第12讲 线线、线面、面面垂直的证明（知识清单+3题型讲解举三反三+强化训练）【满分全攻略备考系列】-2025-2026学年高一数学（人教A版必修第二册）重难点讲义与测试

第12讲 线线、线面、面面垂直的证明 知识清单 知识点01：异面直线所成角及直线垂直 知识点02：直线与平面垂直 知识点03：平面与平面垂直 题型讲解 （举三反三） 题型1：线线垂直的证明 题型2：线面垂直的证明 题型3：面面垂直的证明 强化训练 一、单选题（8） 二、多选题（3） 三、填空题（3） 四、解答题（5） 知识点一、异面直线所成角及直线垂直 异面直线所成的角 (1)定义：已知两条异面直线a，b，经过空间任一点O分别作直线a′∥a，b′∥b，我们把a′与b′所成的角叫做异面直线a与b所成的角(或夹角)． (2)异面直线所成的角θ的取值范围：0°<θ≤90°. (3)当θ＝90°时，a与b互相垂直，记作a⊥b. 知识点二、直线与平面垂直 1．直线与平面垂直 定义 如果直线l与平面α内的任意一条直线都垂直，我们就说直线l与平面α互相垂直 记法 l⊥α 有关概念 直线l叫做平面α的垂线，平面α叫做直线l的垂面．它们唯一的公共点P叫做垂足 图示 画法 画直线与平面垂直时，通常把直线画成与表示平面的平行四边形的一边垂直 2.直线与平面垂直的判定定理 文字语言 如果一条直线与一个平面内的两条相交直线垂直，那么该直线与此平面垂直 符号语言 l⊥a，l⊥b，a⊂α，b⊂α，a∩b＝P⇒l⊥α 图形语言 3.直线和平面所成的角 有关概念 对应图形 斜线 一条直线l与一个平面α相交，但不与这个平面α垂直，图中直线PA 斜足 斜线和平面的交点，图中点A 射影 过斜线上斜足以外的一点P向平面α引垂线PO，过垂足O和斜足A的直线AO叫做斜线在这个平面内的射影 直线与平面所成的角 定义：平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的角 规定：一条直线垂直于平面，它们所成的角是直角；一条直线和平面平行或在平面内，它们所成的角是0°的角 取值范围 [0°，90°] 4．直线与平面垂直的性质定理 文字语言 垂直于同一个平面的两条直线平行 符号语言 ⇒a∥b 图形语言 作用 ①线面垂直⇒线线平行 ②作平行线 知识点三、平面与平面垂直 1．二面角的概念 (1)定义：从一条直线出发的两个半平面所组成的图形． (2)相关概念：①这条直线叫做二面角的棱，②两个半平面叫做二面角的面． (3)画法： (4)记法：二面角α­l­β或α­AB­β或P­l­Q或P­AB­Q. (5)二面角的平面角：若有①O∈l；②OA⊂α，OB⊂β； ③OA⊥l，OB⊥l，则二面角α­l­β的平面角是∠AOB. (6)平面角是直角的二面角叫做直二面角，二面角的平面角α的取值范围是0°≤α≤180°. 2．平面与平面垂直 (1)定义：一般地，两个平面相交，如果它们所成的二面角是直二面角，就说这两个平面互相垂直． (2)画法： (3)记作：α⊥β. (4)判定定理： 文字语言 如果一个平面过另一个平面的垂线，那么这两个平面垂直 图形语言 符号语言 l⊥α，l⊂β⇒α⊥β 3．平面与平面垂直的性质定理 文字语言 两个平面垂直，如果一个平面内有一直线垂直于这两个平面的交线，那么这条直线与另一个平面垂直 符号语言 ⇒a⊥β 图形语言 作用 ①面面垂直⇒线面垂直 ②作面的垂线 题型1：线线垂直的证明 【例1-1】（24-25高二上·上海·月考）若空间中四条两两不同的直线，满足   则下面结论一定正确的是（  ） A． B． C．既不垂直也不平行 D．的位置关系不确定 【答案】D 【分析】将满足题意的直线放入长方体模型判断即可. 【详解】如图所示，取，，， 当取时，，当取时，，排除ABC. 故选：D. 【例1-2】（24-25高一下·全国·课后作业）在直三棱柱中，，求证：． 【答案】证明见解析 【分析】找到异面直线的夹角，利用直三棱柱的性质求出夹角度数，再证明线线垂直即可. 【详解】如图，连接，设，，， 由直三棱柱性质得，， 因为，所以由勾股定理得， 因为三棱柱是直三棱柱，所以， 由勾股定理得，， 故，则，即． 由直三棱柱性质得，故就是直线与所成的角， 所以得证． 【例1-3】如图所示，在空间四边形ABCD中，AD=BC=2，E，F分别是AB，CD的中点，EF=．求证：AD⊥BC． 【答案】证明见解析 【分析】通过平移后再解三角形即可获得证明. 【详解】证明：如图所示，取BD的中点H，连接EH，FH． 因为E是AB的中点，且AD=2， 所以EH∥AD，EH=1．同理FH∥BC，FH=1． 所以∠EHF(或其补角)是异面直线AD，BC所成的角． 因为EF=，所以EH2+FH2=EF2， 所以EFH是等腰直角三角形，EF是斜边， 所以∠EHF=90°，即AD与BC所成的角是90°， 所以AD⊥BC． 【变式1-1】如图，在正方体中，分别是棱的中点，求证：. 【答案】见解析 【分析】如图所示，过点M作交于，连接，计算，，，利用勾股定理得到答案。 【详解】如图所示：过点M作交于，连接 则为异面直线与所成的角或其补角. 设正方体棱长为a，计算得到，，， 所以，所以，即. 【点睛】本题考查了线线垂直，转化为异面直线夹角是解题的关键。 【变式1-2】如图，在正方体中，为底面的中心.求证 【答案】见解析 【分析】如图所示，连接，，确定直线与所成的角即为直线与所成的角，证明得到答案。 【详解】如图所示：连接，是正方体. ∴四边形是平行四边形. ∴直线与所成的角即为直线与所成的角. 连接，易证.又为底面的中心， 为的中点 . 【点睛】本题考查了直线垂直，转化为异面直线夹角是解题的关键。 【变式1-3】空间四边形中，的中点分别为，且，，，求证：. 【答案】见解析 【分析】确定为和所成的角，计算长度，，，根据勾股定理得到答案。 【详解】如图，因为分别为的中点， 所以，， 所以为和所成的角. 又，，， 所以，所以， 即和所成的角为90°所以. 【点睛】本题考查了线线垂直，转化为异面直线夹角是解题的关键。 题型2：线面垂直的证明 【例2-1】（25-26高一下·全国·课堂例题）已知垂直平行四边形所在平面，若，则平行四边形一定是（   ） A．平行四边形 B．矩形 C．正方形 D．菱形 【答案】D 【分析】根据线面垂直性质定理及判定定理判断即可. 【详解】如图所示，因为平面，所以． 因为，且， 所以平面，所以． 所以平行四边形为菱形． 故选：D． 【例2-2】（25-26高一下·全国·课堂例题）在如图所示的长方体中，互相平行的平面共有________对，与垂直的平面是________． 【答案】 3 平面，平面 【详解】平面与平面平行，平面与平面平行，平面与平面平行，共3对，与垂直的平面是平面，平面． 【例2-3】（25-26高一·全国·假期作业）如图，在圆锥PO中，AB为底面圆O的直径，C，D为圆O上不与A，B重合的点，且，，.求证：平面POC； 【答案】证明见解析 【分析】利用线面垂直的性质判定推理得证. 【详解】连接，延长交于点，由为底面圆的直径，得， 由，得，， 又，则平分，， 又，则为正三角形，是其中心， 于是是中点，， 而平面，平面，则， 又,且,平面，所以平面. 【变式2-1】若三棱锥的三条侧棱PA、PB、PC两两垂直，则顶点P在底面的射影O是的（    ）． A．重心 B．垂心 C．内心 D．外心 【答案】B 【分析】根据给定条件，利用线面垂直的判定性质推理即得. 【详解】连接并延长交于点，连接并延长交于点，连接、， 由，，平面，得平面， 而平面，则，又平面，平面，则， 平面，于是平面，而平面， 因此，同理，，所以为的垂心. 故选：B 【变式2-2】（25-26高一下·全国·课堂例题）如图，在四棱锥中，底面是矩形，平面是的中点，分别在上，且．则与的位置关系为________． 【答案】 【详解】平面，平面， ，又， ． ，是的中点， ，，平面， 平面． ，， ． ，，平面， 平面． ． 【变式2-3】（25-26高一下·全国·课后作业）如图1，在梯形中，，，为中点，是与的交点，将沿翻折到图2中的位置得到四棱锥．求证： 【答案】证明见解析 【分析】应用菱形得出，，进而应用线面垂直判定定理得出平面即可得出所以，再应用平行四边形得出线线垂直. 【详解】图1中，在四边形中，，，所以四边形为平行四边形， 又因为，所以四边形为菱形，所以，， 所以在图2中，，，又平面，所以平面， 因为平面，所以， 又在四边形中，，， 所以四边形为平行四边形， 所以，所以； 题型3：面面垂直的证明 【例3-1】（2025高一·全国·专题练习）如图，在四面体中，平面，，则该四面体的四个表面中，互相垂直的平面有（    ）.    A．1对 B．2对 C．3对 D．4对 【答案】C 【分析】根据给定条件，利用线面垂直的性质、判定，面面垂直的判定定理推理判断. 【详解】由平面，平面，平面， 得平面平面，平面平面，平面与平面不垂直； 由平面，平面，得， 而，平面，则平面， 又平面，因此平面平面，平面与平面不垂直； 假定平面平面，在平面内过点作于，连接， 由是斜边，得不与点重合，由平面平面， 得平面，而平面，则，又平面， 于是平面，又平面，则，由平面，平面， 得，而平面，因此与矛盾，即平面与平面不垂直，    所以平面平面，平面平面，平面平面，共有3对. 故选：C 【例3-2】（24-25高一下·全国·课后作业）在正四面体中，，，分别是，，的中点，有下列四个命题： ①平面； ②平面平面； ③平面； ④平面平面． 其中正确命题的序号是_________． 【答案】①③④ 【分析】根据线线平行得出线面平行，根据线面垂直得出面面垂直分别判断各个小题. 【详解】    因为，分别是，的中点，所以， 又平面，平面，所以平面，故①正确； 因为是的中点，所以，． 因为，，平面，所以平面． 因为平面，所以平面平面，故④正确； 因为，所以平面，故③正确； 设，因为，分别是,的中点，所以O是中点, 若平面平面，平面平面， 平面，所以平面， 由面，可得； 设正四面体边长为2，则等边三角形中得，则，与矛盾，②不正确． 故答案为：①③④ 【例3-3】（25-26高一下·全国·课堂例题）如图所示，在空间四边形中，，，，，分别是，，的中点．求证：平面平面． 【答案】证明见解析 【分析】连接，．由题意可证四边形为菱形，进而可得，又可得，进而可得平面，可证结论. 【详解】连接，．，，分别是，，的中点，且， ，且， ∴四边形为菱形，， 又，，， 又，．又，，平面， 平面，又平面， ∴平面平面． 【变式3-1】（24-25高一下·北京顺义·期末）如图，在棱长为a的正方体中，E是棱上的一个动点，给出下列三个结论：    ①存在点E使得平面平面； ②的面积为定值； ③的最小值为. 其中所有正确结论的序号是（   ） A．① B．②③ C．①③ D．①②③ 【答案】C 【分析】对于①当为的中点时即证平面即可判断，对于②当为的中点计算,当与重合时，计算即可判断，对于③将侧面与侧面展开铺平，利用勾股定理计算即可判断. 【详解】对于①：当为的中点时，连接,设交于，连接， 则为和的中点，    由，所以，由为的中点，所以， 同理，又，平面， 所以平面,又平面，所以平面平面，故①正确， 对于②：当为的中点时，由①有，则，， 所以， 当点与点重合时，， ， 故的面积不是定值，故②错误； 对于③：如图，将侧面与侧面展开铺平， 所以，所以， 则的最小值为，故③正确.    故选：C. 【变式3-2】（24-25高一上·全国·期中）如图，已知棱长为的正方体，顶点在平面内，其余顶点都在平面同侧，且顶点到平面的距离分别为，则等于_______． 【答案】 【分析】证明平面，进而可得平面平面，即可根据，在平面的射影，与共线，利用锐角三角函数求解. 【详解】设，显然是的中点， 因为平面，到的距离为4， 所以到的距离分别为2，而到的距离为2， 因此，即，设平面， 所以，因为四边形是正方形，所以， 又平面，平面， 所以，又，，平面， 所以平面，因此有平面，而， 所以平面平面，平面平面，， 所以，在平面的射影，与共线， 显然，如图所示： 由，， 由（负值舍去）， 故答案为： 【点睛】关键点点睛：根据，即，设平面，根据线线垂直证明平面，因此有平面，即可得平面平面，利用投影共线，即可根据锐角三角函数求解. 【变式3-3】（24-25高一·全国·假期作业）如图，在四棱锥中，是边长为2的等边三角形，底面ABCD是等腰梯形，是PD的中点. (1)求证：平面PAB； (2)若，求证：平面平面ABCD； 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【分析】（1）取PA中点，连接EF、BF，利用线面平行的判定推理可证结论. （2）过点作交AD于点，借助余弦定理、勾股定理的逆定理证得，再利用线面垂直的判定、面面垂直的判定推理得证. 【详解】（1）在四棱锥中，取PA中点，连接EF、BF， 由是PD的中点，得， 又因为，所以， 所以四边形EFBC是平行四边形，所以，又平面平面PAB， 所以平面PAB. （2）在等腰梯形ABCD中，，过点作交AD于点， 由，得， 在中，由余弦定理得， 则，所以， 又，平面PBD， 因此平面，而平面ABCD， 所以平面平面ABCD. 一、单选题 1．（25-26高一下·全国·课后作业）如图所示，在正方体中，分别是的中点，则异面直线与所成的角的大小为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】在正方体中，连接，则， 异面直线与所成的角等于所成的角，而， 所以所求角的大小为. 2．（25-26高二上·上海·月考）已知直线和平面，且，则与的位置关系为（   ） A． B． C．或 D．与相交 【答案】C 【分析】根据题意，利用线面位置关系的判定与性质，即可求解. 【详解】若，因为，此时满足，所以与的位置关系可能为； 若，过上一点作，交平面与点，如图所示， 设过相交直线与的平面为，设， 因为，所以，又由，所以， 又因为，所以，且共面，所以， 因为，所以， 综上可得：与的位置关系为或. 故选：C. 3．（24-25高一下·北京顺义·期末）设m，n为两条不同的直线，、为两个不同的平面，则下列结论正确的是（   ） A．若，，，，则 B．若，，，则 C．若，，则 D．若，，则 【答案】B 【分析】由空间中线面的位置关系进行判断即可． 【详解】对于A项，当相交时，才成立，故A项错误； 对于B项，由，，得，而，则，故B项正确； 对于C项，若，，则，或，或，故C项错误； 对于D项，若，，则可以平行或异面，故D项错误． 故选：B 4．（2025高一上·江苏南通·专题练习）设是两个平面，是两条直线，则下列命题为真命题的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，，，则 D．若，则 【答案】D 【分析】选项：根据线面平行的判定定理即可判断； 选项：根据线线平行的判定定理即可判断； 选项：根据面面平行的判定定理即可判断； 选项：根据线面平行的性质定理即可判断； 【详解】选项：若，则m可能平行于，也可能在内，A为假命题； 选项：若且，则；又，则，B为假命题； 选项：若、且，与可能相交或平行，C为假命题； 选项：若、且，根据线面平行的性质定理可得，D为真命题． 故选：. 5．（24-25高一下·安徽合肥·期末）在正方形ABCD中，已知是AB的中点，现以DE为折痕将折起到的位置，当三棱锥的体积最大时，此时三棱锥外接球的体积为，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】依据条件可知三角形DEC的外心为即为球心，然后表示出半径计算即可. 【详解】由题意，当平面垂直平面时，三棱锥的高有最大值，此时体积最大. 是直角三角形，取斜边DE的中点，则为直角三角形ADE的外心，设等腰三角形DEC的外心为，连接OG，则直线平面， 则，即为三棱锥的外接球的球心， 在中，， 则，得， 由正弦定理可知，外接球半径 则其体积为. 故选：B 6．（25-26高一下·全国·单元测试）已知平面平面，直线，，则“”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】C 【分析】根据面面垂直的性质定理及线面垂直的定义可得. 【详解】若，则根据面面垂直的性质定理，可得； 若，则由，可得. 故“”是“”的充要条件. 故选：C． 7．（24-25高一下·山东济宁·期末）如图，在正四面体中，分别是与的中点，设和所成角为，则的值为（   ）    A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据异面直线所成角的定义，借助平行关系作平行线，从而找到异面直线所成角（或补角）即可求. 【详解】如图，连接MD，设O为MD的中点，连接ON､OC，则且，    所以为异面直线AM与CN所成的角（或补角），若四面体的棱长为1，则， 所以，，. 在中，即. 故选：A 8．（24-25高一下·北京·期中）已知正方体中，点，，分别为棱，，的中点，给出下列四个结论：    其中不正确结论是（　　） A．直线与平面相交； B．平面； C．若，则点到平面的距离为； D．该正方体的棱所在直线与平面所成的角都相等． 【答案】A 【分析】①先证，可得平面平面，从而知平面，可判断A的真假；②利用三垂线定理可得，再由线面垂直的判定定理知平面，并结合平面平面，可判断B的真假；③易知是边长为的等边三角形，再利用等体积法可求点到面的距离，判断C的真假；④结合四面体是正三棱锥，且正方体的棱构成三组平行线，即可判断D的真假． 【详解】①因为点分别为棱的中点， 所以，即四边形是平行四边形， 所以， 又因为平面，平面，所以平面. 因为点分别为棱的中点，所以， 又因为平面，平面，所以平面. 因为，平面， 所以平面平面. 因为平面，所以直线平面，即A错误； ②由三垂线定理知，， 因为平面，所以平面， 由①知平面平面， 所以平面，即B正确； ③若，则是边长为的等边三角形， 所以， 设点到平面的距离为， 因为， 所以， 所以， 所以点到平面的距离为，即C正确； ④由题意知，四面体的底面是等边，且， 即四面体是正三棱锥， 所以三条侧棱与底面所成角均相等， 而，，， 所以该正方体的棱所在直线与平面所成的角都相等， 由①知平面平面， 所以该正方体的棱所在直线与平面所成的角都相等，即D正确． 故选：A 二、多选题 9．（25-26高一下·全国·单元测试）如图所示，直线垂直于圆所在的平面，内接于圆，且为圆的直径，点为线段的中点．现有结论中正确的是（   ） A．平面 B．平面平面 C．平面 D． 【答案】ABD 【分析】利用直线与平面平行的判定定理判断A；根据线面垂直的判定定理，面面垂直的判定定理判断B，C，D. 【详解】因为为的中点，为的中点，所以. 因为平面，平面，所以平面. 所以A正确. 又平面，平面，所以， 由为圆的直径，得， 因为平面，所以平面. 又平面，所以平面平面. 所以B正确. 因为平面，且过一点只能作平面的一条垂线，所以C错误； 因为平面，平面，所以，所以D正确. 故选：ABD. 10．（24-25高一下·浙江杭州·期中）在正方体中，下列结论正确的是（    ） A． B．平面 C． D．平面 【答案】BD 【分析】画出图形，结合正方体的性质逐一判断各选项：选项A，根据正方体性质得出四边形是平行四边形，得出，结合正方形的对角线互相垂直的性质，得出；选项B：根据线面平行定理进行判断；选项C：根据正方体性质得出是等边三角形，结合，得出即为与所成夹角；选项D：根据线面垂直定理进行判断. 【详解】设正方体的棱长为， 如图，连接. 选项A：根据正方体性质可知，， 四边形是平行四边形， 又平面，且平面， 平面 又平面， ，故A错. 选项B：由选项A知，平面，故B正确. 选项C：根据正方体的性质可知，， 为等边三角形，又， 等于与所成的角，故C错. 选项D：根据正方体的性质可知，平面， 又平面，. 根据正方形的性质，的对角线. 又平面， 平面，故D正确. 故选：BD. 11．（24-25高一下·吉林白城·期末）已知是正方体，则下列结论正确的是（    ） A．直线与是异面直线 B．与所成的角为60° C． D．直线与所成的角为60° 【答案】ACD 【分析】由异面直线的判定判断A；证得线线平行判断B；由异面直线垂直判断C；求出异面直线所成角判断D. 【详解】对于A，平面，点平面，，而平面， 直线，直线与是异面直线，A正确； 对于B，由，得，则，B错误； 对于C，由选项B同理得，而，则，C正确； 对于D，连接，，则或其补角为异面直线与所成的角， 又为正方体的面对角线，即，， 因此异面直线与所成的角为，D正确. 故选：ACD 三、填空题 12．（2024高一下·全国·专题练习）如图所示，在三棱锥中，若是的中点，则平面与平面的关系是________. 【答案】垂直 【分析】先证明平面，再由面面垂直的判定定理求解. 【详解】因为是的中点， 所以由等腰三角形三线合一可知， 又，平面，平面， ∴平面. 又平面， ∴平面平面. 故答案为：垂直. 13．（25-26高一下·全国·课后作业）若表示直线，表示平面，下列命题中正确的有________（填序号）． ①，；②，；③，；④，；⑤，． 【答案】①④⑤ 【详解】对于①，若，，则，故①正确； 对于②，由，，可以得出 或，故②错误； 对于③，由，，可以得出，,或与相交，故③错误； 对于④，若，，则，故④正确； 对于⑤，若，，则，故⑤正确. 14．（25-26高一下·全国·课堂例题）设，，为三条不同的直线，为一个平面，给出下列说法： ①若，则与相交； ②若，，，，则． 其中正确的说法的序号为____________． 【答案】① 【分析】根据线面垂直的定义即可判断命题①；根据线面垂直的判定定理即可判断命题②. 【详解】①因为，所以直线垂直于平面内的所有直线，且直线与平面有且仅有1个交点（垂足），所以与相交，故①正确. ②由线面垂直的判定定理可知，如果一条直线与一个平面内的两条相交直线垂直，那么该直线与此平面垂直. 题目中未说明和是相交直线，故直线不一定垂直于平面. 故②错误. 故答案为：① 四、解答题 15．（24-25高一·全国·假期作业）如图，四边形与四边形均为等腰梯形，，为的中点．证明：平面平面； 【答案】证明见解析 【分析】记为中点，由题意可证，结合，可证平面，进而利用面面垂直的判定定理可证平面平面. 【详解】四边形为平行四边形，可得，又， 所以为等边三角形，记为中点，所以. 又因为四边形为等腰梯形，为中点，所以，， 四边形为平行四边形，， 所以为等腰三角形，所以，， 因为，所以. 又，平面， 所以平面． 平面，所以平面平面. 16．（2026高一·全国·专题练习）已知在平面内，点，，，，垂足分别为，，．．求证：． 【答案】借助线面垂直性质定理可得，结合，可得平面，则有，同理可得，再利用线面垂直性质定理及勾股定理计算可得，则可得点到与的距离相等，即可得证. 【详解】由，，则， 又，，、平面， 故平面，又平面，故； 由，，则， 又，，、平面， 故平面，又平面，故； 由，、，故、， 又，故， 故点到与的距离相等，故为的角平分线， 即有. 17．（25-26高一·全国·假期作业）如图，在四棱锥中，平面，为的中点，，，，.求证：平面； 【答案】证明见解析 【分析】根据勾股定理可以计算出，根据余弦定理可以计算出，再次利用勾股定理可以计算出，继而可以证得，再由已知条件即可证明. 【详解】（1）因为平面，平面，所以， 又四边形为直角梯形，且，，， 则，且，则， 在中，由余弦定理可得， 所以，即， 因为，，平面，所以平面. 18．（25-26高一下·全国·课后作业）如图所示，在三棱锥中，平面，． (1)求证：平面平面； (2)若，求二面角的正弦值． 【答案】(1)证明见解析 (2)． 【分析】（1）先由线面垂直的性质得，结合已知及线面垂直判定定理证得平面，再由面面垂直的判定定理推出平面平面； （2）先确定为二面角的平面角，再在中结合用勾股定理求出，最后利用正弦的定义求得二面角的正弦值. 【详解】（1）证明：平面，平面， ，又且． 平面．又平面平面平面． （2）由（1）知为二面角的平面角． 在Rt中，，，． 即二面角的正弦值为． 19．（24-25高一下·广西柳州·期末）如图1，在矩形ABCD中，，，将△BCD沿BD翻折至△BC1D，且，如图2所示.    (1)求证：平面ABC1⊥平面AC1D； (2)求点C1到平面ABD的距离d； (3)求二面角的余弦值. 【答案】(1)证明详见解析 (2) (3) 【分析】（1）根据勾股定理可证，再结合线面垂直的判定定理可证平面，然后根据面面垂直的判定定理证明即可； （2）根据等体积法，利用三棱锥的体积求点到平面的距离即可； （3）根据二面角的定义做出二面角的平面角，然后利用直角三角形的性质求解即可. 【详解】（1）由题得，在△中，，所以. 又因为矩形，所以. 因为，平面，平面， 所以平面. 又平面，所以平面平面. （2）在△中，，所以，所以. 在直角△中，. 由（1）知平面，所以点到平面的距离为. 设点C1到平面ABD的距离为d， 由，得， 所以. （3）如图，在平面内作于点，在平面内作于点，连接.    由（2）知，，又， 平面，所以平面， 因为平面，故. 因为，，平面，所以平面. 又平面，所以， 因为，，平面，所以平面， 又平面，所以，又， 所以为二面角的平面角. 因为，所以，解得， 因为平面，又平面，故， 所以． 由题意知直角三角形中，，， 故，又，则， 所以， 故二面角的余弦值为． 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 第12讲 线线、线面、面面垂直的证明 知识清单 知识点01：异面直线所成角及直线垂直 知识点02：直线与平面垂直 知识点03：平面与平面垂直 题型讲解 （举三反三） 题型1：线线垂直的证明 题型2：线面垂直的证明 题型3：面面垂直的证明 强化训练 一、单选题（8） 二、多选题（3） 三、填空题（3） 四、解答题（5） 知识点一、异面直线所成角及直线垂直 异面直线所成的角 (1)定义：已知两条异面直线a，b，经过空间任一点O分别作直线a′∥a，b′∥b，我们把a′与b′所成的角叫做异面直线a与b所成的角(或夹角)． (2)异面直线所成的角θ的取值范围：0°<θ≤90°. (3)当θ＝90°时，a与b互相垂直，记作a⊥b. 知识点二、直线与平面垂直 1．直线与平面垂直 定义 如果直线l与平面α内的任意一条直线都垂直，我们就说直线l与平面α互相垂直 记法 l⊥α 有关概念 直线l叫做平面α的垂线，平面α叫做直线l的垂面．它们唯一的公共点P叫做垂足 图示 画法 画直线与平面垂直时，通常把直线画成与表示平面的平行四边形的一边垂直 2.直线与平面垂直的判定定理 文字语言 如果一条直线与一个平面内的两条相交直线垂直，那么该直线与此平面垂直 符号语言 l⊥a，l⊥b，a⊂α，b⊂α，a∩b＝P⇒l⊥α 图形语言 3.直线和平面所成的角 有关概念 对应图形 斜线 一条直线l与一个平面α相交，但不与这个平面α垂直，图中直线PA 斜足 斜线和平面的交点，图中点A 射影 过斜线上斜足以外的一点P向平面α引垂线PO，过垂足O和斜足A的直线AO叫做斜线在这个平面内的射影 直线与平面所成的角 定义：平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的角 规定：一条直线垂直于平面，它们所成的角是直角；一条直线和平面平行或在平面内，它们所成的角是0°的角 取值范围 [0°，90°] 4．直线与平面垂直的性质定理 文字语言 垂直于同一个平面的两条直线平行 符号语言 ⇒a∥b 图形语言 作用 ①线面垂直⇒线线平行 ②作平行线 知识点三、平面与平面垂直 1．二面角的概念 (1)定义：从一条直线出发的两个半平面所组成的图形． (2)相关概念：①这条直线叫做二面角的棱，②两个半平面叫做二面角的面． (3)画法： (4)记法：二面角α­l­β或α­AB­β或P­l­Q或P­AB­Q. (5)二面角的平面角：若有①O∈l；②OA⊂α，OB⊂β； ③OA⊥l，OB⊥l，则二面角α­l­β的平面角是∠AOB. (6)平面角是直角的二面角叫做直二面角，二面角的平面角α的取值范围是0°≤α≤180°. 2．平面与平面垂直 (1)定义：一般地，两个平面相交，如果它们所成的二面角是直二面角，就说这两个平面互相垂直． (2)画法： (3)记作：α⊥β. (4)判定定理： 文字语言 如果一个平面过另一个平面的垂线，那么这两个平面垂直 图形语言 符号语言 l⊥α，l⊂β⇒α⊥β 3．平面与平面垂直的性质定理 文字语言 两个平面垂直，如果一个平面内有一直线垂直于这两个平面的交线，那么这条直线与另一个平面垂直 符号语言 ⇒a⊥β 图形语言 作用 ①面面垂直⇒线面垂直 ②作面的垂线 题型1：线线垂直的证明 【例1-1】（24-25高二上·上海·月考）若空间中四条两两不同的直线，满足   则下面结论一定正确的是（  ） A． B． C．既不垂直也不平行 D．的位置关系不确定 【例1-2】（24-25高一下·全国·课后作业）在直三棱柱中，，求证：． 【例1-3】如图所示，在空间四边形ABCD中，AD=BC=2，E，F分别是AB，CD的中点，EF=．求证：AD⊥BC． 【变式1-1】如图，在正方体中，分别是棱的中点，求证：. 【变式1-2】如图，在正方体中，为底面的中心.求证 【变式1-3】空间四边形中，的中点分别为，且，，，求证：. 题型2：线面垂直的证明 【例2-1】（25-26高一下·全国·课堂例题）已知垂直平行四边形所在平面，若，则平行四边形一定是（   ） A．平行四边形 B．矩形 C．正方形 D．菱形 【例2-2】（25-26高一下·全国·课堂例题）在如图所示的长方体中，互相平行的平面共有________对，与垂直的平面是________． 【例2-3】（25-26高一·全国·假期作业）如图，在圆锥PO中，AB为底面圆O的直径，C，D为圆O上不与A，B重合的点，且，，.求证：平面POC； 【变式2-1】若三棱锥的三条侧棱PA、PB、PC两两垂直，则顶点P在底面的射影O是的（    ）． A．重心 B．垂心 C．内心 D．外心 【变式2-2】（25-26高一下·全国·课堂例题）如图，在四棱锥中，底面是矩形，平面是的中点，分别在上，且．则与的位置关系为________． 【变式2-3】（25-26高一下·全国·课后作业）如图1，在梯形中，，，为中点，是与的交点，将沿翻折到图2中的位置得到四棱锥．求证： 题型3：面面垂直的证明 【例3-1】（2025高一·全国·专题练习）如图，在四面体中，平面，，则该四面体的四个表面中，互相垂直的平面有（    ）.    A．1对 B．2对 C．3对 D．4对 【例3-2】（24-25高一下·全国·课后作业）在正四面体中，，，分别是，，的中点，有下列四个命题： ①平面； ②平面平面； ③平面； ④平面平面． 其中正确命题的序号是_________． 【例3-3】（25-26高一下·全国·课堂例题）如图所示，在空间四边形中，，，，，分别是，，的中点．求证：平面平面． 【变式3-1】（24-25高一下·北京顺义·期末）如图，在棱长为a的正方体中，E是棱上的一个动点，给出下列三个结论：    ①存在点E使得平面平面； ②的面积为定值； ③的最小值为. 其中所有正确结论的序号是（   ） A．① B．②③ C．①③ D．①②③ 【变式3-2】（24-25高一上·全国·期中）如图，已知棱长为的正方体，顶点在平面内，其余顶点都在平面同侧，且顶点到平面的距离分别为，则等于_______． 【变式3-3】（24-25高一·全国·假期作业）如图，在四棱锥中，是边长为2的等边三角形，底面ABCD是等腰梯形，是PD的中点. (1)求证：平面PAB； (2)若，求证：平面平面ABCD； 一、单选题 1．（25-26高一下·全国·课后作业）如图所示，在正方体中，分别是的中点，则异面直线与所成的角的大小为（    ） A． B． C． D． 2．（25-26高二上·上海·月考）已知直线和平面，且，则与的位置关系为（   ） A． B． C．或 D．与相交 3．（24-25高一下·北京顺义·期末）设m，n为两条不同的直线，、为两个不同的平面，则下列结论正确的是（   ） A．若，，，，则 B．若，，，则 C．若，，则 D．若，，则 4．（2025高一上·江苏南通·专题练习）设是两个平面，是两条直线，则下列命题为真命题的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，，，则 D．若，则 5．（24-25高一下·安徽合肥·期末）在正方形ABCD中，已知是AB的中点，现以DE为折痕将折起到的位置，当三棱锥的体积最大时，此时三棱锥外接球的体积为，则（    ） A． B． C． D． 6．（25-26高一下·全国·单元测试）已知平面平面，直线，，则“”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 7．（24-25高一下·山东济宁·期末）如图，在正四面体中，分别是与的中点，设和所成角为，则的值为（   ）    A． B． C． D． 8．（24-25高一下·北京·期中）已知正方体中，点，，分别为棱，，的中点，给出下列四个结论：    其中不正确结论是（　　） A．直线与平面相交； B．平面； C．若，则点到平面的距离为； D．该正方体的棱所在直线与平面所成的角都相等． 二、多选题 9．（25-26高一下·全国·单元测试）如图所示，直线垂直于圆所在的平面，内接于圆，且为圆的直径，点为线段的中点．现有结论中正确的是（   ） A．平面 B．平面平面 C．平面 D． 10．（24-25高一下·浙江杭州·期中）在正方体中，下列结论正确的是（    ） A． B．平面 C． D．平面 11．（24-25高一下·吉林白城·期末）已知是正方体，则下列结论正确的是（    ） A．直线与是异面直线 B．与所成的角为60° C． D．直线与所成的角为60° 三、填空题 12．（2024高一下·全国·专题练习）如图所示，在三棱锥中，若是的中点，则平面与平面的关系是________. 13．（25-26高一下·全国·课后作业）若表示直线，表示平面，下列命题中正确的有________（填序号）． ①，；②，；③，；④，；⑤，． 14．（25-26高一下·全国·课堂例题）设，，为三条不同的直线，为一个平面，给出下列说法： ①若，则与相交； ②若，，，，则． 其中正确的说法的序号为____________． 四、解答题 15．（24-25高一·全国·假期作业）如图，四边形与四边形均为等腰梯形，，为的中点．证明：平面平面； 16．（2026高一·全国·专题练习）已知在平面内，点，，，，垂足分别为，，．．求证：． 17．（25-26高一·全国·假期作业）如图，在四棱锥中，平面，为的中点，，，，.求证：平面； 18．（25-26高一下·全国·课后作业）如图所示，在三棱锥中，平面，． (1)求证：平面平面； (2)若，求二面角的正弦值． 19．（24-25高一下·广西柳州·期末）如图1，在矩形ABCD中，，，将△BCD沿BD翻折至△BC1D，且，如图2所示.    (1)求证：平面ABC1⊥平面AC1D； (2)求点C1到平面ABD的距离d； (3)求二面角的余弦值. 1 学科网（北京）股份有限公司 $