小专题6 圆中最值及辅助圆问题-【众相原创·赋能中考】2026年中考数学课堂精讲册配套课件（贵州专用）

该初中数学中考复习课件聚焦圆中最值及辅助圆核心考点，紧密对接贵阳中考2年必考要求，通过梳理点圆/线圆最值、定点定长、定弦定角等方法，结合例题解析归纳常考题型，精准分析考点权重，体现中考备考的针对性和实用性。 课件亮点在于中考真题训练与应试技巧指导，如2025贵阳花溪区适应性训练题解析，通过辅助圆构造培养学生几何直观和推理能力，以“轨迹分析+最值转化”突破考点，帮助学生掌握解题技巧提升得分率，为教师提供系统复习方案，助力中考冲刺。

数 学 贵州 课堂精讲册 1 第一部分　立足教材过基础 第六单元　圆 小专题6　圆中最值及辅助圆问题 (贵阳2年必考) 方法总结 1. 点圆最值 平面内定点D和☉O上动点E. 图示：作直线DO与☉O交于点E1，E2. 点D在圆外 点D在圆内 结论：DE1最小，DE2最大. 2. 线圆最值 (1)当直线与圆相交 图示：过圆心O作AB的垂线交圆于点C. 图1 图2 结论：①如图1，若点C在优弧AB上，CH的长即为动点C到AB的最大 距离； ②如图2，若点C在劣弧AB上，CH的长即为动点C到AB的最大距离. (2)当直线与圆相离 图示：过圆心O作AB的垂线交圆于点P1，P2. 结论：P1M的长是动点P到直线AB的最小距离，P2M的长是动点P到直 线AB的最大距离. 1. 如图，在平面直角坐标系中，☉P经过三点A(8，0)，O(0，0)，B(0， 6)，D是☉P上一动点.当点D到弦OB的距离最大时，点D的坐标是 (　A　) A. (9，3) B. (9，6) C. (10，3) D. (10，6) A 2. 如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，D是边BC的中点，以点D为圆 心，BD长为半径作☉D，E是☉D上一动点，若AB＝12，BC＝10，则线 段AE长的最小值为 ，最大值为 ⁠. 点拨：找出定点和动点，确定两点的位置关系. 8　 18　 【解析】连接AD，当A，E，D三点在一条直线上时，线段AE的长取得 最值.∵BC＝10，D是边BC的中点，∴BD＝DE＝5，∵∠ABC＝ 90°，∴AD＝ ＝ ＝13，当点A，E在点D的同侧 时，线段AE的长有最小值，最小值为AD－DE＝13－5＝8；当点A，E 在点D的异侧时，线段AE的长有最大值，最大值为AD＋DE＝13＋5＝ 18. 3. 如图，在平面直角坐标系中，☉M的半径为2，圆心M的坐标为(6， 8)，P是☉M上的任意一点，PA⊥PB，且PA，PB与x轴分别交于A，B 两点，若点A，B关于原点O对称，则AB的最大值为 ⁠. 24　 4. 如图，等边△ABC的边长为4，☉C的半径为 ，P为AB上一动点， 过点P作☉C的切线PQ，切点为Q，则PQ的最小值为 ⁠. 点拨：连接CP，CQ，则△PQC为直角三角形，根据勾股定理，将求 PQ的最小值转化为求PC的最小值，根据垂线段最短解答即可. 3　 【解析】如解图，连接CQ，CP，过点C作 CH⊥AB于点H，∵PQ是☉C的切线， ∴CQ⊥PQ，∴PQ＝ ＝ ， 当CP⊥AB，即点P与点H重合时，CP最小，此时 PQ取最小值，∵△ABC为等边三角形，∴∠B＝ 60°，∴CH＝BC· sin B＝2 ，∴PQ的最小值为 ＝3. 方法总结 情形1：一定点一定长 已知：在平面内，点A为定点，点B为动点，且AB长度固定. 结论：点B的轨迹是以点A为圆心，AB长为半径的圆. 情形2：一定点三动点 已知：在平面内，O为定点，A，B，C为动点，且OA＝OB＝OC. 结论：点A，B，C均在以点O为圆心，OA长为半径的圆上. 5. 如图，在四边形ABCD中，AB＝AC＝AD，∠CBD＝20° ，∠BDC ＝30° ，则∠BAD＝ ⁠°. 【解析】∵AB＝AC＝AD，∴B，C，D三点都在以点A为圆心，AB 长为半径的圆上.∵∠CBD＝20° ，∠BDC＝30° ，∴∠CAD＝ 2∠CBD＝40° ，∠BAC＝2∠BDC＝60° ，∴∠BAD＝∠BAC＋ ∠CAD＝100° . 100　 6. 如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，BC＝2，D是AC边上一个动 点，将△BCD沿BD翻折，点C的对应点为C'，在点D从点C到点A的运 动过程中，点C'运动的路径长为 ⁠. 2π　 方法总结 已知：已知AB为定值，C为动点，且∠ACB为定角度，则点C在以AB为 弦，∠ACB为圆周角的圆(不与点A，B重合)上运动. 情形1：∠ACB＜90°，如图1. 图1 图2 结论：∠ACB＝ ∠AOB，点C 在优弧AB(不含A，B两点)上运动. 情形2：∠ACB＝90°，如图2. 结论：AB为直径，点C 在整个圆(不含A，B两点)上运动. 情形3：∠ACB＞90°，如图. 结论： ∠AOB＋∠ACB＝180°，点C 在劣弧AB(不含A，B两点)上运 动. 7. 如图，在△ABC中，AB＝AC＝2，BC＝2 ，点D是△ABC所在平 面上的一个动点，且∠BDC＝60°，则△DBC面积的最大值是 ⁠. 3 　 【解析】如解图，作AH⊥BC于点H，∵AB＝AC，BC ＝2 ，∴BH＝ BC＝ ，∴AH＝ ＝ ＝1，∴ sin ∠ABC＝ ＝ ，∴∠ABC＝ ∠ACB＝30°，∠BAC＝120°，以点A为圆心，AB长 为半径作☉A. ∵∠BDC＝60°，∴点D在☉A上运动， 当D运动到HA的延长线与☉A的交点时，△DBC的面积 最大，最大值为 ×2 ×3＝3 . 8. 如图，在矩形ABCD中，AB＝8，BC＝6，点P在矩形的内部，连接 PA，PB，PC，若∠PBC＝∠PAB，则PC的最小值是 ⁠. 2 －4　 【解析】∵四边形ABCD是矩形，∴∠ABC＝90° ， ∴∠ABP＋∠PBC＝90°.∵∠PBC＝∠PAB，∴∠ABP ＋∠PAB＝90° ，∴∠APB＝90° ，∴点P在以AB为直 径的半圆上运动，如解图，设圆心为O，连接OC交半圆O 于点P，此时PC最短.∵OP＝OB＝ AB＝4，∴OC＝ ＝2 ，∴PC的最小值为OC－OP＝2 －4. 第8题解图 9. 如图，△ABC为等边三角形，AB＝2，点P为△ABC内一动点，且满足 ∠PAB＝∠ACP，则△APC面积的最大值是 ⁠. 　 【解析】∵△ABC为等边三角形，∴∠ABC＝ ∠BAC＝60°，AC＝AB＝2，∵∠PAB＝ ∠ACP，∴∠PAC＋∠ACP＝60°，∴∠APC ＝120°，∴点P的运动轨迹是 ，如解图，过 点P作PD⊥AC于点D，当O，P，B共线时， 直线OB与AC的交点为D，此时PD的长度最 大，即△APC的面积最大，∴PA＝PC，AD＝ AC＝1，∠PAC＝∠ACP＝30°，∴PD＝ AD·tan30°＝ ，∴△APC面积的最大值为 AC·PD＝ ×2× ＝ . 第9题解图 方法总结 情形1：定弦对等角 已知：AB为△ABC和△ABD的公共边，∠C＝∠D. 图1 图2 结论：A，B，C，D四点共圆. 情形2：对角互补的四边形 已知：在四边形ABCD中，∠BAD＋∠BCD＝180°(或∠ABC＋∠ADC ＝180°). 图3 图4 结论：A，B，C，D四点共圆. 10. 如图，在四边形ABCD中，∠BAD＝∠BCD＝90° ，∠ACD＝ 30° ，AD＝2，E是AC的中点，连接DE，则线段DE的最小值为 ⁠ ⁠. 点拨：先根据对角互补判断A，B，C，D四点共圆，再根据三角形的三 边关系确定线段DE的最小值. －1　 【解析】∵∠BAD＝∠BCD＝90° ，∴A，B，C， D四点共圆，且BD为圆的直径，取BD的中点O，则圆 心为点O，如解图，连接OA，OC，取AO的中点F， 连接EF，DF. ∵∠ACD＝30° ，∴∠AOD＝60°.又 ∵OA＝OD，∴△AOD为等边三角形，∴AD＝OA＝ OD＝OC＝2，∠AFD＝90° ，∴DF＝ .∵EF是 △AOC的中位线，∴EF＝ OC＝1.在△DEF中，DF －EF＜DE，∴当D，E，F三点共线时，线段DE取 得最小值，最小值为 －1. 第10题解图 11. 如图，在平面直角坐标系中，点A，B的坐标分别为(3，0)，(0，4)， 点C是x轴正半轴上一点，连接BC. 过点A垂直于AB的直线与过点C垂直 于BC的直线交于点D，连接BD，则 sin ∠BDC的值是 ⁠. 点拨：因为△ABD和△BCD是共斜边的两个直角三角形，从而可知A， B，C，D四点共圆，再利用等角的余角相等求解即可. 　 【解析】∵BA⊥AD，BC⊥CD，∴∠BAD＝∠BCD＝90° ，∴A， B，C，D四点共圆，∴∠BDA＝∠BCA. ∵∠BDA＋∠DBA＝∠BCA ＋∠CBO＝90° ，∴∠DBA＝∠CBO，∴∠DBA－∠CBA＝∠CBO－ ∠CBA，即∠DBC＝∠ABO，又∵∠DBC＋∠BDC＝∠ABO＋ ∠BAO＝90° ，∴∠BDC＝∠BAO，∵点A，B的坐标分别为(3，0)， (0，4)，∴BO＝4，OA＝3，∴AB＝ ＝5，∴ sin ∠BDC＝ sin ∠BAO＝ ＝ . 12. (2025贵阳花溪区适应性训练)如图，在矩形ABCD中，AB＝3，BC＝ 4，点P为边CD上一动点，连接AP交对角线BD于点E，过点E作 EF⊥AP，EF交BC于点F，连接AF交BD于点G，在点P的运动过程 中，△AEG面积的最小值为 ⁠. 点拨：根据∠ABC＝∠AEF＝90°，得A，B，F，E四点共圆.作 △AEG的外接圆☉O，根据∠GOE＝2∠EAF＝2∠DBC、圆周角定理和 同角的三角函数，求出GE和GE上高的取值范围，进而求解. 　 【解析】如解图，作△AEG的外接圆☉O，过点A作 AH⊥BD于点H，过点O作OM⊥BD于点M，连接 OE，OG，OA. ∵∠ABC＝∠AEF＝90°，则A， B，F，E四点共圆.由题意知∠GOM＝∠EOM＝ ∠EAG＝∠DBC，∴tan∠GOM＝tan∠DBC＝ ， 设GM＝3m，OM＝4m，则GE＝6m，OA＝OG＝ 5m，由S△ABD＝ AB·AD＝ BD·AH，得AH＝ .∵OA＋OM≥AH，∴5m＋4m≥ ， ∴m≥ ，∴GE＝6m≥ ，∴S△AEG＝ AH·EG≥ ，∴△AEG的面积的最小值为 . 32 $