题型2 跨学科实践探究-【众相原创·赋能中考】2026年中考数学课堂精讲册配套课件（贵州专用）

该初中数学中考复习课件聚焦跨学科实践探究核心考点，对接2022版课标要求，分析近三年贵州中考真题，明确其作为全国热点题型的考查权重，系统归纳与几何（测量高度、光的折射）和代数（函数关系、数据分析）相关的常考题型，体现备考针对性。 课件亮点在于“真题解析+跨学科转化+核心素养培养”模式，如通过2024年测量高楼高度题，示范从题干提取信息转化为解直角三角形问题，培养数学眼光（几何直观）和思维（推理能力）。提供函数建模（如甲苯沸点一次函数）、数据处理等突破方法，帮助学生掌握答题技巧，教师可依此设计分层进阶教学，提升复习效率。

数 学 贵州 课堂精讲册 1 第二部分　贵州重难题型突破 题型二　跨学科实践探究 【考情解读】贵州中考数学连续两年(2024，2025)考查跨学科实践探 究，且该题型是近几年全国中考的热点题型，落实了2022年版课标精 神.此类题目难度不大，解题的关键是从题干提取有用信息，并将其转 化为数学问题. 1. 在《测量物体的高度》的综合实践课上，老师先带领同学们制作了简易 的测角仪，随后再用所制作的测角仪测量物体的高度. 图1 图2 小明同学提出如下方法制作测角仪(图1)： 步骤一：以量角器为主要器材进行设计，在经过中心点O处放置一根可绕 点O旋转的空心直管，眼睛可通过空心管的C端瞄准目标物E进行测量， 此时CE的方向即为视线的方向. 步骤二：在量角器的中心点O处悬挂重锤，由物理知识可知只要重锤悬挂 线与90°线重合，则AB即为水平线.此时读出∠AOC的度数，就是所测目 标的仰角. (1)步骤二中蕴含的一个数学知识是 ⁠； 对顶角相等　 图1 (2)测角仪制作出来后，小明便利用这个测角仪测量某高楼顶部的一个信号 发射塔的高度.如图2，小明在矩形建筑物ABCD的D，C两点处测得该塔 顶端E的仰角分别为α＝45°，β＝58°，矩形建筑物的高度DC＝33 m.计 算该信号发射塔顶端到地面的高度EF. (参考数据： sin 58°≈0.85， cos 58°≈0.53，tan58°≈1.60) 图2 解：如解图，过点D作DH⊥EF于点H， ∴∠DHE＝∠DHF＝90°，由题意可知∠EDH＝45°，∠ECF＝58°，∠DCF＝∠HFC＝90°， ∴四边形DCFH为矩形， ∴HF＝DC＝33 m.设DH＝CF＝x m. 在Rt△EDH中，∠EDH＝45°， ∴DH＝EH＝x m. 在Rt△ECF中，tan∠ECF＝ ， ∴tan58°＝ ，即1.6≈ ，解得x≈55， ∴EF＝EH＋HF≈55＋33＝88(m)， 答：该信号发射塔顶端到地面的高度EF约为88米. 2. 综合与实践：数学兴趣小组的同学结合光的折射规律 进行了以下综合性学习. 【实验操作】如图，将一束光线从游泳池边点A处发出，经水面点C折射 到池底B处. 【测量数据】点A，D，E在同一条竖直线上，所有点都在同一竖直平面 内，MN是法线，点N在BE上.记入射角为α，折射角为β.测得点A到水面 的距离AD＝1 m，水深 DE＝1.2 m，入射角α＝51°16'. 【问题解决】根据以上实验操作和测量的数据，解答下列问题： (1)求CD的长； 解：∵MN∥AE，∴∠A＝α＝51°16'. ∵AD＝1 m，∴CD＝tan51°16'×AD≈1.25(m)， 即CD的长约为1.25 m； (2)小组的同学发现，根据光的折射知识可知 ≈1.3，从而可求得 sin β≈ ≈ ＝ . ①由以上信息在Rt△BCN中推理求得tanβ≈ ⁠； 　 ②求B，E之间的距离.(参考数据： sin 51°16'≈0.78， cos51°16'≈0.63，tan51°16'≈1.25) 解：由题可知四边形DCNE为矩形， 则CN＝DE＝1.2 m，EN＝DC≈1.25 m， 故BN＝tanβ×CN≈ ×1.2＝0.9(m)， 故BE＝EN＋BN≈1.25＋0.9＝2.15(m)， 即B，E之间的距离约为2.15 m. 3. [数学文化]图1是我国古代提水的器具桔槔(jié gāo)，创造于春秋时期. 它选择大小两根竹竿，大竹竿中点架在作为杠杆的竹梯上.大竹竿末端悬 挂一个重物，前端连接小竹竿(小竹竿始终与地面垂直)，小竹竿上悬挂水 桶.其原理是通过对架在竹梯上的大竹竿末端下压用力，从而提水出井.当 放松大竹竿时，小竹竿下降，水桶就会回到井里.如图2是桔槔的示意图， 大竹竿AB＝8米，O为AB的中点，支架OD垂直于地面EF，此时水桶在 井里，∠AOD＝120°. 图1 图2 (1)如图2，求支点O到小竹竿AC的距离； 图2 解：如解图，过点O作OG⊥AC，垂足为G， ∴∠AGO＝90°， 根据题意，得AC∥OD，∴∠DOG＝∠AGO＝90°. ∵∠AOD＝120°，∴∠AOG＝∠AOD－∠DOG＝30°. ∵O为AB的中点，∴OA＝ AB＝4(米). 在Rt△AOG中，AG＝ AO＝2(米)， OG＝ AG＝2 ≈3.5(米)， ∴此时支点O到小竹竿AC的距离约为3.5米； (2)如图3，当水桶提到井口时，大竹竿AB旋转至A1B1的位置，小竹竿AC 变换至A1C1的位置，此时∠A1OD＝143°，求支点A上升的竖直高度. (结果精确到0.1米，参考数据： ≈1.73， sin 37°≈0.6， cos 37°≈0.8，tan37°≈0.75) 图3 解：如解图，设OG交A1C1于点H， 根据题意，得OG⊥A1C1，OD∥A1C1，OA1＝OA＝4米， ∴∠A1＝180°－∠A1OD＝180°－143°＝37°. 在Rt△OA1H中，A1H＝OA1· cos 37°≈4×0.8＝3.2(米). 由(1)知AG＝2米， ∴A1H－AG≈3.2－2＝1.2(米)， ∴支点A上升的竖直高度约为1.2米. 4. 某科学实验小组用如图1所示的装置做小球摆动实验，操作如下： ①用一条不可伸长的细线固定一个金属小球，将细线的上端固定于点O； ②测出悬点O到水平地面l的距离为123 cm； ③打开光源，测出小球静止时在竖直墙面上投影的中心到地面的高度为25 cm； ④将小球拉开一个角度，然后由静止释放. 实验说明：如图2所示，OA⊥l于点A，点B在OA上，OA＝123 cm，AB ＝25 cm，将小球向右拉开一个角度，然后由静止释放后，小球可摆动到 点C处，CD⊥l于点D(点O，A，B，C，D在同一平面内). 问题解决：当∠BOC＝37°时，求点C到水平地面l的距离. (结果精确到0.1 cm，参考数据： sin 37°≈0.60， cos 37°≈0.80) 图1 图2 解：如解图，过点C作CM⊥OA于点M， ∴∠CMA＝∠CMO＝90°. ∵OA⊥l，CD⊥l，∴∠OAD＝∠ADC＝90°， ∴四边形ADCM是矩形，∴CD＝AM. ∵OA＝123 cm，AB＝25 cm， ∴OB＝123－25＝98(cm). 由题意，得OC＝OB＝98 cm， ∵∠BOC＝37°， ∴OM＝OC· cos ∠BOC≈98×0.8＝78.4(cm)， ∴AM＝OA－OM≈123－78.4＝44.6(cm)， ∴CD＝AM≈44.6 cm， 答：点C到水平地面l的距离约为44.6 cm. 5. 甲苯是一种重要的化工原料，它可以用于制作炸药、 农药、油漆等，各行业都有应用.已知甲苯的沸点在标准大气压下高于100 ℃，因为温度计量程限制，无法测量其沸点，为了测量甲苯的沸点，设计 了以下实验，在实验室安全通风的环境下，取一定质量的甲苯在烧杯中用 酒精灯均匀加热，甲苯的初温为10 ℃，每隔3分钟记录一次温度，得到了 如下表所示的数据. 时间 0 min 3 min 6 min 9 min 12 min 温度 10 ℃ 30 ℃ 50 ℃ 80 ℃ 90 ℃ (1)①因为酒精灯均匀加热，实验中某个时间的温度在测量中出现了错误，请指出表中错误的温度并修改； 解：时间为9 min的时候温度80 ℃是错误的，正确的温度应该是70℃； ②请在如图所示的平面直角坐标系中描出表中修正后的数据对应的点，并 将这些点顺次连接起来； 解：如解图所示； ③在甲苯达到沸点前，甲苯温度y(单位：℃)与加热的时间t(单位：min)符 合我们学习过的某种函数关系，填空：可能是 函数关系(请选填 “正比例”“一次”“二次”或“反比例”)； 一次　 (2)根据以上判断，求y关于t的函数解析式； 解：设y关于t的函数解析式为y＝kt＋b，代入(0，10)，(3，30)，得 解得 ∴y关于t的函数解析式为y＝ t＋10； (3)当加热15 min时，甲苯沸腾了，请推算甲苯的沸点是多少？ 解：当t＝15时，y＝ ×15＋10＝110，∴甲苯的沸点为110 ℃. 6. 阅读与思考：下面是小明同学的一篇数学日记，请仔 细阅读并完成相应的任务. 　　今天是2025年3月28日(星期五)，在下午的数学活动课上，我们数学兴 趣小组的同学参加了一次“探索压力一定时，压强p与受力面积S之间的 函数关系”的数学活动. 第一步：如图1，将一个长方体A放置于一块水平玻璃桌面上，按不同的 方式摆放，相应的记录桌面所受压强p(Pa) 与受力面积S(m2). 第二步：数据整理，收集记录的数据如下表： 第一组 第二组 第三组 第四组 第五组 第六组 受力面积S/m2 0.1 0.15 0.2 0.25 0.3 0.4 桌面所受的压强 p/Pa 600 400 300 250 200 150 第三步：数据分析，如图2，以S的数值为横坐标，p的数值为纵坐标建立 平面直角坐标系，在该坐标系中描出以表中数据为坐标的各点，并用光滑 的曲线顺次连接. 数据分析中，我发现一组数据可能有错误，重新实验后，证明了我的猜想 正确，并对数据进行了修改，实验结束后，大家有很多收获，每人都撰写 了数学日记. 任务：(1)你认为表中哪组数据是错误的？求p关于S的函数关系式； 图1 图2 解：通过数据发现：S与p的积都是定值60，则第四组的数据错误. 设p＝ ，将(0.1，600)代入，得F＝60， ∴p关于S的函数关系式为p＝ (S＞0)； (2)在如图2所示平面直角坐标系中，画出此函数的图象； 解：画出函数图象如解图所示； 图1 图2 (3)结合图象，如果要求压强不超过100 Pa，那么玻璃桌面的受力面积至少 为多少？ 解：将p＝100，代入关系式得S＝0.6， ∴玻璃桌面的受力面积至少为0.6 m2. 7. 为检测一批小灯泡的使用寿命，某实验人员从一批小 灯泡中随机抽取了一个小灯泡，拼接成如下串联电路图(如图1)，实验人员 收集并整理了滑动变阻器R1从点B移动到点A过程中的相关数据，并绘制 成函数图象(如图2)，已知电流I(A)与电阻R(Ω)成反比例(即I＝ ，U为电 源电压)，在串联电路中，R＝R0＋R1(R0为常数，R0为小灯泡电阻). (1)直接写出I关于R的函数表达式： ⁠； I＝ 　 图1 图2 (2)小灯泡电阻R0为 Ω，滑动变阻器最大电阻为 Ω； 5　 20　 图1 图2 解：【解法提示】当R最小时，电流最大，此时滑动变阻器接入电路的 阻值R1为0，则R＝R0＝5 Ω， 当R最大时，电流最小，此时滑动变阻器全部接入电路. 设滑动变阻器最大电阻为x Ω，则 ＝0.16， 解得x＝20， ∴滑动变阻器最大电阻为20 Ω. (3)若小灯泡额定电流为0.5 A(通过小灯泡的电流不能超过0.5 A)，在不改 变电源电压的情况下，为保证实验准确性，实验时滑动变阻器电阻R1应控 制在什么范围？ 解：当通过小灯泡的电流为0.5 A时，R＝ ＝8 Ω，此时R1＝3 Ω， 即当R1≥3 Ω时，R≥8 Ω，此时I≤0.5 A符合题意. ∴实验时滑动变阻器电阻R1应控制在3 Ω≤R1≤20 Ω. 图1 图2 8. 实验证实：在弹性限度内，弹簧的长度y(单位：cm)与所挂物体质量 x(单位：kg)之间存在关系.某兴趣小组为探究弹簧(如图1)的长度y(单位： cm)与所挂物体质量x(单位：kg)之间的关系，进行了6次实验，实验数据 如下表： 所挂物体质量x/kg 0 10 20 30 40 50 弹簧的长度y/cm 6 9 12 15 18 21 图1 图2 (1)在图2所示的平面直角坐标系中描出表中数据表述的函数图象.若在弹性 限度内，弹簧的长度y(单位：cm)与所挂物体质量x(单位：kg)之间符合初 中学习过的某种函数关系，则可能是 函数关系；(填“一 次”“二次”或“反比例”) 一次　 图1 图2 解：描点、画函数图象如解图所示； (2)根据以上判断，求y关于x的函数表达式； 解：设y关于x的函数表达式为y＝kx＋b(k，b为常数，且k≠0)， 将坐标(0，6)和(10，9)分别代入y＝kx＋b， 得 解得 ∴y关于x的函数表达式为y＝0.3x＋6； 所挂物体质量x/kg 0 10 20 30 40 50 弹簧的长度y/cm 6 9 12 15 18 21 (3)当弹簧长度为16.5 cm时，所挂物体的质量是多少千克？ 解：当y＝16.5时，0.3x＋6＝16.5，解得x＝35. 答：所挂物体的质量是35千克. 9. 综合与实践【知识背景】某校兴趣小组计划用同种 型号的玻璃瓶制作一组水瓶乐器，如图.根据物理学中的振动频率和音调 的关系(频率越高，音调越大)可知，在敲击玻璃瓶时，瓶中水位高度不 同，声音的振动快慢(频率)也不同：水位越低，振动越慢，音调越低；水 位越高，振动越快，音调越高. 【数据记录】兴趣小组成员进行了多次实验，发现频率f(Hz)随水位高度 h(cm)的变化是均匀的，并记录了水瓶不同水位高度时对应的振动频率， 整理得到数据如下表： 水位高度h(cm) 5 10 15 20 25 频率f(Hz) 260 290 320 350 380 通过查阅资料，列出以下音名与频率对照表(部分)，一种音名代表一 个水瓶. 音名 A4 C4 D4 E4 F4 G4 频率f(Hz) 440.0 261.6 293.7 329.6 349.2 392.0 根据以上信息，解答下列问题： (1)求出该种水瓶乐器的频率f关于水位高度h的函数表达式；(不需写出自 变量h的取值范围) 解：由题意，得频率f与水位高度h之间为一次函数关系，可设频率f 关于水位高度h的函数表达式为f＝kh＋b， 代入(5，260)，(10，290)，得 解得 ∴频率f 关于水位高度h 的函数表达式为f＝6h＋230； (2)已知水瓶乐器中的水量是随水位高度均匀变化的：当水位高度为5 cm 时，所使用的水量为100 mL. 请求出演奏A4时所使用到的瓶子中的水量. 解：由条件可知当f＝440.0时，有6h＋230＝440.0，解得h＝35， 即演奏A4时所使用到的瓶子的水位高度为35 cm. ∵水瓶乐器中的水量随水位高度是均匀变化的， 当水位高度为5 cm时，所使用的水量为100 mL， 35÷5×100＝700(mL). ∴演奏A4时所使用到的瓶子中的水量为700 mL. 10. 酶是一种绿色添加剂，合理地使用酶制作面包，能增 加面粉的拉伸面积，从而既能降低原料的成本，又能改善面包的口味. 下表是A种酶的添加量对面粉拉伸面积的影响表. A种酶的添加量 x(mg/kg) 0 5 10 15 20 30 40 50 60 面粉拉伸面积y(cm2) 90 92.5 95 97.5 100 120 120 100 60 (1)根据表格中数据，发现可以用函数刻画面粉拉伸面积y和A种酶的添加 量x之间的关系. ①当0≤x≤20时，y与x满足 关系；(填“一次函数”“反比 例函数”或“二次函数”) ②当20≤x≤60时，y与x满足二次函数关系，且当x＝ 时，y最 大； 一次函数　 35　 (2)结合(1)中的判断，请你求出当20≤x≤60时，面粉拉伸面积y与A种酶 的添加量x的函数关系式； 解：∵当20≤x≤60时，y与x满足二次函数关系，设y＝ax2＋bx＋ c，代入点(30，120)，(40，120)，(50，100)，得 解得 ∴面粉拉伸面积y与A种酶的添加量x的函数关系式为y＝－0.1x2＋ 7x(20≤x≤60)； (3)当面粉拉伸面积不小于112.5 cm2且不大于120 cm2时达到的效果较好， 请求出达到效果较好时的x的取值范围. 解：由题意，结合(1)(2)，当面粉拉伸面积不小于112.5 cm2且不大于 120 cm2时，达到的效果较好， y＝－0.1x2＋7x(20≤x≤60)， 令y＝112.5，即－0.1x2＋7x＝112.5，解得x＝25或x＝45. 令y＝120，即－0.1x2＋7x＝120，解得x＝30或x＝40. ∵a＝－0.1＜0，∴抛物线开口向下， ∴当面粉拉伸面积不小于112.5 cm2且不大于120 cm2时，25≤x≤30或 40≤x≤45. ∴达到效果较好时的x的取值范围为25≤x≤30或40≤x≤45. 46 $