古典概型、独立事件的概率 讲义-2026届高三数学二轮复习

统计与概率：古典概型、独立事件的概率复习讲义 统计与概率：古典概型、独立事件的概率复习讲义 考点目录 古典概型 独立事件的概率 知识点解析 1. 古典概型解题核心思路 定模型→数基本事件→算比值，即先确认符合古典概型等可能、有限性特征，再分别数出总基本事件数和目标事件数，最后用计算概率。 2. 核心解法技能 （1）特征验证：先判断试验结果有限且等可能，排除非等可能情况（如几何概型、分层结果）； （2）计数方法： ①简单情况：直接枚举（列表、树状图），不重不漏； ②复杂情况：用排列组合公式（分步乘、分类加，区分有序/无序）； （3）事件转化：遇“至少/至多”类复杂目标事件，优先算对立事件再用简化计算； （4）等价拆分：将目标事件拆分为互斥子事件，用加法公式求和，保证拆分无重叠、无遗漏。 （5）核心关键：等可能是前提，准确计数是核心。 1. 独立事件概率解题核心思路 先判定事件相互独立，再将复杂独立事件拆解为“积/和”形式，用独立事件乘法、互斥事件加法公式计算概率。 2. 核心解法技能 （1）独立性判定：满足，或直观判断“一事件发生不影响另一事件概率”； （2）核心公式：独立事件同时发生，（可推广到n个独立事件）； （3）复杂事件拆解： ①“至少/至多发生一个”：优先算对立事件（全部不发生/全部发生）简化； ②“恰好发生k个”：组合选k个发生，其余不发生，再乘各事件概率； （4）分步计算：多步独立试验，按步骤依次算每步概率，最后相乘。 （5）核心关键：先判独立，再拆事件，乘加结合。 考点一 古典概型 【例题分析】 例1．（25-26高三上·湖北·期末）袋中有9个除了颜色外完全相同的小球，其中有3个白球，2个红球，4个黄球.从中不放回地取球，每次取一个球，当三种颜色的球都取到时停止，记停止时取出的球的个数为，则（    ） A． B． C． D． 例2．（2026·江西·一模）随机抛掷质地均匀的两枚骰子，向上点数分别记为和，则直线与圆有2个公共点的概率为（   ） A． B． C． D． 例3．（2026·广东广州·模拟预测）箱中有连续编号1到15的小球，现从箱中一次随机取出5个球，若已知取出的5个球的编号中位数为9，则这5个球中的最大编号与最小编号之差恰好等于9的概率为__________． 例4．（25-26高三下·安徽·开学考试）有一个摸奖游戏，在一个不透明的口袋中装有大小相同的3个红球和5个白球，红球分别标有数字1，2，3，白球分别标有数字1，2，3，4，5，若一次性从袋中摸出三个球，摸到三个球同色或摸到三个球数字之和为3的倍数就中奖，则中奖的概率为___________. 例5．（2026·广东佛山·一模）现有8张大小质地完全相同的卡片，其中4张是红色，4张是蓝色.从中随机摸出3张卡片放入一个不透明的袋子中，记袋子中红色卡片的张数为，然后进行如下操作：从袋子中随机摸出一张卡片（每张卡片被摸到的概率相等），观察其颜色后，将该卡片放在袋外，再从袋外取一张另一种颜色的卡片放入袋中（即若摸出红色卡片，则放回蓝色卡片；若摸出蓝色卡片，则放回红色卡片），袋子中始终保持3张卡片．记经过次这样的操作后，袋子中红色卡片的张数为． (1)求； (2)当时，求随机变量的分布列和数学期望； (3)求随机变量的数学期望． 例6．（25-26高三下·云南怒江·开学考试）近年来，我国在大力发展清洁能源来替代化石能源.天然气、水电、核电、风电等清洁能源消费量占能源消费总量的比重逐年增长.以下是2016∼2024年我国某地清洁能源消费量占能源消费总量的比重数据：19.5%，20.3%，22.1%，23.3%，24.3%，25.5%，26.0%，26.4%，28.6%. (1)求这组数据的极差与中位数； (2)从这9个数据中任选3个，求恰有2个数据在25.0%以上的概率； (3)若2016∼2024年我国某地清洁能源消费量占能源消费总量的比重y关于年份x的经验回归方程为，年份x的平均数为2020，预测2028年该地清洁能源消费量占能源消费总量的比重. 【变式训练】 变式1．（2026·山东东营·一模）在2025年10月19日举行的黄河口马拉松比赛活动中，甲、乙、丙、丁四位志愿者被派往A、B、C三个服务站，若每个服务站至少派一位志愿者，且每位志愿者只能被派往一个服务站，则在甲被派去B服务站的条件下，甲、乙被派去同一个服务站的概率为（    ） A． B． C． D． 变式2．（25-26高三下·广东江门·开学考试）从1，2，3，4中随机抽取三个不同的数相加，得到的和记为，剩余的数乘以3，记为，则（    ） A． B． C． D．1 变式3．（25-26高三上·广西贵港·开学考试）不透明的盒子中装有大小质地相同的2个红球、2个白球、4个黄球，若采取不放回的方式每次从盒子中随机摸出一个小球，当三种颜色的球都被摸到时停止摸球，记此时已摸球的次数为随机变量，则______． 变式4．（2026·内蒙古包头·模拟预测）某不透明的袋子中装有标号为的12个球（除标号外，其他均相同），现从袋子中任取3个球，记为取出的3个球的标号之和被3除的余数，则_______． 变式5．（2026·山东临沂·一模）某人工智能公司召开年会，期间提供两个游戏供员工选择，两个游戏均有3局，每局获胜可获对应奖金，奖金可累计.具体规则如下： 游戏Ⅰ：抛掷质地均匀的相同硬币 第1局，抛两枚，向上的图案相同则获胜，得100元奖金；第2局，抛三枚，向上的图案相同则获胜，得500元奖金；第3局，抛四枚，向上的图案相同则获胜，得900元奖金； 游戏Ⅱ：抛掷质地均匀的特殊骰子（三组对面分别标记0，2，6的骰子）. 第1局，抛两颗，向上的数字相同则获胜，得300元奖金；第2局，抛三颗，向上的数字相同则获胜，得600元奖金；第3局，抛四颗，向上的数字是2，0，2，6（不计顺序）则获胜，得900元奖金. (1)求游戏Ⅰ第2局获胜的概率； (2)若销售部门的3位员工均选择游戏Ⅰ，设X为前两局均未获胜的人数，求X的分布列和数学期望； (3)从奖金期望角度，员工应选择哪个游戏？请说明理由. 变式6．（2026·江苏镇江·一模）AI幻觉，是指AI模型生成看似合理但实际不正确或毫无事实依据的信息的现象，AI幻觉率是指AI模型产生AI幻觉的概率.现抽取了某公司研发的14个使用率较高的AI模型，其幻觉率如下表所示： AI模型 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 幻觉率 1.3% 1.8% 2.9% 1.5% 1.9% 2.9% 0.7% 0.9% 1.6% 2.4% 0.8% 1.6% 2.4% 2.8% (1)从表中提供的AI模型中任取一个，求该模型幻觉率小于2%的概率； (2)从表中提供的幻觉率小于的AI模型中任取3个，用随机变量表示其中幻觉率小于的模型个数，求随机变量的分布列和数学期望. 考点二 独立事件的概率 【例题分析】 例1．（25-26高三下·陕西西安·开学考试）已知某足球队共有13名球员，其中主力球员11名，替补球员2名.假设主力球员定点射门的命中率为0.8，替补球员定点射门的命中率为0.6.现从该球队随机抽取1名球员进行定点射门，连续射门2次，则恰好命中1次的概率为（    ） A． B． C． D． 例2．（2026·广东梅州·一模）甲乙两人下棋比赛，规则是谁先赢2局，谁便赢得奖金5400元.根据以往的交手记录，每局甲赢的概率为，乙赢的概率为，且每局比赛相互独立.然而因突发事件，比赛未能举行，为公平服众，奖金按照比赛正常进行时各自赢得比赛的概率之比进行分配，则甲分得奖金（    ）元. A．3600 B．3800 C．4000 D．4200 例3．（2026·广东·模拟预测·多选）已知事件为一组相互独立的事件，且，则（    ） A． B． C． D． 例4．（2026·陕西西安·一模·多选）甲、乙两选手进行象棋比赛，有3局2胜制、5局3胜制两种方案.设每局比赛中甲获胜的概率为，乙获胜的概率为，且每局比赛的结果互不影响，则下列结论正确的有（    ） A．若采用3局2胜制，则甲获胜的概率为 B．若采用5局3胜制，则甲以获胜的概率为 C．若，则甲在5局3胜制中获胜的概率比在3局2胜制中获胜的概率大 D．若，采用5局3胜制，在甲获胜的条件下，比赛局数为4局的可能性最大 例5．（25-26高三下·天津·开学考试）袋中有2个不同的红球和3个不同的白球，每次取1个球，若取出红球，则不放回袋中；若取出白球，则放回袋中.连续取3次球,袋中还有2个红球的概率为______；若袋中还有1个红球，则第2次取出红球的概率为______． 例6．（25-26高三上·广东深圳·期末）盒子里装有6个小球，其中2个红球，4个黑球.从盒子中随机取出1个小球，若取出的是红球，则直接丢弃，若取出的是黑球，则放回盒子中.则 （1）取了3次后，恰好取出1个红球的概率为__________； （2）取了次后，所有红球刚好全部取出的概率为__________. 例7．（2026·江苏常州·模拟预测）甲、乙两人轮流投篮，每人每次投一球，约定甲先投，先投中者获胜，直到有人获胜或每人都已投三次结束，设甲每次投篮投中的概率为，乙每次投篮投中的概率为，且各自投篮互不影响. (1)求比赛结束但仍没有决出胜负的概率； (2)求甲获胜的概率. 例8．（25-26高三下·河北沧州·月考）某研发系统内在初始时刻有一个可分裂粒子，在第1分钟末这个粒子分裂成两个新粒子，共有三种分裂情况：产生两个可分裂粒子，其概率为；产生一个可分裂粒子与一个不可分裂粒子，其概率为；产生两个不可分裂粒子，其概率为. 新产生的每个可分裂粒子在1分钟末又会按照上述分裂情况分裂成两个新粒子，不可分裂粒子在1分钟末被移出系统.称系统中没有可分裂粒子时能量达到峰值. (1)求第2分钟末时能量首次达到峰值的概率； (2)记初始时刻后2分钟末时的可分裂粒子个数为，求的分布列和数学期望. 【变式训练】 变式1．（25-26高三下·浙江杭州·月考）甲、乙两人进行乒乓球比赛，约定打6局，每局必分胜负，无平局．每局比赛中，获胜方得1分，失败方得0分．已知甲在每局比赛中获胜的概率是，乙在每局比赛中获胜的概率为，且各局结果相互独立．在整个比赛过程中，甲的累计得分始终不小于乙的累计得分的概率是（    ） A． B． C． D． 变式2．（2026·广东佛山·一模）甲和乙进行一个游戏：初始时每人各持有2枚徽章．根据游戏规则，每局由丙负责投掷一枚均匀的骰子，出现奇数点则甲胜，出现偶数点则乙胜，胜负概率均为．输的一方需将自己的1枚徽章交给赢的一方．游戏进行到其中一人拥有全部徽章时立即终止，且各局结果相互独立．则游戏恰好进行4局终止且甲拥有全部徽章的概率为（   ） A． B． C． D． 变式3．（2026·湖南常德·一模·多选）设，为两个相互独立的随机事件，且，，则下列命题中正确的是（   ） A． B． C． D． 变式4．（25-26高三下·河北沧州·月考·多选）现口袋里共有4个红球，5个黄球和3个蓝球，它们除颜色外完全相同.现进行取球，则（    ） A．若取出球后放回口袋，每次只取一个球，则第4次取出黄球的概率为 B．若取出球后不放回口袋，每次只取一个球，则第2次取出黄球的概率为 C．若取出球后放回口袋，每次只取两个球，则第4次取出的两个球中至少有一个是黄球的概率为 D．若取出球后放回口袋，每次只取两个球，则第2次取出的两个球中至少有一个是黄球的概率为 变式5．（25-26高三上·河北邯郸·月考）设事件A，B相互独立，，则_________________． 变式6．（25-26高二上·湖南衡阳·月考）甲、乙、丙三名毕业生到三个公司实习,假设每名毕业生都要去实习,且每名毕业生到三个公司中任一公司实习的概率均相等,则恰有两名毕业生到A公司实习的概率是__________. 变式7．（25-26高三下·云南昆明·月考）某公司研发了一种智能语音客服系统，在测试时，当语音输入的问题表达清晰时，智能语音客服的回答被采纳的概率为，当语音输入的问题表达不清晰时，智能语音客服的回答被采纳的概率为.已知语音输入的问题表达清晰的概率为，且智能语音客服每次回答是否被采纳相互没有影响. (1)求智能语音客服的回答被采纳的概率； (2)在某次测试中输入了4个问题，设表示智能语音客服的回答被采纳的次数，求的分布列､数学期望和方差. 变式8．（25-26高三下·重庆·开学考试）有动物类和植物类两个谜语题库，甲猜对动物类、植物类题库中每道谜语的概率分别为0.8，0.5．现有两种答题方案：方案一，甲先从动物类题库中选一道谜语作答，猜对得奖金15元，且只有猜对该道谜语，才有资格从植物类题库中再选一道谜语作答，猜对第二道得奖金25元；方案二，甲从动物类题库中选两道谜语作答，每猜对一道得奖金15元. (1)若甲选择方案一的奖金金额为X元，求X的分布列与期望. (2)以甲获得奖金金额的期望值为决策依据，他应该选择哪个方案?并说明理由. 2 学科网（北京）股份有限公司 $统计与概率：古典概型、独立事件的概率复习讲义 统计与概率：古典概型、独立事件的概率复习讲义 考点目录 古典概型 独立事件的概率 知识点解析 1. 古典概型解题核心思路 定模型→数基本事件→算比值，即先确认符合古典概型等可能、有限性特征，再分别数出总基本事件数和目标事件数，最后用计算概率。 2. 核心解法技能 （1）特征验证：先判断试验结果有限且等可能，排除非等可能情况（如几何概型、分层结果）； （2）计数方法： ①简单情况：直接枚举（列表、树状图），不重不漏； ②复杂情况：用排列组合公式（分步乘、分类加，区分有序/无序）； （3）事件转化：遇“至少/至多”类复杂目标事件，优先算对立事件再用简化计算； （4）等价拆分：将目标事件拆分为互斥子事件，用加法公式求和，保证拆分无重叠、无遗漏。 （5）核心关键：等可能是前提，准确计数是核心。 1. 独立事件概率解题核心思路 先判定事件相互独立，再将复杂独立事件拆解为“积/和”形式，用独立事件乘法、互斥事件加法公式计算概率。 2. 核心解法技能 （1）独立性判定：满足，或直观判断“一事件发生不影响另一事件概率”； （2）核心公式：独立事件同时发生，（可推广到n个独立事件）； （3）复杂事件拆解： ①“至少/至多发生一个”：优先算对立事件（全部不发生/全部发生）简化； ②“恰好发生k个”：组合选k个发生，其余不发生，再乘各事件概率； （4）分步计算：多步独立试验，按步骤依次算每步概率，最后相乘。 （5）核心关键：先判独立，再拆事件，乘加结合。 考点一 古典概型 【例题分析】 例1．（25-26高三上·湖北·期末）袋中有9个除了颜色外完全相同的小球，其中有3个白球，2个红球，4个黄球.从中不放回地取球，每次取一个球，当三种颜色的球都取到时停止，记停止时取出的球的个数为，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】前4次只取到红球和黄球（两种颜色都有），第5次取到白球，； 前4次只取到白球和黄球（两种颜色都有），第5次取到红球，； 前4次只取到白球和红球（两种颜色都有），第5次取到黄球，. 所以. 故选：C. 例2．（2026·江西·一模）随机抛掷质地均匀的两枚骰子，向上点数分别记为和，则直线与圆有2个公共点的概率为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由已知可得，直线，圆的圆心为，半径， 则圆心到直线的距离为． 因为直线与圆有2个公共点， 所以，整理可得． 若，则；若，则；若，则；若，则； 若，则；若，则， 所以直线与圆有2个公共点的概率是. 例3．（2026·广东广州·模拟预测）箱中有连续编号1到15的小球，现从箱中一次随机取出5个球，若已知取出的5个球的编号中位数为9，则这5个球中的最大编号与最小编号之差恰好等于9的概率为__________． 【答案】 【详解】设取出的5个球编号从小到大排列为， 由已知中位数为9即，则需从中选取，需从中选取， 故基本事件总数为． 若满足最大编号与最小编号之差为9，设，则． 由知， 由即知，且即，故， 此时的选法总数为， 求和得符合条件的事件数为， 故所求概率为． 例4．（25-26高三下·安徽·开学考试）有一个摸奖游戏，在一个不透明的口袋中装有大小相同的3个红球和5个白球，红球分别标有数字1，2，3，白球分别标有数字1，2，3，4，5，若一次性从袋中摸出三个球，摸到三个球同色或摸到三个球数字之和为3的倍数就中奖，则中奖的概率为___________. 【答案】 【详解】方法一：摸球总的方法数是种，把符合条件的摸球情况分四类： 第一类：全红有种； 第二类：2红1白， 若红球摸1+2号，白球只能是3号（1种）； 若红球摸1+3号，白球可以是2或5号（2种）； 若红球摸2+3号，白球可以是1或4号（2种），故第二类共1+2+2=5种； 第三类：1红2白， 若红球摸1号，白球可以是1+4号、2+3号、3+5号（3种）， 若红球摸2号，白球可以是1+3号、2+5号、3+4号（3种）， 若红球摸3号，白球可以是1+2号、1+5号、2+4号、4+5号（4种），故第三类共种； 第四类：全白有种； 故所求概率为. 方法二：按照容斥原理计算 （1）三个球同色的方法数：， （2）“三个球数字之和为3的倍数的方法数，分三种情况： 第一种：和为6的：型有型有1种， 第二种：和为9的：型有种； 型有种； 型有种； 第三种：和为12的：型有种， 所以三个球数字之和为3的倍数的方法数共20种， 三个球同色且数字之和为3的倍数， 其中3个红球的情况有1种（和为6）； 3个白球的情况有共4种， 所以交集共种， 故共有种， 故所求概率为. 例5．（2026·广东佛山·一模）现有8张大小质地完全相同的卡片，其中4张是红色，4张是蓝色.从中随机摸出3张卡片放入一个不透明的袋子中，记袋子中红色卡片的张数为，然后进行如下操作：从袋子中随机摸出一张卡片（每张卡片被摸到的概率相等），观察其颜色后，将该卡片放在袋外，再从袋外取一张另一种颜色的卡片放入袋中（即若摸出红色卡片，则放回蓝色卡片；若摸出蓝色卡片，则放回红色卡片），袋子中始终保持3张卡片．记经过次这样的操作后，袋子中红色卡片的张数为． (1)求； (2)当时，求随机变量的分布列和数学期望； (3)求随机变量的数学期望． 【答案】(1) (2)分布列见解析， (3) 【详解】（1）依题意，. （2）当时，若摸出红色卡片，则的值为1，若摸出蓝色卡片，则的值为3， 所以，， 所以的分布列为 1 3 数学期望为. （3）的取值为0，1，2，3． ，， ，． 的取值为0，1，2，3． ， ， ， ， 所以随机变量的数学期望为. 例6．（25-26高三下·云南怒江·开学考试）近年来，我国在大力发展清洁能源来替代化石能源.天然气、水电、核电、风电等清洁能源消费量占能源消费总量的比重逐年增长.以下是2016∼2024年我国某地清洁能源消费量占能源消费总量的比重数据：19.5%，20.3%，22.1%，23.3%，24.3%，25.5%，26.0%，26.4%，28.6%. (1)求这组数据的极差与中位数； (2)从这9个数据中任选3个，求恰有2个数据在25.0%以上的概率； (3)若2016∼2024年我国某地清洁能源消费量占能源消费总量的比重y关于年份x的经验回归方程为，年份x的平均数为2020，预测2028年该地清洁能源消费量占能源消费总量的比重. 【答案】(1)， (2) (3) 【详解】（1）将数据从小到大排序得到：19.5%，20.3%，22.1%，23.3%，24.3%，25.5%，26.0%，26.4%，28.6% 所以极差为. 中位数为. （2）以上的数据共有4个， 故恰有2个数据在以上的概率为. （3）这组数据的平均数为. 由直线过点， 则， 所以经验回归方程为. 当时，. 【变式训练】 变式1．（2026·山东东营·一模）在2025年10月19日举行的黄河口马拉松比赛活动中，甲、乙、丙、丁四位志愿者被派往A、B、C三个服务站，若每个服务站至少派一位志愿者，且每位志愿者只能被派往一个服务站，则在甲被派去B服务站的条件下，甲、乙被派去同一个服务站的概率为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】先求甲被派去服务站的方法数； 第一种情况：甲一个人去服务站，则有种； 第二种情况：甲和其中一人去服务站，则有种； 故甲被派去服务站的方法数共种； 再求甲乙被派去同一个服务站的方法数：有种； 故概率为. 变式2．（25-26高三下·广东江门·开学考试）从1，2，3，4中随机抽取三个不同的数相加，得到的和记为，剩余的数乘以3，记为，则（    ） A． B． C． D．1 【答案】B 【详解】从中随机抽取三个不同的数，共有种等可能的情况： ①抽取，则，剩余数为，，此时； ②抽取，则，剩余数为，，此时； ③抽取，则，剩余数为，，此时； ④抽取，则，剩余数为，，此时； 在总共种等可能的情况中，满足的情况有种， 因此 变式3．（25-26高三上·广西贵港·开学考试）不透明的盒子中装有大小质地相同的2个红球、2个白球、4个黄球，若采取不放回的方式每次从盒子中随机摸出一个小球，当三种颜色的球都被摸到时停止摸球，记此时已摸球的次数为随机变量，则______． 【答案】 【详解】从8个球中随机不放回摸出5个球的试验共种， 的事件有：①第5次摸到的球是黄球，则前4次摸到的球均为白球和红球种； ②第5次摸到的球是白球，则前4次摸到的球可能为2红2黄或1红3黄种； ③第5次摸到的球是红球，则前4次摸到的球可能为2白2黄或1白3黄种， 所以. 变式4．（2026·内蒙古包头·模拟预测）某不透明的袋子中装有标号为的12个球（除标号外，其他均相同），现从袋子中任取3个球，记为取出的3个球的标号之和被3除的余数，则_______． 【答案】 【详解】将按除以3的余数分为三类，每类各4个球： 余数为0：，余数为1：，余数为2：， 从12个球中任取3个，总的样本点个数为：， 计算符合（和被3除余0）的取法，分两类情况： 情况1：三个球余数相同，取法共：， 情况2：三个球余数各不相同，取法共：， 符合条件的总取法：， 故. 变式5．（2026·山东临沂·一模）某人工智能公司召开年会，期间提供两个游戏供员工选择，两个游戏均有3局，每局获胜可获对应奖金，奖金可累计.具体规则如下： 游戏Ⅰ：抛掷质地均匀的相同硬币 第1局，抛两枚，向上的图案相同则获胜，得100元奖金；第2局，抛三枚，向上的图案相同则获胜，得500元奖金；第3局，抛四枚，向上的图案相同则获胜，得900元奖金； 游戏Ⅱ：抛掷质地均匀的特殊骰子（三组对面分别标记0，2，6的骰子）. 第1局，抛两颗，向上的数字相同则获胜，得300元奖金；第2局，抛三颗，向上的数字相同则获胜，得600元奖金；第3局，抛四颗，向上的数字是2，0，2，6（不计顺序）则获胜，得900元奖金. (1)求游戏Ⅰ第2局获胜的概率； (2)若销售部门的3位员工均选择游戏Ⅰ，设X为前两局均未获胜的人数，求X的分布列和数学期望； (3)从奖金期望角度，员工应选择哪个游戏？请说明理由. 【答案】(1) (2)答案见解析； (3)游戏Ⅱ 【详解】（1）由题意知，游戏Ⅰ第局获胜的概率. （2）易知, 游戏Ⅰ第局获胜的概率为，第局获胜的概率为，则第局和第局均未获胜的概率为， 因此可知, 随机变量的分布列为 0 1 2 3 随机变量的期望或. （3）应该参加游戏Ⅱ，理由如下： 记分别为一次参加游戏Ⅰ,Ⅱ所获奖金总额， 游戏Ⅰ第局获胜的概率为，第局获胜的概率为，第局获胜的概率为， , 游戏Ⅱ第局获胜的概率为，第局获胜的概率为，第局获胜的概率为， , 从奖金期望角度来看，应选择参加游戏Ⅱ. 变式6．（2026·江苏镇江·一模）AI幻觉，是指AI模型生成看似合理但实际不正确或毫无事实依据的信息的现象，AI幻觉率是指AI模型产生AI幻觉的概率.现抽取了某公司研发的14个使用率较高的AI模型，其幻觉率如下表所示： AI模型 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 幻觉率 1.3% 1.8% 2.9% 1.5% 1.9% 2.9% 0.7% 0.9% 1.6% 2.4% 0.8% 1.6% 2.4% 2.8% (1)从表中提供的AI模型中任取一个，求该模型幻觉率小于2%的概率； (2)从表中提供的幻觉率小于的AI模型中任取3个，用随机变量表示其中幻觉率小于的模型个数，求随机变量的分布列和数学期望. 【答案】(1) (2)分布列见解析，1 【详解】（1）14个AI模型，幻觉率高于2%的有2.9%，2.9%，2.4%，2.4%，2.8%，共有5个， 所以幻觉率低于的概率为. （2）幻觉率低于2%的AI模型中共9个，其中低于1.3%的模型有3个，故 ，  ， ，  , 故分布列为 0 1 2 3 故. 考点二 独立事件的概率 【例题分析】 例1．（25-26高三下·陕西西安·开学考试）已知某足球队共有13名球员，其中主力球员11名，替补球员2名.假设主力球员定点射门的命中率为0.8，替补球员定点射门的命中率为0.6.现从该球队随机抽取1名球员进行定点射门，连续射门2次，则恰好命中1次的概率为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】记“恰好命中1次”为事件，记“抽取的球员为主力球员”为事件. 由题意得，. ，， 则. 例2．（2026·广东梅州·一模）甲乙两人下棋比赛，规则是谁先赢2局，谁便赢得奖金5400元.根据以往的交手记录，每局甲赢的概率为，乙赢的概率为，且每局比赛相互独立.然而因突发事件，比赛未能举行，为公平服众，奖金按照比赛正常进行时各自赢得比赛的概率之比进行分配，则甲分得奖金（    ）元. A．3600 B．3800 C．4000 D．4200 【答案】C 【详解】甲要赢得比赛，需要先赢两局，可能的比赛局数为2局或3局. 2局结束，即甲连赢2局，概率为； 3局结束，即前2局甲、乙各赢1局，第3局甲赢，概率为， 所以甲赢得比赛的总概率为. 同理可求得乙赢得比赛的总概率为. 所以甲分得奖金为元. 例3．（2026·广东·模拟预测·多选）已知事件为一组相互独立的事件，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】AD 【详解】对于A：因为事件与事件相互独立，所以，故A正确； 对于B：因为，故B错误； 对于C：因为，所以， 因为事件与事件相互独立，所以事件与事件相互独立， 于是，故C错误； 对于D：因为，故D正确. 故选：AD. 例4．（2026·陕西西安·一模·多选）甲、乙两选手进行象棋比赛，有3局2胜制、5局3胜制两种方案.设每局比赛中甲获胜的概率为，乙获胜的概率为，且每局比赛的结果互不影响，则下列结论正确的有（    ） A．若采用3局2胜制，则甲获胜的概率为 B．若采用5局3胜制，则甲以获胜的概率为 C．若，则甲在5局3胜制中获胜的概率比在3局2胜制中获胜的概率大 D．若，采用5局3胜制，在甲获胜的条件下，比赛局数为4局的可能性最大 【答案】ACD 【详解】对于A：若采用3局2胜制，可将比赛看作赛满3局处理，甲获胜则需在3局获胜2局或3局都胜， 其概率为，A正确； 对于B：若采用5局3胜制，甲以获胜则需在第4局比赛中获胜，且在前3局比赛中获胜2局， 其概率为，B错误； 对于C：若，则在5局3胜制中将比赛看作赛满5局处理，则甲获胜的概率为 ， 在3局2胜制中将比赛看作赛满3局处理，甲获胜的概率为 ， ，C正确； 对于D：由事件表示“甲获胜”，设事件表示“比赛局数为4局”， 事件C表示“比赛局数为3局”，事件D表示“比赛局数为5局”， 则，， ，， 所以，， ，，D正确； 故选：ACD. 例5．（25-26高三下·天津·开学考试）袋中有2个不同的红球和3个不同的白球，每次取1个球，若取出红球，则不放回袋中；若取出白球，则放回袋中.连续取3次球,袋中还有2个红球的概率为______；若袋中还有1个红球，则第2次取出红球的概率为______． 【答案】 【详解】记“第次取出白球为事件”，“第次取出红球为事件”， “连续取球3次，袋中还有2个红球为事件”， “连续取球3次，袋中还有1个红球为事件”， 事件的发生，意味着三次取球中三次取到白球， ； 事件的发生，意味着三次取球中有且仅有一次取到红球，该次可能是第一次、第二次或第三次，这三种情况互斥， 则， 因为， ， ， 所以， 所以. 例6．（25-26高三上·广东深圳·期末）盒子里装有6个小球，其中2个红球，4个黑球.从盒子中随机取出1个小球，若取出的是红球，则直接丢弃，若取出的是黑球，则放回盒子中.则 （1）取了3次后，恰好取出1个红球的概率为__________； （2）取了次后，所有红球刚好全部取出的概率为__________. 【答案】 【详解】（1）若第一次取红球，第二次、三次取黑球，则概率； 若第一次取黑球，第二次取红球，三次取黑球，则概率； 若第一次取黑球，第二次取黑球，三次取红球，则概率； 所以取了3次后，恰好取出1个红球的概率； （2）次所有红球刚好全部取出表示最后一次是红球，则前次中有一次取得红球， 所以 ， 记①， 则②， ①②得，所以， 所以 . 故答案为：； 例7．（2026·江苏常州·模拟预测）甲、乙两人轮流投篮，每人每次投一球，约定甲先投，先投中者获胜，直到有人获胜或每人都已投三次结束，设甲每次投篮投中的概率为，乙每次投篮投中的概率为，且各自投篮互不影响. (1)求比赛结束但仍没有决出胜负的概率； (2)求甲获胜的概率. 【答案】(1) (2) 【详解】（1）设事件“甲在第次投篮投中”， 事件“乙在第次投篮投中”，， 则，，，， 记“比赛结束但仍没有决出胜负”为事件，则， 可得， 所以比赛结束但仍没有决出胜负的概率为 （2）记“甲获胜”为事件，则， 可得， 所以甲获胜的概率为． 例8．（25-26高三下·河北沧州·月考）某研发系统内在初始时刻有一个可分裂粒子，在第1分钟末这个粒子分裂成两个新粒子，共有三种分裂情况：产生两个可分裂粒子，其概率为；产生一个可分裂粒子与一个不可分裂粒子，其概率为；产生两个不可分裂粒子，其概率为. 新产生的每个可分裂粒子在1分钟末又会按照上述分裂情况分裂成两个新粒子，不可分裂粒子在1分钟末被移出系统.称系统中没有可分裂粒子时能量达到峰值. (1)求第2分钟末时能量首次达到峰值的概率； (2)记初始时刻后2分钟末时的可分裂粒子个数为，求的分布列和数学期望. 【答案】(1) (2)分布列见解析， 【详解】（1）设第2分钟末时能量首次达到峰值的概率为. 第2分钟末时能量首次达到峰值可分为两种情况： 第1分钟末产生一个可分裂粒子与一个不可分裂粒子，第2分钟末该可分裂粒子产生两个不可分裂粒子； 第1分钟末产生两个可分裂粒子，第2分钟末分别产生两个不可分裂粒子. ，， 所以. （2）显然的取值可以是0，1，2，3，4， ， ， ， ，， 0 1 2 3 4 于是. 【变式训练】 变式1．（25-26高三下·浙江杭州·月考）甲、乙两人进行乒乓球比赛，约定打6局，每局必分胜负，无平局．每局比赛中，获胜方得1分，失败方得0分．已知甲在每局比赛中获胜的概率是，乙在每局比赛中获胜的概率为，且各局结果相互独立．在整个比赛过程中，甲的累计得分始终不小于乙的累计得分的概率是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】情况一：甲赢3局，乙赢3局，且甲的累计得分始终不小于乙的累计得分， 符合题意的获胜情况有：甲乙甲乙甲乙、甲乙甲甲乙乙、甲甲乙乙甲乙、甲甲乙甲乙乙、 甲甲甲乙乙乙共5种，此时概率； 情况二：甲赢4局，乙赢2局， 从6局中选4局甲赢，有种， 其中不符合题意的获胜情况有：乙乙甲甲甲甲、 乙甲乙甲甲甲、乙甲甲乙甲甲、 乙甲甲甲乙甲、乙甲甲甲甲乙、甲乙乙甲甲甲共6种， 则符合题意的获胜情况有9种，此时概率； 情况三：甲赢5局，乙赢1局， 符合题意的情况有种，此时概率； 情况四：甲赢6局，乙赢0局，此时概率； 综上，概率． 变式2．（2026·广东佛山·一模）甲和乙进行一个游戏：初始时每人各持有2枚徽章．根据游戏规则，每局由丙负责投掷一枚均匀的骰子，出现奇数点则甲胜，出现偶数点则乙胜，胜负概率均为．输的一方需将自己的1枚徽章交给赢的一方．游戏进行到其中一人拥有全部徽章时立即终止，且各局结果相互独立．则游戏恰好进行4局终止且甲拥有全部徽章的概率为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】根据题意知恰好进行4局终止且甲拥有全部徽章， 则第3，4局必有甲胜，乙负，且前2局中，甲胜一局乙胜一局， 所以所求概率为. 变式3．（2026·湖南常德·一模·多选）设，为两个相互独立的随机事件，且，，则下列命题中正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】CD 【详解】由，可得；因此C正确； 又，为两个相互独立的随机事件，所以，所以； 根据全概率公式可得, 解得，因此A错误； 又， 解得，因此B错误； 易知， 所以，即D正确. 故选：CD 变式4．（25-26高三下·河北沧州·月考·多选）现口袋里共有4个红球，5个黄球和3个蓝球，它们除颜色外完全相同.现进行取球，则（    ） A．若取出球后放回口袋，每次只取一个球，则第4次取出黄球的概率为 B．若取出球后不放回口袋，每次只取一个球，则第2次取出黄球的概率为 C．若取出球后放回口袋，每次只取两个球，则第4次取出的两个球中至少有一个是黄球的概率为 D．若取出球后放回口袋，每次只取两个球，则第2次取出的两个球中至少有一个是黄球的概率为 【答案】ABD 【详解】对于A，显然其为独立重复试验，故第四次取出黄球的概率等价于第一次取出黄球的概率， 于是，故A正确； 对于B，可分为第一次取出黄球与第一次未取出黄球，由全概率公式得，故B正确； 对于C、D，从12个球中取出两个球，共有种，取出两个球没有黄球共有种， 则取出两个球至少有一个黄球的概率为，故C错误、D正确. 变式5．（25-26高三上·河北邯郸·月考）设事件A，B相互独立，，则_________________． 【答案】 【详解】由于事件A，B相互独立，所以事件相互独立， 所以. 故答案为： 变式6．（25-26高二上·湖南衡阳·月考）甲、乙、丙三名毕业生到三个公司实习,假设每名毕业生都要去实习,且每名毕业生到三个公司中任一公司实习的概率均相等,则恰有两名毕业生到A公司实习的概率是__________. 【答案】 【详解】对于甲乙丙三人来说，去公司实习的概率均为， 不去公司实习的概率均为，且彼此之间相互独立. “恰有两名毕业生到A公司实习”代表有2人去公司实习， 有1人不去公司实习，而不去公司实习的人，可能是甲或乙或丙，共有3种情况. 综上所述，恰有两名毕业生到A公司实习的概率. 故答案为： 变式7．（25-26高三下·云南昆明·月考）某公司研发了一种智能语音客服系统，在测试时，当语音输入的问题表达清晰时，智能语音客服的回答被采纳的概率为，当语音输入的问题表达不清晰时，智能语音客服的回答被采纳的概率为.已知语音输入的问题表达清晰的概率为，且智能语音客服每次回答是否被采纳相互没有影响. (1)求智能语音客服的回答被采纳的概率； (2)在某次测试中输入了4个问题，设表示智能语音客服的回答被采纳的次数，求的分布列､数学期望和方差. 【答案】(1) (2)分布列见解析，3， 【详解】（1）设表示事件“智能语音客服的回答被采纳”；表示事件“语音输入的问题表达清晰”， 由题意可知，， 所以， 即智能语音客服的回答被采纳的概率为. （2）依题意得，的所有可能取值为，且. 所以 所以的分布列为 0 1 2 3 4 变式8．（25-26高三下·重庆·开学考试）有动物类和植物类两个谜语题库，甲猜对动物类、植物类题库中每道谜语的概率分别为0.8，0.5．现有两种答题方案：方案一，甲先从动物类题库中选一道谜语作答，猜对得奖金15元，且只有猜对该道谜语，才有资格从植物类题库中再选一道谜语作答，猜对第二道得奖金25元；方案二，甲从动物类题库中选两道谜语作答，每猜对一道得奖金15元. (1)若甲选择方案一的奖金金额为X元，求X的分布列与期望. (2)以甲获得奖金金额的期望值为决策依据，他应该选择哪个方案?并说明理由. 【答案】(1)分布列见解析，期望为22元 (2)甲应选择方案二，理由见解析 【详解】（1）若甲选择方案一，则奖金金额为X可取0,15,40， 设“猜对动物类谜语”为事件A，则， 猜对“植物类谜语”为事件B，则，且A，B相互独立， 则， ， ， 所以X的分布列为 X 0 15 40 P 0.2 0.4 0.4 期望（元） （2）设方案二的奖金金额为Y，设猜中动物类谜语的数量为，则， 由题意 则，所以（元）， 因为， 所以甲应选择方案二. 2 学科网（北京）股份有限公司 $