第6章三角单元测试卷（提高）-2025-2026学年高一下学期数学沪教版必修第二册

2025-2026学年高一数学下学期同步培优讲义【精英班课程】 第6章三角单元测试卷（提高） 满分分值：150分 完卷时间：120分钟 一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1-6题每题4分，第7-12题每题5分） 1. 的角属于第______象限. 【答案】一 【分析】根据终边相同的角的性质即可求解. 【详解】由于，且为第一象限角， 故的角属于第一象限角， 故答案为：一 2. 已知扇形的半径为6，圆心角为，则扇形弧长为_______. 【答案】 【分析】利用弧长公式即可求解. 【详解】根据弧长公式，， 故答案为： 3.已知，则___________． 【答案】##0.2 【分析】由诱导公式即可求解. 【详解】， 故答案为： 4.在三角形ABC中，，的平分线AD交BC于D，且，则 ． 【答案】 在三角形ABC中，由正弦定理可得，利用同角三角函数的基本关系可得，利用二倍角公式可求的值，根据三角形的内角和定理可求的值. 【详解】在三角形ABC中，由正弦定理可得:, 所以 . 故答案为：. 5.若及是关于的方程的两个实根，则实数的值为 . 【答案】/ 【分析】根据根与系数关系并利用同角三角函数值之间的基本关系可求得结果. 【详解】利用方程的根与系数关系可得， 又，即， 解得或， 当时，，不合题意； 当时，原方程的根为，在区间内，符合题意； 故答案为： 6．（23-24高一下·上海·期中）已知，则的值为 . 【答案】 【分析】利用二倍角的正切公式求出，再利用正余弦齐次式法求值. 【详解】由，得， 所以. 故答案为： 7.已知，，，，则 . 【答案】 【分析】先利用已知条件和同角三角函数的基本关系求出，然后利用两角和的余弦公式求解. 【详解】因为，，，， 所以，， 所以 . 故答案为： 8．已知点A的坐标为，将OA绕坐标原点O逆时针旋转至 ，则点的坐标为 ． 【答案】 【分析】设出点的坐标，终边经过点A的角为，结合三角函数定义求出，的正弦、余弦值，再借助和、差角的正余公式即可计算作答. 【详解】设，显然，，则有， 依题意，终边经过点的角为，则有， 于是得，解得， ，解得， 所以点的坐标为. 故答案为： 9.在中，角所对应的边分别是，满足，则该三角形的形状是 ． 【答案】等腰直角三角形 【分析】根据正弦定理，可得，然后利用余弦定理可得，最后可得结果. 【详解】由正弦定理及， 得     ，， ， ， 又， 由余弦定理， 得， 即，， 为等腰直角三角形． 故答案为：等腰直角三角形 10.在中，角，，所对的边分别为，，，若，且，则该三角形外接圆的半径为________ 【分析】先应用正弦定理及两角和的正弦公式化简求出角A,再根据正弦定理求出外接圆半径即可. 【详解】. , 设该三角形外接圆的半径为 由正弦定理得 11.某临海地区为保障游客安全修建了海上救生栈道，如图，线段、是救生栈道的一部分，其中，，在的北偏东方向，在的正北方向，在的北偏西方向，且．若救生艇在处载上遇险游客需要尽快抵达救生栈道，则最短距离为 m．(结果精确到1 m) 【答案】 【分析】先在中求出AC，再利用正弦定理，在中求出，进而转化到中求解即可. 【详解】解：作交于E，由题意可得如图： ， 所以， ， 在中，由正弦定理可得： ， 所以， 所以， ， 在直角中，， 故答案为：475. 12.下列四个命题：①若，则是第二象限角或第三象限角；②且是为第三象限角的充要条件；③若，则角和角的终边相同；④若，则.其中真命题的序号是 . 【答案】② 【分析】根据三角函数的概念结合象限角、终边相同的角的概念判断每个命题即可. 【详解】当时，，此时不是象限角，则①错； 是第三象限角，则，，所以， 反之，若，则，是第三象限角， 所以且是为第三象限角的充要条件，则②正确； 若满足，但角和角的终边不相同，则③错； 当时，满足，但，不满足，则④错； 所以真命题的序号为②. 故答案为：② 二、选择题（本大题共有4题，满分18分，第13-14题每题4分，第15-16题每题5分） 13.已知角，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由及的范围求出，再根据二倍角的余弦公式可求出. 【详解】因为，所以， 又，所以，所以，即， 因为，所以. 故选：D. 14.如图，在扇形中，C是弦的中点，D在上，．其中，长为．则的长度约为（提示：时，）（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据弧长公式，结合已知求出角的余弦的近似值，求出CO,最后得到CD即可. 【详解】设圆心角，，， 所以，， 所以． 故选：B. 15. 已知的值，则关于和的值，下列说法中正确的是（ ） A. 的值和的值均唯一确定 B. 的值唯一确定，但的值可能不唯一 C. 的值唯一确定，但的值可能不唯一 D. 的值和的值均可能不唯一 【答案】A 【分析】根据二倍角公式以及余弦的和差角公式即可化简求解. 【详解】由于， ， 所以的值，则关于和的值唯一. 故选：A. 16.下列命题中，真命题的个数为（    ） ①若角的终边经过点，则； ②同时满足的角 ③不存在角和使得等式成立； ④任意的角和都满足等式 A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】A 【分析】根据三角函数定义判断A，举反例判断BC，结合两角和差余弦公式判断D. 【详解】①当时，，①错误； ②同时满足的角，②错误； ③当， 故存在角和使得等式成立，③错误 ④正确，过程如下： 故选：A. 三、解答题（本大题共有5题，满分78分） 17. 已知，为钝角，角的终边上一点为，求： （1）求的值； （2）求的值. 【答案】（1）； （2） 【分析】（1）由同角间的三角函数关系，可求；由三角函数的定义，可求； （2）由（1）可求出，根据三角函数的定义求出，利用两角差的正切公式，即可求得. 【小问1详解】 因为，为钝角，所以； 因为角的终边上一点为，所以. 【小问2详解】 由（1）和已知得， 角终边上的一点为，则， 所以. 18. 已知. （1）化简； （2）已知，求的值. 【答案】（1） （2） 【分析】（1）直接利用诱导公式及同角三角函数基本关系化简； （2）直接利用倍角公式求解. 【小问1详解】 ； 【小问2详解】 由（1）得， ， . 19.在校园美化、改造活动中，要在半径为、圆心角为的扇形空地的内部修建一矩形观赛场地，如图所示．取的中点M，记． (1)写出矩形的面积S与角的函数关系式； (2)求当角为何值时，矩形的面积最大？并求出最大面积． 【答案】(1)， (2)当时，矩形的面积最大，最大值为 【解题思路】（1）首先得出，再用的三角函数分别表示出和，则，再根据二倍角公式，降幂公式和辅助角公式化简即可； （2）由，得出，根据正弦函数的图像，得出时，面积最大，即可得出最大面积． 【解答过程】（1）由题可知，， 在中， ， ， ， 在中， ， ， ，． （2） ， ， 当，即时， ， 故当时，矩形的面积最大，最大值为． 20.已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，满足. (1)求角B； (2)若，求的值； (3)若，求b的值. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）由正弦定理化边为角后，由诱导公式和两角和的正弦公式化简后可求得； （2）由二倍角公式求得，后再由两角和的正弦公式可求值； （3）由正弦定理求得，再由余弦定理求得. 【详解】（1），由正弦定理得，， ， 即， ，， 又，. （2）由已知得， ， ， . （3）由正弦定理，得， 由（1）知，结合，， ，由余弦定理得，，. 21.如图，半圆的直径为，为直径延长线上的点，，为半圆上任意一点，以为一边作等边三角形.设. (1)问：在什么位置时，四边形的面积最大，并求出面积的最大值. (2)克罗狄斯·托勒密（Ptolemy）所著的《天文集》中讲述了制作弦表的原理，其中涉及如下定理：任意凸四边形中，两条对角线的乘积小于或等于两组对边乘积之和，当且仅当对角互补时取等号，根据以上材料，则当线段的长取最大值时，求. (3)求面积的最大值. 【答案】(1)时，四边形的面积取得最大值为 (2) (3) 【分析】（1）由余弦定理得，四边形的面积为与的面积和，表示面积即可得到结果. （2）由定理得，取等号时，由余弦定理求出，即可得到. （3）由正弦定理结合辅助角公式可求得的面积最大值. 【详解】（1）在中由余弦定理得 ， 所以，， 于是四边形的面积为 ， 当，即时，四边形的面积取得最大值为. （2）因为， 且为等边三角形，，， 所以，所以， 即的最大值为，取等号时， 所以，不妨设， 则，解得， 所以，所以. （3）设，（，所以为锐角）， 在中，由正弦定理得，， ， 当，即时，的面积取得最大值为. 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年高一数学下学期同步培优讲义【精英班课程】 第6章三角单元测试卷（提高） 满分分值：150分 完卷时间：120分钟 一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1-6题每题4分，第7-12题每题5分） 1. 的角属于第______象限. 2. 已知扇形的半径为6，圆心角为，则扇形弧长为_______. 3.已知，则___________． 4.在三角形ABC中，，的平分线AD交BC于D，且，则 ． 5.若及是关于的方程的两个实根，则实数的值为 . 6．（23-24高一下·上海·期中）已知，则的值为 . 7.已知，，，，则 . 8．已知点A的坐标为，将OA绕坐标原点O逆时针旋转至 ，则点的坐标为 ． 9.在中，角所对应的边分别是，满足，则该三角形的形状是 ． 10.在中，角，，所对的边分别为，，，若，且，则该三角形外接圆的半径为________ 11.某临海地区为保障游客安全修建了海上救生栈道，如图，线段、是救生栈道的一部分，其中，，在的北偏东方向，在的正北方向，在的北偏西方向，且．若救生艇在处载上遇险游客需要尽快抵达救生栈道，则最短距离为 m．(结果精确到1 m) 12.下列四个命题：①若，则是第二象限角或第三象限角；②且是为第三象限角的充要条件；③若，则角和角的终边相同；④若，则.其中真命题的序号是 . 二、选择题（本大题共有4题，满分18分，第13-14题每题4分，第15-16题每题5分） 13.已知角，且，则（    ） A． B． C． D． 14.如图，在扇形中，C是弦的中点，D在上，．其中，长为．则的长度约为（提示：时，）（    ） A． B． C． D． 15. 已知的值，则关于和的值，下列说法中正确的是（ ） A. 的值和的值均唯一确定 B. 的值唯一确定，但的值可能不唯一 C. 的值唯一确定，但的值可能不唯一 D. 的值和的值均可能不唯一 16.下列命题中，真命题的个数为（    ） ①若角的终边经过点，则； ②同时满足的角 ③不存在角和使得等式成立； ④任意的角和都满足等式 A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 三、解答题（本大题共有5题，满分78分） 17. 已知，为钝角，角的终边上一点为，求： （1）求的值； （2）求的值. 18. 已知. （1）化简； （2）已知，求的值. 19.在校园美化、改造活动中，要在半径为、圆心角为的扇形空地的内部修建一矩形观赛场地，如图所示．取的中点M，记． (1)写出矩形的面积S与角的函数关系式； (2)求当角为何值时，矩形的面积最大？并求出最大面积． 20.已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，满足. (1)求角B； (2)若，求的值； (3)若，求b的值. 21.如图，半圆的直径为，为直径延长线上的点，，为半圆上任意一点，以为一边作等边三角形.设. (1)问：在什么位置时，四边形的面积最大，并求出面积的最大值. (2)克罗狄斯·托勒密（Ptolemy）所著的《天文集》中讲述了制作弦表的原理，其中涉及如下定理：任意凸四边形中，两条对角线的乘积小于或等于两组对边乘积之和，当且仅当对角互补时取等号，根据以上材料，则当线段的长取最大值时，求. (3)求面积的最大值. 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $