精品解析：广西南宁市第二十六中学2025--2026学年下学期九年级数学阶段学情自测

南宁市第二十六中学2025-2026年九年级下学期开学季学情调研数学 （考试时间：120分钟 满分：120分） 注意事项： 1.本试卷分试题卷和答题卡两部分、答案一律填写在答题卡上，在试题卷上作答无效． 2.答题前，请认真阅读答题卡上的注意事项． 3.不能使用计算器.考试结束时，将本试题卷和答题卡一并交回． 一、选择题（共12小题，每小题3分，共36分.） 1. 有理数中，最小的数是（　　） A. 0 B. C. 3 D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了有理数的大小比较，掌握正数都大于零，负数都小于零，正数大于负数，两个正数比较大小，绝对值大的数大，两个负数比较大小，绝对值大的数反而小是解答本题的关键．据此求解即可． 【详解】解：∵， ∴最小的数是：． 故选：B． 2. 志愿服务，传递爱心，传递文明，下列志愿服务标志为中心对称图形的是（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了中心对称图形的定义，理解其定义是解题的关键． 根据中心对称图形的定义逐项判断即可． 【详解】解：A：不是中心对称图形，故此选项不符合题意； B：是中心对称图形，故此选项符合题意； C：不是中心对称图形，故此选项不符合题意； D：不是中心对称图形，故此选项不符合题意． 故选：B． 3. 2025年全国普通高校毕业生规模预计达12220000．其中“12220000”用科学记数法表示为（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了科学记数法，科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数．确定的值时，要看把原来的数，变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值时，是正数；当原数的绝对值时，是负数，确定与的值是解题的关键． 【详解】解：． 故选：C． 4. 如图1，中国古代叫“斗”，是当时重要的粮食度量工具，如图2，是它的几何示意图，下列图形是“斗”的俯视图的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】解：由俯视图的定义可知，“斗”的俯视图，如图所示： 5. 某质地均匀的骰子的个面上分别刻有到的点数，掷该骰子一次，观察向上一面的点数，则下列事件中，发生概率最小的是（ ）． A. 向上一面的点数是偶数 B. 向上一面的点数大于 C. 向上一面的点数是质数 D. 向上一面的点数是 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了可能性大小的判断，概率公式等，熟练掌握概率公式是解题的关键． 分别根据概率公式求出概率，即可判断出答案． 【详解】解：选项A中，向上一面的点数是偶数的情况有种，即，所以概率为； 选项B中，向上一面的点数大于有种，即，所以概率为； 选项C中，向上一面的点数是质数有种，即，所以概率为； 选项D中，向上一面的点数是有种，所以概率为． ∵， ∴发生概率最小的是向上一面的点数是． 故选：D． 6. 光线在不同介质中的传播速度是不同的，因此当光线从水中斜射向空气时，要发生折射．由于折射率相同，所以在水中平行的光线，在空气中也是平行的．如图，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了平行线的性质的应用，根据平行线的性质，两直线平行，同位角相等或同旁内角互补，即可求出答案，解题的关键在于熟练掌握平行线的性质． 【详解】解：如图所示， ∵，， ∴，，， ∵，， ∴，，， ∴， 故选：． 7. 估计无理数的值是在（ ）． A. 到之间 B. 到之间 C. 到之间 D. 到之间 【答案】B 【解析】 【分析】此题考查了估算无理数的大小，弄清估算无理数的方法是解本题的关键． 先算出，，，，再进行比较即可． 【详解】解：∵， ∵，，， ∴， ∴． 故选：B． 8. 某河堤横断面如图所示，河堤，水平距离，则斜坡的坡度是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了解直角三角形的应用，坡度坡比的问题，解题的关键是理解坡度的概念． 根据坡度的定义直接求解即可． 【详解】解：在中，，， 斜坡的坡度． 故选：B． 9. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】解：选项A：∵同底数幂相乘，底数不变，指数相加，可得， ∴A错误. 选项B：∵幂的乘方，底数不变，指数相乘，可得， ∴B错误. 选项C：∵同底数幂相除，底数不变，指数相减，可得， ∴C错误. 选项D：∵合并同类项时，系数相加，字母和指数不变，可得，等式成立，∴D正确. 10. 俗语有云：“一天不练手脚慢，两天不练丢一半，三天不练门外汉，四天不练瞪眼看．”其意思是知识和技艺在学习后，如果不及时复习，那么学习过的东西就会被遗忘．假设每天“遗忘”的百分比为x，根据“两天不练丢一半”，可列方程（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，由题意得：一天后记得的知识为：，两天后记得的知识为：，即可求解； 【详解】解：由题意得：一天后记得的知识为：，两天后记得的知识为：， ∴， 故选：A 11. 已知二次函数的图象如图所示，则下列结论正确的是（） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数图象与系数的关系，熟练掌握二次函数的开口方向、对称轴、与坐标轴的交点和函数特殊值对应的图象位置是解题的关键．通过二次函数图象的开口方向、对称轴、与坐标轴的交点，结合函数表达式的特殊值，逐一判断选项． 【详解】解：∵图象开口向上，∴； ∵对称轴，∴； ∵图象与轴交于负半轴，∴； ∴，故A项错误． ∵图象与轴有2个交点，∴，故B项错误． ∵当时，，且图象过，∴，故C项正确． ∵当时，，且图象过上方，∴，故D项错误． 故选：C． 12. 如图，将长方形绕其顶点B顺时针转到如图所示的位置，则旋转角可以为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了旋转的性质，长方形性质，平行线性质，解题的关键在于熟练掌握相关知识．记，，旋转后的对应点为，，，交于点．利用旋转的性质，长方形性质，平行线性质得到，即可解题． 【详解】解：记，，旋转后的对应点为，，，交于点． 由旋转的性质可知四边形为长方形， ， ， ， ， 旋转角可以为， 故选：A． 二、填空题（本大题共4小题，每小题3分，共12分.） 13. 因式分解______． 【答案】 【解析】 【分析】直接提取公因式即可完成分解． 【详解】解∶ ． 14. 某学校开展“齐诵满江红，传承报国志”诵读比赛，八年级准备从小乐和小涵两位同学中选拔一位同学参加决赛，如图是小乐和小涵两位同学参加5次选拔赛的测试成绩(满分为100分)折线统计图，若选择一位成绩优异且稳定的同学参赛，推选参加决赛的同学是_______（填“小乐”或“小涵”）． 【答案】小涵 【解析】 【分析】分别计算出小乐和小涵成绩的平均成绩和方差，再根据平均成绩和方差确定成绩优异且稳定的同学参赛即可． 【详解】解：根据题意得： ， ， ， ， ， 小涵的成绩优异且稳定， 推选参加决赛的同学是小涵， 故答案为：小涵． 【点睛】本题考查了算术平均数和方差，熟练掌握算术平均数和方差的计算公式和意义是解题的关键． 15. 如图，函数和的图象交于点，则根据图象可得，关于，的二元一次方程组的解是________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了一次函数与二元一次方程组的关系，解题的关键是理解两个一次函数图象的交点坐标就是对应的二元一次方程组的解． 先明确一次函数与二元一次方程组的联系，再根据图象得出交点坐标，即为方程组的解． 【详解】二元一次方程组，可变形为， 从图象中可以看出，函数和的图象交于点， 所以方程组的解是． 故答案为： 16. 如图，在中，，，，点为边上一点，点与点关于直线对称，连接，若是直角三角形，则的长为______． 【答案】或 【解析】 【分析】本题主要考查对称的性质，勾股定理的综合，掌握以上知识，图形结合，分类讨论思想是解题的关键． 根据情况分三种情况讨论，当时，根据对称可得，设，运用勾股定理即可求解；当时，可构造四边形是矩形，运用勾股定理即可求解；当时，根据题意可得该情况不符合题意；由此即可求解． 【详解】解：在中，， ∴， 第一种情况，如图所示，当时，是直角三角形， ∵点是点关于的对称点， ∴，， 当时，， ∴点三点共线， ∴，， ∴， ∵对称， ∴， 设，则， 在中，， ∴， 解得，； 第二种情况，如图所示，当，是直角三角形，延长，过点作的延长线于点， ∵，， ∴， ∴四边形是矩形，， ∴，， ∵对称， ∴，， 在中，， ∴， 设，则， 在中，， ∴， 解得， 第三种情况，如图所示，当时，是直角三角形， ∵对称， ∴，， ∵， ∴四边形是正方形， ∴，与点在上矛盾， ∴此情况不符合题意； 综上所述，的长为或， 故答案为： 或． 三、解答题（本大题共7小题，共72分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17. （1）计算：； （2）化简：． 【答案】 （1） （2） 【解析】 【分析】（1）先算乘法、乘方，最后算加减即可； （2）先算单项式乘多项式，再合并同类项化简即可． 【详解】（1）解：原式； （2）解：原式. 18. 已知内接于，为的直径． （1）请用无刻度的直尺和圆规，在线段上找一点，使得（保留作图痕迹，不写作法）； （2）在（1）的条件下，连接并延长，交于点，连接，求证：． 【答案】（1）见解析 （2）见解析 【解析】 【分析】本题考查了作垂直平分线，全等三角形的判定，半圆（直径）所对的圆周角是直角，熟练掌握以上知识是解题的关键； （1）根据题意作的垂直平分线交于点，即可求解； （2）根据（1）可得，根据是的直径得出，结合对顶角相等，即可证明． 【小问1详解】 解：如图所示，作的垂直平分线交于点，则点即为所求； ∵垂直平分， ∴； 【小问2详解】 证明：如图 为的直径 由（1）知， 19. 某校八年级同学参加“校史知多少”答题比赛，随机抽查其中名同学的答题情况，绘制成如图统计图． （1）这名同学的答对题数的众数为________道． （2）求这名同学的答对题数的平均数． （3）小明答对了7道题，请分析该成绩在名同学中处于怎样的水平． 【答案】（1）7 （2）这名同学的答对题数的平均数为8道 （3）小明的成绩略低于平均水平（不唯一，合理即可） 【解析】 【分析】本题考查了加权平均数、众数、条形统计图．理解题意并从从条形统计图找出正确的信息是解题的关键． （1）根据众数的意义解答即可； （2）根据加权平均数公式解答即可； （3）根据平均数、众数即可解答． 【小问1详解】 解：由条形统计图可知，答对7题的人数最多，所以这名同学的答对题数的众数为7道． 故答案为：7； 【小问2详解】 解：道； 这名同学的答对题数的平均数为8道． 【小问3详解】 解：因为平均数为8道，中位数为道， 所以小明的成绩略低于平均水平（合理即可）． 20. 某校因物理实验室需更新升级，现决定购买甲、乙两种型号的滑动变阻器．若购买甲种滑动变阻器用了1440元，购买乙种用了2430元，购买的乙种滑动变阻器的数量是甲种的1.5倍，乙种滑动变阻器单价比甲种单价贵6元． （1）求甲、乙两种滑动变阻器的单价分别为多少元； （2）该校拟计划再订购这两种滑动变阻器共100个，总费用不超过5000元，那么该校最少购买多少个甲种滑动变阻器？ 【答案】（1）甲种滑动变阻器的单价是48元，乙种滑动变阻器的单价是54元 （2）该校最少可以购买67个甲种滑动变阻器 【解析】 【分析】本题考查了分式方程的应用以及一元一次不等式的应用； （1）设甲种滑动变阻器的单价为x元，则乙种滑动变阻器的单价为元，根据题意可得出关于的分式方程，解之即可得出结论； （2）设该校购买甲种滑动变阻器m个，则购买乙种滑动变阻器个，利用总价单价数量，结合总费用不超过5000元，可得出关于的一元一次不等式，解之取其中的最小整数值，即可得出结论． 【小问1详解】 设甲种滑动变阻器的单价为x元，则乙种滑动变阻器的单价为元， 根据题意得： 解得：， 经检验，是所列方程的根，且符合题意． ∴， 答：甲种滑动变阻器的单价是48元，乙种滑动变阻器的单价是54元； 【小问2详解】 设该校购买甲种滑动变阻器m个，则购买乙种滑动变阻器个， 根据题意得：， 解得：， ∴整数m的最小值为67， 答：该校最少可以购买67个甲种滑动变阻器． 21. 如图，在中，，点O是的中点，与半圆O相切于点D，与半圆O交于E，F两点． （1）求证：与半圆O相切； （2）连接，若，，求的长． 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）连接、，过点作于点，由三线合一可得，平分，由切线的性质定理可得，又因，由角平分线的性质定理可得，由切线的判定定理即可得出结论； （2）由（1）可知，则，在中，，由勾股定理可得，即，解得，于是，由（1）可得，则，进而可得，再结合，可证得，于是可得，即，由此即可求出的长． 【小问1详解】 证明：如图，连接、，过点作于点， ，点O是的中点， ，平分， 与半圆O相切于点D， ， 而， ， 与半圆O相切； 【小问2详解】 解：由（1）可知：， ， 在中，，， ， ， ， 解得：， ， 由（1）可得：， ， ， 又， ， ， 即：， ， 的长为． 【点睛】本题主要考查了切线的判定与性质，角平分线的性质定理，相似三角形的判定与性质，勾股定理，三线合一，解一元一次方程等知识点，熟练掌握相关知识点并能加以综合运用是解题的关键． 22. 某电子科技公司研发出一套学习软件，并对这套学习软件在周的销售时间内，做出了下面的预测：设第x周该软件的周销售量为（单位：千套），当时，与成反比；当时，与成正比，并预测得到了如表中对应的数据． 周 千套 设第周销售该软件每千套的利润为（单位：千元），与满足如图中的函数关系图象： （1）求与的函数关系式； （2）观察图象，当时，与的函数关系式为_______． （3）第周销售该学习软件所获的周利润总额为多少？ （4）在这周的销售时间内，是否存在所获周利润总额不变的情况？若存在，求出这个不变的值；若不存在，请说明理由． 【答案】（1） （2） （3）元 （4）存在，不变的值为240 【解析】 【分析】本题考查了一次函数的应用，，正比例与反比例的应用； （1）通过待定系数法求函数关系式． （2）观察图象，分析函数图象性质，分段求解． （3）设第周销售该学习软件所获的周利润总额为，列出函数关系式，将代入，即可求解； （4）先求得当时，与的函数关系式为，根据分段表示出的函数关系式，即可求解． 【小问1详解】 解：当时，设， 根据表格中的数据，当时，， ， 解得：， ， 当时，设， 根据表格中的数据，当时，， ， 解得：， ， 即：， 与的函数关系式为； 【小问2详解】 解：当时，设与的函数关系式为， 将，；，代入， 得：， 解得：， 当时，设与的函数关系式为， 故答案为：； 【小问3详解】 设第周销售该学习软件所获的周利润总额为， 当时， 当时，千元 即元 【小问4详解】 存在，不变的值为， 由函数图像得：当时，设与的函数关系式为， 将，；，代入， 得：， 解得：， 当时，与的函数关系式为， 当时，； 当时，； 当时，， 综上所述，在这周的销售时间内，存在所获周利润总额不变的情况，这个不变的值为． 23. 阅读材料，在平面直角坐标系中，已知轴上两点，的距离记作，如果、是平面上任意两点，我们可以通过构造直角三角形来求间的距离． 如图，过、分别向轴、轴作垂线、和、，垂足分别是、、、，直线交于点，在中，，， ． 由此得到平面直角坐标系内任意两点、间的距离公式为： （1）直接应用平面内两点间距离公式计算点，之间的距离为_______； （2）在平面直角坐标系中的两点，，为轴上任一点，的最小值为_______； （3）应用平面内两点间的距离公式，代数式的最小值为_______； （4）应用拓展：如图，若点在上运动，，，，连接，，求的周长的最小值． 【答案】（1）5 （2） （3） （4） 【解析】 【分析】此题主要考查了利用轴对称求最值问题以及两点之间距离公式，正确转化代数式为两点之间距离问题是解题关键． （1）直接利用两点之间距离公式，把两点代入求解即可； （2）作点B关于x轴对称的点，连接，，直线与x轴的交点即为所求的点P，的最小值就是线段，求出的坐标，再利用两点之间距离公式求解即可； （3）代数式表示点到点和的距离之和，由两点之间线段最短可知点在以点和为端点的线段上时，其距离之和最小，再利用两点之间距离公式求解即可； （4）过A作，作B关于直线的对称点，连接，，由对称性可证的周长的最小值为，利用勾股定理求解即可． 【小问1详解】 解：，， ； 【小问2详解】 解：作点B关于x轴对称的点，连接，， ， 当共线时取得最小值， 即直线与x轴的交点即为所求的点P，的最小值就是线段，如图， B关于x轴对称的点， 点的坐标为， ， ， 的最小值为； 【小问3详解】 解：代数式表示点到点和的距离之和， 由两点之间线段最短可知，点在以点和为端点的线段上时，其距离之和最小， 的最小值为：； 【小问4详解】 解：过A作，作B关于直线的对称点，连接，， B，关于直线对称， ，，， ， 的最小值为， 的周长的最小值为， ，，， ， ， 在中，， 的周长的最小值为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 南宁市第二十六中学2025-2026年九年级下学期开学季学情调研数学 （考试时间：120分钟 满分：120分） 注意事项： 1.本试卷分试题卷和答题卡两部分、答案一律填写在答题卡上，在试题卷上作答无效． 2.答题前，请认真阅读答题卡上的注意事项． 3.不能使用计算器.考试结束时，将本试题卷和答题卡一并交回． 一、选择题（共12小题，每小题3分，共36分.） 1. 有理数中，最小的数是（　　） A. 0 B. C. 3 D. 2. 志愿服务，传递爱心，传递文明，下列志愿服务标志为中心对称图形的是（　　） A. B. C. D. 3. 2025年全国普通高校毕业生规模预计达12220000．其中“12220000”用科学记数法表示为（　　） A. B. C. D. 4. 如图1，中国古代叫“斗”，是当时重要的粮食度量工具，如图2，是它的几何示意图，下列图形是“斗”的俯视图的是（ ） A. B. C. D. 5. 某质地均匀的骰子的个面上分别刻有到的点数，掷该骰子一次，观察向上一面的点数，则下列事件中，发生概率最小的是（ ）． A. 向上一面的点数是偶数 B. 向上一面的点数大于 C. 向上一面的点数是质数 D. 向上一面的点数是 6. 光线在不同介质中的传播速度是不同的，因此当光线从水中斜射向空气时，要发生折射．由于折射率相同，所以在水中平行的光线，在空气中也是平行的．如图，则（ ） A. B. C. D. 7. 估计无理数的值是在（ ）． A. 到之间 B. 到之间 C. 到之间 D. 到之间 8. 某河堤横断面如图所示，河堤，水平距离，则斜坡的坡度是（ ） A. B. C. D. 9. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 10. 俗语有云：“一天不练手脚慢，两天不练丢一半，三天不练门外汉，四天不练瞪眼看．”其意思是知识和技艺在学习后，如果不及时复习，那么学习过的东西就会被遗忘．假设每天“遗忘”的百分比为x，根据“两天不练丢一半”，可列方程（ ） A. B. C. D. 11. 已知二次函数的图象如图所示，则下列结论正确的是（） A. B. C. D. 12. 如图，将长方形绕其顶点B顺时针转到如图所示的位置，则旋转角可以为（ ） A. B. C. D. 二、填空题（本大题共4小题，每小题3分，共12分.） 13. 因式分解______． 14. 某学校开展“齐诵满江红，传承报国志”诵读比赛，八年级准备从小乐和小涵两位同学中选拔一位同学参加决赛，如图是小乐和小涵两位同学参加5次选拔赛的测试成绩(满分为100分)折线统计图，若选择一位成绩优异且稳定的同学参赛，推选参加决赛的同学是_______（填“小乐”或“小涵”）． 15. 如图，函数和的图象交于点，则根据图象可得，关于，的二元一次方程组的解是________． 16. 如图，在中，，，，点为边上一点，点与点关于直线对称，连接，若是直角三角形，则的长为______． 三、解答题（本大题共7小题，共72分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17. （1）计算：； （2）化简：． 18. 已知内接于，为的直径． （1）请用无刻度的直尺和圆规，在线段上找一点，使得（保留作图痕迹，不写作法）； （2）在（1）的条件下，连接并延长，交于点，连接，求证：． 19. 某校八年级同学参加“校史知多少”答题比赛，随机抽查其中名同学的答题情况，绘制成如图统计图． （1）这名同学的答对题数的众数为________道． （2）求这名同学的答对题数的平均数． （3）小明答对了7道题，请分析该成绩在名同学中处于怎样的水平． 20. 某校因物理实验室需更新升级，现决定购买甲、乙两种型号的滑动变阻器．若购买甲种滑动变阻器用了1440元，购买乙种用了2430元，购买的乙种滑动变阻器的数量是甲种的1.5倍，乙种滑动变阻器单价比甲种单价贵6元． （1）求甲、乙两种滑动变阻器的单价分别为多少元； （2）该校拟计划再订购这两种滑动变阻器共100个，总费用不超过5000元，那么该校最少购买多少个甲种滑动变阻器？ 21. 如图，在中，，点O是的中点，与半圆O相切于点D，与半圆O交于E，F两点． （1）求证：与半圆O相切； （2）连接，若，，求的长． 22. 某电子科技公司研发出一套学习软件，并对这套学习软件在周的销售时间内，做出了下面的预测：设第x周该软件的周销售量为（单位：千套），当时，与成反比；当时，与成正比，并预测得到了如表中对应的数据． 周 千套 设第周销售该软件每千套的利润为（单位：千元），与满足如图中的函数关系图象： （1）求与的函数关系式； （2）观察图象，当时，与的函数关系式为_______． （3）第周销售该学习软件所获的周利润总额为多少？ （4）在这周的销售时间内，是否存在所获周利润总额不变的情况？若存在，求出这个不变的值；若不存在，请说明理由． 23. 阅读材料，在平面直角坐标系中，已知轴上两点，的距离记作，如果、是平面上任意两点，我们可以通过构造直角三角形来求间的距离． 如图，过、分别向轴、轴作垂线、和、，垂足分别是、、、，直线交于点，在中，，， ． 由此得到平面直角坐标系内任意两点、间的距离公式为： （1）直接应用平面内两点间距离公式计算点，之间的距离为_______； （2）在平面直角坐标系中的两点，，为轴上任一点，的最小值为_______； （3）应用平面内两点间的距离公式，代数式的最小值为_______； （4）应用拓展：如图，若点在上运动，，，，连接，，求的周长的最小值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $