第6章三角单元测试卷（培优）-2025-2026学年高一下学期数学沪教版必修第二册

2025-2026学年高一数学下学期同步培优讲义【精英班课程】 第6章三角单元测试卷（培优） 满分分值：150分 完卷时间：120分钟 一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1-6题每题4分，第7-12题每题5分） 1. 已知角的终边经过点，则___________. 2. 已知扇形的圆心角为 ，半径为 1，则扇形的弧长是_____. 3. 已知，则=__________． 4.已知角终边上一点，则 ． 5. 已知角a满足，则的值为___________ 6.若，则 . 7.已知，，，则 ． 8.如果满足的恰有一个，则实数的取值范围是 . 9．已知，若，则角的取值范围是 . 10.已知分别为三内角的对边，且，若，角B的平分线，则的面积为 . 11.在中，已知，，设，以下说法正确的是 ①若有两解，；②若有唯一解， ③若无解，；④当，外接圆半径为6 12. 已知中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，下列命题中，真命题的是______ （1）若，则是等腰三角形； （2）若，则是直角三角形； （3）若，则是钝角三角形； （4）若，则是等边三角形． 二、选择题（本大题共有4题，满分18分，第13-14题每题4分，第15-16题每题5分） 13.在中，，则（    ） A． B． C．或 D．以上答案均不正确 14.已知，以下命题中所有正确的命题有（    ）个 ①已知的值，则可以确定的其余四个三角比的值 ②已知的两个三角比的值，则可以确定的其余四个三角比的值 ③已知的值，则可以确定的其余五个三角比的绝对值 ④已知的值和的符号，则可以确定所有六个三角比的值 A．4 B．3 C．2 D．1 15. 已知满足，，则下列选项中正确的为（ ） A. 的三个内角一定都是 B. 的三个内角至少有一个是 C. 的三个内角可能均不是 D. 以上说法均错误 16.对于任意，不等式有以下两个结论：①当时，对于任意实数，不等式成立；②对于任意实数，总存在，使不等式成立那么（    ） A．①正确②错误 B．①错误②正确 C．①正确②正确 D．①错误②错误 三、解答题（本大题共有5题，满分78分） 17．（1）已知是关于的方程的一个实根，且是第一象限角，求的值； （2）已知，且，求的值． 18. （1） 化简：． （2） 已知，求的值． 19. 在中，角A，B，C的对边长分别为a，b，c，满足． （1）求的值； （2）求的值． 20．已知．其中为常数，且． (1)求； (2)若，，求； (3)分别求，． 21．如图所示，某市政府计划在该扇形地域内建设图书馆，为了充分利用这块土地，并考虑与周边环境协调，要求该图书馆底面矩形CDEF的四个顶点都落在边界上．经过测量，扇形的半径为60m，，．记弧的中点为G，连接OG，分别与EF，CD交于点M，N，连接OF，设． (1)求矩形CDEF的面积关于α的函数； (2)请说明F点向G靠近时矩形CDEF的面积变化情况； (3)求矩形CDEF的最大面积． 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年高一数学下学期同步培优讲义【精英班课程】 第6章三角单元测试卷（培优） 满分分值：150分 完卷时间：120分钟 一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1-6题每题4分，第7-12题每题5分） 1. 已知角的终边经过点，则___________. 【答案】 【分析】根据正切函数定义计算 【详解】由题意． 故答案为：． 2. 已知扇形的圆心角为 ，半径为 1，则扇形的弧长是_____. 【答案】 【解析】 【分析】根据弧长公式直接计算即可. 【详解】扇形的圆心角为，半径为 1， 所以扇形的弧长为. 故答案为：. 3. 已知，则=__________． 【答案】 【分析】化为分式，利用齐次式求解即可 【详解】 故答案为 【点睛】本题考查同角三角函数基本关系，齐次式值，将原式化为分母为1 是关键，是基础题 4.已知角终边上一点，则 ． 【答案】 【分析】根据三角函数定义及诱导公式化简即可得解. 【详解】由诱导公式知， ， 因为角终边上一点， 所以， 所以原式. 故答案为： 5. 已知角a满足，则的值为___________ 【答案】1或 【分析】利用倍角公式可得，分和两种情况，结合倍角公式运算求解. 【详解】因为，则， 若，符合题意，此时； 若，则，； 综上所述：或. 故答案为：1或. 6.若，则 . 【答案】 【分析】由二倍角公式求解即可． 【详解】 ， 故答案为： 7.已知，，，则 ． 【答案】 【分析】结合所给角的象限与余弦值，可得其 正弦值，再利用两角差的正弦公式计算即可得. 【详解】由，，，则， 则，， . 故答案为：. 8.如果满足的恰有一个，则实数的取值范围是 . 【答案】 【分析】利用正弦定理可求出，由只有一个结合正弦函数的性质可得解. 【详解】由，得， 又，所以， 则当时，三角形只有一个解， 此时， 所以. 故答案为：. 9．已知，若，则角的取值范围是 . 【答案】 【分析】根据等式有意义先确定出的前提范围，然后根据等式左端的化简结果进行分类讨论：、，由此确定出满足等式成立的角的取值范围. 【详解】因为且，所以， 等式左端， 当时，即， 等式左端， 若等式成立，则有，所以，所以； 当时，则， 等式左端，等式成立； 综上可知，的取值范围是， 故答案为：. 10.已知分别为三内角的对边，且，若，角B的平分线，则的面积为 . 【答案】 【分析】根据题意利用正弦定理结合三角恒等变换可得，设，再利用正弦定理可得，分析可知，即可求三角形面积. 【详解】因为， 由正弦定理可得， 又因为， 可得， 整理可得， 且，则，可得，整理可得， 且，则，可得，即， 如图，设，则， 在中，由正弦定理可得， 即，解得， 且为锐角，可得，即 可知，则， 所以的面积为. 故答案为：. 11.在中，已知，，设，以下说法正确的是 ①若有两解，；②若有唯一解， ③若无解，；④当，外接圆半径为6 【答案】①③④ 【分析】由题设可得到上的高为，根据各项三角形解的个数及三角形性质判断的范围，应用正弦定理求外接圆半径. 【详解】 由，即到上的距离为， 若有两解，则，即，①对； 若有唯一解，则或，即，②错； 若无解，则，即，③对； 当时，△ABC外接圆半径，④对. 故答案为：①③④ 12. 已知中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，下列命题中，真命题的是______ （1）若，则是等腰三角形； （2）若，则是直角三角形； （3）若，则是钝角三角形； （4）若，则是等边三角形． 【答案】(3)(4) 【分析】利用三角形的性质、正弦定理、同角三角函数的基本关系进行计算求解. 【详解】中，，由正弦定理有： ，因为中， 所以，即，即， 所以或，故（1）错误； 中，因为，所以， 所以或，故（2）错误； 中，，当时， ，，，显然不满足； 当中有1为负，2个为正，不妨设， 则，，，所以是钝角三角形；故（3）正确； 中，，所以， 所以 因为， 所以，所以， 则是等边三角形，故（4）正确；故A，C，D错误. 二、选择题（本大题共有4题，满分18分，第13-14题每题4分，第15-16题每题5分） 13.在中，，则（    ） A． B． C．或 D．以上答案均不正确 【答案】B 【分析】由求解. 【详解】解：因为，所以，则， 又因为，所以或， 若，则，与三角形内角和定理相矛盾， 所以，则， 所以 ， 故选：B 14.已知，以下命题中所有正确的命题有（    ）个 ①已知的值，则可以确定的其余四个三角比的值 ②已知的两个三角比的值，则可以确定的其余四个三角比的值 ③已知的值，则可以确定的其余五个三角比的绝对值 ④已知的值和的符号，则可以确定所有六个三角比的值 A．4 B．3 C．2 D．1 【答案】B 【分析】利用三角函数的定义，逐一判断各个命题即得. 【详解】依题意，，，，， 给定，可求出，，，，①正确； 已知的两个三角比的值，如给出与的值，由于，相当于只给出其中一个值， 显然值的正负不确定，此时不能确定的其余四个三角比的值，②错误； 由的值，可求出的值，由及可求出， 进而可求出，因此的值，则可以确定的其余五个三角比的绝对值，③正确； 由的值，可求出的值，由结合的符号可求出， 进而可求出，，，④正确， 所以所有正确的命题有3个. 故选：B 15. 已知满足，，则下列选项中正确的为（ ） A. 的三个内角一定都是 B. 的三个内角至少有一个是 C. 的三个内角可能均不是 D. 以上说法均错误 【答案】B 【分析】根据辅助角公式可得，即可利用换元法，结合二倍角公式以及和差化积公式，得，即可利用三角函数性质求解. 【详解】由可得, 故, 由于,设，则， 从而 即，进而， 由于,所以，因此中至少一个为0， 因此至少一个为0， 即至少一个为0，故中至少一个为0. 故选：B. 16.对于任意，不等式有以下两个结论：①当时，对于任意实数，不等式成立；②对于任意实数，总存在，使不等式成立那么（    ） A．①正确②错误 B．①错误②正确 C．①正确②正确 D．①错误②错误 【答案】A 【分析】利用的关系，换元化简不等式左侧为，根据二次函数的性质得出不等式左侧的值域，再利用简易逻辑用语及不等式的恒能成立一一判定结论即可. 【详解】记 ， 令，则， 因为，所以，， 所以， 令，上式化为，， 易知对称轴，由二次函数的性质易知时单调递增， 即，， 所以. 显然恒成立，即当时，恒成立， 故①正确； 显然当时，， 不存在使得成立，故②错误. 故选：A. 【点睛】思路点睛：先利用同角三角函数的和积关系化简不等式左侧，再利用换元法转化为求二次函数定区间的值域，结论①②分别对应恒能成立问题，结合集合包含关系判定即可. 三、解答题（本大题共有5题，满分78分） 17．（1）已知是关于的方程的一个实根，且是第一象限角，求的值； （2）已知，且，求的值． 【答案】（1） ；（2） ． 【分析】（1）解方程，求出，利用同角三角函数关系式能求出结果． （2）由且，得，从而，再由，能求出结果． 【详解】（1）解方程，得，， 是关于的方程的一个实根，且是第一象限角，则， （2），且， ，则，而， 则，故， 18. （1） 化简：． （2） 已知，求的值． 【答案】（1）（2） 【解析】 【分析】（1）根据诱导公式及同角三角函数的商数关系即可化简； （2）由同角三角函数的平方关系及商数关系得出，再根据两角差的正切公式即可求解． 【详解】（1） ． （2） ， ， 则． 19. 在中，角A，B，C的对边长分别为a，b，c，满足． （1）求的值； （2）求的值． 【答案】（1）； （2）4. 【解析】 【分析】（1）根据给定条件，利用正弦定理边化角，再利用和差角的正余弦公式计算即得. （2）由（1）的信息，利用和差角的余弦公式、二倍角的余弦公式化简即得. 【小问1详解】 在中，由及正弦定理，得， 即 则，而， 因此，， 则，所以. 【小问2详解】 由（1）知，， . 20．已知．其中为常数，且． (1)求； (2)若，，求； (3)分别求，． 【答案】(1) (2) (3)， 【分析】 （1）把已知等式平方后作和，利用两角和差余弦公式可求得结果； （2）由（1）得，由，，结合两角和差公式可化简求得，利用二倍角余弦公式可得，由此可得结果； （3）根据（2）中运算，讨论或的情况；当均不为时，可求得，利用二倍角公式和正余弦齐次式的求法可求得结果. 【详解】（1）由得：， 两式作和得：， ，即. （2）由（1）知：当，时，； ， ， ，，， ， . （3）由（2）知：； 当时，由可得：，，则，； 当时，由可得：，，则，； 当且时，， ， ； 验证可知：当或时，与都成立； 综上所述：，. 【点睛】关键点点睛：本题考查三角恒等变换的应用，解题关键是能够熟练掌握和差化积公式的推导方法，从而利用该公式对已知等式进行合理的化简求值. 21．如图所示，某市政府计划在该扇形地域内建设图书馆，为了充分利用这块土地，并考虑与周边环境协调，要求该图书馆底面矩形CDEF的四个顶点都落在边界上．经过测量，扇形的半径为60m，，．记弧的中点为G，连接OG，分别与EF，CD交于点M，N，连接OF，设． (1)求矩形CDEF的面积关于α的函数； (2)请说明F点向G靠近时矩形CDEF的面积变化情况； (3)求矩形CDEF的最大面积． 【答案】(1) (2)答案见解析 (3) 【分析】 【详解】（1）由题意可知，,则 ， 于是矩形CDEF的面积关于α的函数为. （2）由（1）分析得，则 ，， 当F点向G靠近时，角越来越小，因，则， 由正弦函数的图象知， 的值由增大到1，接着减小到， 故的值先由小变大，达到最大值后接着变小. （3）由（2）分析可知，当即时，. 【点睛】思路点睛：解题思路在于，透过图形分析找到所求量与已知量、自变量之间的数量关系，再对求得的函数表示式，通过三角恒等变换化成正弦型函数，结合正弦函数的图象即可求得. 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $