解三角形中的最值问题（三角函数法、基本不等式法、二次函数法）讲义-2026届高三数学二轮复习

解三角形中的最值问题（三角函数法、基本不等式法、二次函数法）复习讲义 解三角形中的最值问题（三角函数法、基本不等式法、二次函数法）复习讲义 考点目录 解三角形中的最值问题：三角函数法 解三角形中的最值问题：基本不等式法 解三角形中的最值问题：二次函数法 知识点解析 1.利用三角函数的有界性求最值与范围的处理步骤 （1）利用正弦定理或余弦定理实现“边”化“角”. （2）利用实现统一角，将函数自变量边长只有一个. （3）利用和差公式、倍角公式、辅助角公式等对表达式进行化简. （4）讨论角度范围，进而得到三角函数的值域或最值. 2.常见的边角互化的方法 （1）在中，已知和 ①若求的范围，可先求,从而. ②若求的范围，可先求,从而. ③若求的范围，从而. （2）在中，已知和 ①若求的范围，由正弦定理，化简可得. ②若求的范围，由正弦定理，化简可得. 3.常见讨论角度范围的方法 （1）若已知，则. （2）若已知且为锐角三角形，则，联立可求出所需角度范围. （3）若已知且为钝角三角形，则或，联立可求出所需角度范围. （4）若已知且为锐角三角形，则，联立可求出所需角度范围. 4. 基本不等式一般形式（均值不等式） （1）原型：若，则； （2）常见变形：；； （3）使用步骤：一正、二定、三相等. 总结：当两个正数的积为定值时，它们的和有最小值；当两个正数的和为定值时，它们的积有最小值. 5. 余弦定理联立基本不等式求最值 若已知和，由余弦定理得① 由基本不等式得② 联立①、②可解得与的范围. 6.利用二次函数求解三角形中最值问题 核心：将三角形的边/角/周长/面积表示为单一变量的二次函数，结合变量取值范围，利用二次函数顶点/单调性求最值/范围。具体步骤： （1）建函数：根据正、余弦定理，结合三角形边角关系，将所求量（周长、面积、边长等）转化为单个变量（边/角）的表达式，整理成的二次函数形式（角可通过三角恒等变换转化为单角的二次式）。 （2）定范围：根据三角形基本性质确定变量的取值范围： ①边：正数+两边之和大于第三边； ②角：（结合已知角进一步缩小，如两角和为）。 （3）求最值/范围：结合二次函数开口方向和对称轴与变量范围的位置关系求解： ①对称轴在范围內：顶点处取极值（开口向上最小，开口向下最大）； ②对称轴在范围外：根据函数在区间内的单调性，取区间端点值。 （4）关键注意 ①变量替换后务必验证范围，避免出现不符合三角形存在性的解； ②若以角为变量，需先通过三角公式（如）转化为二次形式，再结合三角函数值域缩限。 考点一 解三角形中的最值问题：三角函数法 【例题分析】 例1．（25-26高三上·陕西西安·期末）已知函数. (1)求在上的单调递增区间； (2)在锐角中，内角所对的边分别为，且，求的取值范围. 例2．（2026·湖北省直辖县级单位·模拟预测）已知分别是锐角三个内角的对边，且，． (1)求的值； (2)求面积的取值范围． 例3．（25-26高二上·广西·月考）在中，角所对应的边分别为，且. (1)求角； (2)若为锐角三角形，求的取值范围. 例4．（24-25高三上·福建厦门·月考）在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，S为的面积，且. (1)求； (2)若为锐角三角形. （i）当，求周长的取值范围； （ii）求的取值范围. 【变式训练】 变式1．（25-26高三上·湖北黄石·期末）锐角中，满足分别是的对边. (1)若，求边c的长； (2)求的取值范围. 变式2．（25-26高三上·河北承德·期中）已知中，角的对边分别是，且. (1)证明：成等差数列; (2)若为锐角三角形且，求c 的取值范围. 变式3．（25-26高三上·广东·月考）中，分别是角的对边，且. (1)求角的值； (2)若，且为锐角三角形，求的取值范围. 变式4．（25-26高三上·山东济宁·期中）已知的三个内角，，对应的边为，，，，. (1)求； (2)求的取值范围； (3)求的最大值. 考点二 解三角形中的最值问题：基本不等式法 【例题分析】 例1．（25-26高三上·湖北随州·期末）已知的内角、、的对边分别为、、，且． (1)求； (2)若的面积为，求的最小值． 例2．（2026·江苏镇江·一模）在中，角，，所对的边分别为，，，满足. (1)求角； (2)若恒成立，求实数的最小值. 变式3．（25-26高三上·山东青岛·期中）在中，为的中点，为线段上一点，，. (1)求，； (2)若，的面积为，求的最小值. 例4．（25-26高二上·贵州遵义·期中）已知的内角，，的对边分别为，，且. (1)求； (2)若，，求的最小值. 【变式训练】 变式1．（25-26高三上·河北邢台·月考）已知的内角的对边分别为，且． (1)求C； (2)若的面积为，求c的最小值． 变式2．（24-25高一下·上海宝山·期中）已知，且的内角A满足为函数最大值． (1)求函数的值域及角A的值； (2)在（1）的条件下，又，求边的最小值． 变式3．（24-25高三上·云南大理·开学考试）已知的内角的对边分别为，且. (1)求； (2)若的面积为，求的最小值. 变式4．（24-25高一下·黑龙江哈尔滨·期末）在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c．若， (1)求证：是等腰三角形； (2)已知的面积为18，点D满足，求线段AD的最小值． 考点三 解三角形中的最值问题：二次函数法 【例题分析】 例1．（25-26高三上·河南南阳·月考），，分别为内角，，的对边．已知，且，当取得最小值时，（    ） A． B． C． D．3 例2．（25-26高三上·重庆·月考）在锐角中，内角所对的边分别为，且，则的取值范围为_____. 例3．（24-25高三上·四川成都·月考）在三角形中，内角的对边分别为，且. (1)求； (2)若，且，求的取值范围. 【变式训练】 变式1．（25-26高三上·江西南昌·月考）已知的内角，，所对的边分别为，，，，，.，分别为线段，上的动点，，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 变式2．（25-26高三上·安徽合肥·月考）我国南宋时期著名的数学家秦九韶在其著作《数书九章》中，提出了已知三角形三边长求三角形面积的公式，可以看出我国古代已具有很高的数学水平.设分别为△ABC内角的对边，表示△ABC的面积，其公式为.若，则△ABC面积的最大值为________ 变式3．（2025·浙江杭州·模拟预测）的内角的对边分别为,已知, (1)若为边上一点,,且,求; (2)若为平面上一点,,其中,求的最小值. 2 学科网（北京）股份有限公司 $解三角形中的最值问题（三角函数法、基本不等式法、二次函数法）复习讲义 解三角形中的最值问题（三角函数法、基本不等式法、二次函数法）复习讲义 考点目录 解三角形中的最值问题：三角函数法 解三角形中的最值问题：基本不等式法 解三角形中的最值问题：二次函数法 知识点解析 1.利用三角函数的有界性求最值与范围的处理步骤 （1）利用正弦定理或余弦定理实现“边”化“角”. （2）利用实现统一角，将函数自变量边长只有一个. （3）利用和差公式、倍角公式、辅助角公式等对表达式进行化简. （4）讨论角度范围，进而得到三角函数的值域或最值. 2.常见的边角互化的方法 （1）在中，已知和 ①若求的范围，可先求,从而. ②若求的范围，可先求,从而. ③若求的范围，从而. （2）在中，已知和 ①若求的范围，由正弦定理，化简可得. ②若求的范围，由正弦定理，化简可得. 3.常见讨论角度范围的方法 （1）若已知，则. （2）若已知且为锐角三角形，则，联立可求出所需角度范围. （3）若已知且为钝角三角形，则或，联立可求出所需角度范围. （4）若已知且为锐角三角形，则，联立可求出所需角度范围. 4. 基本不等式一般形式（均值不等式） （1）原型：若，则； （2）常见变形：；； （3）使用步骤：一正、二定、三相等. 总结：当两个正数的积为定值时，它们的和有最小值；当两个正数的和为定值时，它们的积有最小值. 5. 余弦定理联立基本不等式求最值 若已知和，由余弦定理得① 由基本不等式得② 联立①、②可解得与的范围. 6.利用二次函数求解三角形中最值问题 核心：将三角形的边/角/周长/面积表示为单一变量的二次函数，结合变量取值范围，利用二次函数顶点/单调性求最值/范围。具体步骤： （1）建函数：根据正、余弦定理，结合三角形边角关系，将所求量（周长、面积、边长等）转化为单个变量（边/角）的表达式，整理成的二次函数形式（角可通过三角恒等变换转化为单角的二次式）。 （2）定范围：根据三角形基本性质确定变量的取值范围： ①边：正数+两边之和大于第三边； ②角：（结合已知角进一步缩小，如两角和为）。 （3）求最值/范围：结合二次函数开口方向和对称轴与变量范围的位置关系求解： ①对称轴在范围內：顶点处取极值（开口向上最小，开口向下最大）； ②对称轴在范围外：根据函数在区间内的单调性，取区间端点值。 （4）关键注意 ①变量替换后务必验证范围，避免出现不符合三角形存在性的解； ②若以角为变量，需先通过三角公式（如）转化为二次形式，再结合三角函数值域缩限。 考点一 解三角形中的最值问题：三角函数法 【例题分析】 例1．（25-26高三上·陕西西安·期末）已知函数. (1)求在上的单调递增区间； (2)在锐角中，内角所对的边分别为，且，求的取值范围. 【答案】(1) (2) 【详解】（1）由函数 ， 因为，可得， 令，解得，即函数的单调递增区间为. （2）由（1）知：， 因为，可得，即， 因为为锐角三角形，可得，则， 所以，解得， 设的外接圆的半径为，因为， 由正弦定理得，则， 又因为，可得，所以， 则 ， 因为为锐角三角形，可得，解得， 则，所以，则， 所以的取值范围为. 例2．（2026·湖北省直辖县级单位·模拟预测）已知分别是锐角三个内角的对边，且，． (1)求的值； (2)求面积的取值范围． 【答案】(1)， (2) 【详解】（1）在锐角中，由正弦定理得， 又， ∵， 所以， 则， 在锐角中，， ，即. ， （2）由（1）得， 由正弦定理：，得 因为为锐角三角形，所以，所以， 所以，所以， 所以， 故面积的取值范围为． 例3．（25-26高二上·广西·月考）在中，角所对应的边分别为，且. (1)求角； (2)若为锐角三角形，求的取值范围. 【答案】(1) (2) 【详解】（1）在中，因为， 所以. 因为， 所以由正弦定理得. 则 ， 化简得， 因为，所以， 所以上式可化为，即. 又因为，所以； （2）由（1）可得，即， 所以， 由正弦定理可得. 因为为锐角三角形， 所以，即，解得， 所以，所以， 即的取值范围为. 例4．（24-25高三上·福建厦门·月考）在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，S为的面积，且. (1)求； (2)若为锐角三角形. （i）当，求周长的取值范围； （ii）求的取值范围. 【答案】(1) (2)（i）； （ii） 【详解】（1）因为由余弦定理， 得， 化简得：，， 代入整理得：， 解得（舍去）或； （2）由得，， ，解得， （i）由正弦定理得，, 又，周长， 即，， 因为，所以， ， 故周长； （ii），令，则表达式为， 由正弦定理得：， 由锐角三角形条件，， 令，则， 故， 函数在上单调递减，在上单调递增， ， 故. 【变式训练】 变式1．（25-26高三上·湖北黄石·期末）锐角中，满足分别是的对边. (1)若，求边c的长； (2)求的取值范围. 【答案】(1) (2) 【详解】（1）由题， ，为锐角三角形，， . 由余弦定理，得， 即，解得或， 但时，，与已知条件不符， 而时，，符合条件，； （2）由正弦定理，得 ， ， . 变式2．（25-26高三上·河北承德·期中）已知中，角的对边分别是，且. (1)证明：成等差数列; (2)若为锐角三角形且，求c 的取值范围. 【答案】(1)证明见解析； (2). 【详解】（1）在中，由及正弦定理， 得， 整理得，而，因此，而， 则，，所以成等差数列. （2）由（1）知，由锐角，得，则， 由正弦定理得， 而，则，， 所以c 的取值范围. 变式3．（25-26高三上·广东·月考）中，分别是角的对边，且. (1)求角的值； (2)若，且为锐角三角形，求的取值范围. 【答案】(1) (2) 【详解】（1）由题意知，∴， 由余弦定理可知，， 又∵，∴. （2）由正弦定理可知，， 即， ∴ ， 又∵为锐角三角形，∴，即， 则，所以， 即， 则的取值范围为. 变式4．（25-26高三上·山东济宁·期中）已知的三个内角，，对应的边为，，，，. (1)求； (2)求的取值范围； (3)求的最大值. 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1），， 由正弦定理得： ， 为三角形内角，，， ， （2），， ， ，， （3）， 下面求的最大值： 由正弦定理：，， ， ，， 最大值为，最大值为. 考点二 解三角形中的最值问题：基本不等式法 【例题分析】 例1．（25-26高三上·湖北随州·期末）已知的内角、、的对边分别为、、，且． (1)求； (2)若的面积为，求的最小值． 【答案】(1) (2)2． 【详解】（1）由已知及正弦定理得， 由，得，得， 由，得，得，得， 得，得； （2）由，得， 由余弦定理得， 因为， 当且仅当时，等号成立， 所以，得．故的最小值为2． 例2．（2026·江苏镇江·一模）在中，角，，所对的边分别为，，，满足. (1)求角； (2)若恒成立，求实数的最小值. 【答案】(1) (2) 【详解】（1）由， 由正弦定理得，， 又， 所以， 即， 又因为，所以，所以， 又，所以. （2）恒成立， 即恒成立，即求的最大值， 由余弦定理得， 所以， 因为， 所以， 当且仅当，即时，等号成立， 所以， 所以实数的最小值为. 变式3．（25-26高三上·山东青岛·期中）在中，为的中点，为线段上一点，，. (1)求，； (2)若，的面积为，求的最小值. 【答案】(1) (2) 【详解】（1）因为为的中点，所以, 又三点共线，所以， 又，解得 （2）由（1）可得， 又所以， 故, , 因为， 当且仅当时等号成立，故， 故的最小值为 例4．（25-26高二上·贵州遵义·期中）已知的内角，，的对边分别为，，且. (1)求； (2)若，，求的最小值. 【答案】(1) (2) 【详解】（1）因为， 由正弦定理得到，整理得到； 由余弦定理，因为，所以 （2）因为，所以； 因为，所以 又因为； 所以 利用基本不等式 所以，当且仅当，即时等号成立 即，所以的最小值为. 【变式训练】 变式1．（25-26高三上·河北邢台·月考）已知的内角的对边分别为，且． (1)求C； (2)若的面积为，求c的最小值． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）由正弦定理得， 由，得， 所以， ， 即， 又，所以，得． （2）由， 所以， 由余弦定理得， 所以，当且仅当时，等号成立． 所以c的最小值为． 变式2．（24-25高一下·上海宝山·期中）已知，且的内角A满足为函数最大值． (1)求函数的值域及角A的值； (2)在（1）的条件下，又，求边的最小值． 【答案】(1)； (2) 【详解】（1）， ， 当，即时，取得最大值， ， 为函数最大值时，； （2）由（1）知，设，角对应边为， ，解得， 由余弦定理，即， （当且仅当时取等）， 即边的最小值为． 变式3．（24-25高三上·云南大理·开学考试）已知的内角的对边分别为，且. (1)求； (2)若的面积为，求的最小值. 【答案】(1) (2) 【详解】（1）因为，所以 又 所以 因为，所以，则. （2）由（1）可知，， 则的面积， 则. 由余弦定理得， 当且仅当时，等号成立， 从而，即的最小值为. 变式4．（24-25高一下·黑龙江哈尔滨·期末）在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c．若， (1)求证：是等腰三角形； (2)已知的面积为18，点D满足，求线段AD的最小值． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【详解】（1）因为， 所以， 由正弦定理得， 所以， 即，可得， 所以是等腰三角形； （2）因为点D满足，所以； 所以， 所以， 在中，由余弦定理可得， 又由（1）知， 所以，整理得，， 因为，所以，所以， ， 由（1）中可知为锐角，则，， 所以， 当且仅当，时取等号， 所以线段的最小值为. 考点三 解三角形中的最值问题：二次函数法 【例题分析】 例1．（25-26高三上·河南南阳·月考），，分别为内角，，的对边．已知，且，当取得最小值时，（    ） A． B． C． D．3 【答案】C 【详解】因为， 由正弦定理，得， 所以，则， 所以， 因为函数开口向上，所以y有最小值， 当时，取得最小值，即取得最小值. 故选：C 例2．（25-26高三上·重庆·月考）在锐角中，内角所对的边分别为，且，则的取值范围为_____. 【答案】. 【详解】由题意，，根据正弦定理得，，化简整理得，根据余弦定理，得， 又为锐角三角形，所以， 所以，即， 又为锐角三角形，所以，即，解得， 所以， 令， 令，则， 其对称轴为，所以时，取得最小值，即， 当时，；当时，； 所以的取值范围是， 即的取值范围是. 故答案为： 例3．（24-25高三上·四川成都·月考）在三角形中，内角的对边分别为，且. (1)求； (2)若，且，求的取值范围. 【答案】(1) (2) 【详解】（1）根据正弦定理可知：， 因为，所以，所以. （2）由余弦定理可知：，因为，所以，，， 因为，所以，， 由正弦定理得：， 所以 ， 因为，所以，所以， 所以时，取得最小值， 并且， 所以的范围是. 【变式训练】 变式1．（25-26高三上·江西南昌·月考）已知的内角，，所对的边分别为，，，，，.，分别为线段，上的动点，，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】依题意，如图所示， 在中，，，由正弦定理得， ，又，解得：， 设 ，则，， ， 在中，由余弦定理得， ， 对于二次函数 开口向上，对称轴 ， 的最小值为. 变式2．（25-26高三上·安徽合肥·月考）我国南宋时期著名的数学家秦九韶在其著作《数书九章》中，提出了已知三角形三边长求三角形面积的公式，可以看出我国古代已具有很高的数学水平.设分别为△ABC内角的对边，表示△ABC的面积，其公式为.若，则△ABC面积的最大值为________ 【答案】 【详解】由正弦定理得，得， 因为，的面积， 所以当即时，有面积S有最大值为． 故答案为：. 变式3．（2025·浙江杭州·模拟预测）的内角的对边分别为,已知, (1)若为边上一点,,且,求; (2)若为平面上一点,,其中,求的最小值. 【答案】(1) (2) 【详解】（1）由可得, 即, ,, ,. , 即, 则, ,, 在中,由正弦定理可得, 即, 解得. （2）, 即, 则, , (*), 根据已知条件, , 代入(*)式得:, 当时,取得最小值为. 2 学科网（北京）股份有限公司 $