解三角形：周长问题、面积问题 讲义-2026届高三数学二轮复习

解三角形：周长问题、面积问题复习讲义 解三角形：周长问题、面积问题复习讲义 考点目录 周长问题 面积问题 1.解三角形周长问题解题思路知识点解析 （1）核心：求三边长度/三边关系，再求和；优先用正弦定理、余弦定理化角为边/化边为角，结合已知条件（角、边、面积、周长部分值）求解未知边。 （2）技巧：若已知角和对边，用正弦定理将三边表示为同一角的三角函数，结合三角恒等变换化简求和；若已知两边及夹角/三边关系，用余弦定理直接求未知边。 （3）注意：若为三角形周长最值问题，结合基本不等式（两边和≥第三边）或三角函数有界性（sin/cos∈[-1,1]）求解。 2.解三角形·面积问题 解题思路 （1）核心：选对面积公式，结合正、余弦定理补全所需条件，常用3类公式： ①基础型：（a为边，h为对边高）； ②边角型（最常用）：（两边及夹角正弦积的一半）； ③外接圆型：（R为外接圆半径）。 （2）技巧：已知两角一边，先求第三角，再用正弦定理求另外两边，代入边角型公式；已知三边，先用余弦定理求一角的余弦，再求出其正弦，再代入边角型公式；已知一边及对角，结合正弦定理将另外两边表示为三角函数，化简求面积。 （3）注意：求面积最值时，先将面积表示为单一变量（角/边）的函数，再用基本不等式或三角函数有界性求解，同时保证三角形存在（两边之和大于第三边、三角和为180°）。 3.通用核心逻辑 化未知为已知：通过正、余弦定理实现角与边的互化，结合已知条件补全面积/周长所需的边、角条件，再代入对应公式计算；最值问题需结合函数最值方法（基本不等式、三角函数），同时遵循三角形基本性质。 考点一 周长问题 【例题分析】 例1．（2026·黑龙江哈尔滨·模拟预测）在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，且的面积为． (1)求的值； (2)若，求的周长. 【答案】(1) (2)10 【详解】（1）由，正弦定理可得， ，， ， 因为，所以，两边同时除以得， 解得. （2）由，，得. 因为且，所以. 再由，得，即. 由余弦定理：，得. 因此的周长为. 例2．（25-26高三上·吉林长春·期末）在中，角所对的边分别为，已知． (1)若，，求； (2)若，，求的周长． 【答案】(1) (2)或． 【详解】（1）由余弦定理，又，， 即，化简得， 解得或（舍去）. （2）因为，由正弦定理可得． 因为，所以，可得. 因为，，则，所以有两解（为锐角或钝角． 当为锐角时，． 所以. 再由正弦定理，可得. 由正弦定理，可得. 此时三角形周长为. 当为钝角时，． 所以. 由正弦定理，可得. 由正弦定理，可得， 此时三角形周长为. 综上所述，的周长为或． 例3．（2025·内蒙古赤峰·一模）设的内角，，所对的边分别为，，，. (1)求角的大小； (2)若，求周长的取值范围. 【答案】(1) (2) 【详解】（1）（方法1）由正弦定理，得， ， ， ， ，，， ，； （方法2）由余弦定理得， 代入已知得：， ，， ，； （2）方法1 由余弦定理，得. ， ，（当且仅当时等号成立）， 由于，， 周长的范围为. （方法2转化为三角函数最值） 由正弦定理， 得，， ， ， ，，，， ，， 周长的取值范围为. 例4．（25-26高三下·重庆·开学考试）已知的内角的对边分别为，且，. (1)求c及C； (2)求周长的最大值. 【答案】(1)， (2) 【详解】（1）由，则， 所以， 由，而，即， 所以，而，故； （2）由（1）知，则，当且仅当时取等号， 所以，即时取等号， 所以周长的最大值为. 【变式训练】 变式1．（25-26高三上·河南南阳·期末）记的内角A，B，C的对边分别为且． (1)求角B； (2)若的面积为为AC边上一点，满足． ①求的周长； ②求的长． 【答案】(1) (2)12； 【详解】（1）由得，， 又角C为的内角，所以， 则， 解得或（舍）． （2）①因为，所以， 由余弦定理得，， 由及得，即为等边三角形， 所以的周长为12； ②由，所以， 在中，由余弦定理得， 所以． 变式2．（25-26高三上·北京西城·期中）在中，内角所对的边分别为，面积为，且. (1)求的大小； (2)再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择两个作为已知，使得唯一确定，求的周长.条件①： 条件②： 条件③：边上的高是7. 【答案】(1) (2)答案见解析 【详解】（1）解：因为满足， 由余弦定理， 又因为，可得. （2）解：若选择条件①和条件②：由，且，， 可得，， 由正弦定理得，所以，， 所以的周长为. 若选项条件①和条件③：由，且，边上的高是， 可得，， 因为边上的高是7，则，即，解得， 所以，， 所以的周长为. 若选择条件②和条件③：由，且，边上的高是， 因为边上的高是7，则有，又因为，则有， 由正弦定理有，则，不合题意，舍去， 此时不存在. 变式3．（2026·浙江·模拟预测）已知的外接圆半径为2，的内角A，B，C的对边分别为，且. (1)试判断的形状； (2)若，求周长的最大值. 【答案】(1)钝角三角形 (2) 【详解】（1）因为，由余弦定理得，即. 故，所以，故C为钝角， 所以△ABC为钝角三角形. 另解：因为，由正弦定理得， 因为，所以， 即，即， 因为，所以， 所以，故C为钝角， 所以为钝角三角形. （2）的外接圆半径为. 由题，由正弦定理， 得，即. 由（1）知C为钝角，所以. 又. 因为，所以， 所以当，即时，取得最大值，取得最大值，即的最大值为4. 又， 所以的周长的最大值为. 变式4．（2025·湖北武汉·模拟预测）已知分别为锐角三个内角的对边，且. (1)求； (2)若；求周长的取值范围. 【答案】(1) (2) 【详解】（1）. 由正弦定理得 在中， 代入上式化简得： 因为，所以，即 为锐角，. （2）由正弦定理得 所以 ， 是锐角三角形，， ， 即， 所以周长的取值范围为. 考点二 面积问题 【例题分析】 例1．（25-26高三下·河南驻马店·开学考试）在中，点D在边上，且，． (1)若，求的值； (2)若，求的面积． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）在中，由正弦定理得， 所以，解得． 在中，由余弦定理得， 即， 解得（舍去）． （2）因为，所以． 在和中，由余弦定理得， ， 所以，， 两式相加可得， 解得（舍去）． ， ． 例2．（25-26高三上·湖北武汉·期末）中，，是内一点，． (1)若，求； (2)若是等腰直角三角形，求的面积． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）根据正弦定理得，，所以. 因为，所以，所以. 根据正弦定理得，所以. （2）因为是等腰直角三角形，所以设， 在中，根据余弦定理， 得，化简得. 在中，根据余弦定理， 得，化简得， 所以. 因为，所以， 化简得，解得或. 又，，所以. 所以. 例3．（25-26高三上·云南保山·开学考试）已知锐角中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c．且． (1)证明：； (2)若，求的面积S的取值范围． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【详解】（1）证明：由和正弦定理，可得，即， 所以由余弦定理得， 又由正弦定理得，则有，故得. （2）由正弦定理，，可得， 则的面积为， 因是锐角三角形，则，则，则有. 又， 所以， 又解方程得（负值舍去） 所以， 设，则，， 则， 于是， 两边平方整理得，再两边平方整理得， 则且， 解得且，且， 又当时， 有，， 因为，所以，所以 故S的取值范围为. 例4．（25-26高三上·海南省直辖县级单位·月考）在中，内角，，的对边分别为，，，且满足. (1)求； (2)若内角的角平分线交于点，且，求的面积的最小值. 【答案】(1) (2) 【详解】（1）由正弦定理可得，, 所以，即， 因为是的内角，所以， 得，所以， 所以. （2）因为，平分，所以，又， 则由，得， 所以， 又，则，得， 当且仅当时，等号成立， 所以， 故最小值为. 【变式训练】 变式1．（2026·山东德州·一模）已知为锐角三角形，. (1)求； (2)求； (3)若外接圆的周长为，求的面积. 【答案】(1) (2) (3)7 【详解】（1）因为， 所以， 又，所以， 联立得； （2）因为，且三角形为锐角三角形， 所以，， 由（1）可得，即， 所以， 所以， 解得或， 因为角为锐角，所以， （3）因为外接圆的周长为.即. 由，得， 因为，所以，解得， 由（2）可知，且角为锐角，所以，, 所以的面积为 变式2．（25-26高三下·湖北武汉·月考）在中，角所对的边分别为，已知，． (1)求角； (2)若边上的中线长为5，求的面积． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）由题意可得，因为，所以， 化简得， 则，所以. （2） 设中点为，可得，， 所以，化简得， 即， 由（1）可知，即， 所以，所以. 变式3．（25-26高三上·湖南岳阳·月考）如图，在平面四边形中，. (1)若，求的大小； (2)若，求四边形面积的最大值. 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解：由已知，得， 所以，所以. 在中，因为，所以，又， 由正弦定理得，得， 因为，所以，所以，所以. （2）在中，由已知， 所以， 由余弦定理， 在中，因为， 又，所以 所以， 所以四边形的面积， 因为，所以，当，即时，， 故四边形面积的最大值为. 变式4．（25-26高三上·江苏扬州·月考）内角的对边分别为，已知． (1)求角的大小； (2)是边上一点，且，求面积的最大值． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）在中，由，根据正弦定理可得 因为B为三角形内角可知，，且， 所以，即 因为A为三角形的内角，，故； 所以，即. （2） 是边上一点，且，所以； 如下图所示：    中，由余弦定理可得， 中，由余弦定理可得， 因为； 所以可得 整理可得， 中，由余弦定理可得； 联立两式可得， 当且仅当时取等号，此时 所以 所以面积的最大值为. 2 学科网（北京）股份有限公司 $解三角形：周长问题、面积问题复习讲义 解三角形：周长问题、面积问题复习讲义 考点目录 周长问题 面积问题 知识点解析 1.解三角形周长问题解题思路 (1)核心：求三边长度/三边关系，再求和；优先用正弦定理、余弦定理化角为边/化边为角，结合已知条件 (角、边、面积、周长部分值)求解未知边。 (2)技巧：若已知角和对边，用正弦定理将三边表示为同一角的三角函数，结合三角恒等变换化简求和；若 己知两边及夹角/三边关系，用余弦定理直接求未知边。 (3)注意：若为三角形周长最值问题，结合基本不等式（两边和≥第三边）或三角函数有界性(sin/cos∈ [-1,1])求解。 2.解三角形·面积问题解题思路 (1)核心：选对面积公式，结合正、余弦定理补全所需条件，常用3类公式： ①基础型：S=ah(a为边，h为对边高)； ②边角型（最常用）：S=absinC=acsinB=bcsinA(两边及夹角正弦积的一半)： ③外接圆型：S=警(R为外接圆半径)。 (2)技巧：已知两角一边，先求第三角，再用正弦定理求另外两边，代入边角型公式；已知三边，先用余弦 定理求一角的余弦，再求出其正弦，再代入边角型公式；己知一边及对角，结合正弦定理将另外两边表示为三角函 数，化简求面积。 (3)注意：求面积最值时，先将面积表示为单一变量（角/边）的函数，再用基本不等式或三角函数有界性求 解，同时保证三角形存在（两边之和大于第三边、三角和为180°）。 解三角形：周长问题、面积问题复习讲义 3.通用核心逻辑 化未知为已知：通过正、余弦定理实现角与边的互化，结合己知条件补全面积/周长所需的边、角条件，再代 入对应公式计算；最值问题需结合函数最值方法（基本不等式、三角函数），同时遵循三角形基本性质。 考点一 周长问题 【例题分析】 例1.(2026黑龙江哈尔滨模拟预测)在ABC中，角A,B,C的对边分别为a,b,c,若a+3c=3 bcosA,且 1BC的面积为5 2 (I)求cosB的值： (2)若bsinC=2√2，求ABC的周长. 例2.(25-26高三上·吉林长春·期末)在ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c,已知a=10. 0若4骨b=,求c 2若A=名5csnB=46,求ABC的周长. 2 解三角形：周长问题、面积问题复习讲义 例3.(2025内蒙古赤峰.一模)设ABC的内角A,B,C所对的边分别为，b,C,acosC+c=b 2 (I)求角A的大小： (2)若a=2,求ABC周长I的取值范围 例4.(25-26高三下.重庆·开学考试)已知ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且acos B+bcosA=4, 8sin A cosC asin C. (1)求c及C; (2)求ABC周长的最大值 解三角形：周长问题、面积问题复习讲义 【变式训练】 变式1.(25-26高三上河南南阳·期末)记ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且V3 bsin C=c(1+cosB). (1)求角B; (2)若b=4,△ABC的面积为4V3,D为AC边上一点，满足AC=3AD. ①求ABC的周长； ②求BD的长. 变式2.(25-26高三上·北京西城期中)在ABC中，内角A,B,C所对的边分别为a,b,C,面积为S,且 a2+c2-b2=/2ac (1)求∠B的大小； (2)再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择两个作为己知，使得ABC唯一确定，求ABC的周长条件①： COSA=V2 10 条件②：bsinC=4 条件③：AC边上的高是7. 解三角形：周长问题、面积问题复习讲义 变式3.(2026·浙江·模拟预测)已知aABC的外接圆半径为2，△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且 a<ccosB (I)试判断△ABC的形状； (2)若a cos B+bcosA=2V3,求△ABC周长的最大值 变式4.(2025·湖北武汉·模拟预测)已知a,b,c分别为锐角ABC三个内角A,B,C的对边，且 acosC+3asinC-b-c=0. (1)求A: (2)若a=3;求ABC周长的取值范围。 解三角形：周长问题、面积问题复习讲义 考点二 面积问题 【例题分析】 例1.(25-26高三下河南驻马店开学考试)在ABC中，点D在边BC上，且BD=2CD=2,∠ADC=元 (I)若∠BAD= 石求4D的值， ②若∠B4C-受求ABC的面积 例2.(25-26高三上·湖北武汉·期末)ABC中，∠B=90°，P是ABC内一点，PA=2,PB=1,PC=√2. O若s如∠BP=子，求in∠BCP, (2)若ABC是等腰直角三角形，求ABC的面积. 6 解三角形：周长问题、面积问题复习讲义 例3.(25-26高三上云南保山开学考试)已知锐角ABC中，内角A,B,C所对的边分别为a,b,c.且 asin A+csin C=b(2sin A+sin B). (I)证明：sinC=tanB; (2)若a=2,求ABC的面积S的取值范围. 例4.(25-26高三上海南省直辖县级单位·月考)在ABC中，内角A,B,C的对边分别为a,b,C,且满足 (26+c)cos A+acosC=0 (1)求A; (②)若内角A的角平分线交BC于D点，且AD=√3，求ABC的面积的最小值. 解三角形：周长问题、面积问题复习讲义 【变式训练】 变式1.2026-山东链州-模)已知4C为锐角三角形，sim(4-8)= ,sinc- 10 10 (I)求sinAcosB; (2)求tanA; (3)若ABC外接圆的周长为5π，求ABC的面积. 变式2.(25-26高三下·湖北武汉·月考)在ABC中，角A,B,C所对的边分别为a,b,c,己知b=6,12cosC=2a-c (1)求角B: (2)若AC边上的中线长为5，求ABC的面积. P 解三角形：周长问题、面积问题复习讲义 变式3.(25-26高三上·湖南岳阳月考)如图，在平面四边形ABCD中， BC⊥CD,AB=BC=2,∠ABC=0,120°≤0<180°. C D A (1)若0=120°，AD=6,求∠ADC的大小； 2若2 CD号=54C,求四边形ABCD面积的最大值 2 变式4.(25-26高三上江苏扬州月考)ABC内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知bcos B+C=asin B. 2 (1)求角A的大小： (2)D是边BC上一点，且BD=2DC,AD=1,求ABC面积的最大值. 0