学易金卷：高一数学下学期第一次月考03【全国通用，人教A版必修第二册平面向量及其应用】

2025-2026学年高一数学第一次月考卷 参考答案 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1 2 3 4 5 6 7 8 A B C B B A D D 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9 10 11 ABC ABD ABC 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12． 13． 14． 24 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．(13分 【详解】（1）由和正弦定理， 可得，整理得， 由余弦定理，，因，则.................6分 （2）由化简得， 由余弦定理，， 当且仅当时等号成立，即当时，的最小值为. 的面积为.................13分 16．(15分） 【详解】（1）由及正弦边角关系，得， 而，则， 由，因此，则， 由，得，解得，又，所以；.................4分 （2） 由，得，，则，又， 因为内角的角平分线交边于，所以， ∴， ∴；.................9分 （3） 在中，由余弦定理，得， 由边上的中线，又，则， 所以，即，解得， 令的中点分别为，由点为的外接圆圆心，得，， ， ， 所以.................15分 17．(15分） 【详解】（1）在中，．     在中，由余弦定理得 因此..................4分 （2）在中，由正弦定理得，     即， 所以．.................9分 （3）在中，由正弦定理得， 即， 即，     解得 当且仅当，即时，取到最大值.    ................15分 方法2：以线段所在直线为轴，线段的中点为坐标原点，建立如图所示直角坐标系． 由可知，点在以为直径的圆上， 显然当直线与圆相切时，的最大值． 此时，故． 18．(17分） 【详解】（1）依题意，因为， 所以， 因为是线段的中点，所以， 设，则有， 因为三点共线，所以，解得， 即，所以，所以； ；...............5分 （2）（i）根据题意, 同理可得：， 由（1）可知，， 所以， 因为三点共线，所以， 化简得， 即为定值，且定值为3；.................10分 （ii）根据题意，， ， 所以， 由（i）可知，则， 所以， 易知，当时，有最小值，此时..................17分 19．(17分） 【详解】（1） 在中，， 所以，而为锐角，故，所以， 所以，而，故. 又，故， 在中，由正弦定理有，所以， 在中，由正弦定理有，所以， 所以，故..................5分 （2） 因为，所以，即， ①，所以 在中，， 在中，， 在中，， 三式相加得 ， 整理得：..................11分 ②又 又由①知， 所以， 故， 整理得：， 即， 所以，即， 所以..................17分 1 / 4 学科网（北京）股份有限公司 $■■■■ 2025-2026学年高一数学第一次月考卷 答题卡 姓 名： 准考证号： 注意事项 1.答题前，考生先将自己的姓名，准考证号填写清 贴条形码区 楚，并认真检查监考员所粘贴的条形码。 2.选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题必须用 0.5mm黑色签字笔答题，不得用铅笔或圆珠笔答 好 题；字体工整、笔迹清晰。 粉 3.请按题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出 区域书写的答案无效：在草稿纸、试题卷上答题 缺考 无效。 此栏考生禁填 4.保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破。 标记 5.正确填涂■ 一、 选择题（每小题5分，共40分） 1[A][B][CD] 5[A][B][C[D] 2[A][B][C][D] 6[A][B][C[D] 3[A][B][C][D] 7[A][B][C[D] 4[A[B][C][D] 8[A][B][C[D] 二、选择题（全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0 分，共18分) 9[A[B][C]D] 10 [A][B][C][D] 前 11[A][B][C][D] 三、填空题（每小题5分，共15分） 的1 12. 13. 14. 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学第1页（共6页） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 四、解答题（共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15.(13分) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学第2页（共6页） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 16.(15分) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学第3页（共6页） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 17.(15分) B D 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学第4页（共6页） ■ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 18.(17分) A E B 图1 图2 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学第5页（共6页） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 19.(17分) A ⊙ B 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学第6页（共6页）2025-2026学年高一数学第一次月考卷 答题卡 姓 名： 准考证号： 贴条形码区 注意事项 ■▣▣■。●■▣。。■m。■=-。■=▣。▣=。■=■=■▣■■。中■ 1.答题前，考生先将自己的姓名，准考证号填写清楚，并认真核准条 考生禁填：缺考标记 ▣ 形码上的姓名、准考证号，在规定位置贴好条形码。 违纪标记 ☐ 2.选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题必须用0.5mm黑色签字笔 以上标志由监考人员用2B铅笔填涂 答题，不得用铅笔或圆珠笔答题；字体工整、笔迹清晰。 3.请按题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出区域书写的答案无 选择题填涂样例： 效：在草稿纸、试题卷上答题无效。 正确填涂■ 4. 保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破。 错误填涂×1【W1【/】 第I卷（请用2B铅笔填涂） 一、 选择题（每小题5分，共40分） 1[A[B][C][D] 5[A][B][C][D] 2[A[B][C]D] 6[A]B][C][D] 3[A][B][CD] 7[A][B][C][D] 4[A[B][C[D] 8[A][B][C[D] 二、 选择题（全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分，共18分） 9[AJ[B][C][D] 10[A]B][CI[D] 11[A][B][C]D] 三、填空题（每小题5分，共15分） 12 13, 14 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 三、（本大题共5个小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 15.(13分) 16.(15分) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 17.(15分) A B D C 18.(17分) y Q B4 C B 图1 图2 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 19.(17分) A 分 0 0 B C 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… 此卷只装订不密封 ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… … 学校：______________姓名：_____________班级：_______________考号：______________________ 2025-2026学年高一数学第一次月考卷 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如 需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写 在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：人教A版（2019）必修第二册第六章向量。 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．与向量反向的单位向量是（    ） A． B． C． D． 2．已知向量，，，若与平行，则（   ） A． B． C． D．1 3．已知向量为单位向量，，则的夹角为（    ） A． B． C． D． 4．已知是边长为2的等边三角形，为平面内一点，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 5．内角的对边分别为，满足，且，则（   ） A．为锐角 B． C． D． 6．如图，中，，为边靠近的三等分点，为中点，过作垂线交于点，，若，则（   ） A． B．4 C． D．8 7．在中，已知，，，为线段上的一点，且，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 8．已知梯形中，，，点为边上的动点，若，则的范围是（    ） A． B． C． D． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．中，，点满足，设，则（    ） A．若为的重心，则 B．若为的内心，则 C．若为的垂心，则 D．若为的外心，则 10．记内角，，的对边分别是，，，已知，则下列选项正确的是（    ） A． B．角的最大值为 C． D．的取值范围是 11．已知点在以为直径的圆上运动，且，动点为平面内一点，且，则下列结论正确的是（    ） A．的最小值为1 B．的最小值为 C．的最大值为10 D．的最小值为8 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．如图，已知正方形的边长为2，且F为AD边中点，与交于点，则________． 13．已知，若，则在方向上的投影向量的坐标为_________． 14．已知正n边形（n为偶数）内接于单位圆O，且满足的顶点共有个，若正三角形的顶点在圆O上，则的最大值为_________． 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．(13分）记的内角，，的对边分别为，，，已知. (1)求角的大小； (2)若，求的最小值及的面积. 16．(15分）在中，角，，所对的边分别为，，，. (1)求； (2)若的面积为，内角的角平分线交边于，，求的长； (3)若，边上的中线，设点为的外接圆圆心，求的值. 17．(15分）在中，是线段上一点，且，，设． (1)求线段的长度（用表示）； (2)若，求的值； (3)求的最大值． 18．(17分）如图所示，在中，在线段上，满足是线段的中点． (1)延长交于点（如图1），若，求的值； (2)过点的直线与边，分别交于点，（如图2），设，． （i）求证：为定值； （ii）设的面积为的面积为，求的最小值． 19．(17分）布洛卡点是三角形内部的特殊点，由法国数学家亨利·布洛卡于19世纪提出，其定义如下：设P是内一点，若，则称点P为的布洛卡点，角为的布洛卡角.如图，在中，记它的三个内角分别为，其对边分别为的面积为S，点P为的布洛卡点，其布洛卡角为，请完成以下问题： (1)若，求的大小及的值； (2)已知的条件下，解下列两个问题： ①若，求的值； ②若，求S. 试题 第3页（共4页） 试题 第4页（共4页） 试题 第1页（共4页） 试题 第2页（共4页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年高一数学第一次月考卷 （考试时间：120分钟，分值：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：人教A版（2019）必修第二册第六章向量。 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．与向量反向的单位向量是（    ） A． B． C． D． 2．已知向量，，，若与平行，则（   ） A． B． C． D．1 3．已知向量为单位向量，，则的夹角为（    ） A． B． C． D． 4．已知是边长为2的等边三角形，为平面内一点，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 5．内角的对边分别为，满足，且，则（   ） A．为锐角 B． C． D． 6．如图，中，，为边靠近的三等分点，为中点，过作垂线交于点，，若，则（   ） A． B．4 C． D．8 7．在中，已知，，，为线段上的一点，且，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 8．已知梯形中，，，点为边上的动点，若，则的范围是（    ） A． B． C． D． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．（多选）中，，点满足，设，则（    ） A．若为的重心，则 B．若为的内心，则 C．若为的垂心，则 D．若为的外心，则 10．记内角，，的对边分别是，，，已知，则下列选项正确的是（    ） A． B．角的最大值为 C． D．的取值范围是 11．已知点在以为直径的圆上运动，且，动点为平面内一点，且，则下列结论正确的是（    ） A．的最小值为1 B．的最小值为 C．的最大值为10 D．的最小值为8 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．如图，已知正方形的边长为2，且F为AD边中点，与交于点，则________． 13．已知，若，则在方向上的投影向量的坐标为_________． 14．已知正n边形（n为偶数）内接于单位圆O，且满足的顶点共有个，若正三角形的顶点在圆O上，则的最大值为_________． 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．(13分）记的内角，，的对边分别为，，，已知. (1)求角的大小； (2)若，求的最小值及的面积. 16．(15分）在中，角，，所对的边分别为，，，. (1)求； (2)若的面积为，内角的角平分线交边于，，求的长； (3)若，边上的中线，设点为的外接圆圆心，求的值. 17．(15分）在中，是线段上一点，且，，设． (1)求线段的长度（用表示）； (2)若，求的值； (3)求的最大值． 18．(17分）如图所示，在中，在线段上，满足是线段的中点． (1)延长交于点（如图1），若，求的值； (2)过点的直线与边，分别交于点，（如图2），设，． （i）求证：为定值； （ii）设的面积为的面积为，求的最小值． 19．(17分）布洛卡点是三角形内部的特殊点，由法国数学家亨利·布洛卡于19世纪提出，其定义如下：设P是内一点，若，则称点P为的布洛卡点，角为的布洛卡角.如图，在中，记它的三个内角分别为，其对边分别为的面积为S，点P为的布洛卡点，其布洛卡角为，请完成以下问题： (1)若，求的大小及的值； (2)已知的条件下，解下列两个问题： ①若，求的值； ②若，求S. 3 / 5 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年高一数学第一次月考卷 （考试时间：120分钟，分值：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：人教A版（2019）必修第二册第六章向量。 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．与向量反向的单位向量是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】反向单位向量即为，代入计算即可. 【详解】与反向的单位向量为. 故答案为：A. 2．已知向量，，，若与平行，则（   ） A． B． C． D．1 【答案】B 【详解】因为，， 则 又因为与平行， 所以， 化简：，即， 解得：. 3．已知向量为单位向量，，则的夹角为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据向量垂直的计算公式和向量数量积的定义求出，结合两向量夹角的范围即可求得答案. 【详解】由可得， 解得，因，则. 故选：C. 4．已知是边长为2的等边三角形，为平面内一点，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用向量中点公式，得到，把原式化简为，根据向量的数量积运算确定最小时点的位置，再利用均值不等式求出最小值. 【详解】（为的中点）， 则，要使最小， 则，的方向相反，即点在线段上， 则，即求的最大值， 因为， 所以， 当且仅当，即是的中点时，取等号． 故． 故选：B． 5．内角的对边分别为，满足，且，则（   ） A．为锐角 B． C． D． 【答案】B 【分析】根据已知条件结合余弦定理得，由，得，从而确定的范围，由，得，计算即可. 【详解】， 又， ，整理得： ， ， ， ， 当且仅当时等号成立， 又，， ，为钝角， ，， ，， ，即， ，，解得：， ， ， ． 6．如图，中，，为边靠近的三等分点，为中点，过作垂线交于点，，若，则（   ） A． B．4 C． D．8 【答案】A 【分析】利用共线向量定理及平面向量基本定理用表示，再利用数量积运算律求解. 【详解】由为边靠近的三等分点，得， 不妨设，由三点共线得， 设，则， 又不共线，则有， 即，解得，即， 由，得，因，， 因此 ， 因， 所以. 7．在中，已知，，，为线段上的一点，且，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据题目信息结合三角恒等变换及向量的数量积公式解出三角形，建立平面直角坐标系，由为线段上的一点，则存在实数使得，求出点坐标，再根据，求出点坐标，从而得到，利用基本不等式即可求出答案. 【详解】中设，，， 因为，， 所以， 即， 所以， 因为，所以， 所以，又，所以， 又因为，所以， 又，所以， 在中，，，， 根据，所以，， ， 以所在的直线为轴，以所在的直线为轴建立直角坐标系， 可得，，，所以，， 为线段上的一点， 则存在实数使得， 设，，则，， 所以，则， 所以，，则， 所以， 当且仅当，即，时，等号成立， 此时， 所以的最小值为. 8．已知梯形中，，，点为边上的动点，若，则的范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】建立平面直角坐标系，应用向量的夹角公式计算最后结合值域求解． 【详解】以的中点为原点，如图所示建立平面直角坐标系，则 ，， 设，则，， ， 令，则， ，可得. 故选：D． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．（多选）中，，点满足，设，则（    ） A．若为的重心，则 B．若为的内心，则 C．若为的垂心，则 D．若为的外心，则 【答案】ABC 【分析】以中点为原点，为轴建立平面直角坐标系，求出三角形各种心的坐标，然后代入坐标列方程求出即可得解. 【详解】如图以中点为原点，为轴建立平面直角坐标系， 则，，，，， 对于A，若为的重心，则，，即， 所以， 若，则，解得， 此时，A说法正确； 对于B，若为的内心，由点到，的距离相等可知在上， 设内切圆的半径为，则， 即，解得，所以，， 若，则，解得， 此时，B说法正确； 对于C，若为的垂心，由可知在上， 设，则，解得， 所以，， 若，则，解得， 此时，C说法正确； 对于D，若为的外心，由可知在上， 设，则，即，解得， 所以，， 若，则，解得， 此时，D说法错误； 故选：ABC 10．记内角，，的对边分别是，，，已知，则下列选项正确的是（    ） A． B．角的最大值为 C． D．的取值范围是 【答案】ABD 【分析】对于A利用余弦定理即可判断，对于B利用余弦定理和均值不等式即可判断，对于C利用余弦定理、正弦定理及两角和的正弦公式即可判断，对于D令代入有，由三角形三边关系求出解出的范围，即可求解，进而判断D． 【详解】对于A：由余弦定理知， 又，所以，即，故A正确； 对于B：由余弦定理知， 由基本不等式知，即，当且仅当时，等号成立. 所以，又，所以，即角的最大值为，故B正确； 对于C： 若，则， 即， 所以，即，也即， 整理得，不合题意，故C错误； 对于D：令，代入中可得，. 由得，，即， 解得. . 令，易知在上单调递增， 当且，， 当且，， 所以在上的值域为， 的取值范围是，故D正确． 故选：ABD． 11．已知点在以为直径的圆上运动，且，动点为平面内一点，且，则下列结论正确的是（    ） A．的最小值为1 B．的最小值为 C．的最大值为10 D．的最小值为8 【答案】ABC 【分析】结合点和点的轨迹可以判断A选项；由向量的数量积公式可知的最小值，判断B选项；利用向量的线性表示，得到，结合向量夹角的范围得到的范围，即得最大值和最小值，判断C、D两个选项. 【详解】A选项，设中点为，∵，，且， ∴，∴ 由题意可知，∵， ∴， 即，当，即同向时取得最小值1.故A正确； B选项，， ∵，即， ∴当，即反向时，取得最小值， ∴， 由图可知，当三点共线且在的两侧时，取得最大值为3， ∴，即最小值为，故正确； 选项C、D，， ∴ ， 而 ∵，∴， ∴ ∴， ∴， 即的最大值是10，最小值是6，故C正确，D错误． 故选：ABC. 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．如图，已知正方形的边长为2，且F为AD边中点，与交于点，则________． 【答案】/ 【分析】以为基底表示，结合向量的数量积运算求得正确答案. 【详解】在正方形中，因为为AD中点，所以，且， 则， 则 . 13．已知，若，则在方向上的投影向量的坐标为_________． 【答案】 【详解】因为，所以，解得：, 则在方向上的投影向量的坐标为 14．已知正n边形（n为偶数）内接于单位圆O，且满足的顶点共有个，若正三角形的顶点在圆O上，则的最大值为_________． 【答案】 【分析】题意条件可转化为的顶点的个数仅个，可先根据向量模长公式得出向量夹角的范围，利用正n边形的性质可得，即，再利用向量加法将转化为，进而利用正三角形与圆的性质，结合三角函数辅助角公式求最值即可. 【详解】由题知正n边形顶点为，设和夹角为， 由题意可得，满足的顶点仅个， 不等式两边平方可得， 因为正n边形（n为偶数）内接于单位圆O， 所以，且， 所以，则，故， 故满足条件的顶点只能为这三个， 所以有，解得，又为偶数，故； ， 下面求的最大值. 如图，由正三角形中，取中点，连接， 则，故三点共线，设， 则， 所以，当时，等号取到， 故，且当时，取到最大值. 故答案为：. 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．(13分）记的内角，，的对边分别为，，，已知. (1)求角的大小； (2)若，求的最小值及的面积. 【答案】(1) (2); 【分析】（1）利用正弦定理化角为边，再由余弦定理即可求得； （2）由向量数量积的定义求出，利用余弦定理与基本不等式即可求得的最小值，根据三角形面积公式求其面积. 【详解】（1）由和正弦定理， 可得，整理得， 由余弦定理，，因，则.................6分 （2）由化简得， 由余弦定理，， 当且仅当时等号成立，即当时，的最小值为. 的面积为.................13分 16．(15分）在中，角，，所对的边分别为，，，. (1)求； (2)若的面积为，内角的角平分线交边于，，求的长； (3)若，边上的中线，设点为的外接圆圆心，求的值. 【答案】(1)； (2)2； (3). 【分析】（1）利用正弦定理化边为角，再求出，即可得解； （2）根据即可得解； （3）由题意，两边平方得，结合余弦定理可求出，再根据数量积的几何意义即可得. 【详解】（1）由及正弦边角关系，得， 而，则， 由，因此，则， 由，得，解得，又，所以；.................4分 （2） 由，得，，则，又， 因为内角的角平分线交边于，所以， ∴， ∴；.................9分 （3） 在中，由余弦定理，得， 由边上的中线，又，则， 所以，即，解得， 令的中点分别为，由点为的外接圆圆心，得，， ， ， 所以.................15分 17．(15分）在中，是线段上一点，且，，设． (1)求线段的长度（用表示）； (2)若，求的值； (3)求的最大值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）在中，求出，在中，利用余弦定理得，通过计算得到的值；     （2）在中，由正弦定理得，代入数值通过计算得到的值．     （3）在中，由正弦定理得，代入数值通过计算得到的值，利用基本不等式求出最大值.方法2：建立平面直角坐标系，由可知，点在以为直径的圆上，显然当直线与圆相切时，的最大值，此时可求出的值，利用同角关系式求出． 【详解】（1）在中，．     在中，由余弦定理得 因此..................4分 （2）在中，由正弦定理得，     即， 所以．.................9分 （3）在中，由正弦定理得， 即， 即，     解得 当且仅当，即时，取到最大值.    ................15分 方法2：以线段所在直线为轴，线段的中点为坐标原点，建立如图所示直角坐标系． 由可知，点在以为直径的圆上， 显然当直线与圆相切时，的最大值． 此时，故． 18．(17分）如图所示，在中，在线段上，满足是线段的中点． (1)延长交于点（如图1），若，求的值； (2)过点的直线与边，分别交于点，（如图2），设，． （i）求证：为定值； （ii）设的面积为的面积为，求的最小值． 【答案】(1) (2)（i）证明过程见解析；（II） 【分析】（1）根据题意，将作为基底表示，由三点共线可知，的系数之和为1，可求出的值，然后利用基底法、平面向量数量积的定义进行求解即可； （2）（i）根据题意，将，作为基底表示，由三点共线可知，，的系数之和为1，即可求出为一定值； （ii）根据题意，，，，由可将化为关于的函数，利用函数性质求的最小值即可. 【详解】（1）依题意，因为， 所以， 因为是线段的中点，所以， 设，则有， 因为三点共线，所以，解得， 即，所以，所以； ；...............5分 （2）（i）根据题意, 同理可得：， 由（1）可知，， 所以， 因为三点共线，所以， 化简得， 即为定值，且定值为3；.................10分 （ii）根据题意，， ， 所以， 由（i）可知，则， 所以， 易知，当时，有最小值，此时..................17分 19．(17分）布洛卡点是三角形内部的特殊点，由法国数学家亨利·布洛卡于19世纪提出，其定义如下：设P是内一点，若，则称点P为的布洛卡点，角为的布洛卡角.如图，在中，记它的三个内角分别为，其对边分别为的面积为S，点P为的布洛卡点，其布洛卡角为，请完成以下问题： (1)若，求的大小及的值； (2)已知的条件下，解下列两个问题： ①若，求的值； ②若，求S. 【答案】(1) (2)①12；② 【分析】（1）根据角的关系求得，在、中，分别由正弦定理可得，，由商数关系求的值； （2）由，可得，对于①在、、中由余弦定理结合代数运算可得，再根据面积可求的值；②由面积公式结合余弦定理可得，结合①可得，平方展开运算得解. 【详解】（1） 在中，， 所以，而为锐角，故，所以， 所以，而，故. 又，故， 在中，由正弦定理有，所以， 在中，由正弦定理有，所以， 所以，故..................5分 （2） 因为，所以，即， ①，所以 在中，， 在中，， 在中，， 三式相加得 ， 整理得：..................11分 ②又 又由①知， 所以， 故， 整理得：， 即， 所以，即， 所以..................17分 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $ 学校__________________班级__________________姓名__________________准考证号__________________ ﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍密﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍封﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍线﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍ 2025-2026学年高一数学第一次月考卷 答题卡 准考证号： 姓 名：_________________________________________ 贴条形码区 此栏考生禁填 缺考 标记 1．答题前，考生先将自己的姓名，准考证号填写清楚，并认真检查监考员所粘贴的条形码。 2．选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题必须用0.5mm黑色签字笔答题，不得用铅笔或圆珠笔答题；字体工整、笔迹清晰。 3．请按题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。 4．保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破。 5．正确填涂 注意事项 一、选择题（每小题5分，共40分） 1 [A] [B] [C] [D] 2 [A] [B] [C] [D] 3 [A] [B] [C] [D] 4 [A] [B] [C] [D] 5 [A] [B] [C] [D] 6 [A] [B] [C] [D] 7 [A] [B] [C] [D] 8 [A] [B] [C] [D] 二、选择题（全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分，共18分） 9 [A] [B] [C] [D] 10 [A] [B] [C] [D] 11 [A] [B] [C] [D] 三、填空题（每小题5分，共15分） 12．____________________ 13．____________________ 14．____________________ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 四、解答题（共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15．（13分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 16．（15分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 17． （15分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 18．（17分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 19．（17分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学 第4页（共6页） 数学 第5页（共6页） 数学 第6页（共6页） 数学 第1页（共6页） 数学 第2页（共6页） 数学 第3页（共6页） 学科网（北京）股份有限公司 $2025-2026学年高一数学第一次月考卷 : (考试时间：120分钟试卷满分：150分) ·: 注意丰项： : 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如 需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写 : 在本试卷上无效。 : 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4.测试范围：人教A版(2019)必修第二册第六章向量。 第一部分（选择题共58分） : 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要 : 求的。 1.与向量a=(←-3,4)反向的单位向量是（) A6=3)®.6-() c.-〔到引 0.-（到 2.已知向量a=(3,-1),b=(-2,1),c=(-1,2),若a+b与c平行，则1=() O C.-1 D.1 3. 已知向量，e2为单位向量，(g-22)⊥，则，2的夹角为() A.30° B.45 C.60 D.120 4.己知△ABC是边长为2的等边三角形，P为平面ABC内一点，则PA·(PB+PC)的最小值为() : A.-2 3 B.- 拟 D.-1 : : 5.△MBC内角R.C的对边分别为a,6c,满足2a-36+e)kc,且eoe42-音，则() : A.A为锐角 B.sinB=V② C.C>π D.As3π 4 6 4 6.如图，Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=6,D为AC边靠近C的三等分点，G为BC中点，过D作AC垂 : 线交BC于点E,AG∩BD=F,若FEAC=4,则AC=() : : 试题第1页（共4页） .: ©学科网·学易金卷做树装：就限爱是鲁 A.15 B.4 C.2W3 D.8 7.在△ABC中，已知AB.AC=9,sinB=cosA·sinC, be sin A=6,P为线段AB上的一点，目 CP=x. CA CB +y: 1.1 CB 则三+二的最小值为() x V A. 7+2W3 B.7+3W5 c.7+26 D.7+4V3 12 12 12 12 8.已知梯形ABCD中，AB/1CD,AB=2BC=2CD=2AD=4,点M为边CD上的动点，若∠AMB=C, 则cosc的范围是() 11 27 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部 选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9.△ABC中，AB=AC=5,BC=6,点P满足AP=xAE+AC,设1=x+y,则() A.若P为△ABC的重心，则= 3 B.若P为△ABC的内心，则2= 8 7 5 C.若P为△ABC的垂心，则= D.若P为△ABC的外心，则= 16 6 10.记△ABC内角A,B,C的对边分别是a,b,c,已知b2+c2=2,则下列选项正确的是() A.2bccosA=a2 B.角A的最大值为 tanBtanC C.tand=- tanB tanC D.2空的取值范围是(35-535+列 11.己知点C在以AB为直径的圆上运动，且AB=2,动点M为平面ABC内一点，且MAMB=3,则下列 结论正确的是() A.MC的最小值为1 B.CM.AB的最小值为-6 C.M+MB+2MC的最大值为10 D.A+MB+2MC的最小值为8 第二部分（非选择题共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12.如图，己知正方形ABCD的边长为2，且F为AD边中点，BF与AC交于点E,则BE.BC= 试题第2页（共4页） 西学科网·学易金卷做将汽：然限是鲁精 D E B 13.已知a=(4,2),b=(1,2),c=(x,1),若a⊥c,则c在b方向上的投影向量的坐标为 14.己知正n边形A4…A,(n为偶数)内接于单位圆0，且满足0A+0A≤V5i=1,2,,)的顶点A共 有n-3个，若正三角形PMW的顶点M,N在圆O上，则∑PA的最大值为 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15.(13分)记△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知3 csin C=(3a+2b)sinA+(3b+a)sinB. (1)求角C的大小： (2)若CA.CB=-8,求C的最小值及△ABC的面积. 16.(15分)在△ABC中，角A,B,C所对的边分别为a,b,C,c-acosB=b-V3 asin B. (1)求A; (2)若△ABC的面积为4W3,内角A的角平分线交边BC于E,b=4,求AE的长： (3)若a=7,边BC上的中线AD=面， 设点O为△ABC的外接圆圆心，求AO.AD的值. 2 17.(15分)在△ABC中，D是线段BC上-点，且cD=2DB=2,∠D1C=牙，设∠ADC=0. D (1)求线段AB的长度（用0表示）： (2)若cos8=V 2,求sinB的值： 4 (3)求tanB的最大值. 试题第3页（共4页） 18.(17分)如图所示，在△ABC中，P在线段BC上，满足2BP=PC.O是线段AP的中点. : : E P 图1 图2 (1延长c0交AB于点Q(如图1)，若44B4C=15A0.QC,求4C的值： AB (2)过点O的直线与边AB,AC分别交于点E,F(如图2)，设EB=A正，FC=AF. (i)求证：22+4为定值： 张 (i)设△AEF的面积为S△ABC的面积为S2,求 的0小湖 样 游 19.(17分)布洛卡点是三角形内部的特殊点，由法国数学家亨利布洛卡于19世纪提出，其定义如下：设 P是△ABC内一点，若∠PAB=∠PBC=∠PCA=O,则称点P为△ABC的布洛卡点，角O为△ABC的布洛 卡角.如图，在△ABC中，记它的三个内角分别为A,B,C,其对边分别为a,b,C,△ABC的面积为S,点P为 △ABC的布洛卡点，其布洛卡角为O,请完成以下问题： 60 世 B (1)若∠ABC= 24C=2,AB=l,求∠APC的大小及tam9的值： (2已知日=工的条件下，解下列两个问题： 6 ①若S=√5，求a2+b2+c2的值； ②若a=2,求S. :0 试题第4页（共4页）@学科网·学易金卷 www.zxxk.com 做好卷，就用学易金卷 2025-2026学年高一数学第一次月考卷 (考试时间：120分钟，分值：150分) 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡 皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4.测试范围：人教A版(2019)必修第二册第六章向量。 第一部分（选择题共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要 求的。 1.与向量a=(-3,4)反向的单位向量是() A.6=(3B.6-（) c.6-3)D.6-( 2.已知向量a=(3,-1),b=(-2,1),c=(-1,2),若a+b与c平行，则2=() A c.-1 D.1 3.已知向量e,e2为单位向量，(-2e2)⊥e,则1，e2的夹角为() A.30 B.45 C.60 D.120 4.已知△ABC是边长为2的等边三角形，P为平面ABC内一点，则PA(PB+PC)的最小值为() A.-2 B.3 c D.-1 2 5.△BC内角45，C的对边分别为abc,满足2x-3公+)=c,且o4≥-圣，则() A.A为锐角 B.sinB= C.C 4 6 D.As3n 4 6.如图，Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=6,D为AC边靠近C的三等分点，G为BC中点，过D作AC垂 线交BC于点E,AG∩BD=F,若FE.AC=4,则AC=() 1/6 西学科网·学易金卷 www.zxxk.com 做好卷，就用学易金卷 B D A.V15 B.4 C.2W5 D.8 7.在△ABC中，已知AB.AC=9,sinB=cosA.sinC, -be sinA=6,P为线段4AB上的一点，且 CA CB 则+的最小值为() x V A.7+2V3 B.7+3V5 C.7+26 D.7+4V3 12 12 12 12 8.己知梯形ABCD中，AB/CD,AB=2BC=2CD=2AD=4,点M为边CD上的动点，若∠AMB=, 则cosa的范围是() c D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部 选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分 9.(多选)△ABC中，AB=AC=5,BC=6,点P满足AP=xAB+yAC,设元=x+y,则() P D A.若P为△ABC的重心，则2=召 3 B.若P为△ABC的内心，则1= 5 C.若P为△ABC的垂心，则元=7 16 D.若P为△ABC的外心，则元= 6 10.记△ABC内角A,B,C的对边分别是a,b,c,己知b2+c2=2a2,则下列选项正确的是() A.2bccosA=a2 B.角4的最大省为号 216 西学科网·学易金卷 www.zxxk.com 做好卷，就用学易金卷 C.tand=-_ tanBtanC tanB+tanC D. b 的取值范围是(35-5,33+5) 11.己知点C在以AB为直径的圆上运动，且AB=2,动点M为平面ABC内一点，且MA.MB=3,则下列 结论正确的是() A.MC的最小值为1 B.CMAB的最小值为-6 C.+M历+2MC的最大值为10 D.MA+M+2MC的最小值为8 第二部分（非选择题共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12.如图，己知正方形ABCD的边长为2，且F为AD边中点，BF与AC交于点E,则BE.BC=」 D A B 13.已知a=(4,2),b=(1,2),c=(x,1),若a1c,则c在i方向上的投影向量的坐标为 14.己知正n边形4A,…A.(n为偶数)内接于单位圆0，且满足OA+0A≤V31=1,2,,)的顶点A共 有n-3个，若正三角形PW的顶点M,N在圆O上，则∑PA的最大值为 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15.(13分)记△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知3 c sin C=(3a+2b)sinA+(3b+a)sinB, (1)求角C的大小： (2)若CA.CB=-8,求C的最小值及△ABC的面积 316 西学科网·学易金卷 www.zxxk.com 做好卷，就用学易金卷 16.(15分)在△ABC中，角A,B,C所对的边分别为a,b,C,c-acos B=b-√3 asin B (1)求A: (2)若△ABC的面积为4V3,内角A的角平分线交边BC于E,b=4,求AE的长： )若a=7,边BC上的中线4D=,设点0为△1BC的外接圆圆心，求A0,的值 2 1n.5分)在△4BC中，D是线段BC上一点，且cD-2B-2,∠DAC-分设∠ADC-0. C (1)求线段AB的长度（用θ表示）： ②若co0=5,求sinB的值： 4 (3)求tanB的最大值. 4/6 西学科网·学易金卷 www.zxxk.com 做好卷，就用学易金卷 18.(17分)如图所示，在△ABC中，P在线段BC上，满足2BP=PC.O是线段AP的中点. A B B4 图1 图2 ④)延长c0交AB于点9（如图1），若4BAC=15A0QC,求4C的值： AB (2)过点O的直线与边AB,AC分别交于点E,F(如图2)，设EB=AE,FC=AF. (i)求证：22+u为定值： (i)设△AEF的面积为S,△ABC的面积为S2,求 的最小值. 516 西学科网·学易金卷 www.zxxk.com 做好卷，就用学易金卷 19.(17分)布洛卡点是三角形内部的特殊点，由法国数学家亨利布洛卡于19世纪提出，其定义如下：设 P是△ABC内一点，若∠PAB=∠PBC=∠PCA=日，则称点P为△ABC的布洛卡点，角日为△ABC的布洛卡 角.如图，在△ABC中，记它的三个内角分别为A,B,C,其对边分别为a,b,c,△ABC的面积为S,点P为△ABC 的布洛卡点，其布洛卡角为日，请完成以下问题： @喏∠AC=4C=2MB=1,求∠AC的大小及t面9的值； (Q已知0-君的条件下，解下列两个间题： ①若S=√5，求2+b2+c2的值： ②若a=2,求S. 616 11 2025-2026学年高一数学第一次月考卷 答题卡 贴条形码区 考生禁填： 缺考标记 违纪标记 以上标志由监考人员用2B铅笔填涂 选择题填涂样例： 正确填涂 错误填涂 [×] [√] [／] 1．答题前，考生先将自己的姓名，准考证号填写清楚，并认真核准条形码上的姓名、准考证号，在规定位置贴好条形码。 2．选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题必须用0.5 mm黑色签字笔答题，不得用铅笔或圆珠笔答题；字体工整、笔迹清晰。 3．请按题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。 4．保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破。 注意事项 姓 名：__________________________ 准考证号： 第Ⅰ卷(请用2B铅笔填涂)一、选择题（每小题5分，共40分） 1 [A] [B] [C] [D] 2 [A] [B] [C] [D] 3 [A] [B] [C] [D] 4 [A] [B] [C] [D] 5 [A] [B] [C] [D] 6 [A] [B] [C] [D] 7 [A] [B] [C] [D] 8 [A] [B] [C] [D] 二、选择题（全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分，共18分） 9 [A] [B] [C] [D] 10 [A] [B] [C] [D] 11 [A] [B] [C] [D] 三、填空题（每小题5分，共15分） 12．____________________ 13．____________________ 14．____________________ 第Ⅱ卷 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 三、（本大题共5个小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 15．（13分） 16.（15分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 17. （15分） 18.（17分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 19.（17分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $