9.3.1 向量基本定理（题型专练）高一数学苏教版必修第二册

学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 9.3.1平面向量基本定理 题型一点共线问题 题型二线共线问题 基础达标题 题型三基底的概念 题型四用基底表示向量 平面向量基本定理 题型一向量共线求参数 能力提升题 题型二平面向量的基本定理求参数 拓展培优题 题型一向量的基本定理求最值问题 基础达标题 题型一点共线问题 1.(22-23高一下.江苏镇江扬中第二高级中学.期中)设e,e2是平面内的一组基底，AB=3e+2e2,AC=4e- e2,AD=5e-4e2,则() A.A,B,C三点共线 B.A,C,D三点共线 C.B,C,D三点共线 D.A,B,D三点共线 2.(23-24高一下四川泸州高级中学校月考)已知平面向量d,b不共线，AB=2a+36,BC=-d+2b,CD=5 a+46,则() A.A,B,C三点共线 B.A,B,D三点共线 C.B,C,D三点共线 D.A,C,D三点共线 3.(24-25高一下四川凉山州西昌期中)（多选）下列关于向量说法正确的是() A.向量AB的长度和向量BA的长度相等 B.若向量AB与向量CD,满足A>CD,且AB与CD同向，则AB>CD C.己知平面上四点0，A,B,C,且0B=0A+0C,则A,B,C三点共线 D.向量AB与向量CD是共线向量，则点A,B,C,D必在同一条直线上 1/8 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 4.(22-23高一下江苏连云港海头高级中学.期末)在三角形ABC中，己知E,F分别是线段AB,AC上的点， 且A正=AB,A正=AC若M、N分别为线段EF、BC的中点. (1)用AB,AC表示MN: (2)判断A,M,N三点是否共线？若是，写出证明过程；若不是，则说明理由 5.如图，在△OBC中，A是BC的中点，D是线段OB上靠近点B的三等分点，设OA=a,OB=. B D (1)用向量与b表示向量0元，CD; (2)若O正=0A,求证：C,D,E三点共线. 题型二线共线问题 1.(24-25高一下广东茂名普通高中.期末)已知，e2是同一平面内两个不共线的向量，则a‖b的是() A.a=2e-,i=-+2 B.a=e1+2e2,b=2e1+e2 C.a=e1-2e2,b=ei+2e2 D.a=ej-e2,b=2e1-4e2 2.2425高-下安徽合肥第八中学)设立，B为非零向重，则合=吾是/B的(） A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 3.已知e≠0,1eR,a=e+e2,b=2e,则a与b共线的条件为() A.1=0 B.e2=0 C.e1//e2 D.e/e2或1=0 4.(22-23高一下湖南张家界民族中学·月考)下列命题不正确的是() A.向量与b共线的充要条件是有且仅有一个实数λ，使b=d B.在△ABC中，AB+BC+CA=0 c.不等式-≤a+引≤-中两个等号不可能同时成立 D.若向量a与b不共线，则向量a+b与向量d-b必不共线 5.(23-24高一下河南周口太康县第一高级中学·月考)（多选）下列说法中不正确的是（) 2/8 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 A.若A正=CD,则A=|C可，且A、B、C、D四点构成平行四边形 B.若m为非零实数，且ma=nb,则a与b共线 C.在△ABC中，若有AO=t 那么点0一定在角A的平分线所在直线上 D.若向量ab,则与b的方向相同或相反 题型三基底的概念 1.(24-25高一下，重庆第三十中学校月考)设，是平面内的一组基底，则下列能作为该平面内一组基底的 是() A.a+b,a-b B.2点+6，+26 c.2a-36,6d-96 D.a-b,b-a 2.(25-26高一上·贵州遵义第四中学期末)下列命题正确的是() A.2a>a B.若a+=2a-,则a1i C.若a=b,则aIb D.若1,2不共线，则1,22可以作为平面向量一组基底 3.(25-26高一上辽宁沈阳期末)（多选）下列关于平面向量的说法中，正确的是() A.若a/b,b/c,则a/1c B.若{a+,a-}是一组基底，则{a,也是一组基底 C,若A,B,C是平面上不同的三点，且AB/BC,则A,B,C三点共线 D.若a/b,则存在唯一的实数，使得b=a 4.(24-25高一下，福建泉州科技中学，)（多选）设，2是平面内的一组基底向量，则下列四组向量中，不能 作为基底的是() A.e+e2和e-3e2 B.e+2e2和e+e2 C.3e1-4e2和6e1-8e2 D.e1+6e2和e+e2 5.(23-24高一下陕西韩城期中)（多选）已知非零向量，b,c,下列命题正确的是() A.若a/b,b/心，则a// B,与向量铁线的单位向量是土哥 3/8 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 c.若d=|l,则后=或a=-方 D.若a,b是平面的一组基底，则a+b,a-b也能作为该平面的一组基底 题型四用基底表示向量 1.(24-25高一上重庆第三十中学校月考)如图，已知AB=a,AC=,BC=4BD,CA=3CE,则DE=() D A.3-五 B.数-五 C.d D.a-另 2.(25-26高一上云南师大附中期末)如图，在△ABC中，D是BC的中点，AE=2EC,设AD=d,AC=b. D B (1)用向量与b表示向量AB,BE; (2)若A=AD,求证：B,E,F三点共线. 3.(25-26高一上辽宁丹东期末)已知向量d,b不共线，AB=a+b,AC=a+b,其中1，μeR. (1)若A,B,C三点共线，求的值； (2)当1=L=2时，若CD=2BC,用基底{a,}表示AD, 4,(25-26高一上·辽宁锦州期末)如图，在△ABC中，点D,E,F分别在边AB,BC,AC上，且AE,BF,CD 交于点M.已知AD=DB. M B E (1)若0是△ABC所在平面内任意一点，试用0A,OD表示OB; 4/8 学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 (2)若AF=AC,CM=xCD,求x的值 5.(24-25高一下·浙江杭州西湖区东方中学.期中)在△0AB中，P为AB边上一点，且BP=2PA,OA=6, 0B=2,且0A,0B的夹角为60°. (1)用0A,OB表示0P,AB; (2)求0P.AB的值； (3)当OP+tOB与AB垂直时，求实数t的值. B 能力提升题 题型一向量共线求参数 1.(24-25高一下.重庆第三十中学校月考)已知向量AB=d-b,BC=-2a+nb,cD=4a+2b,若A,C,D 三点共线，则实数n的值为（) A.一月 B.4 c D.1 2.(24-25高一上·贵州遵义第四中学.期末)己知向量e,e2不共线.若(4e+ke2)l(-2e+e2),则(） A.k=-2 B.k=-1 C.k=1 D.k=2 3.(22-23高一四川绵阳中学期中)设a,b是两个不共线的向量，若AB=2a+kb,BC=a+b,且A,B,C三点共 线，则实数k的值为 4,(23-24高一下广东清远第二中学等三校联考期中)已知向量ā与的夹角为120，且=2，=4. (1)求a-: (2)当k(k∈R)为何值时(a+2b)⊥(ka-)? (3)当k(kER)为何值时（à+2）Ⅱ(ka-),此时它们是同向还是反向？ 5.(24-25高一下湖北武汉期末)设à，b是两个向量， (1)若a,不共线，且(a+mb/(md+b),求实数m的值； 2)已知向量d,满足1=2，=1，(a+2b)-a=0,求2d-引. 题型二平面向量的基本定理求参数 5/8 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 1.(24-25高一下江苏南京第一中学.期末)在△ABC中，点0满足C0=0B,过点0的直线分别交直线AB,AC 于不同的两点E,F,设AB=xAE,AC=yAF,则x+y=() A.1 B.2 C.3 D.4 2.(25-26高一上山东日照期末)如图，在△ABC中，AN=2WC,P是BN上的一点，若AP=tAB+AC,则 实数t的值为 B 3.(24-25高一下浙江宁波余姚期末)如图，在△ABC中，DC=2BD,E为AD的中点，过点E的直线分别与 边AB,AC交于点M,N(不含端点).若AM=xAB,AN=yAC,x,y>0. (1)用AB,AC表示AD(请写出具体推理步骤)； 2)求+2的值 4,(24-25高一下，浙江金华卓越联盟·)已知三角形ABC中，AB=2,AC=4,∠A=120°，AH为BC边上的高， AD为BC边上的中线，AE为∠A的平分线，H,D,E为BC边上的点· (1)求AE的长； (2)若A7=λAD+uAE,求入，的值； 5.(24-25高一下福建厦门第一中学.期中)如图，BC=3BD,E是线段AD的中点，过点E的直线MN交线段AB 于M,交线段AC于N,AM=mAB,AN=nAC. 6/8 学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 (国求证：品+为定值，并求这个值： (2)若AB=3,AC=6,且AB⊥AC,AE⊥MN,求m,n的值. 拓展培优题 题型一向量的基本定理求最值问题 1.(25-26高一上辽宁大连第一中学期末)已知△ABC中，0是BC边上靠近B的三等分点，Q为AO的中点， 过点O的直线分别交直线AB,AC于不同的两点M,N,设AB=mAM,AC=nAN,其中m>0,n>0,则 下列结论不正确的是() A.AO-AB+AC B.BQ=-AB+AC C.2m+n=3 D.点+的最小值为3+22 2.(24-25高一下·山东济南平阴县第一中学期中)已知点G是△ABC内一点，若GA+GB+GC=0.过点G作 直线分别与AB、AC交于点E、F,且AE=mAB(m>0),AF=nAC(n>0),则m+4n的最小值是() A.2 B.V3 C.3 D.2V3 3.(25-26高一江苏如皋中学·如图，在△ABC中，D为BC边上一点，且BD=3DC.过D点的直线EF与直 线AB相交于E点，与直线AC相交于F点(E,F两点不重合).若AE=1AB(1>0),AF=AC(μ>0)，则1+3μ 的最小值为 A E 4.(24-25高一下.贵州名校协作体)如图，在△ABC中，己知AB=2V2,AC=3,LA=135°，AE=xAB,AF=y 7/8 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 AC,且x+3y=1(x>0,y>0),若线段EF,BC的中点分别为M,N,则M的最小值为 F M B 5,(24-25高一下·安微“江南十校")在△ABC中，BC=3EC,D为线段AC上任意一点，BD交AE于点O. B ○ (1)若AD=AC,AE=A0,求的值； 2)若B0=xBA+yBC,求是+3+的最小值， 8/8 9.3.1 平面向量基本定理 题型一 点共线问题 1．(22-23高一下·江苏镇江扬中第二高级中学·期中)设是平面内的一组基底，，则（    ） A．三点共线 B．三点共线 C．三点共线 D．三点共线 【答案】C 【分析】根据向量共线定理设出方程，若方程无解，则三点不共线，从而得到ABD错误，C正确. 【详解】A选项，设，则，无解，故三点不共线，A错误； B选项，设，则，无解，故三点不共线，B错误； C选项，， ， 故，故三点共线，C正确； D选项，， 设，则，无解，故三点不共线，D错误. 故选：C 2．(23-24高一下·四川泸州高级中学校·月考)已知平面向量不共线，，，，则（    ） A．A，B，C三点共线 B．A，B，D三点共线 C．B，C，D三点共线 D．A，C，D三点共线 【答案】B 【分析】根据平面向量共线定理逐一判断即可. 【详解】A：，因为，且平面向量不共线， 所以不存在实数，使得，因此本选项三点不共线； B：，因为，所以本选项三点共线； C：，因为，且平面向量不共线， 所以不存在实数，使得，因此本选项三点不共线； D：由上可知：，，因为，且平面向量不共线， 显然不存在实数，使得，因此本选项三点不共线， 故选：B 3．(24-25高一下·四川凉山州西昌·期中)（多选）下列关于向量说法正确的是（    ） A．向量的长度和向量的长度相等 B．若向量与向量，满足，且与同向，则 C．已知平面上四点，且，则三点共线 D．向量与向量是共线向量，则点必在同一条直线上 【答案】AC 【分析】根据向量的概念可以判断A、B、D，由得，进而判断C. 【详解】对于A，向量与向量是互为相反向量，所以A选项正确； 对于B，向量不能比较大小，故B错误； 对于C，若，即，所以， 即，且有公共点，所以三点共线，故C正确； 对于D，若向量与向量是共线向量，则直线AB与直线CD有可能平行，故D错误. 故选：AC. 4．(22-23高一下·江苏连云港海头高级中学·期末)在三角形ABC中，已知分别是线段AB，AC上的点，且，.若M、N分别为线段EF、BC的中点. (1)用，表示； (2)判断A，M，N三点是否共线？若是，写出证明过程；若不是，则说明理由. 【答案】(1) (2)不共线，理由见解析 【分析】（1）根据几何性质用，表示出，然后根据向量的减法法则，即可得出答案； （2）假设三点共线，则有共线，根据向量共线的条件得出方程组，得出方程组无解，假设不正确，即可得出答案. 【详解】（1） 因为分别是的中点， 所以，，. 又，， 所以，， 所以， . （2）由（1）知，，. 假设A，M，N三点共线，则共线， 所以，使得，即， 整理可得，. 因为不共线，所以应有，无解， 所以，假设不成立，所以A，M，N三点不共线. 5．如图，在中，是的中点，是线段上靠近点的三等分点，设，. (1)用向量与表示向量，； (2)若，求证：，，三点共线. 【答案】(1)， (2)证明见解析 【分析】（1）根据平面向量基本定理即可写出答案； （2）由，即可写出，结合，可知，由此即可说明，，三点共线. 【详解】（1）因为是的中点，是线段上靠近点的三等分点， 所以，， 因为，， 所以， （2）证明：因为， 所以， 由（1）知，， 所以 所以与平行， 又与有公共点，所以，，三点共线. 题型二 线共线问题 1．(24-25高一下·广东茂名普通高中·期末)已知，是同一平面内两个不共线的向量，则的是（   ） A．， B．， C．， D．， 【答案】A 【分析】根据，则，依次验证在每个选项的条件下，若，是否有解即可. 【详解】若，则， 选项A：若，则，解得，选项A正确； 选项B：若，则，无解，选项B错误； 选项C：若，则，无解，选项C错误； 选项D：若，则，无解，选项D错误. 故答案为：A. 2．(24-25高一下·安徽合肥第八中学·)设，为非零向量，则“”是的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】利用充分条件和必要条件的定义分析判断. 【详解】表示方向上的单位向量. 若，则与同向，所以，即 ； 若，当与同向时，；当与反向时，， 即 . 故选：A. 3．已知，，，，则与共线的条件为（    ） A． B． C． D．或 【答案】D 【分析】假设与共线，利用平面向量共线的判定定理得到给定条件求解即可. 【详解】若与共线，则，得到， 化简得，故， 因为，所以我们讨论是否为， 当时，得到或，但时，一定满足， 当时，则，此时满足， 则与共线的条件为或，故D正确. 故选：D． 4．(22-23高一下·湖南张家界民族中学·月考)下列命题不正确的是（    ） A．向量与共线的充要条件是有且仅有一个实数λ，使 B．在△ABC中， C．不等式中两个等号不可能同时成立 D．若向量与不共线，则向量+与向量-必不共线 【答案】ABC 【分析】A. 由判断；B.由 判断；C. 由判断；D.假设向量+与向量-共线判断. 【详解】A. 当时，有无数个λ，使，故错误； B.在△ABC中， ，故错误； C. 当时，不等式化为，则两个等号同时成立，故错误； D.因为向量与不共线，所以，，都不是零向量，若向量+与向量-共线，则存在实数，使得，则，无解，故假设不成立，故向量+与向量-必不共线，故正确； 故选：ABC 5．(23-24高一下·河南周口太康县第一高级中学·月考)（多选）下列说法中不正确的是（    ） A．若，则，且四点构成平行四边形 B．若为非零实数，且，则与共线 C．在中，若有，那么点一定在角A的平分线所在直线上 D．若向量，则与的方向相同或相反 【答案】AD 【分析】根据四点共线即可判断A，根据共线定理即可求解B，根据单位向量的定义以及向量加法的运算法则，即可由角平分线求解C，根据零向量即可求解D. 【详解】对于A，线段上，为线段的三等分点，满足，且， 但四点不能构成平行四边形，A错误； 对于B，因为为非零实数，且，所以，所以与共线，B正确； 对于C，因为、分别表示向量、方向上的单位向量，所以的方向与的角平分线重合，又，可得向量所在直线与的角平分线重合，所以点一定在角A的平分线所在直线上，C正确； 对于D，若向量，则与的方向相同或相反，或与中至少有一个为零向量，D错误. 故选：AD 题型三 基底的概念 1．(24-25高一下·重庆第三十中学校·月考)设，是平面内的一组基底，则下列能作为该平面内一组基底的是（   ） A．， B．， C．， D．， 【答案】A 【分析】由平面向量基本定理可知，非零、不共线的一组向量可作为平面向量的基底，由此即可选出答案. 【详解】对于A：不存在实数，使得，即它们不共线，故可以作为基底，A正确； 对于B：，即它们共线，故不能作为一组基底，B错误； 对于C：，即它们共线，故不能作为一组基底，C错误； 对于D：，即它们共线，故不能作为一组基底，D错误， 故选：A. 2．(25-26高一上·贵州遵义第四中学·期末)下列命题正确的是（    ） A． B．若，则 C．若，则 D．若不共线，则可以作为平面向量一组基底 【答案】D 【分析】向量不能比较大小，所以A错误；由向量的数量积运算，可判断B；根据向量共线的条件可判断C；由基底的定义可判断D. 【详解】因为向量不能比较大小，所以A错误； 若，则，即. 即.显然时，不成立，所以B错误； 当时，恒成立，所以不一定平行，所以C错误； 根据基底的定义知，平面内两个不共线的向量均能作为平面向量的一组基底，所以D正确. 故选：D. 3．(25-26高一上·辽宁沈阳·期末)（多选）下列关于平面向量的说法中，正确的是（    ） A．若，，则 B．若是一组基底，则也是一组基底 C．若，，是平面上不同的三点，且，则，，三点共线 D．若，则存在唯一的实数，使得 【答案】BC 【分析】根据平面向量共线的定义、基底的定义逐项判断即可. 【详解】因为，当时，不一定共线，所以A错误； 因为是一组基底，所以不共线， 假设共线，则存在实数使得，那么， 则共线，与已知条件矛盾，所以不共线，所以也是一组基底，B正确； 由可知向量共线，结合点B为公共点，故A、B、C三点共线，C正确； 因为，若且，则不存在实数使得，所以D错误. 故选：BC. 4．(24-25高一下·福建泉州科技中学·)（多选）设是平面内的一组基底向量，则下列四组向量中，不能作为基底的是（    ） A．和 B．和 C．和 D．和 【答案】BC 【分析】根据向量是否共线，即可结合选项逐一求解. 【详解】对于A，假设，则使得， 因为不共线得且，则无解， 故，不共线可作为一组基底； 对于B，因为，所以，不能作为基底； 对于C，因为，所以，不能作为基底； 对于D，假设，则使得，则因为不共线得且，则无解，故和不共线可作为一组基底. 故选:BC. 5．(23-24高一下·陕西韩城·期中)（多选）已知非零向量，，，下列命题正确的是（    ） A．若，，则 B．与向量共线的单位向量是 C．若，则或 D．若，是平面的一组基底，则，也能作为该平面的一组基底 【答案】ABD 【分析】利用向量共线定理判断A；求出与向量共线的单位向量判断B；利用向量相等的条件判断C；利用平面的一个基底的意义判断D. 【详解】对于A，非零向量，，，由，，则存在非零实数和，使得，，即，所以，故A正确； 对于B，与向量共线的单位向量是，故B正确； 对于C，若，只有与共线时，才有或，故C错误； 对于D，，是平面的一组基底，则，不共线， 假设向量，共线，则存在实数，使得， 即，显然，不同时为0，于是，共线，与，不共线矛盾，即假设不成立， 因此向量，不共线，即，也能作为该平面的一组基底，故D正确； 故选：ABD 题型四 用基底表示向量 1．(24-25高一上·重庆第三十中学校·月考)如图，已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用基底表示即可求出. 【详解】因为，所以， 则， 因为，所以，即， 则. 故选：C 2．(25-26高一上·云南师大附中·期末)如图，在中，是的中点，，设． (1)用向量与表示向量； (2)若，求证：三点共线． 【答案】(1)，； (2)证明过程见解析 【分析】（1）由向量基本定理可得，； （2）由向量基本定理可得，故，，而有公共点，所以三点共线. 【详解】（1），是的中点， 故， ，故； （2） ， 即，， 所以，， 故，而有公共点，所以三点共线. 3．(25-26高一上·辽宁丹东·期末)已知向量不共线，，，其中． (1)若三点共线，求的值； (2)当时，若，用基底表示． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据三点共线列方程组，由此求得的关系式； （2）由计算得到，将，代入即可求解. 【详解】（1）因为三点共线，则，设， 则有，即， 所以，且，得． （2）当时，，， 因为，； 所以 ， 得到， 所以． 4．(25-26高一上·辽宁锦州·期末)如图，在中，点，，分别在边，，上，且，，交于点.已知.    (1)若是所在平面内任意一点，试用，表示； (2)若，，求的值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据向量的线性运算可得； （2）设，则可用及表示，再利用平面向量基本定理可求. 【详解】（1）证明：因为所以， 所以，整理得； （2）设， 则 ， 又 ， 由平面向量基本定理得所以，解得 5．(24-25高一下·浙江杭州西湖区东方中学·期中)在中，P为AB边上一点，且，，，且，的夹角为． (1)用，表示，； (2)求的值； (3)当与垂直时，求实数t的值． 【答案】(1)， (2) (3) 【分析】（1）利用平面向量运算法则计算即可得到答案； （2）结合（1），利用平面向量的运算法则及数量积公式计算即可求解； （3）根据与垂直，可得，进而结合（2）即可求出实数t的值． 【详解】（1）由，则， 所以， 依题意可得． （2）结合（1）有，， 所以 ． （3）由与垂直，且结合（2）有， 则 ， 解得． 题型一 向量共线求参数 1．(24-25高一下·重庆第三十中学校·月考)已知向量，，，若，，三点共线，则实数的值为（   ） A． B． C． D．1 【答案】C 【分析】根据给定条件，利用向量线性运算及共线向量定理列式求解. 【详解】由，，，得， 由，，三点共线，得存在实数，使得，即， 因此，解得. 故选：C 2．(24-25高一上·贵州遵义第四中学·期末)已知向量，不共线.若，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据共线定理即可求解. 【详解】由于，故存在实数，使得，故，解得， 故选：A 3．(22-23高一·四川绵阳中学·期中)设是两个不共线的向量，若，且三点共线，则实数的值为__________. 【答案】 【分析】利用共线向量定理结合平面向量基本定理列式计算得解. 【详解】由， 由三点共线，得， 则，又不共线，因此，解得， 所以实数的值为. 故答案为： 4．(23-24高一下·广东清远第二中学等三校联考·期中)已知向量与的夹角为，且，. (1)求； (2)当为何值时？ (3)当为何值时 ，此时它们是同向还是反向？ 【答案】(1) (2) (3)，反向 【分析】（1）利用，把向量模的运算转化为数量积运算即得结果； （2）利用向量垂直的充要条件数量积为0，转化为数量积运算，最后解方程即得结果； （3）利用向量共线的充要条件得，根据平面向量基本定理，可得解. 【详解】（1）由已知得， 因为 . 所以 （2）若，即， 所以，即，解得， 即当时，. （3）若 ，即， 根据平面向量基本定理可得，解得， 此时与反向. 5．(24-25高一下·湖北武汉·期末)设，是两个向量， (1)若，不共线，且，求实数的值； (2)已知向量，满足，，，求. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据共线向量定理列出等式求解即可; （2）由数量积为0可得，再由向量的模的计算公式求解即可. 【详解】（1）是两个不共线的向量，， ， ， ，解得. （2）， ， . 题型二 平面向量的基本定理求参数 1．(24-25高一下·江苏南京第一中学·期末)在中，点满足，过点的直线分别交直线，于不同的两点，，设，则（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】根据题意，得到，由，得到，结合三点共线，即可求解. 【详解】在中，因为，即为的中点，所以， 又因为，所以， 因为三点共线，可得，所以. 故选：B. 2．(25-26高一上·山东日照·期末)如图，在中，，是上的一点，若，则实数的值为______. 【答案】/0.25 【分析】由题意，可根据向量运算法则得到，从而由向量分解的唯一性得出关于t的方程，求出t的值． 【详解】由题意及图，， 又，所以， 所以， 又 ，所以，解得m，t． 故答案为：． 3．(24-25高一下·浙江宁波余姚·期末)如图，在中，，为的中点，过点的直线分别与边，交于点，（不含端点）.若，，. (1)用，表示（请写出具体推理步骤）； (2)求的值. 【答案】(1) (2)3 【分析】（1）根据向量的线性运算用，表示即可； （2），结合，，三点共线，得，进而得到答案. 【详解】（1） （2）， ，，三点共线，，. 4．(24-25高一下·浙江金华卓越联盟·)已知三角形中，， 为边上的高， 为边上的中线， 为的平分线，为边上的点 ． (1)求的长； (2)若 求的值； 【答案】(1) (2)， 【分析】（1）首先根据角平分线性质将向量表示出来，然后将等式两边平方可求得结果. （2）首先用向量将向量表示出来，进而可求出 向量的表达式，利用垂直向量的数量积为0，即可求出的值. 【详解】（1）因为为的平分线，， 所以，所以， 所以， 所以 ， 所以. （2）根据题意知，，， 所以 因为 所以 又因为三点共线，则② 由①②可得： . 5．(24-25高一下·福建厦门第一中学·期中)如图，，是线段的中点，过点的直线交线段于，交线段于，，. (1)求证：为定值，并求这个值； (2)若，，且，，求，的值. 【答案】(1)证明见解析，定值为6； (2)，. 【分析】（1）结合图形，由平面向量的线性运算及共线向量定理的推论推理得证. （2）利用向量数量积的运算律，结合垂直关系的向量表示列式求解. 【详解】（1）由，得， 由是线段的中点，得，显然， 由，，得，， 因此，而M，E，N三点共线，则，即 所以为定值，此定值为6. （2）由，，得， 由（1）知，，， 因此， 又，则，，由（1）知，解得，， 所以，. 题型一 向量的基本定理求最值问题 1．(25-26高一上·辽宁大连第一中学·期末)已知中，是边上靠近B的三等分点，Q为的中点，过点O的直线分别交直线，于不同的两点M，N，设，，其中，，则下列结论不正确的是（   ） A． B． C． D．的最小值为 【答案】D 【分析】根据平面向量基本定理结合图像和已知条件以及基本不等式的性质逐项计算判断即可. 【详解】对于A：根据题意画出图像，则根据已知条件可得 ，A正确； 对于B：，由A知. 所以，B正确； 对于C：因为，，， 所以. 因为点共线，所以设. 所以，化简得. 即，又， 所以，两式相加得，即，C正确； 对于D：由C知，所以. 所以D错误. 故选：D 2．(24-25高一下·山东济南平阴县第一中学·期中)已知点是内一点，若．过点作直线分别与、交于点、，且（），（），则的最小值是（    ） A．2 B． C．3 D． 【答案】C 【分析】根据向量线性运算可得，结合基本不等式可得最值. 【详解】 如图所示，设中点为， 由，则， 即， 又过点作直线分别与、交于点、， 设， 则， 所以，即， 又，， 则， 当且仅当，即时，等号成立， 故选：C. 3．(25-26高一·江苏如皋中学·)如图，在中，为BC边上一点，且．过点的直线与直线相交于点，与直线AC相交于点（E，F两点不重合）．若，则的最小值为_______________． 【答案】4 【分析】先用表示，代入表达式，结合三点共线可得，然后利用基本不等式可得答案. 【详解】在中，由， 又，所以， 所以 ， 又，所以， 所以 又D，E，F三点共线，且在直线外， 所以有：，且， 所以，， 当且仅当时，等式成立， 所以的最小值为4． 故答案为：4． 4．(24-25高一下·贵州名校协作体·)如图，在中，已知，，且，若线段的中点分别为，则的最小值为______ 【答案】/ 【分析】根据几何图形中线段对应向量的线性关系，可得，，再根据并结合，可得关于的函数式，由二次函数的性质即可求最小值. 【详解】在中，，则， 线段的中点分别为， ∴，， ∴， ∴两边平方得： ， ∵，，， ∴， 因为对称轴为，所以当时取得最小值， 最小值为，所以的最小值为. 故答案为：. 5．(24-25高一下·安徽“江南十校”·)在中，，为线段上任意一点，交于点. (1)若，，求的值； (2)若，求的最小值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先用向量将表示出来，然后用向量将表示出来，进而可列成方程组求出. （2）首先设，然后利用向量的线性关系将表示出来，然后构造基本不等式，利用基本不等式的性质求出最小值. 【详解】（1）因为，所以，令，， 故在中， . 因为三点共线，设， 所以， 因为，所以， 由，所以，解得，，所以. （2）因为，又三点共线，设， 所以， 又因为，所以，所以，， 所以 ， 当且仅当，即，时等号成立， 的最小值为. 1 / 7 学科网（北京）股份有限公司 $