专题6.5 平面向量中的四心问题讲义-2025-2026学年高一下学期数学人教A版必修第二册

专题6.5 平面向量的四心问题 【考点1：重心问题】 1 【考点2：垂心问题】 3 【考点3：内心问题】 4 【考点4：外心问题】 6 【考点1：重心问题】 1、重心的定义：中线的交点，重心将中线长度分成 三角形中线向量式： 2、重心的性质： （1）重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为2:1。 （2）重心和三角形3个顶点组成的3个三角形面积相等。 （3）在平面直角坐标系中，重心的坐标是顶点坐标的算术平均数，即. 3、常见重心向量式：设是的重心，为平面内任意一点 ① ② ③若或，，则一定经过三角形的重心 ④若或，，则一定经过三角形的重心. 1．（24-25高一下·云南玉溪·月考）在中，设，，那么动点的轨迹一定通过的（    ） A．重心 B．内心 C．垂心 D．外心 2．（25-26高一下·全国·单元测试）为平面上一动点，是平面上不共线的三点，且满足，则点的轨迹必过的（   ） A．垂心 B．外心 C．内心 D．重心 3．（2026高一·全国·专题练习）已知，为平面内任意一点，动点满足，则点的轨迹一定经过（    ） A．的内心 B．的垂心 C．的重心 D．的外心 4．（多选）（25-26高一下·全国·课后作业）（多选）在中，分别是边，的中点，点为的重心，则下列结论中正确的是（    ） A． B． C． D． 5．（多选）（2025·辽宁·二模）的重心为点，点O，P是所在平面内两个不同的点，满足，则（    ） A．三点共线 B． C． D．点在的内部 6．（25-26高一上·上海·课后作业）如图，已知，，是中线，G为重心，则___________；___________.（用向量、表示）    7．（2026高一·全国·专题练习）如图，已知，分别是，上的动点，且满足，求证：在三点运动过程中，的重心不动． 8．（25-26高一下·全国·课堂例题）已知，求证： (1)若点为的重心，则； (2)已知点为内一点，若，则点为的重心． 【考点2：垂心问题】 1、垂心的定义：高的交点。 锐角三角形的垂心在三角形内； 直角三角形的垂心在直角顶点上； 钝角三角形的垂心在三角形外。 2、常见垂心向量式：是的垂心，则有以下结论： 1、 2、 3、动点满足，，则动点的轨迹一定通过的垂心 4、奔驰定理推论：，. 1．（2026高三·全国·专题练习）设为的外心，若，则点是的（    ） A．重心 B．内心 C．垂心 D．外心 2．（24-25高一上·重庆北碚·期末）设为的外心，若，则是的（    ） A．重心（三条中线交点） B．内心（三条角平分线交点） C．垂心（三条高线交点） D．外心（三边中垂线交点） 3．（25-26高三上·上海徐汇·月考）设是的垂心，且，则的值为（    ） A． B． C． D． 4．（2005·湖南·高考真题）是所在平面上一点，若，则是的（    ） A．外心 B．内心 C．重心 D．垂心 5．（25-26高二上·上海徐汇·月考）设H是的垂心，且，则______. 6．（24-25高一下·河南安阳·期末）已知是内的一点，若的面积分别记为，则.这个定理对应的图形与“奔驰”轿车的很相似，故形象地称其为“奔驰定理”.如图，已知是的垂心，且，则（    ） A． B． C． D． 7．（2025·江苏·一模）已知是的垂心（三角形三条高所在直线的交点），，则的值为_______. 8．（24-25高一下·上海杨浦·期末）三角形蕴涵大量迷人性质，例如：若点在内部，用分别代表、、的面积，则有．现在假设锐角三角形顶点所对的边长分别为为其垂心，的单位向量分别为，则_________． 【考点3：内心问题】 1、内心的定义：角平分线的交点(或内切圆的圆心)。 2、常见内心向量式：是的内心， （1）（或） 其中，，分别是的三边、、的长， （2），，则一定经过三角形的内心. 1．（2026高三·全国·专题练习）A、B、C是平面上不共线的三个点，动点P满足，则点P的轨迹一定经过的（   ） A．外心 B．内心 C．重心 D．垂心 2．（21-22高一·全国·课后作业）若的三边为a，b，c，有，则是的（ ） A．外心 B．内心 C．重心 D．垂心 3．（2026高三·全国·专题练习）已知，为三角形所在平面上的一点，且点满足，则为三角形的（    ）． A．外心 B．内心 C．重心 D．垂心 4．（2026高一·全国·专题练习）已知为所在平面内一点，若，其中内角的对边分别为，则点是的（    ） A．外心 B．内心 C．重心 D．垂心 5．（2026高三·全国·专题练习）在中，I为的内心，若，则__________. 6．（24-25高一下·福建福州·期中）点在所在的平面内，若,则直线一定经过的__________.（填:重心、内心、外心或垂心） 7．（2026高三·全国·专题练习）在中，是不同于三角形顶点的一点，若，证明：点的轨迹过内心． 8．（2026高一·全国·专题练习）（1）已知是平面上的一定点，，，是平面上不共线的三个动点，若动点满足，，则点的轨迹一定通过的____（填“内心”“外心”“重心”或“垂心” ． （2）已知是平面上的一定点，，，是平面上不共线的三个动点，若动点满足，，则点的轨迹一定通过的__．（填“内心”“外心”“重心”或“垂心” 【考点4：外心问题】 1、外心的定义：三角形三边的垂直平分线的交点(或三角形外接圆的圆心 到三角形三个顶点的距离相等 2、常用外心向量式：是的外心， 1、 2、 3、动点满足，， 则动点的轨迹一定通过的外心. 4、若，则是的外心. 1．（24-25高一下·河南郑州·期中）已知，，在所在平面内，满足，，且，则点，，依次是的（    ） A．外心，垂心，重心 B．重心，外心，内心 C．外心，重心，垂心 D．外心，重心，内心 2．（24-25高一下·四川·期中）已知在所在平面内，满足，且，，则点依次是的（    ） A．垂心，外心，内心 B．重心，外心，内心 C．重心，垂心，外心 D．重心，垂心，内心 3．（2025·四川成都·二模）在中，，，，为的外心，若，，，则（    ） A． B． C． D． 4．（多选）（24-25高一下·四川广安·期中）数学家欧拉在1765年提出定理：三角形的外心､重心､垂心依次位于同一直线上，且重心到外心的距离是重心到垂心距离的一半.这条直线被后人称为三角形的欧拉线，该定理则被称为欧拉线定理.设点分别为三角形的外心､重心､垂心，且为的中点，则（    ） A． B． C． D． 5．（多选）（24-25高一下·重庆万州·月考）已知分别为的外心和重心，为平面内一点，且满足，则下列说法正确的是（    ） A． B．为内心 C． D．对于平面内任意一点，总有 6．（多选）（2026高三·全国·专题练习） “奔驰定理”因其几何表示酷似奔驰的标志得来，是平面向量中一个非常优美的结论.奔驰定理与三角形四心（重心、内心、外心、垂心）有着神秘的关联.它的具体内容是：已知M是内一点，，，的面积分别为，，，且.以下命题正确的有（ ） A．若，则M为的重心 B．若M为的内心，则 C．若M为的垂心，，则 D．若，，M为的外心，则 7．（2026高三·江苏·专题练习）的外心满足，，则的面积为____________． 8．（24-25高一下·山东泰安·期末）已知、、分别是的边、、的中点，为的外心，且，给出下列等式： ①；②；③；④ 其中正确的等式是_________（填写所有正确等式的编号）.. 第 1 页 共 24 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题6.5 平面向量的四心问题 【考点1：重心问题】 1 【考点2：垂心问题】 6 【考点3：内心问题】 13 【考点4：外心问题】 18 【考点1：重心问题】 1、重心的定义：中线的交点，重心将中线长度分成 三角形中线向量式： 2、重心的性质： （1）重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为2:1。 （2）重心和三角形3个顶点组成的3个三角形面积相等。 （3）在平面直角坐标系中，重心的坐标是顶点坐标的算术平均数，即. 3、常见重心向量式：设是的重心，为平面内任意一点 ① ② ③若或，，则一定经过三角形的重心 ④若或，，则一定经过三角形的重心. 1．（24-25高一下·云南玉溪·月考）在中，设，，那么动点的轨迹一定通过的（    ） A．重心 B．内心 C．垂心 D．外心 【答案】A 【分析】用向量的线性运算，结合中线向量和共线向量性质即可作答. 【详解】因为，， 则 若设中的的中点为，有， 则. 所以在三角形的中线上，因此动点的轨迹必通过的重心． 故选：A． 2．（25-26高一下·全国·单元测试）为平面上一动点，是平面上不共线的三点，且满足，则点的轨迹必过的（   ） A．垂心 B．外心 C．内心 D．重心 【答案】D 【分析】由题意为平面内的动点，是平面内不共线的三点，满足，可得出必过的中点，由此可以得出点的轨迹一定过三角形的重心． 【详解】如图，设为边的中点，， ， 共线， 即点在底边的中线上． 故选：D． 3．（2026高一·全国·专题练习）已知，为平面内任意一点，动点满足，则点的轨迹一定经过（    ） A．的内心 B．的垂心 C．的重心 D．的外心 【答案】C 【分析】取中点为，根据向量的线性运算，以及共线定理，即可判断. 【详解】先设的中点为，则，      又因为， 而， 由三点共线的充要条件知三点共线， 则点的轨迹一定经过的重心. 故选：C． 4．（多选）（25-26高一下·全国·课后作业）（多选）在中，分别是边，的中点，点为的重心，则下列结论中正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】CD 【分析】根据给定条件，利用向量线性运算，结合三角形重心的性质逐项计算判断即可. 【详解】对于A，，A错误； 对于B，点为的重心，则，B错误； 对于C，，C正确； 对于D，，即，D正确. 故选：CD． 5．（多选）（2025·辽宁·二模）的重心为点，点O，P是所在平面内两个不同的点，满足，则（    ） A．三点共线 B． C． D．点在的内部 【答案】AC 【分析】根据三角形重心的性质，向量共线的判定及向量的线性运算即可判断． 【详解】 ， 因为点为的重心， 所以，所以， 所以三点共线，故A正确，B错误； ， 因为， 所以，即，故C正确； 因为， 所以点的位置随着点位置的变化而变化，故点不一定在的内部，故D错误； 故选：AC． 6．（25-26高一上·上海·课后作业）如图，已知，，是中线，G为重心，则___________；___________.（用向量、表示）    【答案】 【分析】根据平面向量线性运算法则计算可得，再由重心的性质得到，从而得解. 【详解】因为是中线，所以为的中点，所以， 所以， 又G为的重心，所以. 故答案为：； 7．（2026高一·全国·专题练习）如图，已知，分别是，上的动点，且满足，求证：在三点运动过程中，的重心不动． 【答案】证明见解析 【分析】证法1：由条件与向量的线性运算证明的重心同时也是的重心； 证法2：设是的重心，利用向量的线性运算把用表示出来，可得到，可以证明是的重心. 【详解】证法1：因为， 所以． 又因为，所以． 设是的重心，可得， 两式相减可得，所以也是的重心． 证法2：因为， 设是的重心，且，所以， 同理可得，， 所以， 即也是的重心． 8．（25-26高一下·全国·课堂例题）已知，求证： (1)若点为的重心，则； (2)已知点为内一点，若，则点为的重心． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【分析】（1）根据平面向量的线性运算法则及重心的性质可得； （2）作平行四边形，设对角线与交于点，则是的中点，根据平面向量的线性运算法则，可证四点共线，即在中线上，同理可证点在其他两条中线上，从而证得点为的重心． 【详解】（1）因为点为的重心，所以连接，并延长交于点，则为的中点，且，所以. 又， 所以. （2）如图2所示，作平行四边形， 设对角线与交于点，则， 即与是相反向量，所以，，，四点共线． 又点是的中点，所以点在的中线上， 同理可证，点也在的另外两条中线上．所以点为的重心． 【考点2：垂心问题】 1、垂心的定义：高的交点。 锐角三角形的垂心在三角形内； 直角三角形的垂心在直角顶点上； 钝角三角形的垂心在三角形外。 2、常见垂心向量式：是的垂心，则有以下结论： 1、 2、 3、动点满足，，则动点的轨迹一定通过的垂心 4、奔驰定理推论：，. 1．（2026高三·全国·专题练习）设为的外心，若，则点是的（    ） A．重心 B．内心 C．垂心 D．外心 【答案】C 【分析】取BC的中点D，连接OD，AM，BM，CM，由，结合，得到，从而，再由为的外心，得到即可. 【详解】解：取BC的中点D，如图所示， 连接OD，AM，BM，CM． 因为， 所以， 又，则， 所以， 又由于为的外心， 所以， 因此有．同理可得，， 所以点是的垂心． 故选：C． 2．（24-25高一上·重庆北碚·期末）设为的外心，若，则是的（    ） A．重心（三条中线交点） B．内心（三条角平分线交点） C．垂心（三条高线交点） D．外心（三边中垂线交点） 【答案】C 【分析】设的中点为，根据题意可得，由题中向量的等式化简得，即在边的高线上．同理可证出在边的高线上，故可得是三角形的垂心． 【详解】在中，为外心，可得， ∵， ∴， 设的中点为，则，， ∴，可得在边的高线上． 同理可证，在边的高线上， 故是三角形两高线的交点，可得是三角形的垂心， 故选：C    【点睛】本题给出三角形中的向量等式，判断点是三角形的哪一个心．着重考查了向量加法法则、三角形的外接圆性质和三角形“五心”的判断等知识点，属于中档题． 3．（25-26高三上·上海徐汇·月考）设是的垂心，且，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由三角形垂心性质及已知条件可求得，，由向量的夹角公式即可求解． 【详解】由三角形垂心性质可得，，不妨设x， ∵345， ∴， ∴，同理可求得， ∴． 故选：D． 【点睛】本题考查平面向量的运用及向量的夹角公式，解题的关键是由三角形的垂心性质，进而用同一变量表示出，要求学生有较充实的知识储备，属于中档题． 4．（2005·湖南·高考真题）是所在平面上一点，若，则是的（    ） A．外心 B．内心 C．重心 D．垂心 【答案】D 【分析】利用平面向量数量积的性质推导出，进一步可得出，，即可得出结论. 【详解】因为，则，所以，， 同理可得，，故是的垂心. 故选：D. 5．（25-26高二上·上海徐汇·月考）设H是的垂心，且，则______. 【答案】 【解析】利用三角形的垂心与向量的关系得解. 【详解】先证明：已知是内的一点，的面积分别为，，，求证： 证明：如图2延长与边相交于点则    图1                                    图2    再证明：是的垂心           证明：如图为三角形的垂心， 同理得， 由以上结论得： 是的垂心 由题设得.再由，得，.故. 故答案为: 【点睛】本题考查三角形的垂心与向量关系求三角形角的余弦值，属于中档题. 6．（24-25高一下·河南安阳·期末）已知是内的一点，若的面积分别记为，则.这个定理对应的图形与“奔驰”轿车的很相似，故形象地称其为“奔驰定理”.如图，已知是的垂心，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】延长CO，BO，AO分别交边AB，AC，BC于点P，M，N，利用同底的两个三角形面积比推得即可求解作答. 【详解】是的垂心，延长CO，BO，AO分别交边AB，AC，BC于点P，M，N，如图， 则，， 因此，，同理， 于是得， 又，即，由“奔驰定理”有， 则，而与不共线，有，，即， 所以. 故选：A 7．（2025·江苏·一模）已知是的垂心（三角形三条高所在直线的交点），，则的值为_______. 【答案】 【解析】根据垂心得到，得到，即，，计算得到答案. 【详解】因为是的垂心，所以， 因为，且，所以， 所以，同理，即， 所以，所以. 故答案为：. 【点睛】本题考查了三角形的垂心，向量的运算，意在考查学生的计算能力和综合应用能力. 8．（24-25高一下·上海杨浦·期末）三角形蕴涵大量迷人性质，例如：若点在内部，用分别代表、、的面积，则有．现在假设锐角三角形顶点所对的边长分别为为其垂心，的单位向量分别为，则_________． 【答案】 【分析】由可得，根据相似三角形可得，，即，即可得 【详解】由可得 根据可得，同理可得， 所以， 所以 故答案为： 【点睛】本题以三角形中的结论为载体，考查了垂心的性质，涉及三角形面积公式、相似三角形的性质，属于难题. 【考点3：内心问题】 1、内心的定义：角平分线的交点(或内切圆的圆心)。 2、常见内心向量式：是的内心， （1）（或） 其中，，分别是的三边、、的长， （2），，则一定经过三角形的内心. 1．（2026高三·全国·专题练习）A、B、C是平面上不共线的三个点，动点P满足，则点P的轨迹一定经过的（   ） A．外心 B．内心 C．重心 D．垂心 【答案】B 【分析】根据是以为始点，向量与为邻边的菱形的对角线对应的向量，可知点轨迹，据此可求解. 【详解】 令， 则是以为始点，向量与为邻边的菱形的对角线对应的向量， 即在的平分线上， ，共线， 故点P的轨迹一定通过△ABC的内心， 故选：B 2．（21-22高一·全国·课后作业）若的三边为a，b，c，有，则是的（ ） A．外心 B．内心 C．重心 D．垂心 【答案】B 【分析】在，上分别取点，，使得，，以，为邻边作平行四边形，即可得到四边形是菱形，再根据平面向量线性运算法则及共线定理得到，，三点共线，即可得到在的平分线上，同理说明可得在其它两角的平分线上，即可判断. 【详解】在，上分别取点，，使得，，则． 以，为邻边作平行四边形，如图，    则四边形是菱形，且． 为的平分线．  ， ，      即， ． ，，三点共线，即在的平分线上， 同理可得在其它两角的平分线上， 是的内心． 故选：B． 3．（2026高三·全国·专题练习）已知，为三角形所在平面上的一点，且点满足，则为三角形的（    ）． A．外心 B．内心 C．重心 D．垂心 【答案】B 【分析】由题可得，可得点在的角平分线上，同理点在的角平分线上，可得为的内心. 【详解】因为， ， ， 所以点在的角平分线上. 同理可得：点在的角平分线上. 所以点为的内心. 故选：B 4．（2026高一·全国·专题练习）已知为所在平面内一点，若，其中内角的对边分别为，则点是的（    ） A．外心 B．内心 C．重心 D．垂心 【答案】B 【分析】由对称性知可任选其一作变换，如用，代换，将各向量转化为共起点的三个向量的关系式，进一步变形判断． 【详解】因为，， 所以， 所以（*）． 又因为，，其中分别表示，方向的单位向量， （*）式可进一步化为， 而表示与的平分线共线的向量， 所以平分． 同理，平分，平分， 所以是的内心， 故选：B． 5．（2026高三·全国·专题练习）在中，I为的内心，若，则__________. 【答案】 【分析】根据内心的性质和向量关系可得到三角形三边的比值，然后根据勾股定理的逆定理可知三角形为直角三角形，从而得出的值. 【详解】根据题意，画出图形为： 因为是的内心，所以根据内心的性质和向量关系可知， 若，则，分别为三角形三边的长度. 因为，所以， 根据勾股定理的逆定理，则. 故答案为：90°. 6．（24-25高一下·福建福州·期中）点在所在的平面内，若,则直线一定经过的__________.（填:重心、内心、外心或垂心） 【答案】内心 【分析】利用单位向量和加法运算的几何意义得平分，从而得结论. 【详解】分别表示同方向的单位向量， 故平分，即平分， 所以直线一定经过的内心. 故答案为:内心. 7．（2026高三·全国·专题练习）在中，是不同于三角形顶点的一点，若，证明：点的轨迹过内心． 【答案】证明见解析 【分析】根据给定的向量等式，可得，结合两个单位向量的和组成的菱形的性质，即可判断点在的角平分线上即可. 【详解】由可得：， 如图，设,,则， 作,则四边形为菱形，故平分, 又， 即点在的角平分线上，故点的轨迹过内心． 8．（2026高一·全国·专题练习）（1）已知是平面上的一定点，，，是平面上不共线的三个动点，若动点满足，，则点的轨迹一定通过的____（填“内心”“外心”“重心”或“垂心” ． （2）已知是平面上的一定点，，，是平面上不共线的三个动点，若动点满足，，则点的轨迹一定通过的__．（填“内心”“外心”“重心”或“垂心” 【答案】 重心 内心 【分析】空1：设中边的中点为，知，从而得到，进而可知点的轨迹必过的重心；空2：由可得，从而可知在的角平分线上，进而可知点的轨迹一定通过的内心． 【详解】空1：由已知，， 根据平行四边形法则，设中边的中点为，知， ， ，则，，三点共线， 点的轨迹必过的重心； 空2：由已知，，而表示与同向的单位向量，表示与同向的单位向量， 在的角平分线上， 点的轨迹一定通过的内心． 故答案为：重心；内心． 【考点4：外心问题】 1、外心的定义：三角形三边的垂直平分线的交点(或三角形外接圆的圆心 到三角形三个顶点的距离相等 2、常用外心向量式：是的外心， 1、 2、 3、动点满足，， 则动点的轨迹一定通过的外心. 4、若，则是的外心. 1．（24-25高一下·河南郑州·期中）已知，，在所在平面内，满足，，且，则点，，依次是的（    ） A．外心，垂心，重心 B．重心，外心，内心 C．外心，重心，垂心 D．外心，重心，内心 【答案】C 【分析】根据到三角形三个顶点的距离相等，得到为外心；根据中线的性质，可得为重心；根据向量垂直，即得到是垂心. 【详解】 因为，所以到定点的距离相等， 所以为的外心； 由，则， 取的中点，则， 所以，所以是的重心； 由，得，即， 所以，同理，所以点为的垂心. 故选：C. 2．（24-25高一下·四川·期中）已知在所在平面内，满足，且，，则点依次是的（    ） A．垂心，外心，内心 B．重心，外心，内心 C．重心，垂心，外心 D．重心，垂心，内心 【答案】D 【分析】根据中线的性质，可得为重心；根据向量垂直，即得到是垂心. 利用数量积的定义可判断为内心. 【详解】 由，则， 取的中点，则， 所以，所以是的重心； 由，得，即， 所以，同理，所以点为的垂心. 由，得，则， 而点在内，则，即，因此平分角， 同理分别平分，从而点是的内心， 故选：D 3．（2025·四川成都·二模）在中，，，，为的外心，若，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】首先根据题中条件和三角形中几何关系求出，，即可求出的值. 【详解】如图所示过做三角形三边的垂线，垂足分别为，，， 过分别做，的平行线，， 由题知， 则外接圆半径， 因为，所以， 又因为，所以，， 由题可知， 所以，， 所以. 故选：B. 【点睛】本题主要考查了三角形外心的性质，正弦定理，平面向量分解定理，属于一般题. 4．（多选）（24-25高一下·四川广安·期中）数学家欧拉在1765年提出定理：三角形的外心､重心､垂心依次位于同一直线上，且重心到外心的距离是重心到垂心距离的一半.这条直线被后人称为三角形的欧拉线，该定理则被称为欧拉线定理.设点分别为三角形的外心､重心､垂心，且为的中点，则（    ） A． B． C． D． 【答案】ABC 【分析】利用欧拉线的几何性质，再结合平面几何中的平行性质，以及向量的线性运算，即可作出判断. 【详解】 对于A，由是的中点，又由是外心，是垂心，可知: 所以，根据平行线分线段成比例可知：， 又由欧拉线的性质可知：，所以，即，故A正确； 对于B，由于是重心，所以， 而是的中点，所以，代入上式可得：，故B正确； 对于C，因为是外心，所以，故C正确； 对于D，由向量的加法可知：，故D错误； 故选：ABC. 5．（多选）（24-25高一下·重庆万州·月考）已知分别为的外心和重心，为平面内一点，且满足，则下列说法正确的是（    ） A． B．为内心 C． D．对于平面内任意一点，总有 【答案】ACD 【分析】根据三角形内心、外心、重心的几何性质及向量的几何关系得到相关向量的线性关系，判断各项的正误. 【详解】A：由为的重心，则，，， 所以，即，正确； B：，由为外心，所以， 即，同理，故为垂心，错误. C：，所以， 因为，故，而， 所以，即，正确. D：，所以， 因为，故，正确. 故选：ACD 6．（多选）（2026高三·全国·专题练习） “奔驰定理”因其几何表示酷似奔驰的标志得来，是平面向量中一个非常优美的结论.奔驰定理与三角形四心（重心、内心、外心、垂心）有着神秘的关联.它的具体内容是：已知M是内一点，，，的面积分别为，，，且.以下命题正确的有（ ） A．若，则M为的重心 B．若M为的内心，则 C．若M为的垂心，，则 D．若，，M为的外心，则 【答案】ABC 【分析】对于A，取中点，连接，由题意可得，即有，同理可得，，即可判断；对于B，设内切圆的半径为，由三角形的面积公式可得，整理即可判断；对于C，由题意可得，再由三角形的面积公式可得 ，，设，可得，进而可得，，，即可判断；对于D，设的外接圆半径为，根据题意及三角形的面积公式可得，，，即可判断. 【详解】A选项，因为，所以， 取的中点，则，所以， 故三点共线，且， 同理，取中点，中点，可得三点共线，三点共线， 所以M为的重心，A正确； B选项，若M为的内心，可设内切圆半径为， 则，，， 所以， 即，B正确； C选项，若M为的垂心，， 则， 如图，⊥，⊥，⊥，相交于点， 又， ，即， ，即， ，即， 设，，，则，，， 因为，， 所以，即， 同理可得，即，故， ，则， 故， ，则， 故， ， 故， 同理可得， 故，C正确； D选项，若，，M为的外心， 则， 设的外接圆半径为，故， ， 故，，， 所以，D错误. 故选：ABC 7．（2026高三·江苏·专题练习）的外心满足，，则的面积为____________． 【答案】 【分析】设的中点为，根据外心性质和向量线性运算可证得，利用勾股定理可构造方程求得外接圆半径，由此可得长，代入三角形面积公式即可. 【详解】设的中点为，则，，即， 又，所以， 三点共线且，； 设的外接圆半径为，则， ，，解得：， ，. 故答案为：. 8．（24-25高一下·山东泰安·期末）已知、、分别是的边、、的中点，为的外心，且，给出下列等式： ①；②；③；④ 其中正确的等式是_________（填写所有正确等式的编号）. 【答案】①②④. 【分析】根据向量的中点性质与向量的加法运算,可判断①②③. 【详解】、、分别是的边、、的中点,为的外心,且,设三条中线交点为G,如下图所示: 对于①,由三角形中线性质及向量加法运算可知 ,所以①正确; 对于②,,所以②正确; 对于③,,所以③错误; 对于, 由外心性质可知, 所以 故正确. 综上可知,正确的为①②④. 故答案为: ①②④. 【点睛】本题考查了向量的线性运算,三角形外心的性质及应用,属于基础题. 第 1 页 共 24 页 学科网（北京）股份有限公司 $