专题强化01：排列组合方法【十二大方法+十三大题型】讲义-2025-2026学年高二下学期人教A版选择性必修第三册数学《考点•题型•技巧》精讲与精练高分突破

该高中数学讲义通过知识框架图系统梳理排列组合的8种核心解题方法，包括优先法、捆绑法等，结合“常见题型一句话总结”构建“方法-题型”双向脉络，清晰呈现重难点及内在逻辑联系。 讲义亮点在于分层题型设计，如捆绑法例1（5名志愿者分配）、插空法例2（师生拍照排列）等，通过例题与举一反三培养数学思维和应用意识，支持不同层次学生掌握方法，助力教师实施精准复习教学。

专题强化01：排列组合方法 【解题方法】 1. 优先法：特殊元素 / 位置先排例：甲必须排头 → 先排甲，再排其他人。 2. 捆绑法：元素必须相邻步骤： 相邻元素捆成一个整体整体内部再排列 3. 插空法 元素不能相邻步骤： 先排无限制元素 再把不相邻元素插进空隙 4. 间接法（排除法） 正面难算 → 用总数 - 不符合条件符合=总排法−反面 5. 定序法：某些元素顺序固定定序元素的排列数全排列​ 6. 平均分组：分 n 组且每组数量相同，要除以组数的阶乘去重。 7. 隔板法：相同元素分给不同对象，每对象至少 1 个n 个相同球分给 k 个不同盒​ 8. 先选后排：先组合选取，再排列：先选C→后排A 三、常见题型一句话总结 相邻：捆绑 不相邻：插空 特殊：优先 正面难：间接 顺序固定：定序除阶乘 相同元素分堆：隔板 分组有重复：平均分组要除重 先选再排：先组合后排列 【方法归纳】 【题型探究】 题型一、捆绑法 【例1】．（24-25高二下·湖北·期末）某校将开展三项不同的社会实践活动，现招募了5名学生志愿者参与.要求每个活动项目至少安排1名志愿者，至多安排2名志愿者.已知学生甲和乙是好朋友，须一起参与同一个活动项目，那么不同的人员分配方案共有（    ）种? A．18 B．24 C．30 D．36 【举一反三】 1．（24-25高二下·河南商丘·期中）现有甲、乙等5人并排站成一排，如果甲、乙必须相邻且乙在甲的右边，那么不同的排法种数有（   ） A．24 B．36 C．48 D．60 2．（24-25高二下·福建福州·期中）在电影《哪吒之魔童闹海》宣传海报中，哪吒、敖丙、太乙真人、申公豹、鹿童五个主人公站成一排，其中哪吒和敖丙必须相邻，且太乙真人和申公豹不能相邻，那么共有多少种不同的站法（    ） A．18 B．12 C．28 D．24 3．（24-25高二下·广东深圳·月考），，，，五人并排站成一排，如果，两人必须相邻，那么不同的排法种数有（   ） A．24种 B．48种 C．72种 D．96种 题型二、插空法 【例2】．（24-25高二下·广东·期中）高三毕业来临之际，3名教师，4名女同学和2名男同学排成一排拍照，已知3名教师互不相邻，4名女同学相邻且不在最左边也不在最右边，2名男同学互不相邻且不在最左边也不在最右边，则不同的排法种数共有（   ） A．1152种 B．384种 C．288种 D．144种 举一反三 1．（2025·贵州黔南·模拟预测）贵阳市某中学举办“贵阳文化”交流活动，计划在校园内用五个展板展示阳明文化，山地文化，民族文化，红色文化和饮食文化五种特色文化．规定阳明文化与红色文化不相邻，饮食文化展板放最后．则展板的不同排列方式有（   ） A．12种 B．14种 C．16种 D．18种 2．（24-25高二下·山东青岛·期中）甲、乙、丙、丁、戊、己6人排成一列，要求甲、乙不相邻，则不同排法种数是（   ） A．120 B．240 C．360 D．480 3.（24-25高二上·辽宁·期末）国庆期间，中华世纪坛举办“传奇之旅：马可•波罗与丝绸之路上的世界”展览，现有8个同学站成一排进行游览参观，若将甲、乙、丙3个同学新加入排列，且甲、乙、丙互不相邻，保持原来8个同学顺序不变，则不同的方法种数为（   ） A．84 B．120 C．504 D．720 题型三、特殊元素法 【例2】．（2025高二·全国·专题练习）从A，B，C，D，E这5名学生中选出4名分别参加数学、物理、化学、外语竞赛，其中A不参加物理、化学竞赛，则不同的参赛方案有（    ）种. A．24 B．48 C．72 D．120 【举一反三】 1．（24-25高二下·青海西宁·期末）安排6名歌手演出顺序时，要求某歌手不是第一个出场，也不是最后一个出场，则不同排法的种数是（    ） A．240种 B．360种 C．480种 D．600种 2．（2025·四川绵阳·模拟预测）某班从5名同学中选3名同学分别参加数学、物理和化学知识竞答，已知甲同学不能参加物理和化学知识竞答，其他同学都能参加这三科知识竞答，则不同的安排有（   ） A．42种 B．36种 C．6种 D．12种 3．（24-25高二上·江苏常州·期末）某班一天上午有4节课，下午有2节课，现要安排该班一天中语文、数学、英语、体育、艺术、通技各一节课的课表，要求数学课排在上午，体育课排在下午，不同的排法种数是（    ） A． B． C． D． 题型四、间接法 【例4】．（24-25高三上·江苏常州·期中）有甲、乙等5名同学咨询数学史知识竞赛分数.教师说：甲不是5人中分数最高的，乙不是5人中分数最低的，而且5人的分数互不相同.则这5名同学的可能排名有（    ） A．42种 B．72种 C．78种 D．120种 【举一反三】 1．（23-24高二下·山东青岛·期末）口袋中装有5个白球4个红球，每个球编有不同的号码，现从中取出2个球，至少有一个红球的取法种数是（    ） A．20 B．26 C．32 D．36 2．（23-24高二下·湖北·期中）甲、乙、丙、丁、戊共5名同学进行恩施高中2022级数学竞赛决赛，决出第1名到第5名的名次，甲和乙去询问成绩，回答者对甲说：“很遗域，你没有获得冠军．”对乙说：“你当然不会是最差的．”从这两个回答分析，5人的名次排列可能有（   ）种不同的情况． A．54 B．72 C．78 D．84 3．（22-23高二下·河北唐山·期末）从4名男生和2名女生中选2人参加会议，至少有一名男生，不同的安排方法有（    ）种． A．13 B．14 C．15 D．16 题型五、隔板法 【例5】．（23-24高一下·黑龙江哈尔滨·期末）经哈三中数学组集体备课研究，预计每周（五天）安排8堂数学课，每天至少1堂，不同的安排方法有（    ） A．35种 B．126种 C．495种 D．1001种 【举一反三】 1．（24-25高二上·全国·课后作业）将8个相同的小球放入5个编号为1，2，3，4，5的盒子，每个盒子都不空的方法数为______，恰有一个空盒子的方法数为______． 2．（2023高二·江苏·专题练习）某校将7个优秀团员的推荐名额分到3个班级中，则每个班级至少分到一个名额的方法数有________种. 3．（24-25高二下·江苏淮安·月考）将6个不同小球装入编号为1，2，3，4，5的5个盒子，不允许有空盒子出现，共________种放法；若将6个相同小球放入这5个盒子，允许有空盒子出现，共________种放法.（结果用数字作答） 题型六、倍缩法解决部分定序问题 【例6】．（22-23高二下·北京·期末）某4位同学排成一排准备照相时，又来了2位同学要加入，如果保持原来4位同学的相对顺序不变，则不同的加入方法种数为（    ） A．10 B．20 C．24 D．30 【举一反三】 1．（23-24高二下·河北沧州·月考）用组成没有重复数字的七位数，若的顺序一定，则符合条件的七位数有（    ）个 A．840 B．210 C．640 D．410 2．（24-25高三上·湖北·期末）贴春联、挂红灯笼是我国春节的传统习俗.现准备在大门的两侧各挂四盏一样的红灯笼，从上往下挂，可以一侧挂好后再挂另一侧，也可以两侧交叉着挂，则挂红灯笼的不同方法数为（    ） A． B． C． D． 3．（23-24高二下·新疆喀什·期中）如图，某水果店门前用3根绳子挂了6串香蕉，从左往右的串数依次为1，2，3.到了晚上，水果老板要收摊了，假设每次只取1串（挂在一列的只能先收下面的），则将这些香蕉都取完的不同取法种数为__________.（结果用数字表示） 题型七、不平均分组问题 【例7】．（25-26高二上·全国·期末）基础学科对于一个国家科技发展至关重要，是提高核心竞争力，保持战略领先的关键，其中数学学科尤为重要.某双一流大学为提高数学系学生的数学素养，特开设了《九章算术》《古今数学思想》《数学原理》《世界数学通史》《算术研究》五门选修课程，要求数学系每位同学每学年至多选三门，至少选一门，且已选过的课程不能再选，大一到大三三学年必须将五门选修课程选完，则每位同学的不同选修方式种数为（    ） A．25 B．40 C．150 D．240 【举一反三】 1．（23-24高二下·江苏镇江·期中）某单位计划安排“五一”假期间值班人员，若安排甲、乙、丙，丁四人值班5天，每天均有一人值班，每人至少值班一天，则不同值班的方法数为（    ） A．60 B．180 C．240 D．300 2．（22-23高二上·江苏南京·期末）某学校派出5名优秀教师去边远地区的4所中学进行教学交流，每所中学至少派1名教师，则不同的分配方法种数为________. 3．（24-25高三下·上海黄浦·期中）某校有5名大学生打算前往观看冰球，速滑，花滑三场比赛，每场比赛至多2名学生前往，则甲同学不去观看冰球比赛的方案种数有__种． 题型八、平均分组问题 【例8】．（2024·广西桂林·三模）某校组织社会实践活动，将参加活动的3名老师与6名同学分成三组，每组1名老师与2名同学，不一样的分法共有（    ） A．45种 B．90种 C．180种 D．270种 举一反三 1．（23-24高三下·山西·开学考试）“畅通微循环，未来生活更舒适”．我国开展一刻钟便民生活圈建设，推进生活服务业“规范化、连锁化、便利化、品牌化、特色化、智能化”发展，以提质便民为核心，高质量建设国际消费中心城市，便民商业体系向高品质发展．某调研机构成立5个调研小组，就4个社区的便民生活圈的建设情况进行调研，每个调研小组选择其中1个社区，要求调研活动覆盖被调研的社区，共有派出方案种数为（    ） A．120 B．240 C．360 D．480 2．（2023·辽宁·模拟预测）某市要建立步行15分钟的核酸采样点，现有9名采样工作人员全部分配到3个采样点，每个采样点至少分配2人，则不同的分配方法种数为（    ） A．1918 B．11508 C．12708 D．18 3．（22-23高三上·甘肃张掖·月考）安徽省地形具有平原、台地（岗地）、丘陵、山地等类型，其中丘陵地区占了很大比重，因此山地较多，著名的山也有很多，比如：黄山、九华山、天柱山.某校开设了研学旅行课程，计划将5名优秀学生分别派往这三个地方进行研学旅行，每座山至少有一名学生参加，则不同的安排方案种数是（    ） A．150 B．120 C．160 D．180 题型九、部分平均分组问题 【例9】．（24-25高二下·广东深圳·期中）某高校的教授为了完成一个课题，将4名研究生助理分配到3个实验室进行为期一周的实验来共同协助该教授完成该课题，要求每名研究生助理只去1个实验室进行实验，且每个实验室至少安排1名研究生助理，则不同的安排方法的种数为（    ） A．72 B．54 C．48 D．36 【举一反三】 1．（24-25高二下·湖南长沙·月考）若将4名志愿者分配到3个服务点参加抗疫工作，每人只去1个服务点，每个服务点至少安排1人，则不同的安排方法共有（    ） A．36种 B．48种 C．96种 D．108种 2．（2024高三·全国·专题练习）近年来，国内中、短途旅游人数增长显著，2024年上半年旅游人数更创新高，充分展示了国内文旅消费潜力．甲、乙、丙、丁四位同学打算去北京、成都、贵阳三个地方旅游，每位同学只去一个地方，每个地方至少去1人，则甲、乙都去北京的概率为（    ） A． B． C． D． 3．（22-23高二上·江西赣州·期末）5名学生参加数学建模活动，目前有3个不同的数学建模小组，每个小组至少分配1名学生，至多分配3名学生，则不同的分配方法种数为（    ） A．60 B．90 C．150 D．240 题型十、特殊位置法 【例10】．（22-23高三上·河北衡水·月考）某市新冠疫情封闭管理期间，为了更好的保障社区居民的日常生活，选派名志愿者到甲、乙、丙三个社区进行服务，每人只能去一个地方，每地至少派一人，则不同的选派方案共有（    ） A．种 B．种 C．种 D．种 【举一反三】 1.（2025·辽宁大连·一模）某班有甲、乙、丙、丁四名学生依次参加接力跑的接力比赛，已知甲不能站在第一位，乙不能站在第二位，则可能的安排排列顺序有（   ） A．种 B．种 C．种 D．种 2．（23-24高二下·北京海淀·期末）将分别写有2，0，2，4的四张卡片，按一定次序排成一行组成一个四位数（首位不为0），则组成的不同四位数的个数为（    ） A． B． C． D． 3．（23-24高二下·江苏连云港·期中）现有5名男生（含1名班长）、2名女生站成一排合影留念，要求班长必须站中间，他的两侧均为两男1女，则总的站排方法共有（    ） A．216 B．432 C．864 D．1728 题型十一、涂色问题 【例11】．（22-23高三·全国·中职高考）从编号为1，2，3，4，5的5个球中任取4个，放在编号为A，B，C，D的4个盒子里，每盒一球，且2号球不能放在B盒中的不同的方法数是（    ） A．24 B．48 C．54 D．96 【举一反三】 1．（2025高二·全国·专题练习）用红、黄、蓝三种颜色去涂图中标号为，，，的个小正方形，使得任意相邻（有公共边）的小正方形所涂颜色都不相同，且标号为，，的小正方形涂相同的颜色，则共有（    ）种涂法， A． B． C． D． 2．（24-25高二下·安徽池州·期中）如图，现要用5种不同的颜色给池州市4个区县地图进行着色，要求有公共边的两个区域不能用同一种颜色，且青阳与东至不能使用同一种颜色，共有（    ）种不同的着色方法. A．180 B．120 C．60 D．240 3．（24-25高二下·广东广州·期中）如图，湖北省分别与湖南、安徽、陕西、江西四省交界，且湘、皖、陕互不交界，在地图上分别给各省地域涂色，要求相邻省涂不同色，现有4种不同颜色可供选用，则不同的涂色方案数为（    ）    A．96 B．144 C．480 D．600 题型十二：排数问题 【例12】．（24-25高二下·广东梅州·期末）用0，1，2，3组成没有重复数字的四位偶数有（    ）个 A．8 B．10 C．12 D．16 【举一反三】 1．（24-25高二下·河南南阳·期末）从中任取个数字，从中任取个数字，用这个数字组成的没有重复数字的五位数的个数为（    ） A． B． C． D． 2．（24-25高二下·江苏苏州·期末）从0，1，2，3，4五个数字中任选3个数字，可组成无重复数字的三位数的个数为（   ） A．48 B．60 C．72 D．100 3.（23-24高三下·广东广州·月考）在中不重复地选取4个数字，共能组成（    ）个不同的四位数. A．96 B．18 C．120 D．84 题型十三：排列组合方法的综合应用 【例13】．（24-25高二下·河北承德·期中）4名男生和3名女生共7人排成一排.（下列问题的结果全部用数字表示） (1)如果男生甲不站在队伍的两头，有多少种不同的排法； (2)如果全部男生相邻，有多少种不同的排法； (3)如果女生不能相邻，有多少种不同的排法； (4)如果队伍的两头均是女生且男生甲不站中间，有多少种不同的排法. 【举一反三】 1．（24-25高三·上海·随堂练习）某兴趣小组有10名学生，若从10名学生中选取3人，则选取的3人中恰有1名女生的概率为，且女生人数超过1人，则 (1)该小组中男生、女生各多少人？ (2)若10名学生排成一排，其中男生不相邻，且男生的左右相对顺序固定，问有多少种站队方法？（要求用数字作答） (3)若10名学生均为学校管弦乐队成员，其中有3名男生只会萨克斯，有4名女生只会小提琴，其他同学既会萨克斯又会小提琴，现从这10名学生中任选6人，其中3人吹萨克斯，3人拉小提琴，则有多少种不同的选法？（要求用数字作答） 2．（23-24高二下·广东佛山·期中）一个口袋内有4个不同的红球，6个不同的白球． (1)从中任取4个球，红球的个数不比白球个数少的取法有多少种？ (2)将4个不同的红球，分给甲、乙两人，每人至少分得1个球，则共有多少种不同的分配方法？ 3．（22-23高二下·江苏·月考）某班级周六的课程表要排入历史、语文、数学、物理、体育、英语共6节课. (1)如果数学和物理不能相邻，则不同的排法有多少种？ (2)如果第一节不排体育，最后一节不排数学，那么共有多少种排法？ (3)原定的6节课已排好，学校临时通知要增加生物化学地理3节课，若将这3节课插入原课表中且原来的6节课相对顺序不变，则有多少种不同的排法？ 【专题训练】 1．（2026·浙江·一模）某晚会由4个歌舞节目和2个机器人表演节目组成，若要求机器人表演节目不能相邻出演且前3个节目中至少有一个是机器人表演节目，则不同的节目安排方法有（    ）种. A．216 B．360 C．432 D．672 2．（2026·安徽合肥·一模）国庆假期，某人计划去五个不同的景点游览．在确定景点的游览顺序时，要求在之前，与相邻，则不同的游览顺序共有（   ） A．18种 B．24种 C．48种 D．60种 3．（25-26高三上·山西太原·期末）某次市运会跳水项目的预赛中有名参赛选手，其中校有名，校有名，校有名.现要求校名选手的出场均不能和校选手的出场相邻，则这名选手不同出场顺序的种数为（    ） A． B． C． D． 4．（2026·浙江·模拟预测）《水浒传》、《三国演义》、《西游记》和《红楼梦》被称为中国古代四大名著.书架的某一层上有4本不同的文学书，现将四大名著各一本插入这4本书的5个空隙中，要求原有书的顺序不变且四大名著中至少有3本相邻，则不同的插法共有（    ） A．120种 B．240种 C．480种 D．600种 5．（25-26高二上·安徽淮北·期末）中国空间技术的突破和空间站的建设，吸引了众多太空爱好者.在“天宫课堂”第三课中就有人提问：如何能成为一名航天员?如何才能加入探索太空的队伍中?已知航天员选拔时要接受特殊环境的耐受性测试，主要包括前庭功能、超重耐力、失重飞行、飞行跳伞、着陆冲击五项.现对这五项测试排序，要求前庭功能不排在第一项，超重耐力不排在最后一项，失重飞行不排在第三项，则选拔测试的安排方案有（    ） A．28种 B．36种 C．48种 D．64种 6．（25-26高二下·辽宁·开学考试）如图，在六个区域中种植4种不同植物，同一区域只种植1种植物，相邻两区域所种植物不同，则不同的种植方案种数为（   ） A．48 B．96 C．120 D．192 7．（24-25高二下·广东肇庆·月考）用0，1，2，3，4五个数字，组成无重复数字的五位数，则下列说法不正确的是（   ） A．共有96个数 B．偶数有60个 C．大于31000的数有24个 D．数字2和数字4不相邻的数有60个 8．（25-26高二下·黑龙江·开学考试）某社区组织文化活动，现有书法艺术展示､传统戏曲表演､民间手工艺制作､古典诗词朗诵､现代音乐赏析这5个文化活动项目.社区安排6名志愿者负责这5个项目的活动组织，若每个项目的活动都至少有1名志愿者负责，每名志愿者均需要负责且只负责其中1个项目的活动组织，则不同的分配方法种数为（    ） A． B． C． D． 9．（2026·辽宁·模拟预测）已知1、2、3、4、5、6、7、8八个数字组成一个八位数（各位数字不重复），满足任意相邻数字奇偶性不同，且5、6两个数字相邻，则这样的八位数有（   ）个. A．432 B．257 C．282 D．504 二、多选题 10．（25-26高二下·浙江温州·月考）将7个小球放入3个盒子中，结合小球的相同与不同属性、盒子的相同与不同特征，以及不同的放置限制条件，下列说法正确的有（   ） A．若小球相同、盒子不同，且每个盒子至少放1个球，则不同的放法种数为15 B．若小球相同、盒子不同，且允许有空盒子，则不同的放法种数为21 C．若小球不同、盒子相同，且每个盒子至少放1个球，则不同的放法种数为301 D．若小球相同、盒子不同，且恰有1个盒子放2个球，其余盒子至少放1个球，则不同的放法种数为15 11．（24-25高二下·广东肇庆·月考）下面正确的是（   ） A．将5个不同的小球放入3个不同的盒子中，没有空盒子，有150种不同的放法； B．将5个不同的小球放入3个不同的盒子中，盒子可空，有种不同的放法； C．将5个相同的小球放入3个不同的盒子中，没有空盒子，有6种不同的放法； D．将5个相同的小球放入3个不同的盒子中，盒子可空，有19种不同的放法． 12．（25-26高二上·江苏南通·期末）文娱晚会中，学生的节目有9个，教师的节目有2个，则（   ） A．如果教师的节目不排在最后，那么不同排法的种数为 B．如果教师的节目不排在两端，那么不同排法的种数为 C．如果教师的节目必须相邻，那么不同排法的种数为 D．如果教师的节目不能相邻，那么不同排法的种数为 13．（25-26高二上·江西景德镇·期末）五一假期即将来临，小张，小李，小王，小赵，小孙五名同学决定到南京的著名景点“夫子庙”、“中山陵”、“玄武湖”游玩，每名同学只能选择一个景点，则下列说法正确的有（   ） A．所有可能的方法有125种 B．若小张同学必须去“夫子庙”，则不同的安排方法有64种 C．若每个景点必须有同学去，则不同的安排方法有150种 D．若每个景点必须有同学去，且小张和小李不去同一个景点，则不同的安排方法有114种 14．（25-26高二上·江西新余·期末）以“智能时代，同球共济”为主题的2025年世界人工智能大会在上海盛大开幕.现安排甲､乙､丙､丁､戊5名同学参加志愿者服务活动，有翻译､礼仪､司机三项工作可以安排，下列说法正确的是（    ） A．每人安排一项工作的不同方法数为 B．每人安排一项工作，每项工作至少有一人参加，则不同安排方法种数是 C．若甲乙丙会翻译，丙丁戊懂礼仪，现翻译和礼仪各安排两人，则不同的安排方法数为 D．每人安排一项工作，如果礼仪工作不安排，其余两项工作每项工作至少安排一人，则不同的安排方法数为 15．（25-26高二上·山东潍坊·月考）下列说法正确的有（ ） A．将5封信投入3个邮筒，不同的投法共有种 B．有三张参观券，要在5人中确定3人去参观，不同方法的种数是 C．从6男4女中选4人参加比赛，若4人中必须有男有女，则共有种选法 D．有5名老师去外地出差，住宿安排在三个房间内，要求甲、乙两人不住同一房间，且每个房间最多住两人，则不同的住宿安排有72种 三、填空题 16．（25-26高二上·江苏南通·期末）运动会期间，将甲､乙､丙､丁四名志愿者分配到三个场地参加志愿服务，每名志愿者只能安排去一个场地，每个场地至少需要一名志愿者，则不同的安排方法数为__________. 17．（2026高二下·全国·专题练习）从5名女老师和3名男老师中选出一位主考和两位监考参加2025年高考某考场的监考工作．要求主考固定在考场前方监考，一女教师在考场内流动监考，另一位教师固定在考场后方监考，则不同的安排方案种数为________． 18．（25-26高二下·全国·课后作业）在航天员进行的一项太空实验中，先后要实施6个程序，（1）若程序A只能出现在第一步或最后一步，程序B和C实施时必须相邻，则实验顺序的编排方法共有________种； （2）若程序B和C都与程序D不相邻，则实验顺序的编排方法共有________种． 19．（24-25高二下·广东肇庆·月考）从包含甲、乙两人的7人中选出3人分别担任学习委员、宣传委员、体育委员，则甲、乙两人不都入选的不同选法共有__________种． 20．（25-26高二上·河南驻马店·期末）为迎接温馨祥和的2026年农历春节，某司法部门安排甲、乙、丙、丁四人去富强、民主、文明、和谐四个社区进行普法宣传，要求每人必须去社区且只能去一个社区，且每个社区必须有人去宣传，要求甲不去富强社区，乙或丙去民主社区，则不同的安排方法有___________种. 21．（25-26高二上·江西宜春·期末）现有红、黄、蓝、绿四个骰子，每个骰子的六个面上的数字分别为1，2，3，4，5，6.若同时掷这四个骰子，则四个骰子朝上的数字之积等于12的情形共有_____种.（请用数字作答） 2 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题强化01：排列组合方法 【解题方法】 1. 优先法：特殊元素 / 位置先排例：甲必须排头 → 先排甲，再排其他人。 2. 捆绑法：元素必须相邻步骤： 相邻元素捆成一个整体整体内部再排列 3. 插空法 元素不能相邻步骤： 先排无限制元素 再把不相邻元素插进空隙 4. 间接法（排除法） 正面难算 → 用总数 - 不符合条件符合=总排法−反面 5. 定序法：某些元素顺序固定定序元素的排列数全排列​ 6. 平均分组：分 n 组且每组数量相同，要除以组数的阶乘去重。 7. 隔板法：相同元素分给不同对象，每对象至少 1 个n 个相同球分给 k 个不同盒​ 8. 先选后排：先组合选取，再排列：先选C→后排A 三、常见题型一句话总结 相邻：捆绑 不相邻：插空 特殊：优先 正面难：间接 顺序固定：定序除阶乘 相同元素分堆：隔板 分组有重复：平均分组要除重 先选再排：先组合后排列 【方法归纳】 【题型探究】 题型一、捆绑法 【例1】．（24-25高二下·湖北·期末）某校将开展三项不同的社会实践活动，现招募了5名学生志愿者参与.要求每个活动项目至少安排1名志愿者，至多安排2名志愿者.已知学生甲和乙是好朋友，须一起参与同一个活动项目，那么不同的人员分配方案共有（    ）种? A．18 B．24 C．30 D．36 【答案】A 【分析】先分组，再排列即可求解. 【详解】. 故选：. 【举一反三】 1．（24-25高二下·河南商丘·期中）现有甲、乙等5人并排站成一排，如果甲、乙必须相邻且乙在甲的右边，那么不同的排法种数有（   ） A．24 B．36 C．48 D．60 【答案】A 【分析】利用“元素相邻捆绑法”求解. 【详解】第一步：甲、乙相邻且乙在甲的右边，这样的排列方式只有1种； 第二步：将甲乙看成一个整体，将其与其余3人站成一排，有种排法. 由分步乘法计数原理可得：满足条件的排法种数为：. 故选：A 2．（24-25高二下·福建福州·期中）在电影《哪吒之魔童闹海》宣传海报中，哪吒、敖丙、太乙真人、申公豹、鹿童五个主人公站成一排，其中哪吒和敖丙必须相邻，且太乙真人和申公豹不能相邻，那么共有多少种不同的站法（    ） A．18 B．12 C．28 D．24 【答案】D 【分析】利用捆绑法将相邻的两人看成一个大元素，再与无特殊要求的元素进行排列，最后将不相邻的元素利用插空法排列即可得出结果. 【详解】将哪吒和敖丙捆绑在一起，与鹿童进行排列，共有种， 再把太乙真人和申公豹利用插空法放到符合题意的3个空隙当中，共有种， 因此共有种不同的站法. 故选：D 3．（24-25高二下·广东深圳·月考），，，，五人并排站成一排，如果，两人必须相邻，那么不同的排法种数有（   ） A．24种 B．48种 C．72种 D．96种 【答案】B 【分析】根据捆绑法求解即可. 【详解】由题意，先将，捆绑排列，再跟剩下的人排列，故不同的排法种数有种. 故选：B. 题型二、插空法 【例2】．（24-25高二下·广东·期中）高三毕业来临之际，3名教师，4名女同学和2名男同学排成一排拍照，已知3名教师互不相邻，4名女同学相邻且不在最左边也不在最右边，2名男同学互不相邻且不在最左边也不在最右边，则不同的排法种数共有（   ） A．1152种 B．384种 C．288种 D．144种 【答案】A 【分析】先将4名女同学捆绑在一起看成一个整体并内部排序，再用插空法安排教师和男同学的位置. 【详解】第一步：先将3名教师全排，共有种排法；第二步：将4名女同学＂捆绑＂在一起，共有种排法；第三步：将＂捆绑＂在一起的4名女同学作为一个元素，在第一步形成的2个空中选择1个插人，有种排法；第四步：首先将2名男同学之中的一人，插人第三步后相邻的两名教师中间，然后将另一个男同学插入由女同学与教师形成的2个空中的其中1个，共有种排法，所以不同的排法种数有：种． 故选：A 举一反三 1．（2025·贵州黔南·模拟预测）贵阳市某中学举办“贵阳文化”交流活动，计划在校园内用五个展板展示阳明文化，山地文化，民族文化，红色文化和饮食文化五种特色文化．规定阳明文化与红色文化不相邻，饮食文化展板放最后．则展板的不同排列方式有（   ） A．12种 B．14种 C．16种 D．18种 【答案】A 【分析】利用插空法可求不同的排列方法. 【详解】先排饮食文化展板，有一种放置方法； 再排山地文化展板，民族文化，有种放置方法； 再利用插空法排阳明文化展板与红色文化展板，有种放置方法， 故共有种放置方法， 故选：A. 2．（24-25高二下·山东青岛·期中）甲、乙、丙、丁、戊、己6人排成一列，要求甲、乙不相邻，则不同排法种数是（   ） A．120 B．240 C．360 D．480 【答案】D 【分析】利用插空法直接进行计算即可求得结果. 【详解】先将丙、丁、戊、己4人进行全排列，共有种排法， 再将甲、乙两人利用插空法排到5个符合题意的空隙当中，共有种， 因此不同排法种数是种. 故选：D 3.（24-25高二上·辽宁·期末）国庆期间，中华世纪坛举办“传奇之旅：马可•波罗与丝绸之路上的世界”展览，现有8个同学站成一排进行游览参观，若将甲、乙、丙3个同学新加入排列，且甲、乙、丙互不相邻，保持原来8个同学顺序不变，则不同的方法种数为（   ） A．84 B．120 C．504 D．720 【答案】C 【分析】不相邻问题插空法，8个同学一排有9个空，把甲、乙、丙插在9个空即可. 【详解】8个同学站成一排有9个空，甲、乙、丙在9个空中任意排列，则不同的方法种数为. 故选：C. 题型三、特殊元素法 【例2】．（2025高二·全国·专题练习）从A，B，C，D，E这5名学生中选出4名分别参加数学、物理、化学、外语竞赛，其中A不参加物理、化学竞赛，则不同的参赛方案有（    ）种. A．24 B．48 C．72 D．120 【答案】C 【分析】根据分类加法计数原理和排列组合的应用，对特殊元素分类讨论，分别计算不同的情况种类数目，求出结果. 【详解】解法1（特殊元素优先）：若A参加竞赛，则参赛方案有种； 若A不参加竞赛，则参赛方案有种，因此不同的参赛方案有72种. 解法2（特殊位置优先）：先从除了A以外的4名学生中选择2名参加物理、化学竞赛，有种； 再从余下的3名学生中选择2名参加数学、外语竞赛，有种；因此共有种不同的参赛方案. 故选：C. 【举一反三】 1．（24-25高二下·青海西宁·期末）安排6名歌手演出顺序时，要求某歌手不是第一个出场，也不是最后一个出场，则不同排法的种数是（    ） A．240种 B．360种 C．480种 D．600种 【答案】C 【分析】利用特殊元素优先法，先安排这名歌手，再余下的歌手进行全排列即可. 【详解】先排这名歌手有种方法，余下5名歌手全排列为种方法， 所以不同排法的种数为种. 故选:C. 2．（2025·四川绵阳·模拟预测）某班从5名同学中选3名同学分别参加数学、物理和化学知识竞答，已知甲同学不能参加物理和化学知识竞答，其他同学都能参加这三科知识竞答，则不同的安排有（   ） A．42种 B．36种 C．6种 D．12种 【答案】B 【分析】利用分类加法原理来求解即可. 【详解】第一类：三名同学中有甲同学，则不同的安排有：种； 第二类：三名同学中没有甲同学，则不同的安排有：种； 根据分类加法原理可得，共有种， 故选：B. 3．（24-25高二上·江苏常州·期末）某班一天上午有4节课，下午有2节课，现要安排该班一天中语文、数学、英语、体育、艺术、通技各一节课的课表，要求数学课排在上午，体育课排在下午，不同的排法种数是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先排数学、体育，再排其余4节，利用乘法原理即可得到结果． 【详解】由题意，要求数学课排在上午，体育课排在下午，有种排法， 再排其余4节，有种排法， 根据乘法原理，共有种排法， 故选：B． 题型四、间接法 【例4】．（24-25高三上·江苏常州·期中）有甲、乙等5名同学咨询数学史知识竞赛分数.教师说：甲不是5人中分数最高的，乙不是5人中分数最低的，而且5人的分数互不相同.则这5名同学的可能排名有（    ） A．42种 B．72种 C．78种 D．120种 【答案】C 【分析】先计算，然后减去不符合题意的情况，由此求得正确答案. 【详解】不符合题意的情况是：甲是最高分或乙是最低分， 所以这5名同学的可能排名有种. 故选：C 【举一反三】 1．（23-24高二下·山东青岛·期末）口袋中装有5个白球4个红球，每个球编有不同的号码，现从中取出2个球，至少有一个红球的取法种数是（    ） A．20 B．26 C．32 D．36 【答案】B 【分析】由间接法以及组合数即可求解. 【详解】从个球中任取个球的取法共有种， 两个球都不是红球的取法有种， 所以取出2个球，至少有一个红球的取法种数为. 故选：B. 2．（23-24高二下·湖北·期中）甲、乙、丙、丁、戊共5名同学进行恩施高中2022级数学竞赛决赛，决出第1名到第5名的名次，甲和乙去询问成绩，回答者对甲说：“很遗域，你没有获得冠军．”对乙说：“你当然不会是最差的．”从这两个回答分析，5人的名次排列可能有（   ）种不同的情况． A．54 B．72 C．78 D．84 【答案】C 【分析】利用间接法计算可得答案. 【详解】甲、乙、丙、丁、戊5名同学排名次有种情况， 甲是第一名有种情况，乙是最后一名有种情况， 总共的情况有. 故选：C． 3．（22-23高二下·河北唐山·期末）从4名男生和2名女生中选2人参加会议，至少有一名男生，不同的安排方法有（    ）种． A．13 B．14 C．15 D．16 【答案】B 【分析】根据题意，用间接法分析：先计算全部的选法，排除其中“没有女生，即全部为男生”的选法，分析可得答案． 【详解】根据题意，从4名男生和2名女生中选2人参加会议，有种选法， 其中没有男生，即全部为女生的选法有种， 则至少有一名男生的选法有． 故选：B． 题型五、隔板法 【例5】．（23-24高一下·黑龙江哈尔滨·期末）经哈三中数学组集体备课研究，预计每周（五天）安排8堂数学课，每天至少1堂，不同的安排方法有（    ） A．35种 B．126种 C．495种 D．1001种 【答案】A 【分析】用隔板法将8堂数学课分成5份即可得解. 【详解】将8堂数学课当做8个排成一列的相同的球，这八个球之间共有7个空隙， 从中选出4个空隙，用4块板放入这些空隙之间，每块板放入的空隙不同， 正好将这八个球分隔成5份，分别对应每周五天的数学课课堂量安排， 所以题目所求的不同安排方法共有种. 故选：A. 【举一反三】 1．（24-25高二上·全国·课后作业）将8个相同的小球放入5个编号为1，2，3，4，5的盒子，每个盒子都不空的方法数为______，恰有一个空盒子的方法数为______． 【答案】 35 175 【分析】对于空1，先把8个相同的小球排成一行，求出用隔板法将8个相同的小球分成5份的方法数即得解；对于空2，先选出一个空盒子，接着求出用隔板法将排成一行的8个相同的小球分成4份的方法数，再结合分步乘法计数原理即可求解. 【详解】先把8个相同的小球排成一行， 然后在8个小球之间的7个空隙中任选4个空隙各插入一块隔板， 每一种插入隔板的方式对应一种球的放入方式， 故每个盒子都不空的方法数共有种； 若恰有一个空盒子，先选出一个空盒子，有种选法， 并在8个小球之间的7个空隙中任选3个空隙各插入一块隔板，有种插法， 故由分步乘法计数原理恰有一个空盒子的方法数共有种. 故答案为：35；175. 2．（2023高二·江苏·专题练习）某校将7个优秀团员的推荐名额分到3个班级中，则每个班级至少分到一个名额的方法数有________种. 【答案】15 【分析】利用“隔板法”，即可求解. 【详解】7个人站成一排，每班至少要1名，就有6个空，然后插入2个板子把他们隔开， 从6个中选2个，方法有(种). 故答案为：15. 3．（24-25高二下·江苏淮安·月考）将6个不同小球装入编号为1，2，3，4，5的5个盒子，不允许有空盒子出现，共________种放法；若将6个相同小球放入这5个盒子，允许有空盒子出现，共________种放法.（结果用数字作答） 【答案】 1800 210 【分析】由6个不同小球分成5组，再将5组球分别放入5个盒子即可得解；6个相同的小球放入5个盒子，若允许有空盒子，可先借5个球，然后再将11个球的10个空间中插入4块即可得解. 【详解】解：由题意得： 由6个不同小球分成5组，每组个数分别为1，1，1，1，2，不同的分组情况有种方法，再将5组球分别放入5个盒子共有种； 6个相同的小球放入5个盒子，若允许有空盒子，可先借5个球，然后再将11个球的10个空间中插入4块板，共有种. 故答案为：1800；210 题型六、倍缩法解决部分定序问题 【例6】．（22-23高二下·北京·期末）某4位同学排成一排准备照相时，又来了2位同学要加入，如果保持原来4位同学的相对顺序不变，则不同的加入方法种数为（    ） A．10 B．20 C．24 D．30 【答案】D 【分析】利用排列中的定序问题的处理方法进行处理. 【详解】6位同学排成一排准备照相时，共有种排法， 如果保持原来4位同学的相对顺序不变，则有种排法，故A，B，C错误. 故选：D. 【举一反三】 1．（23-24高二下·河北沧州·月考）用组成没有重复数字的七位数，若的顺序一定，则符合条件的七位数有（    ）个 A．840 B．210 C．640 D．410 【答案】A 【分析】根据倍缩法求解定序问题. 【详解】组成没有重复数字的七位数，共有个，的顺序有个， 所以所求的个数有， 故选：. 2．（24-25高三上·湖北·期末）贴春联、挂红灯笼是我国春节的传统习俗.现准备在大门的两侧各挂四盏一样的红灯笼，从上往下挂，可以一侧挂好后再挂另一侧，也可以两侧交叉着挂，则挂红灯笼的不同方法数为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】首先计算盏灯笼任意挂有种不同的挂法，再除以左边顺序一定种，右边顺序一定种，即可求解. 【详解】若盏灯笼任意挂，不同的挂法由种， 又因为左右两边盏灯顺序一定，故有种， 故选：D 3．（23-24高二下·新疆喀什·期中）如图，某水果店门前用3根绳子挂了6串香蕉，从左往右的串数依次为1，2，3.到了晚上，水果老板要收摊了，假设每次只取1串（挂在一列的只能先收下面的），则将这些香蕉都取完的不同取法种数为__________.（结果用数字表示） 【答案】60 【分析】先不考虑收的顺序，有种方法，再考虑中间一列和右边一列在收取时的所有方法数，因挂在一列的只能先收下面的，故方法数为. 【详解】依题意，6串香蕉任意收取共有种方法， 考虑在收取最右边一列时有种取法，收取中间一列时有种取法， 而从下往上收取只是其中的一种，故按照从下往上的收取方法，不同取法数是种. 故答案为：60. 题型七、不平均分组问题 【例7】．（25-26高二上·全国·期末）基础学科对于一个国家科技发展至关重要，是提高核心竞争力，保持战略领先的关键，其中数学学科尤为重要.某双一流大学为提高数学系学生的数学素养，特开设了《九章算术》《古今数学思想》《数学原理》《世界数学通史》《算术研究》五门选修课程，要求数学系每位同学每学年至多选三门，至少选一门，且已选过的课程不能再选，大一到大三三学年必须将五门选修课程选完，则每位同学的不同选修方式种数为（    ） A．25 B．40 C．150 D．240 【答案】C 【分析】将五门课程分成3，1，1和2，2，1这两种情况讨论 【详解】先将五门课程分成3，1，1和2，2，1这两种情况，再安排到三个学年中，则共有种选修方式. 【举一反三】 1．（23-24高二下·江苏镇江·期中）某单位计划安排“五一”假期间值班人员，若安排甲、乙、丙，丁四人值班5天，每天均有一人值班，每人至少值班一天，则不同值班的方法数为（    ） A．60 B．180 C．240 D．300 【答案】C 【分析】由不平均分组法或者直接由分步乘法计数原理即可求解. 【详解】方法一（不平均分组）：由题意这五天中有一人值了两天班，即四人的值班天数为， 故所求为， 方法二：从五天中选两天分配给其中一人，再将剩下的三人、三天进行全排列， 故所求为. 故选：C. 2．（22-23高二上·江苏南京·期末）某学校派出5名优秀教师去边远地区的4所中学进行教学交流，每所中学至少派1名教师，则不同的分配方法种数为________. 【答案】 【分析】由题意，结合分组分配问题，即可求解. 【详解】由题意知，5名教师可分为4组，4组人数分别为2人，1人，1人，1人， 将这4组分配到4所不同的学校，共有种分配方法. 故答案为：240 3．（24-25高三下·上海黄浦·期中）某校有5名大学生打算前往观看冰球，速滑，花滑三场比赛，每场比赛至多2名学生前往，则甲同学不去观看冰球比赛的方案种数有__种． 【答案】60 【分析】先根据部分均匀分组，由先分组再分配解决即可. 【详解】由题知， ①将5名大学生分成的三组，有种分组方法， ②甲同学所在的组不去观看冰球比赛，有2种情况，剩下的2组任意选择， 有种情况， 所以有种方案． 故答案为：60 题型八、平均分组问题 【例8】．（2024·广西桂林·三模）某校组织社会实践活动，将参加活动的3名老师与6名同学分成三组，每组1名老师与2名同学，不一样的分法共有（    ） A．45种 B．90种 C．180种 D．270种 【答案】B 【分析】根据平均分组分配问题即可求解. 【详解】先将6名同学平均分成3组，有种分法， 再将3名老师分成3组，有种分法， 所以共有种分法. 故选：B 举一反三 1．（23-24高三下·山西·开学考试）“畅通微循环，未来生活更舒适”．我国开展一刻钟便民生活圈建设，推进生活服务业“规范化、连锁化、便利化、品牌化、特色化、智能化”发展，以提质便民为核心，高质量建设国际消费中心城市，便民商业体系向高品质发展．某调研机构成立5个调研小组，就4个社区的便民生活圈的建设情况进行调研，每个调研小组选择其中1个社区，要求调研活动覆盖被调研的社区，共有派出方案种数为（    ） A．120 B．240 C．360 D．480 【答案】B 【分析】根据分组分配的组合问题，即可求解. 【详解】将这5个调研小组分成2，1，1，1这4个小组，然后派往4个社区， 所以派出方案种数为． 故选：B． 2．（2023·辽宁·模拟预测）某市要建立步行15分钟的核酸采样点，现有9名采样工作人员全部分配到3个采样点，每个采样点至少分配2人，则不同的分配方法种数为（    ） A．1918 B．11508 C．12708 D．18 【答案】B 【分析】利用分组分配问题的计算方法求解. 【详解】分组方法共有，，三种情况， 所以分配方法共有.故选:B. 3．（22-23高三上·甘肃张掖·月考）安徽省地形具有平原、台地（岗地）、丘陵、山地等类型，其中丘陵地区占了很大比重，因此山地较多，著名的山也有很多，比如：黄山、九华山、天柱山.某校开设了研学旅行课程，计划将5名优秀学生分别派往这三个地方进行研学旅行，每座山至少有一名学生参加，则不同的安排方案种数是（    ） A．150 B．120 C．160 D．180 【答案】A 【分析】先分成三组，可以3、1、1，也可以2、2、1，分好后再安排到三个山. 【详解】根据题意，分2步进行分析：①将5名优秀学生分为3组，若分为3、1、1的三组，有种分组方法，若分为2、2、1的三组，有种分组方法，故共有种分组方法，②将分好的3组安排到3个地方进行研学旅行，有种情况，则有种安排方法. 故选：A. 题型九、部分平均分组问题 【例9】．（24-25高二下·广东深圳·期中）某高校的教授为了完成一个课题，将4名研究生助理分配到3个实验室进行为期一周的实验来共同协助该教授完成该课题，要求每名研究生助理只去1个实验室进行实验，且每个实验室至少安排1名研究生助理，则不同的安排方法的种数为（    ） A．72 B．54 C．48 D．36 【答案】D 【分析】根据分组分配及分步计算原理，先将4人分成3组，再分配到3个实验室可解. 【详解】将4名研究生助理分成3组，有种方法，再将3个组分配到3个实验室有种方法. 故选：D. 【举一反三】 1．（24-25高二下·湖南长沙·月考）若将4名志愿者分配到3个服务点参加抗疫工作，每人只去1个服务点，每个服务点至少安排1人，则不同的安排方法共有（    ） A．36种 B．48种 C．96种 D．108种 【答案】A 【分析】利用分组分配方法求解即可. 【详解】将4个人分成3个组有种方法，再将3个组分配到3个服务点有种方法， 故选:A. 2．（2024高三·全国·专题练习）近年来，国内中、短途旅游人数增长显著，2024年上半年旅游人数更创新高，充分展示了国内文旅消费潜力．甲、乙、丙、丁四位同学打算去北京、成都、贵阳三个地方旅游，每位同学只去一个地方，每个地方至少去1人，则甲、乙都去北京的概率为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题意四位同学去三个地方，每个地方至少去一人，即可得到总的方案，甲、乙都去北京，则丙丁只能在成都和贵阳各自选一个有2种选法，根据古典概型即可求解. 【详解】四位同学去三个地方，每个地方至少去一人，总共有（种）方案．因为甲、乙都去北京，则丙、丁分别去成都或贵阳，所以有2种方案，故甲、乙都去北京的概率为. 故选：B． 3．（22-23高二上·江西赣州·期末）5名学生参加数学建模活动，目前有3个不同的数学建模小组，每个小组至少分配1名学生，至多分配3名学生，则不同的分配方法种数为（    ） A．60 B．90 C．150 D．240 【答案】C 【分析】根据每组的人数进行分类讨论，由此求得正确答案. 【详解】当每组人数为时，方法有种. 当每组人数为时，方法有种. 所以不同的分配方法种数为种. 故选：C 题型十、特殊位置法 【例10】．（22-23高三上·河北衡水·月考）某市新冠疫情封闭管理期间，为了更好的保障社区居民的日常生活，选派名志愿者到甲、乙、丙三个社区进行服务，每人只能去一个地方，每地至少派一人，则不同的选派方案共有（    ） A．种 B．种 C．种 D．种 【答案】A 【分析】首先将名志愿者分成组，再分配到个社区. 【详解】首先将名志愿者分成组，再分配到个社区，可分为种情况， 第一类：名志愿者分成，共有（种）选派方案， 第二类：名志愿者分成，共有（种）选派方案， 第三类：名志愿者分成，共有（种）选派方案， 所以共（种）选派方案， 故选：A. 【举一反三】 1.（2025·辽宁大连·一模）某班有甲、乙、丙、丁四名学生依次参加接力跑的接力比赛，已知甲不能站在第一位，乙不能站在第二位，则可能的安排排列顺序有（   ） A．种 B．种 C．种 D．种 【答案】B 【分析】按照甲站在第二位和不站在第二位两种情况讨论，结合分类加法计数原理可得解. 【详解】分甲站在第二位和不站在第二位两种情况讨论， ①当甲站在第二位时，余下三人可以全排列，此时共有种情况； ②当甲不站在第二位时，甲有个位置可选，此时乙也有种情况可选，余下两人可以全排列，则此时共有种情况； 综上所述，一共有种情况， 故选：B. 2．（23-24高二下·北京海淀·期末）将分别写有2，0，2，4的四张卡片，按一定次序排成一行组成一个四位数（首位不为0），则组成的不同四位数的个数为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】因四位数首位非零，且四个数字中有重复数字，故可先安排首位，再确定其他数位. 【详解】根据题意，可将四位数分成两类： 第一类，首位是2，则只需要将所剩下的三个数字全排即得，有个； 第二类，首位是4，只需在余下的三个数位选一个给0即可，有个. 由分类加法计数原理可得，组成的不同四位数的个数为. 故选：A. 3．（23-24高二下·江苏连云港·期中）现有5名男生（含1名班长）、2名女生站成一排合影留念，要求班长必须站中间，他的两侧均为两男1女，则总的站排方法共有（    ） A．216 B．432 C．864 D．1728 【答案】B 【分析】先排班长左侧再排班长右侧位置即可求得排法总数. 【详解】班长站在中间，有1个方法，先选2男生1女生排在班长左侧，有个方法， 将余下的3人排在班长右侧，有个方法， 则符合要求的方法总数为. 故选：B 题型十一、涂色问题 【例11】．（22-23高三·全国·中职高考）从编号为1，2，3，4，5的5个球中任取4个，放在编号为A，B，C，D的4个盒子里，每盒一球，且2号球不能放在B盒中的不同的方法数是（    ） A．24 B．48 C．54 D．96 【答案】D 【分析】利用有限制条件的排列问题即可求得每盒一球且2号球不能放在B盒中的不同的方法数 【详解】先在编号为1，3，4，5的4个球中任取1个放在B盒中， 再将余下的3个球与2号球放在一起，从中选3个球放在编号为 A，C，D的3个盒子中，每盒一球，即可完成题目要求. 则符合题给要求的不同的方法数为 故选：D 【举一反三】 1．（2025高二·全国·专题练习）用红、黄、蓝三种颜色去涂图中标号为，，，的个小正方形，使得任意相邻（有公共边）的小正方形所涂颜色都不相同，且标号为，，的小正方形涂相同的颜色，则共有（    ）种涂法， A． B． C． D． 【答案】D 【详解】把区域分成三部分，第一部分为，，，有种涂法. 第二部分为，，.当，同色时，，各有2种涂法；当，异色时，有种涂法，，均只有种涂法. 故第二部分共有种涂法.第三部分为，，，与第二部分一样，共有种涂法. 因此根据分步乘法计数原理，共有种涂法， 故选：D. 2．（24-25高二下·安徽池州·期中）如图，现要用5种不同的颜色给池州市4个区县地图进行着色，要求有公共边的两个区域不能用同一种颜色，且青阳与东至不能使用同一种颜色，共有（    ）种不同的着色方法. A．180 B．120 C．60 D．240 【答案】B 【分析】由分步乘法计数原理可求解. 【详解】给青阳着色有5种不同的方法，给贵池着色有4种不同的方法，给石台着色有3种不同的方法，因为青阳与东至不能使用同一种颜色，故给东至着色有2种不同的方法， 故由分步乘法计数原理有. 故选：B. 3．（24-25高二下·广东广州·期中）如图，湖北省分别与湖南、安徽、陕西、江西四省交界，且湘、皖、陕互不交界，在地图上分别给各省地域涂色，要求相邻省涂不同色，现有4种不同颜色可供选用，则不同的涂色方案数为（    ）    A．96 B．144 C．480 D．600 【答案】B 【详解】第一步涂陕西有4种选择，第二步涂湖北有3种选择，第三步涂安徽有3种选择，第四步涂江西有2选择，第五步涂湖南有2种选择， 所以共有种涂色方案. 故选：B 题型十二：排数问题 【例12】．（24-25高二下·广东梅州·期末）用0，1，2，3组成没有重复数字的四位偶数有（    ）个 A．8 B．10 C．12 D．16 【答案】B 【分析】根据个位数字是否为0，即可结合排列组合求解. 【详解】若0在个位，则有种情况， 若0不在个位，则从百位和十位中选一个位置放0，2放在个位，另外两个数字全排列，故有， 故总共有个， 故选：B 【举一反三】 1．（24-25高二下·河南南阳·期末）从中任取个数字，从中任取个数字，用这个数字组成的没有重复数字的五位数的个数为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】分五位数中有和没有两种情况，利用排列、组合，直接求解即可. 【详解】若组成的位数中没有，则有个； 若组成的位数中有，则有个， 所以用这个数字组成的没有重复数字的五位数有个. 故选：C 2．（24-25高二下·江苏苏州·期末）从0，1，2，3，4五个数字中任选3个数字，可组成无重复数字的三位数的个数为（   ） A．48 B．60 C．72 D．100 【答案】A 【分析】由分步乘法计算原理可求. 【详解】根据题意，先选百位，百位有4个数字可选，剩余2位全排， 所以组成无重复数字的三位数的个数为. 故选：A. 3.（23-24高三下·广东广州·月考）在中不重复地选取4个数字，共能组成（    ）个不同的四位数. A．96 B．18 C．120 D．84 【答案】A 【分析】5个数抽4个数全排列再减去首位是0的情况即可. 【详解】四位数首位不能为零， 故为种不同的四位数， 故选：A. 题型十三：排列组合方法的综合应用 【例13】．（24-25高二下·河北承德·期中）4名男生和3名女生共7人排成一排.（下列问题的结果全部用数字表示） (1)如果男生甲不站在队伍的两头，有多少种不同的排法； (2)如果全部男生相邻，有多少种不同的排法； (3)如果女生不能相邻，有多少种不同的排法； (4)如果队伍的两头均是女生且男生甲不站中间，有多少种不同的排法. 【答案】(1)3600 (2)576 (3)1440 (4)576 【分析】（1）应用特殊元素优先处理结合排列数及组合数运算求解； （2）应用捆绑法结合排列数及组合数运算求解； （3）应用插空法结合排列数及组合数运算求解； （4）应用特殊元素优先处理结合排列数及组合数运算求解. 【详解】（1）男生甲不站在队伍的两头，有种排法； （2）全部男生相邻，有种排法； （3）女生不能相邻，有种排法； （4）队伍的两头均是女生且男生甲不站中间，有种排法； 【举一反三】 1．（24-25高三·上海·随堂练习）某兴趣小组有10名学生，若从10名学生中选取3人，则选取的3人中恰有1名女生的概率为，且女生人数超过1人，则 (1)该小组中男生、女生各多少人？ (2)若10名学生排成一排，其中男生不相邻，且男生的左右相对顺序固定，问有多少种站队方法？（要求用数字作答） (3)若10名学生均为学校管弦乐队成员，其中有3名男生只会萨克斯，有4名女生只会小提琴，其他同学既会萨克斯又会小提琴，现从这10名学生中任选6人，其中3人吹萨克斯，3人拉小提琴，则有多少种不同的选法？（要求用数字作答） 【答案】(1)男生4人，女生6人；(2)25200； (3)309． 【详解】（1）设男生有x人，则女生有人，，， 则，解得，（舍去），故男生4人，女生6人； （2）因为要求男生不相邻，故用插空法，先将女生排好，再排男生， 故有种站队方法； （3）根据题意可知，有3名男生只会萨克斯，有4名女生只会小提琴， 故还有3名同学既会萨克斯又会小提琴，设， ，，故根据A进行分类： 第一类，A中选3人吹萨克斯，中选3人拉小提琴，则种； 第二类，A中选2人，C中选1人吹萨克斯，剩余6人中选3人拉小提琴，则种； 第三类，A中选1人，C中选2人吹萨克斯，剩余5人中选3人拉小提琴，则种； 第四类，A中选 0人，C中选3人吹萨克斯，剩余4人中选3人拉小提琴，则种； 故一共有种不同的选法． 2．（23-24高二下·广东佛山·期中）一个口袋内有4个不同的红球，6个不同的白球． (1)从中任取4个球，红球的个数不比白球个数少的取法有多少种？ (2)将4个不同的红球，分给甲、乙两人，每人至少分得1个球，则共有多少种不同的分配方法？ 【答案】(1)115 (2)14 【分析】（1）由题意，利用分类加法计数原理即可求得取法种数； （2）依题知，可利用分类加法计数原理求得分配方法数. 【详解】（1）由题意得不同的取法包括：红球4个；红球3个和白球1个；红球2个和白球2个三类． 第一类，红球4个，取法有1种，第二类，红球3个和白球1个，取法有种， 第三类，红球2个和白球2个，取法有种， 由分类加法计数原理，红球的个数不比白球个数少的取法有种． （2）由题意知，共有两类分配方法： 第一类，每人分得2球，共种分配方法， 第二类，一人分得1球，另一人分得3球，共种分配方法． 由分类加法计数原理，不同的分配方法共有种． 3．（22-23高二下·江苏·月考）某班级周六的课程表要排入历史、语文、数学、物理、体育、英语共6节课. (1)如果数学和物理不能相邻，则不同的排法有多少种？ (2)如果第一节不排体育，最后一节不排数学，那么共有多少种排法？ (3)原定的6节课已排好，学校临时通知要增加生物化学地理3节课，若将这3节课插入原课表中且原来的6节课相对顺序不变，则有多少种不同的排法？ 【答案】(1)480 (2)504 (3)504 【分析】（1）利用插空法可求答案； （2）分两种情况求解，结合分类计数原理可得答案； （3）利用定序缩倍法求解，先求总排法除去有要求的特定顺序可得答案. 【详解】（1）先排其它四科，共有种方法，再把数学和物理插入空中，有种方法，共有种. （2）第一节安排数学，则其余科目没有要求，共有种方法； 第一节不安排数学，先排第一节有种方法，再排第四节有种方法，最后安排其它节有种方法， 所以共有种方法. （3）九科随机排列共有种排法，六科在其中的排法有种，所以共有种. 【专题训练】 1．（2026·浙江·一模）某晚会由4个歌舞节目和2个机器人表演节目组成，若要求机器人表演节目不能相邻出演且前3个节目中至少有一个是机器人表演节目，则不同的节目安排方法有（    ）种. A．216 B．360 C．432 D．672 【答案】C 【分析】借助插空法解决不相邻要求，用排除法解决前3个节目至少有一个机器人节目要求 【详解】步骤1：先排 4 个歌舞节目：，排好后会产生 5 个空位（包括两端）； 步骤2：将 2 个机器人节目插入空位：； 步骤3：排除“前3个节目全是歌舞”的情况：先从4个歌舞节目中选3个排在前3个位置，有种方法， 剩下的1个歌舞节目和2个机器人节目排在后3个位置，且机器人节目不相邻，只能是“机器人-歌舞-机器人”的排列， 有种方法.故不满足条件的情况有. 故总数为： 故选：C 2．（2026·安徽合肥·一模）国庆假期，某人计划去五个不同的景点游览．在确定景点的游览顺序时，要求在之前，与相邻，则不同的游览顺序共有（   ） A．18种 B．24种 C．48种 D．60种 【答案】B 【分析】先利用捆绑法求出种类数，再利用倍缩法求出. 【详解】若与相邻，则需将其捆绑并排列，再将四个元素排列，共有种， 因为在之前和在之后各占一半，故符合题意的不同的游览顺序共有种. 故选：B 3．（25-26高三上·山西太原·期末）某次市运会跳水项目的预赛中有名参赛选手，其中校有名，校有名，校有名.现要求校名选手的出场均不能和校选手的出场相邻，则这名选手不同出场顺序的种数为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】记校名选手分别为甲、乙，记事件甲与校选手的出场相邻，事件乙与校选手的出场相邻，结合韦恩图法可求出满足题设条件的排法种数. 【详解】记校名选手分别为甲、乙， 记事件甲与校选手的出场相邻，事件乙与校选手的出场相邻，如下图所示： 事件为：校选手的两边为甲和乙， 则满足题意的排法种数为 种. 故选：B. 4．（2026·浙江·模拟预测）《水浒传》、《三国演义》、《西游记》和《红楼梦》被称为中国古代四大名著.书架的某一层上有4本不同的文学书，现将四大名著各一本插入这4本书的5个空隙中，要求原有书的顺序不变且四大名著中至少有3本相邻，则不同的插法共有（    ） A．120种 B．240种 C．480种 D．600种 【答案】D 【分析】利用计数原理以及相邻问题捆绑法可得答案. 【详解】四大名著恰有3本相邻共有种插法； 4本相邻时共有种插法， 所以不同的插法共有600种， 故选：D. 5．（25-26高二上·安徽淮北·期末）中国空间技术的突破和空间站的建设，吸引了众多太空爱好者.在“天宫课堂”第三课中就有人提问：如何能成为一名航天员?如何才能加入探索太空的队伍中?已知航天员选拔时要接受特殊环境的耐受性测试，主要包括前庭功能、超重耐力、失重飞行、飞行跳伞、着陆冲击五项.现对这五项测试排序，要求前庭功能不排在第一项，超重耐力不排在最后一项，失重飞行不排在第三项，则选拔测试的安排方案有（    ） A．28种 B．36种 C．48种 D．64种 【答案】D 【详解】根据题意，分3种情况讨论： ①若前庭功能排在最后一项，超重耐力排在第三项，则失重飞行有3种排法，所以有3·=6种情况； 若前庭功能排在最后一项，超重耐力不排在第三项，则超重耐力有3种排法，此时失重飞行有2种排法， 所以有(3×2)·=12种情况.故共有18种情况. ②若前庭功能排在第三项，失重飞行有排在最后一项与不排在最后一项两种，情况同①.故共有18种情况. ③若前庭功能排在第2或第4位（2种情况），先排前庭功能，有2种排法，再排超重耐力， 若超重耐力排在第三项，则失重飞行有3种排法； 若超重耐力不排在第三项，则超重耐力有2种排法， 此时失重飞行有2种排法.故共有2×(3+2×2)·=28种情况. 综上，共有18+18+28=64种安排方案. 6．（25-26高二下·辽宁·开学考试）如图，在六个区域中种植4种不同植物，同一区域只种植1种植物，相邻两区域所种植物不同，则不同的种植方案种数为（   ） A．48 B．96 C．120 D．192 【答案】C 【详解】先分组，再种植，共有5种分组方式，同组种植一种植物， 则不同的种植方案种数为． 7．（24-25高二下·广东肇庆·月考）用0，1，2，3，4五个数字，组成无重复数字的五位数，则下列说法不正确的是（   ） A．共有96个数 B．偶数有60个 C．大于31000的数有24个 D．数字2和数字4不相邻的数有60个 【答案】C 【详解】对于A，首位不能为，故共有种；剩下的4个数全排列共有种，一共有种，故A正确， 对于B，末位为0时，剩下的4个数全排列共有种； 末位为2时，首位不能为，故共有种，剩下的3个数全排列共有种，一共有种； 末位为4时，首位不能为，故共有种，剩下的3个数全排列共有种，一共有种； 总计有种，故B正确， 对于C，首位为4时，剩下的4个数全排列共有种； 首位为3时，千位为，剩下的3个数全排列共有种，一共有种；千位为，剩下的3个数全排列共有种， 总计有种，故C错误， 对于D，一共的排列共有96个数，数字2和数字4相邻的数共有种，0在首位的情况有种， 数字2和数字4不相邻的数有种，故D正确. 故选：C. 8．（25-26高二下·黑龙江·开学考试）某社区组织文化活动，现有书法艺术展示､传统戏曲表演､民间手工艺制作､古典诗词朗诵､现代音乐赏析这5个文化活动项目.社区安排6名志愿者负责这5个项目的活动组织，若每个项目的活动都至少有1名志愿者负责，每名志愿者均需要负责且只负责其中1个项目的活动组织，则不同的分配方法种数为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】先将6名志愿者分成5组，从6人中选2人一组，其余4人各一组，共有种分法， 再将这5组全排列，对应5个项目，有种排法， 所以不同的分配方法种数为种. 故选：B. 9．（2026·辽宁·模拟预测）已知1、2、3、4、5、6、7、8八个数字组成一个八位数（各位数字不重复），满足任意相邻数字奇偶性不同，且5、6两个数字相邻，则这样的八位数有（   ）个. A．432 B．257 C．282 D．504 【答案】D 【详解】第一步：把1、2、3、4、7、8奇偶数相间而排，共有种， 第二步：再把5、6两个数字一起插空，由于每一个空的旁边都是一奇一偶， 所以插入后奇数旁边放6，偶数旁边放5，则这7个空共有种排法， 根据分步计数乘法原理可得：这样的八位数有个， 故选：D. 二、多选题 10．（25-26高二下·浙江温州·月考）将7个小球放入3个盒子中，结合小球的相同与不同属性、盒子的相同与不同特征，以及不同的放置限制条件，下列说法正确的有（   ） A．若小球相同、盒子不同，且每个盒子至少放1个球，则不同的放法种数为15 B．若小球相同、盒子不同，且允许有空盒子，则不同的放法种数为21 C．若小球不同、盒子相同，且每个盒子至少放1个球，则不同的放法种数为301 D．若小球相同、盒子不同，且恰有1个盒子放2个球，其余盒子至少放1个球，则不同的放法种数为15 【答案】AC 【分析】对于AB，根据隔板法求解；对于C，先分组，再选球放入；对于D，先分组，再排列盒子即可． 【详解】对于A，将7个小球分成3组即可，由隔板法得不同的放法种数有种，故A正确； 对于B，允许有空盒子，先给每个盒子一个虚拟的球， 即10个小球分成3组，每个盒子至少一个， 由隔板法得不同的放法种数有种，故B错误； 对于C，根据题意，每个盒子里球的个数情况有：；；；， 则不同的放法种数有，故C正确； 对于D，小球相同、盒子不同，恰有1个盒子放2个球（即只有1个盒子为2个）， 其余两个盒子至少1个球且不能为2个球：先选放2个球的盒子：， 剩余两个盒子共5个球，均不为2的放法只有共2种， 总放法，故D错误． 11．（24-25高二下·广东肇庆·月考）下面正确的是（   ） A．将5个不同的小球放入3个不同的盒子中，没有空盒子，有150种不同的放法； B．将5个不同的小球放入3个不同的盒子中，盒子可空，有种不同的放法； C．将5个相同的小球放入3个不同的盒子中，没有空盒子，有6种不同的放法； D．将5个相同的小球放入3个不同的盒子中，盒子可空，有19种不同的放法． 【答案】AC 【分析】先将5个不同的小球分为三组，确定每组小球的数量，然后将三组小球放入三个盒子，结合分步计数原理可得结果验证A；确定每个小球的放法种数，利用分步乘法计数原理可得结果验证B；只需在5个相同的小球中间所形成的4个空位中插入2块板即可，利用隔板法可求得结果验证C；问题等价于在8个相同的小球中间所形成的7个空位中插入2块板即可，利用隔板法可求得结果验证D. 【详解】将5个不同的小球分为三组，每组的小球数量分别为2、2、1或3、1、1，然后再将这三组小球放入三个盒子中， 因此，不同的放法种数为种，故A正确 每个小球有3种方法，由分步乘法计数原理可知，将5个不同的小球放入3个不同的盒子中， 盒子可空，不同的放法种数为种，故B错误； 将5个相同的小球放入3个不同的盒子中，没有空盒子，只需在5个相同的小球中间所形成的4个空位中插入2块板即可， 所以不同的放法种数为种，故C正确. 将5个相同的小球放入3个不同的盒子中，盒子可空，等价于将8个相同的小球放入3个不同的盒子中， 每个盒子不空，只需在8个相同的小球中间所形成的7个空位中插入2块板即可， 所以不同的放法种数为种，故D错误； 故选：AC. 12．（25-26高二上·江苏南通·期末）文娱晚会中，学生的节目有9个，教师的节目有2个，则（   ） A．如果教师的节目不排在最后，那么不同排法的种数为 B．如果教师的节目不排在两端，那么不同排法的种数为 C．如果教师的节目必须相邻，那么不同排法的种数为 D．如果教师的节目不能相邻，那么不同排法的种数为 【答案】ACD 【分析】A选项，先把学生的节目选1个放在最后，剩余的10个节目进行全排列，A正确；B选项，先从学生的节目选2个放在两端，剩余的9个节目进行全排列，B错误；C选项，将2个教师的节目进行捆绑，再和9个学生的节目进行全排列，C正确；D选项，先安排9个学生的节目，再将2个教师的节目插空，D正确. 【详解】A选项，如果教师的节目不排在最后，从学生的节目选1个放在最后， 剩余的10个节目进行全排列，那么不同排法的种数为，A正确； B选项，如果教师的节目不排在两端，从学生的节目选2个放在两端， 剩余的9个节目进行全排列，那么不同排法的种数为，B错误； C选项，如果教师的节目必须相邻，将2个教师的节目进行捆绑，2个教师节目可以进行全排列， 再和9个学生的节目一共10个节目进行全排列，那么不同排法的种数为，C正确； D选项，如果教师的节目不能相邻，先安排9个学生的节目， 再将2个教师的节目插空，那么不同排法的种数为，D正确. 故选：ACD 13．（25-26高二上·江西景德镇·期末）五一假期即将来临，小张，小李，小王，小赵，小孙五名同学决定到南京的著名景点“夫子庙”、“中山陵”、“玄武湖”游玩，每名同学只能选择一个景点，则下列说法正确的有（   ） A．所有可能的方法有125种 B．若小张同学必须去“夫子庙”，则不同的安排方法有64种 C．若每个景点必须有同学去，则不同的安排方法有150种 D．若每个景点必须有同学去，且小张和小李不去同一个景点，则不同的安排方法有114种 【答案】CD 【分析】对于AB：根据分步乘法计数原理分析判断；对于C：利用间接法，讨论这5人去的景点个数，结合组合数运算求解；对于D：利用间接法，讨论这个景点去的人数，结合排列数、组合数运算求解. 【详解】对于选项A：因为每个人均有3个景点可以选择， 所以所有可能的方法有种，故A错误； 对于选项B：若小张同学必须去“夫子庙”，即小张的选择已经确定，不需要考虑， 所以不同的安排方法有种，故B错误； 对于选项C：若5个人都去一个景点，不同的安排方法有种； 若5个人都去其中2个景点（每个景点必须有同学去），不同的安排方法有种； 所以若每个景点必须有同学去，则不同的安排方法有种，故C正确； 对于选项D：若每个景点必须有同学去，且小张和小李去同一个景点，则有： 若这个景点仅有2人去，不同的安排方法有种； 若这个景点有3人去，不同的安排方法有种； 所以若每个景点必须有同学去，且小张和小李不去同一个景点，则不同的安排方法有种，故D正确； 故选：CD. 14．（25-26高二上·江西新余·期末）以“智能时代，同球共济”为主题的2025年世界人工智能大会在上海盛大开幕.现安排甲､乙､丙､丁､戊5名同学参加志愿者服务活动，有翻译､礼仪､司机三项工作可以安排，下列说法正确的是（    ） A．每人安排一项工作的不同方法数为 B．每人安排一项工作，每项工作至少有一人参加，则不同安排方法种数是 C．若甲乙丙会翻译，丙丁戊懂礼仪，现翻译和礼仪各安排两人，则不同的安排方法数为 D．每人安排一项工作，如果礼仪工作不安排，其余两项工作每项工作至少安排一人，则不同的安排方法数为 【答案】CD 【分析】根据分步乘法计数原理判断A，根据分组分配问题判断B；根据分类加法计数原理及组合知识求解判断C，根据分步乘法计数原理求解判断D. 【详解】对于A，由分步乘法计数原理可得，每人安排一项工作的不同方法数为，故A错误； 对于B，每人安排一项工作，每项工作至少有一人参加， 则每项工作的人数分别为或， 故不同的安排方法， 而，故B错误； 对于C，若丙做翻译，则不同的安排方法为， 若丙不做翻译，则不同的安排方法为， 故不同的安排方法为，故C正确； 对于D，每人安排一项做翻译或司机中的一项工作，共有种安排方法， 如果人都安排做翻译或司机，共有2种安排，故不同的安排方法数为，故D正确. 故选：CD. 15．（25-26高二上·山东潍坊·月考）下列说法正确的有（ ） A．将5封信投入3个邮筒，不同的投法共有种 B．有三张参观券，要在5人中确定3人去参观，不同方法的种数是 C．从6男4女中选4人参加比赛，若4人中必须有男有女，则共有种选法 D．有5名老师去外地出差，住宿安排在三个房间内，要求甲、乙两人不住同一房间，且每个房间最多住两人，则不同的住宿安排有72种 【答案】AD 【分析】对于A：根据分步乘法计数原理可判断；对于B：从5人中选3人，参观券无顺序差异，应使用组合数；对于C：需选“有男有女”的4人，分3种情况：1男3女、2男2女、3男1女，从而可判断；对于D：先分组后分配，减去不符合限制条件的种数即可. 【详解】对于A：每封信有3种投法，5封信的投法数为，正确. 对于B：从5人中选3人，参观券无顺序差异，应使用组合数，而非排列数，错误. 对于C：需选“有男有女”的4人，分3种情况：1男3女、2男2女、3男1女，对应选法分别为、、，则共有种选法，错误. 对于D：5人住3个房间（每间最多2人），人数分配为. ①先分组：将5人分为的三组，分法为； ②安排房间：分组后分配到3个房间，方法数为； ③减去甲、乙同住的情况：甲、乙在同一2人组，剩余3人分为2人组和1人组，分法为，故甲、乙同住的安排共有种； 最终符合条件的安排数为，正确. 故选：AD. 三、填空题 16．（25-26高二上·江苏南通·期末）运动会期间，将甲､乙､丙､丁四名志愿者分配到三个场地参加志愿服务，每名志愿者只能安排去一个场地，每个场地至少需要一名志愿者，则不同的安排方法数为__________. 【答案】 【分析】先分组，从4名志愿者中选2个人为一组，其余2个人各为一组，再排列，将分好的3组全排列，对应3个场地，根据分步乘法计数原理计算得解. 【详解】从4名志愿者中选2个人为一组，其余2个人各为一组，共有种选法， 将分好的3组全排列，对应3个场地，共有种排法， 则满足题意的不同的安排方法数为种. 故答案为：. 17．（2026高二下·全国·专题练习）从5名女老师和3名男老师中选出一位主考和两位监考参加2025年高考某考场的监考工作．要求主考固定在考场前方监考，一女教师在考场内流动监考，另一位教师固定在考场后方监考，则不同的安排方案种数为________． 【答案】 【分析】根据题意，分为选三个女教师，选两个女教师，一个男教师和选一个女教师，两个男教师，三类情况讨论，结合排列数和组合数公式，以及分类计数原理，进行计算，即可求解 【详解】根据题意，可分为三类： ①选三个女教师，全排列即可，不同的安排方案有（种）； ②选两个女教师，一个男教师，其中男教师只能担任主考或后方监考，两名女教师安排在剩余的两个位置，不同的安排方案有（种） ③选一个女教师，两个男教师，其中女教师必须担任流动监考，两名男教师安排在主考和后方监考两个位置，不同的安排方案有（种）． 由分类计数原理得，不同的安排方案种数为． 故答案为：. 18．（25-26高二下·全国·课后作业）在航天员进行的一项太空实验中，先后要实施6个程序，（1）若程序A只能出现在第一步或最后一步，程序B和C实施时必须相邻，则实验顺序的编排方法共有________种； （2）若程序B和C都与程序D不相邻，则实验顺序的编排方法共有________种． 【答案】 96 288 【分析】（1）利用捆绑法及特殊位置分析法分析即可； （2）分B，C相邻和B，C不相邻两种情况利用捆绑法和插空法求解. 【详解】（1）首先，程序A只能出现在第一步或最后一步，有2种方法；其次，将程序B和C看作一个元素，有4个位置可以选择，而B与C又可交换位置，所以有种方法；最后将剩余的3个程序进行排列，有种方法．综上所述，实验顺序的编排方法共有（种）． （2）当B，C相邻，且与D不相邻时，有（种）方法；当B，C不相邻，且都与D不相邻时有（种）方法，故共有288种编排方法． 故答案为：，288 19．（24-25高二下·广东肇庆·月考）从包含甲、乙两人的7人中选出3人分别担任学习委员、宣传委员、体育委员，则甲、乙两人不都入选的不同选法共有__________种． 【答案】180 【分析】利用间接法，先求出总选法共种，再求出甲、乙两人都入选的不同选法共有种，即可得到甲、乙两人不都入选的不同选法共有种. 【详解】总选法：从 7 人中选出 3 人担任 3 个不同职务共种， 甲、乙两人都入选的不同选法共有种， 所以甲、乙两人不都入选的不同选法共有种. 故答案为：180. 20．（25-26高二上·河南驻马店·期末）为迎接温馨祥和的2026年农历春节，某司法部门安排甲、乙、丙、丁四人去富强、民主、文明、和谐四个社区进行普法宣传，要求每人必须去社区且只能去一个社区，且每个社区必须有人去宣传，要求甲不去富强社区，乙或丙去民主社区，则不同的安排方法有___________种. 【答案】8 【分析】乙去民主社区，先安排甲再排另外两人，则有，同理丙去民主社区，即可得解. 【详解】根据题意，分两种情况讨论： 乙去民主社区，此时甲只能去文明或和谐社区，再排另外两人， 则有； 同理丙去民主社区也有种方法， 故不同的安排方法有种. 故答案为：8 21．（25-26高二上·江西宜春·期末）现有红、黄、蓝、绿四个骰子，每个骰子的六个面上的数字分别为1，2，3，4，5，6.若同时掷这四个骰子，则四个骰子朝上的数字之积等于12的情形共有_____种.（请用数字作答） 【答案】 【分析】根据12的因数，结合排列的定义分类讨论进行求解即可. 【详解】. 当四个骰子朝上的数字为时，有， 当四个骰子朝上的数字为时，有， 当四个骰子朝上的数字为时，有， 所以一共有种情形. 故答案为： 2 学科网（北京）股份有限公司 $