2.3长方体的表面积（讲义）-2025-2026学年五年级数学下册北师大版

本讲义聚焦长方体表面积核心知识点，从定义（6个面面积总和）切入，通过分步计算与通用公式（S=(ab+ah+bh)×2）构建基础，延伸至无盖、通风管等特殊实际应用，结合单位换算与拼接切割技巧，形成递进式学习支架。 资料特色在于以生活情境（如游泳池铺瓷砖、通风管制作）培养数学眼光，通过公式推导与解题技巧训练数学思维，分层题目（基础、能力、拓展）适配不同学情，参考答案解析详尽，课中辅助教师教学，课后助力学生查漏补缺，强化应用意识。

2.3长方体的表面积 重点知识点 知识点1.表面积的定义与构成 长方体有6个面，相对的面完全相同（即上面=下面，前面=后面，左面=右面）。长方体的表面积就是这6个长方形面积的总和。理解这一点是计算的基础，学生需要明白表面积不仅仅是公式，而是所有外表面的面积之和。在实际生活中，如包装纸的大小、粉刷墙壁的面积等，都是表面积的应用。 知识点2.核心计算公式 设长方体的长为a，宽为b，高为h。 ·分步计算法：先算出三个不同方向面的面积，再乘2。 ·上下两个面面积：a×bx2 ·前后两个面面积：axhx2 ·左右两个面面积：bxhx2 通用公式: S=(ab + ah +bh) x 2 这个公式的逻辑是先算出”长×宽”、“长×高”、“宽×高”这三个相邻面的面积和，因为相对面相等，所以最后乘以2。 知识点3.特殊情况与实际应用（无盖或无底） 在解决实际问题时，往往不需要计算6个面的面积，需要根据具体情况灵活调整公式： ·无盖长方体（如鱼缸、无盖纸盒）：少了一个上面，表面积=ab+（(ah+bh)×2(即：1个底面+4个侧面）。 ·通风管、烟囱：只有侧面，没有上下底面，表面积=(ah+bh)×2或底面周长×高。 ·粉刷教室：通常计算5个面（四壁+天花板），还要减去门窗黑板的面积。 学生易错点在于死记硬背公式而忽略题目中的实际情境（是否有盖、是否贴商标等）。 知识点4.单位换算与解题技巧 ·单位统一：计算前必须确保长、宽、高的单位一致。如果题目给出的单位不同（如长是米，宽是厘米），必须先换算成同一单 位再计算。 ·面积单位：表面积的单位是平方单位(如cm²，dm²,m²）。 注意进率：1m²=100dm²=10000cm²。 ·拼接与切割： ·拼接：把两个长方体拼成一个大长方体，表面积会减少，减少的面积是重合的两个面的面积。 ·切割：把一个长方体切成两个，表面积会增加，增加的面积是新切出来的两个面的面积。 基础巩固 1．一个游泳池长50m、宽20m、高1.8m，游泳池的墙壁和底面铺上瓷砖，至少需要铺( )m2的瓷砖。 2．如下图（单位：厘米），沿虚线可以折叠成一个( )，这个立体图形的表面积是( )平方厘米。 3．将“致敬逆行英雄”6个字分别写在一个正方体的6个面上，这个正方体的展开图如下所示，和“行”相对的字是“( )”。如果这个正方体的棱长是3cm，那么这个正方体的表面积是( )cm2。 4．一个长方体，用图中三种不同的方法分别将其切成两个完全一样的长方体。切后两个长方体的表面积总和分别比原来增加了24、12和16。原来长方体的表面积是( )。 5．把一个长方体沿虚线切成两个长方体，如下图（单位：cm）。图( )的切法增加的面积最大，增加了( )平方厘米。 6．做一个长8厘米、宽和高都是5厘米的长方体框架，需要( )厘米长的塑料棒，现在外面糊上彩纸，至少需要( )平方厘米的彩纸（接头处忽略不计）。 7．（判断题）将一块长方体木料锯成3个小长方体，一共增加了3个面。( ) 8．（判断题）一个正方体的棱长扩大到原来的2倍，则表面积也扩大到原来的2倍。( ) 9．如图，将4个长10厘米，宽4厘米，高1厘米的长方体盒子用彩纸包在一起，下面4种包装，最省包装纸的方法是（    ）。能力提升 A． B． C． D． 10．一个毁坏了的药盒，将剩余部分的面展开，铺平（如图），这个药盒的底面积是（    ）平方厘米。 A．27 B．36 C．108 11．淘气把一个棱长为3分米的正方体切成3个完全一样的长方体，表面积增加了（    ）平方分米。 A．54 B．36 C．18 D．9 12．把一个棱长是分米的正方体，任意截成两个长方体，这两个长方体的表面积之和是（    ）平方分米。 A． B． C． D．无法确定 13．把一个长10厘米、宽8厘米、高5厘米的长方体木块，切成两个相同的小长方体。奇思经过计算发现：两个小长方体的表面积之和与原来长方体的表面积比较，不可能增加（    ）平方厘米。 A．40 B．80 C．100 D．160 14．下图是一个纸盒的平面展开图，这个纸盒的表面积是多少平方厘米？ 15． 一种长方体通风管，长是80厘米，通风口是边长20厘米的正方形。做10节这样的通风管要用多少平方米铁皮？ 16．一个长方体的蓄水池，长为20米，宽为15米，深为2.5米。要给池底和四壁抹上水泥，需要抹水泥的面积是多少平方米？ 17．做一个无盖的长方体铁皮水桶，底面是边长为4分米的正方形，高5.2分米，做这个水桶至少需要多少平方分米的铁皮？ 18．某建筑长20米，宽30米，高15米。现要给这个建筑的外墙棱上挂彩灯（沿地面一圈不挂），前后左右四面墙和顶部涂上漆。 （1）张叔叔去商店买彩灯，每捆40米，他至少需要买几捆？ （2）涂漆的面积是多少平方米？ 思维拓展 19．学校要粉刷新教室。已知教室的长是9米，宽是7米，高是3米，门窗的面积是12平方米。如果每平方米需要花4.5元涂料费，粉刷这个教室需要花费多少钱？ 20．李伯伯打算做一根通风管（如下图），它的横截面是长0.5米、宽0.3米的长方形，如果每平方米铁皮150元，那么李伯伯做这根通风管需要花费多少元？ 21．在西安举办的“丝路文化交流博览会”上，某商家准备将4盒精美的兵马俑纪念礼盒打包成套装，作为特色礼品进行展销。每盒礼盒尺寸为长20厘米、宽15厘米、厚5厘米。若用包装纸将4盒礼盒包装成一个整体（接头处忽略不计），最少需要多少平方厘米的包装纸？ 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 参考答案 1．1252 【分析】游泳池可以看作是无盖的长方体，因此需要铺瓷砖的面包括：1个底面、4个侧面。即铺瓷砖的面积＝长×宽＋长×高×2＋宽×高×2，游泳池长50m、宽20m、高1.8m，把数据代入计算即可。 【详解】50×20＋50×1.8×2＋20×1.8×2 ＝1000＋180＋72 ＝1180＋72 ＝1252（m2） 至少需要铺1252m2的瓷砖。 2． 长方体 78 【分析】这个展开图，有2组相对的面是长方形，1组相对的面是正方形，因此是长方体展开图；再根据长方体表面积公式：表面积＝（长×宽＋长×高＋宽×高）×2，代入数据，即可解答。 【详解】根据分析可知，可以折成长方体； 长5厘米，宽3厘米，高3厘米。 （5×3＋5×3＋3×3）×2 ＝（15＋15＋9）×2 ＝（30＋9）×2 ＝39×2 ＝78（平方厘米） 如下图（单位：厘米），沿虚线可以折叠成一个长方体，这个立体图形的表面积是78平方厘米。 3． 致 54 【分析】正方体有6个面，都是完全一样的正方形，相对的面之间一定隔着一个正方形；想象把正方体展开图折成正方体，取相对的面即可。 已知这个正方体的棱长是3cm，根据正方体的表面积公式S＝6a2，求出这个正方体的表面积。 【详解】把这个正方体展开图围成正方体，可以想象成：“逆”是下面，“敬”是后面，“雄”是前面，“致”是左面，“行”是右面，“英”是上面；所以和“行”相对的字是“致”。 3×3×6 ＝9×6 ＝54（cm2） 和“行”相对的字是“（致）”。如果这个正方体的棱长是3cm，那么这个正方体的表面积是（54）cm2。 4．52 【分析】观察图形可知，按照三种不同的方法分别将一个长方体切成两个完全一样的小长方体，切后两个长方体的表面积增加的部分分别等于上下面，左右面，前后面的面积。求原来长方体的表面积，把三种切法所增加的面积加起来即可。 【详解】24＋12＋16 ＝36＋16 ＝52（） 所以原来长方体的表面积是52。 5． ③ 60 【分析】根据长方体切割成两个小长方体的方法可知，切割后表面积比原来增加了两个切割面的面积，图①增加的是两个长为6厘米，宽为4厘米的长方形面积；图②增加的是两个长为5厘米，宽为4厘米的长方形面积；图③增加的是两个长为6厘米，宽为5厘米的长方形面积，计算出来再比较出哪种切法增加的面积最大，是多少平方厘米即可。 【详解】图①增加面积：（平方厘米） 图②增加面积：（平方厘米） 图③增加面积：（平方厘米） ，所以图③的切法增加的面积最大，增加了60平方厘米。 【点睛】本题考查长方体的切拼、长方体的表面积，解答本题的关键是掌握长方体的表面特征。 6． 72 210 【分析】求塑料棒的长度就是求棱长总和，因为长方体有4条长，4条宽，4条高；根据“长方体的棱长总和＝（长＋宽＋高）×4”进行解答即可；求需要彩纸的面积，就是求长方体的表面积，根据“长方体的表面积＝（长×宽＋长×高＋宽×高）×2”"进行解答即可。 【详解】（8＋5＋5）×4 ＝18×4 ＝72（厘米） （8×5＋8×5＋5×5）×2 ＝（40＋40＋25）×2 ＝105×2 ＝210（平方厘米） 所以做一个长8厘米、宽和高都是5厘米的长方体框架，需要72厘米长的塑料棒，现在外面糊上彩纸，至少需要210平方厘米的彩纸。 7． × 【分析】将一块长方体锯成3个小长方体，需要锯2次。每锯一次会增加2个面，据此解答。 【详解】2×2＝4（个） 将一块长方体木料锯成3个小长方体，一共增加了4个面。原题说法错误。 故答案为：× 8．× 【分析】假设正方体的棱长为1厘米，根据“正方体表面积＝棱长×棱长×6”计算出正方体的表面积；正方体的棱长扩大到原来的2倍，则棱长变为1×2＝2厘米，同样计算出变化后的正方体的表面积，最后用变化后的表面积除以变化前的表面积计算出表面积扩大的倍数。 【详解】1×1×6＝6（平方厘米） 1×2＝2（厘米） 2×2×6 ＝4×6 ＝24（平方厘米） 24÷6＝4 所以表面积扩大到原来的4倍，而非2倍。 故答案为：× 9．B 【分析】给长方体盒子用彩纸包在一起，就是求长方体的表面积，根据长方体表面积公式＝，分别代入各选项长方体的长宽高计算，哪个表面积最小，哪个最省纸。 【详解】A．该长方体的长＝20厘米，宽＝4厘米，高＝2厘米， 表面积 （平方厘米） B．该长方体的长＝10厘米，宽＝4厘米，高＝4厘米， 表面积 （平方厘米） C．该长方体的长＝20厘米，宽＝8厘米，高＝1厘米， 表面积 （平方厘米） D．该长方体的长＝40厘米，宽＝4厘米，高＝1厘米， 表面积 （平方厘米） 408＞376＞256＞192 故答案为：B 10．C 【分析】从展开图可知，展开图中“上面”的长为12厘米，宽为9厘米，药盒的高为3厘米。因为药盒“上面”对应面就是底面，所以药盒底面是一个长12厘米，宽9厘米的长方形。根据长方形面积公式S＝a×b（a为长，b为宽），把数据代入计算即可。 【详解】药盒底面是一个长12厘米，宽9厘米的长方形。 12×9＝108（平方厘米） 这个药盒的底面积是108平方厘米。 故答案为：C 11．B 【分析】由题意可知，把一个棱长为3分米的正方体切成3个完全一样的长方体需要切2刀，切1刀增加2个切面的面积，切2刀增加4个切面的面积，切面是边长为3分米的正方形，根据“正方形的面积＝边长×边长”求出增加的表面积，据此解答。 【详解】分析可知，把一个棱长为3分米的正方体切成3个完全一样的长方体会增加2×2＝4个切面的面积。 3×3×4 ＝9×4 ＝36（平方分米） 所以，表面积增加了36平方分米。 故答案为：B 12．C 【分析】正方体的表面积公式为：S＝6a2（S是表面积，a是棱长），所以原正方体的表面积是6a2平方分米。把正方体任意截成两个长方体，会增加两个正方形的面，正方形面积公式为：S＝a2（这里a为正方体的棱长），所以每个面的面积是a2平方分米，所以增加的表面积是2×a2＝2a2平方分米。两个长方体的表面积之和等于原正方体的表面积加上增加的表面积，用6a2加上2a2即可。 【详解】原正方体表面积：6a2（平方分米） 增加两个正方形的面积： a2×2＝2a2（平方分米） 6a2＋2a2＝8a2（平方分米） 所以这两个长方体的表面积之和是8a2平方分米。 故答案为：C 13．A 【分析】根据题意，把一个长方体木块切成两个相同的小长方体，表面积会增加两个切面的面积；有三种不同的切割方式，对应不同的切面面积，进而得到不同的表面积增加量。 切法一：平行于上下面切成两个小长方体时，增加2个“10×8”的面； 切法二：平行于前后面切成两个小长方体时，增加2个“10×5”的面； 切法三：平行于左右面切成两个小长方体时，增加2个“8×5”的面； 求出每种切法增加的表面积，再与四个选项中的面积进行对比即可得解。 【详解】切法一：平行于上下面切成两个小长方体，增加的表面积是： 10×8×2＝160（平方厘米） 切法二：平行于前后面切成两个小长方体，增加的表面积是： 10×5×2＝100（平方厘米） 切法三：平行于左右面切成两个小长方体时，增加的表面积是： 8×5×2＝80（平方厘米） 综上所述，增加的表面积可能是160平方厘米、100平方厘米、80平方厘米，不可能是40平方厘米。 故答案为：A 14．1300平方厘米 【分析】观察图形可知，这个纸盒的长是20厘米，宽是15厘米，高是10厘米，求这个纸盒的表面积，根据长方体表面积公式：表面积＝（长×宽＋长×高＋宽×高）×2，代入数据，即可解答。 【详解】（20×15＋20×10＋15×10）×2 ＝（300＋200＋150）×2 ＝（500＋150）×2 ＝650×2 ＝1300（平方厘米） 这个纸盒的表面积是1300平方厘米。 15． 6.4平方米 【分析】通风管只有四个侧面，没有上下底面。因为通风口是边长20厘米的正方形，所以4个侧面的面积相等。一节通风管的侧面积为4个长80厘米、宽20厘米的长方形的面积之和。 根据“长方形面积＝长 ×宽”计算出1节通风管1个长方形面的面积，乘4计算出1节通风管的侧面积；再乘10计算出10节通风管的侧面积，即为做10节这样的通风管所用铁皮的面积。 最后将平方厘米换算为平方米（1平方米＝100平方分米＝10000平方厘米）。 【详解】80×20×4×10 ＝1600×4×10 ＝6400×10 ＝64000（平方厘米） 64000平方厘米＝6.4平方米 答：做10节这样的通风管要用6.4平方米铁皮。 16．475平方米 【分析】求抹水泥的面积，就是求这个长方体蓄水池5个面的面积和。根据长方体表面积＝长×宽＋（长×高＋宽×高）×2，代入数据，即可解答。 【详解】20×15＋（20×2.5＋15×2.5）×2 ＝20×15＋（50＋37.5）×2 ＝20×15＋87.5×2 ＝300＋175 ＝475（平方米） 答：需要抹水泥的面积是475平方米。 17．99.2平方分米 【分析】无盖水桶缺少一个顶面，因此表面积需计算“底面＋4个侧面”的总面积。底面是边长为4分米的正方形，所以长方体水桶的长和宽都是4分米，即4个侧面面积相等，高是5.2分米。根据公式：S＝ab＋bh×4（a为长，b为宽，h为高），把数据代入公式计算即可。 【详解】4×4＋4×5.2×4 ＝16＋83.2 ＝99.2（平方分米） 答：做这个水桶至少需要99.2平方分米的铁皮。 18．（1）4捆 （2）2100平方米 【分析】（1）建筑的长、宽各有2条（顶部），高有4条（前后左右），因为沿地面一圈不挂，所以地面的长和宽对应的棱不挂。顶部的长和宽：长有2条，每条20米，共20×2＝40米；宽有2条，每条30米，共30×2＝60米。高有4条，每条15米，共15×4＝60米。总长度为40＋60＋60＝160米。每捆彩灯40米，所以用160除以40即可解答。 （2）涂漆的面包括顶部和前后左右四面墙，顶部是一个长20米、宽30米的长方形；前后两面墙是长20米、高15米的长方形，左右两面墙是宽30米、高15米的长方形。即：涂漆面积＝长×宽＋2×长×高＋2×宽×高，把数据代入计算即可得出涂漆的面积。 【详解】（1）20×2＝40（米） 30×2＝60（米） 15×4＝60（米） 40＋60＋60＝160（米） 160÷40＝4（捆） 答：他至少需要买4捆。 （2）20×30＋20×15×2＋30×15×2 ＝600＋600＋900 ＝2100（平方米） 答：涂漆的面积是2100平方米。 19．661.5元 【分析】先求出粉刷的面积，粉刷的面积就是长是9米，宽是7米，高是3米的长方体5个面的面积和再减去门窗面积；根据五个面的面积＝长×宽＋（长×高＋宽×高）×2，代入数据，求出粉刷的面积，再乘每平方米的费用，即可解答。 【详解】9×7＋（9×3＋7×3）×2－12 ＝63＋（27＋21）×2－12 ＝63＋48×2－12 ＝63＋96－12 ＝159－12 ＝147（平方米） 147×4.5＝661.5（元） 答：粉刷这个教室需要花费661.5元。 20．960元 【分析】通风管看作长方体，其长0.5米、宽0.3米、高4米，制作通风管要做四个面，根据S＝2×（ah＋bh）计算出通风管的表面积。再用每平方米铁皮150元乘表面积，就是李伯伯做这根通风管需要花费的钱数，据此解答。 【详解】2×（0.5×4＋0.3×4）×150 ＝2×（2＋1.2）×150 ＝2×3.2×150 ＝960（元） 答：李伯伯做这根通风管需要花费960元。 21．2000平方厘米 【分析】要想使用的包装纸最少，那么就需要把最大的面拼在一起，这样拼成后的大长方体表面积就最小。长×宽的面的面积：20×15＝300（平方厘米），长×高的面的面积：20×5＝100（平方厘米），宽×高的面的面积：15×5＝75（平方厘米），因为75＜100＜300，所以长×宽的面面积最大，将长×宽的面拼在一起。此时拼成后的大长方体的长为20厘米，宽为15厘米，高为（5×4）厘米。然后根据长方体表面积公式：长方体的表面积＝（长×宽＋长×高＋宽×高）×2进行计算，即可求出最少需要多少平方厘米的包装纸。 【详解】5×4＝20（厘米） （20×15＋20×20＋15×20）×2 ＝（300＋400＋300）×2 ＝1000×2 ＝2000（平方厘米） 答：最少需要2000平方厘米的包装纸。 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $