题型1 第16题几何图形的相关计算-【众相原创·赋能中考】2026年中考数学课堂精讲册配套课件（贵州专用）

该初中数学中考复习课件聚焦几何图形计算核心考点，对接贵州中考说明，针对第16题重难题型，分析线段长、面积、最值等考查权重，归纳构造直角三角形、全等/相似等方法，结合2024、2023贵州中考真题及分层训练，备考针对性强。 课件亮点在于“方法总结+真题解析+分层训练”模式，如2024贵州16题通过倍长中线构造全等、作垂线构造直角三角形，培养几何直观与推理能力，提供辅助线作法口诀和易错步骤对比，帮助学生掌握答题技巧，教师可依此设计专题突破，提升复习效率。

数 学 贵州 课堂精讲册 1 第二部分　贵州重难题型突破 题型一　第16题几何图形的相关计算 方法总结 求解线段长问题的常见方法. 1. 构造直角三角形： (1)遇直角边，延长边构造直角三角形； (2)遇三角函数或特殊角度(30°，45°，60°)，作垂线段构造直角三角 形，或通过等角转化找直角三角形求解； (3)遇非特殊角(15°，75°，135°)，通过作垂线段、垂直平分线等构造 特殊角(见本书P81【技巧点拨】). 2. 构造等腰三角形： (1)已知角平分线、中点、垂直其中的两个，延长边构造等腰三角形； (2)已知二倍角，延长二倍角所在的边构造等腰三角形； 3. 利用等角构造全等或相似三角形(见本书P78小专题5)； 4. 利用中点模型进行转化(见本书P64小专题3)； 5. 利用面积法求解：根据面积公式或等面积法列方程求解. 例1. (2024贵州16题)如图，在菱形ABCD中，点E，F分 别是BC，CD的中点①，连接AE，AF. 若  sin ∠EAF＝②，AE＝5， 则AB的长为 ⁠. 　 点拨：①由中点 倍长中线构造全等三角形：延长AF，BC交于点H，构造全等三角形(△ADF≌△HCF)； ②由三角函数 找等角、作垂线段构造直角三角形：过点E作 EG⊥AF. 【解析】如解图，过点E作EG⊥AF于点G，延长AF，BC交于点H. ∵ sin ∠EAF＝ ＝ ，AE＝5，∴EG＝4，∴AG＝ ＝ ＝3.∵四边形ABCD是菱形，∴AD∥BC，AD＝AB＝BC＝ CD，∠D＝∠B. ∵点E，F分别是BC，CD的中点，∴BE＝DF＝ CD，∴△ADF≌△ABE(SAS)，∴AF＝AE＝5，∴GF＝AF－AG＝2.∵AD∥BC，∴∠D＝∠FCH. 又∵∠AFD＝∠HFC，DF＝CF，∴△ADF≌△HCF(ASA)，∴AF＝HF＝5，AD＝CH，∴AB＝BC＝CH，GH＝GF＋HF＝2＋5＝7，∴EH＝ ＝ ＝ ，∴AB＝BC＝ EH＝ . 例2. 如图，在Rt△ABC中，AC＝BC＝4，∠ACB＝90°，点D是BC上 一点，且∠BAD＝2∠CAD，过点C作CE⊥AD于点E，点F是AB的中 点，连接EF，则EF的长为 ⁠. 2　 【解析】如解图，延长AD到点K，使得EK＝AE，连接BK，CK. ∵CE⊥AD，∴CE垂直平分AK，∴CA＝CK，∴∠CAK＝∠CKA. ∵AC＝BC＝4，∠ACB＝90°，∴∠CAB＝∠CBA＝45°.∵∠BAD＝2∠CAD，∴∠CAD＝15°，∴∠CKA＝15°，∴∠ACK＝180°－15°－15°＝150°，∴∠BCK＝150°－90°＝60°.又∵CK＝CA＝CB，∴△CBK是等边三角形，∴BK＝BC＝4.∵F是AB的中点，AE ＝EK，∴EF是△ABK的中位线，∴EF＝ BK＝2. 针对训练 1. 如图，△ABC是边长为6的等边三角形，点D，E在边BC上，若 ∠DAE＝30°，tan∠EAC＝ ，则BD＝ 　3－ 　. 3－ 　 【解析】如解图，过点A作AH⊥BC于点H. ∵△ABC是等边三角形，∴AB＝AC＝BC＝6，∠BAC＝60°.∵AH⊥BC，∴BH＝ BC＝3，∠BAH＝ ∠BAC＝30°，∴∠BAD＋∠DAH＝30°.∵∠DAE＝30°，∴∠BAD＋∠EAC＝30°，∴∠DAH＝∠EAC，∴tan∠DAH＝tan∠EAC＝ .∵AH＝AB· sin 60°＝6× ＝3 ，∴ ＝ ＝ ，∴DH＝ ，∴BD＝BH－DH＝3－ . 2. 如图，正方形ABCD和正方形DEFG的边长分别为5和3，连接BF，点 E，G分别为AD，CD边上的点，H为BF的中点，连接HG，则HG的长 为 ⁠. 　 【解析】如解图，延长GF交AB于点P，过点H作 MN⊥CD于点M，交AB于点N，∵四边形ABCD是正方 形，∴AB∥CD，BC⊥CD，∴MN⊥AB. ∵四边形 DEFG是正方形，∴FG⊥CD，∴FG∥HM∥BC. ∵H是BF的中点，∴M，N分别是GC，PB的中点， ∴GM＝ CG＝ ×(5－3)＝1，∴HN是△BFP的中位 线，∴HN＝ FP＝1，∴MH＝5－1＝4.在Rt△GHM 中，由勾股定理，得GH＝ ＝ ＝ . 第2题解图 3. 如图，在四边形ABCD中，AB＝BC＝6，∠ABC＝60°，∠ADC＝ 90°，对角线AC与BD相交于点E，若BE＝3DE，则BD＝ ⁠. 3 　 【解析】如解图，过点B作BM⊥AC于点M，过点D作 DN⊥BM交BM的延长线于点N，连接DM. ∴∠BMC＝ ∠BND＝90°，∴CM∥DN. ∵BE＝3DE，∴BM＝ 3MN. ∵AB＝BC＝6，∠ABC＝60°，∴△ABC为等边 三角形，∴AC＝6.∵BM⊥AC，∴CM＝ AC＝3， ∴BM＝ ＝ ＝3 ，∴MN＝ ， ∴BN＝4 .∵∠ADC＝90°，AM＝CM，∴DM＝ AC＝3，∴DN＝ ＝ ，∴BD＝ ＝ ＝3 . 第3题解图 4. (2025贵阳清镇市模拟)如图，在矩形ABCD中，AB＝4，BC＝6，点 E，F分别是AB，BC的中点，连接DE，点G在线段DE上，若∠FGE＝ 45°，则FG的长为 ⁠. 　 【解析】如解图，连接EF，DF，过点F作FH⊥DE于 点H，在矩形ABCD中，AB＝4，AD＝BC＝6，点E， F分别是AB，BC的中点，∴AE＝BE＝2，BF＝FC＝ 3，∴DE＝ ＝2 .∵S△DEF＝S矩形ABCD－ S△ADE－S△DCF－S△BEF，∴ DE·FH＝AB·BC－ AD·AE－ CF·CD－ BE·BF，∴ ×2 ·FH＝4×6 － ×6×2－ ×3×4－ ×2×3，∴FH＝ . ∵∠EGF＝45°，FH⊥DE，∴FG＝ FH＝ . 第4题解图 5. 如图，在△ABC中，AC＝BC，∠ACB＝120°，点D是△ABC外一 点，连接AD，BD，CD，∠ADC＝30°，CD＝6，AD＝5 ，则BD ＝ ⁠. 　 【解析】如解图，延长DA到点E，连接CE，使∠DCE＝ 120°，连接BE，延长DC交BE于点F. ∵∠ADC＝ 30°，∴∠DEC＝180°－30°－120°＝30°，∴CD＝ EC＝6.∵∠DCE＝120°，∠ACB＝120°，∴∠DCE－ ∠ACE＝∠ACB－∠ACE，即∠ACD＝∠BCE， ∴△ACD≌△BCE(SAS)，∴∠ADC＝∠BEC＝30°，AD ＝BE＝5 .∵∠ECF＝180°－∠DCE＝60°， ∴∠CFE＝180°－∠ECF－∠BEC＝90°.在Rt△CEF 中，CE＝6，∠FEC＝30°，∴CF＝ CE＝3，∴EF＝ ＝3 .∵AD＝BE＝5 ，∴BF＝BE－ EF＝2 ，在Rt△BFD中，DF＝DC＋CF＝9，∴BD＝ ＝ . 第5题解图 6. 如图，在△ABC中，AC＝11，点E在边AC上，EB＝EA，∠A＝ 2∠CBE，CD⊥BE交BE的延长线于点D，若BD＝8，则BC的长 为 ⁠. 4 　 【解析】如解图，延长BD到点F，使得DF＝BD， 连接 CF. ∵CD⊥BF，∴△BCF是等腰三角形，∴BC＝ CF，∠CBD＝∠F. 过点C作CH∥AB，交BF于点H， ∴∠ABE＝∠CHE，∠BAE＝∠ECH，∴△BEA∽△HEC. ∵EA＝EB，∴EH＝EC，∴AC＝ BH. ∵∠A＝2∠CBE，∴∠ABD＝∠CHD＝2∠CBD ＝2∠F. ∵∠CHD＝∠F＋∠HCF，∴∠F＝∠HCF， ∴HF＝HC. ∵BD＝8，AC＝11，∴DH＝BH－BD＝ AC－BD＝3，∴HC＝HF＝DF－DH＝BD－DH＝8－ 3＝5，在Rt△CDH中，由勾股定理得CD＝ ＝ ＝4.同理，在Rt△BCD中，BC＝4 . 第6题解图 7. (2025铜仁碧江区校级模拟)如图，在四边形ABCD中，∠BAD＝ 105°，∠ADC＝90°，AB＝6，AD＝CD＝ ，E是BC的中点，则 DE的长为 ⁠. 　 【解析】如解图，连接AC，取AC的中点F，连接DF，EF，作 EG⊥DF交DF延长线于点G. ∵AD＝CD＝ ，∠ADC＝90°， ∴△ACD是等腰直角三角形，∴∠CAD＝45°，AC＝ AD＝ × ＝2 .∵∠BAD＝105°，∴∠BAC＝∠BAD－∠CAD＝60°.∵F是 AC的中点，∴DF＝ AC＝ ，DF⊥AC. ∵E，F分别是BC，AC的中点，∴EF＝ AB＝ ×6＝3，EF∥AB， ∴∠EFC＝∠BAC＝60°.∵EG⊥DG，DF⊥AC，∴EG∥AC， ∴∠GEF＝∠EFC＝60°，∴GF＝ EF＝ ，GE＝ EF＝ ， ∴DG＝GF＋DF＝ ＋ ＝ ，∴DE＝ ＝ ＝ . 8. 如图，正方形ABCD的边长为6，点O是对角线AC，BD的交点，点E 在AB上，且AE＝2BE，过点B作BF⊥CE，垂足为F，连接OF，则OF 的长为 ⁠. 　 【解析】∵AE＝2BE，∴AE＋BE＝3BE＝6，∴BE＝ 2，∴CE＝ ＝ ＝2 .∵BF⊥CE，易得△BEC∽△FEB，∴ ＝ ＝ ，即BF＝ ＝ ，EF＝ ＝ .过点O作OH⊥OF交CF于点H，如解图.∵AC⊥BD，∴∠FOH＝∠BOC＝90°，∴∠FOB＝∠HOC. 设EC与BO交于点M. ∵∠BFM＝∠BOC＝90°，∠BMF＝∠CMO，∴△BMF∽△CMO，∴∠FBO＝∠OCH. ∵OB＝OC，∴△OBF≌△OCH(ASA)，∴BF＝CH＝ ，OF＝OH，∴△OFH是等腰直角三角形，∴FH＝ ＝ OF. ∵FH＝CE－EF－CH＝2 － － ＝ ，∴OF＝ FH＝ × ＝ . 第8题解图 方法总结 求解面积问题的常见方法. 1. 分割法(和差法)：通过作辅助线，将所求几何图形面积转化为可求解的 几个图形面积的和或差； 2. 转化法：通过找与所求几何图形面积相等的易于求解的几何图形，利用 转化的思想进行求解； 3. 公式法：将面积问题转化为求线段长问题，利用几何图形的公式法 求解. 例3. (2023贵州16题)如图，在矩形ABCD中，点E为矩形内一点，且AB＝ 1，AD＝ ，∠BAE＝75°，∠BCE＝60°，则四边形ABCE的面积 是 ⁠. － 　 点拨：解本题的关键是构造特殊的直角三角形，利用和差法求解. 解法1：对折模型(源于人教九上P8)，如图1，过点A作AF⊥CE交CE的 延长线于点F，S＝2S△ACF－S△AEF. 图1　　 解法2：角平分线＋对称：如图2，连接AC，过点E作EF⊥AC于点H， 交BC于点F，S＝S△ABF＋2S△ACF. 解法3：矩形的对称性：如图3，过点E分别作AD，AB的平行线，S＝ S矩形AMEF＋S矩形MBKE＋ S矩形EKCN. 图2　　 图3 针对训练 9. 如图，在▱ABCD中，BC的垂直平分线EO交AD于点E，交BC于点 O，连接BE，CE，过点C作CF∥BE，交EO的延长线于点F，连接 BF. 若AD＝8，CE＝5，则四边形BFCE的面积为 ⁠. 24　 【解析】∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD＝BC＝8.∵EF是线段 BC的垂直平分线，∴EF⊥BC，OB＝OC＝ BC＝4.∵CE＝5，∴OE ＝ ＝ ＝3.∵CF∥BE，∴∠OCF＝∠OBE. 又 ∵OC＝OB，∠COF＝∠BOE，∴△OCF≌△OBE(ASA)，∴OE＝OF ＝3，∴四边形BFCE是平行四边形.又∵BE＝EC，∴四边形BFCE是菱 形.∴S四边形BFCE＝ BC×EF＝ ×8×6＝24. 10. 多解法(2025贵阳乌当区期中)如图，在菱形ABCD中，过顶点D作 DE⊥AB，DF⊥BC，垂足分别为E，F，连接EF. 若 cos A＝ ，△BEF 的面积为4，则菱形ABCD的面积为 ⁠. 18　 点拨：解法1：如图1，连接AC，BD交于点O，由已知条件推理得 EF∥AC，BE∶BA＝BH∶BO＝2∶3，由相似三角形的性质得△ABC的面 积，再根据菱形的对称性进而求解. 图1　　　 图2 解法2：如图2，过点F作FG⊥AB交AB的延长线于点G，则∠FBG＝ ∠A，设AE＝a，则可表示DE，BE，FG，根据S△BEF＝4列方程求 a2，进而整体代入求菱形的面积. 11. 如图，在四边形ABCD中，∠ADC＝90°，AC⊥BC，∠ABC＝ 45°，AC与BD交于点E，若AB＝2 ，CD＝2，则△ABE的面积 为 ⁠. 　 【解析】如解图，过点D作DF⊥AC于点F. ∵AC⊥BC，∠ABC＝45°，∴AC＝BC＝ AB＝2 ，∴AD＝ ＝4.∵S△ACD＝ AC·DF＝AD·CD，∴DF＝ ，∴AF＝ ＝ ，∴CF＝AC－AF＝ .∵DF∥BC，∴△DEF∽△BEC，∴ ＝ ， 即 ＝ ，∴EF＝ ，∴AE＝AF＋EF＝ ，∴S△ABE＝ AE·BC＝ × ×2 ＝ . 第11题解图 12. 如图，△AOB和△COD都是等腰直角三角形，∠AOB＝∠COD＝ 90°，连接AD，BC. 若OA＝4，OD＝6，则四边形ABCD面积的最大值 为 ⁠. 50　 【解析】如解图，延长AO至点E，使得OE＝AO＝4，连接 DE. ∵△AOB和△COD都是等腰直角三角形，∴OA＝OE ＝OB＝4，OC＝OD＝6，∠BOE＋∠EOC＝∠COD＋ ∠EOC，即∠BOC＝∠EOD，∴△OED≌△OBC(SAS)， ∴S四边形ABCD＝S△ABO＋S△CDO＋S△AED. 当△AED的面积最 大时，四边形ABCD面积最大.∵AE＝AO＋OE＝8是定 值，OD＝6是定值，∴当AO⊥OD时，△AED的面积取得 最大值.此时四边形ABCD的面积的最大值为S△ABO＋S△CDO ＋S△AED＝ AO·BO＋ OD·OC＋ AE·OD＝ ×4×4＋ ×6×6＋ ×8×6＝50. 第12题解图 13. 如图，在等腰△ABC中，AB＝AC，BD⊥AC于点D，点E和F分别 在线段AD和线段BD上，连接BE，则BE平分∠ABD，且满足BF＝CE. 若BC＝5，EF＝3，则△EFB的面积为 ⁠. 6　 【解析】如解图，过点A作AH⊥BC于点H，延长EF交BC于点G，过点E作EI∥BC交AB于点I，交AH于点J.∵EI∥BC，AB＝AC，∴EC＝IB＝BF，AE＝AI.在△BFE和△BIE中，BF＝BI，∠FBE＝∠IBE，BE＝BE. ∴△BFE≌△BIE(SAS)，∴EI＝EF＝3，∠FEB＝∠IEB，∵EI∥BC，∴∠IEB＝∠EBC，∴∠FEB＝∠EBC，∴EG＝BG. ∵∠DFE＝∠FBE＋∠FEB＝∠CBE＋∠ABE＝∠ABC， ∴∠DEF＝90°－∠DFE＝90°－∠ABC＝∠BAH＝∠CAH， ∴EG∥AH，∴EG⊥BC. 易得四边形EGHJ为矩形， AJ为等腰△AEI的中线，AH为等腰△ABC的中线， ∴GH＝EJ＝ ＝ ＝ ，∴BG＝BC－CG＝BC－ (HC－GH)＝BC－(－GH)＝5－1＝4，∴S△EFB＝ EF·BG＝ ×3×4＝6. 方法总结 解决最值问题的常用知识点： 1. 两点之间线段最短； 2. 点到直线的垂线段最短； 3. 直径是圆中最长的弦. 解决最值问题的常见方法： 1. 作轴对称； 2. 构造辅助圆； 3. 作垂线段； 4. 转化思想. 链接：最值问题有关的方法及模型见本书P128～129. 例4. (2025毕节二模)如图，在边长为3的正方形ABCD中，点E，F分别是 AB，AD边上的动点，且AE＝DF，则CE＋CF的最小值为 ⁠. 3 　 点拨：遇到线段和最短问题，常见思路是利用转化思想，构造全等三角 形“化折为直”. 辅助线作法：延长DA至点H，使得DA＝AH，根据全等三角形，易得 EH＝CF，即转化为CE＋EH最短问题. 【解析】∵∠BDC＝60°，则点D在以BC为弦 的☉O上，当BD最大时，即BD为☉O的直径， 如解图.过点D作DE⊥AB交AB的延长线于点 E. ∵∠BCD＝∠CBE＝∠DEB＝90°，则四边 形BEDC是矩形.∵AB＝2 ，∴BC＝ AB·tan30°＝2，∴BE＝CD＝ ＝ ， 在Rt△ADE中，AE＝AB＋BE＝2 ＋ ＝ ，DE＝BC＝2， 则AD＝ ＝ ＝ . 第14题解图 针对训练 14. (2025黔南州二模)如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，∠BAC＝ 30°，AB＝2 .点D在直线BC的右侧，且∠BDC＝60°，连接AD， 当线段BD的值最大时，则AD的长为 ⁠. 　 15. (2025贵州一模)如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，∠C＝30°， AB＝1.AD平分∠BAC交BC于点D，点E为AC上一点，连接DE，将 DE沿DA方向平移到AF，连接BF，则BF的最小值为 ⁠. 　 【解析】根据题意，点E是在线段AC上移动的， 则DE平移可转化为将△ADC平移至△AMN位 置，点F在线段MN上移动，如解图，当BF⊥MN时，BF取最小值.∵在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，∠C＝30°，AB＝1.∴AC＝2，BC＝ ，作BF'⊥MN，垂足为F'交AC于点P，作AT⊥MN，垂足为T，作DQ⊥AC，垂足为Q，∵AD平分∠BAC交BC于点D，∴BD＝DQ＝AB·tan30°＝ ，由平移得DQ＝AT，∠DAC ＝∠N，∴AC∥MN，∴PF'＝DQ＝AT＝ .∵BP＝ ＝ ＝ ，∴BF'＝BP＋PF' ＝ ＋ ＝ .∴BF的最小值为 . 16. 如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠ABC＝30°，AC＝6，D是 线段AB上一个动点，以BD为边在△ABC外作等边三角形BDE. 若F是 DE的中点，当CF取最小值时，△BDE的周长为 ⁠. 18　 【解析】如解图，连接BF，过点C作CH⊥BF，交BF 的延长线于点H，交AB于点D'.∵△BDE是等边三角 形，点F是DE的中点，∴∠ABF＝30°，∴点F在射线 BF上运动，当点F与点H重合时，CF最小.∵∠ACB＝ 90°，∠ABC＝30°，∴∠A＝60°，AB＝2AC＝ 12.∵∠ABF＝30°，∴∠CHB＝90°，∴∠BD'H＝ ∠AD'C＝60°，∴△ACD'是等边三角形，∴AD'＝AC＝ 6，∴BD'＝AB－AD'＝12－6＝6，∴当CF取最小值 时，△BDE的周长为18. 第16题解图 17. 如图，在△ABC中，AB＝3，AC＝4，以BC为边向△ABC外作等边 三角形BCD，连接AD，则当∠BAC＝ 度时，AD有最大值 为 ⁠. 120　 7　 【解析】如解图，在直线AC的上方作等边△OAC，连接 OD. ∵△BCD，△AOC都是等边三角形，∴CA＝CO， CB＝CD，∠ACO＝∠BCD，∴∠ACB＝∠OCD， ∴△ACB≌△OCD(SAS)，∴OD＝AB＝3，OC＝OA＝ AC＝4，∴点D的运动轨迹是以O为圆心，OD长为半径 的圆，∴当D，O，A三点共线时，AD的值最大，最大 值为OA＋OD＝4＋3＝7.∵△ACB≌△OCD，∴∠CAB ＝∠COD. ∵当D，O，A三点共线时，∠DOC＝180° －60°＝120°，∴当∠BAC＝120°时，AD有最大值为 7. 18. 如图，在平行四边形ABCD中，M是DC的中点，点P是线段AB上任 意一点.若AB＝4，AD＝2 ，∠ADC＝30°，则PM的最大值 为 ⁠. 2 　 【解析】如解图，连接BM，过点A作AH⊥CD于点 H，过点M作MT⊥BA交BA的延长线于点T. 则四边 形AHMT是矩形.∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AB＝CD＝4，在Rt△ADH中，AH＝AD· sin 30° ＝ ，DH＝ AH＝3.∵M是CD的中点，∴DM＝ CD＝2，∴MH＝DH－DM＝1.∵四边形AHMT是 矩形，∴TM＝AH＝ ，AT＝MH＝1，∴BT＝AT ＋AB＝5.当点P与B重合时，PM的值最大，PM的最 大值为BM＝ ＝ ＝2 . 第18题解图 19. 如图，在正方形ABCD中，点E在边AD上，AE＝2，点P，Q分别是 直线BC，AB上的两个动点，将△AEQ沿EQ翻折，使点A落在点F处， 连接PD，PF，若正方形ABCD的边长为12，则PD＋PF的最小值 为 ⁠. 24　 53 $