2026年九年级数学中考复习一次函数、反比例函数、二次函数专题

一次函数、反比例函数、二次函数 一次函数 考点一 一次函数的概念与表达式 1.正比例函数的定义 （1）形如（是常数，且）的函数叫做正比例函数。 （2）其中叫做比例系数，正比例函数是特殊的一次函数。 2.一次函数的定义 （1）形如（，是常数，且）的函数，叫做一次函数。 （2）当时，一次函数就变为正比例函数，因此正比例函数是一次函数的特例。 （3）自变量的取值范围：一般为全体实数，实际问题中需结合情境确定。 3.表达式的求解——待定系数法求解步骤： ①设：根据函数类型，设出表达式（如正比例函数设，一次函数设）。 ②代：将已知点的坐标代入表达式，得到关于（或、）的方程（组）。 ③求：解方程（组），求出（或、）的值。 ④写：将求出的系数代入所设表达式，得到最终函数解析式。 1．（2024·广东·二模）下列函数中，是的一次函数的是(　　) A． B． C． D． 2．（2023·广东·中考真题）（1）计算：； （2）已知一次函数的图象经过点与点，求该一次函数的表达式． 3．（2025·广东广州·二模）已知． (1)化简A； (2)若点在一次函数的图象上，求A的值． 考点二 一次函数的图象与性质 1.一次函数图象的形状与特征 （1）一次函数的图象是一条直线，因此画一次函数图象只需确定两个点即可。 （2）正比例函数的图象必经过原点。 （3）一般一次函数的图象必经过点（轴交点）和点（轴交点）。 2.k、b的符号与图象位置的关系 的符号 的符号 图象经过的象限 函数的增减性 第一、二、三象限 随的增大而增大 第一、三象限 随的增大而增大 第一、三、四象限 随的增大而增大 第一、二、四象限 随的增大而减小 第二、四象限 随的增大而减小 第二、三、四象限 随的增大而减小 3.图象的平移规律 （1）对于一次函数，平移时值不变，仅发生变化： 上下平移：向上平移个单位 → ； 向下平移个单位 → （上加下减）。 左右平移：向左平移个单位 → ； 向右平移个单位 → （左加右减）。 1．（2025·广东·二模）从，，3中任意取一个数作为正比例函数中的k，则正比例函数的图象经过第一、第三象限的概率是（   ） A． B． C． D． 2．（2025·广东·中考真题）在理想状态下，某电动摩托车充满电后以恒定功率运行，其电池剩余的能量与骑行里程之间的关系如图．当电池剩余能量小于时，摩托车将自动报警．根据图象，下列结论正确的是（   ） A．电池能量最多可充 B．摩托车每行驶消耗能量 C．一次性充满电后，摩托车最多行驶 D．摩托车充满电后，行驶将自动报警 ►题型01 由 k、b 的符号判断图象经过的象限 / （1）先看 ： 时图象从左到右上升，必过一、三象限； 时图象从左到右下降，必过二、四象限；再看 ： 时图象与 轴交于正半轴； 时交于负半轴； 时过原点。 1．（2023·广东广州·中考真题）已知正比例函数的图象经过点，反比例函数的图象位于第一、第三象限，则一次函数的图象一定不经过（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 2．（2025·广东珠海·一模）一次函数的图象不经过的象限是（   ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 ►题型02 图象的平移 / （1）口诀记忆：“上加下减，左加右减”； （2）左右平移时错误地在 外的整体上加减，如将 向右平移2个单位写成 。 1．（2025·广东广州·模拟预测）在平面直角坐标系中，将函数的图象向右平移2个单位长度，则平移后的图象与y轴的交点坐标为（ ） A． B． C． D． ►题型03 函数增减性的判断与应用 / （1）由 定增减： 时， 随 的增大而增大； 时， 随 的增大而减小。 （2）比较函数值：已知两点横坐标，根据增减性直接比较纵坐标大小；或已知函数值大小，反推横坐标的关系. 2．（2025·广东广州·二模）下列函数中，值随值的增大而增大的是（　　） A． B． C． D． 3．（2025·广东佛山·二模）若点，在一次函数的图象上，则与的大小关系是（    ） A． B． C． D． 考点三 一次函数与方程、不等式的联系 1.与一元一次方程的联系 一次函数的图象与轴交点的横坐标，就是一元一次方程的解。 2.与一元一次不等式的联系 不等式的解集，对应一次函数的图象在轴上方部分的的取值范围； 不等式的解集，对应一次函数的图象在轴下方部分的的取值范围。 3.与二元一次方程组的联系 两个一次函数图象的交点坐标，就是对应二元一次方程组的解。 1．（2024·广东·中考真题）已知不等式的解集是，则一次函数的图象大致是（    ） A． B． C． D． 2．（2025·广东广州·一模）如图，一次函数与的图象相交于点，则关于的方程的解是（   ） A． B． C． D． ►题型01 一次函数与一次一元方程 / （1）本质关联：一次函数 的图象与 轴交点的横坐标，就是方程 的解； （2）图象法：画出函数图象，找到与 轴的交点，直接读取横坐标； （3）代数法：解方程 即可得到解。 1．（2025·广东东莞·二模）如图，已知一次函数的图象分别与x、y轴交于A、B两点，若，，则关于x的方程的解为（   ） A． B． C． D． 2．（2025·广东广州·一模）如图，一次函数与的图象相交于点，则关于的方程的解是（   ） A． B． C． D． ►题型02 一次函数与不等式 / （1）转化关系： 的解集 → 函数图象在 轴上方部分对应的 的取值范围； 的解集 → 函数图象在 轴下方部分对应的 的取值范围； （2）图象法：画出函数图象，观察图象在 轴上方/下方的区间； （3）代数法：直接解不等式 （或 ）。 1．（2025·广东广州·二模）如图，直线与相交于点，则不等式的解集是（　　） A． B． C． D． 2．（2025·广东湛江·二模）如图，一次函数与的图象都经过点，则不等式的解集为 ． 3．（2024·广东东莞·模拟预测）如图，观察直线与直线的图象，则二元一次方程组的解为（　　） A． B． C． D． 4．（25-26八年级上·广东揭阳·期末）如图，已知一次函数和的图象交于点P，则根据图象可得关于x，y的二元一次方程组的解是（   ） A． B． C． D． 考点四 一次函数的实际应用 1.解题步骤 ①审：理解题意，找出变量之间的关系； ②设：设自变量和函数，建立一次函数模型； ③列：根据题意列出函数表达式，并确定自变量的取值范围； ④解：利用函数性质求解问题（如最值、方案比较等）； ⑤答：检验结果合理性，写出答案。 1．（2025·广东深圳·中考真题）某学校采购体育用品，需要购买三种球类．已知某体育用品商店排球的单价为30元/个，篮球，足球的价格如下表： ①篮球、足球、排球各买一个的价格为140元 ②购买2个足球的价格比购买一个篮球多花费40元 ③购买5个篮球与购买6个足球花费相同 (1)请你从上述3个条件中任选2个作为条件，求出篮球和足球的单价； (2)若该学校要购买篮球，足球共10个，且足球的个数不超过篮球个数的2倍，请问购买多少个篮球时，花费最少，最少费用是多少？ 2．（2023·广东广州·中考真题）因活动需要购买某种水果，数学活动小组的同学通过市场调查得知：在甲商店购买该水果的费用（元）与该水果的质量x（千克）之间的关系如图所示；在乙商店购买该水果的费用（元）与该水果的质量x（千克）之间的函数解析式为（）.   (1)求与x之间的函数解析式； (2)现计划用600元购买该水果，选甲、乙哪家商店能购买该水果更多一些？ ►题型01 销售利润问题 / （1）利润 = 单件利润 × 销售量。 3．（2025·广东深圳·中考真题）某学校采购体育用品，需要购买三种球类．已知某体育用品商店排球的单价为30元/个，篮球，足球的价格如下表： ①篮球、足球、排球各买一个的价格为140元 ②购买2个足球的价格比购买一个篮球多花费40元 ③购买5个篮球与购买6个足球花费相同 (1)请你从上述3个条件中任选2个作为条件，求出篮球和足球的单价； (2)若该学校要购买篮球，足球共10个，且足球的个数不超过篮球个数的2倍，请问购买多少个篮球时，花费最少，最少费用是多少？ 4．（2023·广东广州·中考真题）因活动需要购买某种水果，数学活动小组的同学通过市场调查得知：在甲商店购买该水果的费用（元）与该水果的质量x（千克）之间的关系如图所示；在乙商店购买该水果的费用（元）与该水果的质量x（千克）之间的函数解析式为（）.   (1)求与x之间的函数解析式； (2)现计划用600元购买该水果，选甲、乙哪家商店能购买该水果更多一些？ 反比例函数 考点一 反比例函数的意义与表达式 1.核心定义 一般地，形如 （ 为常数，，）的函数叫做反比例函数，其中是自变量，是的反比例函数；自变量取值范围是非零实数，函数值取值范围也是非零实数。 2.三种等价表达式 标准式： 乘积式：（最常用，用于求值、判断反比例关系） 指数式：（考查函数类型判断，注意指数为且系数） 3.待定系数法求解析式 已知反比例函数图像上一个点的坐标，代入任意一种表达式即可求出，进而确定解析式。 例：点在反比例函数图像上，代入得，解析式为。 1.（2025·广东广州·二模）化简求值：． (1)化简T； (2)若点在反比例函数的图象上，求T的值． 2.（2025·广东清远·一模）一次函数与反比例函数的图象都经过点，求一次函数和反比例函数的解析式． ►题型01 待定系数法求反比例函数表达式 / （1）求反比例函数解析式的步骤： ①设反比例函数解析式为； ②代入图像上已知点的坐标 ，利用求出； ③写出解析式，并注明自变量取值范围。 1．（2024·广东云浮·二模）如图，正比例函数的图象与反比例函数的图象都经过点．求点的坐标和反比例函数解析式． 2．（2024·广东珠海·一模）如图，一次函数和反比例函数的图象交于点，与y轴交于点A．   (1)求反比例函数的解析式： (2)直接写出时x的取值范围． 考点二 反比例函数的图象与性质 1.图像特征 反比例函数的图像是双曲线，有两个分支，且永不与坐标轴相交（因、）； 双曲线关于原点成中心对称，关于直线和成轴对称。 2.核心性质 的符号 图像所在象限 第一、三象限 第二、四象限 增减性 在每个象限内，随的增大而减小 在每个象限内，随的增大而增大 分支趋势 从第一象限向第三象限逐渐靠近坐标轴，无限延伸 从第二象限向第四象限逐渐靠近坐标轴，无限延伸 1.（2025·广东广州·中考真题）若，反比例函数的图象在（   ） A．第一、二象限 B．第一、三象限 C．第二、四象限 D．第三、四象限 2.（2025·广东深圳·模拟预测）关于函数有如下结论：①函数图象一定经过点；②函数图象在第一、三象限；③函数值y随x的增大而减小；④当时，y的取值范围为．其中正确的有（    ）个． A．1 B．2 C．3 D．4 ►题型01 函数增减性的判断与应用 / （1）时，在每个象限内随增大而减小；时，在每个象限内随增大而增大。 1．（2024·广东·二模）下列函数中，函数值y随x的增大而增大的是（    ） A． B． C． D． 2．（2025·广东佛山·三模）点在函数图象上，下列说法正确的是（   ） A．y随x的增大而增大 B．图象关于y轴对称 C．点和点都在图象上 D．当时， ►题型02 由k的符号判断图象所在象限 / （1）易把的符号与象限对应关系记反； （2）易忽略图象是双曲线，有两个分支，并非只在一个象限。 1．（2025·广东汕头·三模）反比例函数的图象经过第（   ）象限 A．一、二 B．二、四 C．一、三 D．三、四 2．（2025·广东茂名·模拟预测）如果反比例函数（是常数）的一支图象在第二象限，那么的值可以是（    ） A． B．0 C．1 D． ►题型03 反比例函数的对称性应用 / （1）中心对称：图象关于原点对称，若点在图象上，则也在图象上； （2）轴对称：图象关于直线和对称； （3）解题时，利用对称性直接写出对称点的坐标，或判断点是否在图象上。 1．（2025·广东江门·三模）若正比例函数的图象与反比例函数（）的图象交于A，B两点，如果点A的坐标是，那么点的坐标是（   ） A． B． C． D． 2．（2023·广东广州·一模）已知： (1)化简A； (2)从条件①、条件②这两个条件中选择一个作为已知，求A的值． 条件①：若点是反比例函数图象上的点； 条件②：若a是方程的一个根． ►题型04 比较反比例函数值或自变量的大小 / （1）先确定的符号，明确每个象限内的增减性； （2）若已知自变量大小，先判断自变量所在象限，再根据增减性判断函数值大小； （3）若已知函数值大小，同理先判断函数值所在象限，再判断自变量大小。 1．（2025·广东梅州·一模）在反比例函数的图象上有三个点，则函数值，的大小关系为（　　） A． B． C． D． 2．（2025·广东茂名·模拟预测）若点，，都在反比例函数的图象上，则，，的大小关系是（   ） A． B． C． D． 3．（2024·广东广州·一模）已知点在双曲线上，若，则的取值范围是 ． 考点三 反比例函数中k的几何意义 1.基础模型 过反比例函数图像上任意一点，作轴于，轴于，连接，则： ①矩形的面积：； ②直角三角形（或）的面积：。 2.常见变形模型 （1）双点垂线模型：若、在反比例函数图像上，分别作轴、轴垂线，垂足为、，则 ； （2）过原点的直线与双曲线相交模型：若直线与反比例函数交于、两点，则、关于原点对称，且（取点作垂线，结合中心对称）； （3）坐标轴上的定点模型：若反比例函数图像上一点，连接与轴（或轴）上定点，则可通过割补法将三角形面积转化为基础模型的。 3.关键结论 的几何意义中，面积仅与有关，与点在图像上的位置无关；若已知面积，求时，需结合象限判断的正负。 ►题型01 由矩形、直角三角形面积求k值 / （1）过双曲线上一点作轴、轴垂线，构造矩形或直角三角形； （2）矩形面积 ，直角三角形面积； （3）由已知面积求出，再根据点所在象限判断的正负。 1．（2025·广东河源·模拟预测）如图，点在反比例函数图象上，轴于点，若的面积等于3，则的值是（    ） A．3 B． C．6 D． ►题型02 由k值求图形面积 / （1）明确图形是矩形还是直角三角形； （2）若为复杂图形，用割补法转化为矩形或直角三角形，再用 k 的几何意义计算。 2．（2024·广东汕头·一模）如图，点A在函数的图像上，点B在函数的图像上，且轴，轴于点，则四边形的面积为（    ） A．1 B．2 C． D． 3．（2024·广东清远·二模）如图为反比例函数的图像，点为反比例函数图像上一点，点坐标为，以为边作菱形，使得点在轴上，则的面积是 ． 考点四 反比例函数的实际应用 1.解题关键 （1）分析实际问题中两个变量的关系，判断是否为反比例关系（乘积为定值）； （2）设反比例函数解析式，利用实际数据求； （3）根据解析式求解实际问题，注意自变量的实际取值范围（如长度、时间、数量为正数）。 1.（2025·广东肇庆·三模）机器狗是一种模拟真实犬只形态和部分行为的机器装置，最快移动速度是载重后总质量的反比例函数．已知一款机器狗（如图所示）载重后总质量时，它的最快移动速度；当其载重后总质量时，它的最快移动速度（   ）． A．4 B．3 C．2 D．1 ►题型01 实际问题与反比例函数 / （1）分析实际问题中两个变量的关系，判断是否为反比例关系（乘积为定值）； （2）设反比例函数解析式，利用已知数据求； （3）根据解析式求解实际问题，注意自变量的实际取值范围（如时间、长度、数量均为正数）。 2．（2025·广东·二模）【实验与探究】 在一次综合实践活动课上，小明设计了一个探究杠杆平衡条件的装置．如图，左边固定的托盘A 中放置一个重物，右边可左右移动的托盘B 中放置若干数量的砝码．改变托盘 B与点O 之间的距离x（单位：），调整托盘B中砝码的总质量y（单位：），使装置重新在水平位置平衡（平衡时遵循杠杆的平衡条件），根据实验结果得到如下表格： 托盘B与点O之间的距离 10 20 30 40 托盘B中砝码的总质量 60 30 20 15 (1)小明根据上述数据确定y与x之间是反比例函数关系，请运用表格中的数据求y与x之间的函数关系式； (2)当砝码的总质量为时，求托盘B与点O之间的距离； (3)已知该装置能够放置的托盘B 与点O之间的最大距离为，求装置在水平位置平衡时托盘B 中砝码的最小总质量． 3．（2025·广东广州·一模）某商户购进苹果1575千克，为寻求合适的销售价格，进行了5天试销， 试销情况如下： 第1天 第2天 第3天 第4天 第5天 售价（元/千克） 18 15 12 10 9 销售量（千克） 50 60 75 90 100 (1)根据表中的数据，从一次函数和反比例函数中选择一个函数模型，使得它能近似的反映试销期间这批苹果每天的销售量（千克）与售价（元/千克）之间的函数关系，并求出这个函数关系式（不要求写出的取值范围）; (2)若在这批苹果的后续销售中，每天的销售量（千克）与售价（元/千克）之间都满足（1）中的函数关系．在试销5天后，该商户决定将这批苹果的售价定为10元/千克，但销售10天后，该商户为清空库存，计划用不超过2天的时间全部售完，则新的售价最高定为多少元/千克，才能使后面2天都按新的售价销售且能如期全部售完？ 考点五 反比例函数与其他知识综合 1.反比例函数与一次函数的综合 （1）求一次函数与反比例函数的解析式：已知交点坐标、点的坐标，分别用待定系数法求解； （2）求交点坐标：联立一次函数与反比例函数的解析式，解二元方程组（注意验根，舍去使反比例函数无意义的根）； （3）利用图像解不等式：根据交点坐标，结合图像判断一次函数值（或）反比例函数值的取值范围； （4）求图形面积：结合一次函数、反比例函数的交点，作坐标轴垂线，用割补法（分割为直角三角形、矩形）计算面积，核心结合的几何意义。 2.反比例函数与几何的综合 （1）坐标化：将几何图形的边长、面积、对称关系转化为点的坐标关系，所有几何条件最终落地到反比例函数图像上点的横、纵坐标； （2）纽带化：以反比例函数和k的几何意义为核心，连接几何图形的面积、边长与函数解析式； （3）辅助线核心：过双曲线上任意一点作 x 轴、y 轴的垂线（垂线段模型），是所有该题型的必作辅助线，直接构造与k相关的矩形 、直角三角形。 1.（2025·广东深圳·中考真题）如图，同一平面直角坐标系下的正比例函数与反比例函数相交于点和点．若的横坐标为1，则的坐标为 ． 二次函数 考点一 二次函数的概念与表达式 1.二次函数的定义 形如 （， 为常数）的函数，叫做二次函数。 2.二次函数的三种表达式 一般式：（）； 顶点式：（，顶点坐标 ）； 交点式：（，与 轴交点坐标 、）。 1.（2024·广东·模拟预测）下列函数中，y是x的二次函数的是（　　） A． B． C． D． 2．（2025·广东·中考真题）已知二次函数的图象经过点，但不经过原点，则该二次函数的表达式可以是 ．（写出一个即可） ►题型01 待定系数法求二次函数表达式 / （1）勿忘记 ，不要将一次函数当成二次函数； （2）顶点式中，顶点坐标 注意不要写成 ； （3）交点式中， 是与x轴交点的横坐标，使用时需注意符号。 1．（2025·广东茂名·模拟预测）一个二次函数的图象经过，，三点．求：这个二次函数的解析式． 2．（2024·广东·模拟预测）已知二次函数图象的顶点坐标是，且经过点，求该二次函数的解析式． ►题型02 根据图像或条件确定二次函数的系数 / （1）开口方向：开口向上 ，开口向下 ； （2）对称轴：，结合 的符号判断 的符号（“左同右异”）； （3）与y轴交点：交点在正半轴 ，在负半轴 ，过原点 ； （4）特殊点：如 时 ， 时 。 1．（2024·广东广州·一模）已知二次函数，当时，的最小值为，则的值为（    ）． A．或4 B．或 C．或4 D．或4 2．（2023·广东·中考真题）如图，抛物线经过正方形的三个顶点A，B，C，点B在轴上，则的值为（   ）    A． B． C． D． 考点二 二次函数的图象与性质 1.图像形状 抛物线，是轴对称图形。 2.开口方向 ⇒ 开口向上，有最小值； ⇒ 开口向下，有最大值。 3.对称轴与顶点 对称轴：直线 ；顶点坐标： 。 4.增减性 ：在对称轴左侧， 随 增大而减小；右侧， 随 增大而增大。 ：在对称轴左侧， 随 增大而增大；右侧， 随 增大而减小。 5.与坐标轴的交点 与 轴交点：； 与 轴交点：令 ，解一元二次方程 ，根的个数由判别式 决定： ⇒ 两个交点； ⇒ 一个交点（顶点在 轴上）； ⇒ 无交点。 6.图像的平移（左加右减，上加下减） 设原二次函数为顶点式： 左右平移：针对自变量 进行操作 向左平移 个单位：（ 加 ）； 向右平移 个单位：（ 减 ）； 上下平移：针对常数项 进行操作 向上平移 个单位：（整体加 ）； 向下平移 个单位：（整体减 ）。 注意：平移只改变顶点位置，不改变抛物线的开口方向和大小（即 的值不变）。 7.图像的翻折 设原二次函数为顶点式： （1）关于x轴翻折（上下翻转）：顶点 变为 ，开口方向相反（ 变为 ）， 解析式：； （2）关于y轴翻折（左右翻转）：顶点 变为 ，开口方向不变（ 不变）， 解析式：； （3）关于原点翻折（中心对称）：顶点 变为 ，开口方向相反（ 变为 ）， 解析式：； 注意：翻折后，抛物线的形状（开口大小）不变，只改变开口方向和顶点位置。 1.（2025·广东江门·三模）已知，，则y关于x的二次函数的图象可能是（   ） A． B． C． D． ►题型01 函数增减性的判断与应用 / （1）先确定对称轴 ； （2）根据 的符号判断增减区间： ①：对称轴左侧递减，右侧递增； ②：对称轴左侧递增，右侧递减。 2．（2025·广东广州·一模）下列函数中，值随值的增大而减小的是（   ）． A． B． C． D． ►题型02 二次函数图像的平移 / （1）先将函数化为顶点式 ； （2）遵循“左加右减，上加下减”原则； （3）对 进行平移时，加减操作是对 本身，而非括号外的整体。 1．（2025·广东东莞·模拟预测）将二次函数的图象沿x轴方向向右平移2个单位长度，平移后的二次函数的解析式为（   ） A． B． C． D． 2．（2025·广东·一模）将二次函数向左平移1个单位，向上平移2个单位得到的新的二次函数解析式为 ． ►题型03 二次函数的对称性应用 / （1）若两点 和 函数值相等，则对称轴为 ； （2）利用对称性将点转化到对称轴同侧，再结合增减性解题。 1．（2025·广东深圳·三模）已知二次函数的图象如图所示，则图象与x轴正半轴交点M的横坐标是（   ） A．4 B．2 C．3 D． 2．（2025·广东深圳·模拟预测）二次函数（，，为常数，）的图象经过点，，，，其中，为常数，那么的值为（   ） A． B． C． D． ►题型04 比较二次函数值或自变量的大小 / （1）若已知函数表达式，可直接代入计算比较； （2）若已知图像，利用增减性和对称性： 同侧点：直接用增减性； 异侧点：转化到同侧或比较到对称轴的距离（ 时，距离越远函数值越大； 时相反）。 1．（2024·广东·中考真题）若点都在二次函数的图象上，则（    ） A． B． C． D． 2．（2025·广东珠海·三模）若点都在二次函数图象上，则（　　） A． B． C． D． 3．（2025·广东中山·一模）抛物线有三点，，，则，，的大小关系为（　　） A． B． C． D． ►题型05 根据图象判断 及相关代数式的符号 / （1）：看开口方向； （2）：结合对称轴 和 的符号（“左同右异”）； （3）：看与y轴交点； （4）：看与x轴交点个数（两个交点 ，一个交点 ，无交点 ）； （5）：看 时的函数值； （6）：看 时的函数值； （7）：看对称轴与 的位置关系； （8）：看对称轴与 的位置关系。 1．（2025·广东广州·二模）如图已知二次函数（，，为常数，且）的图象顶点为，经过点．有以下结论：①；②；③；④时，随的增大而减小；其中错误的有（ ）个． A． B． C． D． 2．（2025·广东中山·模拟预测）已知二次函数图像的一部分如图所示，该函数图像经过点，对称轴为直线，对于下列结论：①；②；③多项式可因式分解为；④无论为何值时，代数式的值一定不大于．其中正确的个数有（ ） A．个 B．个 C．个 D．个 3．（2025·广东东莞·二模）已知二次函数图象的一部分如图所示，该函数图象经过点，对称轴为直线．对于下列结论：①；②；③多项式可因式分解为；④当时，关于x的方程无实数根．其中正确的个数有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 考点三 二次函数与一元二次方程的关系 1.二次函数与一元二次方程的根的关系 一元二次方程 的根 ⇔ 二次函数 图像与 轴交点的横坐标。 2.利用图像求方程近似解 观察抛物线与 轴交点的横坐标。 1.（2025·广东清远·二模）关于二次函数的图象与x轴交点个数的情况，下列说法正确的是（   ） A．有两个交点 B．有一个交点 C．没有交点 D．无法判断 2．（2025·广东广州·二模）已知抛物线与x轴有两个不同的交点，则m的取值范围为 ． ►题型01 二次函数与一元二次方程 / （1）二次函数 与轴交点的横坐标，就是方程 的根; （2）根的判别式 : ：两个不相等的实数根，图像与轴有两个交点; ：两个相等的实数根，图像与轴有一个交点（顶点在轴上）; ：无实数根，图像与轴无交点; （3）已知根求系数，或已知系数求根，可使用韦达定理 ，。 1．（2025·广东梅州·一模）如图是二次函数的图象，图象上有两点分别为，，则关于的方程的一个根可能是（   ） A．2.18 B．2.68 C．﹣0.56 D．2.45 2．（2024·广东佛山·模拟预测）二次函数的大致图象如图所示，对称轴为：直线，下列结论：①；②；③方程有两个不相等的实数根；④．其中正确结论的是（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 ►题型02 由二次函数图像确定不等式解集 / （1）：图像在轴上方部分对应的的取值范围； （2）：图像在轴下方部分对应的的取值范围； （3）先找到与轴的交点，再根据开口方向确定解集。 1．（2025·广东广州·一模）如图，抛物线与直线相交于点和点，点，的横坐标分别为和4，则当时的取值范围为（    ） A． B． C． D．或 2．（2025·广东广州·模拟预测）如图，函数与的图象相交于点及，当（    ）时，式子． A． B． C．或 D． 3．（2025·广东惠州·一模）如图，已知抛物线与直线相交于两点，则不等式成立时，的取值范围是 ． 考点四 二次函数的实际应用 1.建模步骤 ①分析问题，确定自变量和因变量；②建立二次函数关系式；③利用性质求最值或解决实际问题。 ►题型02 拱桥问题 / （1）建立平面直角坐标系，将拱桥顶点或水面与桥的交点设为原点或关键点； （2）设二次函数表达式，代入已知点求系数； （3）求某一位置的高度或宽度，代入 或 求解。 1．（2024·广东·模拟预测）如图，小河上有一拱桥，拱桥及河道的截面轮廓线由抛物线的一部分和矩形的三边，，组成，已知河底是水平的，，，抛物线的顶点C 到的距离是， 以所在的直线为x 轴，抛物线的对称轴为y 轴建立平面直角坐标系． (1)根据题意，填空： ①顶点C 的坐标为 ； ②点B 的坐标为 (2)求抛物线的解析式． (3)已知从某时刻开始的内，水面与河底的距离l(单位：m) 随时间t(单位：h)的变化满足函数关系，且当点C到水面的距离不大于时，需禁止船只通行，请通过计算说明，在这一时段内，有多少小时禁止船只通行？ 2.（2025·广东·中考真题）如图，某跨海钢箱梁悬索桥的主跨长，主塔高，主缆可视为抛物线，主缆垂度，主缆最低处距离桥面，桥面距离海平面约．请在示意图中建立合适的平面直角坐标系，并求该抛物线的表达式． ►题型01 销售利润问题 / （1）建立利润模型：利润 = (售价 - 成本) × 销售量； （2）设涨价或降价为 ，表示出售价和销售量，得到利润关于 的二次函数； （3）求最值：利用顶点公式或配方法，注意自变量 的实际意义（如销售量不能为负）。 1．（2025·广东茂名·模拟预测）为落实国家“乡村振兴战略”，切实提高农民的收入，某合作社将农户种植的无花果加工包装后进行销售，已知种植及加工无花果的综合成本为30元/千克，售价为50元/千克时，每天可出售2000千克，经市场调查发现每降价1元，一天多售出250千克． (1)如果每天的利润要比原来多5000元，并使顾客得到更大的优惠，每千克售价为多少元？ (2)要使每天的利润取得最大值，每千克售价为多少元？ 2．（2024·广东·中考真题）广东省全力实施“百县千镇万村高质量发展工程”，2023年农产品进出口总额居全国首位，其中荔枝鲜果远销欧美．某果商以每吨2万元的价格收购早熟荔枝，销往国外．若按每吨5万元出售，平均每天可售出100吨．市场调查反映：如果每吨降价1万元，每天销售量相应增加50吨．该果商如何定价才能使每天的“利润”或“销售收入”最大？并求出其最大值．（题中“元”为人民币） 课后练习 2026年3月9日初中数学作业 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、单选题 1．（2026·陕西西安·二模）下列关于直线（为常数）与直线的交点情况，判断正确的是（   ） A．没有交点 B．有一个交点，且交点在第一象限 C．有一个交点，且交点在第二象限 D．有一个交点，且交点不在第四象限 2．（25-26九年级上·陕西渭南·期末）已知一次函数（k为常数，）中y随x的增大而减小，则一次函数的图象不经过（　　） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 3．（24-25九年级下·黑龙江哈尔滨·开学考试）已知反比例函数的图象位于第一、第三象限，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 4．（25-26九年级上·山东滨州·期末）关于反比例函数的图象，下列说法正确的是（    ） A．图象必经过点 B．两个分支分布在第二、四象限 C．两个分支关于x轴成轴对称 D．当时，y的值随x的增大而减小 5．（24-25九年级下·黑龙江哈尔滨·开学考试）将抛物线 向下平移 2 个单位，再向右平移 2 个单位，所得到的抛物线解析式是（    ） A． B． C． D． 6．（25-26九年级上·河北张家口·期末）如图是嘉嘉求抛物线的顶点坐标的过程，则（   ） 解：∵ …………① ………………② ∴抛物线的顶点坐标为………③ A．该过程完全正确 B．该过程从①开始出错 C．该过程从②开始出错 D．该过程从③开始出错 二、填空题 7．（25-26八年级上·贵州毕节·期末）已知点关于轴的对称点在直线上，则的值为___________． 8．（25-26八年级上·广东深圳·期末）如图，在平面直角坐标系中，直线：与直线：相交于点，则关于x的方程的解为_________． 9．（2026·陕西西安·二模）如图，点在反比例函数的图象上，过点作轴，垂足为，与反比例函数的图象交于点．若，则的值为______． 10．（25-26九年级下·广西河池·开学考试）在平面直角坐标系中，点，在反比例函数的图象上，则________（填“”“”或“”）． 11．（25-26九年级上·陕西商洛·期末）已知点在函数的图象上，则的大小关系是_____． 12．（2026·湖南衡阳·一模）已知二次函数，图象的一部分如图所示，该函数图象经过点，对称轴为直线．对于下列结论：①；②；③；④（其中）；⑤若和均在该函数图象上，且，则．其中正确结论的个数共有_____个． 三、解答题 13．（2026·陕西西安·二模）某品牌烤箱新增一种安全烤制模式，在此模式下烤箱内温度匀速升至时烤箱停止加热，随后烤箱内温度下降至初始温度．该品牌烤箱安全烤制模式下烤箱内温度与加热时间之间的函数图象如图所示． (1)求该品牌烤箱的烤箱内温度匀速上升期间与之间的函数表达式． (2)若食物在及以上的温度中烤制6分钟以上才可健康食用，请通过计算说明该模式下烤制的食物能否健康食用． 14．（25-26九年级下·河北廊坊·开学考试）在九三阅兵筹备阶段，某军工企业需向阅兵训练基地运送一批高精度装备配件．运输时，配件需用专用包装箱封装，已知每批运输使用的包装箱数量y（单位：个，）与每个包装箱的实际装载重量x（单位：）成反比例关系．当使用40个包装箱时，每个包装箱的实际装载重量为，且每个包装箱的最大安全装载重量为． (1)求y与x之间的函数表达式，并写出自变量x的取值范围； (2)该企业每次运输这批配件的总运输费用由两部分组成：一是固定运输费800元，二是按包装箱数量计算的耗材费，每个包装箱的耗材费为15元．若某次运输的总费用不超过1550元，求每个包装箱的最少装载重量． 15．（25-26九年级下·广东惠州·开学考试）如图，在平面直角坐标系中，直线与轴交于点，与轴交于点，抛物线经过点，，且对称轴是直线． (1)求直线的解析式； (2)求抛物线的解析式； (3)点是直线下方抛物线上的一动点，过点作轴，垂足为，交直线于点，过点作，垂足为．求的最大值及此时点的坐标． 16．（25-26九年级下·广东惠州·开学考试）某商品的进价为每件10元，售价为每件16元，每个月可卖出100件；如果每件商品的售价每上涨1元，则每个月就会少卖出10件，但每件售价不能高于20元，设每件商品的售价上涨x元（x为整数），每个月的销售利润为元． (1)求与的函数关系式，并直接写出自变量的取值范围； (2)每件商品的售价为多少元时，每个月可获得最大利润？最大利润是多少？ (3)每件商品的售价定为多少元时，每个月的利润恰好是550元？ 学科网（北京）股份有限公司 $ 一次函数、反比例函数、二次函数 一次函数 考点一 一次函数的概念与表达式 1.正比例函数的定义 （1）形如（是常数，且）的函数叫做正比例函数。 （2）其中叫做比例系数，正比例函数是特殊的一次函数。 2.一次函数的定义 （1）形如（，是常数，且）的函数，叫做一次函数。 （2）当时，一次函数就变为正比例函数，因此正比例函数是一次函数的特例。 （3）自变量的取值范围：一般为全体实数，实际问题中需结合情境确定。 3.表达式的求解——待定系数法求解步骤： ①设：根据函数类型，设出表达式（如正比例函数设，一次函数设）。 ②代：将已知点的坐标代入表达式，得到关于（或、）的方程（组）。 ③求：解方程（组），求出（或、）的值。 ④写：将求出的系数代入所设表达式，得到最终函数解析式。 1．（2024·广东·二模）下列函数中，是的一次函数的是(　　) A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查一次函数的定义，一般地，形如（k，b为常数，且）的函数称为一次函数，据此逐项判断即可． 【详解】解：A、是一次函数，符合题意； B、不是一次函数，不符合题意； C、不是一次函数，不符合题意； D、不是一次函数，不符合题意． 故选：A． 2．（2023·广东·中考真题）（1）计算：； （2）已知一次函数的图象经过点与点，求该一次函数的表达式． 【答案】（1）；（2） 【分析】（1）先求出立方根及有理数的乘方运算，绝对值的化简，然后计算加减法即可； （2）将两个点代入解析式求解即可． 【详解】解：（1） ； （2）∵一次函数的图象经过点与点， ∴代入解析式得：， 解得：， ∴一次函数的解析式为：． 【点睛】题目主要考查实数的混合运算及待定系数法确定一次函数解析式，熟练掌握这些基础知识点是解题关键． 3．（2025·广东广州·二模）已知． (1)化简A； (2)若点在一次函数的图象上，求A的值． 【分析】本题主要考查了分式的化简求值，一次函数图象上的点的坐标特点，正确化简A是解题的关键． （1）先把小括号内的式子通分，再把除法变成乘法后约分化简即可； （2）把点P坐标代入一次函数解析式可得，据此代值计算即可得到答案． 【详解】（1）解： ； （2）解：∵点在一次函数的图象上， ∴， ∴， ∴． 考点二 一次函数的图象与性质 1.一次函数图象的形状与特征 （1）一次函数的图象是一条直线，因此画一次函数图象只需确定两个点即可。 （2）正比例函数的图象必经过原点。 （3）一般一次函数的图象必经过点（轴交点）和点（轴交点）。 2.k、b的符号与图象位置的关系 的符号 的符号 图象经过的象限 函数的增减性 第一、二、三象限 随的增大而增大 第一、三象限 随的增大而增大 第一、三、四象限 随的增大而增大 第一、二、四象限 随的增大而减小 第二、四象限 随的增大而减小 第二、三、四象限 随的增大而减小 3.图象的平移规律 （1）对于一次函数，平移时值不变，仅发生变化： 上下平移：向上平移个单位 → ； 向下平移个单位 → （上加下减）。 左右平移：向左平移个单位 → ； 向右平移个单位 → （左加右减）。 1．（2025·广东·二模）从，，3中任意取一个数作为正比例函数中的k，则正比例函数的图象经过第一、第三象限的概率是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了简单的概率计算，正比例函数图象的性质，只有当时，正比例函数的图象经过第一、第三象限，据此可确定只有数字3能使得正比例函数的图象经过第一、第三象限，由此根据概率计算公式求解即可． 【详解】解：∵只有当时，正比例函数的图象经过第一、第三象限， ∴三个数字中只有数字3能使得正比例函数的图象经过第一、第三象限， ∴从，，3中任意取一个数作为正比例函数中的k，则正比例函数的图象经过第一、第三象限的概率是， 故选：B． 2．（2025·广东·中考真题）在理想状态下，某电动摩托车充满电后以恒定功率运行，其电池剩余的能量与骑行里程之间的关系如图．当电池剩余能量小于时，摩托车将自动报警．根据图象，下列结论正确的是（   ） A．电池能量最多可充 B．摩托车每行驶消耗能量 C．一次性充满电后，摩托车最多行驶 D．摩托车充满电后，行驶将自动报警 【答案】C 【分析】本题考查了实际问题的函数图象，解题的关键是读懂函数图象，根据图象中的数据逐项求解判断即可． 【详解】由图象可得，当时，， ∴电池能量最多可充，故A错误； ， ∴摩托车每行驶消耗能量，故B错误； 由图象可得，当时，， ∴一次性充满电后，摩托车最多行驶，故C正确； ∴摩托车充满电后，行驶将自动报警，故D错误； 故选：C． ►题型01 由 k、b 的符号判断图象经过的象限 / （1）先看 ： 时图象从左到右上升，必过一、三象限； 时图象从左到右下降，必过二、四象限；再看 ： 时图象与 轴交于正半轴； 时交于负半轴； 时过原点。 1．（2023·广东广州·中考真题）已知正比例函数的图象经过点，反比例函数的图象位于第一、第三象限，则一次函数的图象一定不经过（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【分析】根据正比例函数的图象经过点，在第四象限，推出，根据反比例函数的图象位于第一、第三象限，推出，则一次函数的图象经过第一、二、四象限，即可解答． 【详解】解：∵正比例函数的图象经过点，在第四象限， ∴正比例函数经过二、四象限， ∴， ∵反比例函数的图象位于第一、第三象限， ∴， ∴一次函数的图象经过第一、二、四象限， 则一次函数的图象一定不经过第三象限， 故选：C． 【点睛】本题主要考查了一次函数的图象和性质，反比例函数的图象和性质，解题的关键是掌握一次函数和反比例函数的图象和性质． 2．（2025·广东珠海·一模）一次函数的图象不经过的象限是（   ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【分析】本题主要考查了一次函数图像的性质，掌握系数k，b与一次函数图像的位置是解题的关键． 根据系数判断一次函数经过的象限，即可得出答案． 【详解】解：一次函数中，，， ∴该函数图像经过一，二，三象限， ∴一次函数不经过第四象限． 故选：D． ►题型02 图象的平移 / （1）口诀记忆：“上加下减，左加右减”； （2）左右平移时错误地在 外的整体上加减，如将 向右平移2个单位写成 。 1．（2025·广东广州·模拟预测）在平面直角坐标系中，将函数的图象向右平移2个单位长度，则平移后的图象与y轴的交点坐标为（ ） A． B． C． D． 【分析】本题考查的是一次函数的图象与几何变换，熟知“左加右减”的原则是解答此题的关键． 根据“左加右减”的原则写出新直线解析式，由解析式求得平移后的图象与y轴交点的坐标． 【详解】解：由“左加右减”的原则可知，将函数的图象向右平移2个单位长度，所得函数的解析式为， 令，则，即平移后的图象与y轴交点的坐标为 故选：B． ►题型03 函数增减性的判断与应用 / （1）由 定增减： 时， 随 的增大而增大； 时， 随 的增大而减小。 （2）比较函数值：已知两点横坐标，根据增减性直接比较纵坐标大小；或已知函数值大小，反推横坐标的关系. 2．（2025·广东广州·二模）下列函数中，值随值的增大而增大的是（　　） A． B． C． D． 【分析】本题考查了一次函数，反比例函数以及二次函数的增减性，熟练掌握这些函数的增减性与系数的关系是解题的关键． 【详解】解：A、，抛物线开口向上，对称轴为直线，当时，的值随值的增大而增大，∴当时，的值随值的增大而增大，故本选项符合题意； B、，在每一象限内，随的增大而增大，故本选项不符合题意； C、，当时，随的增大而增大，当时，随的增大而减小，，故本选项不符合题意； D、，，的值随值的增大而减小，故本选项不符合题意； 故选：A． 3．（2025·广东佛山·二模）若点，在一次函数的图象上，则与的大小关系是（    ） A． B． C． D． 【分析】本题主要考查了一次函数的图象与性质，根据自变量系数，判断出在一次函数中，y随x的增大而减小，是解答本题的关键．根据一次函数中自变量系数的正负判断出一次函数的增减性，据此作答即可． 【详解】解：∵在一次函数中，自变量系数， ∴在一次函数中，y随x的增大而减小， ∵点，在一次函数的图象上，且， ∴， 故选：A． 考点三 一次函数与方程、不等式的联系 1.与一元一次方程的联系 一次函数的图象与轴交点的横坐标，就是一元一次方程的解。 2.与一元一次不等式的联系 不等式的解集，对应一次函数的图象在轴上方部分的的取值范围； 不等式的解集，对应一次函数的图象在轴下方部分的的取值范围。 3.与二元一次方程组的联系 两个一次函数图象的交点坐标，就是对应二元一次方程组的解。 1．（2024·广东·中考真题）已知不等式的解集是，则一次函数的图象大致是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查一次函数与一元一次不等式，解不等式的方法：从函数的角度看，就是寻求使一次函数的值大于（或小于）0的自变量x的取值范围．找到当函数图象位于x轴的下方的图象即可． 【详解】解∶∵不等式的解集是， ∴当时，， 观察各个选项，只有选项B符合题意， 故选：B． 2．（2025·广东广州·一模）如图，一次函数与的图象相交于点，则关于的方程的解是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了一元一次方程的解与一次函数图象的交点坐标，先求出点P的坐标为，由图象可以知道，当时，两个函数的函数值是相等的，即可求解． 【详解】解：根据题意得：点P的纵坐标为7， 把代入，得：， 解得：， ∴点P的坐标为， ∵一次函数与的图象相交于点P， ∴关于x的方程的解是． 故选：B． ►题型01 一次函数与一次一元方程 / （1）本质关联：一次函数 的图象与 轴交点的横坐标，就是方程 的解； （2）图象法：画出函数图象，找到与 轴的交点，直接读取横坐标； （3）代数法：解方程 即可得到解。 1．（2025·广东东莞·二模）如图，已知一次函数的图象分别与x、y轴交于A、B两点，若，，则关于x的方程的解为（   ） A． B． C． D． 【分析】本题考查了一次函数与一元一次方程，一次函数的性质，方程的解就是一次函数图象与x轴的交点的横坐标是解题的关键．利用函数图象，函数值为0，则于x的方程的解为 【详解】解：一次函数的图象与x轴相交于点， 关于x的方程的解为． 故选：C． 2．（2025·广东广州·一模）如图，一次函数与的图象相交于点，则关于的方程的解是（   ） A． B． C． D． 【分析】本题主要考查了一元一次方程的解与一次函数图象的交点坐标，先求出点P的坐标为，由图象可以知道，当时，两个函数的函数值是相等的，即可求解． 【详解】解：根据题意得：点P的纵坐标为7， 把代入，得：， 解得：， ∴点P的坐标为， ∵一次函数与的图象相交于点P， ∴关于x的方程的解是． 故选：B． ►题型02 一次函数与不等式 / （1）转化关系： 的解集 → 函数图象在 轴上方部分对应的 的取值范围； 的解集 → 函数图象在 轴下方部分对应的 的取值范围； （2）图象法：画出函数图象，观察图象在 轴上方/下方的区间； （3）代数法：直接解不等式 （或 ）。 1．（2025·广东广州·二模）如图，直线与相交于点，则不等式的解集是（　　） A． B． C． D． 【分析】此题主要考查了一次函数与一元一次不等式，解题的关键是得出两函数图象的交点横坐标，根据函数图象可得答案．先求得点A的横坐标，观察函数图象得到在点A的左边部分的点的横坐标范围即可求解． 【详解】解：∵直线与相交于点，点A的纵坐标为3， ∴将代入中，得，则， ∴， 由图象得，不等式的解集是， 故选：B． 2．（2025·广东湛江·二模）如图，一次函数与的图象都经过点，则不等式的解集为 ． 【分析】本题考查了一次函数与一元一次不等式的关系，解题的关键是找出函数的交点．首先需要找出两个函数的交点，然后根据函数图象即可确定不等式的解集． 【详解】解：由题意知，一次函数与的图象都经过点， 由于， 所以． 故答案为：． 3．（2024·广东东莞·模拟预测）如图，观察直线与直线的图象，则二元一次方程组的解为（　　） A． B． C． D． 【分析】本题考查了一次函数图像与二元一次方程组的关系，函数图象交点坐标为两函数解析式组成的方程组的解． 直接根据图象作答即可． 【详解】解：由图象可知直线与直线有公共点， ∴二元一次方程组的解为， 即二元一次方程组的解为， 故选：A． 4．（25-26八年级上·广东揭阳·期末）如图，已知一次函数和的图象交于点P，则根据图象可得关于x，y的二元一次方程组的解是（   ） A． B． C． D． 【分析】本题主要考查两条直线的交点与二元一次方程组的解的关系，理解图示，掌握两条直线的交点的特点是解题的关键． 根据两直线的交点的特点即可求解． 【详解】解：一次函数和的图象交于点， 点的横纵坐标是关于，的二元一次方程组的解， 即二元一次方程组的解为， 故选：C． 考点四 一次函数的实际应用 1.解题步骤 ①审：理解题意，找出变量之间的关系； ②设：设自变量和函数，建立一次函数模型； ③列：根据题意列出函数表达式，并确定自变量的取值范围； ④解：利用函数性质求解问题（如最值、方案比较等）； ⑤答：检验结果合理性，写出答案。 1．（2025·广东深圳·中考真题）某学校采购体育用品，需要购买三种球类．已知某体育用品商店排球的单价为30元/个，篮球，足球的价格如下表： ①篮球、足球、排球各买一个的价格为140元 ②购买2个足球的价格比购买一个篮球多花费40元 ③购买5个篮球与购买6个足球花费相同 (1)请你从上述3个条件中任选2个作为条件，求出篮球和足球的单价； (2)若该学校要购买篮球，足球共10个，且足球的个数不超过篮球个数的2倍，请问购买多少个篮球时，花费最少，最少费用是多少？ 【答案】(1)每个篮球60元，每个足球50元 (2)当购买篮球4个的时候，所花费用最少 【分析】本题考查二元一次方程组，一元一次不等式，一次函数的实际应用，正确的列出方程组，不等式和一次函数解析式，是解题的关键： （1）设每个篮球元，每个足球元，根据表格信息，列出二元一次方程组进行求解即可； （2）设蓝球有个，购买的总费用是元，根据题意，列出不等式求出的范围，列出一次函数解析式，根据一次函数的性质，求最值即可． 【详解】（1）解：设每个篮球元，每个足球元，由题意，得： 或或，（三个方程组任选一个即可） 解得：； 答：每个篮球60元，每个足球50元． （2）设蓝球有个，则足球有个 ， 解得：， 设购买的总费用是元， ， ， 随着的减小而减小； ∵且为整数， 当最小值为4时，最小值为540元； 答：当购买篮球4个的时候，所花费用最少． 2．（2023·广东广州·中考真题）因活动需要购买某种水果，数学活动小组的同学通过市场调查得知：在甲商店购买该水果的费用（元）与该水果的质量x（千克）之间的关系如图所示；在乙商店购买该水果的费用（元）与该水果的质量x（千克）之间的函数解析式为（）.    (1)求与x之间的函数解析式； (2)现计划用600元购买该水果，选甲、乙哪家商店能购买该水果更多一些？ 【答案】(1)当时，；当时， (2)选甲家商店能购买该水果更多一些 【分析】（1）利用待定系数法求解析式； （2）分别计算时时x的值，比较即可得到结论 【详解】（1）解：当时，设， 将代入，得， ∴， ∴； 当时，设，将点，代入，得 ，解得， ∴ （2）当时，，解得； 当时，，解得， ∵， ∴选甲家商店能购买该水果更多一些． 【点睛】此题考查了一次函数的实际应用，待定系数法求一次函数的解析式，求自变量的值，正确理解函数图象是解题的关键． ►题型01 销售利润问题 / （1）利润 = 单件利润 × 销售量。 3．（2025·广东深圳·中考真题）某学校采购体育用品，需要购买三种球类．已知某体育用品商店排球的单价为30元/个，篮球，足球的价格如下表： ①篮球、足球、排球各买一个的价格为140元 ②购买2个足球的价格比购买一个篮球多花费40元 ③购买5个篮球与购买6个足球花费相同 (1)请你从上述3个条件中任选2个作为条件，求出篮球和足球的单价； (2)若该学校要购买篮球，足球共10个，且足球的个数不超过篮球个数的2倍，请问购买多少个篮球时，花费最少，最少费用是多少？ 【分析】本题考查二元一次方程组，一元一次不等式，一次函数的实际应用，正确的列出方程组，不等式和一次函数解析式，是解题的关键： （1）设每个篮球元，每个足球元，根据表格信息，列出二元一次方程组进行求解即可； （2）设蓝球有个，购买的总费用是元，根据题意，列出不等式求出的范围，列出一次函数解析式，根据一次函数的性质，求最值即可． 【详解】（1）解：设每个篮球元，每个足球元，由题意，得： 或或，（三个方程组任选一个即可） 解得：； 答：每个篮球60元，每个足球50元． （2）设蓝球有个，则足球有个 ， 解得：， 设购买的总费用是元， ， ， 随着的减小而减小； ∵且为整数， 当最小值为4时，最小值为540元； 答：当购买篮球4个的时候，所花费用最少． 4．（2023·广东广州·中考真题）因活动需要购买某种水果，数学活动小组的同学通过市场调查得知：在甲商店购买该水果的费用（元）与该水果的质量x（千克）之间的关系如图所示；在乙商店购买该水果的费用（元）与该水果的质量x（千克）之间的函数解析式为（）.    (1)求与x之间的函数解析式； (2)现计划用600元购买该水果，选甲、乙哪家商店能购买该水果更多一些？ 【分析】（1）利用待定系数法求解析式； （2）分别计算时时x的值，比较即可得到结论 【详解】（1）解：当时，设， 将代入，得， ∴， ∴； 当时，设，将点，代入，得 ，解得， ∴ （2）当时，，解得； 当时，，解得， ∵， ∴选甲家商店能购买该水果更多一些． 【点睛】此题考查了一次函数的实际应用，待定系数法求一次函数的解析式，求自变量的值，正确理解函数图象是解题的关键． 反比例函数 考点一 反比例函数的意义与表达式 1.核心定义 一般地，形如 （ 为常数，，）的函数叫做反比例函数，其中是自变量，是的反比例函数；自变量取值范围是非零实数，函数值取值范围也是非零实数。 2.三种等价表达式 标准式： 乘积式：（最常用，用于求值、判断反比例关系） 指数式：（考查函数类型判断，注意指数为且系数） 3.待定系数法求解析式 已知反比例函数图像上一个点的坐标，代入任意一种表达式即可求出，进而确定解析式。 例：点在反比例函数图像上，代入得，解析式为。 1.（2025·广东广州·二模）化简求值：． (1)化简T； (2)若点在反比例函数的图象上，求T的值． 【分析】本题主要考查了分式的化简求值，反比例函数的定义． （1）根据分式的运算法则化简即可； （2）将点的坐标代入关系式可得，再整体代入求值即可． 【详解】（1）解： ； （2）解：∵点在反比例函数的图象上， ∴， ∴， ∴． 2.（2025·广东清远·一模）一次函数与反比例函数的图象都经过点，求一次函数和反比例函数的解析式． 【分析】本题考查了求反比例函数的解析式、求一次函数的解析式，利用待定系数法求解即可，熟练掌握待定系数法是解此题的关键． 【详解】解：反比例函数的图象经过点， ． 反比例函数的解析式为． 一次函数的图象经过点， ， 解得． 一次函数的解析式为． ►题型01 待定系数法求反比例函数表达式 / （1）求反比例函数解析式的步骤： ①设反比例函数解析式为； ②代入图像上已知点的坐标 ，利用求出； ③写出解析式，并注明自变量取值范围。 1．（2024·广东云浮·二模）如图，正比例函数的图象与反比例函数的图象都经过点．求点的坐标和反比例函数解析式． 【分析】本题考查了一次函数及反比例函数图像上点的坐标特点，把点代入一次函数求出的值即可得出点的坐标，再把点的坐标代入反比例函数求出的值即可，熟练掌握待定系数法求函数解析式是解题的关键． 【详解】解：正比例函数的图象经过点， ∴， 解得， ∴， ∵反比例函数的图象经过点， ∴， ∴反比例函数解析式为：． 2．（2024·广东珠海·一模）如图，一次函数和反比例函数的图象交于点，与y轴交于点A．    (1)求反比例函数的解析式： (2)直接写出时x的取值范围． 【分析】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，交点坐标满足两个函数解析式． （1）将点代人一次函数解出值，即可得到反比例函数解析式； （2）根据函数图象直接写出不等式解集即可． 【详解】（1）解： 点在一次函数图象上， ，解得． ， 点在反比例函数图象上， ， 反比例函数解析式为：． （2）令，即， 解得：（舍去）或， ∴ ， 根据图像可知，时的取值范围为：． 考点二 反比例函数的图象与性质 1.图像特征 反比例函数的图像是双曲线，有两个分支，且永不与坐标轴相交（因、）； 双曲线关于原点成中心对称，关于直线和成轴对称。 2.核心性质 的符号 图像所在象限 第一、三象限 第二、四象限 增减性 在每个象限内，随的增大而减小 在每个象限内，随的增大而增大 分支趋势 从第一象限向第三象限逐渐靠近坐标轴，无限延伸 从第二象限向第四象限逐渐靠近坐标轴，无限延伸 1.（2025·广东广州·中考真题）若，反比例函数的图象在（   ） A．第一、二象限 B．第一、三象限 C．第二、四象限 D．第三、四象限 【分析】本题考查的是绝对值的化简，反比例函数图象的性质，由绝对值的性质得出k的符号，再根据反比例函数的图象性质确定其所在象限． 【详解】解：确定k的符号： 由题设条件且，根据绝对值的非负性，右边，即．又因，故为负数． ∵反比例函数的图象位置由的符号决定： 当时，图象位于第一、三象限； 当时，图象位于第二、四象限． 因为负数，故图象在第二、四象限． 综上，正确答案为选项C． 故选：C 2.（2025·广东深圳·模拟预测）关于函数有如下结论：①函数图象一定经过点；②函数图象在第一、三象限；③函数值y随x的增大而减小；④当时，y的取值范围为．其中正确的有（    ）个． A．1 B．2 C．3 D．4 【分析】本题考查了反比例函数的图象性质，增减性，正确掌握相关性质内容是解题的关键．根据，得出函数图象一定经过点；又因为，则函数图象在第一、三象限，且在每个象限内，y随x的增大而减小；先求出当时，则，再结合函数图象性质进行分析，即可作答． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴函数图象一定经过点， 故①符合题意； ∵此函数中， ∴函数图象在第一、三象限， 故②符合题意； ∵ ∴在每个象限内或在双曲线的每一支上，函数值y随x的增大而减小， 故③不符合题意； ∵， ∴当时，则 ∴当时，y的取值范围为， ∴故④不符合题意； 故选：B． ►题型01 函数增减性的判断与应用 / （1）时，在每个象限内随增大而减小；时，在每个象限内随增大而增大。 1．（2024·广东·二模）下列函数中，函数值y随x的增大而增大的是（    ） A． B． C． D． 【分析】本题主要考查一次函数和反比例函数图象的性质，解题的关键是熟记函数图象的性质；根据一次函数的图象性质和反比例函数图象的性质一一判断即可得到答案； 【详解】解：A、根据一次函数图象的性质，∵， ∴函数值y随x的增大而增大，故A正确； B、根据一次函数图象的性质，∵， ∴函数值y随x的增大而减小，故B错误； C、根据反比例函数图象的性质，∵， ∴在每个象限内，y随x的增大而减小，故C错误； D、根据反比例函数图象的性质，∵， ∴在每个象限内，y随x的增大而增大，故D错误； 故选：A． 2．（2025·广东佛山·三模）点在函数图象上，下列说法正确的是（   ） A．y随x的增大而增大 B．图象关于y轴对称 C．点和点都在图象上 D．当时， 【分析】本题考查了反比例函数的性质，包括函数的增减性、对称性和点的坐标关系，解题的关键在于理解反比例函数的基本性质，特别是函数图像的分布特点和对称性，以及通过给定的点验证其他点是否满足函数关系，从而判断各选项的正确性．结合点在图象上的条件，逐一分析选项的正确性． 【详解】解：A、反比例函数，在每个象限内y随x的增大而增大，选项说法不正确，不符合题意； B、反比例函数，图象分布在第二、四象限，图象关于原点对称，选项说法不正确，不符合题意； C、点在函数图象上，所以点和点都在图象上，选项说法正确，符合题意； D、当时，，选项说法不正确，不符合题意； 故选：C． ►题型02 由k的符号判断图象所在象限 / （1）易把的符号与象限对应关系记反； （2）易忽略图象是双曲线，有两个分支，并非只在一个象限。 1．（2025·广东汕头·三模）反比例函数的图象经过第（   ）象限 A．一、二 B．二、四 C．一、三 D．三、四 【分析】本题考查反比例函数图象与性质，根据反比例函数的基本性质，当比例系数为正时，函数图象位于第一、三象限；当比例系数为负时，位于第二、四象限，熟记反比例函数图象与性质是解决问题的关键． 【详解】解：反比例函数为，其比例系数， 反比例函数的图象经过第一、三象限， 故选：C． 2．（2025·广东茂名·模拟预测）如果反比例函数（是常数）的一支图象在第二象限，那么的值可以是（    ） A． B．0 C．1 D． 【分析】根据反比例函数（是常数）的一支图象在第二象限，得到，解答即可． 本题考查了反比例函数的图象与性质，熟练掌握性质是解题的关键． 【详解】解：∵反比例函数（是常数）的一支图象在第二象限， ∴， 故选：A． ►题型03 反比例函数的对称性应用 / （1）中心对称：图象关于原点对称，若点在图象上，则也在图象上； （2）轴对称：图象关于直线和对称； （3）解题时，利用对称性直接写出对称点的坐标，或判断点是否在图象上。 1．（2025·广东江门·三模）若正比例函数的图象与反比例函数（）的图象交于A，B两点，如果点A的坐标是，那么点的坐标是（   ） A． B． C． D． 【分析】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，熟练掌握该知识点是关键．根据反比例函数与正比例函数图象关于原点成中心对称图形解答即可． 【详解】解：依题意，点 与点关于原点成中心对称图形， ∴点的坐标是 故选：A． 2．（2023·广东广州·一模）已知： (1)化简A； (2)从条件①、条件②这两个条件中选择一个作为已知，求A的值． 条件①：若点是反比例函数图象上的点； 条件②：若a是方程的一个根． 【分析】（1）根据分式通分、平方差公式化简即可； （2）根据反比例函数点的特征和一元二次方程解的定义即可求出，代入即可． 【详解】（1）解： ； （2）解：①点是反比例函数图象上的点， ∴， ∴； ②是方程的一个根， ∴， ∴， ∴； 【点睛】本题考查分式化简，涉及到反比例函数点的特征和一元二次方程的解，正确化简分式是关键． ►题型04 比较反比例函数值或自变量的大小 / （1）先确定的符号，明确每个象限内的增减性； （2）若已知自变量大小，先判断自变量所在象限，再根据增减性判断函数值大小； （3）若已知函数值大小，同理先判断函数值所在象限，再判断自变量大小。 1．（2025·广东梅州·一模）在反比例函数的图象上有三个点，则函数值，的大小关系为（　　） A． B． C． D． 【分析】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，先分别求出的值，再比较大小即可，熟练掌握反比例函数的性质是解此题的关键． 【详解】解：在反比例函数的图象上有三个点， ，，， ， ， 故选：C． 2．（2025·广东茂名·模拟预测）若点，，都在反比例函数的图象上，则，，的大小关系是（   ） A． B． C． D． 【分析】本题考查了反比例函数的图像和性质． 根据反比例函数的性质，当时，函数图象分布在第一、三象限，进而可判断各点值的大小关系． 【详解】解：∵， ∴函数图象分布在第一、三象限， 点的横坐标，位于第三象限，故． 点和的横坐标均大于0，位于第一象限，故，． ∵在第一象限内，随的增大而减小， ∴． 综上，， 故选：A． 3．（2024·广东广州·一模）已知点在双曲线上，若，则的取值范围是 ． 【分析】本题考查了反比例函数的性质，由题意得出，求解即可得出答案，熟练掌握反比例函数的性质是解此题的关键． 【详解】解：点在双曲线上，且， ， 解得：， 故答案为：． 考点三 反比例函数中k的几何意义 1.基础模型 过反比例函数图像上任意一点，作轴于，轴于，连接，则： ①矩形的面积：； ②直角三角形（或）的面积：。 2.常见变形模型 （1）双点垂线模型：若、在反比例函数图像上，分别作轴、轴垂线，垂足为、，则 ； （2）过原点的直线与双曲线相交模型：若直线与反比例函数交于、两点，则、关于原点对称，且（取点作垂线，结合中心对称）； （3）坐标轴上的定点模型：若反比例函数图像上一点，连接与轴（或轴）上定点，则可通过割补法将三角形面积转化为基础模型的。 3.关键结论 的几何意义中，面积仅与有关，与点在图像上的位置无关；若已知面积，求时，需结合象限判断的正负。 ►题型01 由矩形、直角三角形面积求k值 / （1）过双曲线上一点作轴、轴垂线，构造矩形或直角三角形； （2）矩形面积 ，直角三角形面积； （3）由已知面积求出，再根据点所在象限判断的正负。 1．（2025·广东河源·模拟预测）如图，点在反比例函数图象上，轴于点，若的面积等于3，则的值是（    ） A．3 B． C．6 D． 【分析】本题考查反比例函数中的几何意义．由的面积为3，可得，再结合图象经过一、三象限，从而可确定的值． 【详解】解：的面积为3， ， ， ， 图象经过一、三象限 ， ， 故选：C． ►题型02 由k值求图形面积 / （1）明确图形是矩形还是直角三角形； （2）若为复杂图形，用割补法转化为矩形或直角三角形，再用 k 的几何意义计算。 2．（2024·广东汕头·一模）如图，点A在函数的图像上，点B在函数的图像上，且轴，轴于点，则四边形的面积为（    ） A．1 B．2 C． D． 【分析】本题考查反比例函数与几何图形的综合应用．熟练掌握反比例函数中的几何意义，是解题的关键． 延长交轴于点，根据反比例函数值的几何意义得到，，根据四边形的面积等于，即可得解． 【详解】解：延长交轴于点， 轴， 轴， 点在函数的图象上， ， 轴于点，轴，点在函数的图象上， ， 四边形的面积等于； 故选：C． 3．（2024·广东清远·二模）如图为反比例函数的图像，点为反比例函数图像上一点，点坐标为，以为边作菱形，使得点在轴上，则的面积是 ． 【分析】本题考查了反比例函数的几何意义，菱形的性质，连接交轴于点，根据题意得出，，进而根据菱形的性质，即可求解． 【详解】解：如图所示，连接交轴于点， ∵反比例函数，点坐标为 ∴ ∵四边形是菱形， ∴ 故答案为：． 考点四 反比例函数的实际应用 1.解题关键 （1）分析实际问题中两个变量的关系，判断是否为反比例关系（乘积为定值）； （2）设反比例函数解析式，利用实际数据求； （3）根据解析式求解实际问题，注意自变量的实际取值范围（如长度、时间、数量为正数）。 1.（2025·广东肇庆·三模）机器狗是一种模拟真实犬只形态和部分行为的机器装置，最快移动速度是载重后总质量的反比例函数．已知一款机器狗（如图所示）载重后总质量时，它的最快移动速度；当其载重后总质量时，它的最快移动速度（   ）． A．4 B．3 C．2 D．1 【分析】本题考查反比例函数的应用，根据待定系数法求出v与M的函数关系式，当时，求出对应v的值即可． 【详解】解：最快移动速度是载重后总质量的反比例函数， ∴设v与M的函数关系式为（k为常数，且）， 将，代入得：， ， ∴v与M的函数关系式为， 时，， ∴当其载重后总质量时，它的最快移动速度． 故选：D． ►题型01 实际问题与反比例函数 / （1）分析实际问题中两个变量的关系，判断是否为反比例关系（乘积为定值）； （2）设反比例函数解析式，利用已知数据求； （3）根据解析式求解实际问题，注意自变量的实际取值范围（如时间、长度、数量均为正数）。 2．（2025·广东·二模）【实验与探究】 在一次综合实践活动课上，小明设计了一个探究杠杆平衡条件的装置．如图，左边固定的托盘A 中放置一个重物，右边可左右移动的托盘B 中放置若干数量的砝码．改变托盘 B与点O 之间的距离x（单位：），调整托盘B中砝码的总质量y（单位：），使装置重新在水平位置平衡（平衡时遵循杠杆的平衡条件），根据实验结果得到如下表格： 托盘B与点O之间的距离 10 20 30 40 托盘B中砝码的总质量 60 30 20 15 (1)小明根据上述数据确定y与x之间是反比例函数关系，请运用表格中的数据求y与x之间的函数关系式； (2)当砝码的总质量为时，求托盘B与点O之间的距离； (3)已知该装置能够放置的托盘B 与点O之间的最大距离为，求装置在水平位置平衡时托盘B 中砝码的最小总质量． 【分析】本题主要考查了反比例函数的实际应用，正确理解题意求出对应的函数解析式是解题的关键． （1）设出解析式并利用待定系数法求解即可； （2）根据（1）所求求出函数值为10时的自变量的值即可得到答案； （3）求出自变量的值为120时的函数值，再判断出函数的增减性即可得到答案． 【详解】（1）解：设y与x之间的函数关系式为， 由表格中的数据可知，当时，， ∴， ∴， ∴y与x之间的函数关系式为； （2）解：在中，当时，， ∴当砝码的总质量为时，托盘B与点O之间的距离为； （3）解：在中，当时，， ∵， ∴在第一象限内，y随x增大而减小， ∴当时，， ∴装置在水平位置平衡时托盘B 中砝码的最小总质量为． 3．（2025·广东广州·一模）某商户购进苹果1575千克，为寻求合适的销售价格，进行了5天试销， 试销情况如下： 第1天 第2天 第3天 第4天 第5天 售价（元/千克） 18 15 12 10 9 销售量（千克） 50 60 75 90 100 (1)根据表中的数据，从一次函数和反比例函数中选择一个函数模型，使得它能近似的反映试销期间这批苹果每天的销售量（千克）与售价（元/千克）之间的函数关系，并求出这个函数关系式（不要求写出的取值范围）; (2)若在这批苹果的后续销售中，每天的销售量（千克）与售价（元/千克）之间都满足（1）中的函数关系．在试销5天后，该商户决定将这批苹果的售价定为10元/千克，但销售10天后，该商户为清空库存，计划用不超过2天的时间全部售完，则新的售价最高定为多少元/千克，才能使后面2天都按新的售价销售且能如期全部售完？ 【分析】本题考查了反比例函数的性质、一元一次方程的应用，熟练掌握以上知识点是关键． （1）根据表格数据可知乘积恒为900，说明y与x成反比例函数，再利用待定系数法求出反比例函数解析式即可； （2）根据题意，先求出新售价前的剩余量300千克，再设新售价为a元/千克，则每天的销量为千克，根据题意列出方程求出a值即可． 【详解】（1）与之间满足反比例函数关系，设解析式为． 把代入，得． 关于的函数表达式为． （2）试销6天共销售苹果千克 苹果的售价定为10元/千克时，每天的销售量为90千克， 销售10天后，还剩下苹果（千克）． 由，得． 把代入中得， ，随的增大而减小， 当时，， 新的售价最高可以定为6元/千克， 答：新的售价最高定为6元/千克，才能使后面2天都按新的售价销售且能如期全部售完． 考点五 反比例函数与其他知识综合 1.反比例函数与一次函数的综合 （1）求一次函数与反比例函数的解析式：已知交点坐标、点的坐标，分别用待定系数法求解； （2）求交点坐标：联立一次函数与反比例函数的解析式，解二元方程组（注意验根，舍去使反比例函数无意义的根）； （3）利用图像解不等式：根据交点坐标，结合图像判断一次函数值（或）反比例函数值的取值范围； （4）求图形面积：结合一次函数、反比例函数的交点，作坐标轴垂线，用割补法（分割为直角三角形、矩形）计算面积，核心结合的几何意义。 2.反比例函数与几何的综合 （1）坐标化：将几何图形的边长、面积、对称关系转化为点的坐标关系，所有几何条件最终落地到反比例函数图像上点的横、纵坐标； （2）纽带化：以反比例函数和k的几何意义为核心，连接几何图形的面积、边长与函数解析式； （3）辅助线核心：过双曲线上任意一点作 x 轴、y 轴的垂线（垂线段模型），是所有该题型的必作辅助线，直接构造与k相关的矩形 、直角三角形。 1.（2025·广东深圳·中考真题）如图，同一平面直角坐标系下的正比例函数与反比例函数相交于点和点．若的横坐标为1，则的坐标为 ． 【分析】本题考查反比例函数与一次函数图象的交点问题，根据的横坐标为1，求出的值，进而求出点坐标，再根据对称性求出点的坐标即可． 【详解】解：令， ∵同一平面直角坐标系下的正比例函数与反比例函数相交于点和点，的横坐标为1， ∴， ∴， ∴， ∴当时，， ∴， ∵正比例函数与反比例函数的图象均关于原点对称， ∴点关于原点对称， ∴； 故答案为：． 二次函数 考点一 二次函数的概念与表达式 1.二次函数的定义 形如 （， 为常数）的函数，叫做二次函数。 2.二次函数的三种表达式 一般式：（）； 顶点式：（，顶点坐标 ）； 交点式：（，与 轴交点坐标 、）。 1.（2024·广东·模拟预测）下列函数中，y是x的二次函数的是（　　） A． B． C． D． 【分析】本题考查二次函数的识别，直接利用二次函数解析式的一般形式进行分析得出答案． 【详解】解：A、，不是二次函数，故此选项不符合题意； B、，不是二次函数，故此选项不符合题意； C、不是二次函数，故此选项不符合题意； D、是二次函数，故此选项符合题意； 故选：D． 2．（2025·广东·中考真题）已知二次函数的图象经过点，但不经过原点，则该二次函数的表达式可以是 ．（写出一个即可） 【分析】本题考查待定系数法确定二次函数表达式，先由二次函数的图象经过点，得到，再由二次函数的图象不经过原点，得到，从而得确定，若取，即可得到，从而确定函数表达式．熟练掌握待定系数法确定函数表达式的方法是解决问题的关键． 【详解】解：二次函数的图象经过点， ， 二次函数的图象不经过原点， ， 则， 若取，则， 该二次函数的表达式可以是， 故答案为：（答案不唯一）． ►题型01 待定系数法求二次函数表达式 / （1）勿忘记 ，不要将一次函数当成二次函数； （2）顶点式中，顶点坐标 注意不要写成 ； （3）交点式中， 是与x轴交点的横坐标，使用时需注意符号。 1．（2025·广东茂名·模拟预测）一个二次函数的图象经过，，三点．求：这个二次函数的解析式． 【分析】本题考查了用待定系数法求二次函数的解析式．在利用待定系数法求二次函数关系式时，要根据题目给定的条件，选择恰当的方法设出关系式，从而代入数值求解．设一般式，再把三个点的坐标代入得到关于a、b、c的方程组，然后解方程组求出a、b、c即可． 【详解】解：设抛物线的解析式为， 根据题意得：， 解得：， 所以抛物线的解析式为． 2．（2024·广东·模拟预测）已知二次函数图象的顶点坐标是，且经过点，求该二次函数的解析式． 【分析】本题考查的是利用待定系数法求解二次函数的解析式，根据题意设二次函数的解析式为，把代入即可得到答案． 【详解】解：二次函数图象的顶点坐标是 ， ∴二次函数的解析式可设为． 把代入 ， 得 ， 解得 ． ∴该二次函数的解析式为． ►题型02 根据图像或条件确定二次函数的系数 / （1）开口方向：开口向上 ，开口向下 ； （2）对称轴：，结合 的符号判断 的符号（“左同右异”）； （3）与y轴交点：交点在正半轴 ，在负半轴 ，过原点 ； （4）特殊点：如 时 ， 时 。 1．（2024·广东广州·一模）已知二次函数，当时，的最小值为，则的值为（    ）． A．或4 B．或 C．或4 D．或4 【分析】本题主要考查二次函数的性质，分两种情况讨论，并且利用二次函数的性质即可解答． 【详解】解：二次函数的对称轴为：直线， （1）当时，当时，随的增大而减小，当，随的增大而增大， 当时，取得最小值， ， ； （2）当时，当时，随的增大而增大，当，随的增大而减小， 当时，取得最小值， ， ． 故选：D． 2．（2023·广东·中考真题）如图，抛物线经过正方形的三个顶点A，B，C，点B在轴上，则的值为（   ）    A． B． C． D． 【分析】连接，交y轴于点D，根据正方形的性质可知，然后可得点，进而代入求解即可． 【详解】解：连接，交y轴于点D，如图所示：    当时，则，即， ∵四边形是正方形， ∴，， ∴点， ∴， 解得：， 故选B． 【点睛】本题主要考查二次函数的图象与性质及正方形的性质，熟练掌握二次函数的图象与性质及正方形的性质是解题的关键． 考点二 二次函数的图象与性质 1.图像形状 抛物线，是轴对称图形。 2.开口方向 ⇒ 开口向上，有最小值； ⇒ 开口向下，有最大值。 3.对称轴与顶点 对称轴：直线 ；顶点坐标： 。 4.增减性 ：在对称轴左侧， 随 增大而减小；右侧， 随 增大而增大。 ：在对称轴左侧， 随 增大而增大；右侧， 随 增大而减小。 5.与坐标轴的交点 与 轴交点：； 与 轴交点：令 ，解一元二次方程 ，根的个数由判别式 决定： ⇒ 两个交点； ⇒ 一个交点（顶点在 轴上）； ⇒ 无交点。 6.图像的平移（左加右减，上加下减） 设原二次函数为顶点式： 左右平移：针对自变量 进行操作 向左平移 个单位：（ 加 ）； 向右平移 个单位：（ 减 ）； 上下平移：针对常数项 进行操作 向上平移 个单位：（整体加 ）； 向下平移 个单位：（整体减 ）。 注意：平移只改变顶点位置，不改变抛物线的开口方向和大小（即 的值不变）。 7.图像的翻折 设原二次函数为顶点式： （1）关于x轴翻折（上下翻转）：顶点 变为 ，开口方向相反（ 变为 ）， 解析式：； （2）关于y轴翻折（左右翻转）：顶点 变为 ，开口方向不变（ 不变）， 解析式：； （3）关于原点翻折（中心对称）：顶点 变为 ，开口方向相反（ 变为 ）， 解析式：； 注意：翻折后，抛物线的形状（开口大小）不变，只改变开口方向和顶点位置。 1.（2025·广东江门·三模）已知，，则y关于x的二次函数的图象可能是（   ） A． B． C． D． 【分析】本题考查二次函数图象的判断，掌握其性质是解题的关键．根据，，得出，再根据二次函数图象与系数关系即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∴， ∴的图象开口向上，与轴的交点在与之间， 观察四个选项，只有B项的图象符合条件． 故选：B． ►题型01 函数增减性的判断与应用 / （1）先确定对称轴 ； （2）根据 的符号判断增减区间： ①：对称轴左侧递减，右侧递增； ②：对称轴左侧递增，右侧递减。 2．（2025·广东广州·一模）下列函数中，值随值的增大而减小的是（   ）． A． B． C． D． 【分析】本题考查了一次函数，反比例函数以及二次函数的增减性，熟练掌握这些函数的增减性与系数的关系是解题的关键． 【详解】解：A、，对称轴为直线，当时，的值随值的增大而增大，当时，的值随值的增大而减小，故本选项不符合题意； B、，在每一象限内，随的增大而增大，故本选项不符合题意； C、，，随的增大而增大，故本选项不符合题意； D、，，，的值随值的增大而减小，故本选项符合题意； 故选：D． ►题型02 二次函数图像的平移 / （1）先将函数化为顶点式 ； （2）遵循“左加右减，上加下减”原则； （3）对 进行平移时，加减操作是对 本身，而非括号外的整体。 1．（2025·广东东莞·模拟预测）将二次函数的图象沿x轴方向向右平移2个单位长度，平移后的二次函数的解析式为（   ） A． B． C． D． 【分析】本题主要考查二次函数图象的平移，熟练掌握二次函数图象的平移是解题的关键．根据二次函数图象的平移方法：左加右减，上加下减，由此可求解问题． 【详解】解：将二次函的图象沿x轴方向向右平移2个单位，平移后的函数解析式为； 故选：B． 2．（2025·广东·一模）将二次函数向左平移1个单位，向上平移2个单位得到的新的二次函数解析式为 ． 【分析】本题考查了二次函数图象的平移，熟练掌握平移规律是解答本题的关键．按“上加下减常数项，左加右减自变量”的规律平移即可得出所求函数的解析式． 【详解】解：平移后的解析式为：． 故答案为：． ►题型03 二次函数的对称性应用 / （1）若两点 和 函数值相等，则对称轴为 ； （2）利用对称性将点转化到对称轴同侧，再结合增减性解题。 1．（2025·广东深圳·三模）已知二次函数的图象如图所示，则图象与x轴正半轴交点M的横坐标是（   ） A．4 B．2 C．3 D． 【分析】本题考查抛物线与x轴的交点，由图象可知，抛物线的对称轴为直线，与x轴负半轴的交点横坐标是，根据抛物线的对称性可得图象与x轴正半轴交点M的横坐标是． 【详解】解：由图象可知，抛物线的对称轴为直线，与x轴负半轴的交点横坐标是， 图象与x轴正半轴交点M的横坐标是． 故选：C． 2．（2025·广东深圳·模拟预测）二次函数（，，为常数，）的图象经过点，，，，其中，为常数，那么的值为（   ） A． B． C． D． 【分析】本题考查二次函数图象上点的坐标特征，根据题意，得出，两点关于抛物线的对称轴对称，据此得出，之间的关系，再将点和点代入二次函数解析式，进一步得出，之间的关系，最后用表示出和即可解决问题．掌握二次函数的图象与性质是解题的关键． 【详解】解：∵，在二次函数图象上， ∴，两点关于抛物线的对称轴对称， ∴， ∴， ∵，在二次函数图象上， ∴，， ∴， ∴， ∵在二次函数图象上， ∴， ∴， ∴． 故选：A． ►题型04 比较二次函数值或自变量的大小 / （1）若已知函数表达式，可直接代入计算比较； （2）若已知图像，利用增减性和对称性： 同侧点：直接用增减性； 异侧点：转化到同侧或比较到对称轴的距离（ 时，距离越远函数值越大； 时相反）。 1．（2024·广东·中考真题）若点都在二次函数的图象上，则（    ） A． B． C． D． 【分析】本题考查了二次函数的图象和性质、二次函数图象上点的坐标特征等知识点，根据二次函数的解析式得出函数图象的对称轴是y轴（直线），图象的开口向上，在对称轴的右侧，y随x的增大而增大，再比较即可． 【详解】解∶ 二次函数的对称轴为y轴，开口向上， ∴当时， y随x的增大而增大， ∵点都在二次函数的图象上，且， ∴， 故选∶A． 2．（2025·广东珠海·三模）若点都在二次函数图象上，则（　　） A． B． C． D． 【分析】本题考查了二次函数的图象和性质，掌握二次函数的增减性是解题关键．根据二次函数解析式可得在轴右侧，随的增大而增大，即可得到答案． 【详解】解：二次函数， 二次函数图象开口向上，对称轴为轴， 在轴右侧，随的增大而增大， ， ， 故选：A． 3．（2025·广东中山·一模）抛物线有三点，，，则，，的大小关系为（　　） A． B． C． D． 【分析】本题主要考查了二次函数图象上点的坐标特征，二次函数的性质等知识，熟练的掌握二次函数的图象与性质是解题的关键． 依据题意，根据抛物线的性质得抛物线的开口向下，对称轴为直线，然后根据三个点离对称轴的远近判断函数值的大小． 【详解】解：由题意得，， ∴抛物线的开口向下，对称轴为直线． ∵离直线最远， 离直线最近， ∴最小，最大． ∴． 故选：D． ►题型05 根据图象判断 及相关代数式的符号 / （1）：看开口方向； （2）：结合对称轴 和 的符号（“左同右异”）； （3）：看与y轴交点； （4）：看与x轴交点个数（两个交点 ，一个交点 ，无交点 ）； （5）：看 时的函数值； （6）：看 时的函数值； （7）：看对称轴与 的位置关系； （8）：看对称轴与 的位置关系。 1．（2025·广东广州·二模）如图已知二次函数（，，为常数，且）的图象顶点为，经过点．有以下结论：①；②；③；④时，随的增大而减小；其中错误的有（ ）个． A． B． C． D． 【分析】本题主要考查了二次函数图象的性质，二次函数图象与系数的关系；二次函数图象上点的坐标特征．①根据抛物线的开口方向向下即可判定；②先运用二次函数图象的性质确定、、的正负即可解答；③将点的坐标代入即可解答；④根据函数图象即可解答． 【详解】解：由抛物线的开口方向向下，则，故①正确； 抛物线的顶点为，对称轴为， ， ， ， 抛物线与轴的交点在正半轴， ， ，故②错误； 抛物线经过点， ∴，即，故③正确； 抛物线的顶点为，且开口方向向下， 时，随的增大而减小，故④正确． 故选：A． 2．（2025·广东中山·模拟预测）已知二次函数图像的一部分如图所示，该函数图像经过点，对称轴为直线，对于下列结论：①；②；③多项式可因式分解为；④无论为何值时，代数式的值一定不大于．其中正确的个数有（ ） A．个 B．个 C．个 D．个 【分析】此题考查二次函数的图像和性质，利用抛物线的开口方向确定a的符号，结合对称轴判断①；由抛物线与轴的一个交点为，结合对称轴得到另一个交点，由此判断②；根据一元二次方程与二次函数的关系判断③；将当时，有最大值，，时，，进行比较即可判断④． 【详解】∵抛物线开口向下， ∴， ∵对称轴为直线， ∴， ∴结论正确； ∵抛物线与轴的一个交点为，且对称轴为直线， 由，得， ∴抛物线与轴的另一个交点为， 即当时，， ∴， ∴， ∴结论错误； ∵抛物线与轴的两个交点为，， ∴多项式可因式分解为， ∴结论错误； ∵对称轴为直线，且函数开口向下， ∴当时，有最大值， 由得， 时，， 时，， ∴无论为何值时， ， ∴ ∴结论正确； 综上：正确的有． 故答案为：B． 3．（2025·广东东莞·二模）已知二次函数图象的一部分如图所示，该函数图象经过点，对称轴为直线．对于下列结论：①；②；③多项式可因式分解为；④当时，关于x的方程无实数根．其中正确的个数有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【分析】本题考查了二次函数的图象和性质． 观察图象可知，，，可判断①； 观察函数图象可知当时，，可判断②； 由对称性知该函数图象必过点，故函数解析式可化为交点式，即，可判断③； 由交点式可知此函数顶点坐标为，当时，可知与无交点坐标，可判断④． 【详解】解：观察图象可知，，， 故，故①错误； 观察函数图象可知当时，， 即，即，故②正确； 该函数图象经过点，对称轴为直线， 由对称性知该函数图象必过点， 函数解析式可化为交点式，即， 即多项式可因式分解为，故③正确； 由交点式可知此函数解析式为， 从而可得顶点坐标为， 当时，可知与无交点坐标， 故关于x的方程无实数根，故④正确． 综上，正确的序号为②③④． 故选：C． 考点三 二次函数与一元二次方程的关系 1.二次函数与一元二次方程的根的关系 一元二次方程 的根 ⇔ 二次函数 图像与 轴交点的横坐标。 2.利用图像求方程近似解 观察抛物线与 轴交点的横坐标。 1.（2025·广东清远·二模）关于二次函数的图象与x轴交点个数的情况，下列说法正确的是（   ） A．有两个交点 B．有一个交点 C．没有交点 D．无法判断 【分析】本题主要考查抛物线与轴的交点，二次函数的性质，正确掌握方程的根的情况和抛物线与轴交点的个数间的关系是解题的关键．令，得到关于的一元二次方程，然后由即可判断． 【详解】解：令，则， ， ∴方程有两个不相等的实数根， ∴二次函数的图象与轴有两个交点， 故选：A． 2．（2025·广东广州·二模）已知抛物线与x轴有两个不同的交点，则m的取值范围为 ． 【分析】本题主要考查了二次函数与一元二次方程之间的关系，二次函数与x轴有两个不相同的交点，即对应的一元二次方程有两个不相等的实数根，据此利用判别式求解即可． 【详解】解：∵抛物线与x轴有两个不同的交点， ∴关于x的方程有两个不相等的实数根， ∴， ∴， 故答案为：． ►题型01 二次函数与一元二次方程 / （1）二次函数 与轴交点的横坐标，就是方程 的根; （2）根的判别式 : ：两个不相等的实数根，图像与轴有两个交点; ：两个相等的实数根，图像与轴有一个交点（顶点在轴上）; ：无实数根，图像与轴无交点; （3）已知根求系数，或已知系数求根，可使用韦达定理 ，。 1．（2025·广东梅州·一模）如图是二次函数的图象，图象上有两点分别为，，则关于的方程的一个根可能是（   ） A．2.18 B．2.68 C．﹣0.56 D．2.45 【分析】本题考查了抛物线和轴交点，理解抛物线和一元二次方程的关系是解答关键． 观察函数图象可得 的点在和之间，进而求解． 【详解】解：从函数图象看， 的点在和之间， 而在和之间被选项中的数为， 的方程的一个根可能. 故选：D． 2．（2024·广东佛山·模拟预测）二次函数的大致图象如图所示，对称轴为：直线，下列结论：①；②；③方程有两个不相等的实数根；④．其中正确结论的是（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【分析】本题考查二次函数的图象与系数的关系，抛物线与x轴的交点，解题关键是掌握二次函数图象与系数的关系，掌握二次函数与方程及不等式的关系． ①抛物线的对称轴在y轴左侧，则，即可求解； ②抛物线的对称轴为直线，则，即可求解； ③抛物线与直线有两个交点，即可求解； ④根据对称轴求出抛物线与横轴的另一个交点坐标，然后判断时，，即可求解． 【详解】解：①抛物线的对称轴在y轴左侧，则， ∴，故①正确，符合题意； ②抛物线的对称轴为直线，则， ∴，故②错误，不符合题意； ③∵抛物线与直线有两个交点， ∴方程有两个不相等的实数根，故③正确，符合题意； ④∵抛物线的对称轴为直线，与x轴的交点为， ∴抛物线与x轴的另一个交点为， ∴时，， ∴，故④错误，不符合题意． 故选：B． ►题型02 由二次函数图像确定不等式解集 / （1）：图像在轴上方部分对应的的取值范围； （2）：图像在轴下方部分对应的的取值范围； （3）先找到与轴的交点，再根据开口方向确定解集。 1．（2025·广东广州·一模）如图，抛物线与直线相交于点和点，点，的横坐标分别为和4，则当时的取值范围为（    ） A． B． C． D．或 【分析】本题考查了二次函数与不等式，根据抛物线图象在直线图象上方部分对应x的范围即为时的取值范围，利用交点坐标即可解答． 【详解】解：根据图象：当时的取值范围为， 故选：C． 2．（2025·广东广州·模拟预测）如图，函数与的图象相交于点及，当（    ）时，式子． A． B． C．或 D． 【分析】本题主要考查了图象法解不等式，数形结合是解题的关键． 根据函数图像写出抛物线在直线上方部分的x的取值范围即可求解． 【详解】解： ∵二次函数与一次函数的图象相交于点及， ∴能使成立的x的取值范围即使得的取值范围，结合图象得：． 故选：D． 3．（2025·广东惠州·一模）如图，已知抛物线与直线相交于两点，则不等式成立时，的取值范围是 ． 【分析】本题主要考查了二次函数与不等式的关系，由图像可求得的解集，即可获得答案，解题关键是利用数形结合的思想分析问题． 【详解】解：∵抛物线 与直线相交于两点， ∴由图可知，当时，二次函数图象在一次函数图象上方，此时， ∴的解集为， ∴不等式的解集为． 故答案为：． 考点四 二次函数的实际应用 1.建模步骤 ①分析问题，确定自变量和因变量；②建立二次函数关系式；③利用性质求最值或解决实际问题。 ►题型02 拱桥问题 / （1）建立平面直角坐标系，将拱桥顶点或水面与桥的交点设为原点或关键点； （2）设二次函数表达式，代入已知点求系数； （3）求某一位置的高度或宽度，代入 或 求解。 1．（2024·广东·模拟预测）如图，小河上有一拱桥，拱桥及河道的截面轮廓线由抛物线的一部分和矩形的三边，，组成，已知河底是水平的，，，抛物线的顶点C 到的距离是， 以所在的直线为x 轴，抛物线的对称轴为y 轴建立平面直角坐标系． (1)根据题意，填空： ①顶点C 的坐标为 ； ②点B 的坐标为 (2)求抛物线的解析式． (3)已知从某时刻开始的内，水面与河底的距离l(单位：m) 随时间t(单位：h)的变化满足函数关系，且当点C到水面的距离不大于时，需禁止船只通行，请通过计算说明，在这一时段内，有多少小时禁止船只通行？ 【分析】本题考查了二次函数的应用，待定系数法求解析式，构建二次函数模型解决实际问题是解题的关键． （1）求出、、的长即可解决问题． （2）根据抛物线特点设出二次函数解析式，把坐标代入即可求解； （3）水面到顶点的距离不大于米时，即水面与河底的距离至多为，把代入所给二次函数关系式，求得的值，相减即可得到禁止船只通行的时间． 【详解】（1）解：由题意知，，，， ∴，， 故答案为：和； （2）解：由（1）知，，， 设抛物线的解析式为：，把代入得： ， 解得：， ∴抛物线的解析式为：； （3）解：水面到顶点的距离不大于米时，即水面与河底的距离至多为(米) ，， ， ∴， 解得：，， (小时)， ∴需小时禁止船只通行． 2.（2025·广东·中考真题）如图，某跨海钢箱梁悬索桥的主跨长，主塔高，主缆可视为抛物线，主缆垂度，主缆最低处距离桥面，桥面距离海平面约．请在示意图中建立合适的平面直角坐标系，并求该抛物线的表达式． 【分析】本题考查待定系数法求二次函数表达式，先由题意，建立恰当的平面直角坐标系，从而得到、，设该抛物线的顶点式为，将代入解方程即可得到答案．根据题中示意图，建立恰当的平面直角坐标系，并设出抛物线表达式是解决问题的关键． 【详解】解：建立平面直角坐标系，如图所示： 则抛物线顶点坐标为，，即， 设该抛物线的表达式为， 将代入得， 解得， 该抛物线的表达式为． ►题型01 销售利润问题 / （1）建立利润模型：利润 = (售价 - 成本) × 销售量； （2）设涨价或降价为 ，表示出售价和销售量，得到利润关于 的二次函数； （3）求最值：利用顶点公式或配方法，注意自变量 的实际意义（如销售量不能为负）。 1．（2025·广东茂名·模拟预测）为落实国家“乡村振兴战略”，切实提高农民的收入，某合作社将农户种植的无花果加工包装后进行销售，已知种植及加工无花果的综合成本为30元/千克，售价为50元/千克时，每天可出售2000千克，经市场调查发现每降价1元，一天多售出250千克． (1)如果每天的利润要比原来多5000元，并使顾客得到更大的优惠，每千克售价为多少元？ (2)要使每天的利润取得最大值，每千克售价为多少元？ 【分析】此题主要考查一元二次方程的应用和二次函数的应用，解题的关键是根据题意列出函数关系式，熟知二次函数的性质、一元二次方程的求解． （1）设每千克降价为x元，根据题意列出方程求解即可； （2）设每天的利润为，根据题意列出函数关系式求解即可； 【详解】（1）解：设每千克降价为x元， ， 解得：或， 售价为元或元， 又为使顾客得到更大的优惠， 每千克售价为40元． （2）解：设每天的利润为， 由题意，结合（1）可得， ， ， 又， 当时，每天的利润取得最大值，最大值为49000元． 要使每天的利润取得最大值，每千克售价为元． 2．（2024·广东·中考真题）广东省全力实施“百县千镇万村高质量发展工程”，2023年农产品进出口总额居全国首位，其中荔枝鲜果远销欧美．某果商以每吨2万元的价格收购早熟荔枝，销往国外．若按每吨5万元出售，平均每天可售出100吨．市场调查反映：如果每吨降价1万元，每天销售量相应增加50吨．该果商如何定价才能使每天的“利润”或“销售收入”最大？并求出其最大值．（题中“元”为人民币） 【分析】本题主要考查了二次函数的实际应用，设每吨降价x万元，每天的利润为w万元，根据利润每吨的利润销售量列出w关于x的二次函数关系式，利用二次函数的性质求解即可． 【详解】解：设每吨降价x万元，每天的利润为w万元， 由题意得， ， ∵， ∴当时，w有最大值，最大值为， ∴， 答：当定价为万元每吨时，利润最大，最大值为万元． 课后练习 2026年3月9日初中数学作业 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、单选题 1．（2026·陕西西安·二模）下列关于直线（为常数）与直线的交点情况，判断正确的是（   ） A．没有交点 B．有一个交点，且交点在第一象限 C．有一个交点，且交点在第二象限 D．有一个交点，且交点不在第四象限 【答案】D 【分析】先根据一次函数比例系数不相等，可知两直线一定相交，再联立方程求出交点坐标，结合各象限点的坐标特征排除错误选项，即可得到答案． 【详解】解：直线中，直线中，， 两直线一定相交，有且只有一个交点， 故A选项错误； 解方程组， 可得：， 整理得：， 解得： 将代入， 可得：， 交点坐标为， 当时，交点坐标为，在第二象限， 当时，交点坐标为，在第一象限， 交点可能在第二象限，也可能在第一象限， 故B选项和C选项错误； 若交点在第四象限，需满足横坐标为正，纵坐标为负， 即， 解不等式①得：， 解不等式②得：， 该不等式组无解， 交点不可能在第四象限， 故选项正确． 2．（25-26九年级上·陕西渭南·期末）已知一次函数（k为常数，）中y随x的增大而减小，则一次函数的图象不经过（　　） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】A 【分析】根据一次函数的增减性判断k的符号，再结合常数项判断直线与y轴的交点位置，根据一次函数图象性质判断图象经过的象限，即可得到答案． 【详解】解：∵一次函数（）中随的增大而减小， ∴， ∵一次函数解析式为，， ∴该函数图象与y轴交于负半轴． ∴一次函数的图象经过第二、三、四象限，不经过第一象限． 3．（24-25九年级下·黑龙江哈尔滨·开学考试）已知反比例函数的图象位于第一、第三象限，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据反比例函数比例系数与图象位置的关系列不等式求解即可． 【详解】解：∵反比例函数的图象位于第一、第三象限， ∴， 解得：． 4．（25-26九年级上·山东滨州·期末）关于反比例函数的图象，下列说法正确的是（    ） A．图象必经过点 B．两个分支分布在第二、四象限 C．两个分支关于x轴成轴对称 D．当时，y的值随x的增大而减小 【答案】D 【分析】本题考查了反比例函数的图象与性质，熟练掌握反比例函数的图象与性质是关键．本题利用反比例函数的图象与性质，逐一验证各选项即可． 【详解】解：对于A，将代入，得，所以A选项错误，不符合题意； 对于B，因为，所以函数图象的两个分支分布在第一、三象限，所以选项B错误，不符合题意； 对于C，反比例函数的两个分支关于原点中心对称，不关于x轴对称，所以选项C错误，不符合题意； 对于D，由于，当时，图象位于第三象限，y随x的增大而减小，所以选项D正确，符合题意． 故选：D． 5．（24-25九年级下·黑龙江哈尔滨·开学考试）将抛物线 向下平移 2 个单位，再向右平移 2 个单位，所得到的抛物线解析式是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查抛物线的平移，利用初中抛物线平移的规律“左加右减自变量，上加下减常数项”，逐步计算即可得到新抛物线的解析式，结合选项即可得到答案； 【详解】解：∵ 将抛物线 向下平移 2 个单位，再向右平移 2 个单位， 平移后解析式为：， 故选：A． 6．（25-26九年级上·河北张家口·期末）如图是嘉嘉求抛物线的顶点坐标的过程，则（   ） 解：∵ …………① ………………② ∴抛物线的顶点坐标为………③ A．该过程完全正确 B．该过程从①开始出错 C．该过程从②开始出错 D．该过程从③开始出错 【答案】B 【分析】按配方法正确步骤逐步比对，即可找到错误起始位置． 【详解】解： ， ∴抛物线的顶点坐标为． 二、填空题 7．（25-26八年级上·贵州毕节·期末）已知点关于轴的对称点在直线上，则的值为___________． 【答案】 【分析】先根据关于x轴对称的点，横坐标不变，纵坐标互为相反数，求出已知点的对称点坐标，再利用一次函数图象上点的坐标满足函数解析式，代入求解m的值． 【详解】解：点关于轴的对称点在直线上 ∴点关于轴的对称点坐标为． 将代入直线解析式，得： 解得． 8．（25-26八年级上·广东深圳·期末）如图，在平面直角坐标系中，直线：与直线：相交于点，则关于x的方程的解为_________． 【答案】 【分析】根据一次函数图象交点坐标与一元一次方程解的关系求解即可． 【详解】解：∵由函数图象可知：直线：与直线：的交点的横坐标为， ∴关于x的方程的解为． 9．（2026·陕西西安·二模）如图，点在反比例函数的图象上，过点作轴，垂足为，与反比例函数的图象交于点．若，则的值为______． 【答案】 【分析】设点D的坐标为，可得点A的坐标为，根据点在反比例函数的图象上得到，再根据点在反比例函数的图象上即可求解． 【详解】解：设点D的坐标为，则， ∴， ∴， ∵轴， ∴点A的坐标为． ∵点在反比例函数的图象上， ∴，即， ∵点在反比例函数的图象上， ∴， ∴． 10．（25-26九年级下·广西河池·开学考试）在平面直角坐标系中，点，在反比例函数的图象上，则________（填“”“”或“”）． 【答案】 【分析】先根据反比例函数中的条件，确定函数图象所在象限及增减性，再判断点、所在象限，最后依据横坐标的大小关系比较纵坐标的大小． 【详解】解：对于反比例函数， 其图象位于第二、四象限，且在每个象限内，随的增大而增大， 点与点的横坐标均为负数，因此两点都在第二象限内， 由于，结合该函数在第二象限内的增减性，可得出． 11．（25-26九年级上·陕西商洛·期末）已知点在函数的图象上，则的大小关系是_____． 【答案】/ 【分析】先对二次函数配方得到开口方向和对称轴，根据开口向上的二次函数的性质，点到对称轴的距离越大，对应函数值越大，比较三个点到对称轴的距离即可得到的大小关系． 【详解】解：∵，且， ∴抛物线开口向上，对称轴为直线， 分别计算三个点到对称轴的距离： 点到对称轴的距离为， 点到对称轴的距离为， 点到对称轴的距离为. 因为开口向上的抛物线上，点到对称轴的距离越大，对应的函数值越大，且， ∴． 12．（2026·湖南衡阳·一模）已知二次函数，图象的一部分如图所示，该函数图象经过点，对称轴为直线．对于下列结论：①；②；③；④（其中）；⑤若和均在该函数图象上，且，则．其中正确结论的个数共有_____个． 【答案】3 【分析】根据抛物线与轴的一个交点以及其对称轴为直线，求出抛物线与轴的另一个交点，代入可得，再根据抛物线开口朝下，可得，进而可得，再结合二次函数的图象和性质逐条判断即可． 【详解】解：∵抛物线的对称轴为直线，且抛物线与轴的一个交点坐标为， ∴抛物线与轴的另一个坐标为， ∴代入、得， 解得，故③正确； ∵抛物线开口朝下， ∴， ∴， ∴，故①错误； ∵抛物线与轴有两个交点， ∴当时，方程有两个不相等的实数根， ∴方程的判别式，故②正确； ∵， ∴， ∴， ∵， ∴，即，故④正确； ∵抛物线的对称轴为直线，且抛物线开口朝下， ∴可知二次函数，在时，随的增大而减小． ∵， ∴，故⑤错误． 故正确的有：②③④，共3个． 三、解答题 13．（2026·陕西西安·二模）某品牌烤箱新增一种安全烤制模式，在此模式下烤箱内温度匀速升至时烤箱停止加热，随后烤箱内温度下降至初始温度．该品牌烤箱安全烤制模式下烤箱内温度与加热时间之间的函数图象如图所示． (1)求该品牌烤箱的烤箱内温度匀速上升期间与之间的函数表达式． (2)若食物在及以上的温度中烤制6分钟以上才可健康食用，请通过计算说明该模式下烤制的食物能否健康食用． 【答案】(1) (2)能，理由见解析 【分析】（1）利用待定系数法解答，即可求解； （2）利用待定系数法解答，求出下降期间y与x之间的函数关系式，分别求出时，上升期间与下降期间x对应的值，即可求解． 【详解】（1）解：设该品牌烤箱的烤箱内温度匀速上升期间y与x之间的函数关系为， 由题意，得， 解得， ∴该品牌烤箱的烤箱内温度匀速上升期间y与x之间的函数关系式为． （2）解：设该品牌烤箱的烤箱内温度匀速下降期间y与x之间的函数关系为． 由题意，得解得 所以该品牌烤箱的烤箱内温度匀速下降期间y与x之间的函数关系式为． 当时， 令，则． 解得． 当时， 令，则． 解得． ∵， ∴该模式下烤制的食物能健康食用． 14．（25-26九年级下·河北廊坊·开学考试）在九三阅兵筹备阶段，某军工企业需向阅兵训练基地运送一批高精度装备配件．运输时，配件需用专用包装箱封装，已知每批运输使用的包装箱数量y（单位：个，）与每个包装箱的实际装载重量x（单位：）成反比例关系．当使用40个包装箱时，每个包装箱的实际装载重量为，且每个包装箱的最大安全装载重量为． (1)求y与x之间的函数表达式，并写出自变量x的取值范围； (2)该企业每次运输这批配件的总运输费用由两部分组成：一是固定运输费800元，二是按包装箱数量计算的耗材费，每个包装箱的耗材费为15元．若某次运输的总费用不超过1550元，求每个包装箱的最少装载重量． 【答案】(1)函数表达式为，自变量x的取值范围是 (2)每个包装箱的最少装载重量为 【分析】（1）根据反比例函数的定义设出解析式，代入已知条件求出系数，结合题干给出的最大装载重量确定自变量的取值范围； （2）根据总费用的限制条件列出不等式，代入反比例解析式求解，即可得到x的最小值． 【详解】（1）解：由题意知，y与x成反比例关系， ∴设， 将，代入得，， 解得， ∵每个包装箱的最大安全装载重量为，且， ∴y与x之间的函数表达式为，自变量x的取值范围为． （2）解：根据题意，总运输费用满足不等式：， 将代入不等式得：， 解得， 即每个包装箱的最少装载重量为． 15．（25-26九年级下·广东惠州·开学考试）如图，在平面直角坐标系中，直线与轴交于点，与轴交于点，抛物线经过点，，且对称轴是直线． (1)求直线的解析式； (2)求抛物线的解析式； (3)点是直线下方抛物线上的一动点，过点作轴，垂足为，交直线于点，过点作，垂足为．求的最大值及此时点的坐标． 【答案】(1) (2) (3)的最大值是，此时的P点坐标是 【分析】（1）利用待定系数法求解即可； （2）根据题意可设抛物线的解析式为，再利用待定系数法求解即可； （3）由题意证为等腰直角三角形，即得出．设点P的坐标为，则，从而可求出．再结合二次函数的性质可知：当时，有最大值是，此时最大，进而即可求解． 【详解】（1）解：设直线l的解析式为， 把A，B两点的坐标代入解析式，得， 解得：， ∴直线l的解析式为； （2）解：设抛物线的解析式为， ∵抛物线的对称轴为直线， ∴． 把A，B两点坐标代入解析式，得， 解得：， ∴抛物线的解析式为； （3）解：∵，， ∴． ∵在中， ∴． ∵轴，， ∴． 在中，，， ∴， ∴． 在中，，，， ∴， ∴， ∴． 设点P的坐标为，则， ∴． ∵， ∴当时，有最大值是，此时最大， ∴， 当时，， ∴， ∴的最大值是，此时的P点坐标是． 16．（25-26九年级下·广东惠州·开学考试）某商品的进价为每件10元，售价为每件16元，每个月可卖出100件；如果每件商品的售价每上涨1元，则每个月就会少卖出10件，但每件售价不能高于20元，设每件商品的售价上涨x元（x为整数），每个月的销售利润为元． (1)求与的函数关系式，并直接写出自变量的取值范围； (2)每件商品的售价为多少元时，每个月可获得最大利润？最大利润是多少？ (3)每件商品的售价定为多少元时，每个月的利润恰好是550元？ 【答案】(1)（且为整数） (2)每件商品的售价为18元时，每个月可获得最大利润，最大利润是640元 (3)不存在这样的售价，使得每个月的利润恰好是550元 【分析】（1）根据销售利润单件利润销量即可列出函数关系式，再根据每件售价不能高于20元得到x的取值； （2）将二次函数的解析式转化为顶点式，即可解答； （3）令，得到一元二次方程，解方程，即可解答， 【详解】（1）解：根据题意可得单件利润为元，销量为件， 可得函数关系式为， 每件售价不能高于20元， ，即且为整数， 与的函数关系式为（且为整数）； （2）解：， 因为， 所以当时，有最大值640，此时售价为元， 答：每件商品的售价为元时，每个月可获得最大利润，最大利润是640元； （3）解：当时，可得， 解得， ∵且为整数， ∴均不符合自变量的取值范围， ∴不存在符合条件的售价， 答：不存在这样的售价，使得每个月的利润恰好是550元． 学科网（北京）股份有限公司 $