________. 11．椭圆的右焦点是F， 过F的直线交椭圆C于A，B两点.点O是坐标原点，若直线AB上存在异于F的点P，使得，则的取值范围是_____. 12．如图，已知是椭圆的左焦点，为椭圆的下顶点，点是椭圆上任意一点，以为直径作圆，射线与圆交于点，则的取值范围为________.    二、选择题（本大题共有4题，满分18分，第13-14题每题4分，第15-16题每题5分） 13．如果直线经过双曲线的中心，且与该双曲线不相交，则的斜率的取值范围是（    ） A． B． C． D． 14．在椭圆上任取一点，过点作轴的垂线段，垂足为，点满足，当点在上运动时，则点的轨迹方程为（    ） A． B． C． D． 15．已知直线过双曲线的左焦点，且与C的渐近线平行，则l的倾斜角为（    ） A． B． C． D． 16．2025春节档国产影片《哪吒之魔童闹海》接连破全球票房记录，影片中哪吒与敖丙是不可分割的二人组，其中敖丙的武器“盘龙冰锤”相撞后形成了如图所示的曲线，可以用来表示数学上特殊的曲线．如图所示的曲线C过坐标原点O，C上的点到两定点，（）的距离之积为定值．当时，C上第一象限内的点P满足的面积为，则（   ） A．6 B． C． D． 三、解答题(本大题共有5题，满分78分) 17．（本题14分）已知圆 (1)若直线，，，经过圆心，求的最大值． (2)若直线过点且与圆有且仅有一个公共点，求该直线的方程． 18．（本题14分）已知双曲线C：的离心率为2，其右焦点F到一条渐近线的距离为. (1)求双曲线C的方程； (2)若直线：与双曲线C交于不同的两点A，B，且以线段为直径的圆经过点，证明：直线过定点. 19．（本题14分）在平面直角坐标系中，为原点，已知抛物线. (1)若点在上，且，求点的坐标； (2)设抛物线的焦点为，点，若是上的任意一点，求的最小值； (3)已知过点的直线交抛物线于两点，，求直线的方程. 20．（本题18分）已知椭圆的两焦点分别为，离心率为，为椭圆上三个不重合的点，且直线经过点与关于轴对称. (1)求椭圆的标准方程； (2)求证：直线经过定点，并求出该定点的坐标； (3)求内切圆半径的取值范围. 21．（本题18分）已知椭圆可由椭圆绕原点逆时针旋转得到.经过（）变换：可将椭圆的方程转化为的方程. (1)若上的点经过（*）变换后得到上的对应点的坐标为，求的值； (2)设椭圆的焦点为（其中在第一象限）. （i）求的坐标； （ii）过在第一象限内的顶点作切线，过作轴的垂线，在上且在外的一点作的两条切线，切点分别为，直线和分别交直线于两点.证明：直线和的交点在定直线上. 试题 第3页（共4页） 试题 第4页（共4页） 试题 第1页（共4页） 试题 第2页（共4页） 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $@学科网·学易金卷 www.zxxk.com 做好卷，就用学易金卷 2025-2026学年高二数学第一次月考卷 （考试时间：90分钟试卷满分：150分) 注意丰项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如 需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写 在本试卷上无效。 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4.测试范围：：沪教版选择性必修一坐标平面上的直线、圆锥曲线。 一、填空题(1-6填对每题得4分，7-12填对每题得5分.) 1.已知点Aa,√3)到直线1：x-√5y+1=0的距离为1，则a= 2.直线1：√3x+y+2=0的倾斜角是 3.已知直线1与直线2x-y-5=0的倾斜角相等，且直线过点A(3,2),则直线1的方程为 4.已知m∈R,圆x2+y2-9x-m=0的面积为兀，则m= 5.若直线：y-3=k(x-1)与曲线C:y=V1-x2恰有两个不同公共点，则实数k的取值范围是 6.己知椭圆c:+y +8 =1的左顶点为(-3,0)，则该椭圆的离心率为 7。与双雕线号名1有关同的斋近线，并且过点A6消双由线的标准方程为 8.若抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点在直线1：x+2y-3=0上，则P= 9,已知界，尽分别为椭圆℃若+卡-1a>b>0的左、有焦点，O为坐标原点，若稀圆上行在一点P,使 得2OPRR,点e在∠RP吗的平分线上，O0/PR,且IOQ=;,则椭圆C的离心率为 PMP 10.已知点M0,4),点P在抛物线x=8y上运动，点2在圆+(，-2=1上运动，则Pg的最小值 1山.椭圆℃：号+y-1的右焦点是R,过H的宜线交椭圈C于4,8两点点0是坐标层点，若直线B上 存在异于F的点P,使得4B=PAPB,则O的取值范围是 1/4 西学科网·学易金卷 www zxxk com 做好卷，就用学易金卷 12.如图，已知下是椭圆女+上=1的左焦点，A为椭圆的下顶点，点P是椭圆上任意一点，以PP为直径 43 作圆N,射线ON与圆N交于点P,则AQ的取值范围为 二、选泽题（本大题共有4题，满分18分，第13-14题每题4分，第15-16题每题5分》 13.如果直线1经过双曲线9x2-4y2=36的中心，且与该双曲线不相交，则1的斜率的取值范围是() A引 s.〔[3 D.3.0 14.在椭圆B:+上=1上任取一点P, 259 过点P作x转的垂线段PD,垂足为D,点M满足D1=丽， 当点P在E上运动时，则点M的轨迹方程为() A.x2+y2=25 B.x2+y2=9 C.28 25+9 =1 D.x 25T9 =1 15.已知直线1：y=:+mm<0)过双曲线C:兰-上-1的左焦点（←2,0），且与C的渐近线平行，则1的 2 倾斜角为() B. C.2x D. 16.2025春节档国产影片《哪吒之魔童闹海》接连破全球票房记录，影片中哪吒与敖丙是不可分割的二人 组，其中敖丙的武器“盘龙冰锤”相撞后形成了如图所示的曲线，可以用来表示数学上特殊的曲线.如图所示 的曲线C过坐标原点O,C上的点到两定点F(-a,0),(a,0)(a>0)的距离之积为定值.当a=3时，C 上第一象限内的点P清足。PRR的面积为，则Pg-PR=《) A.6 B.18√5 C.213 D.65 2/4 西学科网·学易金卷 www zxxk com 做好卷，就用学易金卷 三。解答题（本大题共有5题，满分78分） 17.（本题14分)已知圆(x+1)2+(y-2)=1 (1)若直线-x+y=2,>0,n>0,经过圆心，求mn的最大值 (2)若直线过点(0,4)且与圆有且仅有一个公共点，求该直线的方程. 18（本题14分)已知双鱼线C:若器-1口>0b>0的离心率为3，共右焦点P到条新近线的电离为 √3 (1)求双曲线C的方程： (2)若直线1：y=c+(k>0,m>O)与双曲线C交于不同的两点A,B,且以线段AB为直径的圆经过点P(1,O), 证明：直线过定点. 19.(本题14分)在平面直角坐标系中，O为原点，己知抛物线C:y2=4x. (1)若点E在C上，且OE=V5,求点E的坐标： (2)设抛物线C的焦点为F,点A(6,1),若P是C上的任意一点，求AP+PF的最小值； (3)已知过点B(3,0)的直线1交抛物线C于M、N两点，W=4W35,求直线1的方程. 3/4 西学科网·学易金卷 www zxxk com 做好卷，就用学易金卷 20（体题18分)卫知搭国r产若-ab0的两焦点分划为g10,R00.离心率为分，AC 为椭圆上三个不重合的点，且直线AC经过点F,B与C关于x轴对称. (1)求椭圆厂的标准方程； (2)求证：直线AB经过定点，并求出该定点的坐标： (3)求△AFC内切圆半径r的取值范围. 21.（本题18分)已知椭圆E cos20 sin20 x2+ sin2e cos20 y2+ sin2θsin20 b2 b2 xy=1(a>b>0)可由 b2 椭圆？：三+兰-1绕原点O逆时针旋转{ x=cose.x+sine.y 得到经过(*)变换： v=cose.y-sine.x 可将椭圆 a b2 E的方程转化为E的方程， ①)若日=亚，B上的点(2，g)经过(*)变换后得到B上的对应点的坐标为(2,1)，求P+q的值： 6 (2)设椭圆C:2x2+2y2-2xy=3的焦点为耳，耳（其中耳，在第一象限). (i)求耳，的坐标： (i)过C在第一象限内的顶点A作切线m,过A作x轴的垂线l,在I上且在C外的一点T作C的两条切线， 切点分别为P,M,直线TP和TM分别交直线m于Q,N两点.证明：直线NP和QM的交点在定直线上 4/4