第8章 整式乘法与因式分解 章节复习讲义（19知识详解+44典例分析）2025-2026学年（沪科版）七年级数学下册同步讲义与测试

第8章 整式乘法与因式分解 章节（19知识详解+44典例分析） 【知识点01】同底数幂的乘法 1.   幂的运算性质 1(同底数幂的乘法法则)  同底数幂相乘，底数不变，指数相加 . 用字母表示： am· an=am+n( m， n 都是正整数) . 示例： (m， n 都是正整数) 2. 运算性质的拓展运用 (1)同底数幂的乘法运算性质对于三个及三个以上同底数幂相乘同样适用，即am·an·…·ap=am+n+…+p(m，n，…，p 都是正整数). (2)同底数幂的乘法运算性质既可正用也可逆用，即am+n=am·an(m、n 都是正整数). 【知识点02】幂的乘方 1.幂的运算性质 2(幂的乘方) 幂的乘方，底数不变，指数相乘. 2. 运算性质的拓展运用 (1)幂的乘方运算性质的推广：［()］p=(m、n、p 都是正整数)； (2)幂的乘方运算性质既可以正用，也可以逆用，逆用时=()=()(m、n 都是正整数). 【知识点03】积的乘方 1.幂的运算性质 3(积的乘方) 积的乘方等于各因式乘方的积 . 用字母表示:(ab) n=anbn( n 为正整数) . 2.运算性质的拓展运用 (1)积的乘方运算性质的推广：(abc)n=anbncn(n 为正整数)； (2)积的乘方运算性质既可以正用，也可以逆用，逆用时anbn=(ab)n(n 为正整数). 【知识点04】同底数幂的除法 1.幂的运算性质 4(同底数幂的除法)同底数幂相除，底数不变，指数相减. 用字母表示：am÷an=am-n(a ≠ 0，m、n 是正整数，且m>n). 2. 运算性质的拓展运用 (1)运算性质的推广： 适用于三个及三个以上的同底数幂相除， 即am÷an÷ap=am-n-p(a ≠ 0，m、n、p 是正整数，且m>n+p)； (2)同底数幂的除法法则既可以正用，也可以逆用， 即am-n=am÷an(a ≠ 0，m、n 是正整数，且m>n). 【知识点05】零次幂 1.零次幂的推导：同底数幂相除，如果被除式的指数等于除式的指数，例如 am÷ am，那么根据除法的意义可知所得的商为 1. 另一方面，如果依照同底数幂的除法法则来计算，那么又有 am÷ am=am-m=a0，故 a0=1. 2. 零次幂：任何一个不等于零的数的零次幂都等于 1. 用字母表示： a0=1(a ≠ 0) . 【知识点06】负整数次幂 1. 负整数次幂一般地，我们约定：a-p= ( a ≠ 0， p 是正整数). 任何一个不等于零的数的 –p( p 是正整数)次幂，等于这个数的 p 次幂的倒数 . 2. 整数指数幂的运算性质 (1) am· an=am+n(a ≠ 0， m， n 都是整数)； (2)(am) n=amn(a ≠ 0， m， n 都是整数)； (3)(ab) n=anbn(a ≠ 0， b ≠ 0， n 是整数)； (4) am÷ an=am-n( a ≠ 0， m， n 都是整数) . 【知识点07】用科学记数法表示绝对值小于 1 的数 1. 科学记数法:绝对值小于 1 的数可记成±a×10-n 的形式，其中 1 ≤ a<10， n 是正整数，n 等于原数中第一个不等于零的数字前面的零的个数(包括小数点前面的一个零)，这种记数方法也是科学记数法 . 2. 用科学记数法表示小于 1 的正数的一般步骤 (1) 确定 a： a 是绝对值大于或等于 1 且小于 10 的数 . (2) 确定 n： 确定 n 的方法有两个，即 ① n 等于原数中第一个不等于零的数字前面的零的个数(包括小数点前面的一个零)； ②小数点向右移到第一个不等于零的数字后，小数点移动了几位， n 就等于几 . (3)将原数用科学记数法表示为 a×10-n(其中 1 ≤ a<10， n 是正整数) . 【知识点08】单项式与单项式相乘 1. 单项式乘法法则 单项式相乘，把系数、同底数幂分别相乘，作为积的因式；对于只在一个单项式里含有的字母，则连同它的指数作为积的一个因式 . 2. 单项式与单项式相乘的步骤 (1)确定积的系数，积的系数等于各单项式系数的积； (2)同底数幂相乘，底数不变，指数相加； (3)只在一个单项式里含有的字母，要连同它的指数写在积里. 3. 单项式乘法法则的实质是乘法交换律、乘法结合律和同底数幂的乘法法则的综合运用. 【知识点09】单项式与多项式相乘 1.单项式与多项式的乘法法则  单项式与多项式相乘，用单项式和多项式的每一项分别相乘，再把所得的积相加 . 用字母表示为n(a+b+c)=na+ nb+nc． 2. 单项式与多项式相乘的几何解释 如图8.2-1，大长方形的面积可以表示为p(a+b+c)，也可以将大长方形的面积视为三个小长方形的面积之和，即pa+pb+pc. 所以p (a+b+c)=pa+pb+pc. 【知识点10】多项式与多项式相乘 1. 多项式与多项式的乘法法则  多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项与另一个多项式的每一项相乘，再把所得的积相加 . 用字母表示为(a+b)(m+n)=am+bm+an+bn. 2. 多项式与多项式相乘的几何解释 如图8.2-2，大长方形的面积可以表示为(a+b)(p+q)， 也可以将大长方形的面积看成四个小长方形的面积之和， 即ap+aq+bp+bq. 所以(a+b)(p+q)= ap+aq+bp+bq. 【知识点11】完全平方公式 1. 完全平方公式 两个数的和(或差)的平方，等于这两个数的平方和加(或减)这两个数乘积的 2 倍 . 用字母表示：( a+b)²=a²+2ab+b²，( a－b) ²=a²－2ab+b². 2. 完全平方公式的几种常见变形公式 (1) a2+b2=(a+b) 2 － 2ab=( a－ b) 2+2ab； (2) (a+b) 2=( a － b) 2 +4ab； (3) (a － b) 2=(a+b) 2 － 4ab； (4) (a+b) 2+( a － b) 2=2(a2+b2)； (5) (a+b) 2 －(a－ b) 2=4ab； (6) ab= ［(a+b) 2 －(a2+b2)］ = ［(a+b) 2 －(a － b) 2］； (7) (a+b+c) 2=a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc； (8) a2+b2+c2+ab+ac+bc= ［(a+b) 2+(b+c) 2+(a+c) 2］ . 【知识点12】平方差公式 1. 平方差公式 两个数的和与这两个数的差的积，等于这两个数的平方差 . 用字母表示：( a+b)(a－b) =a2－b2. 2. 平方差公式的几种常见变化及应用 变化形式  应用举例 (1)位置变化  ( b+a)(－b+a)=( a+b)( a－b)=a²－b² (2)符号变化  (－a－b)( a－b)=(－b－a)(－b+a)=(－b) ²－a²=b²－a² (3)系数变化  (3a+2b)(3a－2b)=(3a) ²－ (2b) ² =9a²－4b² (4)指数变化  ( a³ +b²)( a³－b²)=( a³) ²－ (b²) ² =a－ (5)增项变化  ( a－b+c)( a－b－c)=( a－b) ²－c² (6)连用公式  ( a+b)( a－b）( a²+b²)=(a²－b²)( a²+b²)=－ 【知识点13】添括号 1.添括号法则 添括号时，如果括号前面是正号，括到括号里的各项都不改变符号；如果括号前面是负号， 括到括号里的各项都要改变符号 . 用字母表示：a+b+c=a+( b+c) =a－( －b－c)；a－b－c=a－(b+c) =a+(－b－c) . 3. 添括号法则的应用 添括号在利用乘法公式的计算中应用广泛，利用添括号使原式变成符合乘法公式的形式，特别是利用 “括号前面是负号的时候，括到括号里的各项都要改变符号”来变形 . 【知识点14】因式分解 1. 定义 把一个多项式化为几个整式的积的形式，叫作因式分解，也叫作把这个多项式分解因式 . 2. 整式乘法与因式分解的关系 (1)整式乘法是积化和差，因式分解是和差化积，它们是互逆的变形 . (2)可以利用整式乘法检验因式分解的结果的正确性 . 【知识点15】公因式 1. 公因式的定义 多项式的每一项都含有的相同因式，叫作各项的公因式 . 2. 公因式的确定 (1)确定公因式的系数，若多项式中各项系数都是整数，则取各项系数的最大公因数． (2)确定字母及字母的指数，取各项都含有的相同字母作为公因式中的字母，各项相同字母的指数取其中次数最低的 . (3)若多项式各项中含有相同的多项式因式，则应将其看成一个整体，不要拆开，作为公因式中的因式 . 如3x( x－y) +x²( x－y)的公因式是 x( x－y) . 【知识点16】用提公因式法分解因式 1. 定义 一般地，如果多项式的各项含有公因式，可以把这个公因式提取出来，将多项式写成公因式与另一个因式的乘积的形式，这种因式分解的方法叫作提公因式法 . 用字母表示： ma+mb+mc=m(a+b+c) . 2. 用提公因式法分解因式的一般步骤 (1)找出公因式，就是找出各项都含有的公共因式 . (2)确定另一个因式：另一个因式即多项式提取公因式后剩下的部分 . (3)写成积的形式 . 【知识点17】用平方差公式分解因式 1. 平方差公式法 两个数的平方差，等于这两个数的和与这两个数的差的积 . 即： a²－b²=(a+b)( a－b) . 2. 平方差公式的特点 (1)等号的左边是一个二项式，各项都是平方的形式且符号相反； (2)等号的右边是两个二项式的积，其中一个二项式是这两个数的和，另一个二项式是这两个数的差 . 3. 运用平方差公式分解因式的步骤 一判： 根据平方差公式的特点，判断是否为平方差，若负平方项在前面，利用加法的交换律把负平方项放在后面 . 二定： 确定公式中的 “a” 和“b” ，除 “a” 和“b” 是单独一个数或字母外，其余不管是单项式还是多项式都必须用括号括起来，表示一个整体 . 三套： 套用平方差公式进行分解 . 四整理： 将每个因式去括号，合并同类项化成最简 . 【知识点18】用完全平方公式分解因式 1. 完全平方式 形如 a²±2ab+b² 的式子叫作完全平方式 . 完全平方式的条件： (1)是二次三项式 . (2)首末两项是两个数(或式子)的平方且符号相同，中间项是这两个数(或式子)的积的 2 倍，符号可以是 “+”，也可以是“－” . 2. 完全平方公式法 两个数的平方和加上(或减去)这两个数的积的 2 倍，等于这两个数的和(或差)的平方 . 即： a²±2ab+b²=(a±b)². 3. 完全平方公式的特点 等号左边是一个完全平方式，右边是两个数的和(或差)的平方 . 4. 公式法  运用公式(完全平方公式和平方差公式 )进行因式分解的方法叫作公式法 . 5. 因式分解的一般步骤 (1)当多项式有公因式时，先提取公因式； (2)当多项式没有公因式时(或提取公因式后)，若符合平方差公式或完全平方公式，就利用公式法分解因式； (3)当乘积中每一个因式都不能再分解时，因式分解就结束了 . 注意： 当不能直接提取公因式或不能用公式法分解因式时，可根据多项式的特点，将其变形为能提取公因式或能用公式法的形式，再分解因式 . 【知识点19】用分组分解法分解因式 分组分解法 当一个多项式项数较多，且各项既没有公因式，又不能直接运用公式法分解因式时，可将该多项式适当分组，使各组都能分解因式，且在各组分解因式后，各组之间又能继续分解因式，从而将多项式分解因式，这种方法叫做分组分解法 . 理解: (1)分组只是一个步骤，分组的目的是用提公因式法或公式法将各组分解因式，进而将多项式分解因式 . (2)需要运用分组分解法分解的多项式一般有四项或四项以上 . 如果是四项式，一般有两种分组方法：①分为“2+2” 的形式；②分为“1+3”的形式 . 【题型一】同底数幂相乘 1．（24-25七年级下·安徽合肥·期中）已知，则m的值为（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 【题型二】同底数幂乘法的逆用 2．（24-25七年级下·安徽合肥·期末）若，，则________． 【题型三】幂的乘方运算 3．（24-25七年级下·安徽合肥·期末）如果：；则n的值为：（   ） A．5 B．4 C．3 D．2 【题型四】幂的乘方的逆用 4．（23-24七年级下·安徽阜阳·期中）若，则的值为______． 【题型五】积的乘方运算 5．（24-25七年级下·安徽六安·期末）计算的结果是（   ） A． B． C． D． 【题型六】积的乘方的逆用 6．（24-25七年级下·安徽六安·期中）阅读下面例题的解题过程：例：已知，，请你用含m，n的代数式表示． 解：因为知，，所以． （1）一位同学发现解答此例题还有另一种思路，请你补全解题答案：______； （2）解决问题：若，，试用含a，b的代数式表示______． 【题型七】零指数幂 7．（23-24七年级下·安徽亳州·期末）若有意义，则的取值范围是_______． 【题型八】负整数指数幂 8．（2023七年级下·安徽滁州·月考）我们规定：，即的负次幂等于的次幂的倒数．例：． (1)计算： ； ； (2)如果，那么 ；如果，那么 ； (3)如果，且a、k为整数，求满足条件的a、k的取值． 【题型九】同底数幂的除法运算 9．（24-25八年级下·安徽滁州·期中）下列运算结果正确的是（   ） A． B． C． D． 【题型十】同底数幂除法的逆用 10．（23-24七年级下·安徽安庆·期末）已知：，， (1)求的值； (2)求的值． 【题型十一】幂的混合运算 11．（24-25七年级下·安徽亳州·期中）按要求计算下面各题： (1)已知，求的值； (2)已知为正整数，且，求的值． 【题型十二】用科学记数法表示绝对值小于1的数 12．（24-25七年级下·安徽亳州·月考）小时候我们用肥皂水吹泡泡，其泡沫的厚度约是毫米，毫米用科学记数法表示为（   ） A．毫米 B．毫米 C．厘米 D．毫米 【题型十三】还原用科学记数法表示的小数 13．（22-23七年级下·福建三明·期中）有一种球状细菌的直径用科学记数法表示为米，则这个直径是（    ） A．米 B．米 C．米 D．米 【题型十四】计算单项式乘单项式 14．（24-25七年级下·安徽合肥·期中）计算：________． 【题型十五】利用单项式乘法求字母或代数式的值 15．（24-25七年级下·安徽滁州·期中）若，则的值为______． 【题型十六】单项式乘多项式的应用 16．（24-25七年级下·安徽宿州·期中）在一次普及“交通安全知识”的活动中，学生们对货车的盲区面积进行探究．货车盲区的部分分布图如图所示，盲区1，2是两个形状大小均相同的直角三角形，盲区3是一个梯形，盲区4是一个正方形． (1)用含的代数式表示图中盲区的总面积．（结果需化简） (2)若，求图中盲区的总面积． 【题型十七】利用单项式乘多项式求字母的值 17．（25-26七年级下·全国·周测）若，则（    ） A．6 B． C．8 D． 【题型十八】计算多项式乘多项式 18．（24-25七年级下·安徽阜阳·期中）计算：． 【题型十九】（x+p）（x+q）型多项式乘法 19．（23-24七年级下·安徽滁州·期中）若，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 【题型二十】已知多项式乘积不含某项求字母的值 20．（24-25七年级下·安徽安庆·期中）若的展开式中不含x的一次项，则化简后的二次项系数是（    ） A． B． C． D． 【题型二十一】多项式乘多项式——化简求值 21．（23-24七年级下·安徽合肥·期中）我们规定，例如，已知，则代数式的值是（   ） A．4 B．5 C．8 D．9 【题型二十二】多项式乘多项式与图形面积 22．（24-25七年级下·安徽宿州·月考）“筑牢民生之基，增强百姓幸福感”，某社区如火如荼地进行着社区环境的改善，提升老百姓的生活品质．如图．某小区内有一块长为米，宽为米的长方形地块，小区计划在中间留一块边长为a米的正方形地块修建一座假山，然后将剩余阴影部分进行绿化． (1)求绿化部分的面积（用含a，b的代数式表示）； (2)当，时，求绿化部分的面积． 【题型二十三】多项式乘法中的规律性问题 23．（24-25七年级下·安徽安庆·期末）在数学中，为了书写简便，18世纪数学家欧拉就引进了求和符号“”如：记；．已知：，则的值是（  ） A．16 B． C．20 D． 【题型二十四】整式乘法混合运算 24．（24-25七年级下·安徽合肥·期末）计算： 25．（24-25七年级下·安徽蚌埠·期中）先化简，再求值：，其中，． 【题型二十五】运用完全平方公式进行运算 26．（24-25七年级下·安徽六安·期末）观察下列等式： 第1个等式：； 第2个等式：； 第3个等式：； 第4个等式： 按照以上规律，解决问题： (1)写出第5个等式： (2)写出第个等式（用含的式子表示），并通过计算说明你写出的等式的正确性； (3)利用上述规律，计算： 【题型二十六】通过对完全平方公式变形求值 27．（24-25七年级下·安徽合肥）若，，则的值为 _____． 【题型二十七】完全平方公式在几何图形中的应用 28．（24-25七年级下·安徽合肥·期末）如图所示，边长分别为a、b且的大小两个正方形摆放在一起，其中有一部分重叠，则阴影部分A与阴影部分B的面积差是（   ） A．2 B．4 C． D． 【题型二十八】运用平方差公式进行运算 29．（24-25七年级下·安徽阜阳·期中）若．则m的值为（   ） A．6 B．9 C． D．3 【题型二十九】乘法公式与几何图形 30．（24-25七年级下·安徽合肥·期末）如图1为学校七年级两个班的劳动实践基地，图2是从实践基地抽象出来的几何模型：两块边长为m、n的正方形，其中重叠部分B为池塘，阴影部分、分别表示两个班级的基地面积．若，，则的值等于（    ） A．12 B．10 C．8 D．16 31．（24-25七年级下·安徽蚌埠·期中）如图，以长方形的各边为边向外作正方形，若四个正方形周长之和为，面积之和为． (1)求长方形的面积； (2)求分别以长、宽为边向外作的正方形的面积差． 【题型三十】求完全平方式中的字母系数 32．（24-25七年级下·安徽宿州·期末）若是完全平方公式，则m的值为（  ） A． B． C． D．3 33．（23-24七年级下·安徽蚌埠·期中）已知，． （1）若是完全平方式，则_______； （2）的最小值是________． 【题型三十一】整式的混合运算 34．（24-25七年级下·安徽淮南·期末）已知，求代数式的值． 35．（24-25七年级下·安徽阜阳·期中）已知甲、乙两个长方形，它们的边长如图所示，甲、乙的面积分别为，．    （1）比较．与的大小：________．（填“>”“<”或“=”） （2）若满足条件的整数n有且只有3个，则整数m的值为________． 【题型三十二】判断是否是因式分解 36．（2025·安徽·模拟预测）下列式子变形是正确的因式分解的是（   ） A． B． C． D． 【题型三十三】已知因式分解的结果求参数 37．（24-25七年级下·安徽合肥·期末）如果 可分解为， 则 ___________________________ 【题型三十四】公因式 38．（22-23七年级下·安徽滁州·月考）将多项式因式分解时，应提取的公因式是（    ） A． B． C． D． 【题型三十五】判断能否用公式法分解因式 39．（24-25七年级下·安徽六安·期末）下列多项式中，能用公式法分解因式的是（    ） A． B． C． D． 【题型三十六】完全平方公式分解因式 40．（24-25七年级下·安徽合肥·期末）下列多项式中，可以用完全平方公式进行因式分解的是（     ） A． B． C． D． 【题型三十七】提公因式与完全平方公式法分解因式 41．（24-25七年级下·安徽阜阳·月考）阅读并解答． 在分解因式时，李老师是这样做的： （第一步） （第二步） （第三步） ．（第四步） (1)从第一步到第二步运用了________公式； (2)从第二步到第三步运用了________； (3)仿照上面的方法分解因式：． 【题型三十八】提公因式与平方差公式分解因式 42．（24-25七年级下·安徽合肥·月考）下列因式分解正确的是（   ） A． B． C． D． 【题型三十九】综合运用公式法分解因式 43．（23-24七年级下·安徽安庆·期中）把下列各式分解因式． (1) (2) 【题型四十】综合提公因式和公式法分解因式 44．（24-25七年级下·安徽滁州·月考）下列多项式不能因式分解的是（   ） A． B． C． D． 【题型四十一】因式分解在有理数简算中的应用 45．（23-24七年级下·安徽安庆·月考）运用因式分解计算：的结果为（    ） A．314 B．264 C．256 D．300 【题型四十二】十字相乘法 46．（24-25七年级下·安徽淮南·月考）下列等式从左到右的变形中，属于因式分解的是（   ） A． B． C． D． 【题型四十三】分组分解法 47．（24-25七年级下·安徽安庆·月考）因式分解： 【题型四十四】因式分解的应用 48．（24-25七年级下·安徽滁州·期末）先阅读下列材料，再解答下列问题： 材料：因式分解：． 解：将“”看成整体，令，则： 原式．再将“A”还原，得原式． 上述解题用到的是“整体思想”，“整体思想”是数学解题中常用的一种思想方法，请你解答下列问题： (1)因式分解：________； (2)若，求的值. 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 第8章 整式乘法与因式分解 章节（19知识详解+44典例分析） 【知识点01】同底数幂的乘法 1.   幂的运算性质 1(同底数幂的乘法法则)  同底数幂相乘，底数不变，指数相加 . 用字母表示： am· an=am+n( m， n 都是正整数) . 示例： (m， n 都是正整数) 2. 运算性质的拓展运用 (1)同底数幂的乘法运算性质对于三个及三个以上同底数幂相乘同样适用，即am·an·…·ap=am+n+…+p(m，n，…，p 都是正整数). (2)同底数幂的乘法运算性质既可正用也可逆用，即am+n=am·an(m、n 都是正整数). 【知识点02】幂的乘方 1.幂的运算性质 2(幂的乘方) 幂的乘方，底数不变，指数相乘. 2. 运算性质的拓展运用 (1)幂的乘方运算性质的推广：［()］p=(m、n、p 都是正整数)； (2)幂的乘方运算性质既可以正用，也可以逆用，逆用时=()=()(m、n 都是正整数). 【知识点03】积的乘方 1.幂的运算性质 3(积的乘方) 积的乘方等于各因式乘方的积 . 用字母表示:(ab) n=anbn( n 为正整数) . 2.运算性质的拓展运用 (1)积的乘方运算性质的推广：(abc)n=anbncn(n 为正整数)； (2)积的乘方运算性质既可以正用，也可以逆用，逆用时anbn=(ab)n(n 为正整数). 【知识点04】同底数幂的除法 1.幂的运算性质 4(同底数幂的除法)同底数幂相除，底数不变，指数相减. 用字母表示：am÷an=am-n(a ≠ 0，m、n 是正整数，且m>n). 2. 运算性质的拓展运用 (1)运算性质的推广： 适用于三个及三个以上的同底数幂相除， 即am÷an÷ap=am-n-p(a ≠ 0，m、n、p 是正整数，且m>n+p)； (2)同底数幂的除法法则既可以正用，也可以逆用， 即am-n=am÷an(a ≠ 0，m、n 是正整数，且m>n). 【知识点05】零次幂 1.零次幂的推导：同底数幂相除，如果被除式的指数等于除式的指数，例如 am÷ am，那么根据除法的意义可知所得的商为 1. 另一方面，如果依照同底数幂的除法法则来计算，那么又有 am÷ am=am-m=a0，故 a0=1. 2. 零次幂：任何一个不等于零的数的零次幂都等于 1. 用字母表示： a0=1(a ≠ 0) . 【知识点06】负整数次幂 1. 负整数次幂一般地，我们约定：a-p= ( a ≠ 0， p 是正整数). 任何一个不等于零的数的 –p( p 是正整数)次幂，等于这个数的 p 次幂的倒数 . 2. 整数指数幂的运算性质 (1) am· an=am+n(a ≠ 0， m， n 都是整数)； (2)(am) n=amn(a ≠ 0， m， n 都是整数)； (3)(ab) n=anbn(a ≠ 0， b ≠ 0， n 是整数)； (4) am÷ an=am-n( a ≠ 0， m， n 都是整数) . 【知识点07】用科学记数法表示绝对值小于 1 的数 1. 科学记数法:绝对值小于 1 的数可记成±a×10-n 的形式，其中 1 ≤ a<10， n 是正整数，n 等于原数中第一个不等于零的数字前面的零的个数(包括小数点前面的一个零)，这种记数方法也是科学记数法 . 2. 用科学记数法表示小于 1 的正数的一般步骤 (1) 确定 a： a 是绝对值大于或等于 1 且小于 10 的数 . (2) 确定 n： 确定 n 的方法有两个，即 ① n 等于原数中第一个不等于零的数字前面的零的个数(包括小数点前面的一个零)； ②小数点向右移到第一个不等于零的数字后，小数点移动了几位， n 就等于几 . (3)将原数用科学记数法表示为 a×10-n(其中 1 ≤ a<10， n 是正整数) . 【知识点08】单项式与单项式相乘 1. 单项式乘法法则 单项式相乘，把系数、同底数幂分别相乘，作为积的因式；对于只在一个单项式里含有的字母，则连同它的指数作为积的一个因式 . 2. 单项式与单项式相乘的步骤 (1)确定积的系数，积的系数等于各单项式系数的积； (2)同底数幂相乘，底数不变，指数相加； (3)只在一个单项式里含有的字母，要连同它的指数写在积里. 3. 单项式乘法法则的实质是乘法交换律、乘法结合律和同底数幂的乘法法则的综合运用. 【知识点09】单项式与多项式相乘 1.单项式与多项式的乘法法则  单项式与多项式相乘，用单项式和多项式的每一项分别相乘，再把所得的积相加 . 用字母表示为n(a+b+c)=na+ nb+nc． 2. 单项式与多项式相乘的几何解释 如图8.2-1，大长方形的面积可以表示为p(a+b+c)，也可以将大长方形的面积视为三个小长方形的面积之和，即pa+pb+pc. 所以p (a+b+c)=pa+pb+pc. 【知识点10】多项式与多项式相乘 1. 多项式与多项式的乘法法则  多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项与另一个多项式的每一项相乘，再把所得的积相加 . 用字母表示为(a+b)(m+n)=am+bm+an+bn. 2. 多项式与多项式相乘的几何解释 如图8.2-2，大长方形的面积可以表示为(a+b)(p+q)， 也可以将大长方形的面积看成四个小长方形的面积之和， 即ap+aq+bp+bq. 所以(a+b)(p+q)= ap+aq+bp+bq. 【知识点11】完全平方公式 1. 完全平方公式 两个数的和(或差)的平方，等于这两个数的平方和加(或减)这两个数乘积的 2 倍 . 用字母表示：( a+b)²=a²+2ab+b²，( a－b) ²=a²－2ab+b². 2. 完全平方公式的几种常见变形公式 (1) a2+b2=(a+b) 2 － 2ab=( a－ b) 2+2ab； (2) (a+b) 2=( a － b) 2 +4ab； (3) (a － b) 2=(a+b) 2 － 4ab； (4) (a+b) 2+( a － b) 2=2(a2+b2)； (5) (a+b) 2 －(a－ b) 2=4ab； (6) ab= ［(a+b) 2 －(a2+b2)］ = ［(a+b) 2 －(a － b) 2］； (7) (a+b+c) 2=a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc； (8) a2+b2+c2+ab+ac+bc= ［(a+b) 2+(b+c) 2+(a+c) 2］ . 【知识点12】平方差公式 1. 平方差公式 两个数的和与这两个数的差的积，等于这两个数的平方差 . 用字母表示：( a+b)(a－b) =a2－b2. 2. 平方差公式的几种常见变化及应用 变化形式  应用举例 (1)位置变化  ( b+a)(－b+a)=( a+b)( a－b)=a²－b² (2)符号变化  (－a－b)( a－b)=(－b－a)(－b+a)=(－b) ²－a²=b²－a² (3)系数变化  (3a+2b)(3a－2b)=(3a) ²－ (2b) ² =9a²－4b² (4)指数变化  ( a³ +b²)( a³－b²)=( a³) ²－ (b²) ² =a－ (5)增项变化  ( a－b+c)( a－b－c)=( a－b) ²－c² (6)连用公式  ( a+b)( a－b）( a²+b²)=(a²－b²)( a²+b²)=－ 【知识点13】添括号 1.添括号法则 添括号时，如果括号前面是正号，括到括号里的各项都不改变符号；如果括号前面是负号， 括到括号里的各项都要改变符号 . 用字母表示：a+b+c=a+( b+c) =a－( －b－c)；a－b－c=a－(b+c) =a+(－b－c) . 3. 添括号法则的应用 添括号在利用乘法公式的计算中应用广泛，利用添括号使原式变成符合乘法公式的形式，特别是利用 “括号前面是负号的时候，括到括号里的各项都要改变符号”来变形 . 【知识点14】因式分解 1. 定义 把一个多项式化为几个整式的积的形式，叫作因式分解，也叫作把这个多项式分解因式 . 2. 整式乘法与因式分解的关系 (1)整式乘法是积化和差，因式分解是和差化积，它们是互逆的变形 . (2)可以利用整式乘法检验因式分解的结果的正确性 . 【知识点15】公因式 1. 公因式的定义 多项式的每一项都含有的相同因式，叫作各项的公因式 . 2. 公因式的确定 (1)确定公因式的系数，若多项式中各项系数都是整数，则取各项系数的最大公因数． (2)确定字母及字母的指数，取各项都含有的相同字母作为公因式中的字母，各项相同字母的指数取其中次数最低的 . (3)若多项式各项中含有相同的多项式因式，则应将其看成一个整体，不要拆开，作为公因式中的因式 . 如3x( x－y) +x²( x－y)的公因式是 x( x－y) . 【知识点16】用提公因式法分解因式 1. 定义 一般地，如果多项式的各项含有公因式，可以把这个公因式提取出来，将多项式写成公因式与另一个因式的乘积的形式，这种因式分解的方法叫作提公因式法 . 用字母表示： ma+mb+mc=m(a+b+c) . 2. 用提公因式法分解因式的一般步骤 (1)找出公因式，就是找出各项都含有的公共因式 . (2)确定另一个因式：另一个因式即多项式提取公因式后剩下的部分 . (3)写成积的形式 . 【知识点17】用平方差公式分解因式 1. 平方差公式法 两个数的平方差，等于这两个数的和与这两个数的差的积 . 即： a²－b²=(a+b)( a－b) . 2. 平方差公式的特点 (1)等号的左边是一个二项式，各项都是平方的形式且符号相反； (2)等号的右边是两个二项式的积，其中一个二项式是这两个数的和，另一个二项式是这两个数的差 . 3. 运用平方差公式分解因式的步骤 一判： 根据平方差公式的特点，判断是否为平方差，若负平方项在前面，利用加法的交换律把负平方项放在后面 . 二定： 确定公式中的 “a” 和“b” ，除 “a” 和“b” 是单独一个数或字母外，其余不管是单项式还是多项式都必须用括号括起来，表示一个整体 . 三套： 套用平方差公式进行分解 . 四整理： 将每个因式去括号，合并同类项化成最简 . 【知识点18】用完全平方公式分解因式 1. 完全平方式 形如 a²±2ab+b² 的式子叫作完全平方式 . 完全平方式的条件： (1)是二次三项式 . (2)首末两项是两个数(或式子)的平方且符号相同，中间项是这两个数(或式子)的积的 2 倍，符号可以是 “+”，也可以是“－” . 2. 完全平方公式法 两个数的平方和加上(或减去)这两个数的积的 2 倍，等于这两个数的和(或差)的平方 . 即： a²±2ab+b²=(a±b)². 3. 完全平方公式的特点 等号左边是一个完全平方式，右边是两个数的和(或差)的平方 . 4. 公式法  运用公式(完全平方公式和平方差公式 )进行因式分解的方法叫作公式法 . 5. 因式分解的一般步骤 (1)当多项式有公因式时，先提取公因式； (2)当多项式没有公因式时(或提取公因式后)，若符合平方差公式或完全平方公式，就利用公式法分解因式； (3)当乘积中每一个因式都不能再分解时，因式分解就结束了 . 注意： 当不能直接提取公因式或不能用公式法分解因式时，可根据多项式的特点，将其变形为能提取公因式或能用公式法的形式，再分解因式 . 【知识点19】用分组分解法分解因式 分组分解法 当一个多项式项数较多，且各项既没有公因式，又不能直接运用公式法分解因式时，可将该多项式适当分组，使各组都能分解因式，且在各组分解因式后，各组之间又能继续分解因式，从而将多项式分解因式，这种方法叫做分组分解法 . 理解: (1)分组只是一个步骤，分组的目的是用提公因式法或公式法将各组分解因式，进而将多项式分解因式 . (2)需要运用分组分解法分解的多项式一般有四项或四项以上 . 如果是四项式，一般有两种分组方法：①分为“2+2” 的形式；②分为“1+3”的形式 . 【题型一】同底数幂相乘 1．（24-25七年级下·安徽合肥·期中）已知，则m的值为（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】D 【知识点】同底数幂相乘 【分析】本题主要考查了同底数幂相乘的法则，将左边各数转化为2的幂次形式，利用同底数幂相乘法则计算，再解方程求m.熟练掌握同底数幂相乘法则是解题的关键. 【详解】解：由， 得 ， ∴， ∴， 得， 解得. 故选：D 【题型二】同底数幂乘法的逆用 2．（24-25七年级下·安徽合肥·期末）若，，则________． 【答案】4 【知识点】同底数幂乘法的逆用 【分析】本题考查了同底数幂的乘法的逆运算，熟记法则是解题的关键． 根据同底数幂的逆运算求解即可． 【详解】解：， ， ， ， 故答案为：4． 【题型三】幂的乘方运算 3．（24-25七年级下·安徽合肥·期末）如果：；则n的值为：（   ） A．5 B．4 C．3 D．2 【答案】A 【知识点】同底数幂相乘、幂的乘方运算 【分析】本题主要考查了幂的乘方的逆运算，幂的乘方计算，同底数幂乘法计算，根据题意可得，据此求解即可． 将等式两边转换为同底数的幂形式，利用指数相等求解。 【详解】解：左边为32个相加，即，右边为n个4相乘，即， 将32写为，4写为，则左边可化为，右边化为 ∴等式变为， ∴， 解得， 故选：A 【题型四】幂的乘方的逆用 4．（23-24七年级下·安徽阜阳·期中）若，则的值为______． 【答案】12 【知识点】幂的乘方的逆用 【分析】本题考查了同底数幂的运算，幂的乘方运算的逆运算，根据同底数幂乘法的逆运算，得出，再根据幂的乘方逆运算，得出，即可求解． 【详解】解：∵， ∴， 故答案为：12． 【题型五】积的乘方运算 5．（24-25七年级下·安徽六安·期末）计算的结果是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】积的乘方运算 【分析】本题主要考查了积的乘方运算，首先计算n个相加的结果，再将其平方计算即可得出答案． 【详解】解：n个相加，即（共n项）， 可表示为． 将和平方，即，根据平方的性质，负号被消去，结果为， 因此，最终结果为， 故选：C． 【题型六】积的乘方的逆用 6．（24-25七年级下·安徽六安·期中）阅读下面例题的解题过程：例：已知，，请你用含m，n的代数式表示． 解：因为知，，所以． （1）一位同学发现解答此例题还有另一种思路，请你补全解题答案：______； （2）解决问题：若，，试用含a，b的代数式表示______． 【答案】 【知识点】幂的乘方的逆用、积的乘方的逆用 【分析】本题考查了积的乘方逆用，同底数幂的乘发，熟悉掌握运算法则是解题的关键． （1）利用运算法则进行运算即可； （2）利用积的乘方公式运算求解即可． 【详解】解：（1）∵，， ∴； 故答案为：； （2）∵，， ∴， 故答案为：． 【题型七】零指数幂 7．（23-24七年级下·安徽亳州·期末）若有意义，则的取值范围是_______． 【答案】 【知识点】零指数幂 【分析】本题主要考查零指数幂的意义，掌握零指数幂的底数不等于零是解题的关键．根据零指数幂的底数不等于零，即可求解． 【详解】解：有意义， ， ， 故答案为：． 【题型八】负整数指数幂 8．（2023七年级下·安徽滁州·月考）我们规定：，即的负次幂等于的次幂的倒数．例：． (1)计算： ； ； (2)如果，那么 ；如果，那么 ； (3)如果，且a、k为整数，求满足条件的a、k的取值． 【答案】(1)； (2)3； (3)当时，，当时，，当时， 【知识点】负整数指数幂 【分析】本题主要考查了负整数指数幂，正确理解题意是解题的关键． （1）根据计算求解即可； （2）根据题意可得，则，解之即可；根据题意可得，则，解之即可； （3）由可推出，结合a、k都是整数讨论求解即可． 【详解】（1）解：由题意得，，； 故答案为：；； （2）解：∵， ∴， ∴， ∴； ∵， ∴， ∴， ∴； 故答案为：3；； （3）解：∵， ∴， ∴， ∵a、k都是整数， ∴当时，， 当时，， 当时，． 【题型九】同底数幂的除法运算 9．（24-25八年级下·安徽滁州·期中）下列运算结果正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】幂的乘方运算、同底数幂的除法运算、同底数幂相乘 【分析】本题主要考查了同底数幂的乘除法、幂的乘方以及合并同类项的运算规则，熟练掌握这些运算规则是解题的关键．根据同底数幂的运算（乘、除、乘方）以及合并同类项的规则，逐一分析每个选项． 【详解】解：选项A：与不是同类项，不能合并，所以 ． 选项B：根据幂的乘方法则，则 ． 选项C：根据同底数幂相乘法则，则 ． 选项D：根据同底数幂相除法则，则 ． 综上，选项D正确， 故选：D ． 【题型十】同底数幂除法的逆用 10．（23-24七年级下·安徽安庆·期末）已知：，， (1)求的值； (2)求的值． 【答案】(1)4 (2) 【知识点】幂的乘方的逆用、同底数幂除法的逆用 【分析】此题主要考查了幂的乘方运算，同底数幂相除，掌握幂的乘方运算和同底数幂相除法则的逆用是解题关键． （1）先逆用幂的乘方法则变形，然后再把代入计算即可； （2）先逆用同底数幂相除和幂的乘方运算法则变形，然后再把，代入计算即可． 【详解】（1）解：∵， ∴； （2）解：∵，， ∴． 【题型十一】幂的混合运算 11．（24-25七年级下·安徽亳州·期中）按要求计算下面各题： (1)已知，求的值； (2)已知为正整数，且，求的值． 【答案】(1)64 (2)56 【知识点】幂的混合运算 【分析】本题主要考查同底数幂的乘法，幂的乘方与积的乘方法则，解答的关键是对相应的运算法则的掌握． （1）利用幂的乘方，同底数幂的乘法法则，整理，再将整体代入运算即可； （2）利用积的乘方，幂的乘方的法则对所求的式子进行整理，再代入相应的值运算即可． 【详解】（1）解： 当， 则原式． （2）解： 当， 则原式． 【题型十二】用科学记数法表示绝对值小于1的数 12．（24-25七年级下·安徽亳州·月考）小时候我们用肥皂水吹泡泡，其泡沫的厚度约是毫米，毫米用科学记数法表示为（   ） A．毫米 B．毫米 C．厘米 D．毫米 【答案】A 【知识点】用科学记数法表示绝对值小于1的数 【分析】本题考查了负整数指数科学记数法，对于一个绝对值小于1的非0小数，用科学记数法写成的形式，其中，n是正整数，n等于原数中第一个非0数字前面所有0的个数（包括小数点前面的0）． 根据科学记数法的表示方法作答即可． 【详解】解：毫米， 故选：A． 【题型十三】还原用科学记数法表示的小数 13．（22-23七年级下·福建三明·期中）有一种球状细菌的直径用科学记数法表示为米，则这个直径是（    ） A．米 B．米 C．米 D．米 【答案】B 【知识点】还原用科学记数法表示的小数 【分析】科学记数法表示的数，还原成通常表示的数，就是把a的小数点向左(或右)移动n的绝对值位所得到的数．若科学记数法表示的是较小的数，还原为原来的数，需要把a的小数点向左移动n的绝对值位得到原数． 【详解】解：一种球状细菌的直径用科学记数法表示为米， 则这个直径是米， 故选：B． 【点睛】本题考查了科学记数法−原数，把一个数表示成科学记数法的形式及把科学记数法还原是两个互逆的过程，这也可以作为检查用科学记数法表示一个数是否正确的方法． 【题型十四】计算单项式乘单项式 14．（24-25七年级下·安徽合肥·期中）计算：________． 【答案】 【知识点】积的乘方运算、计算单项式乘单项式 【分析】本题考查的是积的乘方，单项式乘以单项式，先计算积的乘方运算，再计算单项式乘以单项式即可． 【详解】解：， 故答案为：． 【题型十五】利用单项式乘法求字母或代数式的值 15．（24-25七年级下·安徽滁州·期中）若，则的值为______． 【答案】 【知识点】利用单项式乘法求字母或代数式的值 【分析】本题考查单项式乘以单项式及求值，根据单项式乘以单项式的法则进行计算，逆用幂的乘方，整体代入法进行计算即可． 【详解】解：∵， ， 故答案为：． 【题型十六】单项式乘多项式的应用 16．（24-25七年级下·安徽宿州·期中）在一次普及“交通安全知识”的活动中，学生们对货车的盲区面积进行探究．货车盲区的部分分布图如图所示，盲区1，2是两个形状大小均相同的直角三角形，盲区3是一个梯形，盲区4是一个正方形． (1)用含的代数式表示图中盲区的总面积．（结果需化简） (2)若，求图中盲区的总面积． 【答案】(1) (2)20 【知识点】已知式子的值，求代数式的值、单项式乘多项式的应用 【分析】本题考查了整式的乘法运算与图形面积，求代数式的值，准确识图，熟练运用相关知识是解题的关键； （1）盲区面积等于梯形面积加上正方形面积加上两个直角三角形的面积，据此列式计算即可； （2）把整体代入（1）中所求代数式求解即可． 【详解】（1）解：由题意得，盲区的总面积为： ； （2）解：当时，． 【题型十七】利用单项式乘多项式求字母的值 17．（25-26七年级下·全国·周测）若，则（    ） A．6 B． C．8 D． 【答案】C 【知识点】利用单项式乘多项式求字母的值 【分析】本题考查单项式乘多项式，正确计算是解题的关键． 利用单项式乘多项式法则展开左边表达式，比较同类项系数求即可. 【详解】解：∵ ， 又∵ ， ∴ ， ∴ ， ∴ . 故选：C. 【题型十八】计算多项式乘多项式 18．（24-25七年级下·安徽阜阳·期中）计算：． 【答案】 【知识点】计算多项式乘多项式 【分析】本题主要考查了整式乘法，根据多项式乘以多项式运算法则计算即可． 【详解】解： ． 【题型十九】（x+p）（x+q）型多项式乘法 19．（23-24七年级下·安徽滁州·期中）若，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】（x+p）（x+q）型多项式乘法 【分析】本题考查整式的乘法，利用多项式乘以多项式运算法则将等式左边的代数式展开并合并同类项，使得等式两边对应项的系数相等，得到关于m、n的方程，然后求解即可． 【详解】解：∵， ∴，， ∴． 故选：D． 【题型二十】已知多项式乘积不含某项求字母的值 20．（24-25七年级下·安徽安庆·期中）若的展开式中不含x的一次项，则化简后的二次项系数是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】已知多项式乘积不含某项求字母的值 【分析】本题主要考查了多项式乘多项式、合并同类项，将原式化简为的形式，是解题的关键．根据多项式乘多项式计算法则展开后合并同类项，再根据展开式中不含x的一次项求出m的值，再求出二次项系数即可． 【详解】解： ， ∵展开式中不含x的一次项， ∴， 解得， ∴， ∴二次项系数为，故D正确． 故选：D． 【题型二十一】多项式乘多项式——化简求值 21．（23-24七年级下·安徽合肥·期中）我们规定，例如，已知，则代数式的值是（   ） A．4 B．5 C．8 D．9 【答案】D 【知识点】多项式乘多项式——化简求值 【分析】本题主要查了整式的混合运算．根据新定义可得，从而得到，再代入，即可求解． 【详解】解：根据题意得：， ∴， 即， ∴， ∴． 故选：D 【题型二十二】多项式乘多项式与图形面积 22．（24-25七年级下·安徽宿州·月考）“筑牢民生之基，增强百姓幸福感”，某社区如火如荼地进行着社区环境的改善，提升老百姓的生活品质．如图．某小区内有一块长为米，宽为米的长方形地块，小区计划在中间留一块边长为a米的正方形地块修建一座假山，然后将剩余阴影部分进行绿化． (1)求绿化部分的面积（用含a，b的代数式表示）； (2)当，时，求绿化部分的面积． 【答案】(1)平方米 (2)平方米 【知识点】多项式乘多项式与图形面积、已知字母的值 ，求代数式的值 【分析】本题考查了多项式乘以多项式、整式的混合运算、求代数式的值，弄清题意，列出相应的式子是解此题的关键． （1）根据绿化面积矩形面积正方形面积，利用多项式乘以多项式法则以及完全平方公式化简，去括号并合并即可得解； （2）将a，b的值代入进行计算即可． 【详解】（1）解：绿化部分的面积 平方米， 答：绿化部分的面积为平方米． （2）解：当，时，原式平方米， 答：绿化部分的面积为平方米． 【题型二十三】多项式乘法中的规律性问题 23．（24-25七年级下·安徽安庆·期末）在数学中，为了书写简便，18世纪数学家欧拉就引进了求和符号“”如：记；．已知：，则的值是（  ） A．16 B． C．20 D． 【答案】B 【知识点】计算多项式乘多项式、多项式乘法中的规律性问题 【分析】本题考查多项式乘以多项式，以及规律探索，正确掌握整式的运算法则是解题的关键，根据题干规律将左侧化简，再利用多项式相等的条件即可得到、的值，即可解题． 【详解】解：， ， ， 即有 ， ，， 则的值是， 故选：B． 【题型二十四】整式乘法混合运算 24．（24-25七年级下·安徽合肥·期末）计算： 【答案】 【知识点】计算多项式乘多项式、计算单项式乘多项式及求值 【分析】本题考查了多项式乘多项式，先根据多项式乘以多项式和单项式乘以多项式的计算法则去括号，然后合并同类项即可得到答案． 【详解】解： ． 25．（24-25七年级下·安徽蚌埠·期中）先化简，再求值：，其中，． 【答案】； 【详解】解：原式 ； 当，时，原式 【题型二十五】运用完全平方公式进行运算 26．（24-25七年级下·安徽六安·期末）观察下列等式： 第1个等式：； 第2个等式：； 第3个等式：； 第4个等式： 按照以上规律，解决问题： (1)写出第5个等式： (2)写出第个等式（用含的式子表示），并通过计算说明你写出的等式的正确性； (3)利用上述规律，计算： 【答案】(1) (2)，见解析 (3) 【知识点】运用完全平方公式进行运算、数字类规律探索 【分析】本题考查的是含乘方的有理数混合运算的数字类规律探索， （1）根据规律直接写出第5个等式即可； （2）根据规律直接写出第n个等式，并验证即可； （3）利用规律进行计算即可． 【详解】（1）解：第1个等式：； 第2个等式：； 第3个等式：； 第4个等式：； 第5个等式：； （2）解：第个等式（用含的式子表示）：， 等式成立理由如下：左边右边 所以，等式左边=右边，等式成立． （3）解：原式 ． 【题型二十六】通过对完全平方公式变形求值 27．（24-25七年级下·安徽合肥）若，，则的值为 _____． 【答案】4 【知识点】通过对完全平方公式变形求值 【分析】此题考查了完全平方公式，代数式求值．将第一个等式左边利用完全平方公式展开，将的值代入计算即可求出的值． 【详解】解：∵，， ∴， ∴， 故答案为：4． 【题型二十七】完全平方公式在几何图形中的应用 28．（24-25七年级下·安徽合肥·期末）如图所示，边长分别为a、b且的大小两个正方形摆放在一起，其中有一部分重叠，则阴影部分A与阴影部分B的面积差是（   ） A．2 B．4 C． D． 【答案】D 【知识点】完全平方公式在几何图形中的应用 【分析】考查了整式的加减和完全平方公式，熟练掌握运算法则是解本题的关键． 设重叠部分的面积为S，则，相减即可得出结果． 【详解】解：设重叠部分的面积为S，则， ∴， 又∵， ∴. 故选:D 【题型二十八】运用平方差公式进行运算 29．（24-25七年级下·安徽阜阳·期中）若．则m的值为（   ） A．6 B．9 C． D．3 【答案】D 【知识点】计算多项式乘多项式、运用平方差公式进行运算 【分析】本题主要考查了平方差公式的应用， 将左边多项式展开后与右边比较对应项的系数，解方程求出m的值． 【详解】解：， ∴且， 解得． 故选：D． 【题型二十九】乘法公式与几何图形 30．（24-25七年级下·安徽合肥·期末）如图1为学校七年级两个班的劳动实践基地，图2是从实践基地抽象出来的几何模型：两块边长为m、n的正方形，其中重叠部分B为池塘，阴影部分、分别表示两个班级的基地面积．若，，则的值等于（    ） A．12 B．10 C．8 D．16 【答案】A 【知识点】完全平方公式在几何图形中的应用、平方差公式与几何图形 【分析】本题考查了完全平方公式和平方差公式在几何图形中的应用，根据题意可得，，求得，再根据，，利用完全平方公式求出的值，最后整体代入计算即可． 【详解】解：根据题意，得，， ， ∵，， ， 或（舍去）， ． 故选：A． 31．（24-25七年级下·安徽蚌埠·期中）如图，以长方形的各边为边向外作正方形，若四个正方形周长之和为，面积之和为． (1)求长方形的面积； (2)求分别以长、宽为边向外作的正方形的面积差． 【答案】(1) (2) 【知识点】平方差公式与几何图形、完全平方公式在几何图形中的应用 【分析】本题考查了完全平方公式以及平方差公式在几何问题中的应用，根据题意正确列方程组并运用完全平方公式化简是解题的关键． （1）设，，由题中周长和面积的关系根据完全平方公式及方程之间的关系，得出，进而根据完全平方公式变形即可得答案． （2）设，，根据完全平方公式变形求得，进而根据平方差公式即可求解． 【详解】（1）解：设，，由题意得： 化简得： ∵ ∴ 解得： 即长方形的面积为10， （2）解：设，，由题意得： ∴ 又∵即 ∴ ∴ ∴以长、宽为边向外作的正方形的面积差为 【题型三十】求完全平方式中的字母系数 32．（24-25七年级下·安徽宿州·期末）若是完全平方公式，则m的值为（  ） A． B． C． D．3 【答案】C 【知识点】求完全平方式中的字母系数 【分析】本题考查了完全平方公式，注意符合条件的答案有两个，以防漏解．根据完全平方公式的形式，可得答案． 【详解】解：， ∴， 解得：， 故选：C． 33．（23-24七年级下·安徽蚌埠·期中）已知，． （1）若是完全平方式，则_______； （2）的最小值是________． 【答案】 【知识点】运用完全平方公式进行运算、求完全平方式中的字母系数 【分析】本题考查的是完全平方公式，完全平方式的定义； （1）根据完全平方式的定义求解即可； （2）先求出，再配方计算即可． 【详解】（1）∵是完全平方式，是完全平方式， ∴， ∴， 故答案为：； （2）∵，， ∴ ， ∴当，时，有最小值，最小值是， 故答案为：． 【题型三十一】整式的混合运算 34．（24-25七年级下·安徽淮南·期末）已知，求代数式的值． 【答案】 【知识点】整式的混合运算、已知式子的值，求代数式的值 【分析】本题主要考查了整式的化简求值，先求出，再把所求式子利用单项式乘以多项式的计算法则和完全平方公式先去括号，然后合并同类项化简，再把整体代入求解即可． 【详解】解：， 35．（24-25七年级下·安徽阜阳·期中）已知甲、乙两个长方形，它们的边长如图所示，甲、乙的面积分别为，．    （1）比较．与的大小：________．（填“>”“<”或“=”） （2）若满足条件的整数n有且只有3个，则整数m的值为________． 【答案】 < 2023 【知识点】整式的混合运算、由不等式组解集的情况求参数 【分析】本题主要考查多项式乘多项式，解题的关键是掌握多项式乘多项式法则及作差法比较大小的方法． （1）根据题意得出，，再作差求解即可； （2）．由的整数n有且只有3个，知这3个整数解为2024，2023，2022，再根据可得答案． 【详解】解：（1）因为，，， 所以． 因为， 所以， 所以， 所以， 故答案为：<； （2）由（1），得． 因为的整数n有且只有3个， 所以这3个整数解为2024，2023，2022， 所以， 解得． 因为m为整数， 所以． 故答案为：2023． 【题型三十二】判断是否是因式分解 36．（2025·安徽·模拟预测）下列式子变形是正确的因式分解的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】判断是否是因式分解 【分析】本题考查了因式分解的定义，根据因式分解的定义逐个判断即可．能熟记因式分解的定义是解此题的关键，注意：把一个多项式化成几个整式的积的形式，叫因式分解． 【详解】解：A．从左到右的变形不属于因式分解，故本选项不符合题意； B．等号右边有分式，不属于因式分解，故本选项不符合题意； C．从左到右的变形属于整式的乘法，故本选项不符合题意； D．从左到右的变形属于因式分解，故本选项符合题意； 故选：D． 【题型三十三】已知因式分解的结果求参数 37．（24-25七年级下·安徽合肥·期末）如果 可分解为， 则 ___________________________ 【答案】 【知识点】已知因式分解的结果求参数、负整数指数幂 【分析】本此题考查了因式分解的应用，多项式乘以多项式法则，负整指数幂，熟练掌握多项式乘多项式和负整指数幂的法则是解本题的关键． 已知分解结果利用多项式乘以多项式法则计算，再利用多项式相等的条件求出a与b的值，再将a和b的值代入到中计算即可得出答案． 【详解】解：根据题意得： ∴ 解得，， ∴， 故答案为：． 【题型三十四】公因式 38．（22-23七年级下·安徽滁州·月考）将多项式因式分解时，应提取的公因式是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】公因式 【分析】根据因式分解的方法即可求解． 【详解】解：与与的公因式为， 故把分解因式时应该提取公因式是． 故选：D． 【点睛】此题主要考查因式分解，解题的关键是熟知提取公因式的方法． 【题型三十五】判断能否用公式法分解因式 39．（24-25七年级下·安徽六安·期末）下列多项式中，能用公式法分解因式的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】判断能否用公式法分解因式 【分析】本题主要考查了分式因式，熟知分解因式的方法是解题的关键，公式法为． 【详解】解：A． ：可提取公因式得，属于提公因式法，非公式法，不符合题意． B． ：平方和无法在实数范围内用公式法分解，不符合题意． C． ：可利用平方差公式分解为，符合题意． D． ：可提取公因式得，同样属于提公因式法，非公式法，不符合题意． 故选：C． 【题型三十六】完全平方公式分解因式 40．（24-25七年级下·安徽合肥·期末）下列多项式中，可以用完全平方公式进行因式分解的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】完全平方公式分解因式 【详解】本题考查完全平方公式分解因式．完全平方式的结构特征为：①有三项；②其中两项为平方项且符号相同；③第三项为两平方项底数乘积的2倍，符号不限．根据这些特征逐一分析选项即可． 【分析】解：A．：第一项为，第三项为，中间项应为，但实际中间项为，不符合完全平方公式； B．：仅有两项且均为负号，无法构成完全平方式的三项结构； C．：此为平方差形式，可用平方差公式分解，但不符合完全平方公式； D．：第一项为，第三项为，中间项为，与题目中的中间项一致，符号相同．因此可分解为，符合完全平方公式； 故选D． 【题型三十七】提公因式与完全平方公式法分解因式 41．（24-25七年级下·安徽阜阳·月考）阅读并解答． 在分解因式时，李老师是这样做的： （第一步） （第二步） （第三步） ．（第四步） (1)从第一步到第二步运用了________公式； (2)从第二步到第三步运用了________； (3)仿照上面的方法分解因式：． 【答案】(1)完全平方； (2)提公因式法； (3)见解析． 【知识点】提公因式法分解因式、完全平方公式分解因式 【分析】本题考查了因式分解，熟练掌握完全平方公式和提公因式法分解因式是解题的关键． （）根据完全平方公式因式分解即可； （）根据提取公因式法因式分解即可； （）仿照上面的方法分解因式即可． 【详解】（1）解：从第一步到第二步运用了完全平方公式， 故答案为：完全平方； （2）解：从第二步到第三步运用了提公因式法， 故答案为：提公因式法； （3）解： ． 【题型三十八】提公因式与平方差公式分解因式 42．（24-25七年级下·安徽合肥·月考）下列因式分解正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】提公因式法分解因式、平方差公式分解因式 【分析】题目主要考查因式分解的判断及应用提公因式法与公式法进行因式分解，熟练掌握因式分解的方法是解题关键．根据因式分解的方法，提公因式法及公式法依次进行计算判断即可． 【详解】解：A、，选项错误，不符合题意； B、不能进行因式分解，选项错误，不符合题意； C、不能进行因式分解，选项错误，不符合题意； D、，选项正确，符合题意． 故选：D． 【题型三十九】综合运用公式法分解因式 43．（23-24七年级下·安徽安庆·期中）把下列各式分解因式． (1) (2) 【答案】(1) (2) 【知识点】综合运用公式法分解因式 【分析】此题考查了因式分解的方法，解题的关键是熟练掌握因式分解的方法：提公因式法，平方差公式法，完全平方公式法，十字相乘法等． （1）先利用完全平方公式因式分解，然后利用平方差公式因式分解即可； （2）先利用完全平方公式因式分解，然后利用平方差公式因式分解即可． 【详解】（1） ； （2） ． 【题型四十】综合提公因式和公式法分解因式 44．（24-25七年级下·安徽滁州·月考）下列多项式不能因式分解的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】综合提公因式和公式法分解因式 【分析】本题主要考查因式分解；根据公式法分解因式，提公因式法分解因式逐一分解即可． 【详解】解：A． ，能因式分解， B． ，不能因式分解， C． ，能因式分解， D． ，能因式分解， 故选：B． 【题型四十一】因式分解在有理数简算中的应用 45．（23-24七年级下·安徽安庆·月考）运用因式分解计算：的结果为（    ） A．314 B．264 C．256 D．300 【答案】A 【知识点】因式分解在有理数简算中的应用 【分析】本题主要考查了分解因式的应用，用提公因式分解因式，然后进行计算即可． 【详解】解： ． 故选：A． 【题型四十二】十字相乘法 46．（24-25七年级下·安徽淮南·月考）下列等式从左到右的变形中，属于因式分解的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】判断是否是因式分解、十字相乘法、完全平方公式分解因式 【分析】本题考查因式分解的定义，将一个多项式写成几个整式的积的形式叫因式分解，据此逐个判断即可得到答案． 【详解】解：A：，等式右边不是乘积形式，不是因式分解，不符合题意； B：，等式右边是乘积形式，且展开后和左边相等，故是因式分解，符合题意； C：，等式右边不是乘积形式，不是因式分解，不符合题意； D：，等式右边是乘积形式，但展开后和左边不相等，故不是因式分解，不符合题意． 故选：B． 【题型四十三】分组分解法 47．（24-25七年级下·安徽安庆·月考）因式分解： 【答案】 【知识点】分组分解法 【分析】本题主要考查因式分解，先根据单项式与多项式相乘计算，再分组分解即可． 【详解】解： 【题型四十四】因式分解的应用 48．（24-25七年级下·安徽滁州·期末）先阅读下列材料，再解答下列问题： 材料：因式分解：． 解：将“”看成整体，令，则： 原式．再将“A”还原，得原式． 上述解题用到的是“整体思想”，“整体思想”是数学解题中常用的一种思想方法，请你解答下列问题： (1)因式分解：________； (2)若，求的值． 【答案】(1) (2)2 【知识点】因式分解的应用 【分析】本题考查因式分解，解题的关键是理解并掌握整体思想． （1）令，利用整体思想进行因式分解即可； （2）令，，求得，，再根据，求得即可． 【详解】（1）解：令， 则 ． 故答案为：； （2）因为，令，， 则，， 所以. 1 学科网（北京）股份有限公司 $