贴近现实生活的概率统计题讲义-2026届高三二轮专题复习

原创命制多道贴近现实生活的概率统计题(原题) 1.国内某一流大学在强基计划招生中，A类考生需参加笔试考试数学卷其满分为100分.为了解该大学在2021年强基计划招生中考生的数学素养情况，对参加考试的所有A类考生的数学成绩进行抽样调查，将抽样调查得到的考生数学成绩数据整理制作成如下频率分布直方图： 根据此频率分布直方图，下面结论中正确的是 ( ) A.数学笔试成绩低于50分的A类考生比率估计为 B.数学笔试成绩不低于70分的A类考生比率估计为 C.估计参加笔试的A类考生数学成绩的平均值为分 D.估计有以上的A类考生参加笔试的数学成绩介于50分至90分之间 2.(多选题)某高级中学高三年级有男、女住宿生和男、女通学生四类学生；已知男生有1100人，其中在校住宿的男生有900人，且通学的女生有100人；学校为调查毕业班学生的学习问题现状，按分层抽样方法抽取学生40人进行问卷调查，在参加问卷调查的学生中通学的男生为4人；则下列说法正确的是 ( ) A.该校高三学生总共有2000人 B.参加问卷调查的男住宿生有18人 C.高三在校住宿的女生有850人 D.参加问卷调查的女通学生有2人 3.(多选题)据2022年年初国家统计局发布的数据显示，截止2021年底，全国铁路运营里程达到15万公里，其中高铁3.96万公里.下表为2016-2021年高铁运营里程和高铁占铁路运营里程的比重. 年份 2016 2017 2018 2019 2020 2021 高铁运营里程(单位:万公里) 2.20 2.52 2.90 3.46 3.68 3.96 高铁占铁路运营里程的比重(单位:%) 16.4 18.2 20.5 24.1 25.2 26.4 则根据上表中数据与信息，下列表述正确的是( ) A.全国2016-2021年高铁运营里程是逐年增加的 B.全国2016-2021年高铁占铁路运营里程的比重是先增加后减少的 C.全国2016-2021年高铁运营里程的中位数为3.18万公里 D.全国2020年的铁路运营里程超过14.5万公里 4.从2016年1月1日起,“全面二孩”政策在全国范围内实施,许多年轻夫妇都积极地响应国家号召,在六年内生育了二胎,因此在有两个孩子的每户家庭中,若按孩子的性别来进行分类，共会出现三类家庭,分别为:“两个男孩型”家庭，“一男一女孩型”家庭, “两个女孩型”家庭.市消费者协会为了解有两个孩子家庭的某些日常生活消费指数,从该市有两个孩子(假设每胎只生一个小孩,科学研究证明每胎生男生女机会均等)的家庭中随机地抽取户进行调查统计,则估计其中是“一男一女孩型”家庭的户数为( ) A. B. C. D. 5.根据空气质量指数(数值)取不同数据分为六个区间为:,, ,,,,它们对应着六个空气质量类别分别记为优质,良好,轻度污染,中度污染,重度污染,严重污染.由于受全民生活幸福安康指标关注的需要,某空气质量科研机构同时对临近的甲、乙两大城市的空气质量指数进行24小时不间断监测,为了比较甲、乙两城市空气质量的优劣,该科研机构将最近100天对甲、乙两地监测到的空气质量类别情况统计如下表: 城市 优质(天数) 良好(天数) 总计 甲 75 25 100 乙 90 10 100 总计 165 35 200 （1）求该科研机构对甲、乙两城市监测到空气质量的类别中优质天数的频率分别是多少?请根据你的计算结果评估这两个城市空气质量的优劣情况； （2）能否有99%的把握认为甲城市空气质量的优劣与乙城市空气质量的优劣有差异? 附：； 6.近两年来中国猪肉市场由于受到国内外多种因素的影响,导致猪肉的市场零售均价一直居高不下，在一个高价区域范围内上下波动.政府为监控猪肉市场零售均价行情需要了解真实情况,在2021年1月份的某一天,市的物价主管部门派相关专业人员对全市零售猪肉的销售均价进行摸底,随机抽样调查了家超市了解情况,得到这些超市在当天的猪肉零售均价(单位:元/公斤)的频数分布表如下: 的分组 超市家数 (1)请分别估计该市在当天的猪肉零售均价不低于元/公斤的超市比例和零售均价小于元/公斤的超市比例； (2)已知样本均价位于分组区间(单位:元/公斤)内的家超市中，有家小超市和家大超市,从该组中任选家超市进行市场零售均价调控约谈,问选出的家超市中至少有家大超市的概率是多少？ (3)求该市在当天的猪肉零售均价的平均数与标准差的估计值(同一组中的数据用该组区间的中点值为代表).(精确到,且) 7.某企业认真贯彻党的十九大精神，以科技创新为先导，既为自身做大做强增加动力，又为提高和保障人民生活水平作出贡献，近期大批量生产一种恒流节水龙头.现将这批水龙头产品成箱包装，每箱有打，每一打有只，每一箱水龙头产品在出厂之前要对它的质量作检测，如果检测出不合格，则应更换合格品.检测时，先从这箱产品中任取一打作检测，再根据检测结果决定是否对该箱其余的水龙头作检测.设每只水龙头为不合格品的概率均是，且各只水龙头是否为不合格品相互独立.(1)记每一打的只水龙头中恰有只不合格品的概率是，求的最大值点.(2)今对一箱水龙头产品检测了一打，结果恰有只不合格品，以(1)中确定的作为的值.已知每只水龙头的检测费用是元，若有不合格水龙头出厂落入商家手中，则该企业要对每只水龙头支付元的信誉赔偿金.(i)若不对该箱其余的水龙头作检测，这一箱产品的检测费用与信誉赔偿金之和记为，求的期望.(ii)以检测费用与信誉赔偿金之和的期望值作为决策依据，是否该对这箱其余的所有水龙头作检测？ 答案解析及其欣赏 1.C 解:对于选项A，数学笔试成绩低于50分的A类考生比率估计为，知选项A错误； 对于选项B，数学笔试成绩不低于70分的A类考生比率估计为，知选项B错误； 对于选项C，数学成绩的平均值为分，知选项C正确； 对于选项D，数学成绩介于50分至90分的比率为，知选项D错误. 综上知答案选C. 2.ABD 解:依题意，由于男生有1100人，其中在校住宿的男生有900人，则知通学的男生有人，从而知分层抽样的抽样比为，则抽取参加问卷调查的男住宿生为人，抽取参加问卷调查的女通学生为人，故选项B，D的说法均正确.设高三学生人数为，由于抽取问卷调查的学生为40人，则有，解得，故选项A的说法正确；可得高三女生有，又通学的女生有100人,于是得在校住宿的女生有人，故选项C的说法错误；(另解:由上述知高三学生共有2000人，其中在校住宿的男生有900人,而通学的女生有100人，则抽取参加问卷调查的男住宿生为人，抽取参加问卷调查的女通学生为人，故选项B，D的说法均正确).综上知答案选ABD. 3.ACD 解:由表知,全国2016-2021年高铁运营里程和高铁占铁路运营里程的比重都是逐年增加,故知A正确，B错误；全国2016-2021年高铁运营里程的中位数为万公里，故知C正确；由题目表中数据得全国2020年的铁路运营里程为万公里，显然超过14.5万公里，故知D正确.综上知答案选ACD. 4.C 设表示有个小孩的每户家庭中含有男孩的个数,依题意知；则在有个小孩的每户家庭中,是“两个男孩型”家庭发生的概率为 ；是“一男一女孩型”家庭发生的概率为；是“两个女孩型”家庭发生的概率为.设表示每户有个小孩的户家庭中含有“一男一女孩型”家庭的户数,从而知,则 (户), 即估计其中是“一男一女孩型”家庭的户数为.故选C. 5.解：（1）由表格数据得:对甲城市监测到空气质量的类别中优质天数的频率为； 对乙城市监测到空气质量的类别中优质天数的频率为； 由于两城市检测的天数是一样多的，而两者的频率, 由此可知空气质量的优质天数乙城市高于甲城市， 故乙城市的空气质量要好些. （2）依题意,由表中数据得 . 所以有99%的把握认为甲城市空气质量的优劣与乙城市空气质量的优劣有差异. 6.解:(1)根据各超市的猪肉零售均价的频数分布表,得所调查的家超市在当天的猪肉零售均价不低于元/公斤的超市频率为,零售均价小于元/公斤的超市频率为；用样本频率分布估计总体分布,得该市在当天的猪肉零售均价不低于元/公斤的超市比例为,零售均价小于元/公斤的超市比例为. (2))设家小超市分别用小字母表示,大超市分别用大字母表示,从家超市中任取家的所有结果分别为:共有种，其中至少有家大超市的结果分别为共有种,故所求的概率为. (3)依题意,得(元/公斤).  , 则(元/公斤).故该市当天的猪肉零售均价的平均数与标准差的估计值分别为,(元/公斤). 点评：本题考查统计与概率的数学思想,是和现实生活、日常消费密切相关的实际问题,具有很强的现实意义和知识联系实际的应用意识.涉及概率与统计中的总体、频数、频率(概率)、样本平均数和标准差及增长率等相关知识,同时可检测对抽象概括、数据处理、数学运算、数学建模等多种能力的掌握，以及对综合素养的考查. 7.解：(1)由于每一打的只水龙头中恰有只不合格的概率是，且.则有，又因，令，解得.则当时,；当时,.即函数在上是递增的，在上是递减的；故的最大值点. (2)(i)由(1)知，.(i)设表示该箱其余打共只水龙头产品中的不合格品只数，依题意知，则，而.故得元. (ii)如果对其余的打共只水龙头作检测，则这一箱产品所需要的检测费为元，由于，故不应该对这箱其余的所有水龙头作检测. 点评：考查函数、导数与概率知识结合的综合题,涉及二项分布及其期望、利用导数确定函数的单调性和求极值点.考查函数与方程思想,检验数学抽象、数学建模、数据分析、逻辑推理与运算求解能力. 命题特点与心得：概率统计在最近几年高考中确实发生了明显的变化.一方面是综合性更强，另一方面新考法、新角度层出不穷.尽管概率统计的综合性难度会略有下降，但是在创新性上还会继续保持与时俱进和不断变化.概率与统计题的题干一般较长，背景材料或解释的文字较多、信息量较大.命题材料通常以现实生活紧密相连的问题为背景，情境真实、新颖，试题综合性强、思维量大、区分度明显及数学文化浓厚等特征. 学科网（北京）股份有限公司 $ 原创命制多道贴近现实生活的概率统计题(原题) 1.国内某一流大学在强基计划招生中，A类考生需参加笔试考试数学卷其满分为100分.为了解该大学在2021年强基计划招生中考生的数学素养情况，对参加考试的所有A类考生的数学成绩进行抽样调查，将抽样调查得到的考生数学成绩数据整理制作成如下频率分布直方图： 根据此频率分布直方图，下面结论中正确的是 ( ) A.数学笔试成绩低于50分的A类考生比率估计为 B.数学笔试成绩不低于70分的A类考生比率估计为 C.估计参加笔试的A类考生数学成绩的平均值为分 D.估计有以上的A类考生参加笔试的数学成绩介于50分至90分之间 2.(多选题)某高级中学高三年级有男、女住宿生和男、女通学生四类学生；已知男生有1100人，其中在校住宿的男生有900人，且通学的女生有100人；学校为调查毕业班学生的学习问题现状，按分层抽样方法抽取学生40人进行问卷调查，在参加问卷调查的学生中通学的男生为4人；则下列说法正确的是 ( ) A.该校高三学生总共有2000人 B.参加问卷调查的男住宿生有18人 C.高三在校住宿的女生有850人 D.参加问卷调查的女通学生有2人 3.(多选题)据2022年年初国家统计局发布的数据显示，截止2021年底，全国铁路运营里程达到15万公里，其中高铁3.96万公里.下表为2016-2021年高铁运营里程和高铁占铁路运营里程的比重. 年份 2016 2017 2018 2019 2020 2021 高铁运营里程(单位:万公里) 2.20 2.52 2.90 3.46 3.68 3.96 高铁占铁路运营里程的比重(单位:%) 16.4 18.2 20.5 24.1 25.2 26.4 则根据上表中数据与信息，下列表述正确的是( ) A.全国2016-2021年高铁运营里程是逐年增加的 B.全国2016-2021年高铁占铁路运营里程的比重是先增加后减少的 C.全国2016-2021年高铁运营里程的中位数为3.18万公里 D.全国2020年的铁路运营里程超过14.5万公里 4.从2016年1月1日起,“全面二孩”政策在全国范围内实施,许多年轻夫妇都积极地响应国家号召,在六年内生育了二胎,因此在有两个孩子的每户家庭中,若按孩子的性别来进行分类，共会出现三类家庭,分别为:“两个男孩型”家庭，“一男一女孩型”家庭, “两个女孩型”家庭.市消费者协会为了解有两个孩子家庭的某些日常生活消费指数,从该市有两个孩子(假设每胎只生一个小孩,科学研究证明每胎生男生女机会均等)的家庭中随机地抽取户进行调查统计,则估计其中是“一男一女孩型”家庭的户数为 A. B. C. D. 5.根据空气质量指数(数值)取不同数据分为六个区间为:,, ,,,,它们对应着六个空气质量类别分别记为优质,良好,轻度污染,中度污染,重度污染,严重污染.由于受全民生活幸福安康指标关注的需要,某空气质量科研机构同时对临近的甲、乙两大城市的空气质量指数进行24小时不间断监测,为了比较甲、乙两城市空气质量的优劣,该科研机构将最近100天对甲、乙两地监测到的空气质量类别情况统计如下表: 城市 优质(天数) 良好(天数) 总计 甲 75 25 100 乙 90 10 100 总计 165 35 200 （1）求该科研机构对甲、乙两城市监测到空气质量的类别中优质天数的频率分别是多少?请根据你的计算结果评估这两个城市空气质量的优劣情况； （2）能否有99%的把握认为甲城市空气质量的优劣与乙城市空气质量的优劣有差异? 附：； 6.近两年来中国猪肉市场由于受到国内外多种因素的影响,导致猪肉的市场零售均价一直居高不下，在一个高价区域范围内上下波动.政府为监控猪肉市场零售均价行情需要了解真实情况,在2021年1月份的某一天,市的物价主管部门派相关专业人员对全市零售猪肉的销售均价进行摸底,随机抽样调查了家超市了解情况,得到这些超市在当天的猪肉零售均价(单位:元/公斤)的频数分布表如下: 的分组 超市家数 (1)请分别估计该市在当天的猪肉零售均价不低于元/公斤的超市比例和零售均价小于元/公斤的超市比例； (2)已知样本均价位于分组区间(单位:元/公斤)内的家超市中，有家小超市和家大超市,从该组中任选家超市进行市场零售均价调控约谈,问选出的家超市中至少有家大超市的概率是多少？ (3)求该市在当天的猪肉零售均价的平均数与标准差的估计值(同一组中的数据用该组区间的中点值为代表).(精确到,且) 7.某企业认真贯彻党的十九大精神，以科技创新为先导，既为自身做大做强增加动力，又为提高和保障人民生活水平作出贡献，近期大批量生产一种恒流节水龙头.现将这批水龙头产品成箱包装，每箱有打，每一打有只，每一箱水龙头产品在出厂之前要对它的质量作检测，如果检测出不合格，则应更换合格品.检测时，先从这箱产品中任取一打作检测，再根据检测结果决定是否对该箱其余的水龙头作检测.设每只水龙头为不合格品的概率均是，且各只水龙头是否为不合格品相互独立.(1)记每一打的只水龙头中恰有只不合格品的概率是，求的最大值点.(2)今对一箱水龙头产品检测了一打，结果恰有只不合格品，以(1)中确定的作为的值.已知每只水龙头的检测费用是元，若有不合格水龙头出厂落入商家手中，则该企业要对每只水龙头支付元的信誉赔偿金.(i)若不对该箱其余的水龙头作检测，这一箱产品的检测费用与信誉赔偿金之和记为，求的期望.(ii)以检测费用与信誉赔偿金之和的期望值作为决策依据，是否该对这箱其余的所有水龙头作检测？ 学科网（北京）股份有限公司 $