专题02 立方根重难点题型专训（3个知识点+7大题型+3大拓展训练+自我检测）-2025-2026学年七年级数学下册重难点专题提升精讲精练（人教版）

专题02 立方根重难点题型专训 （3个知识点+7大题型+3拓展训练+自我检测） 题型一 立方根的概念 题型二 求一个数的立方根 题型三 已知一个数的立方根，求这个数 题型四 与立方根有关的规律探索 题型五 立方根的实际应用 题型六 算术平方根和立方根的综合应用 题型七 利用计算器计算平方根和立方根 拓展训练一 立方根的化简与计算题 拓展训练二 与立方根有关的解方程题型 拓展训练三 立方根的综合应用 知识点一：立方根 1.一般地，如果，那么x叫做a的立方根. 2.数a的立方根记作“”，读作“三次根号a”. 3.这里a的取值可以是正数、负数或0，且根指数3不能省略. 【即时训练】 1．（2025七年级下·江苏南京·专题练习）一般地，如果（为正整数，且），那么叫做的次方根．下列结论中正确的是（    ） A．32的5次方根是2 B．16的4次方根是2 C．的立方根是4 D．5的平方根是 【答案】A 【分析】本题考查次方根的定义，根据定义求解即可． 【详解】解：A、，32的5次方根是，故本选项符合题意； B、，16的4次方根是，故本选项不符合题意； C、，的立方根是，故本选项不符合题意； D、5的平方根是，故本选项不符合题意． 故选：A． 2．（24-25七年级下·江苏无锡·课前预习）一般地，如果一个数的立方等于a，这个数就叫做a的______，也叫做a的______． 一个数a的立方根，用符号“______”表示，读作“______”，其中a是被开方数，3是______．例如：表示－8的立方根，＝______．中的根指数3______省略． 【答案】 立方根 三次方根 三次根号a 根指数 -2 不能 【解析】略 知识点二：立方根的性质 正数的立方根是正数，负数的立方根是负数，0的立方根是0. 1.平方根与立方根的区别与联系 关系 名称 平方根 立方根 区别 个数不同 正数有两个平方根，它们互为相反数；0的平方根是0；负数没有平方根 正数的立方根是一个正数，0的立方根是0，负数的立方根是一个负数 表示方法 非负数a的平方根表示为，根指数是2，常省略不写 数a的立方根表示为，根指数是3，不能省略不写 被开方数的取值范围 在中，a是非负数，即 在中，a是任意数 联系 转化条件 都可以转化为非负数的非负方根来研究，平方根转化为算术平方根来研究，负数的立方根可以转化为其相反数的立方根来研究. 2.立方根等于本身的有0和. 3.互为相反数的两个数，它们的立方根也互为相反数. 4.，. 【即时训练】 1．（25-26八年级上·吉林长春·月考）下列说法正确的是（    ） A．的平方根是 B． C．的立方根是 D．0没有立方根 【答案】A 【分析】本题考查平方根和立方根的计算． 根据平方根和立方根的概念计算即可． 【详解】解：A．，4的平方根为，选项正确，符合题意． B．，选项错误，不符合题意． C．的立方根是，选项错误，不符合题意． D．0的立方根是0，选项错误，不符合题意． 故选：A． 2．（24-25七年级下·广西桂林·月考）若a、b互为相反数，c为27的立方根，则_____ 【答案】 【分析】本题考查相反数的性质和立方根的定义，实数的相关概念及性质．根据相反数的性质及立方根定义求得，的值，然后将原代数式变形为后代入数值计算即可． 【详解】解：、互为相反数， ， 为27的立方根， ， 则 ， 故答案为：． 知识点三：开立方 1.求一个数a的立方根的运算叫做开立方，其中a叫做被开方数. 【即时训练】 1．（24-25七年级下·江苏无锡·期末）开立方，结果是（    ） A． B．4 C． D． 【答案】C 【分析】本题考查求一个数的立方根，根据立方根的定义，进行求解即可． 【详解】解：； 故选：C． 2．（24-25七年级下·河北邢台·期中）根据图中呈现的开立方运算关系，可以得出______；______． 【答案】 【分析】本题考查了求一个数的立方根，根据运算关系可得，，进而可求得a、b． 【详解】解：由题意得，，， ， ， 故答案为：，． 【经典例题一 立方根的概念】 【例1】（24-25八年级上·陕西咸阳·期末）下列说法中正确的是（    ） 的立方根是；的立方根是；无立方根；互为相反数的数的立方根也互为相反数． A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了立方根的概念，掌握立方根的概念是解答本题的关键． 根据立方根的概念逐个判断即可解答． 【详解】解：的立方根是，故正确； 的立方根是故错误； 有立方根，故错误； 互为相反数的两个数的立方根也互为相反数，故正确； 所以正确的说法有：， 故选：C． 【例2】（2025·上海·模拟预测）若，则__________ 【答案】4 【分析】本题考查了算术平方根和立方根．熟练掌握算术平方根和立方根定义，幂的运算法则，是解题的关键． 由已知得，得，即得． 【详解】解：∵，且， ∴． ∴． ∴． 故答案为：4． 1．（24-25八年级上·辽宁沈阳·月考）类比平方根和立方根，我们定义n次方根为：一般地，如果，那么x叫a的n次方根，其中，且n是正整数．例如：因为，所以±3叫81的四次方根，记作：，因为，所以叫的五次方根，记作：，下列说法不正确的是（　　） A．负数a没有偶数次方根 B．任何实数a都有奇数次方根 C． D． 【答案】D 【分析】利用n次方根的定义逐项判断即可解答． 【详解】解：∵任何实数的偶数次都是非负数， ∴负数a没有偶数次方根， ∴A选项的结论不符合题意； ∵任何实数a都有奇数次方根， ∴B选项的结论不符合题意； ∵， ∴， ∴C选项的结论不符合题意； ∵， ∴， ∴D选项的结论符合题意， 故选：D． 【点睛】本题主要考查了方根的意义，理解并熟练应用n次方根的定义是解题的关键． 2．（2025八年级上·江苏·专题练习）已知，则的立方的平方根是 ___________． 【答案】 【分析】本题考查立方根、平方根、非负数的性质，根据当几个非负数的和为0时，则其中的每一项都必须等于0，求得，，再求的立方的平方根即可． 【详解】解：∵，，， ∴，， ∴，， ∴的立方， ∴的立方的平方根是． 故答案为：． 3．（25-26八年级上·上海闵行·期中）认真阅读下面的材料，再解答问题． 根据平方根和立方根的定义，我们可以类比得到四次方根和五次方根的定义：一般地．如果一个数的四次方等于，即，那么这个数叫作的四次方根．依照上述材料，我们也可以得到五次方根的定义． (1)81的四次方根为_______；的五次方根为_______； (2)若有意义，则的取值范围是______；若有意义，则的取值范围是_______； (3)求的值：． 【答案】(1)； (2)；任意实数 (3)或 【分析】本题考查了平方根和立方根，熟练掌握相关定义是解此题的关键． （1）根据，，，并结合题意即可得解； （2）根据四次方根和三次方根的意义解答即可； （3）根据四次方根的定义计算即可得解． 【详解】（1）解：∵，， ∴81的四次方根为， ∵， ∴的五次方根为， 故答案为：；； （2）解：若有意义，则， 故的取值范围是； 若有意义，则的取值范围是任意实数， 故答案为：；任意实数； （3）解：∵， ∴， ∴， ∴或， ∴或． 【经典例题二 求一个数的立方根】 【例1】（24-25七年级下·浙江温州·期中）阅读材料，回答下列小题． 某种微生物的数量随时间呈指数增长，经过t小时培养后数量为，其中为微生物的初始数量，为每小时微生物数量的增长倍数（）． 例：当时，经过4小时后微生物的数量为． 若微生物的初始数量为2个，培养3小时后的数量为个，则的值为（    ） A．2 B．4 C．6 D．8 【答案】B 【分析】本题主要考查了求一个数的立方根，根据指数增长模型，代入已知条件建立方程并求解． 【详解】解：已知初始数量，经过小时培养后的数量为． 根据公式， 代入数据得： 两边同时除以2，化简为： 计算， 则． 因此，的值为4， 故选：B． 【例2】（24-25七年级下·福建莆田·月考）若，则立方根为_____． 【答案】 【分析】本题考查了算术平方根的非负性，平方的非负性，以及立方根，解题的关键在于熟练掌握相关知识． 先根据非负性列式求出的值，进而得到的值，再利用立方根定义求解，即可解题． 【详解】解：∵， 且， 解得：，， 则， 则的立方根为； 故答案为：． 1．（25-26七年级下·江苏无锡·课后作业）给出下列各式：，，，．其中正确的个数是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】本题考查了立方根的定义与计算，掌握通过计算立方值来验证立方根的正确性是解题的关键． 逐一验证每个立方根表达式是否正确． 【详解】解：对于第一个：∵ ，且 ，∴ 正确； 对于第二个：∵ ，且 ，∴ 正确； 对于第三个：∵ ，∴ ，错误； 对于第四个：∵ ，∴ ，∴ 错误； 综上，正确的个数为． 故选：B． 2．（25-26八年级上·上海·期中）定义：用表示一个数对，其中a为任意数，．记，，将数对和称为数对的一对“开方对称数对”．例如：数对的开方对称数对为和．若数对的一个开方对称数对是，则的值是________． 【答案】141 【分析】本题主要考查了立方根、算术平方根的定义，熟练掌握“开方对称数对”的定义以及立方根、算术平方根的运算规则是解题的关键． 根据“开方对称数对”的定义，分两种情况讨论，判断哪种情况符合条件，进而求出、的值，最后计算． 【详解】情况一：若， ∵， ∴． ∵， ∴，但时，矛盾，无解． 情况二：若 ∵， ∴，即，故． ∵， ∴， ∴． ∴． 故答案为：． 3．（24-25八年级上·山东威海·期末）按要求完成下列各题： (1)已知是的算术平方根，是的立方根，求的值． (2)已知一个正数的两个平方根分别是与，求这个正数． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了算术平方根，立方根，平方根的计算． （1）根据算术平方根和立方根的定义求出和的值，代入表达式计算； （2）利用正数的两个平方根互为相反数的性质列方程求解，再求这个正数． 【详解】（1）解：是的算术平方根，． 是的立方根，． （2）解：一个正数的两个平方根互为相反数， ． 整理得， 解得． 一个平方根为， 这个正数为． 【经典例题三 已知一个数的立方根，求这个数】 【例1】（24-25七年级下·青海果洛·期末）若，则b的值为（    ） A．8 B． C．4 D． 【答案】B 【分析】根据立方根的定义判断答案． 【详解】 故选B． 【点睛】本题考查立方根的定义，熟知立方根的定义是解题的关键 【例2】（24-25七年级下·江西南昌·期中）已知，则的值为___________ 【答案】或2或3 【分析】本题考查立方根的性质，根据题意得到，结合立方根等于本身的数有，进行求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴或， ∴或或； 故答案为：或2或3． 1．（25-26八年级上·江苏连云港·期末）正整数、分别满足，，则（   ） A．4 B．8 C．9 D．16 【答案】D 【分析】本题主要考查了算术平方根和立方根的估算，通过估算立方根和平方根的范围，确定正整数 a 和 b 的值，然后计算即可． 【详解】解：∵，， ∴，， ∵正整数a、b分别满足，， ∴， ∴， 故选：D． 2．（24-25七年级下·江西赣州·期末）已知的平方根是，的立方根是，则的值是______． 【答案】 【分析】本题考查了平方根和立方根，代数式求值，根据平方根和立方根的定义可得，，进而求出的值，再把的值代入到代数式计算即可求解，掌握平方根和立方根的定义是解题的关键． 【详解】解：∵的平方根是，的立方根是， ∴，， ∴，， ∴， 故答案为：． 3．（24-25八年级上·河南平顶山·期中）我们知道的立方根是，可以表示为 反之 16 的平方根是，可以表示为 反之 根据立方根和平方根的含义，完成下面问题： (1)表示的含义是什么？ 表示的含义是什么？ (2)表示的含义是什么？ (3)若 求的值和的平方根． 【答案】(1)表示125的立方根，表示的立方根 (2)表示的算术平方根 (3)；的平方根为 【分析】本题主要考查了立方根、平方根、算术平方根及代数式的求值，熟练掌握相关概念进行求解是解决本题的关键． （1）根据立方根的概念解答即可； （2）根据算术平方根的概念解答即可； （3）先根据立方根，算术平方根的概念求出，然后代入和求解即可． 【详解】（1）表示125的立方根，表示的立方根． （2）表示的算术平方根． （3）因为， 所以， 所以， 所以，， 所以． 【经典例题四 与立方根有关的规律探索】 【例1】（25-26七年级上·山东淄博·月考）如果，，那么约等于（　　） A．28.2 B．0.2872 C．13.33 D．0.1333 【答案】C 【分析】本题考查立方根的性质，被开方数的小数点向左（或向右）每移动3位，其立方根也相应向左（或向右）移动1位．据此即可解答． 【详解】解：∵， ∴． 故选：C． 【例2】（25-26七年级下·江苏无锡·课后作业）观察．推测：若，则_____． 【答案】0 【分析】本题考查了算术平方根和立方根的应用，掌握小数点的移动规律是解题的关键．通过比较已知近似值中小数点的移动规律，推断出 x 和 y 的值与 6.137 相关，进而计算． 【详解】解：由已知和， 可得， 因此， 故， 同理，由和， 可得， 因此， 故， 于是， 所以， 故答案为 0． 1．（2025八年级上·湖南邵阳·模拟预测）若，，那么等于（ ） A．57.68 B．115.36 C．26.776 D．53.552 【答案】C 【分析】本题主要考查了立方根，根据立方根的性质：立方根中，被开方数的小数点每向右移动三个单位，它的立方根的小数点向相同的方向移动一位，即可求解． 【详解】解：∵， ∴， 故选：C． 2．（24-25七年级下·重庆渝北·期末）求59319的立方根，解答如下： ①，又，，∴能确定59319的立方根是个两位数． ②59319的个位数是9，又，∴能确定59319的立方根的个位数是9． ③划去59319后面的三位319得到数59，而，则，可得，由此能确定59319的立方根的十位数是3，因此59319的立方根是39．根据以上步骤求出314432的立方根是__________． 【答案】68 【分析】本题考查立方根，根据题意所给方法确定314432的立方根是个两位数，再确定个位、十位上的数，即可解答． 【详解】解：， 又， ， ∴能确定314432的立方根是个两位数． 314432的个位数是2， 又， ∴能确定314432的立方根的个位数是8． 划去314432后面的三位432得到数314，而，则， 可得，由此能确定314432的立方根的十位数是6， 因此314432的立方根是68， 故答案为68． 3．（25-26八年级上·河南郑州·期中）观察如表，并解答下列问题． a 1 1000 1000000 ______ ______ 100 【规律总结】 （1）①请补全如表； ②根据如表，可以得到被开方数和它的立方根之间小数点的变化规律：若被开方数的小数点向右（或向左）移动三位，则它的立方根的小数点就相应地向右（或向左）移动______位； 【规律应用】 （2）已知，，． ①______； ②用铁皮制作一个封闭的正方体，使它的体积为3000立方米，则需要多大面积的铁皮？（保留整数） 【答案】（1）①见解析；②1；（2）①；②1248平方米． 【分析】本题考查立方根，理解立方根的定义是正确解答的关键． （1）根据立方根的定义求出1，1000的立方根即可，； （2）①根据规律得到即可；②根据规律求出的值，再根据正方体表面积的计算方法求出表面积即可． 【详解】解：（1）①，， 补全表格如下： a 1 1000 1000000 1 10 100 ②根据如表，可以得到被开方数和它的立方根之间小数点的变化规律：若被开方数的小数点向右或向左移动三位，则它的立方根的小数点就相应地向右或向左移动1位， 故答案为：1； （2）①， 故答案为：； ②正方体的体积为3000立方米， 正方体的棱长为：米 需要铁皮的面积为平方米 【经典例题五 立方根的实际应用】 【例1】（24-25八年级上·山西晋中·期中）小华制作了一个棱长为的正方体，小夏也准备制作一个正方体，其体积是小华制作的正方体体积的8倍，则小夏制作的正方体的棱长为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了立方根的定义的应用，正方体的体积等知识点，根据正方体的体积公式计算出这个正方体的体积，再根据立方根的定义解答，熟练掌握立方根的定义并能灵活运用是解决此题的关键． 【详解】∵小华制作了一个棱长为的正方体，小夏制作的正方体体积是小华制作的正方体体积的8倍， ∴小夏制作的正方体体积是， ∴小夏制作的正方体的棱长为， 故选：C． 【例2】 （24-25七年级下·重庆长寿·期中）已知，，，则______． 【答案】0.006137 【分析】立方根的小数点每移动一位，被开方数的小数点向相同的方向移动三位，由此即可得到答案． 【详解】解：∵，，， ∴， 故答案为：0.006137． 【点睛】本题考查立方根，熟练掌握被开方数与立方根的小数点的移动规律是解题的关键． 1．（24-25七年级下·安徽滁州·月考）小美和小丽分别制作了一个如图所示的正方体礼盒，已知小美制作的正方体礼盒的表面积为，而小丽制作的正方体礼盒的体积比小美制作的正方体礼盒的体积大，则小丽制作的正方体礼盒的表面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了正方体的表面积和体积、算术平方根和立方根运算、乘方运算等知识，正确求得两个正方体礼盒的棱长是解题关键． 先根据正方体的表面积公式求出小美制作的正方体礼盒的棱长和体积，进而求出小丽制作的正方体礼盒的体积和棱长，即可得解． 【详解】解：设小美正方体棱长为，， 得，， 小美制作的正方体礼盒的棱长为：， 其体积为：， 小丽制作的正方体礼盒的体积为：， 则小丽制作的正方体礼盒的棱长为：， 小丽制作的正方体礼盒的表面积为：； 故选：B． 2．（24-25八年级上·河南南阳·月考）每年农历八月十五是我国传统的中秋佳节，这时是一年秋季的中期，所以被称为中秋．自古便有中秋节赏月品月饼的习俗，某商店的李师傅制作的正方体月饼礼盒的体积为，而康师傅制作的正方体．月饼礼盒的体积比李师傅制作的小，则康师傅制作的正方体月饼礼盒的表面积为______· 【答案】 【分析】本题考查了立方根的应用，先根据康师傅制作的正方体月饼礼盒的体积求出边长，进而求出表面积. 【详解】解：康师傅制作的正方体月饼礼盒的边长， 所以这个表面积为 3．（25-26七年级上·浙江台州·期末）小斌对书本第页第题进行了改编，如下： 如图，一个瓶子的容积为，瓶内装着一些溶液．当瓶子正放时，瓶内溶液的高度为；倒放时，空余部分的高度为．瓶内的溶液正好倒满两个一样大的正方体容器（容器壁的厚度忽略不计）． 请解答下列问题： (1)瓶内溶液的体积是多少立方厘米？ (2)求正方体容器的棱长． 【答案】(1)立方厘米； (2)厘米． 【分析】本题考查了一元一次方程的应用以及立方根的实际应用，解题的关键是找准等量关系，正确列出方程． （1）设瓶内溶液的体积为，则空余部分的体积为，根据瓶子的容积为，即可得出关于的一元一次方程，解之即可得出结论； （2）设正方体的棱长为厘米，根据题意列出方程，解之即可得出结论． 【详解】（1）解：设瓶内溶液的体积为，则空余部分的体积为， 依题意，得：， 解得：． ， 答：瓶内溶液的体积为立方厘米． （2）解：设正方体的棱长为厘米， 据题意，得：， 解得：， 答：正方体容器的棱长为厘米． 【经典例题六 立方根的实际应用】 【例1】（2025七年级下·湖南·专题练习）一个自然数a的算术平方根为x，那么的立方根是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了算术平方根与立方根，熟练掌握算术平方根与立方根的性质是解题关键．先根据算术平方根求出，再根据立方根的性质即可得． 【详解】解：∵一个自然数的算术平方根为， ∴， ∴， ∴的立方根是， 故选：C． 【例2】（24-25七年级下·山西朔州·期中）已知的算术平方根是3，的立方根是，则___________． 【答案】5 【分析】根据算术平方根、立方根的意义求出m和n的值，然后代入即可求解． 【详解】解：的算术平方根是3， ， ， 解得． 的立方根是， ， ， 解得． ． 故答案为：5． 【点睛】本题考查算术平方根、立方根的计算，解题的关键是掌握算术平方根和立方根的定义． 1．（24-25七年级下·安徽淮南·自主招生）若，则的值为（    ） A．1 B． C．7 D． 【答案】A 【分析】本题主要考查根式的运算性质，特别是奇次根式与偶次根式的区别，以及绝对值的应用，理解相关概念是解题的关键. 【详解】解： ∵； ∴ 故选：A. 2．（24-25七年级下·安徽合肥·期末）一个正数的平方根分别是和，的立方根是，则的算术平方根为______． 【答案】 【分析】本题考查平方根、立方根的综合运用，先由题意，结合平方根与立方根定义分别求出值，代入求值后由算术平方根定义求解即可得到答案．熟记平方根、立方根定义是解决问题的关键． 【详解】解：一个正数的平方根分别是和， 分两种情况：①；②； 当时，方程无解； 当时，解得； 的立方根是， ，解得； ， 则的算术平方根为， 故答案为：． 3．（25-26七年级下·江苏无锡·课后作业）如果是的算术平方根，是的立方根，求的平方根． 【答案】 【分析】本题考查了算术平方根和立方根，熟练掌握算术平方根和立方根的相关内容是解题的关键； 根据题意列出符合题意的式子分别求出m、n的值，即可求得的平方根． 【详解】解：由题意，得， ． ， 解得， ，， ． ， 的平方根为． 【经典例题七 利用计算器计算平方根和立方根】 【例1】（25-26七年级下·江苏无锡·课后作业）利用计算器求的值，其按键顺序正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了计算器—平方根和立方根，根据无理数运算中计算器的使用法则可知，是先是，再按8，是先按键，再按，再按6，即可作答． 【详解】解：利用计算器求的值，其按键顺序正确的是， 故选：A． 【例2】（24-25七年级上·山东烟台·期末）利用课本上的计算器进行计算，其按键顺序如下： 则输出的结果是______． 【答案】16 【分析】本题考查的是计算器的使用，熟练掌握计算器的使用是关键．求一个数的立方根的平方，根据计算器的按键代表的运算，列出算式可得答案． 【详解】解：根据按键顺序可知：， 故答案为：． 1．（2025·山东临沂·一模）下列关于计算器的按键说法中，错误的是（   ） A．按键显示结果：2 B．按键显示结果：64 C．用计算器求的值时，按键顺序是 D．用计算器求的值时，按键顺序是 【答案】D 【分析】本题主要考查了利用计算器进行有理数的相关运算，解题的关键是掌握科学计算器中各按键的功能． 根据计算器的按键对应的功能即可求解． 【详解】 解：A．按键显示结果：2，正确，不符合题意； B．按键显示结果：64，正确，不符合题意；     C．用计算器求的值时，按键顺序是，正确，不符合题意； D．用计算器求的值时，按键顺序是，故原选项错误，符合题意． 故选：D． 2．（24-25七年级下·湖北武汉·期中）某计算器上的三个按键、、的功能分别是：将屏幕显示的数变成它的算术平方根；将屏幕显示的数变成它的倒数；将屏幕显示的数变成它的平方．小明输入一个数x后，依次按照如下图所示的三步循环重复按键，若第2021次按键后，显示的结果是4，则输入的数x是______． 【答案】 【分析】根据题意分别计算出第1、2、3、4、5、6步显示结果，从而得出数字的循环规律，利用周期规律求解可得． 【详解】解：由题意知第1步结果为x2， 第2步结果为， 第3步结果为=， 第4步结果为， 第5步结果为x2， 第6步计算结果为x， 第7步计算结果为x2， …… ∴运算的结果以x2，，，，x2，x六个数为周期循环， ∵2021÷6=336……5， ∴第2021步之后显示的结果为4，即x2=4， ∴输入的数x是±2， 故答案为：±2． 【点睛】本题考查了计算器，通过列举发现：答案按照x2，，，，x2，x六个数循环，这是解题的关键． 3．（25-26七年级下·江苏无锡·课后作业）老师给小明布置了一个额外的任务，设x，y，z是三个连续整数的平方，已知，求y，并要求小明使用老师准备的计算器作答．小明边按计算器边说：“老师，你的计算器坏了，根号键不能用．”小明发现老师给他的是一个捉弄人的计算器．“是吗？其他键能用吗？”小明试了试其他键说：“其他键都是好的．”“那你能在之内给我答案吗？”请你帮小明想想办法． 【答案】 【分析】本题考查了算术平方根的应用，熟练掌握算术平方根是解题关键．求出，则可得两种情况：①这三个连续整数为，②这三个连续整数为，分别计算每个整数的平方，由此即可得． 【详解】解：∵是三个连续整数的平方，且，，，， ∴， 又∵是三个连续整数的平方， ∴①当这三个连续整数为时，，舍去； ②当这三个连续整数为时，，，符合题意； 则． 【拓展训练一 立方根的化简与计算题】 【例1】（24-25七年级下·广西钦州·期中）化简的结果为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了立方根的定义，解题的关键是熟练掌握“一般地，如果一个数x的立方等于a，那么这个x叫做a的立方根”，据此求解即可． 【详解】． 故选：A． 【例2】（24-25八年级上·陕西咸阳·月考）化简：______，______． 【答案】 【分析】先将带分数化为假分数，再根据立方根的定义进行化简．本题主要考查了立方根的定义以及带分数与假分数的互化，熟练掌握立方根的定义是解题的关键． 【详解】解：，， 故答案为：，． 1．（25-26七年级下·江苏无锡·课后作业）化简： (1)________，________，________，________； (2)__________，__________，__________，__________； (3)根据以上信息，观察图中数轴上所在位置，化简． 【答案】(1)2，2，0， (2)3，，0，a (3) 【分析】本题主要考查了算术平方根，立方根，数轴等内容，解题的关键熟练掌握以上概念． （1）利用算术平方根的运算法则进行计算即可； （2）利用立方根的运算法则进行计算即可； （3）先根据数轴确定的取值范围，然后利用算术平方根和立方根的运算法则进行计算即可． 【详解】（1）解：；；；； 故答案为：2，2，0，； （2）解：；；；； 故答案为：3，，0，a； （3）解：由数轴可得， ． 2．（24-25七年级下·广东惠州·月考）化简求值：． 【答案】 【分析】本题考查有理数的乘方，算术平方根、立方根的定义，根据有理数的乘方，算术平方根、立方根的定义将原式化简，再进行加减运算即可．掌握相应的运算法则、定义及运算顺序是解题的关键． 【详解】解： ． 3．（24-25七年级下·广东汕头·月考）化简： (1) (2) 【答案】(1)1 (2)9 【分析】本题考查了求立方根，算术平方根，化简绝对值，解题的关键是掌握相应的运算法则； （1）去绝对值符号后，再算加减运算； （2）先算立方根，算术平方根，再算加法． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 【拓展训练二 立方根的化简与计算题】 【例1】（24-25七年级下·上海浦东新·期末）方程的解是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先移项，把方程化为，再解方程即可. 【详解】解：∵， ∴， 解得：， 故选C 【点睛】本题考查的是利用立方根的含义解方程，掌握立方根的含义是解本题的关键. 【例2】（24-25七年级上·黑龙江哈尔滨·期末）实数满足方程，则的值为________． 【答案】 【分析】移项，再开立方即可求解． 【详解】解：， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查了立方根，解题的关键是掌握立方根的求法． 1．（24-25七年级下·青海海西·期中）求下列方程中的 (1)； (2)． 【答案】(1)或 (2) 【分析】本题考查了利用平方根和立方根解方程． （1）根据开方运算，可得一元一次方程，根据解一元一次方程，可得答案； （2）根据等式的性质，可化简成乘方的形式，根据开方运算，可得答案． 【详解】（1）解：， 开方，得或， 解得：或； （2）解：， 两边都除以，得， 开方，得， 解得：． 2．（24-25八年级上·江苏宿迁·月考）已知某正数的两个平方根分别是和，64的立方根为，关于x的方程满足 (1)求a，b，x的值； (2)求的算术平方根． 【答案】(1) (2)或 【分析】本题考查平方根，立方根和算术平方根，熟练掌握平方根，算术平方根，立方根的概念，是解题的关键： （1）根据平方根的性质，立方根的定义，进行求解，利用平方根解方程即可； （2）根据算术平方根的定义进行求解即可． 【详解】（1）解：由题意，得：， ∴， ∵， ∴； （2）∵， ∴当时， 当时，， ∴的算术平方根为或． 3．（24-25七年级下·四川广元·期末）在数学主题乐园，正方形迷宫边长对应正数的平方根分别是和，解出b才能进入，穿过迷宫来到宝藏密室，门锁密码由125的立方根a组成．进入密室后，需解出关于x的方程，才能兑换奖励． (1)求a， b， x的值； (2)将奖励存入边长为的正方体盒子，若盒子体积比大k，求的算术平方根． 【答案】(1)，， (2)6 【分析】本题考查了平方根、立方根的应用等知识，解题的关键是： （1）根据平方根的定义求出b，根据立方根的定义求出a，然后把a代入方程，最后解方程求出x即可； （2）先求出k的值，然后根据算术平方根的定义求解即可． 【详解】（1）解：∵正方形迷宫边长对应正数的平方根分别是和， ∴， ∴， ∵a是125的立方根， ∴， ∴方程变形为， 解得； （2）解：根据题意，得， ∴的算术平方根为． 【拓展训练三 立方根的综合应用】 【例1】（24-25七年级上·浙江杭州·期中）已知的算术平方根是，的立方根是，的平方根是，的立方根是，则和分别是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用算术平方根和平方根，立方根的性质，可得到的值，由此可得到与和与的关系 【详解】解：∵的算术平方根是，的立方根是，的平方根是，的立方根是， ∴， ∴． 故选：C． 【点睛】本题考查了算术平方根和平方根，立方根的性质，得出与和与的关系是解题的关键． 【例2】（24-25七年级上·浙江绍兴·期末）一个长、宽、高分别为，，的长方体铁块可以锻造为一个边长为______的立方体铁块（不计锻造过程中的损耗）． 【答案】 【分析】本题考查了立方根的应用，设立方体的棱长为，设立方体的棱长为，则，根据立方根的概念求解即可，正确理解立方根的概念是解题的关键． 【详解】解：设立方体的棱长为， 则， ∴， ∴， ∴立方体棱长为， 故答案为：． 1．（25-26七年级上·浙江台州·期末）已知的算术平方根是3，的立方根是1，a与c互为相反数． (1)求出a，b，c的值； (2)求的平方根． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了算术平方根，平方根，立方根和相反数： （1）根据算术平方根和立方根的定义得到，，据此可求出a、b，再根据只有符号不同的两个数互为相反数求出c即可； （2）根据（1）所求求出的值，进而求出的平方根即可． 【详解】（1）解：∵的算术平方根是3， ∴， ∴； ∵的立方根是1， ∴， ∴； ∵与互为相反数， ∴； （2）解：∵， ∴， ∴的平方根为． 2．（25-26七年级下·江苏无锡·周测）如图，有一个长方体水池的长、宽、高之比为2：2：4，其体积为． (1)求长方体水池的长、宽、高． (2)把这个长方体水池注满水，当有一个半径为的球放入水池中时（球全部没入水中），溢出的水的体积为水池体积的，求该小球的半径（球的体积公式：，其中r为球的半径，π取3，结果精确到）． 【答案】(1)长、宽、高分别为，， (2) 【分析】此题主要考查了立方根的计算以及长方体体积公式，熟练掌握长方体体积公式是解题关键． （1）设长方体水池的长、宽、高分别为，，，根据题意体积为列出方程，然后利用立方根的定义求得的值后分别代入，中计算即可； （2）根据题意列式，利用立方根的定义求得的值并精确到即可． 【详解】（1）解：∵长方体水池的长、宽、高之比为2∶2∶4，其体积为， ∴设长方体水池的长、宽、高分别为，，， ， ， ， 解得， ，， 故长方体水池的长、宽、高分别为，，． （2）解：已知该小球的半径为， 则， ， ． 故该小球的半径约为． 3．（24-25八年级上·湖南郴州·期末）计算下表中各式的值，并将结果填在相应的空格中 式子 …… …… 结果 …… …… 根据你发现的规律，先完成上表，并直接填写下列两个小题的答案： (1) (2)若，则 参考值：，  ，   【答案】(1) (2)6180 【分析】本题主要考查了立方根的性质： （1）根据表格可得被开方数的小数点向右（或向左）移动3位，则它的立方根的小数点向右（或向左）移动1位，即可求解； （2）根据（1）中的规律解答即可． 【详解】（1）解：完成表格，如下： 式子 …… …… 结果 …… 6 60 …… 由此发现，被开方数的小数点向右（或向左）移动3位，则它的立方根的小数点向右（或向左）移动1位； ∵， ∴； 故答案为：； （2）解：∵， ∴． 故答案为：6180． A基础训练 1．（24-25八年级上·吉林长春·期末）关于立方根，下列说法正确的是（　　） A．正数有两个立方根 B．立方根等于它本身的数只有 C．负数的立方根是负数 D．负数没有立方根 【答案】C 【分析】此题考查了立方根，熟练掌握立方根的定义是解本题的关键． 各项利用立方根定义判断即可． 【详解】解：A、正数有一个立方根，错误； B、立方根等于本身的数有，，，错误； C、负数的立方根是负数，正确； D、负数有立方根，错误， 故选：C． 2．（24-25八年级上·山东枣庄·期中）已知x为实数，且﹣＝0，则x2＋x﹣3的算术平方根为（    ） A．3 B．2 C．3和﹣3 D．2和﹣2 【答案】A 【分析】根据立方根的性质，可得x﹣3＝2x+1，解出 ，再由算术平方根的性质，即可求解． 【详解】解：∵﹣＝0， ∴． ∴x﹣3＝2x+1． ∴x＝﹣4． ∴x2+x﹣3＝16﹣4﹣3＝9． ∴x2+x﹣3的算术平方根为． 故选：A． 【点睛】本题主要考查了立方根和算术平方根的性质，熟练掌握立方根和算术平方根的性质是解题的关键． 3．（24-25七年级下·福建福州·期中）若a的算术平方根为17.25，b的立方根为；x的平方根为，y的立方根为86.9，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据平方根、算术平方根和立方根的定义求出a、b、x、y的值，再找出关系即可． 【详解】解：∵a的算术平方根为17.25，b的立方根为-8.69， ∴a=297.5625，b=-656.234909． ∵x的平方根为±1.725，y的立方根为86.9， ∴x=2.975625，y=656234.909， ∴． 故选：A． 【点睛】本题考查了对平方根、算术平方根和立方根的运用．解题的关键是掌握平方根、算术平方根和立方根的定义． 4．（25-26七年级下·江苏无锡·单元测试）小明在用计算器计算一个无理数的近似值时，不慎将墨水滴在了算式上，只能看到如下内容：，则涂黑的部分应为（    ） A．200 B．350 C．490 D．500 【答案】B 【分析】本题考查立方根，分别求各选项的立方根即可求解． 【详解】解：A、，与7相差较大，故不符合题意； B、，最接近7，故符合题意； C、，与7相差较大，故不符合题意； D、，与7相差较大，故不符合题意； 故选：B． 5．（25-26八年级上·河北石家庄·期中）如图是由大小相同的小正方体搭成的几何体．如果这个几何体的体积为，那么每个小正方体的棱长为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了立方根的实际应用，解题关键是掌握上述知识点并能运用求解． 先求出大正方体的棱长，即可求出每个小正方体的棱长． 【详解】解：根据题意得几何体的边长为， 每个小正方体的棱长为， 故选：B． B 提高训练 6．（25-26七年级下·江苏无锡·课后作业）下列等式：①；②；③；④，不成立的是________．（请填写序号） 【答案】③ 【分析】本题主要考查了立方根的运算，解题的关键是掌握立方根的性质和运算法则． 利用立方根的性质和运算法则逐项进行判断即可． 【详解】解：①，成立； ②，成立； ③，不成立； ④，成立． 故答案为：③． 7．（25-26八年级上·陕西西安·期中）已知m，n为实数，若，则的算术平方根为______． 【答案】 【分析】本题考查了立方根的性质． 利用立方根的性质，将方程转化为一元一次方程，求解的值，再求其算术平方根． 【详解】解：由， 得， 两边立方，得， 整理得， 即， 所以． 故的算术平方根为． 故答案为：． 8．（24-25七年级下·河南商丘·期中）已知，，依据立方根运算规律得：______． 【答案】 【分析】本题考查了实数的运算与立方根，根据被开方数的小数点向左或向右移动三位，立方根的小数点向左或向右移动一位，求解即可，掌握相关知识是解题的关键． 【详解】解：∵，， ∴， ∴， 故答案为：． 9．（24-25七年级上·黑龙江哈尔滨·月考）已知的平方根是，的立方根是4，是算术平方根等于自身的数，则______． 【答案】105或104 【分析】本题考查平方根、算术平方根与立方根，解题的关键是理解算术平方根等于自身的数存在0与1两种情况．     根据平方根、算术平方根与立方根的定义分别计算出a、b、c的值，再代入代数式求值即可． 【详解】由题意可知： 解得：或． ∴， 或． 故答案为：105或104． 10．（24-25七年级下·江苏无锡·课后作业）某品牌的计算器上有三个并列的按键，是算术平方根按键；是倒数按键；是平方按键．计算器显示屏上现在显示100这个数字，小敏第一下按，第二下按，第三下按，之后以的顺序轮流按，当他共按2023下后，该计算器显示屏上显示的数是________． 【答案】10 【解析】略 C 培优训练 11．（24-25七年级下·江苏无锡·单元测试）求下列各式中的值： (1)； (2)． 【答案】(1)； (2)． 【分析】本题考查了立方根的定义，熟练掌握立方根的定义是解此题的关键． （1）利用立方根的定义解方程即可得解； （2）由立方根的定义求解即可． 【详解】（1）解：由，得， 所以； （2）解：由，得， 所以． 12．（25-26八年级上·四川乐山·期末）已知的立方根是3，的算术平方根是4． (1)求a、b的值； (2)求的平方根． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了算术平方根定义，立方根定义，平方根定义，解题的关键是熟练掌握定义． （1）根据立方根和算术平方根定义列出方程组，解方程组即可； （2）先求出的值，然后再求出其平方根即可． 【详解】（1）解：∵的立方根是3，的算术平方根是4， ∴， 解得：； （2）解：∵， ∴． ∴的平方根是． 13．（24-25七年级下·吉林松原·期中）若实数，满足，请按要求解答下列问题： (1)若，都是整数，请写出两对符合条件的，的值． (2)若，都是分数，请写出一对符合条件的，的值． 【答案】(1)，或（答案不唯一） (2)，（答案不唯一） 【分析】本题考查了实数的运算，掌握算术平方根、立方根的意义是解题的关键． （1）根据，都是整数，利用算术平方根及立方根定义找出符合题意的值即可； （2）根据，都是分数，利用算术平方根及立方根定义找出符合题意的值即可． 【详解】（1）解：当时，则， ，则， 则符合题意， 当时，则， ，则， 则符合题意， 故，或（答案不唯一） （2）解：当时，则， ，则， 则符合题意， 故，（答案不唯一） 14．（24-25七年级下·广西南宁·期中）完善下面表格，发现平方根和立方根的规律，并运用规律解决问题． x … 64 6400 64000 … … 8 m … … n 40 … (1)表格中的______，______； (2)已知，估计和的值；(结果保留四位小数) (3)若，估计的值．（参考数据：)．（结果保留四位小数） 【答案】(1)80，4 (2)， (3) 【分析】本题考查了算术平方根，立方根的计算，及其规律的发现，熟练掌握计算方法和规律是解题的关键． （1）根据算术平方根的意义计算，根据立方根的规律求解． （2）根据表格得出算术平方根的规律，即可求解． （3）根据（2）中规律求出a，根据表格得出立方根的规律，然后求出b，即可求解． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为：80，4； （2）解：从表格数字中可以发现：开算术平方根时，被开方数的小数点每向左（或向右）移动两位，它的算术平方根的小数点随即向左（或向右）移动一位． ∵， ∴，； （3）解：根据平方根的变化规律得： ∵， ∴ 又， ∴， 从表格数字中可以发现：被开方数的小数点每向左（或向右）移动三位，它的立方根的小数点随即向左（或向右）移动一位． ∵ ∴， ∴． 15．（24-25七年级上·浙江温州·期中）如图是一块体积为216立方厘米的正方体铁块． (1)求该正方体铁块的棱长； (2)现在工厂要将这块铁块融化，重新锻造成两个棱长为2厘米的小正方体铁块和一个底面为正方形的长方体铁块，若长方体铁块的高为8厘米，求长方体铁块的底面正方形的边长． 【答案】(1)正方体铁块的棱长为厘米 (2)长方体铁块的底面正方形的边长为5厘米 【分析】本题考查立方根和算式平方根的实际应用： （1）根据正方体的体积公式进行求解即可； （2）根据总体积不变，求出长方体的体积，再根据长方体的体积公式求出底面正方形的边长即可． 【详解】（1）解：由题意，该正方体铁块的棱长为厘米； 答：正方体铁块的棱长为厘米； （2）由题意，长方体的体积为：立方厘米， ∴长方体的底面面积为：平分厘米， ∴长方体铁块的底面正方形的边长为厘米． 答：长方体铁块的底面正方形的边长为5厘米． 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题02 立方根重难点题型专训 （3个知识点+7大题型+3拓展训练+自我检测） 题型一 立方根的概念 题型二 求一个数的立方根 题型三 已知一个数的立方根，求这个数 题型四 与立方根有关的规律探索 题型五 立方根的实际应用 题型六 算术平方根和立方根的综合应用 题型七 利用计算器计算平方根和立方根 拓展训练一 立方根的化简与计算题 拓展训练二 与立方根有关的解方程题型 拓展训练三 立方根的综合应用 知识点一：立方根 1.一般地，如果，那么x叫做a的立方根. 2.数a的立方根记作“”，读作“三次根号a”. 3.这里a的取值可以是正数、负数或0，且根指数3不能省略. 【即时训练】 1．（2025七年级下·江苏南京·专题练习）一般地，如果（为正整数，且），那么叫做的次方根．下列结论中正确的是（    ） A．32的5次方根是2 B．16的4次方根是2 C．的立方根是4 D．5的平方根是 2．（24-25七年级下·江苏无锡·课前预习）一般地，如果一个数的立方等于a，这个数就叫做a的______，也叫做a的______． 一个数a的立方根，用符号“______”表示，读作“______”，其中a是被开方数，3是______．例如：表示－8的立方根，＝______．中的根指数3______省略． 知识点二：立方根的性质 正数的立方根是正数，负数的立方根是负数，0的立方根是0. 1.平方根与立方根的区别与联系 关系 名称 平方根 立方根 区别 个数不同 正数有两个平方根，它们互为相反数；0的平方根是0；负数没有平方根 正数的立方根是一个正数，0的立方根是0，负数的立方根是一个负数 表示方法 非负数a的平方根表示为，根指数是2，常省略不写 数a的立方根表示为，根指数是3，不能省略不写 被开方数的取值范围 在中，a是非负数，即 在中，a是任意数 联系 转化条件 都可以转化为非负数的非负方根来研究，平方根转化为算术平方根来研究，负数的立方根可以转化为其相反数的立方根来研究. 2.立方根等于本身的有0和. 3.互为相反数的两个数，它们的立方根也互为相反数. 4.，. 【即时训练】 1．（25-26八年级上·吉林长春·月考）下列说法正确的是（    ） A．的平方根是 B． C．的立方根是 D．0没有立方根 2．（24-25七年级下·广西桂林·月考）若a、b互为相反数，c为27的立方根，则_____ 知识点三：开立方 1.求一个数a的立方根的运算叫做开立方，其中a叫做被开方数. 【即时训练】 1．（24-25七年级下·江苏无锡·期末）开立方，结果是（    ） A． B．4 C． D． 2．（24-25七年级下·河北邢台·期中）根据图中呈现的开立方运算关系，可以得出______；______． 【经典例题一 立方根的概念】 【例1】（24-25八年级上·陕西咸阳·期末）下列说法中正确的是（    ） 的立方根是；的立方根是；无立方根；互为相反数的数的立方根也互为相反数． A． B． C． D． 【例2】（2025·上海·模拟预测）若，则__________ 1．（24-25八年级上·辽宁沈阳·月考）类比平方根和立方根，我们定义n次方根为：一般地，如果，那么x叫a的n次方根，其中，且n是正整数．例如：因为，所以±3叫81的四次方根，记作：，因为，所以叫的五次方根，记作：，下列说法不正确的是（　　） A．负数a没有偶数次方根 B．任何实数a都有奇数次方根 C． D． 2．（2025八年级上·江苏·专题练习）已知，则的立方的平方根是 ___________． 3．（25-26八年级上·上海闵行·期中）认真阅读下面的材料，再解答问题． 根据平方根和立方根的定义，我们可以类比得到四次方根和五次方根的定义：一般地．如果一个数的四次方等于，即，那么这个数叫作的四次方根．依照上述材料，我们也可以得到五次方根的定义． (1)81的四次方根为_______；的五次方根为_______； (2)若有意义，则的取值范围是______；若有意义，则的取值范围是_______； (3)求的值：． 【经典例题二 求一个数的立方根】 【例1】（24-25七年级下·浙江温州·期中）阅读材料，回答下列小题． 某种微生物的数量随时间呈指数增长，经过t小时培养后数量为，其中为微生物的初始数量，为每小时微生物数量的增长倍数（）． 例：当时，经过4小时后微生物的数量为． 若微生物的初始数量为2个，培养3小时后的数量为个，则的值为（    ） A．2 B．4 C．6 D．8 【例2】（24-25七年级下·福建莆田·月考）若，则立方根为_____． 1．（25-26七年级下·江苏无锡·课后作业）给出下列各式：，，，．其中正确的个数是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 2．（25-26八年级上·上海·期中）定义：用表示一个数对，其中a为任意数，．记，，将数对和称为数对的一对“开方对称数对”．例如：数对的开方对称数对为和．若数对的一个开方对称数对是，则的值是________． 3．（24-25八年级上·山东威海·期末）按要求完成下列各题： (1)已知是的算术平方根，是的立方根，求的值． (2)已知一个正数的两个平方根分别是与，求这个正数． 【经典例题三 已知一个数的立方根，求这个数】 【例1】（24-25七年级下·青海果洛·期末）若，则b的值为（    ） A．8 B． C．4 D． 【例2】（24-25七年级下·江西南昌·期中）已知，则的值为___________ 1．（25-26八年级上·江苏连云港·期末）正整数、分别满足，，则（   ） A．4 B．8 C．9 D．16 2．（24-25七年级下·江西赣州·期末）已知的平方根是，的立方根是，则的值是______． 3．（24-25八年级上·河南平顶山·期中）我们知道的立方根是，可以表示为 反之 16 的平方根是，可以表示为 反之 根据立方根和平方根的含义，完成下面问题： (1)表示的含义是什么？ 表示的含义是什么？ (2)表示的含义是什么？ (3)若 求的值和的平方根． 【经典例题四 与立方根有关的规律探索】 【例1】（25-26七年级上·山东淄博·月考）如果，，那么约等于（　　） A．28.2 B．0.2872 C．13.33 D．0.1333 【例2】（25-26七年级下·江苏无锡·课后作业）观察．推测：若，则_____． 1．（2025八年级上·湖南邵阳·模拟预测）若，，那么等于（ ） A．57.68 B．115.36 C．26.776 D．53.552 2．（24-25七年级下·重庆渝北·期末）求59319的立方根，解答如下： ①，又，，∴能确定59319的立方根是个两位数． ②59319的个位数是9，又，∴能确定59319的立方根的个位数是9． ③划去59319后面的三位319得到数59，而，则，可得，由此能确定59319的立方根的十位数是3，因此59319的立方根是39．根据以上步骤求出314432的立方根是__________． 3．（25-26八年级上·河南郑州·期中）观察如表，并解答下列问题． a 1 1000 1000000 ______ ______ 100 【规律总结】 （1）①请补全如表； ②根据如表，可以得到被开方数和它的立方根之间小数点的变化规律：若被开方数的小数点向右（或向左）移动三位，则它的立方根的小数点就相应地向右（或向左）移动______位； 【规律应用】 （2）已知，，． ①______； ②用铁皮制作一个封闭的正方体，使它的体积为3000立方米，则需要多大面积的铁皮？（保留整数） 【经典例题五 立方根的实际应用】 【例1】（24-25八年级上·山西晋中·期中）小华制作了一个棱长为的正方体，小夏也准备制作一个正方体，其体积是小华制作的正方体体积的8倍，则小夏制作的正方体的棱长为（   ） A． B． C． D． 【例2】 （24-25七年级下·重庆长寿·期中）已知，，，则______． 1．（24-25七年级下·安徽滁州·月考）小美和小丽分别制作了一个如图所示的正方体礼盒，已知小美制作的正方体礼盒的表面积为，而小丽制作的正方体礼盒的体积比小美制作的正方体礼盒的体积大，则小丽制作的正方体礼盒的表面积为（    ） A． B． C． D． 2．（24-25八年级上·河南南阳·月考）每年农历八月十五是我国传统的中秋佳节，这时是一年秋季的中期，所以被称为中秋．自古便有中秋节赏月品月饼的习俗，某商店的李师傅制作的正方体月饼礼盒的体积为，而康师傅制作的正方体．月饼礼盒的体积比李师傅制作的小，则康师傅制作的正方体月饼礼盒的表面积为______· 3．（25-26七年级上·浙江台州·期末）小斌对书本第页第题进行了改编，如下： 如图，一个瓶子的容积为，瓶内装着一些溶液．当瓶子正放时，瓶内溶液的高度为；倒放时，空余部分的高度为．瓶内的溶液正好倒满两个一样大的正方体容器（容器壁的厚度忽略不计）． 请解答下列问题： (1)瓶内溶液的体积是多少立方厘米？ (2)求正方体容器的棱长． 【经典例题六 立方根的实际应用】 【例1】（2025七年级下·湖南·专题练习）一个自然数a的算术平方根为x，那么的立方根是（　　） A． B． C． D． 【例2】（24-25七年级下·山西朔州·期中）已知的算术平方根是3，的立方根是，则___________． 1．（24-25七年级下·安徽淮南·自主招生）若，则的值为（    ） A．1 B． C．7 D． 2．（24-25七年级下·安徽合肥·期末）一个正数的平方根分别是和，的立方根是，则的算术平方根为______． 3．（25-26七年级下·江苏无锡·课后作业）如果是的算术平方根，是的立方根，求的平方根． 【经典例题七 利用计算器计算平方根和立方根】 【例1】（25-26七年级下·江苏无锡·课后作业）利用计算器求的值，其按键顺序正确的是（    ） A． B． C． D． 【例2】（24-25七年级上·山东烟台·期末）利用课本上的计算器进行计算，其按键顺序如下： 则输出的结果是______． 1．（2025·山东临沂·一模）下列关于计算器的按键说法中，错误的是（   ） A．按键显示结果：2 B．按键显示结果：64 C．用计算器求的值时，按键顺序是 D．用计算器求的值时，按键顺序是 2．（24-25七年级下·湖北武汉·期中）某计算器上的三个按键、、的功能分别是：将屏幕显示的数变成它的算术平方根；将屏幕显示的数变成它的倒数；将屏幕显示的数变成它的平方．小明输入一个数x后，依次按照如下图所示的三步循环重复按键，若第2021次按键后，显示的结果是4，则输入的数x是______． 3．（25-26七年级下·江苏无锡·课后作业）老师给小明布置了一个额外的任务，设x，y，z是三个连续整数的平方，已知，求y，并要求小明使用老师准备的计算器作答．小明边按计算器边说：“老师，你的计算器坏了，根号键不能用．”小明发现老师给他的是一个捉弄人的计算器．“是吗？其他键能用吗？”小明试了试其他键说：“其他键都是好的．”“那你能在之内给我答案吗？”请你帮小明想想办法． 【拓展训练一 立方根的化简与计算题】 【例1】（24-25七年级下·广西钦州·期中）化简的结果为（　　） A． B． C． D． 【例2】（24-25八年级上·陕西咸阳·月考）化简：______，______． 1．（25-26七年级下·江苏无锡·课后作业）化简： (1)________，________，________，________； (2)__________，__________，__________，__________； (3)根据以上信息，观察图中数轴上所在位置，化简． 2．（24-25七年级下·广东惠州·月考）化简求值：． 3．（24-25七年级下·广东汕头·月考）化简： (1) (2) 【拓展训练二 立方根的化简与计算题】 【例1】（24-25七年级下·上海浦东新·期末）方程的解是（   ） A． B． C． D． 【例2】（24-25七年级上·黑龙江哈尔滨·期末）实数满足方程，则的值为________． 1．（24-25七年级下·青海海西·期中）求下列方程中的 (1)； (2)． 2．（24-25八年级上·江苏宿迁·月考）已知某正数的两个平方根分别是和，64的立方根为，关于x的方程满足 (1)求a，b，x的值； (2)求的算术平方根． 3．（24-25七年级下·四川广元·期末）在数学主题乐园，正方形迷宫边长对应正数的平方根分别是和，解出b才能进入，穿过迷宫来到宝藏密室，门锁密码由125的立方根a组成．进入密室后，需解出关于x的方程，才能兑换奖励． (1)求a， b， x的值； (2)将奖励存入边长为的正方体盒子，若盒子体积比大k，求的算术平方根． 【拓展训练三 立方根的综合应用】 【例1】（24-25七年级上·浙江杭州·期中）已知的算术平方根是，的立方根是，的平方根是，的立方根是，则和分别是（   ） A． B． C． D． 【例2】（24-25七年级上·浙江绍兴·期末）一个长、宽、高分别为，，的长方体铁块可以锻造为一个边长为______的立方体铁块（不计锻造过程中的损耗）． 1．（25-26七年级上·浙江台州·期末）已知的算术平方根是3，的立方根是1，a与c互为相反数． (1)求出a，b，c的值； (2)求的平方根． 2．（25-26七年级下·江苏无锡·周测）如图，有一个长方体水池的长、宽、高之比为2：2：4，其体积为． (1)求长方体水池的长、宽、高． (2)把这个长方体水池注满水，当有一个半径为的球放入水池中时（球全部没入水中），溢出的水的体积为水池体积的，求该小球的半径（球的体积公式：，其中r为球的半径，π取3，结果精确到）． 3．（24-25八年级上·湖南郴州·期末）计算下表中各式的值，并将结果填在相应的空格中 式子 …… …… 结果 …… …… 根据你发现的规律，先完成上表，并直接填写下列两个小题的答案： (1) (2)若，则 参考值：，  ，   A基础训练 1．（24-25八年级上·吉林长春·期末）关于立方根，下列说法正确的是（　　） A．正数有两个立方根 B．立方根等于它本身的数只有 C．负数的立方根是负数 D．负数没有立方根 2．（24-25八年级上·山东枣庄·期中）已知x为实数，且﹣＝0，则x2＋x﹣3的算术平方根为（    ） A．3 B．2 C．3和﹣3 D．2和﹣2 3．（24-25七年级下·福建福州·期中）若a的算术平方根为17.25，b的立方根为；x的平方根为，y的立方根为86.9，则（    ） A． B． C． D． 4．（25-26七年级下·江苏无锡·单元测试）小明在用计算器计算一个无理数的近似值时，不慎将墨水滴在了算式上，只能看到如下内容：，则涂黑的部分应为（    ） A．200 B．350 C．490 D．500 5．（25-26八年级上·河北石家庄·期中）如图是由大小相同的小正方体搭成的几何体．如果这个几何体的体积为，那么每个小正方体的棱长为（    ） A． B． C． D． B 提高训练 6．（25-26七年级下·江苏无锡·课后作业）下列等式：①；②；③；④，不成立的是________．（请填写序号） 7．（25-26八年级上·陕西西安·期中）已知m，n为实数，若，则的算术平方根为______． 8．（24-25七年级下·河南商丘·期中）已知，，依据立方根运算规律得：______． 9．（24-25七年级上·黑龙江哈尔滨·月考）已知的平方根是，的立方根是4，是算术平方根等于自身的数，则______． 10．（24-25七年级下·江苏无锡·课后作业）某品牌的计算器上有三个并列的按键，是算术平方根按键；是倒数按键；是平方按键．计算器显示屏上现在显示100这个数字，小敏第一下按，第二下按，第三下按，之后以的顺序轮流按，当他共按2023下后，该计算器显示屏上显示的数是________． C 培优训练 11．（24-25七年级下·江苏无锡·单元测试）求下列各式中的值： (1)； (2)． 12．（25-26八年级上·四川乐山·期末）已知的立方根是3，的算术平方根是4． (1)求a、b的值； (2)求的平方根． 13．（24-25七年级下·吉林松原·期中）若实数，满足，请按要求解答下列问题： (1)若，都是整数，请写出两对符合条件的，的值． (2)若，都是分数，请写出一对符合条件的，的值． 14．（24-25七年级下·广西南宁·期中）完善下面表格，发现平方根和立方根的规律，并运用规律解决问题． x … 64 6400 64000 … … 8 m … … n 40 … (1)表格中的______，______； (2)已知，估计和的值；(结果保留四位小数) (3)若，估计的值．（参考数据：)．（结果保留四位小数） 15．（24-25七年级上·浙江温州·期中）如图是一块体积为216立方厘米的正方体铁块． (1)求该正方体铁块的棱长； (2)现在工厂要将这块铁块融化，重新锻造成两个棱长为2厘米的小正方体铁块和一个底面为正方形的长方体铁块，若长方体铁块的高为8厘米，求长方体铁块的底面正方形的边长． 学科网（北京）股份有限公司 $