第二章 不等式与不等式组【期末复习讲义（培优版）十大高频考点讲练+九大难点攻克】-2025-2026学年数学北师大版八年级下册

2025-2026学年北师大版新教材数学八年级下册期末复习精讲精练讲义【题型讲练】 第二章 不等式与不等式组『期末复习精编讲义』（培优版） 『思维导图+知识梳理+10个考点讲练+9个难点攻克+真题实战练 共48题』（原卷版） 2 知识梳理 温故知新 3 知识点梳理01：不等式 3 知识点梳理02：一元一次不等式 3 知识点梳理03：一元一次不等式组 4 知识点梳理04：一次函数与一元一次方程、一元一次不等式（组） 4 考点讲练 真题汇总 5 考点讲练一 求一元一次不等式的解集 5 考点讲练二 用一元一次不等式解决实际问题 5 考点讲练三 由直线与坐标轴的交点求不等式的解集 6 考点讲练四 解特殊不等式组 7 考点讲练五 不等式组的行程问题 7 考点讲练六 不等式组的工程问题 8 考点讲练七 不等式组的经济问题 9 考点讲练八 不等式组的分配问题 10 考点讲练九 不等式组的方案选择问题 11 考点讲练十 不等式组的阶梯收费问题 12 难点攻克 思维拓展 13 考点讲练一 在数轴上表示不等式的解集 13 考点讲练二 求一元一次不等式的整数解 13 考点讲练三 求一元一次不等式解的最值 13 考点讲练四 解|x|≥a型的不等式 14 考点讲练五 用一元一次不等式解决几何问题 14 考点讲练六 根据两条直线的交点求不等式的解集 14 考点讲练七 求一元一次不等式组的整数解 15 考点讲练八 由一元一次不等式组的解集求参数 16 考点讲练九 由不等式组解集的情况求参数 16 优选真题 实战演练 16 知识点梳理01：不等式 1.不等式：用符号“＜”(或“≤”)，“＞”（或“≥”），≠连接的式子叫做不等式. 要点： （1）不等式的解：能使不等式成立的未知数的值叫做不等式的解. （2）不等式的解集：对于一个含有未知数的不等式，它的所有解组成这个不等式的解集． 解集的表示方法一般有两种：一种是用最简的不等式表示，例如，等；另一种是用数轴表示，如下图所示： （3）解不等式：求不等式的解集的过程叫做解不等式． 2. 不等式的性质： 不等式的基本性质1：不等式两边加(或减)同一个数(或式子)，不等号的方向不变． 用式子表示：如果a＞b，那么a±c＞b±c 不等式的基本性质2：不等式两边都乘(或除以)同一个正数，不等号的方向不变． 用式子表示：如果a＞b，c＞0，那么ac＞bc(或)． 不等式的基本性质3：不等式两边乘(或除以)同一个负数，不等号的方向改变． 用式子表示：如果a＞b，c＜0，那么ac＜bc(或)． 知识点梳理02：一元一次不等式 1. 定义：不等式的左右两边都是整式，经过化简后只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是1，这样的不等式叫做一元一次不等式． 要点：ax+b＞0或ax+b＜0(a≠0)叫做一元一次不等式的标准形式． 2.解法： 解一元一次不等式步骤：去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1. 要点：不等式解集的表示：在数轴上表示不等式的解集，要注意的是“三定”：一是定边界点，二是定方向，三是定空实. 3.应用：列不等式解应用题的基本步骤与列方程解应用题的步骤相类似，即： （1）审：认真审题，分清已知量、未知量； （2）设：设出适当的未知数； （3）找：找出题中的不等关系，要抓住题中的关键字，如“大于”“小于”“不大于”“至少”“不超过”“超过”等关键词的含义； （4）列：根据题中的不等关系，列出不等式； （5）解：解出所列的不等式的解集； （6）答：检验是否符合题意，写出答案. 要点：列一元一次不等式解应用题时，经常用到“合算”、“至少”、“不足”、“不超过”、“不大于”、“不小于”等表示不等关系的关键词语，弄清它们的含义是列不等式解决问题的关键. 知识点梳理03：一元一次不等式组 　　关于同一未知数的几个一元一次不等式合在一起，就组成一个一元一次不等式组. 要点： （1）不等式组的解集：不等式组中各个不等式的解集的公共部分叫做这个不等式组的解集. （2）解不等式组：求不等式组解集的过程，叫做解不等式组.  （3）一元一次不等式组的解法：分别解出各不等式，把解集表示在数轴上，取所有解集的公共部分，利用数轴可以直观地表示不等式组的解集.  （4）一元一次不等式组的应用： ①根据题意构建不等式组，解这个不等式组；②由不等式组的解集及实际意义确定问题的答案． 知识点梳理04：一次函数与一元一次方程、一元一次不等式（组）　 方程（组）、不等式问题 函 数 问 题 从“数”的角度看 从“形”的角度看 求关于、的一元一次方程＝0（≠0）的解 为何值时，函数的值为0？ 确定直线与轴（即直线＝0）交点的横坐标. 求关于、的二元一次方程组的解． 为何值时，函数与函数的值相等？ 确定直线与直线的交点的坐标. 求关于的一元一次不等式＞0（≠0）的解集 为何值时，函数的值大于0？ 确定直线在轴（即直线＝0）上方部分的所有点的横坐标的范围. 考点讲练一 求一元一次不等式的解集 【例1】（25-26八年级下·甘肃兰州·期中）已知关于的二元一次方程组，若方程组的解满足不小于．求的取值范围． 【变式】（25-26八年级下·广东深圳·期中）解不等式： (1)； (2)． 考点讲练二 用一元一次不等式解决实际问题 【例2】（25-26八年级下·辽宁沈阳·期中）日购兴超市常年售卖矿泉水和乳酸菌饮品，并根据季节销量调整进货数量．已知矿泉水进价2元/瓶，售价3元/瓶；乳酸菌饮品进价4元/瓶，售价6元/瓶． (1)超市第一次购进两种饮品共80瓶，全部进货总成本为230元，求超市本次购进矿泉水、乳酸菌饮品各多少瓶？ (2)结合季节销量，超市计划第二次购进两种饮品共90瓶，为控制成本，进货总费用不超过280元， ①求第二次最多可购进乳酸菌饮品多少瓶？ ②若两种饮品全部售完，超市能获得的最大利润是多少元？ 【变式】（25-26八年级下·宁夏银川·期中）2025年春节档电影《哪吒之魔童降世》掀起观影热潮，影片将封神神话中的角色（如哪吒、敖丙）赋予现代价值观，使传统文化符号与当代人民心理形成共振．哪吒之魔童闹海人物卡通模型深受青少年喜爱．现有甲、乙商店推出购买优惠活动： 甲商店优惠大放送：购买哪吒系列人物卡通模型20元/个．若购买超过3个，则超过的部分按六折付款！ 乙商店促销活动：原价：20元/个．现优惠价：八折！！ (1)若在甲、乙商店购买哪吒系列人物卡通模型的付款金额分别记为（元），请分别求出与购买数量的函数关系式． (2)当购买数量超过3个时，应选择在哪家商店购买更划算？请通过计算说明． 考点讲练三 由直线与坐标轴的交点求不等式的解集 【例3】（25-26八年级下·陕西汉中·期中）已知一次函数（，为常数，且）的图象如图所示，则关于的不等式的解集为（     ） A． B． C． D． 【变式】（25-26八年级下·陕西西安·期中）如图，一次函数的图象经过点，则不等式的解集是________． 考点讲练四 解特殊不等式组 【例4】数学乐园：解二元一次方程组，，得，当时，，同理：； 符号称之为二阶行列式，规定：． 设，，，那么方程组的解就是． (1)求二行列式的值； (2)解不等式：； (3)用二阶行列式解方程组； (4)若关于的二元一次方程组无解，求的值． 【变式】（2024八年级上·全国·专题练习）解不等式； 考点讲练五 不等式组的行程问题 【例5】（25-26八年级下·山东潍坊·期中）当汽车以特定速度驶入“绿波路段”时，可以连续绿灯通过多个路口，其间汽车安全行驶速度在到之间． 某兴趣小组在一条“绿波路段”上进行观测，发现道路上依次有，，，4个路口．已知这个路口的绿灯和红灯均分别持续．其余因素忽略不计．路口的绿灯亮起后，路口、的绿灯亮起；路口的绿灯亮起后，路口的绿灯亮起．路口、、到路口的距离分别为，，．兴趣小组将收集到的信息绘制成如图所示的交通信号示意图，其中横轴表示时间（），纵轴表示各个路口到路口的距离（）． (1)请在图中画出路口在 的红绿灯； (2)若甲车在时，从路口以的速度向路口行驶，求该车刚到达路口时所用的时间； (3)若乙车在时到达路口，向路口匀速行驶．求该车可以连续绿灯通过路口、的速度范围． 【变式】小华在公园的环形跑道（周长大于）练习长跑，从起点出发按逆时针方向跑步，并用跑步软件记录运动轨迹，每跑软件会在运动轨迹上标注相应的路程，前的记录如图所示．小华一共跑了且恰好回到起点，那么他一共跑的圈数是（    ） A．14圈 B．15圈 C．16圈 D．17圈 考点讲练六 不等式组的工程问题 【例6】沅陵一中有360张旧课桌需维修，经过甲、乙两个维修小组的竞标得知，甲组工作效率是乙组的1.5倍，且甲组单独维修完这批旧课桌比乙组单独维修完这批旧课桌少用5天；已知甲组每天需要付工资800元，乙组每天需要付工资400元； （1）求甲、乙两个小组每天各维修多少张旧棵桌？ （2）学校维修这批旧课桌预算资金不超过7200元，时间不超过12天，请你帮学校算一算有几种维修方案（天数不足1天的按1天算）；每种方案需要多少钱？ 【变式】（2023·广西河池·一模）某社区计划对面积为1800的区域进行绿化．经投标，由甲、乙两个工程队来完成．已知甲队每天绿化的面积是乙队的2倍，并且在独立完成400的绿化时，甲队比乙队少用4天． (1)分别求出甲队、乙队每天完成的绿化面积； (2)设甲队施工x天，乙队施工y天，刚好完成绿化任务，且甲、乙两队施工的总天数不超过26天，写出y与x的函数解析式和自变量x的取值范围； (3)在（2）条件下，若甲队每天绿化费用是0.6万元，乙队每天绿化费用为0.25万元，如何安排甲、乙两队施工的天数，使施工总费用最低？并求出最低费用． 考点讲练七 不等式组的经济问题 【例7】（25-26八年级下·贵州毕节·期中）根据所给材料，完成下列任务． 背景 贵州拥有丰富的非物质文化遗产资源与自然资源，吸引着国内外大量游客，某文创店经销“自然风景”和“非遗技艺”两款冰箱贴． 素材一 该文创店在进货时发现，购进个“自然风景”冰箱贴和5个“非遗技艺”冰箱贴共需元；购进5个“自然风景”冰箱贴和个“非遗技艺”冰箱贴共需元． 素材二 为满足市场需求，该文创店决定购进两款冰箱贴共个，其中“自然风景”冰箱贴的数量不超过“非遗技艺”冰箱贴的，且购进两款冰箱贴的总费用不超过1060元． (1)每个“自然风景”和“非遗技艺”冰箱贴的进价分别是多少元？ (2)该文创店有哪几种进货方案？ 【变式】（25-26八年级下·河北保定·期中）某社区志愿者团队计划参加“社区公益集市活动“，制作了简约版和创意版两种类型的手工钥匙扣进行售卖．简约版每套的成本比创意版每套的成本低元，且套简约版的成本与套创意版的成本共元． (1)求每套简约版和每套创意版手工钥匙扣的成本价． (2)若计划制作简约版和创意版的手工钥匙扣共套，投入资金不多于元，且创意版手工钥匙扣的数量不少于简约版手工钥匙扣的数量的一半，问社区志愿者团队有几种制作方案？（不用写出具体方案） (3)在（）的条件下，现决定将简约版、创意版手工钥匙扣的销售单价分别定为元和元，且所有钥匙扣均已卖出，那么此次义卖获得的总利润最高是多少元？ 考点讲练八 不等式组的分配问题 【例8】（25-26八年级下·全国·单元测试） “守护长江生态、传承长江文化”，引导青少年感恩长江、热爱长江、保护长江的意识，通过自身的行动和努力，让长江文化在新的时代焕发新的活力与魅力．某校八年级积极开展青少年主题读书活动，现有一批图书分发给若干班级，若每个班级发放4本图书，则剩余20本；若每个班级发放8本图书，就有一个班级发放的图书多于1本且不足8本．则学校八年级共有________个班级． 【变式】某工厂现有甲种原料、乙种原料，计划利用这两种原料生产A，B两种产品共50件．已知生产一件A种产品用甲种原料、乙种原料，可获利700元；生产一件B种产品用甲种原料、乙种原料，可获利1200元． (1)按要求安排A，B两种产品的生产数量，有哪几种方案？ (2)设生产A，B两种产品的总利润为y元，其中A种产品生产数量为x件．试写出y与x之间的关系式，并利用这个关系式说明哪种方案获利最大，最大利润是多少元？ 考点讲练九 不等式组的方案选择问题 【例9】（25-26八年级下·陕西西安·期中）2020年4月，随着蔚来中国总部落户合肥，全国新能源汽车之都已成为合肥新的代名词．某汽车经销商销售A，B两种型号的新能源汽车，已知购进3台A型新能源汽车和2台B型新能源汽车需要70万元，购进2台A型新能源汽车和1台B型新能源汽车需要40万元． (1)问A型，B型新能源汽车的单价分别是多少万元？ (2)若该经销商计划购进A型和B型两种新能源汽车共20辆，费用不超过320万元，且A型新能源汽车的数量少于B型新能源汽车的数量，请你给出费用最省的方案，并求出该方案所需费用． 【变式】（25-26八年级下·重庆·期中）为助力乡村农产品外销，某物流企业调配运输车辆．调研发现，辆型货车与辆型货车一次可运货吨；辆型货车与辆型货车一次可运货吨． (1)求辆型货车和辆型货车分别能运货多少吨？ (2)该企业计划用这两种货车共辆运输这批农产品，每辆型货车运输一次费用为元，每辆型货车运输一次费用为元．若型货车数量不低于辆，总费用不超过元，请列出所有运输方案，并指出哪种方案费用最少，最少费用是多少？ 考点讲练十 不等式组的阶梯收费问题 【例10】（24-25七年级下·湖南长沙·月考）为践行“四季莫负春光日，人生不负少年时”的教育理念，我校七年级拟于5月29号组织60名老师和1160名学生前往浏阳博士村开展研学活动．活动前年级组准备租用A、B两种型号的客车(每种型号的客车至少租用5辆)．A型车每辆租金是500元，B型车每辆租金是600元，若2辆A型车和1辆B型车坐满后共载客140人，3辆A型车和4辆B型车坐满后共载客335人． (1)每辆A型车、B型车坐满后各载多少人？ (2)若年级组计划租用A型车和B型车共28辆，要求B型车数量不超过A型车数量的3倍，请问一共有多少种租车方案？哪种租车方案租金费用最少？最小租金费用为多少元？ 【变式】（24-25七年级下·重庆·期中）为了加强公民的节水意识，合理利用水资源，重庆市采用价格调控的方式达到节水的目的．重庆市自来水的收费价格见价目表．注：水费按月结算．若某户居民1月份用水8立方米，则应交水费：（元）． 价目表 每月用水量 单价 不超出6立方米的部分 2元/立方米 超出6立方米不超出10立方米的部分 4元/立方米 超出10立方米的部分 8元/立方米 (1)若小明家2月份用水立方米，则应交水费________元； (2)若小明家3月用水量为立方米，当时，小明家应交水费______元，当时，小明家应交水费_______元；（请用含的代数式表示） (3)若小明家3月份，4月份共用水12立方米（4月份用水量多于3月份），共交水费38元，则小明家3，4月份各用水多少立方米？ 考点讲练一 在数轴上表示不等式的解集 【例1】（25-26八年级下·内蒙古乌兰察布·期中）关于x的不等式的解集在数轴上表示如图，则__________． 【变式】（25-26八年级下·陕西咸阳·期中）解不等式：，将解集在如图所示的数轴上表示出来，并写出它的非负整数解． 考点讲练二 求一元一次不等式的整数解 【例2】（25-26八年级下·河南郑州·期中）已知关于x的不等式的最小整数解为10，则整数m的值是（    ） A．4 B．5 C．6 D．7 【变式】（25-26八年级下·山东枣庄·期中）求不等式的负整数解． 考点讲练三 求一元一次不等式解的最值 【例3】已知、满足和，求的最小值． 【变式】已知点在直线上，且，则（    ） A．有最大值 B．有最小值 C．有最大值 D．有最小值 考点讲练四 解|x|≥a型的不等式 【例4】（25-26八年级上·山西太原·阶段检测）不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 【变式】阅读理解：表示5与之差的绝对值，实际上也可理解为5与两数在数轴上所对的两点之间的距离． 例1. 解方程，因为在数轴上到原点的距离为2的点对应的数为，所以方程的解为； 例2. 解不等式，在数轴上找出的解（如图），因为在数轴上到1对应的点的距离等于2的点对应的数为或3，所以方程的解为或，因此不等式的解集为或．    参考阅读材料，解答下列问题： (1)的解为____________； (2)找出所有符合条件的整数，使得，这样的整数是____________； (3)不等式的解集为____________． 考点讲练五 用一元一次不等式解决几何问题 【例5】（25-26八年级上·全国·单元测试）等腰三角形的边长是整数，周长是10，则这样的等腰三角形的个数是（   ） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【变式】（24-25八年级下·福建厦门·期末）若关于x的不等式（k，b为常数，）的解集是．若在一次函数的图象上，其中，请写出一个可能符合条件的点M______． 考点讲练六 根据两条直线的交点求不等式的解集 【例6】（25-26八年级下·上海青浦·期中）已知：如图，一次函数与的图象相交于点． (1)求点的坐标； (2)若一次函数与的图象与轴分别相交于点、，求的面积； (3)结合图象，直接写出时，的取值范围． 【变式】（25-26八年级下·陕西咸阳·期中）如图，在平面直角坐标系中，直线与直线的交点为，则关于x的不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 考点讲练七 求一元一次不等式组的整数解 【例7】（25-26八年级下·辽宁沈阳·期中）解不等式组，并求出它的所有整数解． 【变式】（2026·重庆綦江·二模）求不等式组：的所有非负整数解． 考点讲练八 由一元一次不等式组的解集求参数 【例8】（25-26八年级下·江西九江·期中）已知关于，的二元一次方程组的解满足不等式． (1)求实数的取值范围． (2)若不等式的解集为，请求出整数的值． 【变式】（25-26八年级下·四川成都·期中）若关于x的不等式有且只有3个整数解，则a的取值范围是______． 考点讲练九 由不等式组解集的情况求参数 【例9】（25-26八年级下·广东深圳·期中）若关于x的不等式组无解，则m的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【变式】（25-26八年级下·内蒙古乌兰察布·期中）已知关于x的不等式组无解，则a的取值范围是__________． 1．（25-26八年级下·辽宁沈阳·期中）已知关于x的不等式组的解集为，则的值为（   ） A．3 B． C．1 D． 2．（25-26八年级下·河南郑州·期中）如图，已知直线与直线交于点，则关于的不等式的解集为（     ） A． B． C． D． 3．（25-26八年级下·广东江门·期中）已知不等式的解集是，下列有可能是函数的图象的是（     ） A． B． C． D． 4．（25-26八年级下·上海青浦·期中）如图，直线的图象经过点，当时，x的取值范围是______． 5．（25-26八年级下·宁夏银川·期中）若不等式组的解集是，则______． 6．（25-26八年级下·四川成都·阶段检测）若关于的一元一次不等式组恰有3个整数解，那么的取值范围是_________． 7．（25-26八年级下·广东深圳·期中）一次函数与的图象如图所示，则的解集是______． 8．（25-26八年级下·内蒙古·期中）计算 (1)在等腰三角形中，，的周长是20，底边的长为y，腰长为x．求y关于x的函数表达式以及自变量x的取值范围； (2)我校举办的“新时代好少年”演讲比赛中，六位评委给小华的评分分别为（单位：分）：8，7.5，9.5，8.5，8.5，9，求小华此次演讲比赛得分的离差平方和． 9．（25-26八年级下·四川成都·阶段检测）解不等式（组）： (1)； (2)． 10．（2024·上海闵行·二模）某条东西方向道路双向共有三条车道，在早晚高峰经常会拥堵，数学研究小组希望改善道路拥堵情况．他们对该路段的交通量（辆/分钟）和时间进行了统计和分析，得到下列表格，并发现时间和交通量的变化规律符合一次函数的特征． 时间 8时 11时 14时 17时 20时 自西向东交通量（辆/分钟） 10 16 22 28 34 自东向西交通量（辆/分钟） 25 22 19 16 13 (1)请用一次函数分别表示、与之间的函数关系．（直接写出结果，不写自变量取值范围） (2)如图，同学们希望设置可变车道来改善拥堵状况，根据车流量情况改变可变车道的行车方向．单位时间内双向交通总量为，车流量大的方向交通量为，经查阅资料得：当，需要使可变车道行车方向与拥堵方向相同，以改善交通情况．该路段从8时至20时，如何设置可变车道行车方向以缓解交通拥堵，并说明理由．    (3)当且时，直接写出时间的取值范围_____． 1 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $2025-2026学年北师大版新教材数学八年级下册期末复习精讲精练讲义【题型讲练】 第二章 不等式与不等式组『期末复习精编讲义』（培优版） 『思维导图+知识梳理+10个考点讲练+9个难点攻克+真题实战练 共48题』（解析版） 2 知识梳理 温故知新 3 知识点梳理01：不等式 3 知识点梳理02：一元一次不等式 3 知识点梳理03：一元一次不等式组 4 知识点梳理04：一次函数与一元一次方程、一元一次不等式（组） 4 考点讲练 真题汇总 5 考点讲练一 求一元一次不等式的解集 5 考点讲练二 用一元一次不等式解决实际问题 6 考点讲练三 由直线与坐标轴的交点求不等式的解集 8 考点讲练四 解特殊不等式组 9 考点讲练五 不等式组的行程问题 11 考点讲练六 不等式组的工程问题 14 考点讲练七 不等式组的经济问题 16 考点讲练八 不等式组的分配问题 18 考点讲练九 不等式组的方案选择问题 20 考点讲练十 不等式组的阶梯收费问题 22 难点攻克 思维拓展 25 考点讲练一 在数轴上表示不等式的解集 25 考点讲练二 求一元一次不等式的整数解 26 考点讲练三 求一元一次不等式解的最值 26 考点讲练四 解|x|≥a型的不等式 27 考点讲练五 用一元一次不等式解决几何问题 29 考点讲练六 根据两条直线的交点求不等式的解集 30 考点讲练七 求一元一次不等式组的整数解 32 考点讲练八 由一元一次不等式组的解集求参数 33 考点讲练九 由不等式组解集的情况求参数 34 优选真题 实战演练 35 知识点梳理01：不等式 1.不等式：用符号“＜”(或“≤”)，“＞”（或“≥”），≠连接的式子叫做不等式. 要点： （1）不等式的解：能使不等式成立的未知数的值叫做不等式的解. （2）不等式的解集：对于一个含有未知数的不等式，它的所有解组成这个不等式的解集． 解集的表示方法一般有两种：一种是用最简的不等式表示，例如，等；另一种是用数轴表示，如下图所示： （3）解不等式：求不等式的解集的过程叫做解不等式． 2. 不等式的性质： 不等式的基本性质1：不等式两边加(或减)同一个数(或式子)，不等号的方向不变． 用式子表示：如果a＞b，那么a±c＞b±c 不等式的基本性质2：不等式两边都乘(或除以)同一个正数，不等号的方向不变． 用式子表示：如果a＞b，c＞0，那么ac＞bc(或)． 不等式的基本性质3：不等式两边乘(或除以)同一个负数，不等号的方向改变． 用式子表示：如果a＞b，c＜0，那么ac＜bc(或)． 知识点梳理02：一元一次不等式 1. 定义：不等式的左右两边都是整式，经过化简后只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是1，这样的不等式叫做一元一次不等式． 要点：ax+b＞0或ax+b＜0(a≠0)叫做一元一次不等式的标准形式． 2.解法： 解一元一次不等式步骤：去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1. 要点：不等式解集的表示：在数轴上表示不等式的解集，要注意的是“三定”：一是定边界点，二是定方向，三是定空实. 3.应用：列不等式解应用题的基本步骤与列方程解应用题的步骤相类似，即： （1）审：认真审题，分清已知量、未知量； （2）设：设出适当的未知数； （3）找：找出题中的不等关系，要抓住题中的关键字，如“大于”“小于”“不大于”“至少”“不超过”“超过”等关键词的含义； （4）列：根据题中的不等关系，列出不等式； （5）解：解出所列的不等式的解集； （6）答：检验是否符合题意，写出答案. 要点：列一元一次不等式解应用题时，经常用到“合算”、“至少”、“不足”、“不超过”、“不大于”、“不小于”等表示不等关系的关键词语，弄清它们的含义是列不等式解决问题的关键. 知识点梳理03：一元一次不等式组 　　关于同一未知数的几个一元一次不等式合在一起，就组成一个一元一次不等式组. 要点： （1）不等式组的解集：不等式组中各个不等式的解集的公共部分叫做这个不等式组的解集. （2）解不等式组：求不等式组解集的过程，叫做解不等式组.  （3）一元一次不等式组的解法：分别解出各不等式，把解集表示在数轴上，取所有解集的公共部分，利用数轴可以直观地表示不等式组的解集.  （4）一元一次不等式组的应用： ①根据题意构建不等式组，解这个不等式组；②由不等式组的解集及实际意义确定问题的答案． 知识点梳理04：一次函数与一元一次方程、一元一次不等式（组）　 方程（组）、不等式问题 函 数 问 题 从“数”的角度看 从“形”的角度看 求关于、的一元一次方程＝0（≠0）的解 为何值时，函数的值为0？ 确定直线与轴（即直线＝0）交点的横坐标. 求关于、的二元一次方程组的解． 为何值时，函数与函数的值相等？ 确定直线与直线的交点的坐标. 求关于的一元一次不等式＞0（≠0）的解集 为何值时，函数的值大于0？ 确定直线在轴（即直线＝0）上方部分的所有点的横坐标的范围. 考点讲练一 求一元一次不等式的解集 【例1】（25-26八年级下·甘肃兰州·期中）已知关于的二元一次方程组，若方程组的解满足不小于．求的取值范围． 【答案】 【分析】先解二元一次方程组得到，再将值代入不等式得到关于的不等式，求一元一次不等式解集即可． 【详解】解：关于的二元一次方程组， 由①②得，解得， 由①②得，解得， 方程组的解满足不小于， ， 解得． 【变式】（25-26八年级下·广东深圳·期中）解不等式： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解：原不等式去括号，得， 移项，得， 合并同类项，得． （2）解：原不等式去分母，得， 移项，得， 合并同类项，得， 系数化为1，得． 考点讲练二 用一元一次不等式解决实际问题 【例2】（25-26八年级下·辽宁沈阳·期中）日购兴超市常年售卖矿泉水和乳酸菌饮品，并根据季节销量调整进货数量．已知矿泉水进价2元/瓶，售价3元/瓶；乳酸菌饮品进价4元/瓶，售价6元/瓶． (1)超市第一次购进两种饮品共80瓶，全部进货总成本为230元，求超市本次购进矿泉水、乳酸菌饮品各多少瓶？ (2)结合季节销量，超市计划第二次购进两种饮品共90瓶，为控制成本，进货总费用不超过280元， ①求第二次最多可购进乳酸菌饮品多少瓶？ ②若两种饮品全部售完，超市能获得的最大利润是多少元？ 【答案】(1)购进矿泉水45瓶，购进乳酸菌饮品35瓶 (2)①最多购进乳酸菌饮品50瓶；②140元 【分析】（1）设超市第一次购进矿泉水瓶，则购进乳酸菌饮品瓶，根据“全部进货总成本为230元”，列出一元一次方程求解； （2）①设第二次购进乳酸菌饮品瓶，则购进矿泉水瓶，根据“进货总费用不超过280元”，列出一元一次不等式求解，取最大值即可； ②设超市获得的利润为元，根据利润每件的利润数量，得，结合①中m的取值范围，根据一次函数的性质求最大值． 【详解】（1）解：设超市第一次购进矿泉水瓶，则购进乳酸菌饮品瓶， 根据题意得， 解得， ∴， 答：超市本次购进矿泉水45瓶，购进乳酸菌饮品35瓶； （2）解：①设第二次购进乳酸菌饮品瓶，则购进矿泉水瓶， ∵进货总费用不超过280元， ∴， 解得， 答：第二次最多可购进乳酸菌饮品50瓶； ②设超市获得的利润为元， 根据题意得，， ∵，， ∴当时，取最大值，最大值为（元）， 答：超市能获得的最大利润是140元． 【变式】（25-26八年级下·宁夏银川·期中）2025年春节档电影《哪吒之魔童降世》掀起观影热潮，影片将封神神话中的角色（如哪吒、敖丙）赋予现代价值观，使传统文化符号与当代人民心理形成共振．哪吒之魔童闹海人物卡通模型深受青少年喜爱．现有甲、乙商店推出购买优惠活动： 甲商店优惠大放送：购买哪吒系列人物卡通模型20元/个．若购买超过3个，则超过的部分按六折付款！ 乙商店促销活动：原价：20元/个．现优惠价：八折！！ (1)若在甲、乙商店购买哪吒系列人物卡通模型的付款金额分别记为（元），请分别求出与购买数量的函数关系式． (2)当购买数量超过3个时，应选择在哪家商店购买更划算？请通过计算说明． 【答案】(1)，（其中为正整数） (2)当时，到乙商店购买更划算；当时，到甲、乙两个商店购买花费一样；当时，到甲商店购买更划算． 【分析】（1）根据题意可以求得与之间的函数关系式； （2）分，，三种情况讨论即可． 【详解】（1）解：当时， ， ． （2）解：当时，； 当时，； 当时，． ∴当时，到乙商店购买更划算；当时，到甲、乙两个商店购买花费一样；当时，到甲商店购买更划算． 考点讲练三 由直线与坐标轴的交点求不等式的解集 【例3】（25-26八年级下·陕西汉中·期中）已知一次函数（，为常数，且）的图象如图所示，则关于的不等式的解集为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由函数图象可知，一次函数中随的增大而减小，且时，，所以不等式的解集为． 【详解】解：由函数图象可知，一次函数中随的增大而减小， 时，， 时，， 不等式的解集为． 【变式】（25-26八年级下·陕西西安·期中）如图，一次函数的图象经过点，则不等式的解集是________． 【答案】 【分析】将点，代入一次函数，可求得的值为，将的值代入不等式即可求出解集． 【详解】解：已知一次函数过点， 将点坐标代入解析式：， 解得：， ∴一次函数解析式为， 直线上函数值满足时，对应横坐标的取值范围： 当时，代入，得 解得：，即直线与轴交点为， 当时，对应已知点 最终解集为：． 考点讲练四 解特殊不等式组 【例4】数学乐园：解二元一次方程组，，得，当时，，同理：； 符号称之为二阶行列式，规定：． 设，，，那么方程组的解就是． (1)求二行列式的值； (2)解不等式：； (3)用二阶行列式解方程组； (4)若关于的二元一次方程组无解，求的值． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题考查二元一次方程组的解法，解题的关键是理解题意新定义算法，根据二阶行列式计算． （1）根据，即可求出； （2）根据，得，求解即可； （3）根据，，，那么方程组的解就是，即可求出方程组的解； （4）根据得：，再代入，得：，令时，方程无解，求解即可． 【详解】（1）解：根据题意可得； （2）解：∵， ∴， ∴， 解得：； （3）解：根据题意可得， ∵，，， ∴，，， ∴，， ∴方程组的解：； （4）解：由得：， 把代入得：， 整理得：， 当时，方程无解， ∴． 【变式】（2024八年级上·全国·专题练习）解不等式； 【答案】 【分析】本题主要考查了解不等式组，绝对值等知识点，分和两种情况分类讨论即可得解，理解题目的含义，进行分类讨论是解决此题的关键． 【详解】解：①当即， 解集为， ②当，即， 解集为， 综上可知，原不等式的解集为． 考点讲练五 不等式组的行程问题 【例5】（25-26八年级下·山东潍坊·期中）当汽车以特定速度驶入“绿波路段”时，可以连续绿灯通过多个路口，其间汽车安全行驶速度在到之间． 某兴趣小组在一条“绿波路段”上进行观测，发现道路上依次有，，，4个路口．已知这个路口的绿灯和红灯均分别持续．其余因素忽略不计．路口的绿灯亮起后，路口、的绿灯亮起；路口的绿灯亮起后，路口的绿灯亮起．路口、、到路口的距离分别为，，．兴趣小组将收集到的信息绘制成如图所示的交通信号示意图，其中横轴表示时间（），纵轴表示各个路口到路口的距离（）． (1)请在图中画出路口在 的红绿灯； (2)若甲车在时，从路口以的速度向路口行驶，求该车刚到达路口时所用的时间； (3)若乙车在时到达路口，向路口匀速行驶．求该车可以连续绿灯通过路口、的速度范围． 【答案】(1)图见解析 (2)甲车刚到路口D的时间为 (3)想要连续绿灯通过两个路口，乙车的速度需在到之间 【分析】（1）根据路口D绿灯亮起的时刻，以及红绿灯的持续时间，进行作图即可； （2）分别计算甲车到路口B和C的时间，结合红绿灯的示意图判断是否需要等待，最后计算路口C到路口D的时间，再求和即可； （3）设乙车的速度为，先分析路口B的情况，根据题意，估算乙车到路口B的时间为，结合路灯图可知，绿灯时段为，因此．再分析路口C的情况，同理估算乙车到路口C的时间为，确定绿灯时段为，最后求出． 【详解】（1）解：∵路口D在开始亮起绿灯， 又∵红灯与绿灯均持续， ∴路口D在，和期间亮起绿灯，其余时间为红灯， 红绿灯情况如图所示： （2）解：根据题意， 路口B和C，在亮绿灯，在亮红灯， 甲车到路口B的时间为， ∵， ∴此时路口B为绿灯，甲车可正常通行， 甲车到路口C的时间为， ∵， ∴此时路口C为红灯，甲车需等待到时，才可通行， ∴甲车到路口D的时间为； （3）解：设乙车的速度为， 由题意可得，， 先分析绿灯通过路口B： 乙车到路口B的时间， ∵， ∴， 根据题意，路口B在亮绿灯，在亮红灯， ∴想要绿灯通过路口B需满足，对应的速度范围为， ∴； 再分析绿灯通过路口C： 乙车到路口C的时间， ∵， ∴， 根据题意，路口C在亮红灯，在亮绿灯， ∴想要绿灯通过路口C需满足，对应的速度范围为； 综上所述，． 答：想要连续绿灯通过两个路口，乙车的速度需在到之间． 【变式】小华在公园的环形跑道（周长大于）练习长跑，从起点出发按逆时针方向跑步，并用跑步软件记录运动轨迹，每跑软件会在运动轨迹上标注相应的路程，前的记录如图所示．小华一共跑了且恰好回到起点，那么他一共跑的圈数是（    ） A．14圈 B．15圈 C．16圈 D．17圈 【答案】D 【分析】本题考查了一元一次不等式组的应用，由图可得，小华跑第一圈时软件标记了，跑第二圈时标记了，跑第三圈时标记了和，据此可知小明跑了圈时，他的运动里程数小于，设公园的环形跑道周长为，小明总共跑了圈，然后列不等式求出的取值范围，再根据，代入求出的取值即可． 【详解】解：由图可得，小华跑第一圈时软件标记了，跑第二圈时标记了，跑第三圈时标记了和， ∴当小明跑了圈时，他的运动里程数小于， 设公园的环形跑道周长为，小明总共跑了圈，根据题意，得， 解得， ∴ ∴， 又， ∴， ∴， ∴整数， 即他一共跑的圈数是17， 故选：D． 考点讲练六 不等式组的工程问题 【例6】沅陵一中有360张旧课桌需维修，经过甲、乙两个维修小组的竞标得知，甲组工作效率是乙组的1.5倍，且甲组单独维修完这批旧课桌比乙组单独维修完这批旧课桌少用5天；已知甲组每天需要付工资800元，乙组每天需要付工资400元； （1）求甲、乙两个小组每天各维修多少张旧棵桌？ （2）学校维修这批旧课桌预算资金不超过7200元，时间不超过12天，请你帮学校算一算有几种维修方案（天数不足1天的按1天算）；每种方案需要多少钱？ 【答案】（1）甲每天维修张36旧课桌，乙每天维修24张旧课桌；（2）甲负责216张旧课桌，乙负责144张旧课桌，需要费用为7200元 【分析】（1）设乙小组每天各维修x张旧课桌，根据题意列出方程即可求出答案； （2）分别计算甲乙单独完成该项工作的天数，设甲负责m张旧课桌，则乙负责（360﹣m）张旧课桌，根据题意可列出关于m的一元一次不等式组，得出m的值即可得出答案． 【详解】（1）设乙小组每天维修x张旧课桌， ∴甲小组每天维修1.5x张旧课桌， 根据题意可知： ， 解得：x＝24， 经检验，x＝24是原分式方程的解， 答：甲每天维修张36旧课桌，乙每天维修24张旧课桌； （2）由甲单独负责，此时完成工作需要＝10天，需要费用为10×800＝8000元， 由乙单独负责，此时完成工作需要＝15天，需要费用为15×400＝6000元， 故由甲或乙单独负责该项目都不符合题意，需要考虑甲乙合作完成， 设甲负责m张旧课桌，则乙负责（360﹣m）张旧课桌， ∴， 解得：m＝216， 此时学校需要付费为：800×+400×＝7200元 答：由甲负责216张旧课桌，乙负责144张旧课桌，需要费用为7200元． 【变式】（2023·广西河池·一模）某社区计划对面积为1800的区域进行绿化．经投标，由甲、乙两个工程队来完成．已知甲队每天绿化的面积是乙队的2倍，并且在独立完成400的绿化时，甲队比乙队少用4天． (1)分别求出甲队、乙队每天完成的绿化面积； (2)设甲队施工x天，乙队施工y天，刚好完成绿化任务，且甲、乙两队施工的总天数不超过26天，写出y与x的函数解析式和自变量x的取值范围； (3)在（2）条件下，若甲队每天绿化费用是0.6万元，乙队每天绿化费用为0.25万元，如何安排甲、乙两队施工的天数，使施工总费用最低？并求出最低费用． 【答案】(1)甲、乙两工程队每天能完成绿化的面积分别是100、50 (2) (3)安排甲队施工10天，乙队施工16天时，施工总费用最低为10万元 【分析】（1）设乙工程队每天能完成绿化的面积是，根据在独立完成面积为区域的绿化时，甲队比乙队少用4天，列方程求解； （2）根据题意得到，整理得：，再根据甲、乙两队施工的总天数不超过26天求出自变量取值范围即可解答． （3）由（2）可得，设施工总费用为元，得出与x的关系式，根据一次函数的性质，即可解答． 【详解】（1）设乙工程队每天能完成绿化的面积是， 根据题意．得：， 解得：， 经检验，是原方程的解， 则甲工程队每天能完成绿化的面积是， 答：甲、乙两工程队每天能完成绿化的面积分别是、； （2）根据题意，得：， 整理得：， ∵甲、乙两队施工的总天数不超过26天， ∴，即 解得 ∴y与x的函数解析式为： ． （3）设施工总费用为w万元，根据题意得： ∵， ∴w随x减小而减小， ∵ ∴当时，w有最小值，最小值为， 此时． 答：安排甲队施工10天，乙队施工16天时，施工总费用最低为10万元． 考点讲练七 不等式组的经济问题 【例7】（25-26八年级下·贵州毕节·期中）根据所给材料，完成下列任务． 背景 贵州拥有丰富的非物质文化遗产资源与自然资源，吸引着国内外大量游客，某文创店经销“自然风景”和“非遗技艺”两款冰箱贴． 素材一 该文创店在进货时发现，购进个“自然风景”冰箱贴和5个“非遗技艺”冰箱贴共需元；购进5个“自然风景”冰箱贴和个“非遗技艺”冰箱贴共需元． 素材二 为满足市场需求，该文创店决定购进两款冰箱贴共个，其中“自然风景”冰箱贴的数量不超过“非遗技艺”冰箱贴的，且购进两款冰箱贴的总费用不超过1060元． (1)每个“自然风景”和“非遗技艺”冰箱贴的进价分别是多少元？ (2)该文创店有哪几种进货方案？ 【答案】(1)每个“自然风景”冰箱贴的进价是8元，每个“非遗技艺”冰箱贴的进价是12元 (2)该文创店共有3种进货方案，分别是：购进“自然风景”冰箱贴35个和“非遗技艺”冰箱贴65个；购进“自然风景”冰箱贴36个和“非遗技艺”冰箱贴64个；购进“自然风景”冰箱贴37个和“非遗技艺”冰箱贴63个． 【分析】（1）根据题意列出二元一次方程组，解之即可得出结论； （2）设购进“自然风景”冰箱贴个，则购进“非遗技艺”冰箱贴个，根据题意列出不等式组，求出m的范围，确定方案． 【详解】（1）设每个“自然风景”冰箱贴的进价是元，每个“非遗技艺”冰箱贴的进价是元． 根据题意，得， 解得， 答：每个“自然风景”冰箱贴的进价是8元，每个“非遗技艺”冰箱贴的进价是元． （2）设购进“自然风景”冰箱贴个，则购进“非遗技艺”冰箱贴个． 根据题意，得 解得． 为正整数， 的取值为，，． 当时，； 当时，； 当时，． 答：该文创店共有3种进货方案，分别是：购进“自然风景”冰箱贴35个和“非遗技艺”冰箱贴65个；购进“自然风景”冰箱贴36个和“非遗技艺”冰箱贴64个；购进“自然风景”冰箱贴37个和“非遗技艺”冰箱贴63个． 【变式】（25-26八年级下·河北保定·期中）某社区志愿者团队计划参加“社区公益集市活动“，制作了简约版和创意版两种类型的手工钥匙扣进行售卖．简约版每套的成本比创意版每套的成本低元，且套简约版的成本与套创意版的成本共元． (1)求每套简约版和每套创意版手工钥匙扣的成本价． (2)若计划制作简约版和创意版的手工钥匙扣共套，投入资金不多于元，且创意版手工钥匙扣的数量不少于简约版手工钥匙扣的数量的一半，问社区志愿者团队有几种制作方案？（不用写出具体方案） (3)在（）的条件下，现决定将简约版、创意版手工钥匙扣的销售单价分别定为元和元，且所有钥匙扣均已卖出，那么此次义卖获得的总利润最高是多少元？ 【答案】(1)每套简约版手工钥匙扣的成本价为元，每套创意版手工钥匙扣的成本价为元； (2)种制作方案； (3)此次义卖获得的总利润最高为元． 【分析】（）设每套简约版手工钥匙扣的成本价为元，每套创意版手工钥匙扣的成本价为元，由题意得，然后解方程组即可； （）设制作创意版手工钥匙扣m套，则简约版手工钥匙扣套．由题意得，然后解不等式组即可； （）解：设总利润为元，由题意得，然后通过一次函数的性质即可求解． 【详解】（1）解：设每套简约版手工钥匙扣的成本价为元，每套创意版手工钥匙扣的成本价为元， 由题意，得， 解得， 答：每套简约版手工钥匙扣的成本价为元，每套创意版手工钥匙扣的成本价为元； （2）解：设制作创意版手工钥匙扣m套，则简约版手工钥匙扣套． 由题意，得， 解得， ∵为正整数， ∴社区志愿者团队有种制作方案； （3）解：设总利润为元， 由题意，得， ∵， ∴总利润随的增大而增大， ∴当时，总利润取得最大值，最大利润为（元）， 答：此次义卖获得的总利润最高为元． 考点讲练八 不等式组的分配问题 【例8】（25-26八年级下·全国·单元测试） “守护长江生态、传承长江文化”，引导青少年感恩长江、热爱长江、保护长江的意识，通过自身的行动和努力，让长江文化在新的时代焕发新的活力与魅力．某校八年级积极开展青少年主题读书活动，现有一批图书分发给若干班级，若每个班级发放4本图书，则剩余20本；若每个班级发放8本图书，就有一个班级发放的图书多于1本且不足8本．则学校八年级共有________个班级． 【答案】6 【分析】设学校八年级共有x个班级，根据题意列出不等式组求解即可． 【详解】解：设学校八年级共有x个班级，根据题意得： ， 解得：， ∵x为整数， ∴x取6， ∴学校八年级共有6个班级． 【变式】某工厂现有甲种原料、乙种原料，计划利用这两种原料生产A，B两种产品共50件．已知生产一件A种产品用甲种原料、乙种原料，可获利700元；生产一件B种产品用甲种原料、乙种原料，可获利1200元． (1)按要求安排A，B两种产品的生产数量，有哪几种方案？ (2)设生产A，B两种产品的总利润为y元，其中A种产品生产数量为x件．试写出y与x之间的关系式，并利用这个关系式说明哪种方案获利最大，最大利润是多少元？ 【答案】(1)有3种方案：A，B两种产品的件数分别为30，20或31，19或32，18 (2)，生产A种产品30件，B种产品20件时，总利润最大，最大利润是45000元． 【分析】本题考查一次函数的应用，一元一次不等式组的应用及最大利润问题；得到两种原料的关系式及总利润的等量关系是解决本题的关键． （1）设安排生产A种产品x件，则生产B件产品为件，根据题意列出不等式组，解出不等式组的解，即可得到结论； （2）根据已知生产一件A产品，可获利润700元；生产一件B种产品，可获利润1200元，可建立函数关系式，利用函数的增减性及（1）的结论，即可求得结论． 【详解】（1）设安排生产A种产品x件，则生产B件产品为件， 根据题意得， 解得 ∵x为整数， ∴整数，31或32； ∴当时，；当时，；当时，； ∴共有3种方案：A，B两种产品的件数分别为30，20或31，19或32，18； （2）设安排生产A种产品x件，则生产B件产品为件， 由题意得： ∵ ∴y随x的增大而减小， ∵，31或32， ∴当时，y有最大值为． ∴生产A种产品30件，B种产品20件时，总利润最大，最大利润是45000元． 考点讲练九 不等式组的方案选择问题 【例9】（25-26八年级下·陕西西安·期中）2020年4月，随着蔚来中国总部落户合肥，全国新能源汽车之都已成为合肥新的代名词．某汽车经销商销售A，B两种型号的新能源汽车，已知购进3台A型新能源汽车和2台B型新能源汽车需要70万元，购进2台A型新能源汽车和1台B型新能源汽车需要40万元． (1)问A型，B型新能源汽车的单价分别是多少万元？ (2)若该经销商计划购进A型和B型两种新能源汽车共20辆，费用不超过320万元，且A型新能源汽车的数量少于B型新能源汽车的数量，请你给出费用最省的方案，并求出该方案所需费用． 【答案】(1) A型新能源汽车的单价为10万元，B型新能源汽车的单价为20万元 (2) 费用最省的方案为购进9辆A型新能源汽车，11辆B型新能源汽车，该方案所需费用为310万元 【分析】（1）设A型新能源汽车的单价为x万元，B型新能源汽车的单价为y万元，根据“购进3台A型新能源汽车和2台B型新能源汽车需要70万元，购进2台A型新能源汽车和1台B型新能源汽车需要40万元”，即可得出关于的二元一次方程组，解之即可得出结论； （2）设购进A型新能源汽车m辆，则购进B型新能源汽车辆，根据“购进A型和B型两种新能源汽车共20辆，费用不超过320万元，且A型新能源汽车的数量少于B型新能源汽车的数量”，即可得出关于m的一元一次不等式组，解之即可得出m的取值范围，结合m为整数即可得出各进货方案，再利于总价=单价×数量，可分别求出各购进方案所需费用，比较后即可得出结论． 【详解】（1）解：设A型新能源汽车的单价为x万元，B型新能源汽车的单价为y万元， 依题意得：， 解得：， 答：A型新能源汽车的单价为10万元，B型新能源汽车的单价为20万元； （2）解：设购进A型新能源汽车m辆，则购进B型新能源汽车辆， 依题意得：， 解得：， 又∵m为整数， ∴m可以取8，9， ∴共有两种进货方案， 方案1：购进8辆A型新能源汽车，12辆B型新能源汽车，该方案所需费用为（万元）； 方案2：购进9辆A型新能源汽车，11辆B型新能源汽车，该方案所需费用为（万元）； ∵， ∴费用最省的方案为购进9辆A型新能源汽车，11辆B型新能源汽车，该方案所需费用为万元． 【变式】（25-26八年级下·重庆·期中）为助力乡村农产品外销，某物流企业调配运输车辆．调研发现，辆型货车与辆型货车一次可运货吨；辆型货车与辆型货车一次可运货吨． (1)求辆型货车和辆型货车分别能运货多少吨？ (2)该企业计划用这两种货车共辆运输这批农产品，每辆型货车运输一次费用为元，每辆型货车运输一次费用为元．若型货车数量不低于辆，总费用不超过元，请列出所有运输方案，并指出哪种方案费用最少，最少费用是多少？ 【答案】(1) 辆型货车能运货吨，辆型货车能运货吨 (2) 共有三种运输方案：方案：型货车辆，型货车辆；方案：型货车辆，型货车辆；方案：型货车辆，型货车辆；安排型货车辆，型货车辆时总费用最少，最少费用为元 【分析】（1）设未知数，根据题干给出的两种运货总量关系列出二元一次方程组，求解得到结果； （2）设型货车的数量，进而表示出型货车的数量，根据“型货车数量不低于辆”和“总费用不超过元”列出不等式组，求出整数解得到所有方案，再计算各方案的总费用，比较得到最少费用． 【详解】（1）解：设辆型货车能运货吨，辆型货车能运货吨， 根据题意得，，解得． 答：辆型货车能运货吨，辆型货车能运货吨； （2）解：设安排型货车辆，则安排型货车辆， 根据题意得，解得， 为正整数， 的取值为，，， 共有三种运输方案： 方案：型货车辆，型货车辆，总费用为（元）； 方案：型货车辆，型货车辆，总费用为（元）； 方案：型货车辆，型货车辆，总费用为（元）， ， 方案的总费用最少． 答：共有三种运输方案：方案：型货车辆，型货车辆；方案：型货车辆，型货车辆；方案：型货车辆，型货车辆；安排型货车辆，型货车辆时总费用最少，最少费用为元． 考点讲练十 不等式组的阶梯收费问题 【例10】（24-25七年级下·湖南长沙·月考）为践行“四季莫负春光日，人生不负少年时”的教育理念，我校七年级拟于5月29号组织60名老师和1160名学生前往浏阳博士村开展研学活动．活动前年级组准备租用A、B两种型号的客车(每种型号的客车至少租用5辆)．A型车每辆租金是500元，B型车每辆租金是600元，若2辆A型车和1辆B型车坐满后共载客140人，3辆A型车和4辆B型车坐满后共载客335人． (1)每辆A型车、B型车坐满后各载多少人？ (2)若年级组计划租用A型车和B型车共28辆，要求B型车数量不超过A型车数量的3倍，请问一共有多少种租车方案？哪种租车方案租金费用最少？最小租金费用为多少元？ 【答案】(1)每辆型车坐满后载客人，每辆型车坐满后载客人； (2)一共有种租车方案，当租用辆型车、辆型车时，租金费用最少，最小租金费用为元． 【分析】题考查了二元一次方程组的应用以及一元一次不等式组的应用； （1）设每辆型车坐满后载客人，每辆型车坐满后载客人，根据辆型车和辆型车坐满后共载客人，辆型车和辆型车坐满后共载客人”，可列出关于，的二元一次方程组，解之即可得出结论； （2）设租用辆型车，则租用辆型车，根据租用的两种客车的共载客量不少于人且租用型车数量不超过型车数量的倍，可列出关于的一元一次不等式组，解之可得出的取值范围，结合，均为不小于的正整数，可得出，进而可得出共有种租车方案，由即型车每辆租金小于型车每辆租金，可得出当租用型车越多时，总租金越小，结合的取值范围，即可找出租金最少的租车方案，再求出此时的总租金即可． 【详解】（1）解：设每辆型车坐满后载客人，每辆型车坐满后载客人， 根据题意得：， 解得：． 答：每辆型车坐满后载客人，每辆型车坐满后载客人； （2）设租用辆型车，则租用辆型车， 根据题意得：， 解得：， 又，均为不小于的正整数， ， 种， 一共有种租车方案． ， 即型车每辆租金小于型车每辆租金， 当租用型车越多时，总租金越小， 当时，辆，总租金为元． 答：一共有种租车方案，当租用辆型车、辆型车时，租金费用最少，最小租金费用为元． 【变式】（24-25七年级下·重庆·期中）为了加强公民的节水意识，合理利用水资源，重庆市采用价格调控的方式达到节水的目的．重庆市自来水的收费价格见价目表．注：水费按月结算．若某户居民1月份用水8立方米，则应交水费：（元）． 价目表 每月用水量 单价 不超出6立方米的部分 2元/立方米 超出6立方米不超出10立方米的部分 4元/立方米 超出10立方米的部分 8元/立方米 (1)若小明家2月份用水立方米，则应交水费________元； (2)若小明家3月用水量为立方米，当时，小明家应交水费______元，当时，小明家应交水费_______元；（请用含的代数式表示） (3)若小明家3月份，4月份共用水12立方米（4月份用水量多于3月份），共交水费38元，则小明家3，4月份各用水多少立方米？ 【答案】(1)； (2)，； (3)3月份用水立方米，4月份用水立方米． 【分析】本题主要考查了分段计费问题，涉及有理数运算、列代数式及一元一次方程的应用．熟练掌握分段计算费用的方法，根据不同用水量范围准确列出算式或方程是解题的关键． （1）根据价目表，将12.5立方米的用水量按不同单价分段计算，分别算出各段水费再求和． （2）当时，水费由6立方米按2元/立方米和超出6立方米部分按4元/立方米计算；当时，水费由6立方米按2元/立方米、4立方米（6到10立方米）按4元/立方米、超出10立方米部分按8元/立方米计算，据此列代数式． （3）分情况讨论3月用水量的范围，根据不同范围的水费计算方式列方程求解． 【详解】（1）解：应交水费：（元）， 故答案为：； （2）解：当时， 水费为（元） 当时， 水费为（元） 故答案为：，； （3）解：设3月份用水立方米，则4月份用水立方米，由题意得， ，即． 当，即时， 水费为． 令， 解得（舍去）． 若，即， 水费为． 令， 解得． ∴3月份用水立方米，4月份用水立方米． 考点讲练一 在数轴上表示不等式的解集 【例1】（25-26八年级下·内蒙古乌兰察布·期中）关于x的不等式的解集在数轴上表示如图，则__________． 【答案】4 【分析】先解不等式可得，再根据题意可得不等式的解集为，从而可得，然后进行计算即可解答． 【详解】解：， 解得，， 由题意得：不等式的解集为， ∴， 解得． 【变式】（25-26八年级下·陕西咸阳·期中）解不等式：，将解集在如图所示的数轴上表示出来，并写出它的非负整数解． 【答案】；画图见解析；非负整数解为0，1，2，3 【分析】先解不等式，求得，然后将解集在数轴上表示出来，由图即可求出非负整数解． 【详解】解：去分母得：， 去括号得：， 移项、合并同类项得：， 化系数为1得：； 将解集表示在数轴上如图所示： 不等式的非负整数解为0，1，2，3． 考点讲练二 求一元一次不等式的整数解 【例2】（25-26八年级下·河南郑州·期中）已知关于x的不等式的最小整数解为10，则整数m的值是（    ） A．4 B．5 C．6 D．7 【答案】A 【分析】先求解原不等式得到x的解集，再根据最小整数解为10，得到关于m的不等式组，解出m的取值范围后即可得到整数m的值. 【详解】解：解不等式， 移项得 ， ∵不等式的最小整数解为10， ∴， 不等式三边同时加3，得， 三边同时除以3，得， ∵m为整数， ∴. 【变式】（25-26八年级下·山东枣庄·期中）求不等式的负整数解． 【答案】，， 【分析】按照去分母、去括号、移项及合并同类项、系数化为求解不等式即可． 【详解】解：去分母得：， 去括号得：， 移项及合并同类项得：， 系数化为得：， 该不等式的负整数解为，． 考点讲练三 求一元一次不等式解的最值 【例3】已知、满足和，求的最小值． 【答案】3 【分析】解方程组得出，再根据知，解之即可． 【详解】解方程组，得， ∵， ∴，即， 解得：， ∴的最小值为3． 【变式】已知点在直线上，且，则（    ） A．有最大值 B．有最小值 C．有最大值 D．有最小值 【答案】A 【分析】将点代入直线中,得到m、n的关系式，分别表示代入不等式即可判断的最值； 【详解】解：将点代入直线中， 得，则 将代入中，解得： 将代入中，解得： ∴当，时，=有最大值 故选：A 考点讲练四 解|x|≥a型的不等式 【例4】（25-26八年级上·山西太原·阶段检测）不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查不等式的解集，掌握一元一次不等式的解法以及绝对值的性质是正确解答的关键． 先根据的取值范围化简绝对值，再解一元一次不等式即可． 【详解】解：当时，，， 恒成立． ∴． 当时，，， ，解得． ∴． 当时，，， ，无解． 综上所述，． 故选：C． 【变式】阅读理解：表示5与之差的绝对值，实际上也可理解为5与两数在数轴上所对的两点之间的距离． 例1. 解方程，因为在数轴上到原点的距离为2的点对应的数为，所以方程的解为； 例2. 解不等式，在数轴上找出的解（如图），因为在数轴上到1对应的点的距离等于2的点对应的数为或3，所以方程的解为或，因此不等式的解集为或．    参考阅读材料，解答下列问题： (1)的解为____________； (2)找出所有符合条件的整数，使得，这样的整数是____________； (3)不等式的解集为____________． 【答案】(1)或 (2)，，，0，1，2 (3)或 【分析】（1）根据材料定义，理解为数轴上到3的距离为2的点即为表示的数，从而求解； （2）根据材料定义，理解为数轴上到2的距离与到的距离之和为5点即为表示的数，由此结合数轴求解即可； （3）在（2）的基础上，求出数轴上到2的距离与到的距离之和大于7的的范围即可． 【详解】（1）解：， 或， ∴或， 故答案为：或； （2）解：要使得， 即：数轴上到2的距离与到的距离之和为5， ∵数轴上和2之间的距离恰好为5， ∴， ∵为整数， ∴，，，0，1，2， 故答案为：，，，0，1，2； （3）解：要使得， 即：数轴上到2的距离与到的距离之和大于7， 首先在数轴上找出的解（如图），    由（2）可知数轴上和2之间的距离恰好为5， ∴要使得到2的距离与到的距离之和等于7，则或， ∴的解集为：或， 故答案为：或． 考点讲练五 用一元一次不等式解决几何问题 【例5】（25-26八年级上·全国·单元测试）等腰三角形的边长是整数，周长是10，则这样的等腰三角形的个数是（   ） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【答案】C 【分析】设等腰三角形的腰长为x，底边长为y，根据题意，得，结合三角形三边数量关系得，转化为不等式，求正整数解即可． 本题考查了等腰三角形的性质，三角形三边关系定理，不等式的应用，整数解的计算，熟练掌握性质是解题的关键． 【详解】解：设等腰三角形的腰长为x，底边长为y， 根据题意，得， 由三角形三边数量关系得， 故， 故， 解得，又y是整数， 故， 又， 故， 故或， 都满足三角形三边关系定理， 故有2个等腰三角形． 故选：C． 【变式】（24-25八年级下·福建厦门·期末）若关于x的不等式（k，b为常数，）的解集是．若在一次函数的图象上，其中，请写出一个可能符合条件的点M______． 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题主要考查了一元一次不等式解集的几何意义和一次函数图像上点的坐标特征，通过不等式确定，且，假如，则，得出一次函数解析式，再取，即可得出n的值． 【详解】解：，即， ∵关于x的不等式的解集是．不等号改变符号， ∴，且， 假如，则， 此时函数表达式为：， 取，则， 则， 故答案为：（答案不唯一） 考点讲练六 根据两条直线的交点求不等式的解集 【例6】（25-26八年级下·上海青浦·期中）已知：如图，一次函数与的图象相交于点． (1)求点的坐标； (2)若一次函数与的图象与轴分别相交于点、，求的面积； (3)结合图象，直接写出时，的取值范围． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）联立两个函数的解析式，求出交点坐标； （2）分别求出点和点的坐标，再求出的面积； （3）利用图象判断时，的取值范围． 【详解】（1）解：联立一次函数与，得， ， 解得， ∴点的坐标为； （2）解：将代入，得， ∴点的坐标为， 将代入，得， ∴点的坐标为， ∴， ∴； （3）解：由图象可知，在点以及点的右侧，的图象不高于的图象， ∴当时，的取值范围为． 【变式】（25-26八年级下·陕西咸阳·期中）如图，在平面直角坐标系中，直线与直线的交点为，则关于x的不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先利用直线的解析式确定点A坐标，然后结合函数特征写出不等式的解集即可． 【详解】解：把代入得， 解得， 结合图象可得：当时，． 考点讲练七 求一元一次不等式组的整数解 【例7】（25-26八年级下·辽宁沈阳·期中）解不等式组，并求出它的所有整数解． 【答案】，整数解为，0，1，2 【分析】先分别求出各不等式的解集，然后确定不等式组的解，最后根据不等式组的解集确定所有整数解即可． 【详解】解：， 解不等式①可得：； 解不等式②可得：； 所以该不等式组的解集为， 所以该不等式组的所有整数解为，0，1，2． 【变式】（2026·重庆綦江·二模）求不等式组：的所有非负整数解． 【答案】非负整数解为0，1 【分析】先求出两个不等式的解集，再得出不等式组的解集，最后写出非负整数解即可． 【详解】解： 解不等式①，得， 解不等式②，得， ∴， ∴， 所有非负整数解为0，1． 考点讲练八 由一元一次不等式组的解集求参数 【例8】（25-26八年级下·江西九江·期中）已知关于，的二元一次方程组的解满足不等式． (1)求实数的取值范围． (2)若不等式的解集为，请求出整数的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）将方程组的两个方程相加，得到关于的表达式，结合列出关于的不等式，求解即可得到的取值范围； （2）根据不等式的解集为，结合不等式的性质得到，求解得到的范围，再结合（1）的结论，找出范围内的整数即可． 【详解】（1） 解： ， 得， 两边同除以，得， ， ，解得； （2）解：不等式的解集为， ，解得， 结合（1）的结论，得， 该范围内的整数为． 【变式】（25-26八年级下·四川成都·期中）若关于x的不等式有且只有3个整数解，则a的取值范围是______． 【答案】 【分析】先分别求解不等式组中的两个不等式，得到不等式组的解集，再根据不等式组有且只有3个整数解，确定的取值范围． 【详解】解： 解不等式①得：， 解不等式②得： ， 不等式组的解集为 ； 不等式组有且只有3个整数解， 3个整数解为，可得：， 不等式两边同乘得：， 移项得：， 系数化为得：． 考点讲练九 由不等式组解集的情况求参数 【例9】（25-26八年级下·广东深圳·期中）若关于x的不等式组无解，则m的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先解两个不等式组，再依据不等式组无解可以得出的取值范围． 【详解】解：， 解不等式①，得， 解不等式②，得， ∵不等式组无解， ∴， 解得． 【变式】（25-26八年级下·内蒙古乌兰察布·期中）已知关于x的不等式组无解，则a的取值范围是__________． 【答案】 【分析】先分别解出不等式组中两个不等式的解集，再根据“不等式组无解”的条件，即两个解集没有公共部分，列出关于的不等式，求解即可． 【详解】解：解不等式：， ， ； 解不等式：， ， 不等式组无解， ， 解得． 1．（25-26八年级下·辽宁沈阳·期中）已知关于x的不等式组的解集为，则的值为（   ） A．3 B． C．1 D． 【答案】B 【分析】先分别求解不等式组中的两个不等式，结合已知解集求出a和b的值，再代入计算即可得到结果． 【详解】解：解不等式，得； 解不等式，得． ∵不等式组的解集为， ∴， 解得， 所以． 2．（25-26八年级下·河南郑州·期中）如图，已知直线与直线交于点，则关于的不等式的解集为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】从函数图象的角度看，求关于的不等式的解集就是确定直线在上方部分对应x的取值范围．因此先将点代入函数，求出n的值，再根据图象即可解答． 【详解】解：∵直线过点 ∴，解得， ∴直线与直线交于点， ∴由图象可得，关于的不等式的解集为． 3．（25-26八年级下·广东江门·期中）已知不等式的解集是，下列有可能是函数的图象的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据一次函数的定义进行判断即可． 【详解】解：不等式的解集是， 直线与轴交点为且随增大而减小，即C选项符合题意． 4．（25-26八年级下·上海青浦·期中）如图，直线的图象经过点，当时，x的取值范围是______． 【答案】 【分析】根据函数图象可知，直线与轴交于点，观察轴上方的图象对应的自变量的取值范围即可； 【详解】解：由图象可知，直线与轴的交点坐标为， 当时，函数图象在轴上方，即， 所以当时，的取值范围是． 5．（25-26八年级下·宁夏银川·期中）若不等式组的解集是，则______． 【答案】1 【分析】先求出两个不等式的解集，再结合不等式组的解集列出关于、的方程，求出、的值，继而代入计算即可． 【详解】解：解不等式，得 ， 解不等式，得 ， 不等式组的解集为， ，， 解得，， ． 6．（25-26八年级下·四川成都·阶段检测）若关于的一元一次不等式组恰有3个整数解，那么的取值范围是_________． 【答案】 【分析】先分别求解每个不等式，得到不等式组的解集，再根据整数解的个数确定的取值范围即可． 【详解】解： 解不等式①，移项得，系数化为得， 解不等式②得， 原不等式组的解集为， 不等式组恰有个整数解，整数解为， 的取值范围是． 7．（25-26八年级下·广东深圳·期中）一次函数与的图象如图所示，则的解集是______． 【答案】 【详解】解：由图象可知，的解集，即的解集为. 8．（25-26八年级下·内蒙古·期中）计算 (1)在等腰三角形中，，的周长是20，底边的长为y，腰长为x．求y关于x的函数表达式以及自变量x的取值范围； (2)我校举办的“新时代好少年”演讲比赛中，六位评委给小华的评分分别为（单位：分）：8，7.5，9.5，8.5，8.5，9，求小华此次演讲比赛得分的离差平方和． 【答案】(1)，自变量x的取值范围是 (2)2.5 【分析】（1）根据三角形的周长公式求出关于的函数表达式，再根据三角形三边关系以及边长大于0即可求出自变量的取值范围； （2）先求出小华此次演讲比赛得分的平均数，再运用离差平方和的定义即可求解． 【详解】（1）解：∵等腰的周长是20，底边的长为，腰长为， ∴， ∴， 由题意得，，即， 解得； ∴关于的函数表达式为，自变量的取值范围为； （2）解：小华此次演讲比赛得分的平均数为（分）， 则小华此次演讲比赛得分的离差平方和为． 9．（25-26八年级下·四川成都·阶段检测）解不等式（组）： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到确定不等式组的解集； （2）分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到确定不等式组的解集． 【详解】（1）解：解不等式①可得：， 解不等式②可得：， ∴不等式组的解集为； （2）解：解不等式①可得：， 解不等式②可得：， ∴不等式组的解集为． 10．（2024·上海闵行·二模）某条东西方向道路双向共有三条车道，在早晚高峰经常会拥堵，数学研究小组希望改善道路拥堵情况．他们对该路段的交通量（辆/分钟）和时间进行了统计和分析，得到下列表格，并发现时间和交通量的变化规律符合一次函数的特征． 时间 8时 11时 14时 17时 20时 自西向东交通量（辆/分钟） 10 16 22 28 34 自东向西交通量（辆/分钟） 25 22 19 16 13 (1)请用一次函数分别表示、与之间的函数关系．（直接写出结果，不写自变量取值范围） (2)如图，同学们希望设置可变车道来改善拥堵状况，根据车流量情况改变可变车道的行车方向．单位时间内双向交通总量为，车流量大的方向交通量为，经查阅资料得：当，需要使可变车道行车方向与拥堵方向相同，以改善交通情况．该路段从8时至20时，如何设置可变车道行车方向以缓解交通拥堵，并说明理由．    (3)当且时，直接写出时间的取值范围_____． 【答案】(1)； (2)8时到9时，可变车道行车方向必须自东向西，18时到20时，可变车道行车方向必须自西向东，理由见解析 (3) 【分析】（1）利用待定系数法求解即可； （2）根据，求出关于的函数关系式，分，两种情况讨论，即可； （3）分，两种情况讨论，即可． 【详解】（1）解：设与之间的函数关系式为， 把点代入得： ，解得：， ∴与之间的函数关系式为； 设与之间的函数关系式为， 把代入得： ，解得：， ∴与之间的函数关系式为； （2）解：8时到9时，可变车道行车方向必须自东向西，18时到20时，可变车道行车方向必须自西向东，理由如下： 根据题意得，早晚高峰的时间是8时到20时之间， 由（1）得：， 当时，， 解得：， 当时，， 解得：， 综上所述，8时到9时，可变车道行车方向必须自东向西，18时到20时，可变车道行车方向必须自西向东； （3）解：当时，此时 ， 解得：； 当时， 此时， 解得：， 综上所述，当且时，时间的取值范围． 1 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $