10.2 二倍角的三角函数（讲义）高一数学苏教版必修第二册

第十章 三角恒等变换 10.2 二倍角的三角函数 知识点一 二倍角的正弦 1.二倍角的正弦：． 2.变形： 即学即练 （25-26高一上·江苏无锡·期末）已知，则_________. 【答案】 【知识点】用和、差角的正弦公式化简、求值、二倍角的正弦公式 【分析】由和差公式得，再由平方关系可求得，再由倍角公式即可求解. 【详解】由得，即， 又，所以，. 故答案为： 知识点二 二倍角的余弦 1. 二倍角的余弦： 2. 变形：（1） （2）升幂公式 （3）降幂公式，． 即学即练 （25-26高一下·全国·单元测试）函数的最小正周期为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】求正弦（型）函数的最小正周期、二倍角的余弦公式 【分析】化简，并结合最小正周期公式即可求解． 【详解】因为， 所以最小正周期为． 故选：D． 知识点三 二倍角的正切 二倍角的正切： 即学即练 （25-26高一上·山东菏泽·期末）已知，则的值为___________． 【答案】/ 【知识点】诱导公式二、三、四、二倍角的正切公式 【分析】根据利用诱导公式及二倍角公式计算可得. 【详解】因为， 所以 。 故答案为： 题型01 二倍角正弦公式的简单应用 注意公式的“正用、逆用和变用”：2sinαcosα＝sin2α；sinαcosα＝sin2α；cosα＝； 正确理解倍角的含义：对于“二倍角”应该有广义的理解，如2α是α的二倍角，4α是2α的二倍角，8α是4α的二倍角，α是的二倍角……这里的蓄含着换元思想．这就是说，“倍”是相对而言的，是描述两个数量之间的关系的． 典｜例｜精｜析 （25-26高一上·江苏无锡·期末）已知，则_________. 【答案】 【知识点】用和、差角的正弦公式化简、求值、二倍角的正弦公式 【分析】由和差公式得，再由平方关系可求得，再由倍角公式即可求解. 【详解】由得，即， 又，所以，. 故答案为： 变｜式｜巩｜固 1．（25-26高一上·宁夏银川·期末）已知，则（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】sinα±cosα和sinα·cosα的关系、二倍角的正弦公式、给值求值型问题 【分析】由同角三角函数关系式及二倍角公式计算可得. 【详解】因为，两边平方得， 整理得，所以. 故选：A. 2．（25-26高一上·江苏南通·期末）设角的终边经过点，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】由终边或终边上的点求三角函数值、二倍角的正弦公式 【分析】根据三角函数定义与二倍角公式求解即可. 【详解】角的终边经过点,, 所以，， 所以. 故选：C 题型02 二倍角余弦公式的简单应用 二倍角公式的变形应用： 公式的逆用、变形用十分重要．1＋cos2α＝2cos2α；1－cos2α＝2sin2α；cos2α＝；sin2α＝． 1＋cos2α＝2cos2α，1－cos2α＝2sin2α形式相似极易出错．应用时要加强“目标意识”． 典｜例｜精｜析 （25-26高一上·河南郑州·期末）已知，且，则_______． 【答案】 【知识点】已知正（余）弦求余（正）弦、二倍角的余弦公式 【分析】先应用二倍角余弦公式化简，再因式分解结合余弦函数值域得出，再应用同角三角函数关系计算求解. 【详解】由， 得，即， 得，解得或（舍去）， 因为，所以. 变｜式｜巩｜固 1．（25-26高一上·福建福州·期末）已知角的顶点与坐标原点重合，始边与轴的非负半轴重合，终边经过点，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】由终边或终边上的点求三角函数值、二倍角的余弦公式 【分析】利用三角函数的定义得出的值，再利用二倍角的余弦公式可得出的值. 【详解】由三角函数的定义可得，故. 故选：B. 2．（25-26高一上·湖北武汉·期末）若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】诱导公式五、六、二倍角的余弦公式 【分析】由诱导公式及二倍角公式进行求解． 【详解】 ． 故选：B 题型03 二倍角正切公式的简单应用 在T2α中，α≠＋且α≠kπ＋(k∈Z)，当α＝kπ＋(k∈Z)时，tanα不存在，求tan2α的值可采用诱导公式． 典｜例｜精｜析 （多选）（25-26高一·全国·假期作业）（多选）已知，则的值可能为（ ） A． B．0 C． D． 【答案】BD 【知识点】二倍角的正弦公式、二倍角的余弦公式、二倍角的正切公式 【分析】根据倍角公式化简，再分类讨论并结合正切的倍角公式求值. 【详解】因为，所以， 则，所以或， 当时，，则，得； 当时，. 则的值可能是、. 故选：BD 变｜式｜巩｜固 1.（25-26高一下·全国·单元测试）已知，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】三角函数的化简、求值——同角三角函数基本关系、二倍角的正切公式 【分析】由条件结合同角关系求，再利用二倍角公式求即可. 【详解】因为，，所以， 所以，则， 所以，所以. 故选：A. 2．（25-26高一上·安徽阜阳·期末）已知，则的值等于（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】二倍角的正切公式、诱导公式五、六 【分析】利用诱导公式化简可得出的值，再利用二倍角的正切公式可求得的值. 【详解】因为， 所以， 所以，故， 故. 故选：C. 题型04 sin2x的降幂公式及应用 当公式出现2sinαcosα时，要逆用公式，然后再寻找关系解决． 典｜例｜精｜析 （25-26高一上·山东青岛·期末）已知，，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】sin2x的降幂公式及应用、由条件等式求正、余弦 【分析】由题设结合平方关系求得，再根据降幂公式求解即可. 【详解】由，得， 因为，所以， 又，则， 解得或（舍去），则， 所以， 又，则. 故选：C 变｜式｜巩｜固 1．（21-22高三·云南昆明·月考）已知，则（    ） A． B．1 C． D． 【答案】D 【知识点】用和、差角的余弦公式化简、求值、用和、差角的正弦公式化简、求值、sin2x的降幂公式及应用、cos2x的降幂公式及应用 【分析】先由得，再通过降幂公式化简得，代入即可求解. 【详解】由，得，即，，所以，. 故选：D． 2．（21-22高三上·山东淄博·期末）（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】用和、差角的正弦公式化简、求值、sin2x的降幂公式及应用 【分析】利用二倍角的正弦公式以及两角差的正弦公式化简可得结果. 【详解】 . 故选：A. 题型05 cos2x的降幂公式及应用 cos2α＝，sin2α＝． 典｜例｜精｜析 （23-24高三下·浙江金华·月考）已知，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】用和、差角的余弦公式化简、求值、二倍角的余弦公式、cos2x的降幂公式及应用、和差化积公式 【分析】由已知结合两角差的余弦公式可先求出，然后结合二倍角公式及和差化积公式进行化简即可求解． 【详解】由得， 又，所以， 所以 ． 故选：C． 变｜式｜巩｜固 1．（25-26高一上·安徽马鞍山·期末）已知角满足，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】用和、差角的余弦公式化简、求值、cos2x的降幂公式及应用、sin2x的降幂公式及应用 【分析】根据给定条件，利用降幂扩角公式及和差角的余弦公式求解. 【详解】角满足， 则 . 故选：D 2.．（23-24高一下·全国·课后作业）的值是________.. 【答案】/0.25 【知识点】诱导公式二、三、四、用和、差角的余弦公式化简、求值、辅助角公式、cos2x的降幂公式及应用 【分析】综合运用两角和的余弦公式、辅助角公式、降幂的余弦公式结合诱导公式进行化简即可求值. 【详解】原式 . 故答案为： 题型06 sinxcosx的降幂公式及应用 典｜例｜精｜析 （21-22高一·全国·单元测试）已知函数. （1）求的最小正周期； （2）若，求的值. 【答案】（1）；（2）. 【知识点】求正弦（型）函数的最小正周期、辅助角公式、sinxcosx的降幂公式及应用 【分析】（1）结合诱导公式和辅助角公式化简函数解析式，进而结合最小正周期公式即可求出结果； （2）结合已知条件，两边同时平方，再利用两角和的平方关系以及降幂公式即可求出结果. 【详解】解：（1）. 所以函数的最小正周期为， （2）由于，所以， 两边同时平方得，由于， 故. 变｜式｜巩｜固 1．（24-25高一下·江西宜春·期末）计算______． 【答案】/ 【知识点】sin2x的降幂公式及应用 【分析】利用二倍角的正弦公式化简可得结果. 【详解】. 故答案为：. 2．（23-24高一下·广东茂名·期中）已知，则__________. 【答案】/ 【知识点】已知正（余）弦求余（正）弦、sin2x的降幂公式及应用、sinxcosx的降幂公式及应用 【分析】先根据平方关系求出，再利用降幂公式和二倍角的正弦公式即可得解. 【详解】， . 故答案为：. 题型07 辅助角公式的应用 1.asinα＋bcosα＝sin(α＋θ)(ab≠0)，其中tanθ＝　，a和b的符号确定θ所在的象限． 2.将三角函数y＝f(x)化为f(x)＝Asin(ωx＋φ)＋m的步骤 (1)将sinxcosx运用二倍角公式化为sin2x，对sin2x，cos2x运用降幂公式，sin(x±α)，cos(x±α)运用两角和与差的公式展开． (2)将(1)中得到的式子利用asinα＋bcosα＝·sin(α＋φ)化为f(x)＝Asin(ωx＋φ)＋m的形式． 将三角函数式化为y＝Asin(ωx＋φ)时，每一步要保持恒等变形，否则变形的结果是错误的． 典｜例｜精｜析 （25-26高一下·全国·课堂例题）将下列各式化为的形式： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【知识点】用和、差角的正弦公式化简、求值、辅助角公式 【分析】（1）利用辅助角公式化简； （2）利用两角和的正弦公式和辅助角公式求解. 【详解】（1） ． （2） ． 变｜式｜巩｜固 1．（25-26高一下·全国·课堂例题）（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】用和、差角的正弦公式化简、求值、辅助角公式 【分析】利用辅助角公式和两角和的正弦公式求解. 【详解】 . 故选：C 2．（25-26高一上·广东湛江·期末）已知，，则的值为（   ） A． B．3 C．2 D． 【答案】B 【知识点】辅助角公式、二倍角的正弦公式、正、余弦齐次式的计算 【分析】先利用辅助角公式和倍角公式以及齐次化思想求出，再结合角的范围约束其值. 【详解】由 ， 得，得或， 因为，所以， 因为，所以，则， 故. 故选：B 题型08 三角公式与三角函数性质综合问题 此类问题一般解法步骤是：降幂——应用辅助角公式——研究函数性质. 易忽视角的范围，无法准确确定函数的单调区间、值域（最值）等. 典｜例｜精｜析 （25-26高一上·云南曲靖·期末）设函数． (1)当时，求图象的对称中心的坐标． (2)已知在上有且仅有4个零点． （i）求的取值范围； （ii）若，不等式在上恒成立，求的取值范围． 【答案】(1) (2)（i）；（ii） 【知识点】根据函数零点的个数求参数范围、二倍角的正弦公式、求正弦（型）函数的对称轴及对称中心、函数不等式恒成立问题 【分析】（1）利用二倍角正、余弦公式化简，代入求出，进而求解； （2）利用正弦型函数的图象和性质，结合零点个数求的范围；利用不等式恒成立条件构造不等式求的范围． 【详解】（1） ， 当时，． 令，得， 图象的对称中心的坐标为． （2）（i）由（1）得， 由，得， 在上有且仅有4个零点，， 解得，的取值范围为． （ii）若，则，故． 不等式在上恒成立， 在上恒成立． 由，得， ，则， 解得，即的取值范围为． 变｜式｜巩｜固 1．（25-26高一下·全国·课堂例题）已知函数的图象经过点． (1)求函数的解析式； (2)求函数的最小正周期和单调递减区间． 【答案】(1) (2)函数的最小正周期，函数的单调递减区间为 【知识点】辅助角公式、求sinx型三角函数的单调性、求正弦（型）函数的最小正周期、由正（余）弦函数的性质确定图象（解析式） 【分析】（1）将点代入得的值，进而得到函数的解析式； （2）利用辅助角公式得，由周期公式求得周期，利用单调递减区间列出关于的不等式求解即可 【详解】（1）由函数的图象经过点，得，解得． 因此． （2）． 所以函数的最小正周期． 令， 可得． 因此函数的单调递减区间为． 2．（25-26高一上·福建莆田·期末）已知函数． (1)求的最小正周期； (2)求的单调递增区间； (3)当时，求的最大值以及取得最大值时的值． 【答案】(1) (2)（） (3)的最大值为1，． 【知识点】求含sinx(型)函数的值域和最值、求sinx型三角函数的单调性、求正弦（型）函数的最小正周期、二倍角的余弦公式 【分析】（1）根据二倍角公式和辅助角公式化简，再根据周期定义求解； （2）由“整体法”求单调区间即可； （3）根据所给已知条件，利用“整体法”求解最大值及． 【详解】（1） ， 所以最小正周期． （2）由（），解得：（）， 故函数的单调递增区间是（）． （3）由，得，所以 当，即时，取得最大值1． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $ 第十章 三角恒等变换 10.2 二倍角的三角函数 知识点一 二倍角的正弦 1.二倍角的正弦：． 2.变形： 即学即练 （25-26高一上·江苏无锡·期末）已知，则_________. 知识点二 二倍角的余弦 1. 二倍角的余弦： 2. 变形：（1） （2）升幂公式 （3）降幂公式，． 即学即练 （25-26高一下·全国·单元测试）函数的最小正周期为（    ） A． B． C． D． 知识点三 二倍角的正切 二倍角的正切： 即学即练 （25-26高一上·山东菏泽·期末）已知，则的值为___________． 题型01 二倍角正弦公式的简单应用 注意公式的“正用、逆用和变用”：2sinαcosα＝sin2α；sinαcosα＝sin2α；cosα＝； 正确理解倍角的含义：对于“二倍角”应该有广义的理解，如2α是α的二倍角，4α是2α的二倍角，8α是4α的二倍角，α是的二倍角……这里的蓄含着换元思想．这就是说，“倍”是相对而言的，是描述两个数量之间的关系的． 典｜例｜精｜析 （25-26高一上·江苏无锡·期末）已知，则_________. 变｜式｜巩｜固 1．（25-26高一上·宁夏银川·期末）已知，则（ ） A． B． C． D． 2．（25-26高一上·江苏南通·期末）设角的终边经过点，则（    ） A． B． C． D． 题型02 二倍角余弦公式的简单应用 二倍角公式的变形应用： 公式的逆用、变形用十分重要．1＋cos2α＝2cos2α；1－cos2α＝2sin2α；cos2α＝；sin2α＝． 1＋cos2α＝2cos2α，1－cos2α＝2sin2α形式相似极易出错．应用时要加强“目标意识”． 典｜例｜精｜析 （25-26高一上·河南郑州·期末）已知，且，则_______． 变｜式｜巩｜固 1．（25-26高一上·福建福州·期末）已知角的顶点与坐标原点重合，始边与轴的非负半轴重合，终边经过点，则（   ） A． B． C． D． 2．（25-26高一上·湖北武汉·期末）若，则（    ） A． B． C． D． 题型03 二倍角正切公式的简单应用 在T2α中，α≠＋且α≠kπ＋(k∈Z)，当α＝kπ＋(k∈Z)时，tanα不存在，求tan2α的值可采用诱导公式． 典｜例｜精｜析 （多选）（25-26高一·全国·假期作业）（多选）已知，则的值可能为（ ） A． B．0 C． D． 变｜式｜巩｜固 1.（25-26高一下·全国·单元测试）已知，，则（   ） A． B． C． D． 2．（25-26高一上·安徽阜阳·期末）已知，则的值等于（   ） A． B． C． D． 题型04 sin2x的降幂公式及应用 当公式出现2sinαcosα时，要逆用公式，然后再寻找关系解决． 典｜例｜精｜析 （25-26高一上·山东青岛·期末）已知，，则的值为（    ） A． B． C． D． 变｜式｜巩｜固 1．（21-22高三·云南昆明·月考）已知，则（    ） A． B．1 C． D． 2．（21-22高三上·山东淄博·期末）（    ） A． B． C． D． 题型05 cos2x的降幂公式及应用 cos2α＝，sin2α＝． 典｜例｜精｜析 （23-24高三下·浙江金华·月考）已知，，则（    ） A． B． C． D． 变｜式｜巩｜固 1．（25-26高一上·安徽马鞍山·期末）已知角满足，则的值为（   ） A． B． C． D． 2.．（23-24高一下·全国·课后作业）的值是________.. 题型06 sinxcosx的降幂公式及应用 典｜例｜精｜析 （21-22高一·全国·单元测试）已知函数. （1）求的最小正周期； （2）若，求的值. 变｜式｜巩｜固 1．（24-25高一下·江西宜春·期末）计算______． 2．（23-24高一下·广东茂名·期中）已知，则__________. 题型07 辅助角公式的应用 1.asinα＋bcosα＝sin(α＋θ)(ab≠0)，其中tanθ＝　，a和b的符号确定θ所在的象限． 2.将三角函数y＝f(x)化为f(x)＝Asin(ωx＋φ)＋m的步骤 (1)将sinxcosx运用二倍角公式化为sin2x，对sin2x，cos2x运用降幂公式，sin(x±α)，cos(x±α)运用两角和与差的公式展开． (2)将(1)中得到的式子利用asinα＋bcosα＝·sin(α＋φ)化为f(x)＝Asin(ωx＋φ)＋m的形式． 将三角函数式化为y＝Asin(ωx＋φ)时，每一步要保持恒等变形，否则变形的结果是错误的． 典｜例｜精｜析 （25-26高一下·全国·课堂例题）将下列各式化为的形式： (1)； (2)． 变｜式｜巩｜固 1．（25-26高一下·全国·课堂例题）（   ） A． B． C． D． 2．（25-26高一上·广东湛江·期末）已知，，则的值为（   ） A． B．3 C．2 D． 题型08 三角公式与三角函数性质综合问题 此类问题一般解法步骤是：降幂——应用辅助角公式——研究函数性质. 易忽视角的范围，无法准确确定函数的单调区间、值域（最值）等. 典｜例｜精｜析 （25-26高一上·云南曲靖·期末）设函数． (1)当时，求图象的对称中心的坐标． (2)已知在上有且仅有4个零点． （i）求的取值范围； （ii）若，不等式在上恒成立，求的取值范围． 变｜式｜巩｜固 1．（25-26高一下·全国·课堂例题）已知函数的图象经过点． (1)求函数的解析式； (2)求函数的最小正周期和单调递减区间． 2．（25-26高一上·福建莆田·期末）已知函数． (1)求的最小正周期； (2)求的单调递增区间； (3)当时，求的最大值以及取得最大值时的值． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $