重难拓展01平面向量与三角形“四心”问题讲义-2025-2026学年高一下学期数学人教A版必修第二册

重难专题 平面向量与三角形“四心”问题讲义 知识梳理 1. 三角形“四心”的定义与核心性质 类型 定义 核心性质 重心（G） 三角形ABC三条中线的交点，是中线的三等分点（靠近边的一端） ① 重心到顶点的距离与到对边中点的距离之比为2:1； ② 重心与三个顶点组成的三个三角形面积相等； ③ 坐标性质：若、、，则； ④动点满足，，则的轨迹一定通过的重心 外心（O） 三角形ABC三边垂直平分线的交点，外接圆的圆心 ① 外心到三个顶点的距离相等（等于外接圆半径）； ② 锐角三角形外心在内部，直角三角形外心为斜边中点，钝角三角形外心在外部； ③ 向量性质：； ④动点满足，，则动点的轨迹一定通过的外心 内心（I） 三角形ABC三条角平分线的交点，内切圆的圆心 ① 内心到三角形三边的距离相等（等于内切圆半径）； ② 角平分线定理：内心分角平分线所得线段比等于邻边比； ③ 向量性质：（为角对边）； ④动点满足，则的轨迹一定通过△ABC的内心 垂心（H） 三角形ABC三条高线的交点 ① 高线与对边垂直，即、； ② 直角三角形垂心为直角顶点； ③ 向量性质：； ④动点满足，，则动点的轨迹一定通过的垂心 2. 四心的向量等价条件（核心考点） 四心类型 向量等价条件（在三角形ABC中） 重心（G） ① 对任意点，；② ； 外心（O） ① 或；②； ③ 内心（I） ①；② 垂心（H） ① 、；② 对任意点，（锐角三角形中）； ③；④； ⑤ 3. 四心与三角形面积结论关系（熟记结论） ①如图，G为三角形ABC的重心，则. ②如图，O为三角形ABC的外心，则. ③如图，I为三角形ABC的内心，则. ④如图，H为三角形ABC的垂心，则. 典例精讲 模块一：重心问题 典例1（重心的向量表示与计算）已知为的重心，若，，用、表示。 【解析】取中点，由中点向量公式：； 重心性质：，故； 代入得：。 变式1已知在中，为的重心，为边中点，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用三角形的重心的向量表示及向量的线性运算即可求解. 【解析】在中，为的重心，为边中点， 对于A，因为，故A错误； 对于B，因为，故B错误； 对于C，因为在中，为边中点， 则， 所以，故C正确； 对于D，若成立， 则，即，则， 又为边中点，故，这不一定成立，故D错误. 故选：C． 模块二：外心问题 典例2（外心的垂直性质）已知为的外心，，，求。 【解析】取中点，因，故，且外心在上； 向量分解：，故； 垂直性质：，故； 计算：，，夹角为，故； 综上：。 变式1在中，，为外心，且，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】由O为△ABC外心，可得在方向上的投影向量为， 则，故， 又，设， 则 ， 当且仅当时等号成立， 由可知，， 故的最大值为． 故选：A． 模块三：内心问题 典例3（内心的加权向量公式）已知所在的平面上的动点满足，则直线一定经过的　　 A．重心 B．外心 C．内心 D．垂心 【解析】解： ， 根据平行四边形法则知表示的向量在三角形角的平分线上， 而向量与共线， 点的轨迹过的内心， 故选：． 变式1已知O是所在平面上的一点,角A、B、C所对的边分别为a,b,c，若（其中P是所在平面内任意一点），则O点是的（    ） A．外心 B．内心 C．重心 D．垂心 【答案】B 【解析】因为 则,即 移项可得 即 则 因为 所以 化简可得,即 设为方向上的单位向量,为方向上的单位向量 所以, 则 所以 则在的角平分线上 同理可知 在的角平分线上 因而为的内心 故选:B. 模块四：垂心问题（垂直向量点积法） 典例4（垂心的垂直性质）已知为的垂心，，，，求证：。 【解析】垂心定义：，即； 向量转化：； 垂直的数量积性质：，即； 整理得：。 变式1设为的外心，若，则是的（    ） A．重心（三条中线交点） B．内心（三条角平分线交点） C．垂心（三条高线交点） D．外心（三边中垂线交点） 【答案】C 【解析】设的中点为，根据题意可得，由题中向量的等式化简得，即在边的高线上．同理可证出在边的高线上，故可得是三角形的垂心． 【解析】在中，为外心，可得， ∵， ∴， 设的中点为，则，， ∴，可得在边的高线上． 同理可证，在边的高线上， 故是三角形两高线的交点，可得是三角形的垂心， 故选：C. 模块五：四心综合问题 典例5（四心共线与欧拉定理）已知为的外心，为重心，为垂心，求证：。 【解析】取中点，由外心性质：；由垂心性质：，故； 向量表示：（欧拉定理推论）； 重心向量公式：； 垂心向量公式：（锐角三角形）； 代入得：。 变式1（多选题）以下命题中，正确的有（    ） A．若是的重心，则有 B．若，则是的内心 C．若，则 D．若是的外心，且，则 【答案】ABD 【解析】对于A，是的重心，则, 代入就得到,正确； 对于B，设点P到边的距离分别为， 由得，，即，与已知条件比较知，，则是的内心，正确； 对于，即， 与比较得到，，错误； 对于D，是的外心，且，则，设三角形外接圆半径为R， 所以， 代入奔驰定理即可得到，正确， 故选：ABD. 【核心解题技巧】 （1）重心问题 优先用坐标法：已知三点坐标直接套用重心坐标公式； 向量法关键：利用“中点向量+2:1分点比例”，即（为中点）。 （2）外心问题 紧扣“垂直+等距”：垂直平分线性质转化为向量垂直（数量积为0），等距转化为模长相等； 直角三角形捷径：外心为斜边中点，直接用中点向量公式。 （3）内心问题 加权向量公式：，可快速求解参数； 坐标法：内心坐标公式，代入即得。 （4）垂心问题 核心转化：将高线转化为向量垂直（）； 锐角三角形性质：，可简化计算。 【易错提醒】 重心比例混淆：误将，实际为； 外心位置忽略：钝角三角形外心在外部，垂直平分线需延长，向量方向易出错； 内心加权系数颠倒：公式中系数为对边长度，即对应，而非邻边； 垂心向量公式局限：仅适用于锐角三角形，钝角三角形需调整符号； 数量积夹角失误：计算时，误将夹角视为，实际为。 题型一：重心问题 1．已知为的重心，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】 如图所示，设为中点，又为的重心， 则， 故选：B. 2．已知点G为的重心，若，则（   ） A．0 B．1 C． D．3 【答案】B 【分析】根据重心性质以及平面向量不共线，解出参数即可求得结果. 【解析】如下图所示，延长交于点， 易知为的中点，且 又， 因为，且不共线，所以可知； 因此. 故选：B 3．已知的重心为，延长DG交AB于点，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据给定条件，利用三角形重心的向量表示，结合向量线性运算，利用共线向量定理的推论列式求解. 【解析】由是的重心，得，令， 由，得，则， 又点共线，即，解得，即，所以. 故选：A 4．已知点在所在的平面内，满足，则动点的轨迹一定通过的（    ） A．内心 B．垂心 C．外心 D．重心 【答案】D 【分析】由给定条件可得，由表示出即可判断作答. 【解析】令边BC上的高为h，则有，令边BC的中点为D，则， 因此，，即， 所以动点的轨迹一定通过的重心. 故选：D 5．已知O是内一点，，且，则的面积为（    ） A． B． C．1 D． 【答案】D 【分析】由题意判断O为的重心，可得，结合，求出，可求得，即可求得答案. 【解析】由题意知O是内一点，， 设D为的中点，则， 故O为的重心，则，    又且，则， 故， 则， 故选：D 6．已知的重心为，若，且，则（   ） A． B． C．3 D． 【答案】B 【分析】首先判断，再根据重心的向量表示，变形后，利用数量积公式，即可求解. 【解析】因为，故． 而，故， 则． 故选：B 7．G是的重心，a，b，c分别是角A，B，C的对边，若，则角（   ） A．90° B．60° C．45° D．30° 【答案】D 【分析】根据三角形的重心求得，再利用余弦定理来求得正确答案. 【解析】因为G是的重心，所以有． 又，所以． 设，则有．由余弦定理，可得，所以. 故选：D 8．已知三角形的重心为，内角A，，的对边分别为，，若，则三角形的形状是（   ） A．等腰三角形 B．直角三角形 C．等边三角形 D．等腰直角三角形 【答案】D 【分析】由题可得，结合重心性质及平面向量基本定理可得答案. 【解析】因，则. 又，由平面向量基本定理可得： . 则，，故三角形是等腰直角三角形. 故选：D 9．空间内有五点A，P，Q，S，T，则“”是“Q为重心”的（   ） A．充要条件 B．充分不必要条件 C．既不充分也不必要条件 D．必要不充分条件 【答案】D 【分析】由Q为重心时，可得，计算可得，反之，举例可说明不成立. 【解析】当Q为重心时，可得， 所以，所以， 所以，∴成立； 设，如图所示则Q可不为重心. 所以“”是“Q为重心”的必要不充分条件. 故选：D. 10．（多选题）已知A，B，C是平面上不共线的三点，O是的重心，动点P满足，则点P一定不是（    ） A．边中线的中点 B．边中线的三等分点（非重心） C．的重心 D．边的中点 【答案】ACD 【分析】利用重心的向量表示及向量的线性运算，得到，判断出P的位置，对四个选项一一验证，得到正确答案. 【解析】因为O是的重心，所以， 所以, 所以点P为OC的中点，即为边中线的三等分点（非重心） 故选：ACD 11．如图，已知，，是中线，G为重心，则 ； .（用向量、表示）    【答案】 【分析】根据平面向量线性运算法则计算可得，再由重心的性质得到，从而得解. 【解析】因为是中线，所以为的中点，所以， 所以， 又G为的重心，所以. 故答案为：； 12．的角对应边是 a，b，c ，三角形的重心是 O.已知. (1)求 a 的长. (2)求的面积. 【答案】(1)； (2)18. 【分析】（1）根据给定条件，利用三角形重心的向量表示，结合数量积的运算律求出a 的长. （2）由（1）的信息，利用三角形面积公式，结合三角形重心的性质计算即得. 【解析】（1）在中，由O是重心，得 ，即有， 于是，解得， 而，所以. （2）由（1）得，又O是重心， 所以的面积. 13．如图，已知点是的重心，若过的重心，且，，，（，），试求的最小值． 【答案】 【分析】根据重心的几何性质和三点共线的向量表示，依据线段长的比例进行运算即可. 【解析】∵是的重心，∴是边上的中线，， ∴， ∴， 又∵，（，），∴，， ∴， 又∵，，三点共线， ∴. 又∵，，∴由基本不等式，有 ， 当且仅当，即，时，等号成立， ∴的最小值为. 题型二 内心问题 1．设为的内心，且，则角为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由内心的向量表示可得，结合余弦定理的推论计算即可得. 【解析】∵为的内心， ∴， ∴， 设，（）， 则， 又，所以. 故选：B. 2．在中，，点D，E分别在线段，上，且D为中点，，若，则直线经过的（    ）. A．内心 B．外心 C．重心 D．垂心 【答案】A 【分析】根据题意，可得四边形为菱形，即可得到平分，从而得到结果. 【解析】 因为，且D为中点，， 则， 又因为，则可得四边形为菱形， 即为菱形的对角线， 所以平分，即直线经过的内心 故选:A 3．（多选题）已知是边长为的正三角形，该三角形的内心为点，下列说法正确的是（    ） A．在方向上的投影向量的模为 B． C． D．若为外接圆上任意一点，则 【答案】ACD 【分析】对A，根据向量投影的定义可判断；对B，根据向量数量积可判断；对C，根据平面向量运算可判断；对D，根据向量运算性质可判断. 【解析】对A，因为是边长为的正三角形，内心为点，所以可得， 则在方向上的投影向量的模为， 故A正确； 对B，，故B错误； 对C，，故C正确； 对D，根据题意可知也为的外心， 所以， 故D正确. 故选：ACD    4．在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，I为的内心，若，且，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用正弦定理和两角和的正弦公式，化简得到，求得，得到的值，再由三角形内心的性质和向量的线性运算，求得，结合题意，得到，即,进而求得的值，得到答案. 【解析】因为，由正弦定理得， 又因为， 可得，解得， 因为，所以； 如图所示，设，延长交于点， 则， 所以，同理可得， 过点作， 则 又由，所以, 所以，可得， 即， 因为为的外心，设的内切圆的半径为， 可得， 可得，即， 又因为，即，可得， 由正弦定理得, 又因为，可得，因为且，所以，可得， 所以，可得，. 故选：D. 5．已知点是的内心，，则面积的最大值为 . 【答案】/ 【分析】利用余弦定理求出，再利用面积公式即可求解. 【解析】因为点是的内心，，所以. 由余弦定理得， 所以， 则， 故的面积. 故答案为：. 6．设为的内心，，，，，则 ， ． 【答案】 ； 【分析】根据三角形内心向量表示式，结合平面向量基本定理进行求解即可. 【解析】， 即． 又因为是三角形的内心， 所以， 则有，解得，． 故答案为：； 7．已知边长为的等边三角形的内心为，，则 ， ． 【答案】 【分析】利用转化法可得向量数量积，根据外接圆性质可知，再根据两角差的正切公式可得解. 【解析】 记的中点为，连接，如图所示， 则， 同理 则； 依题意可得， 则； 故答案为：，. 题型三 外心问题 1．在△ABC中，设，那么动点M的轨迹必通过△ABC的（   ） A．垂心 B．内心 C．外心 D．重心 【答案】C 【分析】设的中点是，根据题意化简可得，即可确定的轨迹. 【解析】设的中点是， ， 即，所以， 所以动点在线段的中垂线上，故动点的轨迹必通过的外心， 故选：C. 2.设O是所在平面内一定点,P是平面内一动点,若,则点O是的 A．内心 B．外心 C．重心 D．垂心 【答案】B 【解析】设的中点分别为，可得，再由已知可得，得，同理可得，即可得出结论. 【解析】设的中点分别为， ， ， 所以，点在线段的垂直平分线上， 同理点在线段的垂直平分线上， 所以为的外心. 故选:B. 3．已知点为的外心，且向量，，若向量在向量上的投影向量为，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据判断出，，三点共线，再结合外心的性质得到的形状，最后根据投影向量的定义求出的值. 【解析】已知，将其变形可得，即. 根据向量共线定理，可知与共线，所以，，三点共线. 因为点为的外心，外心是三角形三边垂直平分线的交点，且，，三点共线， 所以为外接圆的直径，那么，即是直角三角形.    根据投影向量的定义求的值，， 可得，即， 又因为，所以，因为，所以. 的值为. 故选：D. 4．在中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，且，，O为的外心，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用正弦定理边角互化，再利用辅助角公式求解即可. 【解析】∵，由正弦定理， 得， 即， 而，所以， ∵， 由正弦定理，得， ∴，而， ∴，∴， 因为，所以，∴． 设的外接圆半径为，则， ∴，而， ∴， 故选：C 5．（多选题）已知点是的外心，点是边的中点，则下列结论中正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【分析】结合外心性质利用数量积的运算律求解判断A，利用数量积的几何意义求解判断B，利用重心的向量形式判断C，利用向量的线性运算化简判断D. 【解析】对于A，因为点是边的中点，所以， 又点是的外心，所以，即， 所以，正确； 对于B，，正确； 对于C，当点是的重心时才有，错误； 对于D，， ，正确. 故选：ABD. 6．若O为的外心，且，则 ． 【答案】0 【分析】根据已知条件判断三角形的形状，进而计算向量的数量积. 【解析】由得即， ∴点是的中点， 故是直角三角形，且， ∴, 故答案为：0. 题型四 垂心问题 1．已知为所在平面内一点，若，则点是的（    ）． A．外心 B．内心 C．重心 D．垂心 【答案】D 【分析】先转化为共起点的向量，对其两边点乘对边向量，提取公因式，再由数量积的值进行判定． 【解析】原式变形为， ， 所以，同理，． 所以是的垂心， 故选：D． 2．已知在中，为的垂心，是所在平面内一点，且，则以下正确的是 （   ） A．点为的内心 B．点为的外心 C． D．为等边三角形 【答案】B 【解析】在中，由为的垂心，得， 由，得， 则，即，又， 显然，同理得，因此点为的外心，B正确，无判断ACD成立的条件. 故选：B 3．如图，已知是的垂心，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】是的垂心，延长CO，BO，AO分别交边AB，AC，BC于点P，M，N，如图， 则，， 因此，，同理， 于是得， 又，即，由“奔驰定理”有， 则，而与不共线，有，，即， 所以. 故选：A 4．在中，，点为的垂心，且满足，，则（    ） A． B．－1 C． D． 【答案】D 【分析】一方面：根据已知得出，另一方面：由三点共线的推论即可列式求解. 【解析】由题意可知是以A为顶角的等腰三角形， 如图所示：，，则， 在直角三角形中，，即. 设， 则， ， 所以，所以. 故选：D. 5．若是的垂心，，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】取的中点，连接，利用中点向量公式结合给定等式推得，再利用垂心的性质，垂直关系的向量表示，二倍角的正切公式计算得解. 【解析】在中，取的中点，连接，则，如图，    由，得，于是， ， 由是的垂心，得，则 因此，即， 显然，，令直线交于，交于， 在中，，即， 则， 所以的值为. 故选：B 6．是所在平面上的一定点，动点满足，，，则点 形成的图形一定通过 的 ．（填外心或内心或重心或垂心） 【答案】垂心 【分析】根据直角三角形中三角函数及向量的夹角可得，据此可由向量的线性运算知P点在BC边垂线上，即可得解. 【解析】， 与垂直， ， 点在的高线上，即的轨迹过的垂心. 故答案为：垂心． 题型五 四心综合问题 1．已知是所在平面内一点，向量满足条件，且，则是（    ） A．等腰三角形 B．直角三角形 C．等腰直角三角形 D．等边三角形 【答案】D 【分析】由题可得既是的外心又是重心进而即得. 【解析】由得是的重心， 由得是的外心，故重心与外心重合， 所以是等边三角形. 故选：D. 2．（多选题）的内心为P，外心为O，重心为G，若，，下列结论正确的是（    ） A．的内切圆半径为 B． C． D． 【答案】ABD 【分析】取边的中点，得内心P、外心O、重心G都在中线上，且，由三角形面积相等求出可判断A；求出可判断B；由余弦定理得，平方关系求出，得的外接圆半径，利用可判断C；利用可判断D. 【解析】取边的中点，连接， 因为，所以内心P、外心O、重心G都在中线上， 且，，内切圆半径， 对于A，由得 ，解得，故A正确； 对于B，因为，所以， ，故B正确； 对于C，由余弦定理得， ，所以， 所以的外接圆半径， ，所以， 所以， ，故C错误； 对于D，的外接圆半径， ，所以，故D正确. 故选：ABD. 3．在中，满足，，，则的轨迹一定经过的（    ） A．内心、重心、垂心 B．重心、内心、垂心 C．内心、垂心、重心 D．重心、垂心、内心 【答案】A 【分析】由表示过角平分线所在向量，即可判断，由正弦定理得到，再设的中点为，则，即可判断，推导出，即可判断. 【解析】因为表示过角平分线所在向量，又， 所以的轨迹经过的内心， 由正弦定理，所以， 令， 由， 得， 设的中点为，则， 所以，所以的轨迹经过的重心，    因为， 所以 ， 所以，所以的轨迹经过的垂心. 故选：A 4．在中，为内的一点，，则下列说法错误的是（    ） A．若为的重心，则 B．若为的外心，则 C．若为的垂心，则 D．若为的内心，则 【答案】A 【分析】建立平面直角坐标系，对于A、C、D：先求出三角形各种心的坐标，然后代入坐标列方程求解；对于B：利用展开计算即可. 【解析】在中，，，为内的一点， 建立如图所示的平面直角坐标系，    则，，， 对于选项A：若为的重心，则，，则， 所以， 若，由平面向量基本定理可得：， 解得，所以，故选项A不正确； 对于选项B：若为的外心，其必在直线上， 所以，故选项B正确； 对于选项C：若为的垂心，其必在上，设， 则，解得， 此时， 若，由平面向量基本定理可得：， 解得，所以，故选项C正确； 对于选项D：若为的内心，设内切圆半径为， 则，得，则， 此时， 若，由平面向量基本定理可得：， 解得，所以，即选项D正确. 故选：A. 5．在中，边长为4，为的中点，长为，点、分别为的重心和外心，则 . 【答案】4 【分析】利用重心性质表示出，利用向量数量积定义即可求得结果. 【解析】因为为重心，则有， 又为外心，故在方向上的投影向量为，且在方向上的投影向量为, 根据数量积的几何意义得 故， 又因为,两式平方相加得， 故,所以. 故答案为： 6．已知中，点分别是的重心和外心，且，则边的长为 . 【答案】 【分析】根据重心和外心性质，通过转化法利用数量积可得，再由三角形法则计算可求出的长为. 【解析】延长交于点，连接，作于点，则分别为的中点，如下图所示： 易知， 同理可得， 由重心性质可知； 所以； 又，即，可得； 所以，可得； 因此，即. 故答案为： 7．（1）已知是平面上的一定点，，，是平面上不共线的三个动点，若动点满足，，则点的轨迹一定通过的　重心　（填“内心”“外心”“重心”或“垂心” ． （2）已知是平面上的一定点，，，是平面上不共线的三个动点，若动点满足，，则点的轨迹一定通过的　　．（填“内心”“外心”“重心”或“垂心” 【解析】解：（1）由已知，， 根据平行四边形法则，设中边的中点为，知， ， ，则，，三点共线， 点的轨迹必过的重心； （2）由已知，，而表示与共线的单位向量，表示与共线的单位向量， 在的角平分线上， 点的轨迹一定通过的内心． 故答案为：重心，内心． 8．瑞士数学家欧拉在1765年提出定理：任意三角形的外心、重心和垂心依次位于同一条直线上，且重心到外心的距离是重心到垂心距离的一半，该直线也被称为欧拉线．已知在中，，，且，设的外心为O，重心为G，垂心为H，若，则实数 ； ． 【答案】 3 或 【分析】根据重心的性质得出，进而都化为以点为起点的向量，即可得出空一；根据正弦定理得出或.然后分类讨论，建立坐标系，求出点的坐标，进而得出答案. 【解析】如图1，设中点为，，垂足为， 则，. 根据重心的性质可知， 所以有， 整理可得， 所以，，； 由已知在中，，，且， 根据正弦定理可得， . 又，所以有或. 当时，，则. 且由余弦定理可知， ， 代入可得，， 整理可得， 解得（舍去）， 所以. 如图1，，，，. 建立直角坐标系， 则，，，. 不妨设， 则，. 因为， 所以，， 即有， 解得，所以. 又，，， 所以. 所以，， 所以，. 又由欧拉定理可知，， 所以，； 当时，，则. 且由余弦定理可知， ， 代入可得，， 整理可得， 解得（舍去）， 所以. 如图1，，，，. 建立直角坐标系， 则，，，. 不妨设， 则，. 因为， 所以，， 即有， 解得，所以. 又，，， 所以. 所以，， 所以，. 又由欧拉定理可知，， 所以，. 故答案为：3；或. 9．已知的内角A，，所对的边分别为，，，，． (1)求A的大小； (2)请在下列三个条件中选择一个作为已知条件，使存在，并解决问题： 为内一点，的延长线交于点，求的面积． ①为的外心，； ②为的垂心，； ③为的内心，． 【答案】(1) (2)选①，不合要求，选②③，面积为 【分析】（1）由余弦定理得到，得到，求出； （2）选①，为的外心，，由正弦定理得到，与矛盾，舍去； 选②，计算出，故，，根据，得到，利用正切和角公式得到，从而求出，所以，为等边三角形，求出的面积； 选③，根据和三角形面积公式得到，结合，求出，求出三角形面积. 【解析】（1）在中，由余弦定理得， 又因为，， 所以，整理得． 在中，由余弦定理得，所以， 即， 又因为，所以． （2）选①，为的外心，； 设的外接圆半径为，则在中，由正弦定理得 ，即， 因为为外心，所以，与矛盾，故不能选①． 选②，为的垂心，； 因为为的垂心，所以， 又，所以在中，， 同理可得， 又因为，所以， 即， 又因为在中，， 所以，因此， 故，为方程两根， 即， 因为，，所以， 所以为等边三角形， 所以． 选③，为的内心，， 因为为的内心，所以， 由，得， 因为，所以，即， 由（1）可得，即，所以， 即，又因为，所以， 所以． 学科网（北京）股份有限公司 $ 重难专题 平面向量与三角形“四心”问题讲义 知识梳理 1. 三角形“四心”的定义与核心性质 类型 定义 核心性质 重心（G） 三角形ABC三条中线的交点，是中线的三等分点（靠近边的一端） ① 重心到顶点的距离与到对边中点的距离之比为2:1； ② 重心与三个顶点组成的三个三角形面积相等； ③ 坐标性质：若、、，则； ④动点满足，，则的轨迹一定通过的重心 外心（O） 三角形ABC三边垂直平分线的交点，外接圆的圆心 ① 外心到三个顶点的距离相等（等于外接圆半径）； ② 锐角三角形外心在内部，直角三角形外心为斜边中点，钝角三角形外心在外部； ③ 向量性质：； ④动点满足，，则动点的轨迹一定通过的外心 内心（I） 三角形ABC三条角平分线的交点，内切圆的圆心 ① 内心到三角形三边的距离相等（等于内切圆半径）； ② 角平分线定理：内心分角平分线所得线段比等于邻边比； ③ 向量性质：（为角对边）； ④动点满足，则的轨迹一定通过△ABC的内心 垂心（H） 三角形ABC三条高线的交点 ① 高线与对边垂直，即、； ② 直角三角形垂心为直角顶点； ③ 向量性质：； ④动点满足，，则动点的轨迹一定通过的垂心 2. 四心的向量等价条件（核心考点） 四心类型 向量等价条件（在三角形ABC中） 重心（G） ① 对任意点，；② ； 外心（O） ① 或；②； ③ 内心（I） ①；② 垂心（H） ① 、；② 对任意点，（锐角三角形中）； ③；④； ⑤ 3. 四心与三角形面积结论关系（熟记结论） ①如图，G为三角形ABC的重心，则. ②如图，O为三角形ABC的外心，则. ③如图，I为三角形ABC的内心，则. ④如图，H为三角形ABC的垂心，则. 典例精讲 模块一：重心问题 典例1（重心的向量表示与计算）已知为的重心，若，，用、表示。 变式1已知在中，为的重心，为边中点，则（    ） A． B． C． D． 模块二：外心问题 典例2（外心的垂直性质）已知为的外心，，，求。 变式1在中，，为外心，且，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 模块三：内心问题 典例3（内心的加权向量公式）已知所在的平面上的动点满足，则直线一定经过的　　 A．重心 B．外心 C．内心 D．垂心 变式1已知O是所在平面上的一点,角A、B、C所对的边分别为a,b,c，若（其中P是所在平面内任意一点），则O点是的（    ） A．外心 B．内心 C．重心 D．垂心 模块四：垂心问题（垂直向量点积法） 典例4（垂心的垂直性质）已知为的垂心，，，，求证：。 变式1设为的外心，若，则是的（    ） A．重心（三条中线交点） B．内心（三条角平分线交点） C．垂心（三条高线交点） D．外心（三边中垂线交点） 模块五：四心综合问题 典例5（四心共线与欧拉定理）已知为的外心，为重心，为垂心，求证：。 变式1（多选题）以下命题中，正确的有（    ） A．若是的重心，则有 B．若，则是的内心 C．若，则 D．若是的外心，且，则 【核心解题技巧】 （1）重心问题 优先用坐标法：已知三点坐标直接套用重心坐标公式； 向量法关键：利用“中点向量+2:1分点比例”，即（为中点）。 （2）外心问题 紧扣“垂直+等距”：垂直平分线性质转化为向量垂直（数量积为0），等距转化为模长相等； 直角三角形捷径：外心为斜边中点，直接用中点向量公式。 （3）内心问题 加权向量公式：，可快速求解参数； 坐标法：内心坐标公式，代入即得。 （4）垂心问题 核心转化：将高线转化为向量垂直（）； 锐角三角形性质：，可简化计算。 【易错提醒】 重心比例混淆：误将，实际为； 外心位置忽略：钝角三角形外心在外部，垂直平分线需延长，向量方向易出错； 内心加权系数颠倒：公式中系数为对边长度，即对应，而非邻边； 垂心向量公式局限：仅适用于锐角三角形，钝角三角形需调整符号； 数量积夹角失误：计算时，误将夹角视为，实际为。 题型一：重心问题 1．已知为的重心，则（    ） A． B． C． D． 2．已知点G为的重心，若，则（   ） A．0 B．1 C． D．3 3．已知的重心为，延长DG交AB于点，则（    ） A． B． C． D． 4．已知点在所在的平面内，满足，则动点的轨迹一定通过的（    ）A．内心 B．垂心 C．外心 D．重心 5．已知O是内一点，，且，则的面积为（    ） A． B． C．1 D． 6．已知的重心为，若，且，则（   ） A． B． C．3 D． 7．G是的重心，a，b，c分别是角A，B，C的对边，若，则角（   ） A．90° B．60° C．45° D．30° 8．已知三角形的重心为，内角A，，的对边分别为，，若，则三角形的形状是（   ） A．等腰三角形 B．直角三角形 C．等边三角形 D．等腰直角三角形 9．空间内有五点A，P，Q，S，T，则“”是“Q为重心”的（   ） A．充要条件 B．充分不必要条件 C．既不充分也不必要条件 D．必要不充分条件 10．（多选题）已知A，B，C是平面上不共线的三点，O是的重心，动点P满足，则点P一定不是（    ） A．边中线的中点 B．边中线的三等分点（非重心） C．的重心 D．边的中点 11．如图，已知，，是中线，G为重心，则 ； .（用向量、表示）    12．的角对应边是 a，b，c ，三角形的重心是 O.已知. (1)求 a 的长. (2)求的面积. 13．如图，已知点是的重心，若过的重心，且，，，（，），试求的最小值． 题型二 内心问题 1．设为的内心，且，则角为（    ） A． B． C． D． 2．在中，，点D，E分别在线段，上，且D为中点，，若，则直线经过的（    ）. A．内心 B．外心 C．重心 D．垂心 3．（多选题）已知是边长为的正三角形，该三角形的内心为点，下列说法正确的是（    ） A．在方向上的投影向量的模为 B． C． 4．在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，I为的内心，若，且，则的值为（   ） A． B． C． D． 5．已知点是的内心，，则面积的最大值为 . 6．设为的内心，，，，，则 ， ． 7．已知边长为的等边三角形的内心为，，则 ， ． 题型三 外心问题 1．在△ABC中，设，那么动点M的轨迹必通过△ABC的（   ） A．垂心 B．内心 C．外心 D．重心 2.设O是所在平面内一定点,P是平面内一动点,若,则点O是的 A．内心 B．外心 C．重心 D．垂心 3．已知点为的外心，且向量，，若向量在向量上的投影向量为，则的值为（    ） A． B． C． D． 4．在中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，且，，O为的外心，则的值为（   ） A． B． C． D． 5．（多选题）已知点是的外心，点是边的中点，则下列结论中正确的是（    ） A． B． C． D． 6．若O为的外心，且，则 ． 题型四 垂心问题 1．已知为所在平面内一点，若，则点是的（    ）． A．外心 B．内心 C．重心 D．垂心 2．已知在中，为的垂心，是所在平面内一点，且，则以下正确的是 （   ） A．点为的内心 B．点为的外心 C． D．为等边三角形 3．如图，已知是的垂心，且，则（    ） A． B． C． D． 4．在中，，点为的垂心，且满足，，则（    ） A． B．－1 C． D． 5．若是的垂心，，则的值为（    ） A． B． C． D． 6．是所在平面上的一定点，动点满足，，，则点 形成的图形一定通过 的 ．（填外心或内心或重心或垂心） 题型五 四心综合问题 1．已知是所在平面内一点，向量满足条件，且，则是（    ） A．等腰三角形 B．直角三角形 C．等腰直角三角形 D．等边三角形 2．（多选题）的内心为P，外心为O，重心为G，若，，下列结论正确的是（    ） A．的内切圆半径为 B． C． D． 3．在中，满足，，，则的轨迹一定经过的（    ） A．内心、重心、垂心 B．重心、内心、垂心 C．内心、垂心、重心 D．重心、垂心、内心 4．在中，为内的一点，，则下列说法错误的是（    ） A．若为的重心，则 B．若为的外心，则 C．若为的垂心，则 D．若为的内心，则 5．在中，边长为4，为的中点，长为，点、分别为的重心和外心，则 . 6．已知中，点分别是的重心和外心，且，则边的长为 . 7．（1）已知是平面上的一定点，，，是平面上不共线的三个动点，若动点满足，，则点的轨迹一定通过的　重心　（填“内心”“外心”“重心”或“垂心” ． （2）已知是平面上的一定点，，，是平面上不共线的三个动点，若动点满足，，则点的轨迹一定通过的　　．（填“内心”“外心”“重心”或“垂心” 8．瑞士数学家欧拉在1765年提出定理：任意三角形的外心、重心和垂心依次位于同一条直线上，且重心到外心的距离是重心到垂心距离的一半，该直线也被称为欧拉线．已知在中，，，且，设的外心为O，重心为G，垂心为H，若，则实数 ； ． 9．已知的内角A，，所对的边分别为，，，，． (1)求A的大小； (2)请在下列三个条件中选择一个作为已知条件，使存在，并解决问题： 为内一点，的延长线交于点，求的面积． ①为的外心，； ②为的垂心，； ③为的内心，． 学科网（北京）股份有限公司 $