第二单元因数和倍数的认识及应用（专项训练）-2025-2026学年五年级数学下册高频易错题思维综合练（人教版）

第二单元因数和倍数的认识及应用专项训练一 一、解答题 1．航天任务的人员队列安排：航天任务表彰大会上，有48名航天工作者进行队列展示，要排成长方形队列，可以怎样排？（要求：每行或每列不得少于2人） 2．有下面三种规格的包装箱，选用哪种规格的包装箱能正好把64本书装完？写出你的理由。 3．青青鲜花店鲜花销售价格如下，小华的妈妈在该鲜花店购买了一些康乃馨和郁金香，付给售货员50元，找回了13元。请你运用因数和倍数的有关知识，帮小华的妈妈判断找回的钱对不对，请说明理由。 鲜花销售价格 玫瑰3元/枝 康乃馨10元/枝 郁金香5元/枝 4．小兵在文具店买了3本笔记本、1支钢笔、2支自动铅笔和4块橡皮。笔记本每本2元，钢笔每支5元，自动铅笔和橡皮的价格小兵记不清了售货员要小兵付18元，小兵马上说售货员把账算错了，你知道为什么吗？ 5．远古时代，人们为了记下猎物的多少用结绳计数。一位猎人的打猎数在30~40，每根绳上打7个结，最后还剩1只猎物未打结。这位猎人打了多少只猎物？ 6．有甲、乙、丙三种不同型号的包装盒。现有93个彩蛋，选用哪种包装盒，可以把这些彩蛋恰好全部装完？请说明理由。 7．园林工人在某保护地种了一百多但不到两百棵梭梭树，种成5列，每列梭梭树棵数相同但有一列少2棵，这些梭梭树最少有多少棵？最多有多少棵？ 8．十一假期，淘气和爸爸妈妈去青岛旅游，拍了一些照片，数量比40张多，比50张少。放在电脑上整理时，如果每4张分为一组，那么还多1张；如果每5张分为一组，那么还少1张。他们拍了多少张照片？ 9．2024年7月30日，我国选手王楚钦和孙颖莎一路“过关斩将”获得中国奥运会乒乓球混双首金。实验小学六（1）班热爱兵乓球的学生们在家观看了比赛，观看比赛的人数是8的倍数，且在60~70人之间。六（1）班观看比赛的学生有多少人？ 10．校园秋季运动会即将召开，五（3）班要为参赛同学编制号码。乐乐选的号码满足三个条件：（1）编号是小于50的整数；（2）编号是6的倍数；（3）编号的因数个数大于5个。符合条件的号码有哪些？请写出来。 11．希望小学五年级48名同学排队表演校园集体舞，要使每行人数相等（每行不能是1人或48人），一共有多少种不同的排法？（用列表法解决） 12．学校为老人们准备了一些礼品，其中有56个月饼。把这些月饼装入礼盒（不能只装1盒），每个礼盒装同样多，有几种装法？先填表，再回答。如果准备了59个呢？ 每盒个数 盒数 13．五（2）班有48名学生，体育课上需要分组游戏，要求每组人数相等，并且每组不多于15人，不少于5人。有几种分法？如何分组？ 14．五（1）班有48名同学报名参加义务劳动，老师把他们分成人数相等的若干个小组。要求组数大于4个组，小于10个组，有几种分法？每种分法每组多少人？ 15．老师为跳绳比赛选购跳绳。一根跳绳原价是9.5元，购买数量超过10根可享受优惠。老师最终花费267元买了30根跳绳。 （1）每根跳绳优惠了多少元？ （2）这些跳绳，每3根装一盒能正好装完吗？还可以怎么装？（要求：至少装2盒，每盒装2根以上） 16．小明参加了学校的校园活动，在烹饪课上，参加做月饼的同学做了24个月饼，把这些月饼装在不同的盒子里，每个盒子装同样多（至少装2个），有几种装法？每种装法各需要几个盒子？ 17．正值金秋时节，兴平的特产辣椒喜获丰收。农户老李精心挑选了一筐红彤彤的兴平辣椒，准备分享给邻里。现在要把这筐辣椒全部取出来，至少分成2堆，且每堆中辣椒的个数相同（至少2个），已知这筐辣椒有60个，那么一共有几种分法？ 18．在2025年九三阅兵中，地面突击模块共列装54台装备。为确保受阅编队排列整齐，需要分组且每组台数一样多。下面的哪种分组方式正好分完无剩余？为什么？ 19．把40块月饼分装在盒子里，每个盒子装的月饼不少于4块且同样多，有哪几种装法？（盒子个数大于1） 20．把36块月饼装在盒子里，每个盒子装同样多，有几种装法？每种装法各需要几个盒子？ 21．体育课上，为了使队形整齐，要求站队时每行人数都相等。五一班有32名同学，可以排几行？共有几种站队的方法？（每行或每列不少于2人） 22．有一个七位数，各位上的数均为非零自然数，且从左往右依次是：①既是奇数，又是合数；②既不是质数，也不是合数；③既是质数，又是偶数；④10以内最大的质数；⑤最小的合数；⑥最小奇数的5倍；⑦有因数3的偶数。这个七位数是多少？ 23．有86个菠萝，如果6个装一箱，能正好装完吗？如果不能，至少再拿来几个菠萝就可以正好装完？ 24．闯关游戏中，明明需要破解一个六位数的密码，密码提示如图。这个密码可能是多少？写出一种即可。 25．为纪念中国人民抗日战争暨世界反法西斯战争胜利80周年，我国于2025年9月3日在北京天安门广场举行了盛大的阅兵式。张老师买了20枚阅兵式纪念章准备送给同学们，现在要把这些纪念章全部装进盒子里（盒子个数大于3，小于11），且每个盒子里装得同样多，有多少种不同的装法？请一一列举出来。 参考答案 1．可以排成2行24列、3行16列、4行12列、6行8列、8行6列、12行4列、16行3列、24行2列。 【分析】要将48人分成每行或每列不少于2人的长方形队列，也就是将48分解成两个不小于2的整数的乘积，48＝2×24＝3×16＝4×12＝6×8＝8×6＝12×4＝16×3＝24×2，每个乘积对应一种行或列的组合方式。 【解答】48＝2×24＝3×16＝4×12＝6×8＝8×6＝12×4＝16×3＝24×2 答：可以排成2行24列、3行16列、4行12列、6行8列、8行6列、12行4列、16行3列、24行2列。 2． 因为8是64的因数，选8本/箱。 【分析】找出哪个种规格包装箱每箱所装的本数是64的因数，即用64除以每箱所装的本数，能整除的即为解。 【解答】 答：因为8是64的因数，所以应选每箱8本的包装箱。 3． 不对，过程见详解 【分析】已知康乃馨10元/枝，郁金香5元/枝。10是5的倍数，5本身是5的倍数，所以不管购买几枝康乃馨和郁金香，花费的总金额一定是5的倍数。小华妈妈付给售货员50元，找回13元，则花费的金额为50−13＝37元。37不是5的倍数，这与前面分析的 “花费总金额一定是5的倍数” 相矛盾。 【解答】50－13＝37（元） 设购买康乃馨a枝，郁金香b枝， 则总共花费：10a＋5b＝5×（2a＋b） 5×（2a＋b）有因数5，所以妈妈买花的钱必是5的倍数。 37÷5＝7……2，因此37不是5的倍数。 答：实际花费37元不符合总花费的倍数性质，因此找回的13元不正确。 4．见详解 【分析】从题意可以知道，四种商品的数量已知，根据，笔记本和钢笔的价格能够算出来一共是11元，但是因为自动笔和橡皮的数量是双数，所以，不管买多少，它们的总价格也应该是双数，因为偶数乘偶数，偶数乘奇数积都是偶数，而11是奇数，根据奇数加偶数等于奇数，因此，要付款的钱数应是奇数，但是根据售货员算的价格是偶，所以判断是错误的。 【解答】 （元） 答：因为2支自动铅笔和4块橡皮的价格是偶数，而3本笔记本、1支钢笔的价格是奇数，根据奇数加偶数等于奇数可知，总价应该是奇数，而售货员算的是18元（偶数），所以账算错了。 5．7的倍数有7，14，21，28，35，42，…… 35＋1＝36（只） 【分析】题目中说猎人的猎物数在30∼40之间，每根绳打7个结，最后还剩1只猎物未打结。这意味着猎物的总数减去1之后，是7的倍数。所以我们需要找出30∼40之间，比7的倍数多1的数。 【解答】，，。其中在30∼40之间的7的倍数是35。 因为猎物总数比7的这个倍数多1，所以猎物总数为 答：这位猎人打了36只猎物。 6．选用每盒可以装3个的包装盒，可以把这些彩蛋恰好全部装完；理由见详解 【分析】用彩蛋的总数分别除以每种包装盒可以装的个数，找出没有余数的，即为选用的包装盒。 【解答】93÷3＝31（盒） 93÷6＝15（盒）……3（个） 93÷8＝11（盒）……5（个） 答：选用每盒可以装3个的包装盒，可以把这些彩蛋恰好全部装完；因为用另外两种包装盒都有剩余的彩蛋。 7．最少103棵；最多198棵 【分析】种了一百多但不到两百棵梭梭树，种成5列，每列梭梭树棵数相同但有一列少2棵，由此可知，种树的棵数大于100小于200，根据5的倍数的特征：个位上是0或5的数是5的倍数，据此找出大于100而小于等于200的5的最小倍数和最大倍数，再减去2即可解答。 【解答】100到200之间大于100的5的最小倍数是105，最大倍数是200； 105－2＝103（棵） 200－2＝198（棵） 答：这些梭梭树最少有103棵，最多有198棵。 8．49张 【分析】由题可知，如果每4张分为一组，那么还多1张，即把照片总数去掉1张后照片总数就是4的倍数，因为原照片总数比40张多，比50张少，所以，照片的总数可能是4×11＋1或4×12＋1，再根据每5张分为一组，那么还少1张确定张数即可。 【解答】4×11＋1 ＝44＋1 ＝45（张） 4×12＋1 ＝48＋1 ＝49（张） 45÷5＝9（组） 49÷5＝9（组）……4（张） 所以，这些照片是49张。 答：这些照片是49张。 9．64人 【分析】列乘法算式找倍数，按照从小到大的顺序，一组一组地写出这个数与非0自然数的乘法算式，乘法算式中的积就是这个数的倍数。据此找到60~70之间8的倍数即可。 【解答】8×1＝8 8×2＝16 8×3＝24 8×4＝32 8×5＝40 8×6＝48 8×7＝56 8×8＝64 60~70之间8的倍数是64。 答：六（1）班观看比赛的学生有64人。 10．12、18、24、30、36、42、48 【分析】列乘法算式找因数，按照从小到大的顺序，一组一组地写出所有积是这个数的乘法算式，乘法算式中的两个因数就是这个数的因数。列乘法算式找倍数，按照从小到大的顺序，一组一组地写出这个数与非0自然数的乘法算式，乘法算式中的积就是这个数的倍数。据此先找出50以内6的倍数，再找出因数个数大于5个的即可。 【解答】6×1＝6、6×2＝12、6×3＝18、6×4＝24、6×5＝30、6×6＝36、6×7＝42、6×8＝48 50以内6的倍数有：6、12、18、24、30、36、42、48 6＝1×6＝2×3 6的因数有1、2、3、6，共4个。 12＝1×12＝2×6＝3×4 12的因数有1、2、3、4、6、12，共6个。 18＝1×18＝2×9＝3×6 18的因数有1、2、3、6、9、18，共6个。 24＝1×24＝2×12＝3×8＝4×6 24的因数有1、2、3、4、6、8、12、24，共8个。 30＝1×30＝2×15＝3×10＝5×6 30的因数有1、2、3、5、6、10、15、30，共8个。 36＝1×36＝2×18＝3×12＝4×9＝6×6 36的因数有1、2、3、4、6、9、12、18、36，共9个。 42＝1×42＝2×21＝3×14＝6×7 42的因数有1、2、3、6、7、14、21、42，共8个。 48＝1×48＝2×24＝3×16＝4×12＝6×8 48的因数有1、2、3、4、6、8、12、16、24、48，共10个。 答：符合条件的号码有12、18、24、30、36、42、48。 11．8种 【分析】分析题目，每行的人数必须是48的因数，因数：如果a×b＝c（a、b、c是不为0的自然数），那么a、b是c的因数；据此先找出48的因数，再根据“每行不能是1人或48人”找出符合条件的排法即可。 【解答】48＝1×48＝2×24＝3×16＝4×12＝6×8 因为每行不能是1人或48人，所以每行人数可能是：2，3，4，6，8，12，16，24； 列表如下： 每行人数/人 2 3 4 6 8 12 16 24 行数 24 16 12 8 6 4 3 2 答：一共有8种不同的排法。 12． 每盒个数 1 2 4 7 8 14 28 盒数 56 28 14 8 7 4 2 如果准备了56个，那么有7种装法。如果准备了59个，那么有1种装法，即每盒装1个，装59盒。 【分析】要求有几种装法，实际上就是求56的因数有多少个；59的因数有多少个。 【解答】56的因数有1、2、4、7、8、14、28；59的因数有1和59； 由于不能装一盒，所以具体装法如下表： 每盒个数 1 2 4 7 8 14 28 盒数 56 28 14 8 7 4 2 答：如果准备了56个，那么有7种装法。如果准备了59个，那么有1种装法，即每盒装1个，装59盒。 13．3种；每组6人，可以分成8组；每组8人，可以分成6组；每组12人，可以分成4组。 【分析】先找出48的所有因数，再从这些因数中筛选出不小于5且不大于15的因数，这些符合条件的因数的个数就是分法的种数，每个符合条件的因数就是每组的人数，用总人数除以每组人数就得到组数。据此解答。 【解答】48的因数有1、2、3、4、6、8、12、16、24、48 不小于5且不大于15的有6、8、12 当每组6人时，组数为48÷6＝8（组） 当每组8人时，组数为48÷8＝6（组） 当每组12人时，组数为48÷12＝4（组） 答：共3种分法：每组6人，可以分成8组；每组8人，可以分成6组；每组12人，可以分成4组。 14．2种；分成6组，每组8人；分成8组，每组6人 【分析】先找出48的所有因数，然后从中筛选出大于4且小于10的因数，这些因数就是符合要求的组数，再用总人数除以组数，就能得到每种分法每组的人数。 【解答】48的因数有：1、2、3、4、6、8、12、16、24、48，大于4且小于10的因数有6、8。 48÷6＝8（人） 48÷8＝6（人） 答：共有2种分法，可以分成6组，每组8人；分成8组，每组6人。 15．（1）0.6元 （2）能；每盒5根，装6盒；每盒6根，装5盒；每盒10根，装3盒；每盒15根，装2盒 【分析】（1）已知花费267元买了30根跳绳，根据“单价＝总价÷数量”求出跳绳的优惠单价，再用原来的单价减去优惠的单价，即是每根跳绳优惠的钱数。 （2）先根据求一个数的因数的方法，列举出30的所有因数；如果把30根跳绳正好装完，那么每盒的根数必须是30的因数，再排除不符合要求的装法即可解答。 【解答】（1）267÷30＝8.9（元） 9.5－8.9＝0.6（元） 答：每根跳绳优惠0.6元。 （2）30的因数：1，2，3，5，6，10，15，30； 因为要求至少装2盒，每盒装2根以上，所以排除装1盒以及每盒装1根和2根的装法。 装法如下： 每盒3根，装10盒； 每盒5根，装6盒； 每盒6根，装5盒； 每盒10根，装3盒； 每盒15根，装2盒。 答：这些跳绳，每3根装一盒能正好装完。还可以这样装：每盒5根，装6盒；每盒6根，装5盒；每盒10根，装3盒；每盒15根，装2盒。 16．6种装法；每盒2个，需12盒；每盒3个，需8盒；每盒4个，需6盒；每盒6个，需4盒；每盒8个，需3盒；每盒12个，需2盒 【分析】先找出24的因数，再排除不符合“至少装2个”的情况，最后根据因数对确定装法的数量和每种装法的盒子数。 【解答】24=124=212=38=46 根据题意，每个盒子至少装2个，排除24=124，剩余的3组因数对可以有6种装法，分别为：每盒2个，需12盒；每盒3个，需8盒；每盒4个，需6盒；每盒6个，需4盒；每盒8个，需3盒；每盒12个，需2盒。 答：有6种装法；每盒2个，需12盒；每盒3个，需8盒；每盒4个，需6盒；每盒6个，需4盒；每盒8个，需3盒；每盒12个，需2盒。 17．10种 【分析】将60个辣椒平均分成若干堆，每堆个数相同且至少2个，即找出60的因数中满足至少是2堆，且每堆个数至少是2个的因数个数。 【解答】60的因数有：1， 2， 3， 4， 5， 6， 10， 12， 15， 20， 30， 60。 辣椒可以分为2堆，每堆30个；3堆，每堆20个；4堆，每堆15个；5堆，每堆12个；6堆，每堆10个；10堆，每堆6个；12堆，每堆5个；15堆，每堆4个；20堆，每堆3个；30堆，每堆2个，一共有10种。 答：一共有10种分法。 18．第①种和第④种；理由见详解 【分析】根据题意，要使54台能正好分完无剩余，那么每组的台数一定是54的因数。列举出54的所有因数，再看4种分组方式的每组台数是否是54的因数，据此解答。 【解答】54的因数：1，2，3，6，9，18，27，54； ①3台为一组：3是54的因数，能正好分完无剩余； ②4台为一组：4不是54的因数，不能正好分完； ③5台为一组：5不是54的因数，不能正好分完； ④6台为一组：6是54的因数，能正好分完无剩余。 答：第①种和第④种分组方式正好分完无剩余。因为3和6都是54的因数，4和5不是54的因数。所以3台一组和6台一组都能正好分完无剩余，而4台一组和5台一组不能正好分完。 19．共有5种装法，2盒各20块，4盒各10块，5盒各8块，8盒各5块，10盒各4块。 【分析】每个盒子装的月饼数应是40的因数，根据题意找到40的因数（大于等于4），再用40除以每盒的月饼数得到盒数，据此解答。 【解答】40＝1×40，40＝2×20，40＝4×10，40＝5×8，所以40的因数有1、2、4、5、8、10、20、40。根据题意每个盒子可以装4块、5块、8块、10块、20块月饼。 40÷4＝10（盒），40÷5＝8（盒），40÷8＝5（盒），40÷10＝4（盒），40÷20＝2（盒）。 所以40块月饼可以装2盒各20块，4盒各10块，5盒各8块，8盒各5块，10盒各4块。 答：共有5种装法，2盒各20块，4盒各10块，5盒各8块，8盒各5块，10盒各4块。 20．9种；见详解 【分析】把36块月饼装在盒子里，每个盒子装同样多，那么每盒月饼的个数是36的因数。先列举出36的所有因数，再由这些因数确定每盒装几个，需要装几盒。据此解答。 【解答】36的因数：1，2，3，4，6，9，12，18，36，共有9个因数。 答：有9种装法，分别是： ①每盒装1块，需要36个盒子； ②每盒装2块，需要18个盒子； ③每盒装3块，需要12个盒子； ④每盒装4块，需要9个盒子； ⑤每盒装6块，需要6个盒子； ⑥每盒装9块，需要4个盒子； ⑦每盒装12块，需要3个盒子； ⑧每盒装18块，需要2个盒子； ⑨每盒装36块，需要1个盒子。 21．4行或8行；2种 【分析】根据题意可知，每行人数×行数＝32，据此将32拆分成2个因数相乘，已知每行或每列不少于2人，据此判断有几种方法即可。 【解答】32＝1×32＝2×16＝4×8 因为每行或每列不少于2人，所以1×32、2×16不符合题意，所以有两种站队方法：①4行8列，②8行4列。 答：可以排4行或8行，共有2种站队的方法。 22．9127456 【分析】是2的倍数的数叫作偶数，不是2的倍数的数叫作奇数； 质数是指在大于1的自然数中，除了1和它本身以外不再有其他因数的自然数； 合数是指在大于1的自然数中，除了1和它本身以外，还有其他因数的数； 在整数除法中，如果商是整数而没有余数，我们就说被除数是除数的倍数，除数是被除数的因数； 据此解答即可。 【解答】①既是奇数，又是合数的数是：9 ②既不是质数，也不是合数的数是：1 ③既是质数，又是偶数的数是：2 ④10以内最大的质数的数是：7 ⑤最小的合数的数是：4 ⑥最小奇数是1，最小奇数的5倍的数是：5 ⑦有因数3的偶数的数是：6 答：这个七位数是：9127456 23．不能正好装完；至少再拿来4个菠萝就可以正好装完 【分析】分析题目，先用菠萝的个数除以每箱装的个数6，如果没有余数，则能正好装完，如果有余数，则不能正好装完；如果不能正好装完，则用6减去余数即可得到至少再拿来几个菠萝可以正好装完。 【解答】86÷6＝14（箱）……2（个） 6－2＝4（个） 答：不能正好装完；至少再拿来4个菠萝就可以正好装完。 24．276264（答案不唯一） 【分析】依据数的基本概念，确定了五个数字：最小的质数2、7的最小倍数7、6的最大因数6、最小的合数4。接着，利用3的倍数特征，即各位数字之和是3的倍数，在五个和为25的基础上，选择第四位数字为2，最终得到了一个符合要求的密码276264，成功突破了关卡。 【解答】要破解这个六位数密码，首先根据数学定义确定：最小的质数是2，7的最小倍数是其本身7，6的最大因数是其本身6，最小的合数是4，所以确定其中五个数为2、7、6、6、4；然后根据3的倍数特征，各位数字之和需是3的倍数，五个数和为25，因此第六位可选择2，最终得到密码276264（答案不唯一）。 25．一共有3种装法。一种是一盒装5枚，需要4个盒子；一种是一盒装4枚，需要5个盒子；一种是一盒装2枚，需要10个盒子。 【分析】根据题意，把20枚阅兵式纪念章全部装进盒子里（盒子个数大于3，小于11），且每个盒子里装得同样多，要解决这个问题，我们需要找到20的所有因数，题目要求盒子个数大于3且小于11，筛选出符合条件的因数，再计算出每盒要装多少枚即可。 【解答】20的因数有：1，2，4，5，10，20； 其中大于3小于11的有：4，5，10； 当盒子数为4时，每个盒子装20÷4＝5（枚） 当盒子数为5时，每个盒子装20÷5＝4（枚） 当盒子数为10时，每个盒子装20÷10＝2（枚） 答：一共有3种装法，一种是一盒装5枚，需要4个盒子；一种是一盒装4枚，需要5个盒子；一种是一盒装2枚，需要10个盒子。 学科网（北京）股份有限公司 $