7.1.2两条直线垂直 课时分层训练2025-2026学年七年级数学下册（人教版）

7.1.2两条直线垂直 知识分点练 夯基础 知识点1 垂直的定义 1．如图，直线相交于点O，，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 2．【新情境·生活情境】汉代初期的《淮南万毕术》是中国古代科学的重要文献，书中所记载的“取大镜高悬，置水盆于其下，则见四邻矣”，是古人利用光的反射定律，探清井底情况的方法，如图是一口深井的平面示意图，，当太阳光线与地面所成夹角时，要使太阳光线经反射后刚好垂直于地面（即）射入深井底部，则需要调整平面镜与地面的夹角等于（   ） A． B． C． D． 3．请根据条件进行推理，并在下列解答中填空． 如图，直线，交于点，平分，于点，，求的度数． 解：直线，交于点（已知） （    ） 又平分（已知） _____（    ） （已知） （    ） 知识点2 垂线的性质及画法 4．利用三角尺，过直线l外一点P作直线l的垂线，下列各图中，三角尺摆放正确的是（   ） A． B． C． D． 5．如图，若，，为垂足，那么，，三点在同一直线上，其理由是__________． 6．如图，过点P作OA，OB的垂线（保留作图痕迹，不写作法）． 知识点3 垂线段的定义与性质 7．投壶是我国古代宴会时礼节性的游戏．如图，游戏时宾客依次将箭矢投入一个特制的壶中，投中多者为胜．若四位投壶者分别站在直线l上的点A，B，C，D处往点P处的壶内投箭矢，小明认为站在点C处的投壶者最近会更容易获胜，其中蕴含的数学道理是（   ） A．垂线段最短 B．线段可以度量 C．两点确定一条直线 D．两点之间，线段最短 8．下列生活现象中，能直接体现“垂线段最短”这一基本事实的是（    ） A．工人师傅用墨斗弹墨线时，拉紧的墨线是直的 B．从家到学校，走笔直的公路比走弯曲的小路更近 C．把一根木条固定在墙上，至少需要两颗钉子 D．体育课上，测量同学的跳远成绩时，测量的是落点到起跳线的垂直距离 9．【新情境·生活情境】数学源于生活，又服务于生活，我们要会用数学的眼光观察现实世界，会用数学的思维思考现实世界，会用数学的语言表达现实世界．如图是陈优同学在体育课上跳远后留下的脚印，测量线段的长度即为他的跳远成绩，这样测量的依据是（   ） A．同位角相等，两直线平行 B．两点确定一条直线 C．两点之间，线段最短 D．垂线段最短 知识点4 点到直线的距离 10．如图，点是直线外一点，点在直线上，且直线，，则点到直线的距离是（   ） A． B． C． D． 11．如图，观察图形，下列说法：①过点A有且只有一条直线AC垂直于直线l；②线段AB，AC，AD中，线段AC最短，因为两点之间，线段最短；③线段AB，AC，AD中，线段AC最短，因为垂线段最短；④线段AC的长是点A到直线l的距离．其中正确的个数是（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 12．如图，已知，，，，，则点到直线的距离等于____；点到直线的垂线段是线段____．    能力综合练 练思维 13．如图，点在直线上，，若平分，则（   ） A． B． C． D． 14．如图，直线、相交于点，，．若，则用含的代数式表示为________． 15．如图所示，火车站、码头分别位于，两点，直线和分别表示河流与铁路． (1)从火车站到码头怎样走最近，画图并说明理由． (2)从码头到铁路怎样走最近，画图并说明理由． (3)从火车站到河流怎样走最近，画图并说明理由． 16．【新情境·跨学科】如图，小智的弹力球掉到了床下，他借助平面镜反射的原理找到了弹力球的位置．其中是入射光线，是反射光线，法线，垂足为点．射线与水平线的夹角，根据光的反射原理可知：，求的度数． 拓展探究练 提素养 17．如图1，直线和相交于点，垂足为点平分． (1)若． ①求的度数； ②求的度数； (2)如图2，将直线绕着点旋转，始终在的上方，当为锐角时，在的内部作射线，使得射线平分．判断的度数是否发生变化?如果不变，求出的度数；如果变化，请说明理由． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 7.1.2两条直线垂直 知识分点练 夯基础 知识点1 垂直的定义 1．如图，直线相交于点O，，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：∵于O， ∴， ∵， ∴． ∴， 2．【新情境·生活情境】汉代初期的《淮南万毕术》是中国古代科学的重要文献，书中所记载的“取大镜高悬，置水盆于其下，则见四邻矣”，是古人利用光的反射定律，探清井底情况的方法，如图是一口深井的平面示意图，，当太阳光线与地面所成夹角时，要使太阳光线经反射后刚好垂直于地面（即）射入深井底部，则需要调整平面镜与地面的夹角等于（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了垂线和角的计算，根据，得，所以，再根据，得，即可得． 【详解】解：如图， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 故选：D． 3．请根据条件进行推理，并在下列解答中填空． 如图，直线，交于点，平分，于点，，求的度数． 解：直线，交于点（已知） （    ） 又平分（已知） _____（    ） （已知） （    ） 【答案】见解析 【分析】本题主要考查了对顶角的性质，角平分线的定义，垂直的定义，角的和差，解题的关键是掌握以上性质和定义． 根据对顶角相等得出，根据角平分线的定义得出，根据垂直得出直角，最后利用角的和差进行求解即可． 【详解】解：直线，交于点（已知） （对顶角相等） 又平分（已知） （角平分线定义） （已知） （垂直定义） ． 知识点2 垂线的性质及画法 4．利用三角尺，过直线l外一点P作直线l的垂线，下列各图中，三角尺摆放正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了利用三角尺作垂直，解题关键是正确摆放三角尺作直角． 根据题意利用三角尺作出垂线即可． 【详解】解：过直线l外一点P作直线，直线l与直角三角形的一边重合，点P在直角三角形的另一直角边上，只有D符合， 故选：D． 5．如图，若，，为垂足，那么，，三点在同一直线上，其理由是__________． 【答案】在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直 【分析】本题考查的是垂线的性质，利用在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直可得答案． 【详解】解：∵，，为垂足， ∴，，三点在同一直线上， 理由是：在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直； 故答案为：在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直 6．如图，过点P作OA，OB的垂线（保留作图痕迹，不写作法）． 【答案】见解析 【分析】采用三角板的直角辅助作图：利用三角板的直角，使其一边与目标直线重合，另一边经过点P，沿该边画出过P的垂线． 【详解】解： 【点睛】本题考查过一点作已知直线的垂线的作图方法，掌握利用三角板的直角边辅助作垂线的操作方法是解题的关键． 知识点3 垂线段的定义与性质 7．投壶是我国古代宴会时礼节性的游戏．如图，游戏时宾客依次将箭矢投入一个特制的壶中，投中多者为胜．若四位投壶者分别站在直线l上的点A，B，C，D处往点P处的壶内投箭矢，小明认为站在点C处的投壶者最近会更容易获胜，其中蕴含的数学道理是（   ） A．垂线段最短 B．线段可以度量 C．两点确定一条直线 D．两点之间，线段最短 【答案】A 【分析】本题主要考查了垂线的性质．根据直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短求解即可． 【详解】解：若四位投壶者分别站在直线上的点，，，处往点处的壶内投箭矢，小明认为站在点处的投壶者更容易获胜，其中蕴含的数学道理是垂线段最短， 故选A． 8．下列生活现象中，能直接体现“垂线段最短”这一基本事实的是（    ） A．工人师傅用墨斗弹墨线时，拉紧的墨线是直的 B．从家到学校，走笔直的公路比走弯曲的小路更近 C．把一根木条固定在墙上，至少需要两颗钉子 D．体育课上，测量同学的跳远成绩时，测量的是落点到起跳线的垂直距离 【答案】D 【分析】本题考查了对几何基本事实的理解． 逐一分析各选项对应的原理，找出体现“垂线段最短”的选项即可． 【详解】解：A选项拉紧的墨线是直的对应几何基本事实两点确定一条直线； B选项走笔直公路比弯曲小路更近对应几何基本事实两点之间，线段最短； C选项至少两颗钉子固定木条对应几何基本事实两点确定一条直线； D选项测量跳远成绩取落点到起跳线的垂直距离，直接体现了垂线段最短这一基本事实； 故选：D． 9．【新情境·生活情境】数学源于生活，又服务于生活，我们要会用数学的眼光观察现实世界，会用数学的思维思考现实世界，会用数学的语言表达现实世界．如图是陈优同学在体育课上跳远后留下的脚印，测量线段的长度即为他的跳远成绩，这样测量的依据是（   ） A．同位角相等，两直线平行 B．两点确定一条直线 C．两点之间，线段最短 D．垂线段最短 【答案】D 【分析】本题考查了垂线段的性质，从直线外一点引一条直线的垂线，这点和垂足之间的线段叫做垂线段，垂线段最短．利用垂线段最短求解即可． 【详解】解：测量线段的长度即为他的跳远成绩，这样测量的依据是垂线段最短． 故选：D． 知识点4 点到直线的距离 10．如图，点是直线外一点，点在直线上，且直线，，则点到直线的距离是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了点到直线的距离，根据点到直线的距离的概念确定出那条线段的长度即可． 【详解】解：点到直线的距离是点到直线垂线段的长度， ，且， 点到直线的距离是， 故选：B． 11．如图，观察图形，下列说法：①过点A有且只有一条直线AC垂直于直线l；②线段AB，AC，AD中，线段AC最短，因为两点之间，线段最短；③线段AB，AC，AD中，线段AC最短，因为垂线段最短；④线段AC的长是点A到直线l的距离．其中正确的个数是（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】此题主要考查了垂线段，解题的关键是掌握垂线的性质，以及点到直线的距离，是垂线段的长度． 根据垂线段：从直线外一点引一条直线的垂线，这点和垂足之间的线段叫做垂线段；垂线段的性质：垂线段最短；垂线的性质：过一点有且只有一条直线与已知直线垂直，可得答案． 【详解】解：①过点有且只有一条直线垂直于直线，该说法正确，符合题意； ②线段、、中，线段最短，是因为垂线段最短，该说法错误，不符合题意； ③线段、、中，线段最短，是因为垂线段最短，该说法正确，符合题意； ④线段的长是点到直线的距离，该说法正确，符合题意； 正确的说法为①③④，有个， 故选：C． 12．如图，已知，，，，，则点到直线的距离等于____；点到直线的垂线段是线段____．    【答案】 【分析】本题考查垂线段、点到直线距离的定义，熟练掌握垂线段和点到直线的距离定义是解题的关键．根据“从直线外一点作直线的垂线，这一点与垂足之间的线段，叫作垂线段．”、“从直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫作点到直线的距离．”即可得答案． 【详解】解：根据垂线段、点到直线距离的定义可知，点到直线的距离等于的长度，即为4．点到直线的垂线段是线段． 故答案为：4，． 能力综合练 练思维 13．如图，点在直线上，，若平分，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】首先求出和，再结合角的和差求解即可． 【详解】解： 平分，， ， ， ， ， ． 14．如图，直线、相交于点，，．若，则用含的代数式表示为________． 【答案】 【分析】本题主要考查了角的和差关系、对顶角相等以及垂线的性质，熟练掌握垂直的定义，对顶角与邻补角的性质是解题的关键．根据，，，可得，，再根据垂直的性质可得，最后由，代入相应角即可解答． 【详解】解：，， ， ， ，， ， ， ， ， 故答案为：． 15．如图所示，火车站、码头分别位于，两点，直线和分别表示河流与铁路． (1)从火车站到码头怎样走最近，画图并说明理由． (2)从码头到铁路怎样走最近，画图并说明理由． (3)从火车站到河流怎样走最近，画图并说明理由． 【答案】(1)沿走，两点之间线段最短，画图见解析 (2)沿走，垂线段最短，画图见解析 (3)沿走，垂线段最短，画图见解析 【分析】本题考查了两点之间线段最短，垂线段最短，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）理解题意，连接，则沿走，两点之间线段最短； （2）理解题意，过点作直线，沿走，垂线段最短． （3）理解题意，过点A作直线，沿走，垂线段最短． 【详解】（1）解：连接，如图所示： 依题意，沿走，两点之间线段最短． （2）解：过点作直线，如图所示， 依题意，沿走，垂线段最短． （3）解：过点A作直线，如图所示， 依题意，沿走，垂线段最短． 16．【新情境·跨学科】如图，小智的弹力球掉到了床下，他借助平面镜反射的原理找到了弹力球的位置．其中是入射光线，是反射光线，法线，垂足为点．射线与水平线的夹角，根据光的反射原理可知：，求的度数． 【答案】 【分析】本题考查了求一个角的余角与补角、垂直、对顶角相等，熟练掌握求一个角的余角与补角的方法是解题关键． 先求出，可得，再根据垂直的定义可得，即可求解， 【详解】解：， 又． ． ， ． ， ， ． 拓展探究练 提素养 17．如图1，直线和相交于点，垂足为点平分． (1)若． ①求的度数； ②求的度数； (2)如图2，将直线绕着点旋转，始终在的上方，当为锐角时，在的内部作射线，使得射线平分．判断的度数是否发生变化?如果不变，求出的度数；如果变化，请说明理由． 【答案】(1)①；② (2)的度数不变， 【分析】（1）①根据，且，即可求得的度数；②首先根据垂直的定义可得，进而可得，的度数，结合角平分线的定义可得，然后由求解即可； （2）设，根据角平分的定义可得，，进而可得结论． 【详解】（1）解：①∵，且， ∴； ②∵，， ∴， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∴； （2）的度数不变，，理由如下： 设， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴． 【点睛】本题主要考查了垂直的定义、邻补角、角平分线的定义以及几何图形中角度计算，正确理解题意是解题关键． 试卷第1页，共3页 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