杨辉三角的性质与应用 知识归纳与试题检测-2025-2026学年高二下学期数学人教A版选择性必修第三册

杨辉三角的性质与应用 知识归纳与试题检测(学生版) 【1】教材知识归纳 杨辉是我国古代数学史上一位著述丰富的数学家，著有《详解九章算法》､《日用算法》和《杨辉算法》，杨辉在1261年所著的《详解九章算法》给出了如下图1所示的表，我们称这个表为杨辉三角，图2是杨辉三角的数字表示，杨辉三角的发现要比欧洲早500年左右，由此可见我国古代数学的成就是非常值得中华民族自豪的.    杨辉三角本身包含了很多有趣的性质，利用这些性质，可以解决很多数学问题.. （1）（对称性）横行中与首末两端等距离的两个数相等，即； （2）（递归性）除1以外的任何一个数都等于它肩上的两个数之和，即； （3）任何一横行所有数之和等于2的行数的乘方，即； 以上三个性质就是组合数的性质一、性质二和二项式系数总和公式． （4）同一行上的奇、偶数位上各数之和分别相等，即 （5）n阶杨辉三角共有个数． （6）n阶杨辉三角所有数之和为：． （7）杨辉三角第1、3、7、15，…行，即第行（k是正整数）各个数字都是奇数，即（，1，2，…，，）是奇数． （8）杨辉三角中斜线指示数字和组成一个数列：1，1，2，3，5，8，13，21，34，…． 此数列：，，且（）． （9）：杨辉三角的第行就是的展开式的二项式系数；； （10）：自腰上的某个1开始平行于腰的一条线上的连续个数的和等于最后一个数斜右下方的那个数，比如： 【2】基于教材的检测题 一、单选题 1．“杨辉三角”又称“帕斯卡三角”，是中国古代数学文化的瑰宝之一，最早出现在中国南宋数学家杨辉于1261年所著的《详解九章算法》一书中，是二项式系数在三角形中的一种几何排列，观察杨辉三角的相邻两行，可以发现，三角形的两个腰上的数都是1，其余的数都等于它肩上的两个数相加，其中杨辉三角的最上方的数字1表示第0行，则第9行第9个数是（   ）    A．8 B．9 C．10 D．15 2．当时，将三项式展开，可得到如图所示的三项展开式和“广义杨辉三角形”： 若在的展开式中， 的系数为，则实数的值为（    ） A．1 B． C．2 D． 3．我国南宋数学家杨辉所著的《详解九章算法》一书中，记录了如图所示的“杨辉三角” ．若将这些数字依次排列构成数列1，1，1，1，2，1，1，3，3，1，1，4，6，4，1，…，则此数列的第项为（    ） A． B． C． D． 4．我国南宋数学家杨辉1261年所著的《详解九章算法》一书中展示了二项式系数表，数学爱好者对杨辉三角做了广泛的研究，则下列结论错误的是（    ） A． B．第6行､第7行､第8行的第7个数之和为第9行的第8个数 C．第12行中从左到右第2个数与第3个数之比为 D．第2020行的第1010个数最大 5．如图，在“杨辉三角”中从左往右第3斜行的数构成一个数列：，则该数列前10项的和为（   ） A．66 B．120 C．165 D．220 6．我国南宋数学家杨辉1261年所著的《详解九章算法》一书中，记载了如图所示的数表，即杨辉三角，这是数学史上的一个伟大成就.在“杨辉三角”中，已知第行的所有数字之和为，若去除所有为1的项，依次构成数列2，3，3，4，6，4，5，10，10，5，…，则此数列的前35项和为（    ） A．996 B．995 C．1014 D．1024 7．我国南宋数学家杨辉1261年所著的《详解九章算法》一书中展示了二项式系数表．数学爱好者对杨辉三角做了广泛的研究．下列结论不正确的是（   ） A． B．第2025行的第1013个数和第1014个数相等 C．在杨辉三角中，第行所有数字的平方和恰好是第行的中间一项的数字 D．记杨辉三角中第行的第个数为，则 8．如图所示为莱布尼茨三角形，该三角形具有很多优美的性质．如果，，则下列结论中正确的是（   ） A．第6行第4个数是 B．当时，中间一项为 C．当时，中间的两项相等，且同时取得最大值 D．（，） 二、多选题 9．我国南宋数学家杨辉首先发现了二项式系数的性质，并把系数写成一张表，后人称为杨辉三角，如图所示，关于杨辉三角正确的是（    ） A． B． C． D． 10．“杨辉三角”是中国古代数学文化的瑰宝之一，它揭示了二项展开式中的各项系数在三角形数表中的一种几何排列规律，如图所示，下列说法正确的（    ） A．第8行的第8个数是8 B．第2026行中，第1014个数最大 C．第10行中，第5个数与第6个数之比为 D．第行所有数字的平方和为 11．我国南宋数学家杨辉1261年所著的《详解九章算法》一书里出现了杨辉三角，杨辉三角是中国数学史上一项重要研究成果.从不同的角度观察杨辉三角，能得到很多优美的规律，如图是一个7阶的杨辉三角，则下列说法正确的是（   ） A． B．第行所有数字之和为 C．第行的第个数最大 D．第行中从左到右第个数与第个数之比为 三、填空题 12．如图，在由二项式系数所构成的杨辉三角形中，第______行中从左至右第8与第9个数的比为. 13．“杨辉三角”是数学史上的一个伟大成就．在如图所示的“杨辉三角”中，去掉所有的数字1，余下的数逐行从左到右排列，得到数列为2，3，3，4，6，4，5，10，…，若，，则的最大值为________． 14．如图所示，在杨辉三角中，斜线上方箭头所示的数组成一个锯齿形的数列：，，，，，，，记这个数列前项和为，则__________． 15．“杨辉三角”是中国古代数学文化的瑰宝之一，最早出现在南宋数学家杨辉于1261年所著的《详解九章算法》一书中.“杨辉三角”揭示了二项式系数在三角形数表中的一种几何排列规律（如图所示），则“杨辉三角”中第30行中第12个数与第13个数之比为__________. 16．杨辉三角是中国古代数学家杨辉杰出的研究成果之一. 如图，从杨辉三角的左腰上的各数出发，引一组平行线，则在第11条斜线上，最大的数是_____________. 17．杨辉是中国南宋末年的一位杰出的数学家、教育家．杨辉三角是杨辉的一项重要研究成果，它的许多性质与组合数的性质有关，杨辉三角中蕴藏了许多规律，如图是一个5阶杨辉三角． 若第行中从左到右第3个数与第5个数的比为，则的值为______． 18．“杨辉三角”揭示了二项式展开式中的组合数在三角形数表中的一种几何排列规律，如图所示，则在第10行中最大数为___________． 四、解答题 19．早在南宋时期，我国数学家杨辉在1261年所著《详解九章算法》一书里，就记载着下表： 这个表称杨辉三角，它比欧洲发现此表的法国数学家帕斯卡至少要早五百年，由此可见，我国古代数学的成就是非常值得我们自豪的． 通过观察杨辉三角数表你能发现它有哪些基本规律？它反映了组合数的哪些基本性质？ 20．在杨辉三角形中，每一行除首末两个数之外，其余每个数都等于它肩上的两数之和. (1)试用组合数表示这个一般规律; (2)试探究在杨辉三角形的某一行能否出现三个连续的数，使它们的比是3∶4∶5，并证明你的结论. 五、未知 21．杨辉三角的性质 （1）每一行都是______，且两端的数都是____ （2）从第三行起，不在两端的任意一个数，都等于上一行中与这个数___________之和. （3）对于给定的n来说，其二项式系数满足______、_______的特点． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 杨辉三角的性质与应用 知识归纳与试题检测(详解版) 【1】教材知识归纳 杨辉是我国古代数学史上一位著述丰富的数学家，著有《详解九章算法》､《日用算法》和《杨辉算法》，杨辉在1261年所著的《详解九章算法》给出了如下图1所示的表，我们称这个表为杨辉三角，图2是杨辉三角的数字表示，杨辉三角的发现要比欧洲早500年左右，由此可见我国古代数学的成就是非常值得中华民族自豪的.    杨辉三角本身包含了很多有趣的性质，利用这些性质，可以解决很多数学问题.. （1）（对称性）横行中与首末两端等距离的两个数相等，即； （2）（递归性）除1以外的任何一个数都等于它肩上的两个数之和，即； （3）任何一横行所有数之和等于2的行数的乘方，即； 以上三个性质就是组合数的性质一、性质二和二项式系数总和公式． （4）同一行上的奇、偶数位上各数之和分别相等，即 （5）n阶杨辉三角共有个数． （6）n阶杨辉三角所有数之和为：． （7）杨辉三角第1、3、7、15，…行，即第行（k是正整数）各个数字都是奇数，即（，1，2，…，，）是奇数． （8）杨辉三角中斜线指示数字和组成一个数列：1，1，2，3，5，8，13，21，34，…． 此数列：，，且（）． （9）：杨辉三角的第行就是的展开式的二项式系数；； （10）：自腰上的某个1开始平行于腰的一条线上的连续个数的和等于最后一个数斜右下方的那个数，比如： 【2】基于教材的检测题 一、单选题 1．“杨辉三角”又称“帕斯卡三角”，是中国古代数学文化的瑰宝之一，最早出现在中国南宋数学家杨辉于1261年所著的《详解九章算法》一书中，是二项式系数在三角形中的一种几何排列，观察杨辉三角的相邻两行，可以发现，三角形的两个腰上的数都是1，其余的数都等于它肩上的两个数相加，其中杨辉三角的最上方的数字1表示第0行，则第9行第9个数是（   ）    A．8 B．9 C．10 D．15 【答案】B 【知识点】组合数的计算、杨辉三角 【分析】根据杨辉三角中的数字规律及组合数计算即可求解. 【详解】由杨辉三角知：第1行：，， 第2行：，，， 第3行：，，，， 第4行：，，，，， 由此可得第行，第个数为， 所以第9行第9个数是. 故选：B. 2．当时，将三项式展开，可得到如图所示的三项展开式和“广义杨辉三角形”： 若在的展开式中， 的系数为，则实数的值为（    ） A．1 B． C．2 D． 【答案】B 【知识点】由项的系数确定参数 【分析】利用广义杨辉三角，求出的展开式，再分析的项即可得解. 【详解】由广义杨辉三角，得:， 所以的展开式中，项为， 所以解得 故选：B. 3．我国南宋数学家杨辉所著的《详解九章算法》一书中，记录了如图所示的“杨辉三角” ．若将这些数字依次排列构成数列1，1，1，1，2，1，1，3，3，1，1，4，6，4，1，…，则此数列的第项为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】求等差数列前n项和、杨辉三角 【分析】根据“杨辉三角”的性质、等差数列求和公式及组合数判断即可. 【详解】由“杨辉三角”可知：第一行个数，第二行个数，...，第行个数， 所以前行共有：个数，当时，，又， 所以第项是第行的第个数字，即为， 故选：D. 4．我国南宋数学家杨辉1261年所著的《详解九章算法》一书中展示了二项式系数表，数学爱好者对杨辉三角做了广泛的研究，则下列结论错误的是（    ） A． B．第6行､第7行､第8行的第7个数之和为第9行的第8个数 C．第12行中从左到右第2个数与第3个数之比为 D．第2020行的第1010个数最大 【答案】D 【知识点】组合数的计算、杨辉三角、二项式的系数和 【分析】对于ABC选项，都可以对照图表与二项式系数的关系，即可得到判断；对于D选项，则需要找到二项式系数的规律分析即可或直接运用二项式系数的性质直接判断，如第2020行的二项式系数是，根据二项式系数的性质最大的是，从而判断是第1011项． 【详解】对于：因为，所以，故正确； 对于：第6行，第7行，第8行的第7个数字分别为：，其和为；而第9行第8个数字就是36，故B正确； 对于C：依题意：第12行从左到右第2个数为，第12行从左到右第3个数为，所以第12行中从左到右第2个数与第3个数之比为，故C正确； 对于D：由图可知：第行有个数字，如果是偶数，则第（最中间的）个数字最大；如果是奇数，则第和第个数字最大，并且这两个数字一样大，所以第2020行的第1011个数最大，故D错误. 故选:D. 5．如图，在“杨辉三角”中从左往右第3斜行的数构成一个数列：，则该数列前10项的和为（   ） A．66 B．120 C．165 D．220 【答案】D 【知识点】杨辉三角、组合数的性质及应用 【分析】由题意可知：前10项分别为，结合组合数的性质运算求解. 【详解】由题意可知：前10项分别为， 则 ， 所以前10项的和为220. 故选：D． 6．我国南宋数学家杨辉1261年所著的《详解九章算法》一书中，记载了如图所示的数表，即杨辉三角，这是数学史上的一个伟大成就.在“杨辉三角”中，已知第行的所有数字之和为，若去除所有为1的项，依次构成数列2，3，3，4，6，4，5，10，10，5，…，则此数列的前35项和为（    ） A．996 B．995 C．1014 D．1024 【答案】B 【知识点】杨辉三角、求等比数列前n项和 【分析】明确杨辉三角每行数字个数及规律以及去掉1后每行数字个数规律，然后确定所求数列前35项在杨辉三角中的位置，利用等比数列求和公式求杨辉三角前行和，再去掉1的个数及第10行对应部分和，从而得到所求数列前35项和. 【详解】杨辉三角第行有个数，且数字之和为，去除两端的1后，第行剩余个数. 第2行去掉1后无数字，第3行去掉1后剩余1个数字，第4行去掉1后剩余2个数字，， 第行去掉1后剩余个数字； 那么， 当时，，即前9行去掉1后有28个数. 所以此数列的前35项应包含第10行前7个数字. 杨辉三角前行和为， 前9行和为，而前9行中两端的1共有（第1行1个，后面8行各2个）. 第10行数字为1，9，36，84，126，126，84，36，9，1， 去除首尾的1后为9，36，84，126，126，84，36，9， 前7个数字和为. 所以此数列的前35项和为. 故选：B. 7．我国南宋数学家杨辉1261年所著的《详解九章算法》一书中展示了二项式系数表．数学爱好者对杨辉三角做了广泛的研究．下列结论不正确的是（   ） A． B．第2025行的第1013个数和第1014个数相等 C．在杨辉三角中，第行所有数字的平方和恰好是第行的中间一项的数字 D．记杨辉三角中第行的第个数为，则 【答案】D 【知识点】组合数的计算、组合数的性质及应用、二项式的系数和、杨辉三角 【分析】根据给定条件，利用组合数的性质判断AB；利用二项式定理推理判断CD. 【详解】对于A， ， A正确； 对于B，第2025行的第1013个数和第1014个数分别为，而，B正确； 对于C，第行所有数字的平方和， 第行的中间一项的数字是展开式中项的系数， 而， 又展开式中项的系数为， 因此，C正确； 对于D，因为，所以，D不正确. 故选：D 8．如图所示为莱布尼茨三角形，该三角形具有很多优美的性质．如果，，则下列结论中正确的是（   ） A．第6行第4个数是 B．当时，中间一项为 C．当时，中间的两项相等，且同时取得最大值 D．（，） 【答案】B 【知识点】组合数的计算、组合数的性质及应用 【分析】A选项，第6行第4个数是；B选项，当时，共有2025项，中间一项为第1013项，B正确；C选项，中间的两项相等，且同时取得最小值，C错误；D选项，第行相邻两个数的和等于这两个数头上的数，D错误. 【详解】A选项，第6行第4个数是，A错误； B选项，当时，共有2025项，中间一项为第1013项，即，B正确； C选项，当时，共有2026项，中间的两项相等，且同时取得最小值，C错误； D选项，，，从莱布尼茨三角形可以看出第行相邻两个数的和等于这两个数头上的数， 即，D错误. 故选：B 二、多选题 9．我国南宋数学家杨辉首先发现了二项式系数的性质，并把系数写成一张表，后人称为杨辉三角，如图所示，关于杨辉三角正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】ACD 【知识点】杨辉三角 【分析】根据杨辉三角的性质可得，，进而判断各选项即可. 【详解】根据杨辉三角的性质：，，所以选项A正确，B错误； 当时， ，选项C正确； 当时， ，选项D正确． 故选：ACD． 10．“杨辉三角”是中国古代数学文化的瑰宝之一，它揭示了二项展开式中的各项系数在三角形数表中的一种几何排列规律，如图所示，下列说法正确的（    ） A．第8行的第8个数是8 B．第2026行中，第1014个数最大 C．第10行中，第5个数与第6个数之比为 D．第行所有数字的平方和为 【答案】ABD 【知识点】二项式系数的增减性和最值、杨辉三角 【分析】根据杨辉三角的规律以及组合数的性质逐一进行判断即得. 【详解】对于选项A，依题意，第8行的第8个数是，所以A正确； 对于选项B，由题图可知，第行有个数字，如果是奇数， 则第和第个数字最大，且这两个数字一样大； 如果是偶数，则第个数字最大， 故第2026行中，第1014个数最大，故B正确； 对于选项C，第10行是的展开式的二项式系数， 所以第5个数与第6个数之比为，故C错误； 对于选项D，由题易知，第行所有数字的平方和为， 构造等式， 在等式左边展开式中的系数为 ， 等式右边展开式中的系数为， 故第行所有数字的平方和为，故D正确. 故选：ABD. 11．我国南宋数学家杨辉1261年所著的《详解九章算法》一书里出现了杨辉三角，杨辉三角是中国数学史上一项重要研究成果.从不同的角度观察杨辉三角，能得到很多优美的规律，如图是一个7阶的杨辉三角，则下列说法正确的是（   ） A． B．第行所有数字之和为 C．第行的第个数最大 D．第行中从左到右第个数与第个数之比为 【答案】ABD 【知识点】杨辉三角 【分析】对于A，利用组合数运算公式计算；对于B，根据杨辉三角的每行系数和为即可；对于C，由杨辉三角图可知，第行有个数字，如果是奇数，则第和第个数字最大，且这两个数字一样大；如果是偶数，则第个数字最大；对于D，第行第个数为，第个数为，作比较即可. 【详解】对于A，，故A正确； 对于B，由杨辉三角的每行系数和性质可知， 第行所有数字之和为， 第行所有数字之和为， 第行所有数字之和为， 第行所有数字之和为， 第行所有数字之和为， 以此类推，第行所有数字之和为，故B正确； 对于C，由杨辉三角图可知，第行有个数字， 如果是奇数，则第和第个数字最大，且这两个数字一样大； 如果是偶数，则第个数字最大，故第行的第个数最大，故C错误； 对于D，由题意，第行，第个数为， 第个数为，即，故D正确； 故选：ABD. 三、填空题 12．如图，在由二项式系数所构成的杨辉三角形中，第______行中从左至右第8与第9个数的比为. 【答案】31 【知识点】杨辉三角、组合数的计算 【分析】根据第行中从左至右第8个数与第9个数的比为，可以列出关于的等式，进而可解得正整数的值. 【详解】第行从左到右第8个数为，第9个数为， 依题意得，即，解得. 故答案为：31. 13．“杨辉三角”是数学史上的一个伟大成就．在如图所示的“杨辉三角”中，去掉所有的数字1，余下的数逐行从左到右排列，得到数列为2，3，3，4，6，4，5，10，…，若，，则的最大值为________． 【答案】 【知识点】杨辉三角 【分析】根据“杨辉三角”确定的位置，再分析出去掉所有的之后的位置，从而得到的最大值. 【详解】依据“杨辉三角”的分布规律及可知最后一个出现在第行的第个数， 去掉所有之后是第行第个数，所以的最大值为， 故答案为：. 14．如图所示，在杨辉三角中，斜线上方箭头所示的数组成一个锯齿形的数列：，，，，，，，记这个数列前项和为，则__________． 【答案】 【知识点】组合数的计算、杨辉三角 【分析】由组合数的运算性质即可求解. 【详解】解：由“杨辉三角”性质，得： ． 故答案为：799 15．“杨辉三角”是中国古代数学文化的瑰宝之一，最早出现在南宋数学家杨辉于1261年所著的《详解九章算法》一书中.“杨辉三角”揭示了二项式系数在三角形数表中的一种几何排列规律（如图所示），则“杨辉三角”中第30行中第12个数与第13个数之比为__________. 【答案】 【知识点】求指定项的二项式系数、杨辉三角 【分析】利用二项式系数表示第30行第12和第13个数，再根据组合数公式，即可求解. 【详解】第30行中第12个数与第13个数之比为 . 故答案为： 16．杨辉三角是中国古代数学家杨辉杰出的研究成果之一. 如图，从杨辉三角的左腰上的各数出发，引一组平行线，则在第11条斜线上，最大的数是_____________. 【答案】35 【知识点】杨辉三角 【分析】根据杨辉三角的规律再向下写出3行，找出第11条斜线上的数，比较大小可得答案. 【详解】杨辉三角第8行的数据为：1  7  21  35  35  21  7  1， 第9行的数据为：1  8  28  56  70  56  28  8  1， 第10行的数据为：1  9  36  84  126  126  84  36  9  1， 第11条斜线上的数为：1  9  28  35  15  1，所以最大的数是35. 故答案为：35 17．杨辉是中国南宋末年的一位杰出的数学家、教育家．杨辉三角是杨辉的一项重要研究成果，它的许多性质与组合数的性质有关，杨辉三角中蕴藏了许多规律，如图是一个5阶杨辉三角． 若第行中从左到右第3个数与第5个数的比为，则的值为______． 【答案】 【知识点】组合数方程和不等式、杨辉三角 【分析】根据杨辉三角数字规律得到，再由组合数公式计算可得. 【详解】依题意可知第行的数从左到右分别为， 所以，即，得，解得或（舍去）， 所以的值为. 故答案为： 18．“杨辉三角”揭示了二项式展开式中的组合数在三角形数表中的一种几何排列规律，如图所示，则在第10行中最大数为___________． 【答案】252 【知识点】二项式系数的增减性和最值、杨辉三角 【分析】根据给定的“杨辉三角”，第10行中各数是二项式展开式的二项式系数，再利用二项式系数的性质求解即得. 【详解】依题意，第10行中各数是二项式展开式的二项式系数，最大数为. 故答案为：252 四、解答题 19．早在南宋时期，我国数学家杨辉在1261年所著《详解九章算法》一书里，就记载着下表： 这个表称杨辉三角，它比欧洲发现此表的法国数学家帕斯卡至少要早五百年，由此可见，我国古代数学的成就是非常值得我们自豪的． 通过观察杨辉三角数表你能发现它有哪些基本规律？它反映了组合数的哪些基本性质？ 【答案】答案见解析 【知识点】杨辉三角、二项式定理与数列求和 【分析】根据对称性、且两端为1结合组合数的性质、行列之间的关系、组合数求和等可解. 【详解】解：杨辉三角用组合数形式数表为                   由观察杨辉三角知这张数表有如下基本性质（n，，，）： 20．在杨辉三角形中，每一行除首末两个数之外，其余每个数都等于它肩上的两数之和. (1)试用组合数表示这个一般规律; (2)试探究在杨辉三角形的某一行能否出现三个连续的数，使它们的比是3∶4∶5，并证明你的结论. 【答案】(1)且， (2)答案见解析 【知识点】组合数方程和不等式、杨辉三角 【分析】（1）根据杨辉三角各数之间的关系，应用组合数写出它们的数量关系即可. （2）设，应用组合数列方程求参数，即可得结果. 【详解】（1）第2行：， 第3行：，， 第4行：，，， …… 第行：且，. （2）设， 由，得，即， 由，得，即， 由上式得：，即. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $