培优点01 向量万能建系法（6大题型）（讲义）-2025-2026学年高一数学新教材同步配套培优讲义与精练（人教A版必修第二册）

培优点01 向量万能建系法 目录 01 方法总结 2 02 题型归纳 3 题型一：利用建立平面直角坐标系求向量值 3 题型二：在三角形中建立坐标系，求解向量最值问题 3 题型三：在四边形中建立坐标系，求解向量最值问题 4 题型四：在多边形中建立坐标系，求解向量最值问题 5 题型五：通过建立坐标系、设三角函数，求解向量最值问题 6 题型六：利用建立平面直角坐标系，求解向量模长及夹角问题 7 03 过关测试 8 题型一：利用建立平面直角坐标系求向量值 【例1】在中，为边上靠近点的三分点，为的中点，则（    ） A． B． C． D． 【变式1-1】在矩形ABCD中，，，点E为BC的中点，点F在边CD上，若，则的值为（    ） A． B．1 C．2 D． 【变式1-2】如图所示，在矩形ABCD中，AB＝，BC＝2，点E在边CD上，且，则的值是（    ） A． B． C． D． 题型二：在三角形中建立坐标系，求解向量最值问题 【例2】在中，点D是边的中点，且，若点P为平面内一点，则的最小值是（   ） A． B． C． D． 【变式2-1】为等边三角形所在平面内的一点，向量，且，.设向量与的夹角为，则的最大值为（   ） A． B． C． D． 【变式2-2】如图，在中，为线段的中点，，为线段的中点，为线段上的动点，则的最大值与最小值的差为（   ） A． B． C．3 D．4 【变式2-3】已知△ABC是边长为2的等边三角形，M是△ABC内一点，且，若，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 题型三：在四边形中建立坐标系，求解向量最值问题 【例3】如图，在梯形中，，，分别为边上的动点，且，则的最大值为（    ） A．6 B．9 C．12 D．15 【变式3-1】在平行四边形中，，，.点G在边上满足，点E为线段上的动点（不含端点），则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【变式3-2】边长为1的正方形ABCD上有一动点，则向量的范围是（   ） A． B． C． D． 【变式3-3】边长为2的正方形上有一动点，则向量的最大值是（   ） A．1 B．2 C． D．4 题型四：在多边形中建立坐标系，求解向量最值问题 【例4】如图是一个边长为2的正六边形，点是六边形内部的一点，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式4-1】蜂巢的精密结构是通过优胜劣汰的进化自然形成的．若不计蜂巢壁的厚度，蜂巢的横截面可以看成正六边形网格图，如图所示．设为图中7个正六边形（边长为4）的某一个顶点，为两个固定顶点，则的最大值为（   ） A．44 B．48 C．72 D．76 【变式4-2】剪纸是中国古老的传统民间艺术之一，剪纸时常会沿着纸的某条对称轴对折．将一张纸片先左右折叠，再上下折叠，然后沿半圆弧虚线裁剪，展开得到最后的图形，若正方形ABCD的边长为4，点P在四段圆弧上运动，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 题型五：通过建立坐标系、设三角函数，求解向量最值问题 【例5】已知在中，为所在平面内的动点，且，则的最大值为（ ） A．5 B．6 C．7 D．8 【变式5-1】如图，在中，，，，若为圆心为的单位圆的一条动直径，则的最大值是（   ） A．2 B．4 C． D． 【变式5-2】如图，正方形ABCD的边长为a，顶点A，D分别在x轴的正半轴、y轴的正半轴上移动.若，则a的最大值是（    ）    A．1 B．2 C． D．4 【变式5-3】如图，等边的边长为2，顶点分别在轴的非负半轴、轴的非负半轴上滑动，为的中点，则的最大值为（    ）    A． B． C． D． 题型六：利用建立平面直角坐标系，求解向量模长及夹角问题 【例6】如下图所示，三个边长为2的等边三角形有一条边在同一直线上，边上有10个不同的点，，…，，记，则（    ） A．18 B．180 C． D． 【变式6-1】已知，，点，为坐标原点，则的最小值是（   ） A． B． C． D． 【变式6-2】在梯形中，已知，，，，，若，则的模为（     ） A． B．2 C．3 D．4 1．如图，在矩形中，，，点为的中点，点在边上，若，则的值为（   ） A．9 B．10 C．11 D．12 2．如图，正方形的边长为分别为边上的动点，若为的中点，且满足，则的最小值为（    ） A． B．4 C． D．8 3．已知下图是一个边长为2的田字格（由4个边长为1的小正方形构成），田字格中有9个节点（如图加黑的9个点），，，为这9个点中均不相同的三个点，则的最大值为（    ） A．3 B．4 C．6 D．8 4．已知在等腰中，，点为的中点，于，点为线段的中点，点为线段上的动点，则的最大值与最小值的差为（    ） A．4 B．2 C． D． 5．平行四边形中，，，，点在边上，则的最大值是（    ） A． B． C． D． 6．在四边形ABCD中， ．若P为线段上一动点，则的最大值为（    ） A．1 B．3 C．5 D．7 7．已知正方形的边长为1，点在边上（不包含边界），则的最大值为（    ） A． B． C． D． 8．已知平行四边形中， ，，分别为边，的中点，若，则四边形面积的最大值为（    ） A．2 B． C．4 D． 9．如图，在梯形中，，，，若是线段上的动点，且，则的最小值为（    ）    A．9 B．10 C．11 D．12 10．已知在矩形中，，点为矩形所在平面内一点，则的最小值是（   ） A． B． C． D． 11．四边形中，，，，若四边形的面积为，则实数的值为（   ） A．4 B．3 C．2 D．1 12．将函数和直线的所有交点从左到右依次记为，若点坐标为.则（   ） A．10 B．6 C．2 D．0 13．如图，在梯形中，，，，若是线段上的动点，且，则的最小值为_______. 14．如图是由两个有一个公共边的正六边形构成的平面图形，其中正六边形边长为2. (1)设，求的值； (2)若点在边上运动（包括端点），则求的最大值. 28 / 40 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $培优点01 向量万能建系法 目录 01方法总结… 02题型归纳 题型一：利用建立平面直角坐标系求向量值… 3 题型二：在三角形中建立坐标系，求解向量最值问题 题型三：在四边形中建立坐标系，求解向量最值问题 题型四：在多边形中建立坐标系，求解向量最值问题…11 题型五：通过建立坐标系、设三角函数，求解向量最值问题 13 题型六：利用建立平面直角坐标系，求解向量模长及夹角问题… 16 03过关测试…19 1/28 01 方法总结 yAD(0.a) C(a.a) C(bcos0,bsin0) B(c.0) A B(a.0)x Ba,0) A 边长为a的等边三角形 正方形 已知夹角的任意三角形 yA (0,asine)C(a-acos0,asin0) D(0.b) C(a,b) D )C() Ba,0) A B(a.0) Ba.0) 矩形 直角梯形 平行四边形 D(beos 0.bsin0)C(a-bcos0,bsin0) A(rcos0.rsin0) A B(a. 等腰梯形 圆 2/28 02 题型归纳 题型一：利用建立平面直角坐标系求向量值 【例1】在ABC中，AB=2,BC=2√5，∠ABC=90,E为AC边上靠近点A的三分点，F为AC的中点， 则BE.BF=() A号 B. g c. D 【答案】C 【解析】以B为坐标原点，BC所在直线为x轴，BA所在直线为y轴，建立平面直角坐标系 因为AB=2,BC=25,所以B(0,0),A(0,2),C(2N5,0, 国为F为C中点，所以小c-a6-小，亚-c-引则到 所以BE= 254,F=(5, 3’3 所以BEBF=25x 4 3×V5+4x1= 6.4_10 3 3 333 E 【变式1-1】在矩形ABCD中，AB=√5，BC=2,点E为BC的中点，点F在边CD上，若AEBF=1, 则AB.AF的值为() A.3 B.1 C.2 D.5 3 【答案】C 【解析】建立平面直角坐标系如图所示： 3/28 C 由题意可知，A0,V5,B(0,0),C(2,0),D(2,5,E1,0), 设F(2,),则AE=1,-5,BF=(2,y, 由花-F=1,可得1x2-V5y=1→y=5 又-0亚22y 所以4f-0-52-2 故选：C 【变式1-2】如图所示，在矩形ABCD中，AB=√2，BC=2,点E在边CD上，且DE=2EC,则AEBE 的值是() 以 B. C. D. 9 【答案】D 【解析】以A为原点，AB所在直线为x轴，AD所在直线为y轴建立如图所示平面直角坐标系. 4/28 AB=2,BC=2, ∴A(0,0),B(√2,0)，C(V2,2),D(0,2) ~点E在边CD上，且DE=2EC,E( 亚-29aE-9a 432 9 9 故选：D 题型二：在三角形中建立坐标系，求解向量最值问题 【例2】在ABC中，点D是边AC的中点，且BD=2√5，若点P为平面ABC内一点，则PBPA+PC的 最小值是() A.-V5 B.-3 C.-23 D.-6 【答案】D 【解析】因为D为AC的中点， 所以PA+PC=2PD, 所以PB.PA+PC=2PB.PD 不妨以BD所在直线为x轴，BD的垂直平分线为y轴建立平面直角坐标系，如图所示， B 因为BD=25,则D-V5,0,BV5,0, 5/28 设P(x,),则PB.PD=V5-x,-y小-V5-x,-y=x2-3+y2≥-3， 所以PB(PA+PC)=2PB.PD≥-6，即：PB(PA+PC)的最小值为-6 故选：D 【变式2-1】P为等边三角形ABC所在平面内的一点，向量AP=xAB+yAC,且1≤x≤2,1≤y≤2.设向量 AP与AB的夹角为a,则cosa的最大值为() A.6 B.V6 C.5 D. 27 4 3 14 【答案】C 【解析】设等边三角形ABC的边长为1， 以A为原点，AB所在直线为x轴，以过点A且与AB垂直的直线为y轴，建立平面直角坐标系， 所以40a1o,c传9} 所以=0c-售 所以cosa= 1 232 x+2+4 V+y+, +w+4 则cosa=2+y+y =1 2 +x+1 V 函数f(t)=2+1+1在 上单调递增， 3 所以g)=+t+ 4 在[]上单调递减。 3 所以ht)=1- 4 [2]上单调递塔。 t2+t+1 所以cos2a∈ 4251 7'28' 6/28 所以cOSmax= 5v万 14 故选：C 【变式2-2】如图，在ABC中，∠A=90°，∠B=60°，AB=2,D为线段AC的中点，DM⊥BC,E为线段 DM的中点，F为线段AB上的动点，则EF.CB的最大值与最小值的差为() C E M D F B A.25 B号 C.3 D.4 【答案】D 【解析】如图，以A为坐标原点，AB,AC所在直线分别为x,y轴建立平面直角坐标系： 珠 EI D F B 因为在ABC中，∠A=90°，∠B=60°，AB=2,D为线段AC的中点，所以AC=2V3, 则B(2,0),C(0,25,D0,5,所以CB=2,-25) 设F(m,0(0≤m≤2)，CM=tCB,则xw,yw-2V5=2,-2V51, 所以M2t,2V5-2V31,故DM=2t,3-2V3t, 又因为DM1BC,所以DMCB=4H-6+121=0→i= 8 F=2名》-2m+6,图为05m32,所以6s2a+6310 7/28 即EF.CB的最大值与最小值的差为10-6=4 故选：D 【变式2-3】已知△ABC是边长为2的等边三角形，M是△ABC内一点，且AM=入AB+μAC,若 及+μ-宁则M6NC的最小值为() A.月 1 B.一2 C. 4 D.4 【答案】C 【解析】取BC的中点O,以O为坐标原点，OC,OA所在的直线分别为x轴、y轴建立平面直角坐 标系xOy, 则A0,V3),B(-1,0),C(1,0).设M(x,y, 则AM=x,y-5),AB=(-1,-5,AC=1,-V5 因为a=2丽+元，且+u=},所以ky-=1-可+，-5).且+u=号 x=-λ+4， x= -21, 即{y-5=-V3(2+,可得 2 1 3 2+μ=2 y2 因为点M在△ABC内部， 2>0, 所以 4>0, 可得0<元<)，所以- 2 <x<I 因为MB= -9}wc-f-9) 所以M6C=-1+2-4 3 所以当x=0时，MB.MC取最小值- 故选：C 8/28 题型三：在四边形中建立坐标系，求解向量最值问题 【例3】如图，在梯形ABCD中，ADIIBC,AB.BC=0,AD=AB=3,BC>AB,M,N分别为边AB,BC上 的动点，且MN=2,则DM.DN的最大值为() D M B N A.6 B.9 C.12 D.15 【答案】C 【解析】因为AB.BC=0,所以AB⊥BC, 如图，以B为坐标原点，BC所在直线为x轴，BA所在直线为y轴，建立平面直角坐标系， ZA A M B 则D(3,3),设M(0,y,N(x,0),其中x∈0,2]y∈0,2且x2+y2=4, 所以DM=（-3,y-3),DN=(x-3,-3), 所以DM.DN=-3x+9-3y+9=-3(x+y)+18, 因为x+y=BM+BN≥MN=2,当且仅当点M或点N与点B重合时，等号成立， 所以DM·DN的最大值为12 故故：C 【变式3-1】在平行四边形ABCD中，∠A=60°，4B=3,AD=2.点G在边DC上满足DG=DC,点E 为线段AB上的动点（不含端点），则GE.AC的取值范围为() A.（-11,1 B.（-1,11 C.-65,-3vV5 D.(35,65 【答案】A 【解析】如图，以A为坐标原点，AB所在直线为x轴建立平面直角坐标系， 则A(0,0,D1,5),G2,5),c(4,5,设E(a,0(0<a<3), 所以GE=a-2,-5,AC=4,V5, 9/28 所以GE.AC=4a-2-3=4a-11,因为0<a<3,所以-11<4a-11<1, 所以GE.AC的取值范围为-11,1) 故选：A D G A E B 【变式3-2】边长为1的正方形ABCD上有一动点P,则向量AB.AP的范围是() A.[0,刂 B.[-V2,0] C.[-√2， D.{} 【答案】A 【解析】如图，分别以AB,AD为x,y轴建立平面直角坐标系， 则A(0,0),B(1,0),C(1,1),D(0,1), A D A B 设P(x,y),则AB=(L,0),AP=(x,y),所以AB.AP=x, 当P在边AB或CD上时，0≤x≤I,所以0≤AB.AP<1, 当P在边BC上时，x=1,AB.AP=1, 当P在AD边上时，x=0,ABAP=0, 所以AB.AP的取值范围是[0,1]. 故选：A 【变式3-3】边长为2的正方形ABCD上有一动点P,则向量AB.AP的最大值是() A.1 B.2 C.2√2 D.4 【答案】D 【解析】如图，分别以AB,AD为x,y轴建立平面直角坐标系， 则A(0,0),B(2,0),C(2,2),D(0,2), 10/28