专题03 实数及其简单运算重难点题型专训（4个知识点+8大题型+2大拓展训练+自我检测）-2025-2026学年七年级数学下册重难点专题提升精讲精练（人教版）

专题03 实数及其简单运算重难点题型专训 （4个知识点+8大题型+2拓展训练+自我检测） 题型一 无理数的大小估算 题型二 无理数整数部分的有关计算 题型三 实数的分类 题型四 实数与数轴 题型五 实数的大小比较 题型六 实数的混合运算 题型七 程序设计与实数运算 题型八 实数运算的实际应用 拓展训练一 新定义下的实数运算 拓展训练二 与实数运算相关的规律题 知识点一：无理数 1.无理数：无线不循环小数叫做无理数. 无理数都是无限小数，但无限小数不一定是无理数，只有无限不循环小数才是无理数. 2.常见的无理数三种形式 （1）开方开不尽的数的方根，如等； （2）及化简后含的数，如，等； （3）看似循环实质不循环的数，如（两个1之间一次多一个0）. 3.任何一个有理数都能写成分数的形式（整数可以看成分母是1的分数），无理数不能写成分数的形式. 4.任何一个有理数都可以写成有限小数（把整数看成小数点后是0的小数）或无限循环小数的形式，无理数是无限不循环小数. 【即时训练】 1．（25-26八年级上·江苏常州·期末）下列各数中是无理数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查无理数的定义，无理数是无限不循环小数，有理数包括整数和分数（有限小数、无限循环小数均可化为分数），需逐一判断各选项是否符合无理数的特征． 【详解】A、是分数，为有理数，该选项不符合题意； B、是无限循环小数，为有理数，该选项不符合题意； C、是无限不循环小数，故是无限不循环小数，为无理数，该选项符合题意； D、，是分数，为有理数，该选项不符合题意． 故选：C 2．（2026·江苏徐州·一模）写出一个大于2的无理数：____________．（写一个即可） 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题主要考查了无理数的概念和估算，解题的关键是正确把握无理数的定义．利用无理数的定义直接得出答案． 【详解】解：因为，且，所以，同时是无理数， 因此是大于2的无理数． 故答案为：（答案不唯一）． 知识点二：实数及分类 1.有理数和无理数统称为实数. 2.实数的分类 （1）按定义分类： （2）按性质分类： PS：0既不是正实数，也不是负实数. 【即时训练】 1．（2026·江苏·模拟预测）实数2，，0，中，为负数的是（  ） A．2 B． C．0 D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了负数的定义，熟练掌握“小于的数是负数”是解题的关键． 根据负数的定义（小于的数），判断各数与的大小关系，确定负数． 【详解】解：∵， ∴是正数； ∵， ∴是负数； 既不是正数也不是负数； ∵， ∴是正数； 故选：． 2．（24-25七年级上·江苏镇江·月考）把下列各数填在相应的大括号中：，，，，，，，，…， 正数集合{_____________…} 整数集合{_______________…} 负分数集合{______________…} 无理数集合{_____________…}． 【答案】 ，，， ，， ， ，… 【分析】根据实数的分类，依次解答，即可求解，本题考查了实数的分类，解题的关键是：明确实数的分类． 【详解】解： 正数集合{　，，，，…} 整数集合{，，，…} 负分数集合{，，　…} 无理数集合{，…}， 故答案为： ，，，；，，； ，； ，…． 知识点三：实数与数轴上点的关系 1.实数与数轴上点的关系：每一个实数都可以用数轴上的一个点来表示，反之，数轴上的每一个点都表示一个实数，实数与数轴上的点一一对应. 2.画表示无理数的点：要想在数轴上画出表示无理数的点，需先得到长度为无理数的绝对值的线段，一般地，依据勾股定理，通过构造直角三角形来得到长度为无理数的绝对值的线段，以原点为圆心，以上述线段长为半径画弧，弧与数轴的交点，便是表示无理数的点. 正无理数以原点为圆心，向数轴正方向画弧，负无理数以原点为圆心，向数轴负方向画弧. 【即时训练】 1．（25-26八年级上·河北唐山·期中）如图，数轴上的A，B，C，D四个点中，表示的点是（　　） A．点A B．点B C．点C D．点D 【答案】A 【分析】本题考查了无理数的大小估算，实数与数轴，解题关键是掌握上述知识点并能熟练运用求解． 先求出的范围，再确定点的位置即可选择． 【详解】解：， 数轴上的A，B，C，D四个点中，只有A符合， 故选：A． 2．（2025·湖南·模拟预测）如图，数轴上的点表示的实数为___． 【答案】 【分析】本题考查了实数与数轴，根据数轴即可得出答案． 【详解】解：由数轴可得点表示的实数为， 故答案为：． 知识点四：比较实数的大小 有理数的大小比较方法在实数范围内仍然适用. 1.在数轴上表示的两个数，右边的数总比左边的数大. 2.正数都大于0，负数都小于0，正数大于一切负数；两个负数比较，绝对值大的反而小. 3.比较两个实数大小的常用方法： （1）比较被开方数：如果两个数的根指数相同，我们可以通过比较被开方数的大小来比较两个实数的大小； （2）数轴比较法：根据在数轴上右边的点表示的数大于左边的点表示的数，结合图形比较，这个方法适用于多个实数比较大小； （3）法则比较法：根据“正数大于0，负数小于0，正数大于负数；两个负数比较大小，绝对值大的数反而小”进行比较； （4）作差比较法：当时，；当时，；当时，. （5）作商比较法：a、b为正数，若，则；若，则；若，则 （6）倒数比较法：a、b为正数，若，则； （7）平方比较法：a、b为正数，若，则. 【即时训练】 1．（25-26八年级上·河南南阳·期末）在四个数中，最大的数是（   ） A．-3 B． C． D．2 【答案】C 【分析】本题考查实数的大小比较，先区分正数与负数，负数小于正数，再比较两个正数的大小即可确定最大数． 【详解】解：∵， ∴， ∵正数大于负数， ∴中，最大的数为； 故选：C． 2．（25-26七年级上·浙江宁波·期末）比较实数的大小：________． 【答案】 【分析】本题考查实数的大小比较，通过比较π与3的大小关系，利用绝对值大的反而小可得答案． 【详解】解：∵， ∴． 故答案为：． 【经典例题一 无理数的大小估算】 【例1】（25-26七年级上·山东威海·期末）若a，b均为正整数，且，，则的最小值是（   ） A．4 B．2 C．5 D．3 【答案】A 【分析】先估算和的取值范围，确定符合条件的正整数的最小值与的取值，再计算的最小值． 【详解】解：∵，，且， ∴， 又∵为正整数且， ∴的最小值为3， ∵，，且， ∴， 又∵为正整数且， ∴， ∴的最小值为． 【例2】（2026·安徽·一模）魏晋时期刘徽在其撰写的《九章算术注》中提到了开平方的方法，可以用来近似求得二次根式的值，如，其中a取正整数且最小，则用该方法计算的值约为____． 【答案】5.2 【分析】先确定与27最接近的完全平方数，从而得出a和r的值，再代入给定的近似公式计算即可． 【详解】解：因为，且， 所以取正整数，此时， 根据题目中的近似公式， 将，代入得：（或）． 1．（24-25七年级下·福建厦门·期末）因为，，，所以，若是正整数，，则与实数最接近的整数为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】A 【分析】本题考查了估算无理数的大小，熟练掌握估算无理数大小的方法是解题的关键．先求出m的取值范围，即可确定整数m的值，于是可求出整数n的值，再估算实数的取值范围，即可得解． 【详解】解：， ， 即， 为正整数， ， 是正整数， ， ， ， 与最接近的整数是1， 即与实数最接近的整数是1， 故选：A． 2．（25-26八年级上·江苏南京·期中）黄金分割是公认为最能引起美感的比例，被广泛应用于艺术、建筑、设计等领域．黄金分割点比例计算公式为，其中介于整数和n之间，则n的值是__________． 【答案】2 【分析】本题考查无理数的估算，通过估算的值，利用夹逼法确定的范围，从而求出整数即可． 【详解】解：∵，即， ∴，即介于整数和之间， ∴； 故答案为：2 3．（25-26八年级上·江苏泰州·期末）因为，即，所以的整数部分是1，小数部分是．类比以上推理过程，解答下列问题． (1)求的小数部分； (2)若m是和之间的一个整数，求m的平方根． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查算术平方根及平方根、无理数的估算，熟练掌握算术平方根与平方根是解题的关键； （1）根据可求解问题； （2）由题意易得，然后问题可求解． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴的整数部分是4，小数部分是； （2）解：∵m是和之间的一个整数， ∴， ∵， ∴m的平方根是． 【经典例题二 无理数整数部分的有关计算】 【例1】（25-26八年级上·广东梅州·期中）已知，则n的小数部分是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查无理数的估算．先计算，确定的范围，从而得到整数部分，再求小数部分． 【详解】解：， 又 ∵ ， ∴ ， ∴ 的整数部分为6， ∴ 小数部分为． 故选：D． 【例2】（24-25七年级下·辽宁·期中）先阅读理解，再回答下列问题： 因为，且，所以的整数部分为1； 因为，且，所以的整数部分为2： 因为，且，所以的整数部分为3； 以此类推，我们会发现（为正整数）的整数部分为_______． 【答案】n 【分析】此题主要考查了无理数的估算能力，解决本题的关键是找到相应的规律；并根据规律得出结论．比较被开方数与所给数值的大小，可发现，从而得出答案． 【详解】解：为正整数， ， ， ， ， （n为正整数）的整数部分为n， 故答案为：n． 1．（25-26七年级上·浙江绍兴·期末）实数的整数部分为，小数部分为，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了无理数的估算． 先通过估算无理数的范围，确定的整数部分和小数部分，再代入式子计算结果即可． 【详解】解：∵，， ∴， ∴， 即， ∴，， ∴． 故选：A． 2．（25-26八年级上·江苏南京·月考）因为，即，所以的整数部分为1，小数部分为．类比以上推理，的小数部分为______． 【答案】/ 【分析】本题考查无理数的估算，通过比较立方数确定整数部分，再求小数部分． 【详解】解：， ， ， 的整数部分为4， 的小数部分为， 故答案为：． 3．（25-26八年级上·江西吉安·期末）我们知道：，它是无限不循环小数，它的整数部分是3，可以用来表示它的小数部分，请根据上述方法解答： (1)的整数部分__________； (2)为的整数部分，为的小数部分，求解的值． 【答案】(1)2 (2) 【分析】本题考查了无理数的估算． （1）先估算出所在的范围，进而作答即可； （2）先估算出所在的范围，进而求出的值，代入计算即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴的整数部分为2； 故答案为：2； （2）解：∵， ∴， ∴的整数部分为3，小数部分为， ∴， ∴． 【经典例题三 实数的分类】 【例1】（25-26八年级上·江苏无锡·月考）在实数，，，，，（相邻两个中间一次多个）中，无理数有（   ） A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】B 【分析】本题主要考查了无理数的定义，熟练掌握无限不循环小数称为无理数是解题的关键．先化简，再根据无理数的定义（无限不循环小数）判断每个数． 【详解】解：∵（有理数），是有限小数（有理数），是循环小数（有理数），是无理数，是无理数，是无限不循环小数（无理数）， ∴无理数有个． 故选：B． 【例2】（25-26八年级上·上海·月考）下列各数：①、②、③、④、⑤、⑥、⑦，是无理数的是_________（填序号） 【答案】③④ 【分析】本题考查了无理数的概念，二次根式的化简，掌握无理数是指无限不循环小数是解题的关键．根据无理数定义逐一判断即得． 【详解】解：①是有理数； ②是有理数； ③是无理数； ④是无理数； ⑤是有理数； ⑥是有理数； ⑦是有理数． 故答案为：③④． 1．（24-25八年级上·吉林长春·期中）在实数，，，，中，有理数有（     ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】根据有理数的意义，即可解答． 【详解】解：在实数，，，，中， 有理数有，，共有2个， 故选：B． 【点睛】本题考查了实数的分类，熟练掌握有理数的意义（有限小数或无限循环小数）是解题的关键． 2．（24-25七年级下·广东江门·月考）将下列各数填入相应的集合内．（用序号填空） ①，②，③，④0，⑤    ⑥，⑦，⑧0.13030030003…（相邻的两个3之间依次多1个0），⑨3.14． （1）整数集合：{____________…}； （2）分数集合：{____________…}； （3）无理数集合：{____________…}． 【答案】 ③④⑥ ①⑤⑨ ②⑦⑧ 【分析】此题考查了实数的分类，化简需要化简的各数后，根据实数的分类方法分类即可． 【详解】解：， （1）整数为：③，④0，⑥； 故答案为；③④⑥ （2）分数为：①，⑤，⑨3.14． 故答案为；①⑤⑨ （3）无理数为：②，⑦，⑧0.13030030003…（相邻的两个3之间依次多1个0）， 故答案为：②⑦⑧ 3．（2025七年级下·江苏常州·专题练习）已知：3，0.66666…，0，，，0.2020020002…（每相邻两个2之间依次多1个0），． (1)写出以上所有的有理数； (2)写出以上所有的无理数； (3)把这些数按从小到大的顺序排列起来． 【答案】(1) (2)，0.2020020002…（每相邻两个2之间依次多1个0） (3)（每相邻两个2之间依次多1个0） 【分析】本题考查实数的分类，实数比较大小： （1）有理数包括整数、分数，其中无限循环小数可以写成分数的形式，也是有理数； （2）无限不循环小数为无理数； （3）正数大于0，0大于负数，由此可解． 【详解】（1）解：有理数：． （2）解：无理数：，0.2020020002⋯（每相邻两个2之间依次多1个0）． （3）解：（每相邻两个2之间依次多1个0）． 【经典例题四 实数与数轴】 【例1】（25-26八年级上·广东河源·月考）如图，在数轴上表示的点可能是（　　） A．点P B．点Q C．点M D．点N 【答案】B 【分析】先估算的取值范围，然后结合数轴即可解答． 【详解】解：∵， ∴， ∴，即在3和4之间， 结合数轴可知点Q满足条件，即B选项符合题意． 【例2】（25-26八年级上·江苏淮安·月考）如图，在数轴上表示实数的点可能是______点． 【答案】 【分析】本题考查了无理数的大小估算，实数与数轴．熟练掌握无理数的大小估算，实数与数轴是解题的关键． 由题意知，，然后判断作答即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴表示实数的点可能是点， 故答案为：． 1．（25-26七年级上·浙江金华·期中）如图，被阴影覆盖的可能是下面哪一个数（　　） A． B． C． D．以上都不对 【答案】B 【分析】本题考查了估算无理数的大小，根据图中阴影部分可知，这个无理数在1到3之间，结合选项进行判断即可． 【详解】解： ∵ ∴A不符合要求 ∵ ∴，故B符合要求 ∵ ∴C和D不符合要求 ∴被阴影覆盖的可能是． 故选：B． 2．（25-26八年级上·四川眉山·期中）已知a、b、c在数轴上位置如下图所示，化简______． 【答案】 【分析】本题考查了实数的运算，算术平方根和立方根，整式的加减运算，数轴的知识，解题的关键是得到，，． 利用数轴得到，，，再根据算术平方根的定义，绝对值的定义，立方根的定义化简，然后计算即可． 【详解】由图可知，， ∴，，， ∴ ． 故答案为：． 3．（25-26七年级下·江苏常州·周测）小云的作业中有一道题目如下： 请画出数轴并把实数，π，，－4，，在数轴上表示出来，再把这6个数用“＜”连接． (1)下图是小云画的数轴和标出来的4个无理数，你认为表示的是点________． (2)请你帮助小云完成剩下的任务． 【答案】(1)C (2)见解析 【分析】本题考查了实数与数轴的对应关系及实数的大小比较，掌握估算无理数的取值范围，结合数轴上点的位置和实数大小比较规则是解题的关键． （1）先估算​的取值范围，再确定它在数轴上的对应点； （2）先化简绝对值、估算无理数的近似值，再根据实数大小比较规则，将个数按从小到大的顺序连接． 【详解】（1）解： 因此在数轴上位于和之间，对应点． （2）解：将个实数在数轴上表示出来如图所示． 由图可知，． 【经典例题五 实数的大小比较】 【例1】（25-26七年级下·江苏常州·周测），，之间的大小关系是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】此题主要考查了实数比较大小，得出各数绝对值的大小关系是解题关键． 比较负数大小时，先比较其绝对值，绝对值大的负数反而小. 通过比较、、的大小，得到绝对值关系，再转化为负数大小关系. 【详解】解：∵ ，， ， 且 ， ∴ ， 即. 故选：A. 【例2】（25-26七年级下·江苏常州·课后作业）比较下列各组数的大小： （1）________4； （2）________1． 【答案】 【分析】本题考查实数比较大小，熟练掌握实数比较大小的方法，是解题的关键． （1）先将化成，然后比较即可； （2）利用作差法比较即可． 【详解】解：（1）∵， ∴ 故答案为：． （2）∵ ∴ 故答案为：． 1．（24-25七年级下·河北唐山·期中）如图，将长为8，宽为4的长方形纸片分割成3个三角形后，恰好拼成一个正方形，则正方形边长最接近的整数是（    ） A．4 B．5 C．6 D．7 【答案】C 【分析】本题考查了无理数的估算、实数的大小比较法则，先利用正方形的面积公式求出大正方形的边长，再利用无理数的估算、实数的大小比较法则即可得，熟练掌握实数的大小比较法则是解题的关键． 【详解】解：由题意得，正方形的面积为， ∴边长为， ∵， ∴， ∴正方形边长最接近的整数是6， 故选：C． 2．（24-25七年级下·江苏常州·期中）比较大小：____ ；____；____2． 【答案】 【分析】通过将数进行平方运算，比较平方后的结果大小，从而得出原数的大小关系．本题主要考查了实数的大小比较，熟练掌握利用平方比较实数大小的方法是解题的关键． 【详解】解：∵ ∴ ∵ ， ∴ ∴ ∵ ， ∴ ∴ 故答案为：；；． 3．（25-26七年级下·江苏常州·课后作业）比较下列各组数中两个数的大小： (1)与． (2)与． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了实数的大小比较，掌握作差法比较实数大小的方法是解题的关键． （1）使用作差法，计算两数之差，通过判断差的正负来比较大小； （2）使用作差法，计算两数之差，若差为正，则被减数大于减数． 【详解】（1）解：， ． （2）解：， ． 【经典例题六 实数的混合运算】 【例1】（2025·安徽芜湖·三模）已知实数a，b，c满足，则下列结论正确的是（） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了实数的运算与等式性质，解题关键是通过对已知等式进行运算求出、、的值． 本题可根据已知条件求出、、的值，再逐一分析选项． 【详解】∵，， ∴， ， ． 把代入， 解得． ∵， ∴， ∵， ∴． A．因为，所以，该选项错误，不符合题意； B．由前面计算可知，，所以，该选项正确，符合题意； C．因为，所以，该选项错误，不符合题意； D．因为，所以，该选项错误，不符合题意； 故选：B． 【例2】（24-25七年级下·贵州贵阳·期末）如图，正方形边长为，以各边为直径在正方形内画半圆，画出了如图所示的四叶幸运草，则四叶幸运草的周长是______．（不含正方形边长） 【答案】 【分析】本题考查了圆的周长计算，四叶幸运草的周长为个半圆的弧长个圆的周长，由圆的周长公式即可得出结果，由题意得出四叶幸运草的周长个圆的周长是解题的关键． 【详解】解：由题意得，四叶幸运草的周长为个半圆的弧长个圆的周长， ∴四叶幸运草的周长， 故答案为：． 1．（24-25七年级下·新疆乌鲁木齐·月考）下列运算正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了实数的混合运算，有理数的乘方运算，算术平方根，立方根，熟练掌握相关概念和运算法则是解题关键． 根据有理数的乘方运算，算术平方根，立方根逐一进行计算即可得到答案． 【详解】解：A、，原计算错误，不符合题意，故A选项错误； B、，原计算正确，符合题意，故B选项正确； C、，原计算错误，不符合题意，故C选项错误； D、，原计算错误，不符合题意，故D选项错误． 故选：B． 2．（24-25七年级下·辽宁鞍山·期中）计算：__________． 【答案】 【分析】本题考查了实数的运算，根据立方根，算术平方根化简即可得出答案． 【详解】解： ． 故答案为：． 3．（25-26八年级上·贵州贵阳·期中）计算 (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查的是实数的混合运算，二次根式的加减运算． （1）先求解立方根，化简二次根式，再合并即可． （2）先化简二次根式，求解绝对值，零次幂，再合并即可． 【详解】（1）解：． （2）解：． 【经典例题七 程序设计与实数运算】 【例1】（25-26八年级上·湖南常德·期末）按照如图所示的程序框图运算，若输入，则输出的值（　　） A． B． C．2 D． 【答案】C 【分析】先判断，然后利用平方差公式计算即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴输出的值为2． 【例2】（24-25七年级上·浙江宁波·期中）如图，是一个数值转换器，其工作原理如图所示． 当输入的x值为时，则输出的y值为______． 【答案】 【分析】本题考查程序流程图与实数的计算，根据流程图列式计算，求解即可． 【详解】解：当输入的x值为时：为有理数， 输入3，为无理数，输出； 故答案为：． 1．（24-25八年级上·甘肃白银·期中）有一个数值转换器，原理如下：当输入的时，输出的等于（    ）    A．2 B．8 C． D． 【答案】D 【分析】根据流程图，结合算术平方根运算，由无理数与有理数定义进行判断即可得到答案． 【详解】解：当时，，是有理数，进行下一步运算； 当时，，是无理数，输出； 故选：D． 【点睛】本题考查流程图计算，涉及算术平方根、有理数与无理数的定义，读懂题意，按照流程图顺序计算是解决问题的关键． 2．（25-26八年级上·河南周口·期中）如图所示的是小明用计算机设计的计算小程序，当输入的值为时，输出的值是___________． 【答案】 【分析】本题考查了实数的计算，掌握求一个数的立方根，算术平方根是解题的关键．将代入程序进行计算即可求解． 【详解】解：当时，， 当时，， 当时，，输出， 故答案为： 3．（24-25八年级上·河南周口·月考）如图所示的是一个无理数筛选器的工作流程图，根据下面叙述回答相关问题． (1)当x为8时，y的值为______． (2)当输出的y值是时，输入的x值唯一吗？若不唯一，请写出其中两个输入的x值． (3)是否存在输入某个x值后，却始终输不出y值？如果存在，写出所有满足要求的x值；如果不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)x的值不唯一，x=3或x=27 (3)存在，1，0，或-1 【分析】（1）根据运算的定义即可直接求解； （2）立方根逆运算即可． （3）始终输不出y值，则x的任何次方根都是有理数，则只有1，0，或-1． 【详解】（1）， 则y=； （2）答案不唯一． x＝或 x＝． 故答案是3或27． （3）当输入的x=-1、0和1时，取它们的立方根始终是-1、0和1，是有理数， ∴输入的x=-1、0和1时，始终输不出 y值 【点睛】本题考查立方根以及无理数，正确理解题目中规定的运算是解题的关键． 【经典例题八 实数运算的实际应用】 【例1】（2025·四川达州·模拟预测）中国奇书《易经》中记载，远古时期，人们通过在绳子上打结来计数，即“结绳计数”．如图，一位母亲在从右到左依次排列的绳子上打结，满5进1，用来记录孩子自出生后的天数．由图可知，孩子自出生后的天数是（    ） A．10 B．89 C．165 D．294 【答案】D 【分析】类比十进制“满十进一”，可以表示满5进1的数从左到右依次为：2×5×5×5，1×5×5，3×5，4，然后把它们相加即可． 【详解】依题意，还在自出生后的天数是： 2×5×5×5+1×5×5+3×5+4=250+25+15+4=294， 故选：D． 【点睛】本题考查了实数运算的实际应用，解答的关键是运用类比的方法找出满5进1的规律列式计算． 【例2】（20-21七年级下·福建福州·期中）如图，小正方形的一条边恰好在大正方形的一条边上，若小正方形的面积为1，大正方形的面积为5，则图中阴影部分的面积为_____．    【答案】 【分析】根据题意可知阴影部分可看作高为1，底为的三角形，求解即可； 【详解】解：大正方形的边长为：，小正方形的边长为：1； 阴影部分的面积为：； 故答案为：. 【点睛】本题主要考查实数混合运算的应用，正确列出算式是解题的关键. 1．（24-25七年级下·吉林长春·月考）对于非零的两个数a、b，规定a⊗b=3a﹣b，若（x﹣1）⊗2=4，则x的值为（　　） A．5 B．4 C．3 D．2 【答案】C 【详解】根据题意得:3（x-1）-2=4,3x-3-2=4,3x=9,x=3,故选C. 2．（24-25七年级下·广东深圳·期中）如图1的瓶子中盛满水，如果将这个瓶子中的水全部倒入图2的杯子中，一共需要____个图2这样的杯子．（单位：）（温馨提示：） 【答案】13 【分析】本题考查了整式的混合运算，利用圆柱的体积公式表示出瓶子中大圆柱与小圆柱的体积，以及杯子的体积，即可得到结果. 【详解】解：瓶子中大圆柱的容积为， 瓶子中小圆柱容积， 杯子的容积为， 则所需杯子个数为， 则一共需要13个这样的杯子. 3．（25-26七年级上·浙江宁波·期中）如图所示，已知正方形和正方形的边长分别为和3． (1)三角形的面积为： ；（结果保留根号） (2)求出图中阴影部分的面积．（结果保留根号） 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查实数运算的实际应用，正确列出算式，是解题的关键： （1）根据直角三角形的面积公式列式计算即可； （2）利用分割法求出阴影部分的面积即可． 【详解】（1）解：由题意，三角形的面积为； （2）由题意， ． 【拓展训练一 新定义下的实数运算】 【例1】（25-26八年级上·福建福州·期末）对于正数，规定，例如：，，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了新定义下的实数运算，由已知可得，即得，根据规律将式子分组配对计算，再加上的值即可求解，找到规律是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴， ∴， 从到与到共有对，每对和为，和为， 又∵， ∴原式， 故选：． 【例2】（25-26八年级上·吉林长春·期中）设表示大于的最小整数，如，则下列结论中正确的是_____．（填写所有正确结论的序号） ①； ②的最大值是1； ③恒成立； ④存在实数，使成立． 【答案】①②④ 【分析】本题考查了新定义下实数的运算，熟悉掌握运算法则是解题的关键． 根据定义表示大于的最小整数，逐项判断即可． 【详解】对于①，，正确； 对于②，当为整数时，，故；当不为整数时，，因此最大值为，正确； 对于③，当为整数时，，故不成立，错误； 对于④，当时，，，成立，正确． 故答案为：①②④． 1．（25-26七年级上·江苏南京·期末）一个正整数n若能表示成m个正整数的和，且这些正整数的倒数和恰好等于1，则称n为m阶“汇和数”．例如，，且，所以22就是4阶“汇和数”． (1)证明：11是一个3阶“汇和数”； (2)证明：若n是一个k阶“汇和数”，则、分别是阶、阶“汇和数”； (3)请在以下两个问题中任选一个解决： ①请判断：505是“汇和数”并说理； ②证明：若n是一个k阶“汇和数”，则是一个阶“汇和数”． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 (3)①是，理由见解析；②证明见解析 【分析】本题考查了新定义“汇和数”和有理数混合运算． 【详解】（1）证明：，且， 是一个3阶“汇和数”； （2）证明：若n是一个k阶“汇和数”， 不妨设，， 则， 且， 故是阶“汇和数”； ， 且， 故是阶“汇和数”； （3）①解：505是“汇和数” 理由：由（1）知11是“汇和数”， 由（2）知是“汇和数”， 是“汇和数”， 由（2）知是“汇和数”， ，，，， 是“汇和数”； ②证明：设，， ， ， 是一个阶“汇和数”． 2．（25-26八年级上·河南南阳·期末）在实数范围内定义运算“”，其法则为． (1)求方程的解； (2)若，则_____． 【答案】(1) (2)5 【分析】本题考查新定义下的实数运算，运用平方根解方程，平方差公式，理解新定义的运算是解题的关键． （1）根据新定义的运用将方程转化为一元二次方程，根据平方根的定义解方程即可； （2）由得到，运用平方差公式求解即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴方程可化为， ∴， ∴， 解得． （2）解：∵， ∴， ∴， ∵， ∴． 故答案为：5． 3．（24-25七年级上·浙江杭州·期中）对于任意有理数m，n定义一种新运算：． (1)若，，求的值； (2)已知点A，点B在数轴上表示的数分别为，x，且A，B两点的距离是7，y是的相反数，求的值． 【答案】(1)12 (2)或 【分析】本题主要考查了新定义运算、实数加减运算、数轴、相反数的定义．掌握新定义运算规则及实数加减法运算法则是解题的关键，同时，需注意“分类讨论”思想的运用． （1）根据新定义运算公式将，代入定义公式进行加减运算即可； （2）根据数轴上两点间的距离及相反数的定义求解出，的值，然后，根据定义公式及“分类讨论”思想的运用，依次计算出运算结果即可． 【详解】（1）解：，，， ； （2）∵点A，点B在数轴上表示的数分别为，x，且A，B两点的距离是7， ， 或． 是的相反数，且， ． 当时，， ， 当时，， ． 综上所述，的值为或． 【拓展训练二 与实数运算相关的规律题】 【例1】（25-26七年级上·浙江金华·期中）设，，，…，，则+…+的值为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查实数的混合运算，算术平方根，总结归纳出规律和掌握规律是解题的关键． 通过计算总结归纳出规律，再化简算术平方根，然后由计算即可． 【详解】解：∵， …… ∴， ∴ ． 故选：C． 【例2】（25-26八年级上·黑龙江绥化·月考）观察下列各式：    请你根据以上三个等式提供的信息归纳：根据你的观察、猜想，写出一个用n（n为正整数）表示的等式：__________________． 【答案】（为正整数） 【分析】本题考查了数字类规律探究根据前几个式子的规律，写出第个式子即可求解．通过观察给定等式，发现每个等式均符合相同规律，即根式部分的结构和简化形式具有一致性，从而归纳出用正整数表示的一般等式． 【详解】解：根据等式的规律可得：（为正整数） 故答案为：（为正整数）． 1．（24-25八年级上·江苏·月考）观察：．．．通过观察，当时，求：的值． 【答案】 【分析】本题主要考查了与实数运算有关的规律探索，根据题意可得（n为正整数）；由非负性的性质可求出，则原式变形为，再裂项求解即可． 【详解】解：， ， ， ……， 以此类推，可知（n为正整数）； ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴ ． 2．（24-25八年级上·广东茂名·期中）阅读下列解题过程，解答问题． ； ； ； … (1) ， ； (2)观察上面的解题过程，求（为自然数）； (3)计算： ． 【答案】(1)， (2) (3) 【分析】本题考查了数字的规律探索，算术平方根，熟练掌握运算法则，正确得出规律是解此题的关键． （1）根据题意结合算术平方根的运算法则计算即可得解； （2）根据题干所给例子得出结论即可； （3）根据（2）中得出的规律计算即可得解． 【详解】（1）解：由题意可得：，； （2）解：由题意可得：（为自然数）； （3）解：． 3．（2025七年级下·江苏常州·专题练习）计算： 【答案】 【分析】本题考查了分数的加减法计算，根据带分数的意义，可将算式变为，然后去掉括号，将算式变为，然后根据带符号和括号的应用，将算式变为，再计算括号里面的结果，接着根据乘法的意义，将算式变为进行简算即可． 【详解】解： ． A基础训练 1．（24-25七年级下·广西南宁·月考）下列结论不正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了求一个数的算术平方根，立方根，绝对值，根据算术平方根，立方根的定义及绝对值的意义逐项分析即可． 【详解】解：A、，正确，本选项不符合题意； B、，正确，本选项不符合题意； C、，原计算错误，本选项符合题意； D、，正确，本选项不符合题意； 故选：C． 2．（25-26七年级下·江苏常州·课后作业）比较下列各组数的大小，错误的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了实数的大小比较，熟练掌握实数大小比较的方法以及无理数的估算是解题的关键．根据无理数的估算方法逐项判断即可． 【详解】解：A、，正确，不符合题意； B、 ， ∵， ∴， ∴， ∴ ∴，原式错误，符合题意； C、∵， ∴， ∴， ∴，即，正确，不符合题意； D、∵，，且， ∴，正确，不符合题意． 故选：B． 3．（25-26八年级上·河北邯郸·期末）如图，在数轴上表示实数的可能是（   ） A．点 B．Q点 C．M点 D．N点 【答案】B 【分析】本题主要考查了无理数的估算，实数与数轴；根据开方估算出在哪两个整数之间，再结合数轴得出答案即可． 【详解】解：， ， 数轴上表示实数的可能是Q点； 故选：B． 4．（24-25八年级上·广东佛山·期末）在如图所示的运算程序中，输入的值是时，输出的值是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了程序运算，算术平方根、立方根及有理数和无理数，按照运算程序逐步运算即可得到答案，解决本题的关键是看懂运算顺序． 【详解】解：当，取算术平方根，可得：， 是有理数， 再取的立方根， 又是有理数， 再取的算术平方根， 的算术平方根是是无理数， ． 故选：C． 5．（25-26七年级上·山东临沂·期末）若是不等于1的实数，我们把称为的差倒数，如2的差倒数是，的差倒数为，现已知，是的差倒数，是的差倒数，是的差倒数，…，依此类推，则的值为（   ） A． B． C． D．4 【答案】A 【分析】本题考查规律寻找，解题的关键是根据题意求出几个数找到数字规律，根据规律求解.根据差倒数写出，得到规律即可得到答案． 【详解】解：由题意可得，，，，， ∴个数一循环， ， ∴． 故选：A． B 提高训练 6．（25-26七年级下·江苏常州·课后作业）在数0.66，，，π，，，0.313113…（每两个3之间依次增加一个1）中，无理数有________个． 【答案】3 【分析】本题考查了无理数的定义，掌握根据定义识别常见无理数是解题的关键． 根据无理数的定义，无限不循环小数为无理数，逐一判断每个数是否为无理数． 【详解】解：是有限小数，是有理数； 是分数，是有理数； 是循环小数，是有理数； π是无理数； 是分数，是有理数； 是无理数； 0.313113…（每两个之间依次增加一个）是无限不循环小数，是无理数； 故无理数有个． 故答案为：． 7．（24-25七年级上·江苏常州·月考）把下列各数分别填入相应的集合里． ﹣5，|﹣|，0，，+1.99，﹣（﹣6），π，﹣2.101001…（两个1之间的0依次多1） （1）正数集合：{　 　…} （2）整数集合：{　 　…} （3）分数集合：{　 　…} （4）无理数集合：{　 　…}． 【答案】|﹣|，，+1.99，﹣（﹣6），π；﹣5，0，﹣（﹣6）；|﹣|，，+1.99；π，﹣2.101001…（两个1之间的0依次多1）． 【分析】根据实数的分类进行判断即可．有理数包括：整数（正整数、0和负整数）和分数（正分数和负分数）． 【详解】解：（1）正数集合：{|﹣|，，+1.99，﹣（﹣6），π}； （2）整数集合：{﹣5，0，﹣（﹣6）}； （3）分数集合：{|﹣|，，+1.99}； （4）无理数集合：{π，﹣2.101001…（两个1之间的0依次多1）}． 故答案为：|﹣|，，+1.99，﹣（﹣6），π；﹣5，0，﹣（﹣6）；|﹣|，，+1.99；π，﹣2.101001…（两个1之间的0依次多1）． 【点睛】本题考查实数的分类，正确理解各类数的意义和特征是解题关键．　 8．（25-26八年级上·吉林长春·月考）下列说法： ①的小数部分是；②平方根与立方根等于它本身的数是0和1； ③的立方根是；④是7的平方根；⑤；⑥的算术平方根是2． 其中正确的有______．（填序号） 【答案】④⑤ 【分析】本题考查平方根、立方根、无理数的估算以及算术平方根的概念；需要根据定义逐一判断每个说法的正确性． 【详解】解：①的整数部分是 2，小数部分应为，故错误； ② 平方根等于本身的数是0，立方根等于本身的数是0、1、，但同时满足平方根和立方根等于本身的数是0，故错误； ③ 的立方根是，不是，故错误； ④ 是7的平方根之一，故正确； ⑤ ，所以，故正确； ⑥ ，8的算术平方根不是2，因为，故错误． 故正确是④⑤， 故答案为：④⑤． 9．（25-26八年级上·江西吉安·月考）定义新运算：对于任意实数、，都有，比如，数字和在该新运算下的结果为，计算过程如下：，则的值为______． 【答案】 【分析】本题主要考查了实数的混合运算，根据新运算的定义可得， 由于 ，故 ，再进行计算. 【详解】解： ． 故答案为：. 10．（25-26八年级上·福建泉州·月考）如图，通过画边长为1的正方形，就能准确地把表示在数轴上点处，记右侧最近的整数点为，以点为圆心，为半径画半圆，交数轴于点，记右侧最近的整数点为；以点为圆心，为半径画半圆，交数轴于点，…，如此继续，则的长为______． 【答案】/ 【分析】本题考查了实数与数轴、估算无理数的大小以及探索规律，通过估算无理数的大小，找到图形变化规律是解题的关键．利用表示的数，根据实数与数轴的关系，逐一计算各点所对应的数，再计算、、……，得出规律即可解决． 【详解】解：根据题意得：，点表示的数为2，点表示的数为3， 即点表示的数为，， ∴， ∴， ， 同理，……， 以此类推可得，当n为奇数时，；当n为偶数时，， ∴， 故答案为：． C 培优训练 11．（2026七年级下·江苏常州·专题练习）把下列各数分别填在相应的集合中： ，，，，，，0，，，0.2020020002…（相邻的两个2之间依次多一个0）． 有理数集合：{                            …}； 无理数集合：{                            …}； 正实数集合：{                            …}； 负实数集合：{                            …}． 【答案】见解析 【分析】此题主要考查了实数的分类，熟练掌握有理数、无理数、正实数、负实数的定义是解题的关键． 先化简表达式如和，再根据数的特性分类：有理数包括整数、有限小数和循环小数；无理数包括无限不循环小数和不能表示为分数的数；正实数为大于的实数；负实数为小于的实数。既不是正数也不是负数，可得答案． 【详解】解：首先化简：，；是无理数，因为不是完全立方数；是循环小数，属于有理数；（相邻的两个之间依次多一个）是无限不循环小数，属于无理数； 有理数集合：{，，，，，}； 无理数集合：{，，，（相邻的两个之间依次多一个）}； 正实数集合：{，，，，，（相邻的两个之间依次多一个）}； 负实数集合：{，，}． 12．（25-26七年级下·江苏常州·课后作业）判断下列说法是否正确．若正确，请说明理由；若不正确，请举例说明． (1)已知两个实数a，b，则． (2)两个无理数的和一定是无理数． 【答案】(1)不正确；举例见详解 (2)不正确；举例见详解 【分析】本题考查实数的性质，通过举反例判断说法的正确性． （1）考虑b的符号并举例即可判断． （2）考虑互为相反数的无理数即可求解． 【详解】（1）解：不正确，理由如下： 当时，，例如，则，因此说法不正确． （2）解：不正确，理由如下： 两个无理数的和不一定是无理数，例如无理数和， 它们的和为0（有理数），因此说法不正确． 13．（25-26八年级上·江苏常州·月考）阅读材料：，的整数部分为2，的小数部分为． (1)的小数部分是多少？ (2)已知a是的整数部分，b是的小数部分，求代数式的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据即解答即可； （2）根据得到，确定整数部分为1，小数部分为，结合已知，确定a，b的值，解答即可． 【详解】（1）解：∵即， ∴的整数部分为8，小数部分为． （2）解：∵即， ∴ ∴的整数部分为1，小数部分为， ∵a是的整数部分，b是的小数部分， ∴， ∴． 14．（25-26八年级上·江苏连云港·期中）如图是一个数值转换器（） (1)当输入的为时，输出的值是________； (2)若输入实数后，始终输不出值，则所有满足要求的的值为________； (3)若输出的是，求的负整数值． 【答案】(1) (2)2或3或1 (3)的负整数值为或 【分析】本题主要考查了算术平方根与实数的概念，熟练掌握其算术平方根与实数定义是解题的关键． （1）由题意利用框图中的算法，直接计算求值即可； （2）根据0和1的算术平方根是它本身，确定的值，进而求得的值即可； （3）由是逆推的值，进而求得的值即可． 【详解】（1）解：当时，，，3不是无理数， 再求算术平方根，是无理数， ∴ 当输入的为时，输出的值是； 故答案为：； （2）解：∵算术平方根是它本身的数为，而且为有理数， ∴当或时，始终输不出y值， ∴或或； 故答案为：2或3或1； （3）解：若第1次运算是， ∴， ∴， 解得或， ∵为负整数， ∴输入的值为； 若第2次运算是， ∴，， ∴， 解得或， ∵为负整数， ∴ 输入的值为， ∴， ∴的负整数值为或． 15．（24-25七年级下·广东湛江·月考）对于含算术平方根的算式，在有些情况下，可以不需要计算出结果也能将算术平方根符号去掉，例如：， 观察上述式子的特征，解答下列问题： (1)把下列各式写成去掉算术平方根符号的形式（不用写出计算结果）： ______________；______________． (2)当时，______________；当时，______________． (3)计算：． 【答案】(1)， (2)， (3) 【分析】本题考查算术平方根的性质． （1）仿照例题进行解答即可； （2）根据题意，结合（1），进行解答即可； （3）化简算术平方根，再进行求和即可． 【详解】（1）解：、， 故答案为：，； （2）解：当时，， 当时，， 故答案为：，； （3）解： ． 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题03 实数及其简单运算重难点题型专训 （4个知识点+8大题型+2拓展训练+自我检测） 题型一 无理数的大小估算 题型二 无理数整数部分的有关计算 题型三 实数的分类 题型四 实数与数轴 题型五 实数的大小比较 题型六 实数的混合运算 题型七 程序设计与实数运算 题型八 实数运算的实际应用 拓展训练一 新定义下的实数运算 拓展训练二 与实数运算相关的规律题 知识点一：无理数 1.无理数：无线不循环小数叫做无理数. 无理数都是无限小数，但无限小数不一定是无理数，只有无限不循环小数才是无理数. 2.常见的无理数三种形式 （1）开方开不尽的数的方根，如等； （2）及化简后含的数，如，等； （3）看似循环实质不循环的数，如（两个1之间一次多一个0）. 3.任何一个有理数都能写成分数的形式（整数可以看成分母是1的分数），无理数不能写成分数的形式. 4.任何一个有理数都可以写成有限小数（把整数看成小数点后是0的小数）或无限循环小数的形式，无理数是无限不循环小数. 【即时训练】 1．（25-26八年级上·江苏常州·期末）下列各数中是无理数的是（    ） A． B． C． D． 2．（2026·江苏徐州·一模）写出一个大于2的无理数：____________．（写一个即可） 知识点二：实数及分类 1.有理数和无理数统称为实数. 2.实数的分类 （1）按定义分类： （2）按性质分类： PS：0既不是正实数，也不是负实数. 【即时训练】 1．（2026·江苏·模拟预测）实数2，，0，中，为负数的是（  ） A．2 B． C．0 D． 2．（24-25七年级上·江苏镇江·月考）把下列各数填在相应的大括号中：，，，，，，，，…， 正数集合{_____________…} 整数集合{_______________…} 负分数集合{______________…} 无理数集合{_____________…}． 知识点三：实数与数轴上点的关系 1.实数与数轴上点的关系：每一个实数都可以用数轴上的一个点来表示，反之，数轴上的每一个点都表示一个实数，实数与数轴上的点一一对应. 2.画表示无理数的点：要想在数轴上画出表示无理数的点，需先得到长度为无理数的绝对值的线段，一般地，依据勾股定理，通过构造直角三角形来得到长度为无理数的绝对值的线段，以原点为圆心，以上述线段长为半径画弧，弧与数轴的交点，便是表示无理数的点. 正无理数以原点为圆心，向数轴正方向画弧，负无理数以原点为圆心，向数轴负方向画弧. 【即时训练】 1．（25-26八年级上·河北唐山·期中）如图，数轴上的A，B，C，D四个点中，表示的点是（　　） A．点A B．点B C．点C D．点D 2．（2025·湖南·模拟预测）如图，数轴上的点表示的实数为___． 知识点四：比较实数的大小 有理数的大小比较方法在实数范围内仍然适用. 1.在数轴上表示的两个数，右边的数总比左边的数大. 2.正数都大于0，负数都小于0，正数大于一切负数；两个负数比较，绝对值大的反而小. 3.比较两个实数大小的常用方法： （1）比较被开方数：如果两个数的根指数相同，我们可以通过比较被开方数的大小来比较两个实数的大小； （2）数轴比较法：根据在数轴上右边的点表示的数大于左边的点表示的数，结合图形比较，这个方法适用于多个实数比较大小； （3）法则比较法：根据“正数大于0，负数小于0，正数大于负数；两个负数比较大小，绝对值大的数反而小”进行比较； （4）作差比较法：当时，；当时，；当时，. （5）作商比较法：a、b为正数，若，则；若，则；若，则 （6）倒数比较法：a、b为正数，若，则； （7）平方比较法：a、b为正数，若，则. 【即时训练】 1．（25-26八年级上·河南南阳·期末）在四个数中，最大的数是（   ） A．-3 B． C． D．2 2．（25-26七年级上·浙江宁波·期末）比较实数的大小：________． 【经典例题一 无理数的大小估算】 【例1】（25-26七年级上·山东威海·期末）若a，b均为正整数，且，，则的最小值是（   ） A．4 B．2 C．5 D．3 【例2】（2026·安徽·一模）魏晋时期刘徽在其撰写的《九章算术注》中提到了开平方的方法，可以用来近似求得二次根式的值，如，其中a取正整数且最小，则用该方法计算的值约为____． 1．（24-25七年级下·福建厦门·期末）因为，，，所以，若是正整数，，则与实数最接近的整数为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 2．（25-26八年级上·江苏南京·期中）黄金分割是公认为最能引起美感的比例，被广泛应用于艺术、建筑、设计等领域．黄金分割点比例计算公式为，其中介于整数和n之间，则n的值是__________． 3．（25-26八年级上·江苏泰州·期末）因为，即，所以的整数部分是1，小数部分是．类比以上推理过程，解答下列问题． (1)求的小数部分； (2)若m是和之间的一个整数，求m的平方根． 【经典例题二 无理数整数部分的有关计算】 【例1】（25-26八年级上·广东梅州·期中）已知，则n的小数部分是（　　） A． B． C． D． 【例2】（24-25七年级下·辽宁·期中）先阅读理解，再回答下列问题： 因为，且，所以的整数部分为1； 因为，且，所以的整数部分为2： 因为，且，所以的整数部分为3； 以此类推，我们会发现（为正整数）的整数部分为_______． 1．（25-26七年级上·浙江绍兴·期末）实数的整数部分为，小数部分为，则（   ） A． B． C． D． 2．（25-26八年级上·江苏南京·月考）因为，即，所以的整数部分为1，小数部分为．类比以上推理，的小数部分为______． 3．（25-26八年级上·江西吉安·期末）我们知道：，它是无限不循环小数，它的整数部分是3，可以用来表示它的小数部分，请根据上述方法解答： (1)的整数部分__________； (2)为的整数部分，为的小数部分，求解的值． 【经典例题三 实数的分类】 【例1】（25-26八年级上·江苏无锡·月考）在实数，，，，，（相邻两个中间一次多个）中，无理数有（   ） A．个 B．个 C．个 D．个 【例2】（25-26八年级上·上海·月考）下列各数：①、②、③、④、⑤、⑥、⑦，是无理数的是_________（填序号） 1．（24-25八年级上·吉林长春·期中）在实数，，，，中，有理数有（     ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 2．（24-25七年级下·广东江门·月考）将下列各数填入相应的集合内．（用序号填空） ①，②，③，④0，⑤    ⑥，⑦，⑧0.13030030003…（相邻的两个3之间依次多1个0），⑨3.14． （1）整数集合：{____________…}； （2）分数集合：{____________…}； （3）无理数集合：{____________…}． 3．（2025七年级下·江苏常州·专题练习）已知：3，0.66666…，0，，，0.2020020002…（每相邻两个2之间依次多1个0），． (1)写出以上所有的有理数； (2)写出以上所有的无理数； (3)把这些数按从小到大的顺序排列起来． 【经典例题四 实数与数轴】 【例1】（25-26八年级上·广东河源·月考）如图，在数轴上表示的点可能是（　　） A．点P B．点Q C．点M D．点N 【例2】（25-26八年级上·江苏淮安·月考）如图，在数轴上表示实数的点可能是______点． 1．（25-26七年级上·浙江金华·期中）如图，被阴影覆盖的可能是下面哪一个数（　　） A． B． C． D．以上都不对 2．（25-26八年级上·四川眉山·期中）已知a、b、c在数轴上位置如下图所示，化简______． 3．（25-26七年级下·江苏常州·周测）小云的作业中有一道题目如下： 请画出数轴并把实数，π，，－4，，在数轴上表示出来，再把这6个数用“＜”连接． (1)下图是小云画的数轴和标出来的4个无理数，你认为表示的是点________． (2)请你帮助小云完成剩下的任务． 【经典例题五 实数的大小比较】 【例1】（25-26七年级下·江苏常州·周测），，之间的大小关系是（    ） A． B． C． D． 【例2】（25-26七年级下·江苏常州·课后作业）比较下列各组数的大小： （1）________4； （2）________1． 1．（24-25七年级下·河北唐山·期中）如图，将长为8，宽为4的长方形纸片分割成3个三角形后，恰好拼成一个正方形，则正方形边长最接近的整数是（    ） A．4 B．5 C．6 D．7 2．（24-25七年级下·江苏常州·期中）比较大小：____ ；____；____2． 3．（25-26七年级下·江苏常州·课后作业）比较下列各组数中两个数的大小： (1)与． (2)与． 【经典例题六 实数的混合运算】 【例1】（2025·安徽芜湖·三模）已知实数a，b，c满足，则下列结论正确的是（） A． B． C． D． 【例2】（24-25七年级下·贵州贵阳·期末）如图，正方形边长为，以各边为直径在正方形内画半圆，画出了如图所示的四叶幸运草，则四叶幸运草的周长是______．（不含正方形边长） 1．（24-25七年级下·新疆乌鲁木齐·月考）下列运算正确的是（   ） A． B． C． D． 2．（24-25七年级下·辽宁鞍山·期中）计算：__________． 3．（25-26八年级上·贵州贵阳·期中）计算 (1) (2) 【经典例题七 程序设计与实数运算】 【例1】（25-26八年级上·湖南常德·期末）按照如图所示的程序框图运算，若输入，则输出的值（　　） A． B． C．2 D． 【例2】（24-25七年级上·浙江宁波·期中）如图，是一个数值转换器，其工作原理如图所示． 当输入的x值为时，则输出的y值为______． 1．（24-25八年级上·甘肃白银·期中）有一个数值转换器，原理如下：当输入的时，输出的等于（    ）    A．2 B．8 C． D． 2．（25-26八年级上·河南周口·期中）如图所示的是小明用计算机设计的计算小程序，当输入的值为时，输出的值是___________． 3．（24-25八年级上·河南周口·月考）如图所示的是一个无理数筛选器的工作流程图，根据下面叙述回答相关问题． (1)当x为8时，y的值为______． (2)当输出的y值是时，输入的x值唯一吗？若不唯一，请写出其中两个输入的x值． (3)是否存在输入某个x值后，却始终输不出y值？如果存在，写出所有满足要求的x值；如果不存在，请说明理由． 【经典例题八 实数运算的实际应用】 【例1】（2025·四川达州·模拟预测）中国奇书《易经》中记载，远古时期，人们通过在绳子上打结来计数，即“结绳计数”．如图，一位母亲在从右到左依次排列的绳子上打结，满5进1，用来记录孩子自出生后的天数．由图可知，孩子自出生后的天数是（    ） A．10 B．89 C．165 D．294 【例2】（20-21七年级下·福建福州·期中）如图，小正方形的一条边恰好在大正方形的一条边上，若小正方形的面积为1，大正方形的面积为5，则图中阴影部分的面积为_____．    1．（24-25七年级下·吉林长春·月考）对于非零的两个数a、b，规定a⊗b=3a﹣b，若（x﹣1）⊗2=4，则x的值为（　　） A．5 B．4 C．3 D．2 .2．（24-25七年级下·广东深圳·期中）如图1的瓶子中盛满水，如果将这个瓶子中的水全部倒入图2的杯子中，一共需要____个图2这样的杯子．（单位：）（温馨提示：） 3．（25-26七年级上·浙江宁波·期中）如图所示，已知正方形和正方形的边长分别为和3． (1)三角形的面积为： ；（结果保留根号） (2)求出图中阴影部分的面积．（结果保留根号） 【拓展训练一 新定义下的实数运算】 【例1】（25-26八年级上·福建福州·期末）对于正数，规定，例如：，，则的值为（   ） A． B． C． D． 【例2】（25-26八年级上·吉林长春·期中）设表示大于的最小整数，如，则下列结论中正确的是_____．（填写所有正确结论的序号） ①； ②的最大值是1； ③恒成立； ④存在实数，使成立． 1．（25-26七年级上·江苏南京·期末）一个正整数n若能表示成m个正整数的和，且这些正整数的倒数和恰好等于1，则称n为m阶“汇和数”．例如，，且，所以22就是4阶“汇和数”． (1)证明：11是一个3阶“汇和数”； (2)证明：若n是一个k阶“汇和数”，则、分别是阶、阶“汇和数”； (3)请在以下两个问题中任选一个解决： ①请判断：505是“汇和数”并说理； ②证明：若n是一个k阶“汇和数”，则是一个阶“汇和数”． 2．（25-26八年级上·河南南阳·期末）在实数范围内定义运算“”，其法则为． (1)求方程的解； (2)若，则_____． 3．（24-25七年级上·浙江杭州·期中）对于任意有理数m，n定义一种新运算：． (1)若，，求的值； (2)已知点A，点B在数轴上表示的数分别为，x，且A，B两点的距离是7，y是的相反数，求的值． 【拓展训练二 与实数运算相关的规律题】 【例1】（25-26七年级上·浙江金华·期中）设，，，…，，则+…+的值为（　　） A． B． C． D． 【例2】（25-26八年级上·黑龙江绥化·月考）观察下列各式：    请你根据以上三个等式提供的信息归纳：根据你的观察、猜想，写出一个用n（n为正整数）表示的等式：__________________． 1．（24-25八年级上·江苏·月考）观察：．．．通过观察，当时，求：的值． 2．（24-25八年级上·广东茂名·期中）阅读下列解题过程，解答问题． ； ； ； … (1) ， ； (2)观察上面的解题过程，求（为自然数）； (3)计算： ． 3．（2025七年级下·江苏常州·专题练习）计算： A基础训练 1．（24-25七年级下·广西南宁·月考）下列结论不正确的是（    ） A． B． C． D． 2．（25-26七年级下·江苏常州·课后作业）比较下列各组数的大小，错误的是（   ） A． B． C． D． 3．（25-26八年级上·河北邯郸·期末）如图，在数轴上表示实数的可能是（   ） A．点 B．Q点 C．M点 D．N点 4．（24-25八年级上·广东佛山·期末）在如图所示的运算程序中，输入的值是时，输出的值是（   ） A． B． C． D． 5．（25-26七年级上·山东临沂·期末）若是不等于1的实数，我们把称为的差倒数，如2的差倒数是，的差倒数为，现已知，是的差倒数，是的差倒数，是的差倒数，…，依此类推，则的值为（   ） A． B． C． D．4 B 提高训练 6．（25-26七年级下·江苏常州·课后作业）在数0.66，，，π，，，0.313113…（每两个3之间依次增加一个1）中，无理数有________个． 7．（24-25七年级上·江苏常州·月考）把下列各数分别填入相应的集合里． ﹣5，|﹣|，0，，+1.99，﹣（﹣6），π，﹣2.101001…（两个1之间的0依次多1） （1）正数集合：{　 　…} （2）整数集合：{　 　…} （3）分数集合：{　 　…} （4）无理数集合：{　 　…}． 8．（25-26八年级上·吉林长春·月考）下列说法： ①的小数部分是；②平方根与立方根等于它本身的数是0和1； ③的立方根是；④是7的平方根；⑤；⑥的算术平方根是2． 其中正确的有______．（填序号） 9．（25-26八年级上·江西吉安·月考）定义新运算：对于任意实数、，都有，比如，数字和在该新运算下的结果为，计算过程如下：，则的值为______． 10．（25-26八年级上·福建泉州·月考）如图，通过画边长为1的正方形，就能准确地把表示在数轴上点处，记右侧最近的整数点为，以点为圆心，为半径画半圆，交数轴于点，记右侧最近的整数点为；以点为圆心，为半径画半圆，交数轴于点，…，如此继续，则的长为______． C 培优训练 11．（2026七年级下·江苏常州·专题练习）把下列各数分别填在相应的集合中： ，，，，，，0，，，0.2020020002…（相邻的两个2之间依次多一个0）． 有理数集合：{                            …}； 无理数集合：{                            …}； 正实数集合：{                            …}； 负实数集合：{                            …}． 12．（25-26七年级下·江苏常州·课后作业）判断下列说法是否正确．若正确，请说明理由；若不正确，请举例说明． (1)已知两个实数a，b，则． (2)两个无理数的和一定是无理数． 13．（25-26八年级上·江苏常州·月考）阅读材料：，的整数部分为2，的小数部分为． (1)的小数部分是多少？ (2)已知a是的整数部分，b是的小数部分，求代数式的值． 14．（25-26八年级上·江苏连云港·期中）如图是一个数值转换器（） (1)当输入的为时，输出的值是________； (2)若输入实数后，始终输不出值，则所有满足要求的的值为________； (3)若输出的是，求的负整数值． 15．（24-25七年级下·广东湛江·月考）对于含算术平方根的算式，在有些情况下，可以不需要计算出结果也能将算术平方根符号去掉，例如：， 观察上述式子的特征，解答下列问题： (1)把下列各式写成去掉算术平方根符号的形式（不用写出计算结果）： ______________；______________． (2)当时，______________；当时，______________． (3)计算：． 学科网（北京）股份有限公司 $