利用二项式定理解决整除问题专项训练-2025-2026学年高二下学期数学人教A版选择性必修第三册

利用二项式定理解决整除问题专项训练（详解版） 一、单选题 1．被8除的余数为（    ） A．2 B．4 C．6 D．7 【答案】C 【知识点】整除和余数问题 【分析】利用二项式定理求解. 【详解】， 显然中每一项都是8的倍数，因此代数和能被8整除，而除以8后余数为6， 所以被8除的余数为6， 故选：C. 2．若，且，若能被9整除，则的值为（    ） A．1 B．3 C．6 D．8 【答案】A 【知识点】整除和余数问题 【分析】变形，写出通项，根据通项可知，除不能被9整除，其他项均能被9整除，进而只需满足能被9整除，即可根据的取值范围得出答案. 【详解】因为， 所以该二项展开式的通项为， 当时，能被9整除， 但时，不能被9整除， 要使能被9整除，则能被9整除， 因为，所以， ，即. 故选：A. 3．若的展开式中，各项的二项式系数之和为128，系数和为，则除以13的余数是（   ） A．0 B．3 C．10 D．11 【答案】C 【知识点】整除和余数问题 【分析】根据二项式系数之和求出的值，再根据系数和求出的值，最后计算除以的余数. 【详解】由二项式系数和，得 代入，得，解得： 计算除以： 先把写成，则 根据二项式定理得： 除了这项外，其余项都含有因数能被整除 所以除以余数和除以余数相同 除以商余， 所以除以余数是 故选：C. 4．的小数点后第二位的数字是（    ） A．0 B．1 C．2 D．5 【答案】A 【知识点】整除和余数问题 【分析】根据二项式定理展开后进行估值运算即可. 【详解】 故小数点后第二位的数字是0. 故选：A. 5．已知今天是星期三，则过天后是（   ） A．星期二 B．星期三 C．星期四 D．星期五 【答案】C 【知识点】整除和余数问题 【分析】根据题意，结合二项展开式的性质，求得除以7的余数，进而得到答案. 【详解】由， 因为， 所以过除以7的余数为1，所以今天是星期三，过天后是星期四. 故选：C. 6．各种不同的进制在生活中随处可见，计算机使用的是二进制，数学运算一般使用的是十进制，任何进制数均可转换为十进制数，如六进制数转换为十进制数的算法为.若将六进制数转换为十进制数，则转换后的数被除所得的余数是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】整除和余数问题 【分析】利用等比数列求和公式将将六进制数转换为十进制数，再利用二项展开式可得出这个数被除所得的余数. 【详解】， 因为 ， 因为能被整除， 所以，将六进制数转换为十进制数，则转换后的数被除所得的余数是. 故选：D. 二、多选题 7．已知正整数x，n，其中x的因数不包含3，若的展开式中有且只有6项能被9整除，则n的取值可以是（    ） A．6 B．7 C．8 D．9 【答案】AB 【知识点】二项展开式的应用、求二项展开式的第k项、由项的系数确定参数、整除和余数问题 【分析】利用二项式定理及其通项公式分类讨论计算即可. 【详解】易知的展开式的第项为， 即当时必能被9整除，即至少有项可被9整除， 故转为研究当时是否满足题意， 当时，该项为，由于x的因数不含3，故无法被9整除； 当时，该项为， 若n为3的倍数，则该项可被9整除； 若时该项可被9整除，则共有n项可被9整除， 此时，为3的倍数，成立， 若时该项不可被9整除，则共有项可被9整除， 此时，符合题意. 综上，n可以为6或7. 故选：AB 8．中国南北朝时期的著作《孙子算经》中，对同余除法有较深的研究，设a，b，m（m>0）为整数，若a和b被m除得的余数相同，则称a和b对模m同余，记为a≡b（mod m）.如9和21除以6所得的余数都是3，则记为9≡21（mod 6）.若，a≡b（mod 10），则b的值可以是（     ）. A．2019 B．2023 C．2029 D．2033 【答案】AC 【知识点】求二项展开式、二项展开式的应用、整除和余数问题 【分析】先利用二项式定理化简得；再利用二项式定理将展开可得到a除以10所得的余数是9，进而可求解. 【详解】因为 所以a除以10所得的余数是9. 又因为a≡b（mod 10） 所以b除以10所得的余数是9. 而，，， 故选：AC. 9．设，且，若能被13整除，则a的值可以为（    ） A．0 B．11 C．12 D．25 【答案】CD 【知识点】整除和余数问题 【分析】化简，再利用二项式定理分析得解. 【详解】解：， 又52能被13整除， ∴需使能被13整除，即能被13整除， ∴，，又， ∴或25. 故选：CD． 三、填空题 10．正整数满足，则________． 【答案】2024 【知识点】整除和余数问题 【分析】将用二项式定理展开即可求出值. 【详解】 ， 所以. 故答案为：2024 11．若能被7整除，则的最小正整数取值为_____. 【答案】5 【知识点】整除和余数问题 【分析】先将进行变形，使其与建立联系，再根据整除的性质求出的最小正整数取值. 【详解】因为，而，所以. 根据二项式定理，将展开可得 除了最后一项外，其余各项都含有因数，都能被整除. 所以（其中为整数）. 因为能被整除， 14k能被整除，所以只要能被整除即可. 当时，，此时取最小正整数. 故答案为：5. 12．已知，则：被除的余数是__________． 【答案】 【知识点】整除和余数问题、二项展开式各项的系数和 【分析】令得，令得，即得，由，利用二项式定理展开即可求解. 【详解】因为， 所以令时，， 令时，， 所以， 又， 所以除以的余数是 故答案为： 四、解答题 13．已知，求证：能被64整除． 【答案】证明见解析 【知识点】整除和余数问题 【分析】由，应用二项式定理将其展开，即可证. 【详解】 ． 因为是整数， 所以能被64整除. 14．求除以19的余数． 【答案】5 【知识点】整除和余数问题 【分析】由并用二项式定理将其展开，即可得. 【详解】因为 ， 所以除以19的余数为5． 15．（1）证明：能被7整除． （2）求精确到0.01的近似值． 【答案】（1）证明见解析；（2） 【知识点】指数幂的化简、求值、整除和余数问题 【分析】（1）先对目标式合理变形，再利用二项式定理证明整除性即可. （2）对目标式合理变形，再利用二项式定理将其展开，忽略掉其他项，进而估值即可. 【详解】（1）由二项式定理得 ， 因为上式中每一项均能被7整除，所以能被7整除． （2）由二项式定理得， 可得第三项，以后各项的绝对值更小， 故． 16．（1）用二项式定理证明能被100整除； （2）求被100除所得的余数． 【答案】（1）证明见解析； （2）81． 【知识点】整除和余数问题 【分析】（1）由于，利用二项式公式展开可证得结论， （2），所以只需求最后一项除以100的余数，而，再通过分析后三项从而可求得结果 【详解】（1）因为 ． 故能被100整除． （2）， 因为展开式中前92项均能被100整除，所以只需求最后一项除以100的余数． 又． 前91项均能被100整除，后两项和为－919，因余数为正， 可从前面的数中分离出1000， 结果为， 故被100除所得的余数为81． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 利用二项式定理解决整除问题专项训练（学生版） 一、单选题 1．被8除的余数为（    ） A．2 B．4 C．6 D．7 2．若，且，若能被9整除，则的值为（    ） A．1 B．3 C．6 D．8 3．若的展开式中，各项的二项式系数之和为128，系数和为，则除以13的余数是（   ） A．0 B．3 C．10 D．11 4．的小数点后第二位的数字是（    ） A．0 B．1 C．2 D．5 5．已知今天是星期三，则过天后是（   ） A．星期二 B．星期三 C．星期四 D．星期五 6．各种不同的进制在生活中随处可见，计算机使用的是二进制，数学运算一般使用的是十进制，任何进制数均可转换为十进制数，如六进制数转换为十进制数的算法为.若将六进制数转换为十进制数，则转换后的数被除所得的余数是（   ） A． B． C． D． 二、多选题 7．已知正整数x，n，其中x的因数不包含3，若的展开式中有且只有6项能被9整除，则n的取值可以是（    ） A．6 B．7 C．8 D．9 8．中国南北朝时期的著作《孙子算经》中，对同余除法有较深的研究，设a，b，m（m>0）为整数，若a和b被m除得的余数相同，则称a和b对模m同余，记为a≡b（mod m）.如9和21除以6所得的余数都是3，则记为9≡21（mod 6）.若，a≡b（mod 10），则b的值可以是（     ）. A．2019 B．2023 C．2029 D．2033 9．设，且，若能被13整除，则a的值可以为（    ） A．0 B．11 C．12 D．25 三、填空题 10．正整数满足，则________． 11．若能被7整除，则的最小正整数取值为_____. 12．已知，则：被除的余数是__________． 四、解答题 13．已知，求证：能被64整除． 14．求除以19的余数． 15．（1）证明：能被7整除． （2）求精确到0.01的近似值． 16．（1）用二项式定理证明能被100整除； （2）求被100除所得的余数． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $