八年级数学下学期3月学情自测（新教材北师大版第1～2章，高效培优·强化卷）

2025-2026学年八年级数学下学期3月学情自测 强化卷·全解全析 （考试时间：120分钟 试卷满分：120分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：新教材北师大版八年级下册第一章~第二章。 一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。） 1．下列式子中，属于一元一次不等式的是() A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了不等式的定义；一元一次不等式是指只含有一个未知数，且未知数的最高次数为1的不等式．根据定义，逐一判断各选项即可． 【详解】解：∵A项中含有两个未知数k和b，∴不是一元一次不等式． ∵B项中只含有一个未知数t，且t的次数为1，且为不等式，∴是一元一次不等式． ∵C项是方程，不是不等式，∴不符合． ∵D项中没有未知数，∴不是一元一次不等式． ∴属于一元一次不等式的是B项． 故选：B． 2．如图，中，，点在的延长线上，则等于（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了三角形外角的性质． 直接根据三角形外角的性质作答即可． 【详解】解：． 故选：C． 3．下列式子的变形错误的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】D 【详解】解：A、，两边同时加得，变形正确． B、等式中，分母不为，两边同乘得，变形正确． C、∵， ∴， ∵， ∴，变形正确． D、当时，，此时 ∴不能推出，变形错误． 4．若一个多边形的内角和是三角形内角和的5倍，则这个多边形是（   ） A．七边形 B．八边形 C．九边形 D．十边形 【答案】A 【详解】解：设这个多边形的边数为n， 由题意得：． 解得：． 所以这个多边形是七边形． 5．用反证法证明命题“在直角三角形中，至少有一个锐角不大于”时，应假设直角三角形中（　　） A．两锐角都大于 B．有一个锐角小于 C．有一个锐角大于 D．两锐角都小于 【答案】A 【分析】反证法的步骤中，假设时准确找出原命题结论的反面即可． 【详解】解：由题意得 需假设两锐角都大于． 6．育才中学组织初二年级研学，现有36座和42座两种客车供选择租用，若只租用36座客车若干辆，则正好坐满：若只租用42座客车，则能少租一辆，且有一辆车没有坐满，但超过30人．现在设租36座的车x辆，则x满足的不等关系为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了不等式的应用． 根据总人数不变，结合42座客车的乘坐情况（少租一辆，有一辆没坐满但超过30人），列出关于x的不等关系，对应选项判断即可． 【详解】解：设租36座的车x辆， 由题意得， 故选：D． 7．跨学科：如图是淇淇在试鞋镜前的光路图，入射光线经平面镜反射后沿恰好入眼（为法线），已知淇淇的眼睛D到鞋底A处的距离．若，且，则淇淇的鞋底A处到镜子底端O的距离为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由， ，得，根据镜面的反射性质，得，由，得，得，得． 【详解】解：∵，， ∴， ∵， ∴， 根据镜面的反射性质，反射角等于入射角，即， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， 淇淇的鞋底A处到镜子底端O的距离为． 8．若不等式组无解，则实数a的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查一元一次不等式组无解的问题，解题的关键是掌握解一元一次不等式的步骤以及不等式组解的情况． 先分别解出两个不等式的解集，再根据不等式组无解的条件确定实数a的取值范围． 【详解】解：解不等式，得； ∵解不等式， 移项得， 即， ∴； ∵不等式组无解； ∴两个解集无公共部分，即， ∴解得， 故选：D． 9．在同一平面直角坐标系中，一次函数与的图像如图所示，则下列结论错误的是（   ） A．随x的增大而减小 B． C．方程组的解为 D．当时， 【答案】D 【分析】本题主要考查一次函数的图像和性质，一次函数与二元一次方程组，一次函数与一元一次不等式．从函数图像中有效的获取信息，熟练掌握图像法解方程组和不等式，是解题的关键．结合图像，逐一进行判断即可． 【详解】解：A、由图可知，随的增大而减小，故选项A正确，不符合题意； B、由图像可知，一次函数与y轴的交点在的上方，即，故选项B正确，不符合题意； C、把代入得，解得， 故方程组的解为， 故选项C正确，不符合题意． D、由图像可知：当时，，故选项D错误，符合题意； 故选：D． 10．如图，点E，F分别在的边，的延长线上，，的角平分线，交于点P，，，垂足分别为M，．下列结论：①平分；②；③；④．其中正确结论的个数是（   ） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【答案】C 【分析】①过点P作于点H，根据角平分线性质得，再根据点P在的内部得点P在的平分线上，据此可对结论①进行判断；②依据“”判定和全等，和全等得，，由此得，进而得，据此可对结论②进行判断；③根据和全等，和全等得，，由此得，据此可对结论③进行判断；④设，则，，，由此可得，进而得当时，，依题意可知不一定等于，据此可结论④进行判断，综上所述即可得出答案． 【详解】解：①过点P作于点H，如图所示： 是的平分线，，， ， 是的平分线，，， ， ， 又点P在的内部， 点P在的平分线上， 平分，故结论①正确； ②，， 和都是直角三角形， 在和中， ， ， ， 同理：， ， ， ， ，故结论②不正确； ③，， ，， ， 又， ，故结论③正确； ④设， 在中，， ，， ， 当时，，即当时，， 依题意可知：不一定等于， 不一定等于，故结论④不正确， 综上所述：正确结论的序号是①③，共2个． 二、填空题（本题共6小题，每小题2分，共12分．） 11．若m与3的和小于0，则可列出不等式：_______． 【答案】 【分析】此题考查了列不等式．m与3的和表示为，根据题意，这个和小于 0，因此列出不等式即可． 【详解】解：m与3的和小于0，用不等式表示为． 故答案为 m+3<0 12．命题“若，则的逆命题是 _________________ ，它是一个 _______ 命题（填“真”或“假”）． 【答案】 若，则 假 【分析】根据逆命题的定义，交换原命题的条件与结论得到逆命题，再通过举反例判断逆命题的真假即可． 【详解】解：原命题若，则中，条件为，结论为． 交换原命题的条件和结论，可得逆命题为：若，则． 取反例，当，时，满足，但，说明逆命题不成立，因此逆命题是假命题． 13．关于x的不等式组有且只有4个整数解，则常数m的取值范围是______． 【答案】 【分析】本题主要考查了根据一元一次不等式组的整数解个数求参数，解题的关键是掌握解一元一次不等式组的步骤以及解的情况． 先解不等式组，得到x的取值范围，再根据整数解的个数列出关于m的不等式组，求解即可． 【详解】解：解不等式，得； 解不等式，得． 所以不等式组的解集为． 因为有且只有4个整数解，所以整数解为， 因此， 解得． 故答案为：． 14．如图，是的角平分线，，，垂足分别是E，F，连接与相交于点G．，则的值为_____________． 【答案】 【分析】由角平分线的性质得到，再证，得，然后由等腰三角形的性质以及含30度的直角三角形的性质即可得出结论． 【详解】解：是的角平分线，，，垂足分别是E、F， ，， 在和中， ， ， ， 又是的角平分线， 是的垂直平分线， ， ， ， ，， ， 故答案为：． 15．按照如下程序操作，规定：从“输入一个值”到“结果是否大于83”为一次程序操作．如果结果得到的数小于或等于83，则用得到的这个数进行下一次操作．如果程序操作执行两次才停止，则输入的的取值范围是_____． 【答案】 【分析】本题主要考查了一元一次不等式组的应用， 先根据程序图的操作过程得出不等式组，再求出不等式组的解集． 【详解】解：根据题意，得 ， 解得． 故答案为：． 16．如图，直线与轴、轴分别交于点，，在轴上作一点，使得是以为腰的等腰三角形，则点的坐标为____________． 【答案】或或 【分析】本题考查一次函数的交点，勾股定理以及等腰三角形的性质，熟练掌握相关知识点是解题的关键． 根据一次函数表达式，解得点、的坐标，得出的长度，假设点的坐标为，对、进行分类讨论，解得的值，即可得出结果． 【详解】解：对于直线， 当时，， 即点， 当时，得， 即点， 故，， 由勾股定理得， 令点的坐标为， 故当时， 即， 解得（舍去）或， 即， 当时， 故， ∴， 得或，即或， 综上，点的坐标为或或． 三、解答题（本题共9小题，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 17．（6分）解不等式组，并将不等式组的解集表示在如图所示的数轴上． 【答案】，数轴见解析． 【分析】先分别求解各个不等式的解集，求出公共部分得到不等式组的解集，并在数轴上表示解集即可． 【详解】解： 解不等式①得，， 解不等式②得，， ∴不等式组的解集为． 不等式组的解集在数轴上表示如图： 18．（6分）如图，交于点，于点．    (1)求证：为等腰三角形； (2)若，求的长． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】本题考查了角平分线的性质、直角三角形的性质，关键是灵活应用知识点解题； （1）根据平行加角平分线等于等腰三角形即可论证； （2）过点作于点，可得  ，进而利用直角三角形的性质求解即可. 【详解】（1）证明：∵， ∴， 又∵，   ∴，   ∴， ∴为等腰三角形； （2）解：如图，过点作于点，    ∵，， ∴， 又∵，   ∴， 在中，， ∴， ∴由（1）得：. 19．（6分）如图，在中，于D，平分． (1)若，且，求和的度数； (2)若，，，，求的面积． 【答案】(1) (2)22 【分析】（1）先推导出，，得到，则，进而推导出，根据三角形的内角和即可求出的度数； （2）过点E作于点F，于点M，先推导出，求出，得到，则，即可解答． 【详解】（1）解：， ，， ， ， 又∵平分， ∴， ∴； （2）解：过点E作于点F，于点M，如图 ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，即 解得， ∴， ∴． 20．（6分）［定义］若一个三角形三边长均为偶数，则称这个三角形为“好运三角形”．例如，三边长为6，8，10的三角形是“好运三角形”． (1)［概念运用］在中，，若为“好运三角形”，求的长； (2)［变式运用］已知的周长为长为偶数，求出的范围，判断是不是“好运三角形”？ 【答案】(1)4 (2)，是“好运三角形”，理由见解析 【分析】本题考查三角形三边关系，掌握“好运三角形”的定义，是解题的关键． （1）先根据三边关系求出的范围，再根据新定义，确定的长即可； （2）设（为偶数），则，根据三角形的三边关系，列出不等式组求出的取值范围，根据的长为偶数，求出的长，进而求出的长，再根据新定义进行判断即可． 【详解】（1）解：在中，，， ， ， ， 为“好运三角形”， 为偶数， ； （2）解：是“好运三角形”，理由如下： 已知的周长为16，， 设为偶数），则， 依题意得： 解得， 的长为偶数， ， ， ， 是“好运三角形”． 21．（8分）如图，是的角平分线． (1)如图①，于点E，于点F，连接．求证：所在直线是的垂直平分线； (2)如图②，当有一点G从点D向点B运动时，于点E，于点F，此时（1）中的结论是否成立？请证明； (3)如图③，当点G沿方向从点D沿的延长线运动时，（或其延长线）于点E，（或其延长线）于点F，此时（1）中的结论是否成立？不需证明． 【答案】(1)见解析 (2)成立．证明见解析 (3)成立 【分析】本题考查了全等三角形的判定及性质、角平分线的性质、线段垂直平分线的判定，熟练掌握全等三角形的判定及性质是解题的关键． （1）根据角平分线的性质及证得，进而得到，，利用线段垂直平分线的判定定理可求证结论； （2）根据角平分线的性质及证得，进而得到，，利用线段垂直平分线的判定定理可得结论； （3）根据角平分线的性质及证得，进而得到，，利用线段垂直平分线的判定定理可得结论． 【详解】（1）证明：如图①平分，，， ，则点D在线段的垂直平分线上； 在和中， ， ， ，则点B在线段的垂直平分线上； ∴所在直线是的垂直平分线； （2）解：成立，即，理由如下： 平分，，， ，则点G在线段的垂直平分线上； 在和中， ， ， ,则点B在线段的垂直平分线上， ∵点G在直线上， ∴所在直线是的垂直平分线； （3）解：成立，即，理由如下： 平分，，， ，则点G在线段的垂直平分线上； 在和中， ， ， ，则点B在线段的垂直平分线上， ∵点G在直线上， ∴所在直线是的垂直平分线． 22．（8分）国家主席习近平在2025年新年贺词中提到：“区域发展协同联动、积厚成势，新型城镇化和乡村振兴相互融合、同频共振．”为建设新农村，某村计划购进一批甲、乙两种太阳能路灯，若购买甲种路灯15盏，乙种路灯10盏，共需10800元；若购买甲种路灯10盏，乙种路灯15盏，共需11200元． (1)求购买甲种和乙种路灯每盏分别需要多少元？ (2)若该村计划购买这两种太阳能路灯共60盏，为支持新农村建设，太阳能路灯商家对两种路灯进行了优惠：甲种路灯打九折，乙种路灯每盏降价50元，要求乙种路灯的数量不得少于甲种路灯数量的一半，则该村购买这批路灯最少需要花费多少元？ 【答案】(1)购买甲种路灯每盏需要400元，乙种路灯每盏需要480元 (2)该村购买这批路灯最少需要花费23000元 【分析】（1）设购买甲种和乙种路灯每盏分别需要元和元，根据购买甲种路灯15盏，乙种路灯10盏，共需10800元；若购买甲种路灯10盏，乙种路灯15盏，共需11200元，列出方程组进行求解即可； （2）设购买甲种路灯的数量为盏，购买这批路灯需要元，根据题意，列出一次函数的解析式，利用一次函数的性质求最值即可． 【详解】（1）解：设购买甲种和乙种路灯每盏分别需要元和元，由题意，得： ，解得， 答：购买甲种路灯每盏需要400元，乙种路灯每盏需要480元； （2）解：设购买甲种路灯的数量为盏，则购买乙种路灯盏， 由题意，，解得； 设购买这批路灯需要元，则， ∵， ∴随着的增大而减小， ∴当时，的最小值为； 故该村购买这批路灯最少需要花费23000元． 23．（8分）我们规定：不等式组的“长度”均为，不等式组的整数解称为不等式组的“整点”．例如：的“长度”，“整点”为．根据该规定，解答下列问题： (1)不等式组的“长度”__________；“整点”为__________； (2)若关于的不等式组的“长度”，求的值． 【答案】(1)3；，0，1 (2) 【分析】本题考查了不等式组的求解以及新定义： （1）先解不等式组，再根据定义得到解集的长度，再求“整点”； （2）先求不等式组，根据不等式组的长度来确定的值． 【详解】（1）解：， 解得， ∴， “整点”为，0，1， 故答案为：3；，0，1． （2）解：， ， 当时，可以是任意实数， 不等式组的解集为， ，不符合题意； 当时，即， 则：， ∵且，， ∴不等式的解集为， ∴， 解得：； 当时，即， 则：， 此时， ∴不等式组的解集为， ，不符合题意； 综上所述：的值为． 24．（12分）已知：在中，，点，点分别在，上，连接，，交于点，，． (1)如图1，证明为等边三角形； (2)如图2，过点作于点，求证：； (3)如图3，在（2）的条件下，过点作交延长线于点，若，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3) 【分析】（1）先证，再证，进而为等边三角形； （2）先证，再证，进而； （3）在上取一点，使，求得，再证为等边三角形，再证，进而. 【详解】（1）证明：∵，， ∴， ∴， ∵， ∴为等边三角形； （2）证明：∵，， ∴， ∴， ∴， ∵为等边三角形， ∴，， 又∵， ∴， ∴， ∴； （3）解：在上取一点，使， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴为等边三角形， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， 又∵，， ∴， ∴， ∴． 25．（12分）在和中，，． (1)如图1，若，连接，． ①求证：； ②设和的交点为点，求证：平分； (2)如图2，若，连接，设的中点为点，连接，求证：． 【答案】(1)①见解析；②见解析 (2)见解析 【分析】（1）①根据题意，易得和都是等边三角形，进而利用“”证明，由全等三角形的性质即可证明结论； ②过点作，垂足为，过点作，垂足为，证明，由全等三角形的性质可得，根据角平分线的判定定理，即可证明结论； （2）延长至点，使得，连接，，，首先证明，易得，，进而可得，，，证明，由“”证明，可得，结合，由等腰三角形“三线合一”的性质，即可证明结论． 【详解】（1）证明：①∵，，， ∴和都是等边三角形， ∴， ∴，即， 在和中， ， ∴， ∴； ②过点作，垂足为，过点作，垂足为，如下图， 则， 由①可知， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴点在的平分线上，即平分； （2）延长至点，使得，连接，，， ∵点为的中点， ， 在和中， ， ∴， ，， 又， ， 设， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 设， 则， ， ， ， 在和中， ， ， ∴， 又∵， ∴，即． 1 / 15 学科网（北京）股份有限公司 $命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 2025-2026学年八年级数学下学期3月学情自测 强化卷·参考答案 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目 要求的。 题号 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 B D A D B D D C 二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分。 11. m+3<0 12.者0>6 则>6 -2<m≤-1 假 13. 11 14.3:1 15.2<x≤21 16.（-4,0)或(-1,0)或 (9,0 三、解答题（本题共9小题，共72分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17.(6分) [2x-4≤3x① 【详解】解： 2x+x+1<1② 、3 6 解不等式①得，x≥-4， 解不等式②得，x<1, ∴.不等式组的解集为-4≤x<1.4分 不等式组的解集在数轴上表示如图： 上6分 -5-4-3-2-1012345 18.(6分) 【详解】(I)证明：EF∥OB, .∠BOE=∠OEF, 又，∠AOE=∠BOE, ∴.∠AOE=∠OEF, ∴.OF=EF, 1/10 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 .△OEF为等腰三角形；3分 (2)解：如图，过点E作ED⊥OA于点D, B E A ·∠AOE=∠BOE EC⊥OB,ED⊥OA ∴.CE=DE=3, 又：∠AOE=∠OEF=15°， ∴.∠AFE=30 在Rt△EFD中，∠AFE=30°，DE=3, ∴.EF=2DE=6, .由(1)得：OF=EF=66分 19.(6分) 【详解】(I)解：EA=EC,AD L BC ∴.∠C=∠EAC=50°，∠ADE=∠ADC=90°， .∠BEA=∠EAC+∠C=100°， .∠DAE=∠BEA-∠ADE=10°， 又，AE平分∠CAB, .∠BAE=∠EAC=50°」 .∠B=180°-∠EAC-∠BAE-∠C=180°-50°-50°-50°=30°；4分 (2)解：过点E作EF⊥AC于点F,EM⊥AB于点M,如图 B ED :AE平分∠CAB, ∴.EF=EM, D:DE-2 DE-CE. 2/10 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 .CE=4DE AD.DE=4. S.G=4D-CE-4D-4DE-8 .EF.AC-8,EFx4-8 解得EF=4, ∴.EM=4, S=8s+8m48Ew+8=方7x4+8=2.6分 20.(6分) 【详解】(1)解：在△ABC中，AB=2,BC=4, :BC-AB<AC<BC+AB, .4-2<AC<4+2, .2<AC<6, :△ABC为“好运三角形”， .AC为偶数， .AC=4;3分 (2)解：△ABC是“好运三角形”，理由如下： 已知△ABC的周长为16，AC=4, 设AB=(x为偶数)，则BC=12-x, x+12-x>4, 依题意得： x+4>12-x, 12-x+4>x, 解得4<x<8, :AB的长为偶数， .AB=x=6, .BC=12-6=6, AC=4, .△ABC是“好运三角形”.6分 21.(8分) 【详解】(1)证明：如图① BD平分∠4BC,DELAB,DFLBC 3/10 命学科网·上好课 www.z×xk.com 上好每一堂课 ∴，DE=DF,则点D在线段EF的垂直平分线上； 在Rt△BDE和Rt△BDF中， BD=BD DE=DF, ∴.RtaBDE≌Rt△BDF(HL) ∴BE=BF,则点B在线段EF的垂直平分线上： ∴.BD所在直线是EF的垂直平分线；2分 (2)解：成立，即BE=BF,理由如下： ,BD平分∠ABC,GE⊥AB,GF⊥BC, ∴GE=GF,则点G在线段EF的垂直平分线上； 在Rt△BGE和RtABGF中， BG=BG GE=GF, ∴.RtABGE≌RtABGF(HL) ∴BE=BF,则点B在线段EF的垂直平分线上， 点G在直线BD上， .BD所在直线是EF的垂直平分线；5分 (3)解：成立，即BE=BF,理由如下： ·.BD平分∠ABC,GE⊥AB,GF⊥BC, ∴.GE=GF,则点G在线段EF的垂直平分线上； 在Rt△BGE和RtABGF中， BG=BG GE=GF, ∴，RtABGE≌Rt△3GF(HL) ∴BE=BF,则点B在线段EF的垂直平分线上， :点G在直线BD上， .BD所在直线是EF的垂直平分线.8分 22.(8分) 4/10 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 【详解】(I)解：设购买甲种和乙种路灯每盏分别需要x元和)元，由题意，得： 15x+10y=10800 x=400 10x+15y=11200,解得y=480, 答：购买甲种路灯每盏需要400元，乙种路灯每盏需要480元；3分 (2)解：设购买甲种路灯的数量为“盏，则购买乙种路灯60-a)盏， 由题点，60-a0,解得≤40：5分 设购买这批路灯需要'元，则y=400x0.9a+(480-50)60-a)=-70a+25800 -70<0 .y随着a的增大而减小， .当a=40时，y的最小值为-70×40+25800=23000： 故该村购买这批路灯最少需要花费23000元.…8分 23.(8分) 2x+6≥4 【详解】(1)解： xx+1’ 23 解得-1≤x<2, :d=2-1=3 “整点”为x=-1,0,1, 故答案为：3；-1,0,1.4分 (2)解：“2-3r+1, 后小<4 当2a=0时，x可以是任意实数， .不等式组的解集为1≤x<4, .d=4-1=3≠2，不符合题意： 5/10 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 1 当2a>0时，即a<2, 4 x<1 则： 2, 4 x<1 且 1≤x<4 2, d=2 4 ∴不等式的解集为 5x<1 2, 4=3 2-a 解得：a=一5 6 1 1 当2-a<0时，即a> 2 4 则： x71 -a 2 4一0 此时 .不等式组的解集为1≤x<4, .d=4-1=3≠2，不符合题意： 5 综上所述：a的值为一6.8分 24.(12分) 【详解】(I)证明：：∠BFD=∠ABE+∠BAD=60°，∠ABE=∠DAC, ∴.∠BFD=∠BAD+∠DAC=∠BAC, ∴.∠BAC=60° .AB=AC, ∴.△ABC为等边三角形；4分 (2)证明：，∠BFD=60°，BH⊥AD, .∠BHF=90°， 6/10 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ∴.∠FBH=30°， :BF =2FH, ,△ABC为等边三角形， ∴.∠BAE=∠C=60°，AB=AC, 又：∠ABE=∠DAC, :△MBE≌△CAD(ASM .'AD=BE, ∴.AD=BE=BF+EF=2FH+EF;8分 (3)解：在AG上取一点K,使KG=CG, G F=7 2 .BF =2HF=7, ,CG∥BE,∠BFD=60°， .∠G=60°， KG=CG ∴.△KCG为等边三角形， ∴.∠CKG=60°，CK=CG=GK=4, .∠AKC=120° ∠BFD=60°， .∠AFB=120°， .∠AKC=∠AFB, 又，∠ABE=∠DAC,AB=AC, :.△ABF≌aCAK(AAS .AK =BF, 7/10 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 .AG=AK+GK=BF+GK=7+4=11.... 25.(12分) 【详解】(I)证明：①，AB=AC,EC=EF,∠BAC=∠CEF=60°， .△ABC和△EFC都是等边三角形， BC=AC,CE=CF,∠BCA=∠ECF=60° ∴，∠BCA+∠ACE=∠FCE+∠ACE,即∠BCE=∠ACF, 在△BCE和△ACF中， BC=AC ∠BCE=∠ACF CE=CF :△BCE≌△ACF(SAS .BE=AF:4分 ②过点C作CG⊥BE,垂足为G,过点C作CH⊥AF,垂足为H,如下图， B 则∠BGC=∠AHC=90° 由①可知△BCE≌△ACF, ∴.∠CBE=∠CAF, 又：CB=CA, :△CBG≌CAH(AAS) ∴.CG=CH, ∴点C在∠BPF的平分线上，即PC平分∠BPF;8分 (2)延长AM至点N,使得MN=AM,连接NF,EA,EN, 8/10 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 N 点M为BF的中点， :BM=FM, 在△ABM和△NFM中， BM=FM ∠AMB=∠NMF AM=NM .△ABM≌aNFM(SAS) ,AB=NF,∠NFM=∠ABM, 又AB=AC, :.AC=NF, 设∠BAC=a, .∠BAC+∠CEF=180°， ∴.∠CEF=180°-a, AB=AC, ÷∠ABC=∠ACB=180°-&=90- 2 2’ .EC=EF, ∠ECF=∠EFC=180°-180°-a)- 2 2, 设∠CBF=B,∠CFB=Y, 则∠NFM=∠ABM=∠ABC+∠CBF=90-号+B, .∠ACE=360°-∠ACB-∠BCF-∠ECF =360-（0号-80--7-号 9/10 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 =90°+B+Y ∠NFE=∠EFC+∠CFB+∠MFN 7+w-号+a =Q =90°+阝+y .∠ACE=∠NFE, 在△ACE和△NFE中， AC=NF ∠ACE=∠NFE EC=EF ,'aACE≌ANFE(SAS ∴.AE=NE, 又MN=AM, ∴.EM⊥AN,即AM⊥EM.…12分 10/10 2025-2026学年八年级数学下学期3月学情自测 强化卷·考试版 （考试时间：120分钟 试卷满分：120分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：新教材北师大版八年级下册第一章~第二章。 一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。） 1．下列式子中，属于一元一次不等式的是() A． B． C． D． 2．如图，中，，点在的延长线上，则等于（   ） A． B． C． D． 3．下列式子的变形错误的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 4．若一个多边形的内角和是三角形内角和的5倍，则这个多边形是（   ） A．七边形 B．八边形 C．九边形 D．十边形 5．用反证法证明命题“在直角三角形中，至少有一个锐角不大于”时，应假设直角三角形中（　　） A．两锐角都大于 B．有一个锐角小于 C．有一个锐角大于 D．两锐角都小于 6．育才中学组织初二年级研学，现有36座和42座两种客车供选择租用，若只租用36座客车若干辆，则正好坐满：若只租用42座客车，则能少租一辆，且有一辆车没有坐满，但超过30人．现在设租36座的车x辆，则x满足的不等关系为（   ） A． B． C． D． 7．跨学科：如图是淇淇在试鞋镜前的光路图，入射光线经平面镜反射后沿恰好入眼（为法线），已知淇淇的眼睛D到鞋底A处的距离．若，且，则淇淇的鞋底A处到镜子底端O的距离为（    ） A． B． C． D． 8．若不等式组无解，则实数a的取值范围是（   ） A． B． C． D． 9．在同一平面直角坐标系中，一次函数与的图像如图所示，则下列结论错误的是（   ） A．随x的增大而减小 B． C．方程组的解为 D．当时， 10．如图，点E，F分别在的边，的延长线上，，的角平分线，交于点P，，，垂足分别为M，．下列结论：①平分；②；③；④．其中正确结论的个数是（   ） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 二、填空题（本题共6小题，每小题3分，共18分．） 11．若m与3的和小于0，则可列出不等式：_______． 12．命题“若，则的逆命题是 _________________ ，它是一个 _______ 命题（填“真”或“假”）． 13．关于x的不等式组有且只有4个整数解，则常数m的取值范围是______． 14．如图，是的角平分线，，，垂足分别是E，F，连接与相交于点G．，则的值为_____________． 15．按照如下程序操作，规定：从“输入一个值”到“结果是否大于83”为一次程序操作．如果结果得到的数小于或等于83，则用得到的这个数进行下一次操作．如果程序操作执行两次才停止，则输入的的取值范围是_____． 16．如图，直线与轴、轴分别交于点，，在轴上作一点，使得是以为腰的等腰三角形，则点的坐标为____________． 三、解答题（本题共9小题，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 17．（6分）解不等式组，并将不等式组的解集表示在如图所示的数轴上． 18．（6分）如图，交于点，于点．    (1)求证：为等腰三角形； (2)若，求的长． 19．（6分）如图，在中，于D，平分． (1)若，且，求和的度数； (2)若，，，，求的面积． 20．（6分）［定义］若一个三角形三边长均为偶数，则称这个三角形为“好运三角形”．例如，三边长为6，8，10的三角形是“好运三角形”． (1)［概念运用］在中，，若为“好运三角形”，求的长； (2)［变式运用］已知的周长为长为偶数，求出的范围，判断是不是“好运三角形”？ 21．（8分）如图，是的角平分线． (1)如图①，于点E，于点F，连接．求证：所在直线是的垂直平分线； (2)如图②，当有一点G从点D向点B运动时，于点E，于点F，此时（1）中的结论是否成立？请证明； (3)如图③，当点G沿方向从点D沿的延长线运动时，（或其延长线）于点E，（或其延长线）于点F，此时（1）中的结论是否成立？不需证明． 22．（8分）国家主席习近平在2025年新年贺词中提到：“区域发展协同联动、积厚成势，新型城镇化和乡村振兴相互融合、同频共振．”为建设新农村，某村计划购进一批甲、乙两种太阳能路灯，若购买甲种路灯15盏，乙种路灯10盏，共需10800元；若购买甲种路灯10盏，乙种路灯15盏，共需11200元． (1)求购买甲种和乙种路灯每盏分别需要多少元？ (2)若该村计划购买这两种太阳能路灯共60盏，为支持新农村建设，太阳能路灯商家对两种路灯进行了优惠：甲种路灯打九折，乙种路灯每盏降价50元，要求乙种路灯的数量不得少于甲种路灯数量的一半，则该村购买这批路灯最少需要花费多少元？ 23．（8分）我们规定：不等式组的“长度”均为，不等式组的整数解称为不等式组的“整点”．例如：的“长度”，“整点”为．根据该规定，解答下列问题： (1)不等式组的“长度”__________；“整点”为__________； (2)若关于的不等式组的“长度”，求的值． 24．（12分）已知：在中，，点，点分别在，上，连接，，交于点，，． (1)如图1，证明为等边三角形； (2)如图2，过点作于点，求证：； (3)如图3，在（2）的条件下，过点作交延长线于点，若，，求的长． 25．（12分）在和中，，． (1)如图1，若，连接，． ①求证：； ②设和的交点为点，求证：平分； (2)如图2，若，连接，设的中点为点，连接，求证：． 1 / 6 学科网（北京）股份有限公司 $